Ещё одна презентация к выступлению.

МАТЕМАТИКА ВЫБОРОВ
Гасников А.В.,
доцент кафедры МОУ ФУПМ МФТИ
Черноусова Е.О.,
аспирант кафедры ИС ВЦ РАН
2
ПЛАН ВЫСТУПЛЕНИЯ
1. Этап предвыборной кампании, влияние СМИ на общественное
мнение
2. Опросы общественного мнения
3. Возможные особенности результатов голосования
3
ЧЕСТНАЯ ЖЕРЕБЬЕВКА
Пусть в некоторой телевизионной программе (согласно предвыборной
кампании) n партиям разрешается в течение фиксированного времени
выступить с агитационной речью. Выбор того, в каком порядке будут
выступать представители n партий, решается жеребьевкой.
Предложите процедуру честной жеребьевки.
4
НЕДОВЕРЧИВЫЕ ИГРОКИ
Два игрока (А и В) хотят сыграть в орлянку. У каждого их них есть монета.
Но они не доверяют друг, подозревая, что у соперника несимметричная монета.
Как быть?
Решение:
Кинуть обе монеты сразу: если обе монеты выпали орлом или обе решкой,
то выиграл игрок А, если по-разному – то игрок В.
Если обе монеты независимы и хотя бы одна из них симметрична, то
вероятность выигрыша в такой игре равна ½.
Пусть игрок А знает, что его монета симметрична ( p A  1 2 ), но не знает pB .
Тогда вероятность выигрыша для игрока А равна
p A pB  (1  p A )(1  pB )  1 pB  1 (1  pB )  1
2
2
2
ЧЕСТНАЯ ЖЕРЕБЬЕВКА
5
Перестановкой на n элементах называется биекция множества 1, 2,..., n на
себя: n   i1, i2 ,..., in   n ( j )  i j .
Число различных перестановок равно n!
Случайная
перестановка.
Вероятность
реализации
конкретной
перестановки равна 1/n! (равномерная мера на множестве всех перестановок
длины n).
Пусть есть некоторый набор перестановок 1n , n2 ,..., nk . Известно, что хотя бы
одна их них случайная. Тогда перестановка, получающаяся в результате
последовательного перемножения каждой из них (не важно, в каком порядке),
будет случайной.
ЧЕСТНАЯ ЖЕРЕБЬЕВКА
6
Решение:
Представитель каждой партии приносит на телевизионную программу
некоторую перестановку; эти конверты одновременно вскрываются в
присутствии всех участников и затем последовательно (скажем, в алфавитном
порядке названий партий) выполняются указанные в них перестановки.
Процедура гарантирует, что если хотя бы одна из партий соблюдает
правила (ее перестановка случайна), то результат жеребьевки будет честным.
КАЖДЫЙ ПО ОТДЕЛЬНОСТИ – ПРОТИВ,
А ВСЕ ВМЕСТЕ – ЗА (ИЛИ НАОБОРОТ)
7
Осторожная привычка людей(избирателей) вести себя «как все».
Предлагается для обсуждения простая версия подобного механизма.
Считается, что индивидуум (i), принимая решение, руководствуется:
1) личным (априорным) отношением к данному вопросу - ai ;
2) отношением к этому вопросу окружающих его субъектов
(коллектива).
Финальное, апостериорное отношение, сформировавшееся после общения с
коллективом, определяется числом pi зависит от пп. 1, 2.
 i - мера независимости индивидуума - вероятность, что в конкретной
ситуации индивидуум ведет себя как независимый.
8
Будем считать, что влияние каждого j-го члена коллектива на данного i-го
индивидуума не зависит от влияния любого другого из остальных членов и
определяется числом  ij - вероятность, что i-ый поступит также как j-ый.  ii  0
По формуле полной вероятности:
N
pi  aii  (1  i ) ij p j
j 1
Или в матричной форме:
p  a   I N    p
ТЕОРЕМА
Решение p всегда существует, неотрицательно и каждое pi не превосходит
единицу. Решение p единственно, если не все  i  0
9
СТАДО БЕЗ ВОЖАКА
Все  i  0 (т.е. все индивидуумы абсолютно зависимы)  I N    p  0
Так как det  I N     0 , решение существует и неединственное.
Несмотря на неопределенность состояния коллектива, индивидуумы
ведут себя как единое целое: все pi равны между собой, т.е. индивидуумы
подражают друг другу. Коллектив легко выводится из такого «безразличного»
состояния любым провоцирующим действием (малым возмущением одного
их параметров  i ). Пусть  j  0 , тогда по теореме решение системы
p  a   I N    p единственно: у всех индивидуумов pi  a j (т.е. поведение jго индивидуума копируют все).
Дурная овца все стадо портит (русская поговорка)
10
ТОК-ШОУ
N
Пусть pi  aii  (1  i )
1  ij
N 1
j 1
N
1  ij
 N 1 p
j 1
j
p j , i  1,..., N .
- математическое ожидание доли индивидуумов – зрителей в
студии - (помимо i-го), перешедших в данное состояние.
Решение такой системы (при больших значениях N ):
N
1  i
pi  aii  N
N  i
a 
j 1
N

j 1
N
j
N
j
,
j
M

N
a 
j 1
N
j

j 1
j
j
M   p j - математическое ожидание числа индивидуумов, перешедших в
j 1
данное состояние.
11
ТОК-ШОУ
Пусть выступают два оппонента: у первого - a1  1, 1  0 ; у второго a2  0, 2  0 .
У зрителей в студии все  i  0 , а разброс мнений достаточно широк, т.е. ai разные.
В результате зрители разделится на две части (в независимости от своих
априорных убеждений) в отношении 1 :  2 .
12
МОДЕЛЬ ВЛИЯНИЯ ТЕЛЕВИЗОРА НА МНЕНИЕ ЛЮДЕЙ
Элементарная общественная ячейка (коллектив взаимных влияний) - семья
N
1  ij
j 0
N
Модель: pi  aii  (1  i )
pj
Параметры:
телевизор: 0  p0  a0  1
остальные члены семьи: pi  p, i  , ai  a
p  a 
1    1   N  1 p 
N
M Na   1   

N
1   N  1 
M 4a   1   
при N  4 получаем p 

4
1  3
Решение: p 
13
МОДЕЛЬ ВЛИЯНИЯ ТЕЛЕВИЗОРА НА МНЕНИЕ ЛЮДЕЙ
Пусть было три этапа предвыборной кампании.
1
2
1) Положим   , p (0)  0 , a (0)  0 , тогда p (1)  0.2 ;
2) Положим a (1)  p (1) , тогда p (2)  0.36 ;
3) Положим a (2)  p (2) , тогда p (3)  0.48;
14
СОЦИОЛОГИЧЕСКИЙ ОПРОС
ИЛИ EXIT POLL
Пусть в некоторой области прошел второй тур выборов. Выбор был между
двумя кандидатами (А и В). Сколько человек надо опросить на выходе с
избирательных участков, чтобы определить процент проголосовавших за
кандидата А с точностью 1% и с (доверительной) вероятностью не менее 0.95.
Решение:
Пусть число жителей города, участвующих в голосовании, равно N. Из них
M человек проголосовало за кандидата А. Обозначим за n – общее число
опрошенных человек (в ходе exit-polla), среди них m – число отдавших свой
голос за кандидата А.
m M

P 
 0.01  1  0.95
n N

15
СОЦИОЛОГИЧЕСКИЙ ОПРОС
ИЛИ EXIT POLL
При фиксированном n случайная величина m (число отдавших свой голос
за кандидата А среди опрошенных) имеет
CMm CNnmM
гипергеометрическое распределение
.
CNn
Формула Стирлинга: N !  2N  Ne1  1  o( N ) 
N
Если n  o
 
Nn
N , то C 
.
n!
n
N
Тогда гипергеометрическое распределение G  M , N , n  аппроксимируется
m nm
M
 M  CM CN  M
mM  
биномиальным Bi  , n 

C
1

n 
 

n
N
 N  CN
N 
m
nm
.
16
СОЦИОЛОГИЧЕСКИЙ ОПРОС
ИЛИ EXIT POLL
Граница Чебышева: P    E   
 n

X
  i
 DX
i 1
P
 p    2
n

 n


M M
1

m M
 N
N
P 
 0.01 
2
n  0.01
n N

0.25
n  0.01
2
 1  0.95  n  50000



D
2
0.25
n  0.01
2
17
СОЦИОЛОГИЧЕСКИЙ ОПРОС
ИЛИ EXIT POLL
Граница Чернова:
 n

P  X i  ( p  )n   exp 2 2 n
 i 1

 n

X
  i

i 1
P
 p     2exp 2 2 n
 n



m M

2
P 
 0.01  2exp 2  0.01 n
n N





2exp 2  0.01 n  1  0.95  n  10000
2
СОЦИОЛОГИЧЕСКИЙ ОПРОС
ИЛИ EXIT POLL
Центральная предельная теорема
 n

X

np
x
t2
 i


1


2
P  i 1
    2 ()  1,
 ( x) 
e
dt

npq
2 








M


 mn

n
n


N
P

0.01  2 
0.01  1
 M M

M M
 n M 1  M 





1  
1  


N
N
N
N
N
N





 n

  X i  np

n
 i 1

P
    2(1   ())    1.96 
0.01  1.96  n  9600
npq
M M


1  


N
N
18
19
СОЦИОЛОГИЧЕСКИЙ ОПРОС
ИЛИ EXIT POLL
Заметим, что результат задачи не зависит от общего числа избирателей,
кроме как от условия n  o N .
 
Если хотим сделать более грубую оценку доли проголосовавших за
кандидата А, например, с точностью всего 5%, то достаточно опросить всего
~390 человек!!!
n
M
N
 M
1  
N

0.05  1.96  n  390
Но возникает вопрос репрезентативности выборки из опрошенных
избирателей.
20
АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕЗУЛЬТАТОВ И
СПЕЦИФИКА, В Т.Ч. НЕОДНОРОДНОСТЬ, ДАННЫХ
Для условного соответствия тенденциям в электоральном поведении
населения можно выделить:
А) «городские» участки;
Б) «сельские» участки;
В) «особые» участки (больницы, тюрьмы, дома престарелых, военные
городки);
21
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
n  - последовательность независимых одинаково распределенных с.в.
Dk  2  0
n
 
k
 E k 


d
2
1 n

 N (0,1) 
 k  N E k ,

n
n k 1
n
Рассмотрим  n  , n  , где n : Be(0.35) , n : Be(0.5)
k 1
d
120
100
50
90
45
80
40
70
35
80
60
30
50
60
25
40
20
40
30
15
20
10
20
10
5
0
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
22
ПОЯВЛЕНИЕ «ПИКОВ» ПРИ МАЛЫХ РАЗМЕРАХ
ИЗБИРАТЕЛЬНОГО УЧАСТКА
Повторяемость определенных долей явки/голосов избирателей:
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
23
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. П.С.Краснощеков, А.А.Петров «Принципы построения моделей» Изд. 2-е
– М.: ФАЗИС: ВЦ РАН 2000.
2. А.Шень «Вероятность: примеры и задачи» - М.: МЦНМО, 2007
3. Материалы из «Живого журнала»
24
СПАСИБО
ЗА ВНИМАНИЕ!
25
numb_s_uik=10000;
size_s_uik=unidrnd(500, numb_s_uik, 1);
javka_temp=unifrnd(0.6, 0.9, numb_s_uik, 1);
javka_s_uik=binornd(size_s_uik, javka_temp);
itog_javka=javka_s_uik./size_s_uik;
golos_temp=unifrnd(0.6, 0.9, numb_s_uik, 1);
golos_s_uik=binornd(javka_s_uik, golos_temp);
I_s=hygernd(size_s_uik,golos_s_uik,javka_s_uik);
hist(I_s./javka_s_uik,1000)