Задачи по теории вероятностей

Задачи по теории вероятностей
Занятие № 3(Формула сложения вероятностей)
1. В магазин поступило 50 телевизоров, 5 из них имеют скрытый дефект. Продано 7
телевизоров. Какова вероятность того, что среди проданных телевизоров не более 3-х
телевизоров имеют дефект?
Пусть Аi ={среди проданных ровно i имеют дефект},
А={не более трех телевизоров имеет дефект}.
.
C 3 C4
5 C6
P(А3)= 5 7 45  0.015 ;
P(А1)= 745  0.408 ;
C50
C50
C52 C 445
C 745
;
P(А
)=

0
.
122
 0.454 .
0
7
7
C50
C50
P(А) = P(А0) + P(А1) + P(А2) + P(А3).
P(А2)=
2. В урне содержится 10 белых, 6 красных и 4 синих шара. Из урны без возвращения
извлекается 5 шаров. Какова вероятность того, что среди этих шаров окажется 2 белых, 2
красных и один синий шар?
C 2 C2 4
P= 10 5 6  0.17 ;
C 20
3. В магазин поступило 20 однотипных изделий, среди которых 12 изделий высшего
качества, 5 изделий хорошего качества и 3 низкого качества. Куплено 5 изделий. Какова
вероятность того, что среди них два изделия высшего качества и два изделия хорошего
качества.
C 2 C2
P= 12 5 5
C 20
4. Игральная кость подбрасывается 4 раза. Какова вероятность того, что «6» выпадет
не более 2 раза?
Решение: Пусть Аi ={«6» выпадет i раз}.
А=А0 +А1 +А2
P(А) = P(А0) + P(А1) + P(А2)
4
5
P(А0)=   ;
6
3
15
P(А1)=   4 ;
66
2
1 5
P(А2)= 2   6 .
6 6
5. В коробке имеются карточки с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Случайным образом
карточки извлекаются из коробки и располагаются друг за другом. Какова вероятность того,
что числа 3 и 6 окажутся рядом?
6!7  2
P=
8!
6. Группа, состоящая из 33 человек, в случайном порядке занимает места с одной
стороны прямоугольного стола. Какова вероятность того, что лица А и В, входящие в
группу, окажутся соседями?
7. Игральная кость подбрасывается 5 раз. Какова вероятность того, что «6» выпадет не
более 3 раз?
8. В урне содержится 15 белых, 9 красных и 6 синих шара. Из урны без возвращения
извлекается 8 шаров. Какова вероятность того, что среди этих шаров окажется 3 белых, 3
красных и два синих шара?
9. В коробке имеются карточки с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Случайным образом
карточки извлекаются из коробки и располагаются друг за другом. Какова вероятность того,
что числа 2, 4, 6 окажутся рядом?
10. Два стрелка один раз стреляют по мишени с вероятностями попадания 0,6 и 0,8.
Какова вероятность поражения мишени силами этих двух стрелков?
(Теорема сложения и умножения вероятностей)
1. Магазин получил продукцию в ящиках с 4 складов: 4 ящика с первого склада, 5 со
второго склада, 7 ящиков с третьего склада, 4 ящика с четвертого. Случайным образом
выбраны два ящика для продажи. Какова вероятность того, что это будут ящики с 1-го или со
2-ого складов?
C 42 C52
4  5 18
P= 2  2  2 
 0.189
C 20 C 20 C 20 95
2. Вероятность опозданий на первую пару студентов А, В, С равны 0,1; 0,2; и 0,3.
Какова вероятность того, что опоздают либо студенты А и В, либо студент С?
P(АВ+С) = P(АВ) + P(С) - P(АВС)= P(А) P(В) + P(С) - P(А) P(В) P(С) = 0,314
3. Случайным образом распределяются пять ценных подарков среди 15 человек.
Какова вероятность того, что:
а) супруги А и В, входящие в группу, оба получат подарки;
б) супруги А и В не выиграют ничего;
в) супруги А и В получат хотя бы один подарок.
P(А)= P(В)=
5
;
15
1 4
 0.095
3 14
4
P(А+B)= P(А)+ P(B)- P(АВ)=
7
P(АВ)= P(А) P(В|А)=
3
 0.429
7
4. Из колоды карт наудачу последовательно выбирается 4 карты. Какова вероятность
того, что среди извлеченных карт будет не более двух тузов?
Аi ={в выборке i тузов}.
2
C4
4 C 332
C 42 C 32
P(А0)= 32
;
P(А
)=
;
P(А
)=
;
1
2
4
4
C 364
C36
C36
P(A B)  P(A  B)  1 - P(A  B) 
P(А0 + А1 + А2) = P(А0) + P(А1) + P(А2) =0,998.
5. В магазине имеется 6 женских и 10 мужских шуб. Для анализа качества отобрали 3
шубы случайным образом. Определить вероятность того, что среди отобранных шуб
окажутся: а) только женские шубы; б) только мужские или только женские шубы.
6. На предприятие поступают заявки от нескольких торговых пунктов. Вероятность
поступления заявок от пунктов А и В равны соответственно 0,5 и 0,4. Найти вероятность
поступления заявок от пункта А или от пункта В, считая события поступления заявок от этих
пунктов независимыми, но совместными.
7. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет будет сдан, если он ответит не
менее, чем на 2 из 4 вытащенных наудачу вопросов. Какова вероятность того, что студент
сдаст зачет?
А3 ={студент не знает три вопроса}, А3 ={студент не знает все 4 вопроса}.
( Формулы полной вероятности)
C 53 20
C 54
P(А3) =
, P(А4) = 4 , P=1- P(А3)- P(А4)=0.98.
4
C 25
C 25
8. Пара игральных костей подбрасывается 5 раз. Какова вероятность того, что 1) хотя
бы один раз выпадет 12 очков? 2) 12 очков выпадет не более 2-х раз?
1) Пусть Аi ={в i – м испытании выпадет 12 очков},
А = А1 + А2 + А3 + А4 + А5 .
А  А1 A2 А3 A4 А5 .
P(A)=
P( А1 ) P( A2 ) P( А3 ) P ( A4 ) P( А5 )  (1  P( A1 ))(1  P( A2 ))(1  P( A3 ))(1  P( A4 ))(1  P( A5 )) .
1
P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  P( A4 )  P( A5 ) 
.
36
5
1
 35 
P( A )=(1- )5=   =0.87.
36
 36 
P(A)=1- P( A )=0.13.
2)В0 ={ни в одном испытании не выпадет 12 очков},
В1 ={только в одном испытании выпадет 12 очков},
В2 ={только в 2-х испытаниях выпадет 12 очков}.
4
3
1  35 
1  35 
P(В0)= P( A )=0.87; P(В1)=   5 ; P(В2)= 2   C 52 .
36  36 
36  36 
9. Вероятность поражения мишени силами трех стрелков равна: а) 0,91; б) вероятность
поражения мишени одним из стрелков равна 0,5 , а другим 0,8. Найти вероятность
поражения мишени третьим стрелком.
0,91=0,5+0,8+p-0.5*0.8-0.5*p-0.8*p+0.5*0.8*p;
0 .1
P=
0.12
10. Вероятность правильного оформления счета на предприятии равна 0,95. Во время
проверки были взяты два счета. Какова вероятность того, что только один из них оформлен
правильно?
Пусть А1 ={первый счет оформлен правильно}.
А2 ={второй счет оформлен правильно}.
А= А1 А2  А1 А2 .
Тогда: P(A) = P( А1 А2 )  P( А1 А2 )  P( А1 ) P( А2 )  P( А1 ) P( А2 )  0.95  0.05  0.05  0.95  0.095 .
11. В городе имеется 10 продовольственных и 6 непродовольственных магазинов.
Случайным образом для проверки были отобраны 5 магазинов. Какова вероятность того, что
среди отобранных магазинов имеется не менее 3 продовольственных магазинов?
Пусть А={3 продовольственных и 2 непродовольственных магазинов },
В={4 продовольственных и 1 непродовольственный магазинов },
С={5 продовольственных магазинов }
Требуется найти вероятность события А+В+С:
P(А)=
C103 C 62
;
C165
P(В)=
C104 6
;
C165
C105
C165
P(А+В+С)= P(А)+ P(В)+ P(С)=0.758.
P(С)=
12. В магазине имеется 6 женских и 10 мужских шуб. Для анализа качества отобрали 3
шубы случайным образом. Определить вероятность того, что среди отобранных шуб
окажутся:
а) только женские шубы;
б) только мужские или только женские шубы.
C3
1
Решение. а) P(А)= 36 
.
C16 28
б) С=А+B;
3
C
1
P(А)= 36 
,
C16 28
C103
3
P(В)= 3  ,
C16 14
1
3 1

 .
28 14 4
13. На предприятие поступают заявки от нескольких торговых пунктов. Вероятность
поступления заявок от пункта А и В равны соответственно 0,5 и 0,4. Найти вероятность
поступления заявок от пункта А или пункта В, считая события поступления заявок от этих
пунктов независимы, но совместными.
P(А+B)= P(А)+P(B)- P(А)P(B)=0,9-0,2=0,7.
P(C)= P(А)+P(B)=
Формула полной вероятности.
1. В магазине имеются лампочки с заводов А и В в соотношении 2:3. Доля брака
соответственно составляет 5% и 4%. Куплена одна лампочка. Какова вероятность того, что
она не имеет дефекта.
А={лампочка принадлежит заводу А},
В={лампочка принадлежит заводу В },
С={лампочка не имеет дефекта}
2
3
P(А)= ; P(В)= .
5
5
2
3
P( C )=P(A) P( C |A)+P(B) P( C |B)= 0.05  0.04  0.044.
5
5
P(C) =1- P( C )=0,956.
2. Из колоды карт последовательно вытаскивается 3 карты. Какова вероятность того,
что 3-я карта будет тузом?
Аi ={при i –м извлечении окажется туз}, i=1,2,3.
События А1А2, A 1 A 2 , A1 A2 , A1 A 2 образуют полную группу. Следовательно,
P(A3)=P(A1A2)P(А3|A1A2)+P( A1 A 2 )P(А3| A1 A 2 )+P( A1 A )P(А3| A1 A )+P( A1 A 2 )P(А3| A1 A 2 ).
4 3
4 32
Вычислим P(A1A2)= P(A1)P(А2| A1)=
; P( A 1 A 2 )=P( A1 )P( A2 | A1 )=
;
36 35
36 35
32 4
32 31
; P( A2 A1 )=P( A1 )P( A2 | A1 )=
.
36 35
36 35
2
3
3
4
P(А3| А1А2)= ; P(А3| A 1 A 2 )= ; P(А3| A1 A2 )= ; P(А3| A1 A 2 )= .
34
34
34
34
P( A1 A2 )=P( A1 )P(А2| A1 )=
4 3 2
4 32 3 32 4 3 32 31 4 1
+
+
+
= .
36 35 34 36 35 34 36 35 34 36 35 34 9
3. Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий изготовил 40
изделий, второй – 35, третий – 25. Вероятность брака у первого рабочего – 0,03, у второго –
0,02, у третьего – 0,01. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие не содержит
брака.
Аi ={изделие принадлежит i-му рабочему},
А={ изделие бракованное}.
P(А3)=
3
P(A)=  P( Ai )P( A | Ai )  0,4  0,03  0,35  0,02  0,25  0,01  0,0215 .
i 1
P( A )=1-P(А)=0,9785.
4. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25%, второй
35%, третий 40% всех замков. Брак составляет соответственно 5,4% и 2%. Какова
вероятность того, что случайно выбранный замок окажется дефектом?
Аi ={изделие принадлежит i-му цеху},
А={ замок дефектный}.
3
P(A)=  P( Ai )P( A | Ai )  0,4  0,03  0,35  0,02  0,25  0,01  0,0215 .
i 1
5. На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит
3
продукции с
4
1
процентом брака 4%, вторая - продукции с процентом брака 6%. Найти вероятность того,
4
что взятое наугад взятое изделие окажется бракованным.
Аi ={изделие принадлежит i-ой бригаде},
А={ изделие бракованное}.
P( А)  P( А1 ) P( A | A1 )  P( А2 ) P( A | A2 )  0,75  0,04  0,25  0,06  0,045 .
6. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3.
Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,85. Для проверки
качества ремонта взята наугад пара обуви. Какова вероятность того, что эта пара
отремонтирована качественно?
А1 ={пара обуви - сапоги},
А2={ пара обуви - туфли}.
А ={пара обуви отремонтирована качественно},
2
3
P( А)  P( А1 ) P( A | A1 )  P( А2 ) P( A | A2 )   0,9   0,87 .
5
5
7. Одна из трех урн выбирается случайно и из нее наугад извлекается два шара.
Какова вероятность того, что оба шара белые, если первая урна содержит 50 белых и 30
черных, вторая – 40 белых и 20 черных, третья – 30 белых и 2 черных шаров?
2
2
1 C 50
1 C 240 1 C 30


 0,39 .
P(А)=
2
2
3 C802 3 C 60
3 C50
8. Предприятие выпустило однотипные изделия, причем первый цех выпустил 40 %,
второй 35 и третий – 25% изделий с процентом брака 2; 1,5 и 2%. Для проверки взято 2
изделия. Какова вероятность того, что 1) оба изделия качественные; 2) оба изделия содержат
брак.
P(А2)=0,4*0,02+0,35*0,015+0,25*0,02=0,01825;
P(А1)=1- P(А2)=0,90175.
9. Первая урна содержит 10 белых и 5 черных шаров, вторая – 6 белых и 10 черных
шаров. Из первой урны наугад извлекаются два шара и опускаются во вторую. После
тщательного перемешивания шаров из второй урны извлекается один шар. Какова
вероятность того, что этот шар будет белым? (Событие А).
Обозначим гипотезы:
H1=B1B2={оба шара белые}
H2=С1С2={оба шара черные}
H3=B1С2+ С1B2={один шар белый, другой черный}
3
Р(H1)=Р(B1)Р(B2|B1)= ,
7
2
Р(H2)=Р(C1)Р(C2|C1)=
21
3 2 10

Р(H3)= 1  
7 21 21
3 8
2 6 10 7


 0,407 .
7 18 21 18 21 18
10. В магазине А для продажи имеется 25, а в магазине В – 15 телевизоров. При этом
среди первых имеется 5, а среди вторых – 3 телевизора со скрытым заводским дефектом.
Покупатель случайно выбирает один из указанных магазинов и приобретает в нем 2
телевизора. Вероятность выбора магазина А в 2 раза больше, чем магазина В. Какова
вероятность того, что оба телевизора окажутся без дефекта?
2
2 C 220 1 C12

 0,632 .
P(А)=
2
3 C 25
3 C152
11. В автобусе маршрута N1 находится 50 человек, а в автобусе маршрута N2-40. В
первом автобусе едут без билетов 4 человека, во втором – 3. Контролер, находящийся на
остановке В будет проверять только тот автобус, который подойдет к остановке раньше,
причем проверено будет 30 случайно выбранных пассажиров.
Р(А)=
N1= {первым к остановке В подойдет автобус маршрута N1},
N2={первым к остановке В подойдет автобус маршрута N2},
C={во время проверки будет выявлен хотя бы один человек без билета}.
Пусть P(N1)=p, P(N2)=2p
1
1
2
p+2p=1; p= , т.е. P(N1)= , P(N2)= .
3
3
3
30
C
969
969
P(C | N1 )  46

; P(C | N 1 )  1  P(C | N 1 )  1 
30
46060
C50 46060
30
C37
9
9
 0,988

; P(C | N 2 )  1  P(C | N 2 )  1 
30
741
C 40 741
1
2
P(C)= P(C | N1 )  P(C | N 2 )  0,985 .
3
3
12. Из колоды карт вытащили наугад 2 карты и положили их в другую колоду.
Перетасовав карты последней из нее извлекли наугад 2 карты. Какова вероятность того, что
обе карты окажутся тузами? (Событие С).
P(C | N 2 ) 
H1={обе карты из 1-й колоды}
H2 ={обе карты – не тузы}
H3= {одна карта туз, другая не туз}.
C2
C2
32  4 32  4  2
43
32  31

P(H1)= 24 
, P(H2)= 32
, P(H3)=
.

2
2
36  35
C 36
C36 36  35
C36 36  35
P(C)= P(H1)P(C| H1)+ P(H2)P(C| H2)+ P(H3)P(C| H3).
C 62
65
P(C| H1)= 2 
,
C38 38  37
C 42
43
P(C| H2)= 2 
,
C38 38  37
2
C 65
54
P(C| H3)= 2 
,
C38 38  37
43
65
32  31 4  3
32  4  2 5  4
P(C)=
+
+
=0,098.
36  35 38  37 36  35 38  37
36  35 38  37
Формула Байеса
1. На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит
3
продукции с
4
1
продукции с процентом брака 6%. Какова вероятность того,
4
что взятое наугад изделие изготовлено второй бригадой при условии, что изделие оказалось
бракованным?.
А ={изделие бракованное}
H1={изделие принадлежит первой бригаде}
H2={изделие принадлежит второй бригаде }
процентом брака 4%, вторая -
P(А)= P(H1)P(А|H1)+ P(H2)P(А|H2)
3
1
P(А)=  0,04   0,06  0,045 .
4
4
1
 0,06
P(H 2 )P(А | H 2 ) 4
1
P(H2| А)=
=
 .
0,045
3
P(А)
2. В обувную мастерскую приносят сапоги и туфли в соотношении 4:5. Вероятность
качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,81. Проведена проверка одной
пары обуви. Оказалась, что эта пара отремонтирована качественно. Какова вероятность того,
что это а) сапоги; б) туфли?
А ={пара обуви отремонтировано качественно}
4
5
P(А)= P(H1)P(А|H1)+ P(H2)P(А|H2)=  0,9   0,81  0,85 .
9
9
4
 0,9
P(H 1 )P( А | H1 ) 9
 0,47 .
P(H1| А)=
=
P(А)
0,85
P(H 2 )P(А | H 2 ) 9
P(H2| А)=
=  0,53 .
17
P(А)
3. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,9, вторым -0,7 и третьим 0,4. После стрельбы в мишень были обнаружены две пробоины. Какова вероятность того, что
они принадлежат а) первому и второму стрелкам? б) второму и третьему? в) первому и
третьему.
Hi ={мишень поражена i-ом стрелков}, i=1, 2, 3.
А ={в мишень попали 2 стрелка},
А= H1 H 2 H 3  H1 H 2 H 3  H 1 H 2 H 3 .
P(A)=0,9∙0,7∙0,6+0,9∙0,3∙0,4+0,1∙0,7∙0,4=0,514.
P(H 1 H 2 )P(A | H1 H 2 ) P(H 1 H 2 )P( H 3 ) 0,9  0,7  0,6
P( H1H 2 |A)=


 0,735 .
P(A)
P(A)
0,514
P( H 2 H 3 |A)=
P(H 2 H 3 )P(A | H 2 H 3 ) P(H 1 H 2 )P( H 3 ) 0,7  0,4  0,1


 0,054 .
P(A)
P(A)
0,514
P( H 1 H 3 |A)=
P(H 1 H 3 )P(A | H1 H 3 ) P(H 1 H 2 )P( H 3 ) 0,9  0,4  0,3


 0,21 .
P(A)
P(A)
0,514
4. Первая урна содержит 10 белых и 5 черных шаров, вторая – 6 белых и 10 черных
шаров. Из первой урны наугад извлекли два шара и опустили их во вторую. После
перемешивания из второй урны наудачу извлекли один шар, который оказался белым.
Какова вероятность того, что оба переложенных шара были белыми.
А ={вытащен белый шар}, H1 ={оба шара белые }.
3 8
2 6 10 7
P(A)=       0,407 .
7 18 21 18 21 18
9 8

P( H 1 ) P( A | H 1 ) 21 18 36
P(H1|A)=


 0,47 .
154
P( A)
77
21  18
5. В магазине ля продажи имеется 30 стиральных машин с завода А и 40 с завода В.
Среди первых 2, а среди вторых – 3 машины имеют скрытый дефект. Покупатель выбирает
одну из машин и покупает ее. Машина оказалась качественной. Какова вероятность того, что
принадлежит заводу А.
H1={машина принадлежит заводу А }
H2 ={машина принадлежит заводу В}
А ={машина не имеет дефекта}.
P(A)= P( H1 ) P( A | H1 ) + P( H 2 ) P( A | H 2 ) 
3 14 4 37
  
 0,93
7 15 7 40
3 14

P( H 1 ) P( A | H 1 )
7
15

 0,43 .
P( H1 | A) 
3 14 4 37
P( A)
  
7 15 7 40
6. Первый цех предприятия выпускает 30% , второй – 20% и третий 50% изделий с
процентом брака 2, 3, и 4 % соответственно. Для проверки наугад взято одно изделие. Оно
оказалось с браком. Какова вероятность того, что оно принадлежит третьему цеху?
7. Первая урна содержит 10 белых и 5 черных, вторая – 15 белых и 10 черных и третья
– 20 белых и 15 черных шаров. Наугад выбирается одна из урн и из нее наугад извлекаются
два шара. Оба шара оказались белыми. Какова вероятность того, что они принадлежат
третьей урне?
8. В магазине имеются лампочки с заводов А и В в соотношении 3:5. Доля брака
соответственно составляет 2% и 3%. Для проверки выбрана одна лампочка. Она оказалась
без дефекта. Какова вероятность того, что лампочка принадлежит заводу В?
9. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8 и третьим
-0,7. После стрельбы в мишень была обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того,
что она принадлежит а) первому стрелку, б) второму, в) третьему стрелку?