Вариант №5 Задача №5 Вычислить криволинейный интеграл по окружности C ( x, y ) x 2 y 2 1 , ориентированной по часовой стрелке: y y ( y e ) dx xe dy . C Задача №7 Найти общее решение дифференциального уравнения: ( x 2 y)dx ydy 0 . Задача №8 Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию y(1) 1: xy y(3 2 y ) 0 . Задача №9 Решить задачу Коши: 3 y 2 yy 2 yy2 =4y 3 , y(1) 1, y(1) 1. Задача №10 Найти общее действительное решение однородного дифференциального уравнения: y 16 y 0 . Задача №11 Количество продукции, поступающей на обработку от трех цехов, определяется соотношением 3:4:5. На 100 единиц продукции первого цеха приходится в среднем 3 единицы брака , второго и третьего цехов , соответственно, 2 и 4 единицы. Наудачу взятая единица продукции оказалась годной. Какова вероятность того, что она поступила из второго цеха? Задача №12 Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Оценить вероятность того, что событие в 100 испытаниях наступит не менее 20 раз и не более 30 раз. Задача №13 Случайная величина X может принимать только два значения x1 и x2 , причём x1 x2 . Известны вероятность p1 возможного значения x1 , математическое ожидание M ( X ) и дисперсия D( X ) . Найти закон (ряд) распределения этой случайной 25 величины: p1 , D ( X ) 5, M ( X ) 4 . 26 Задача №14 Случайная величина X задана функцией распределения F ( x ) , требуется: 1) найти плотность вероятности; 2) математическое ожидание и дисперсию X ; 3) построить графики функции распределения и функции плотности распределения. 0, при x 0 F ( x ) x 2 /16, при 0 x 4 . 1, при x 4 Задача №15 Заданы математическое ожидание M ( X ) и средне квадратическое отклонение нормально распределённой величины X . Найти: 1) вероятность того, что X примет значение, принадлежащие интервалу ( , ) ; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X M ( X ) окажется меньше . M ( X ) 20, 15, 9, 19, 7 . Решение примерного варианта Задача №5 Вычислить криволинейный интеграл по окружности C ( x, y ) x 2 y 2 1 , ориентированной по часовой стрелке: C y 4 x 2 dx ( x arccos x / 2)dy . Решение По формуле Грина, которая в данной задаче применима, т.к. y P кривая C кусочно-гладкая, а функции и 4 x2 вместе с частными Q ( x arccos x / 2) – непрерывны P 1 Q 1 и в замкнутом 1 2 2 y x 4 x 4 x 2 2 круге D : x y 1 [1], имеем: Q P y I dx ( x arccos x / 2)dy dxdy , 2 x y 4 x C D знак «–» перед двойным интегралом объясняется тем, что формула Грина верна при положительной ориентации границы области D , что в нашей задаче совпадает с ориентацией окружности C против часовой стрелки, а по условию надо подсчитать значение интеграла при противоположной ориентации окружности. Q P 1 1 I dxdy 1 dxdy 2 2 x y 4 x 4 x D D dxdy – площадь единичного круга. производными D Задача №7 Найти общее решение дифференциального уравнения: ydy 2 x 2 y 2 dx . Решение Данное уравнение является однородным. Необходимо произвести замену y( x) z( x) x , где z( x) – новая функция. В силу замены dy zdx xdz . Подставляя в уравнение, получим уравнение относительно неизвестной функции z( x) : zx( zdx xdz ) 2 x 2 x 2 z 2 dx z 2dx zxdz 2 z 2 dx с разделяющимися ( z 2 2 z 2 )dx zxdz – уравнение переменными. zdz zdz dx ln x C, C R x 2 2 2 2 z 2 z . z 2 z z2 2 z2 z 2 Подстановкой в уравнение убеждаемся, что функции z 2 – решения уравнения. zdz 1 d ( z2 ) 1 dt z 2 2 z 2 2 z 2 2 z 2 2 t 2 t t z2 1 2udu 1 d (u 2 u 2) 1 du 2 2 2 2 u 2 u u 2t 2 u u 2 2 u u2 1 1 du 1 1 u 1 ln u 2 u 2 ln u 2 u 2 ln 2 2 (u 1)(u 2) 2 6 u2 1 1 u2 ln u 2 u 2 ln C1, C1 R . 2 6 u 1 Подставляя в выражение для решения имеем: 1 1 u2 u2 ln x ln u 2 u 2 ln C1 ln x 6 (u 2 u 2)3 C1, 2 6 u 1 u 1 ln x6 (u 1)2 (u 2)4 C1 x6 (u 1)2 (u 2)4 C, C 0 . Возвращаясь к исходным переменным и учитывая все решения, получим общее решение уравнения: 2 4 2 2 2 2 2x y 2x C 2x y x . y 2 x Задача №8 Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию y(1) 1: xy 3 y x 2 y 3 . Решение Запишем уравнение в приведённом виде: 3 y y xy 3 – уравнение Бернулли. x 1 2 y y z Замена 2 z z 3 3 . Поделим уравнение на y 3 и y y y 2 используем замену: z 3 6 y 3 z x z z 2 x . x 3 2 2 x x y xy Полученное уравнение линейное уравнение первого порядка. 6 dz dx 6 z Cx 6 . Решим однородное уравнение z z 0 , x z x Общее решение найдём методом вариации произвольной постоянной C . Полагая, C C ( x ) ищем общее решение в виде z C ( x) x 6 , где C ( x ) неизвестная функция. Подставляя в неоднородное уравнение, получим: Cx6 6Cx5 6Cx5 2 x Cx6 2 x , dx 1 C ( x ) 2 5 4 C1 , C1 R . x 2x Отсюда общее решение линейного уравнения: x2 z C1 x 6 . 2 1 Возвращаясь к исходной переменной, имеем: y – x2 C1 x 6 2 общее решение исходного уравнения. Подставляя начальное 2 1 условие, находим C1 , тогда y – решение задачи. 2 6 2 x x Задача №9 Решить задачу Коши: yy y2 yy3 0 , y(0) 1, y(0) 1. Решение Уравнение не зависит от переменной x . Поэтому можно понизить порядок уравнения заменой y( x) p( y( x)) , тогда y pp . При этом из начальных условий следует, что p(1) 1. ypp p2 yp3 0 , т.к. p 0 не является решением задачи Коши, то полученное уравнение эквивалентно уравнению: p p p 2 – уравнение Бернулли. y 1 1 Замена z приводит к линейному уравнению z z 1 , решая p y 1 его, получаем z Cy y ln y или p . Подставляя Cy y ln y начальное условие p(1) 1, получим C 1 . Возвращаясь к исходной функции, имеем: dy 1 или ( y y ln y )dy dx , получаем: dx y (1 ln y ) y 2 y 2 ln y y 2 x C1 . 2 2 4 1 1 Подставляя начальное условие, получим 0 C1 C1 . 4 4 Решение задачи Коши задаётся выражением: y 2 (ln y 2 1) 4 x 1. Задача №10 Найти общее действительное решение однородного дифференциального уравнения: y 4 y 0 . Решение Это однородное линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами. Для нахождения общего решения найдём корни характеристического уравнения: 3 4 0, 1 0, 2,3 2i . Тогда общее действительное решение имеет вид: y C1e0 x C2 Re(e2ix ) C3 Im(e2ix ) , т.к. Re(e2ix ) cos2 x , Im(e2ix ) sin 2x , то общее действительное решение имеет вид: y C1 C2 cos 2 x C3 sin 2 x . Задача №11 Вероятность того, что во время работы компьютера произойдёт сбой в арифметическом устройстве (АУ), в оперативной памяти (ОП), в остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятность обнаружения сбоя в АУ, в ОП и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти: 1) вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен; 2) вероятность того, что обнаруженный в машине сбой возник в АУ или ОП. Решение 1) Обозначим через A событие – возникший в машине сбой обнаружен. Можно сделать три предположения (гипотезы): H 1 – сбой произошёл в АУ; H 2 – сбой произошёл в ОП; H 3 – сбой произошёл в остальных устройствах. По условию задачи: 3 2 1 , P ( H 2 ) , P ( H 3 ) . Условные вероятности 10 10 2 обнаружения сбоя в каждом из перечисленных устройств АУ, ОП и остальных равны, соответственно – P( A / H1 ) 0,8 ; P( A / H 2 ) P( A / H 3 ) 0,9 . Так как события H i ( i 1,2,3 ) образуют полную группу событий то по формуле полной вероятности имеем: P( A) P( H1 ) P( A / H1 ) P( H 2 ) P( A / H 2 ) P( H 3 ) P( A / H 3 ) 3 8 2 9 5 9 0,87 . 10 10 10 10 10 10 2) Событие, состоящее в том, что сбой возник в АУ или ОП можно записать как ( H1 H 2 ) A H1 A H 2 A , так как H1 H 2 , то события H1 A и H 2 A – несовместны и, следовательно, P(( H1 H 2 ) A) P( H1 A) P( H 2 A) P( H1 ) P( A / H1 ) P( H 2 ) P( A / H 2 ). С другой стороны P(( H1 H 2 ) A) P( A) P(( H1 H 2 ) / A). Отсюда: P( H1 ) P( A / H1 ) P( H 2 ) P( A / H 2 ) P(( H1 H 2 ) / A) P( A) 3 8 2 9 14 10 10 10 10 – искомая вероятность. 0,87 29 Задача №12 1) Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено менее трёх изделий [5]. P( H1 ) Решение Число n 500 велико, вероятность p 0,002 мала и рассматриваемые события (повреждение изделий) независимы, поэтому можно использовать формулу Пуассона: Pn (k ) k e , где np 500 0,002 1 . k! Интересующая нас вероятность того, что будет повреждено менее трёх изделий, находится по формуле: 1 1 1 5 P500 (0) P500 (1) P500 (2) e 1 e 1 e 1 e 1 0,9197 . 0! 1! 2! 2 2) Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 и не более 90 раз [5]. Решение Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: Pn ( k1 , k2 ) ( x) ( x) , где ( x) – функция Лапласа, x ( k1 np ) / npq , x (k2 np ) / npq . По условию n 100 ; p 0,8 ; q 0,2 ; k1 75 , k2 90 . Тогда: k np 75 100 0,8 x 1 1,25 ; npq 100 0,8 0,2 k np 90 100 0,8 x 2 2,5 . npq 100 0,8 0,2 С учётом нечётности функции Лапласа (( x) ( x)) , получим: P100 (75;90) (2,5) ( 1,25) (2,5) (1,25) 0,4938 0,3944 0,8882 . Задача 13 Случайная величина X может принимать только два значения x1 и x2 , причём x1 x2 . Известны вероятность p1 0,6 возможного значения x1 , математическое ожидание M ( X ) 1,4 и дисперсия D( X ) 0,24 . Найти закон (ряд) распределения этой случайной величины [5]. Решение Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины должна быть равна единице, поэтому вероятность p2 того, что X примет значение x2 равна: p2 1 0,6 0,4 . Тогда закон распределения X : x1 x2 X 0,6 0,4 P По определению: M ( X ) p1 x1 p2 x2 0,6 x1 0,4 x2 1,4 ; D( X ) M ( X 2 ) ( M ( X ))2 . Напишем закон распределения X 2 : X2 x12 x22 0,6 0,4 P 2 2 2 Найдём M ( X ) 0,6 x1 0,4 x2 , тогда D( X ) 0,6 x12 0,4 x22 (1,4)2 0,24 . Имеем систему уравнений для нахождения x1 и x2 : 0,6 x1 0,4 x2 1,4 . 2 2 0,6 x 0,4 x 2,2 1 2 Решая систему, найдём: x1 1 , x2 2 и x1 1,8 , x2 0,8 . По условию x1 x2 , поэтому второе решение не подходит. Тогда закон распределения дискретной случайной величины имеет вид: 1 2 X 0,6 0,4 P Задача №14 Случайная величина X задана функцией распределения F ( x) , требуется: 1) найти плотность вероятности; 2) математическое ожидание и дисперсию X ; 3) построить графики функции распределения и функции плотности распределения. 0, при x 2 x 1 F ( x ) , при 2 x 2 . 4 2 1, при x 2 Решение Найдём плотность распределения. По определению: 0, при x 2 1 f ( x ) F ( x ) , при 2 x 2 . 4 1, при x 2 Тогда 2 2 1 M ( X ) xf ( x )dx x dx 0 , 4 2 2 2 2 4 2 1 x dx . 4 3 2 2 График функции распределения представлен на рисунке 6. D( X ) ( x M ( X )) f ( x )dx 2 F ( x) 1 2 0 1 2 X Рисунок 6 График функции плотности распределения представлен на рисунке 7. f ( x) 1/ 4 2 0 1 2 Рисунок 7 X Задача №15 Заданы математическое ожидание M ( X ) и средне квадратическое отклонение нормально распределённой величины X . Найти: 1) вероятность того, что X примет значение, принадлежащие интервалу ( , ) ; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X M ( X ) окажется меньше . M ( X ) 15, 10, 4, 14, 2 . Решение 1) Воспользуемся формулой: a a P( X ) , подставив a 15, 10, 4, 14 , получим: P(4 X 14) 1,1 0,1 . По таблицам приложения [5] находим (1,1) 0,3643 ; (0,1) 0,0398 . Тогда искомая вероятность равна: P(4 X 14) 0,3643 0,0398 0,3245 . 2) Искомая вероятность находится по формуле: P X M ( X ) 2 . По условию M ( X ) 15, 10, 2 . Следовательно: 2 P X 15 2 2 2 0,2 2 0,0793 0,1586. 10