Моделирование вероятностной машины Тьюринга

Моделирование стохастических процессов в вероятностной машине
Тьюринга
А. И. Кукушкин
аспирант кафедры компьютерных систем и программных технологий;
polladin@rambler.ru
Е. Н. Бендерская
к.т.н., доц. кафедры компьютерных систем и программных технологий;
helen.bend@gmail.com
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
Аннотация: В данной работе исследуется один из подходов включения в
классические вычисления базовой идеи квантовых вычислений посредством
моделирования вероятностей переходов и взаимосвязей между разными вариантами
развития стохастических процессов.
Введение
Основная идея, положенная в основу данной работы, заключается в
том, что комбинирование хаотических процессов и конечной динамики
системы
позволяет генерировать цепи Маркова с конечным числом
состояний [1]. При этом соответствующий стохастический процесс
описывается двумя типами уравнений: первое принадлежит к
моделированию случайных процессов, второе описывает развитие
вероятностей. Объединение этих двух типов уравнений дает возможность
смоделировать варианты развития вероятностей похожее на развитие
вероятностей в квантовой механике.
Рассматриваемый подход представляет интерес в свете разработки
новых интеллектуальных систем, так как большинство процессов
ассоциирующихся с интеллектуальной деятельностью, таких как, поиск
оптимального поведения, процесс принятия решения, представляют собой
определённую вероятностную структуру, которая может быть описана с
помощью цепей Маркова и представлена с помощью вероятностной машины
Тьюринга.
1
Математическое описание вероятностной машины Тьюринга
Для описания вероятностной машины Тьюринга используется система
уравнений [1]:
𝑣̇ = 𝑣1/3 sin 𝜔𝑡 + 𝜀0 (𝑦̃ − 𝑥), 𝑥̇ = 𝑣
𝑣̇𝑛 = 𝑛 𝑣𝑛 1/3 sin 𝜔𝑡 + 𝜀0 [𝑦̃ − 𝜑(𝑛, 𝑥)],
𝑛̇ ∗ = 𝑣𝑛 ,
(1)
𝑛 = 𝑁 − 𝑛∗ > 0
(2)
𝑦̃ = 𝑦(𝑡) − 0.51
𝑦(𝑡 + 𝜏) = 4𝑦(𝑡)[1 − 𝑦(𝑡)] ,
𝑦(𝑡 ∗ ) = 0.2 , −
𝜋
4𝜔
(3)
𝜏=
𝜋
2𝜔
𝑛
𝜋
< 𝑡∗ <
4𝜔
(4)
(5)
Временной ряд описываемый формулой (4) сгенерирован с помощью
полностью детерминированной (но хаотической) динамической системой.
Простейшая из таких систем – это система на основе логистической
функции, которая играет ключевую роль в популяционной динамике,
химических процессах и других областях.
Уравнения (1, 2) моделируют динамику вероятностной машины
Тьюринга. В этих уравнениях присутствует y(t), который представляет собой
источник стохастических временных рядов, и не вносит изменение в
решение уравнения, т.к. 0 << 1, а знак при t = 0, /2, … и т.д. выбирает
одно из двух возможных решений.
𝑣=±
4𝑣
𝜔
(3𝜔 sin2 2 𝑡
3/2
)
(6)
Таким образом, исходная динамическая система преобразуется в
стохастический
процесс,
который
характеризуется
следующими
распределениями плотности вероятности [1]:
𝑓𝑛 (𝑛, 𝑥, 𝑡 + 𝜏) = 𝑝𝑛 𝑓𝑛 (𝑛 − 1, 𝑥, 𝑡) + (1 − 𝑝𝑛 )𝑓𝑛 (𝑛 + 1, 𝑥, 𝑡)
∑𝑁
𝑛=1 𝑓𝑛 (𝑛, 𝑥, 𝑡) = 1
𝑓(𝑥, 𝑡 + 𝜏) = ∑𝑁
𝑛=1 𝑓𝑛 [𝑝𝑓(𝑥 − 𝑛ℎ, 𝑡) + (1 − 𝑝)𝑓(𝑥 + 𝑛ℎ, 𝑡)]
∞
∫−∞ 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = 0
(7)
(8)
(9)
(10)
2
𝑝 = {𝑦
0 𝑖𝑓 𝑥 > 𝑦𝑚𝑎𝑥
𝑖𝑓 𝑦𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦𝑚𝑎𝑥
𝑦𝑚𝑎𝑥 −𝑥
𝑚𝑎𝑥 −𝑦𝑚𝑖𝑛
(11)
1 𝑖𝑓 𝑥 < 𝑦𝑚𝑖𝑛
0 𝑖𝑓
𝑦𝑚𝑎𝑥 −𝜑(𝑥,𝑛)
𝑝𝑛 = { 𝑦
𝑚𝑎𝑥 −𝑦𝑚𝑖𝑛
𝜑(𝑥, 𝑛) > 𝑦𝑚𝑎𝑥
𝑖𝑓 𝑦𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜑(𝑥, 𝑛) ≤ 𝑦𝑚𝑎𝑥
(12)
1 𝑖𝑓 𝜑(𝑥, 𝑛) < 𝑦𝑚𝑖𝑛
Следовательно, можно вычислить матрицу вероятностей перехода к
следующему состоянию:
𝑝11
𝑃=( …
𝑝𝑁1
…
…
…
𝑝1𝑁
… )
𝑝𝑁𝑁
(13)
𝑝𝑖𝑗 = 𝑝𝑓𝑛 (𝑥𝑖 , 𝑛𝑗 )
𝑝∗11
𝑃∗ = ( …
𝑝∗ 𝑁1
…
…
…
𝑝∗1𝑁
… )
∗
𝑝 𝑁𝑁
(14)
𝑝∗ 𝑖𝑗 = (1 − 𝑝)𝑓𝑛 (𝑥𝑖 , 𝑛𝑗 )
Исходя из этих матриц можно построить цепь Маркова:
Рис.1. Цепь Маркова построенная по матрицам (13, 14)
3
Тогда можем сказать, что вероятностная машина Тьюринга, описываемая с
помощью уравнений (1 - 5) моделирует стохастический процесс, который
описан с помощью цепи Маркова изображённой на рис.1. и стохастическая
матрица которой описана с помощью матриц (13, 14 ) .
Моделирование вероятностной машины Тьюринга
На рис.2 показана динамика стохастического процесса, описанного
цепью Маркова (13-14), моделируемого на вероятностной машине Тьюринга,
описанной уравнениями (1 – 5).
Рис.2. Динамика стохастического процесса моделируемого на вероятностной
машине Тьюринга
Моделирование интеллектуальных систем
Модифицируя уравнения (1 - 5) вероятностной машины Тьюринга [1]
можно получить следующие соотношения:
𝑣̇ = 𝑣1/3 sin 𝜔𝑡 + 𝜀0 (𝑦̃ − 𝜑(𝑥, 𝐻, 𝜎, … )), 𝑥̇ = 𝑣
(15)
𝑣̇ 𝑖 = 𝑣𝑖 1/3 sin 𝜔𝑡 + 𝜀0 [𝑦̃ − 𝜑𝑖 ],
(16)
𝑥̇ 𝑖 = 𝑣𝑖 ,
𝜑𝑖 = 𝑡𝑎𝑛ℎ ∑𝑛𝑗=1 𝑇𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑖 = 1,2, … , 𝑛
(17)
4
Рассматривая эти уравнения в рамках теории нейронных сетей, уравнение
(15) будет уравнением одного нейрона, из которого можно составить сеть
описываемую уравнениями (16), а связи между нейронами будут
описываться уравнениями (17).
В уравнении (17) Tij не зависит от xi. Такая динамическая система, в
терминах развития вероятностей, уникально определяется выбором констант
Tij .
Основная идея использования такой системы в том, что информация
может отсутствовать на нижнем уровне системы, но существовать на уровне
коллективной активности. При этом происходит самоорганизация и
взаимодействие между основными компонентами без глобального контроля.
Моделирование сети из двух нейронов
Рис.3. Выход Х сети из двух основных элементов при T=[1 -1; -1 1]
Рис.4. Выход Х сети из двух основных элементов при T=[1 1; 1 1]
5
Заключение
Целью данной работы было исследование возможности разработки
вычислителя, который моделирует стохастические процессы, происходящие
в интеллектуальных системах. В качестве такого вычислителя была
рассмотрена вероятностная машина Тьюринга, которая может моделировать
вероятностную структуру, описанную с помощью цепи Марков, которая в
свою очередь может описывать большинство процессов связанных с
интеллектуальной деятельностью.
При модифицировании вероятностной машины Тьюринга, может быть
получена интеллектуальная система, которая работает по принципу
самоорганизации. Такая система может быть описана в терминах нейронных
сетей. Таким образом, предполагается создание нейронной сети, где
активность нейрона может быть смоделирована с помощью вероятностной
машины Тьюринга.
Список использованных источников
1. Zak M. From instability to intelligence : complexity and predictability in
nonlinear dynamics. Springer, Tokyo, 1997. 552 p.
2. Richard P. Feynman. Simulating Physics with Computers. Department of
Physics, California Institute of Technology, Pasadena, California 91107.
Received May 7, 1981. 22 p.
3. Zak M. Introduction to Quantum Intelligence. Center for Space
Microelectronics Technology Jet Propulsion Laboratory California Institute
of Technology Pasadena, CA 91109. 1996. 60 p.
4. Daniel Pierre Bovet, Pierluigi Crescenzi. Introduction to the theory of
complexity. June 2006. 282 p.
6