Вопросы к Госэкзамену 2014/2015 учебный год для специальности 230401 -“Прикладная математика”

Вопросы к Госэкзамену
2014/2015 учебный год
для специальности 230401 -“Прикладная математика”
Часть 1. Классическая математика
Алгебра и аналитическая геометрия
1. Свойства перестановок и определителей. Миноры и алгебраические дополнения.
Правило Крамера. Система n линейных однородных уравнений с n неизвестными.
2. Линейная зависимость векторов в арифметическом пространстве R”. Базис и
размерность пространства. Ранг матрицы, вычисление ранга матрицы.
Элементарные преобразования матриц.
3. Системы линейных алгебраических уравнений. Совместимость системы. Правило
решения произвольной системы линейных уравнений. Однородные системы.
Фундаментальная система решений.
4. Линейное пространство над произвольным полем. Линейные подпространства,
линейная оболочка.
5. Линейные функционалы и линейные операторы в евклидовом пространстве.
6. Матрицы и операции над ними. Ранг матрицы. Обратные матрицы. Применение
матриц при решении систем линейных уравнений.
7. Квадратичные формы. Изменение формы матрицы при линейном преобразовании
переменных. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон
инерции.
8. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий положительной
определенности.
9. Ортогональные преобразования. Проекция вектора на подпространство.
Приведение к каноническому виду пары квадратичных форм. Ортонормированная
система собственных векторов. Свойства симметричной матрицы. Приведение
квадратичной формы к главным осям.
10. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Пучки и связки прямых..
Критерии параллельности и перпендикулярности прямых.
11. Уравнения плоскости в пространстве. Пучки и связки плоскостей. Критерии
параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до
плоскости.
12. Уравнения эллипса, параболы и гиперболы в координатах. Геометрические
свойства этих кривых.
13. Кривые второго порядка. Классификация кривых второго порядка. Приведение
кривых второго порядка к каноническому виду.
Математический анализ
1. Понятие предела числовой последовательности в R. Критерий Коши. Сходимость
последовательностей комплексных чисел. Общее понятие сходимости
последовательности в метрическом пространстве.
2. Окрестность точки на прямой, плоскости и в пространстве. Понятие об открытом и
замкнутом множестве. Свойства открытых и замкнутых множеств в R, C, R” и в
метрическом пространстве.
3. Непрерывность функций числового аргумента. Свойства непрерывных функций.
Непрерывные функции комплексной переменной.
4. Дифференцируемость функций одной вещественной переменной. Теоремы Ролля и
Коши. Критические точки гладкой функции. Дифференцируемость векторных
функций вещественной переменной.
5. Дифференцируемость вещественных функций многих переменных. Частные
производные и дифференциал. Условия дифференцируемости.
6. Производные высших порядков. Смешанные производные. Дифференциалы
высших порядков. Теорема о смешанной производной.
7. Комплексная дифференцируемость. Условия
(голоморфные) функции и их свойства.
Коши-Римана.
Аналитические
8. Интеграл Римана функций одной переменной. Интегральные суммы. Условия
интегрируемости.
9. Первообразная. Теорема Ньютона – Лейбница. Дифференцируемость интеграла от
непрерывной функции по верхнему пределу.
10. Криволинейные интегралы на плоскости и в пространстве. Условия независимости
криволинейного интеграла от пути. Теорема Коши об интеграле функции.
11. Понятия о двойном и тройном интегралах. Критерии
Поверхностные интегралы. Теорема Остроградского и Стокса.
интегрируемости.
12. Числовые ряды. Вещественные и комплексные ряды. Сходимость и сумма ряда.
Основные признаки сходимости рядов. Абсолютная и условная сходимости.
13. Функциональные ряды. Простая (поточечная) и равномерная сходимость рядов.
Теоремы Вейерштрасса о равномерной сходимости аналитических функций.
14. Степенные ряды и их область сходимости(в R и C). Ряды Тейлора и Лорана.
15. Непрерывные операторы в метрическом пространстве. Сжимающие отображения.
Принцип сжимающих отображений и его применение.
Дискретная математика
1. Логика высказываний. Логические формулы. Логические операции. Таблицы
истинности.
2. Равносильность формул логики
Равносильные преобразования.
высказываний.
Свойства
равносильности.
3. Логическое следствие. Его свойства. Логический вывод.
4. Предикат, его местность, область истинности. Подстановки, Логические операции
над предикатами.
5. Кванторы. Составные префиксы. Отрицание выражений с кванторами. Эффект
двойственности. Формулы логик предикатов и их равносильность.
6. Множество и его характеристический предикат. Теоретико-множественные
операции, их связь с логическими операциями.
7. Отображения и функции. Композиция отображений. Обратные отображения.
Основные классы отображений (инъекции, сюръекции биекции).
8. Бинарные отношения. График, грф и матрица бинарного отношения. Основные
классы бинарных отношений. Отношение эквивалентности. Операторы замыкания
для бинарных отношений.
9.
Графы и способы их задания. Матрицы смежности, достижимости и расстояний.
Алгоритм нахождения матрицы достижимости по заданной матрице смежности.
10. Связность ориентированного и неориентированного графов. Компоненты
связности. Алгоритм нахождения сильно связанных компонент ориентированного
графа.
Теория вероятности и математическая статистика
Пространства элементарных событий (вероятное пространство). Алгебра и  - алгебра
событий. Дискретные вероятностные пространства. Классическое определение
вероятности.
Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Функция
распределения. Плотность распределения.
Многомерная случайная величина. Ее функция и плотность распределения. Маргинальные
функция и плотность распределения.
Условная вероятность. Независимость случайных величин. Вид функции и плотность
распределения многомерной случайной величины в случае независимости компонент.
Испытание Бернулли. Биномиальные вероятности.
характеристики.
Распределение Бернулли и его
Нормальное распределение и его характеристики. Формула Лапласа для нормального
приближения распределения Бернулли.
Пуассоновское распределение и его характеристики. Пуассоновское приближение для
распределения Бернулли.
Интеграл Стилтьеса по вероятностной мере. Математическое ожидание для дискретной и
непрерывной случайной величины.
Дисперсия
случайной
величины.
Ковариация
двух
случайных
Среднеквадратическое отношение. Коэффициент корреляции.
величин.
Свойства коэффициента корреляции. Условие, при котором модуль его равен единице.
Смысл знака коэффициента корреляции.
Неравенство Чебышева. Доверительный интервал. Закон больших чисел. В форме
Чебышева.
Генеральная совокупность и выборка из нее. Эмпирическая функция распределения и
гистограмма.
Оценка параметра распределения, ее несмещенность и состоятельность. Оценки
математического ожидания, дисперсии, ковариации, коэффициента корреляции.
Простая и сложная гипотезы в математической статистике. Общая схема построения
статистических критериев. Правило проверки гипотезы. Ошибки первого и второго
рода. Функция мощности и уровня значимости критерия.
2
2
2
Критерий    - статистика Пирсона и  - распределение с n степенями свободы.
Часть 2. Информационные технологии
Алгоритмические языки и программирование
1. Классификация данных и операторов языка Паскаль.
2. Константы в языке Паскаль. Типы констант, правила формирования.
3. Данные в Турбо-Паскале. Типы данных: стандартные и пользовательские.
Объем ОП, требуемый для каждого типа, допустимые операции над каждым
типом данных. Совместимость и преобразование типов. Допустимые
преобразования типов при вычислении выражений, при присваивании.
4. Массивы. Назначение. Объявление одномерных и многомерных массивов.
Требуемая ОП. Допустимые операции над элементами массивов. Ввод и
вывод данных массивов.
5. Записи. Назначение. Объявление фиксированных и вариантных записей и
массивов записей. Обращение к полям (элементам) фиксированных записей.
With - оператор присоединения. Ввод-вывод данных записей.
6. Множества. Назначение. Объявление множеств. Базовый тип элементов
множества. Значения данных типа множество. Мощность множества.
Множества-константы. Множества-переменные. Допустимые операции над
множествами.
7. Типизированные
константы.
Назначение.
Описание
простых
типизированных констант и констант-массивов. Форма объявления
одномерных и многомерных типизированных констант-массивов.
Обращение к элементам типизированных констант.
8. Оператор присваивания. Назначение и форма оператора. Процесс
выполнения оператора присваивания. Типы выражений. Приоритет
операций различных типов. Правила выполнения смешанных выражений с
операциями различных типов, содержащих скобки.
9. Операторы разветвления вычислений. Назначение и типы операторов
разветвлений. Условный оператор IF. Назначение оператора. Схемы
алгоритма для сокращенной и полной формы условного оператора.
Сокращенная и полная форма условного оператора. Правила выполнения
условного оператора.
10. Циклы. Назначение циклов. Вход и выход из цикла. Типы операторов
цикла.
11. Классификация модулей Паскаля. Локализация объектов, используемых
подпрограммами. Глобальные и локальные объекты. Область их действия.
Формальные и фактические параметры. Назначение и область их действия.
Вложенность и допустимые вызовы подпрограмм.
12. Процедуры. Структура и описание процедуры. Форма вызова процедуры.
Соответствие формальных и фактических параметров.
13. Функции. Структура и описание функции. Форма вызова функции. Тип
результата функции. Возвращение результата функции. Побочный эффект
функции. Соответствие формальных и фактических параметров.
14. Параметры подпрограмм. Список формальных параметров: их состав и
назначение. Область действия формальных параметров. Форма секции
формальных параметров. Типы формальных параметров. Соответствие
между списком формальных и фактических параметров. Виды формальных
параметров.
15. Назначение и структура модулей. Интерфейсная часть. Исполняемая часть.
Инициирующая часть. Область действия глобальных объектов модулей и
основной программы. Структура интерфейсной, исполняемой и
инициирующей части модуля.
Компиляция модулей. Подключение
модулей к программе.
16. Классификация файлов. Назначение и основные характеристики файлов.
Типы файлов Турбо-Паскаля. Объявление файлов различных типов.
Стандартные файлы. Доступ к файлам. Открытие и закрытие файлов.
17. Типизированные файлы. Назначение файлов. Связь логического файла
программы с физическим файлом. Оператор Assign. Типы компонент
файла. Вывод данных в типизированный файл. Форма оператора Write.
Ввод данных из типизированного файла. Форма оператора Read.
Назначение процедур и функций Eof, Erase, IoResult, ReName, Seek,
FileSize, FilePos и Truncate.
18. Алгоритм. Свойство алгоритмов. Формы представления алгоритмов. Блоки
для формирования схем алгоритмов.
19. Позиционные системы счисления. Правила перевода чисел из различных
систем счисления в десятичную и наоборот.
Структуры данных и методы обработки информации
1. Стек. Определение стека. Реализация стека с использованием динамических структур.
Основные операции для реализации стека: добавление в стек, чтение из стека,
удаление из стека.
2. Стек. Примеры использования стека. Преобразование арифметических выражений.
3. Очередь. Определение очереди. Определение очереди. Реализация очереди с
использованием динамических структур. Основные операции для реализации очереди:
добавление в очередь, чтение из очереди, удаление из очереди.
4. Список. Определение списка. Реализация списка с использованием динамических
структур. Основные операции для реализации списка: добавление в список, чтение из
списка, удаление из списка.
5. Деревья. Определение дерева. Бинарные деревья. Реализация дерева с использованием
динамических структур. Основные операции для реализации дерева: добавление
элемента или ветви дерева, прохождение дерева, удаление элемента или ветви дерева.
Обход дерева.
6. Графы. Определение графа. Связанное представление графов. Представление графа с
использованием динамических структур. Типовые задачи, решаемые с помощью
графов. Обход графа в глубину и в ширину.
7. Сортировка массивов. Назначение сортировки. Классификация методов сортировки.
Критерии оценки различных методов сортировки.
8. Методы сортировки массивов.
9. Сортировка последовательностей. Классификация и критерии оценки методов
сортировки последовательностей. Методы сортировки последовательностей.
10. Рекурсия. Рекурсивные структуры данных. Рекурсивные функции. Реализация
рекурсивных алгоритмов.
11. Поиск. Основные методы поиска.
Компьютерная графика
Методы реализации двумерных моделей.
Внутреннее представление объектов при трехмерном моделировании.
Методы построения при формировании объектов.
Двумерные и трехмерные матричные преобразования при однородном координатном
воспроизведении.
5. Методы проектирования трехмерных объектов.
6. Освещение пучком лучей и формирование теней объектов.
7. Растровая графика. Связность множеств пикселей. Алгоритм Брезенхема.
1.
2.
3.
4.
8. Методы растровой развертки: в реальном времени, групповое кодирование, клеточное
кодирование.
9. Алгоритмы заполнения контуров.
10. Методы устранения ступенчатости.
11. Алгоритмы отсечения.
12. Алгоритмы удаления невидимых линий и поверхностей.
13. Методы расчета освещенности объектов.
Программные системы машинной графики
1. Восприятие яркостной и цветовой информации. Цветовое зрение. Яркостная
чувствительность.
2. Цветовые системы. Аддитивный цветовой синтез и цветовая система RGB.
Субтрактивный цветовой синтез и цветовая система CMYK.
3. Цветовая система HSV и цветовой график МКО.
4. Оцифровка изображений.
5. Сжатие видеоданных без потерь.
6. Сжатие изображений с потерями.
7. Сжатие цифровых видеосюжетов.
8. Устройства для цифрового ввода изображений. Сканеры: типы, функции,
характеристики, возможности. Видео АЦП.
9. Обработка оцифрованной информации. Технология OCR.
10. Хранение видеоданных. Форматы файлов для хранения изображений.
11. Устройство отображения графических изображений. Вывод оцифрованных
изображений на экран компьютера.
12. Методы печати: полутоновая печать, приращение тоновой плотности при печати,
значение правильного выбора разрешения изображения, цветная печать.
13. Основы 3D- графики. Возможности ускорения 3D -графики.
14. Обработка оцифрованных изображений: разрешение, муар-эффект, сглаживание,
оптимизация яркости и контрастности, выбор цветовых моделей.
Теория Автоматов и Алгоритмов
16. Определение конечного автомата (КА).
17. Способы задания КА в виде таблицы и в виде графа.
18. Автоматные отображения.
19. Эквивалентность автоматов.
20. Минимизация автоматов.
21. Автоматы Мили и Мура.
22. Построение эквивалентного автомата Мура по заданному автомату Мили.
23. Регулярные множества (РМ) и регулярные выражения (РВ).
24. Проверка цепочек символов на вхождение в РМ, заданное РВ.
25. Синтез автоматов на основе регулярных выражений.
26. Определение и свойства алгоритма.
27. Универсальные алгоритмические модели.
28. Машина Тьюринга.
29. Универсальная машина Тьюринга.
30. Тезис Чёрча-Тьюринга.
31. Рекурсивные функции.
32. Нормальные алгоритмы Маркова.
Программное обеспечение систем обмена данными
14. Синтаксис языка Си++. Операторы, выражения и управляющие конструкции.
15. Функции в Си++.
16. Передача параметров по значению, указателю, ссылке.
17. Правила перегрузки функций.
18. Средства объектно-ориентированного программирования (ООП) в языке Си++.
19. Концепции инкапсуляции, наследования и полиморфизма.
20. Класса и объявление классов.
21. Атрибуты доступа к методам и свойствам класса.
22. Виды конструкторов и деструкторы.
23. Перегрузка методов класса и операторов.
24. Динамическое выделение памяти. Операторы new и delete.
25. Исключения и их обработка.
26. Стандартная библиотека языка Си++.
27. Элементы стандартной библиотеки шаблонов (STL).
28. Основные контейнеры STL и их представление в памяти.
29. Алгоритмическая сложность основных операций над контейнерами.
30. Концепции итераторов.
Основы теории информационных сетей
11. Виды сетей передачи данных. Сети с коммутацией каналов и коммутацией пакетов.
12. Модель Open Systems Interconnection (OSI). Уровни модели OSI.
13. Физические и логические топологии сетей.
14. Стек протоколов TCP/IP. Уровни TCP/IP и их соответствие уровням OSI.
15. Протокол IP. Назначение и принципы функционирования.
16. Адресация различных уровней TCP/IP.
17. Адресация IPv4. Классовая и бесклассовая (Classless InterDomain Routing — CIDR)
адресации.
18. Маска сети, адрес сети и широковещательный адрес сети.
19. Основные протоколы транспортного уровня TCP/IP — TCP, UDP. Назначение и
принципы функционирования.
20. Протокол DNS. Назначение и принципы функционирования.
21. Протоколы шифрования SSL, TLS. Назначение и принципы функционирования.
22. Почтовые протоколы POP3, SMTP, IMAP. Назначение и принципы
функционирования.
Архитектура ЭВМ и системное программное обеспечение
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Основные задачи современных информационных систем.
Аппаратная поддержка мультизадачного режима.
Основные виды мультизадачности.
Ядро ОС и процессы, виды прерываний, системные вызовы.
Управление оперативной памятью: решаемые проблемы, виртуальная память,
подкачка.
Основные модели виртуальной памяти.
Управление внешними устройствами: абстрагирование и координация, понятие
драйвера.
Драйверы устройств и контроллеры устройств: два основных способа
взаимодействия операционной системы с контроллером устройства.
Буферизация ввода-вывода, синхронный и асинхронный режим работы.
Базы данных
1. Типы баз данных. Свойства БД. Основы проектирования баз данных различного типа.
2. Модели баз данных
3. Операции реляционной алгебры
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Реляционное исчисление
Проблемы проектирования реляционных БД
Проектирование БД методом нормальных форм
Обеспечение целостности БД
Язык запросов SQL
СУБД, их общая характеристика. Области применения.
Прикладное программное обеспечение
1. Основные сведения о программировании
на Visual Basic для приложений.
1. Сохранение кода в модулях и проектах.
2. Соглашения по именованию в VBA.
3. Создание процедуры VBA: процедуры Sub, Function, Property; автоматическая запись
процедуры; создание процедуры в редакторе Visual Basic; структура процедуры.
Рекомендации по вводу кода.
4. Инструкции, функции и выражения. Рекомендации по стилю программирования.
Объектно-ориентированное программирование в VBA.
5. Инструкции управления потоком: If…Then…Else; Select Case; цикл Do…Loop; циклы
For…Next, For Each…Next; инструкция With…End With.
6. Инструкции безусловного выхода из блока: Exit Do, Exit For; Exit Function, Exit
Property, Exit Sub.
7. Вызов подпрограмм и функций: передача параметров при вызове по значению (By
Val), по ссылке (By Ref).
8. Переменные, типы данных и константы.
9. Область определения и время жизни переменных.
10. Основные сведения об объектах. Использование свойств. Использование методов.
2. Программирование в приложениях средствами VBA.
Объекты в VBA. Синтаксис объектов VBA: синтаксис свойства; синтаксис метода.
Программирование объектов приложения. Описание и создание экземпляров объектов.
Создание модулей класса: создание свойств; создание методов.
Использование элементов управления в приложениях VBA.
Программирование полей: установка и получение содержимого поля; запрет доступа к
полю; получение выделенного текста в поле; установка выделенного текста в поле;
установка размеров поля.
6. Использование надписей: задание текста надписи.
7. Программирование кнопок: нажатие кнопки; изменение состояния кнопки.
8. Программирование списков: задание числа выделенных элементов списка; добавление
элементов списка; определение выделенного элемента списка; определение
нескольких выделенных элементов списка; удаление элементов списка.
9. Программирование полей со списком: выбор типа поля со списком; заполнение поля
со списком; установка и получение значения поля со списком.
10. Использование флажков: определение состояния флажка.
11. Использование переключателей: определение выбранного переключателя.
12. Использование рамки: установка заголовка рамки.
13. Программирование счетчика:
14. Программирование выключателя.
15. Использование наборов вкладок и полос прокрутки.
16. Применение дополнительных элементов управления.
17. Отладка программы и обработка ошибок как часть процесса разработки программы.
Типы ошибок.
1.
2.
3.
4.
5.
18. Использование инструкции Option Explicit. Пошаговое выполнение программы. Режим
прерывания. Использование окна отладки. Задание и использование точек останова.
19. Обработка ошибок выполнения. Перехватываемые ошибки. Компоненты системы
перехвата ошибок: инструкция OnError; подпрограмма обработки ошибки; объект Err;
инструкция Resume; инструкция Exit.
20. Формы инструкции On Error: On Error GoTo метка; On Error Resume Next; On Error
GoTo 0.
21. Свойства и методы объекта Err.
3. Программирование приложений MS Office на VBA.
1. Объектная модель приложения Access: объекты DoCmd, Screen, Form, Report, Control,
Module - свойства и методы
2. Применение стандартных функций для работы со строками: Len, InStr, Left, Right,
Mid,
LTrim, RTrim, Trim
3. Применение функции Nz
4. Применение инструкции Option Base Statement
5. Применение декларации ParamArray
6. Свойство Section объектов Form, Report
7. Ссылки на семейства, объекты и свойства
8. Присваивание значения объектной переменной - инструкция Set
Рекомендуемая литература.
1. Пол Санна и др. Visual Basic для приложений в подлиннике. Пер. с англ. - СПб.: BHV Санкт - Петербург,1997.
2. Король В.И. Visual Basic.NET, Visual Basic 6.0, Visual Basic for Applications 6.0. Языки
программирования. Справочник с примерами. Издательство: КУДИЦ – ОБРАЗ, 2002.
3. Андерсен В. Базы данных Access: Проблемы и решения. Практическое пособие.
Издательство: ЭКОМ, 2001.
4. Кен Гетц, Майк Гилберт. Программирование на Visual Basic 6 и VBA. Руководство
разработчика: Пер. с англ. – К.: Издательская группа BHV, 2001.
5. Интерактивная электронная справочная система MS OFFICE.
6. Джелен Б., Сирстад Т. VBA и макросы Microsoft Office Excel 2007. Издательство:
Вильямс, М., 2008.