КЭС по подготовке к огэ

№
п\п
КЭС подготовки к ОГЭ
Тема
Числа и вычисления
Натуральные Натуральные числа — числа, которые человек использует при счете предметов
(например: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.).
числа
Римская система счисления
Десятичная
Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является
система
римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:
счисления.
I обозначает 1,
Римская
V — 5,
нумерация
X — 10,
Арифметичес
L — 50,
кие действия
C — 100,
над
натуральными D — 500,
M — 1000
числами
Сложение.
Cлагаемое + Слагаемое = Сумма
Умножение.
Множитель * Множитель = Произведение
Вычитание.
Уменьшаемое - Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть
больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
Деление.
Делимое : Делитель = Частное (Остаток).
Степень с
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется
натуральным
произведение n множителей, каждый из которых равен a:
показателем
а^n =
В выражении а^n
- число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени
- число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем
степени
Например:
25 = 2·2·2·2·2 = 32,
здесь:
2 – основание степени,
5 – показатель степени,
32 – значение степени
Отметим, что основание степени может быть любым числом.
Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это
действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не
содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй
(умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается
прежним, а показатели степеней складываются
am · an = am + n
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а
показатели степеней вычитаются
1
am : an = am — n ,
где, m > n,
При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней
перемножаются.
(am )n
= a m·
n
При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
(a · b)n = an · b m ,
При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель
(a
Делимость
натуральных
чисел.
Простые и
составные
числа,
:b)n = an : bn
Делимость натуральных чисел
Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.
Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.
Число n называется простым, если его делителями являются
только единица и само число n.
Множество простых чисел:{2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}
Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общих
делителей, кроме единицы.
Составное число. Если число имеет более двух делителей, то его называют
составным.
Число 1 не является ни простым, ни составным.
разложение
натурального
числа на
простые
множители
Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в
виде произведения простых чисел.
Пример: Разложить на простые множители число 270
Решение:
270 2
135 3
45 3
15 3
5
5
1
270=2 3 3 3 5
Признаки
делимости на
2, 3, 5, 9, 10
Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся
на) 2,4,6,8,0, называются четными.
На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.
На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3.
Например:
39 (3 + 9 = 12; 12 : 3 = 4);
На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых
составляют нули или число, кратное 4. Например:
124 (24 : 4 = 6);
На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0.
Например: 125; 10 720.
На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3
одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126
(б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9 : 3 = 3).
2
На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9.
Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18 : 9 = 2).
На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0. Например: 30;
980; 1 200; 1 570.
На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр,
занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные
места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест
кратна 11. Например:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);
На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых — нули
или составляют число, кратное 25. Например:
2 300; 650 ( 50 : 25 = 2);
Наибольший
общий
делитель и
наименьшее
общее кратное
Деление с
остатком
Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел m и n
называется наибольший из их общих делителей, то есть наибольшее
число, на которое m и n делятся без остатка. Чтобы найти наибольший
общий делитель (НОД) нескольких чисел, надо:
1) Представить каждое число как произведение его простых множителей,
например:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5;
2) Записать степени всех простых множителей:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 51;
3) Выписать все общие простые множители этих чисел;
4) Выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех
произведениях;
5) Перемножить эти степени.
Наименьшим общим кратным (НОК) двух целых чисел m и n называется
наименьшее натуральное число, которое делится и на m, и на n.
Деление с остатком
где n – делимое, m - делитель, k - частное, r –
Любое число можно представить в виде:
n = 2k + r, где r = {0; 1}
или n = 4k + r, где r = {0; 1; 2; 3}
Дроби
Обыкновенна
я дробь,
основное
свойство
дроби.
Сравнение
дробей
Обыкновенные дроби – это записи вида
числа.
Числитель обыкновенной дроби
Знаменатель обыкновенной дроби
(или m/n), где m и n – любые натуральные
– это натуральное число m.
– это натуральное число n.
черту дроби можно понимать как знак деления, то есть,
=m:n.
основное свойство дроби:
Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то
же натуральное число, от чего величина дроби не изменяется.
3
Чтобы сравнить, сложить или вычесть обыкновенные дроби с разными
знаменателями, их нужно вначале привести к одинаковому (одному)
знаменателю.
Арифметичес
кие действия с
обыкновенны
ми дробями
Чтобы перемножить дроби, надо перемножить отдельно их числители и
знаменатели, первое произведение взять числителем, а второе знаменателем.
Чтобы перемножить смешанные дроби, надо каждую смешанную дробь вначале
перевести в неправильную дробь, а потом перемножить по правилу умножения
правильных н неправильных дробей
Чтобы разделить обыкновенную дробь, надо числитель делимого умножить на
знаменатель делителя, а знаменатель делимого умножить на числитель делителя.
Первое произведение взять числителем, а второе — знаменателем.
Чтобы разделить обыкновенные дроби, можно делимое умножить на дробь,
обратную делителю.
Чтобы выполнить деление смешанных дробей, надо сначала перевести смешанную
дробь в неправильную, а затем использовать правило деления дробей.
Нахождение
части от
целого и
целого по его
части
Чтобы найти дробь от числа, надо число умножить на эту дробь.
Чтобы найти число по его дроби, надо число представляющее дробь, разделить на
Десятичная
дробь,
сравнение
десятичных
дробей
эту дробь
Существует особый вид дробей — десятичные дроби. Выглядят они так: 5,6 ; 3,17 ;
0,17 и т.д. На самом деле это особая запись обыкновенных дробей , у которых
знаменатель равен 10, 100,1000,10000 и т.д. Такие дроби договорились записывать
без знаменателя.
4
Чтобы сравнить десятичные дроби нужно:
Убедиться, что у обеих десятичных дробей одинаковое количество знаков (цифр)
справа от запятой. Если нет, то дописываем (убираем) нужное количество нулей в
одной из десятичных дробей.
Сравниваем десятичные дроби слева направо. Целую часть с целой, десятые с
десятыми, сотые с сотыми и т.д.
Когда одна из частей десятичной дроби (целая часть, десятые, сотые и т.д.)
окажется больше чем в другой дроби, эта дробь и больше.
Арифметичес Сложение десятичных дробей выполняется по правилам сложения в столбик.
кие действия с При сложении десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы
десятичными одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. При этом
дробями
запятые должны стоять чётко друг под другом.
Складывают десятичные дроби в столбик как натуральные числа, не обращая
внимания на запятые.
В ответе запятую ставим под запятыми в исходных дробях.
Вычитание десятичных дробей производим по правилам вычитания в столбик
натуральных чисел.
Основные правила вычитания десятичных дробей.
Уравниваем количество знаков после запятой.
Записываем десятичные дроби друг под другом так, чтобы запятые были друг под
другом.
Выполняем вычитание десятичных дробей, не обращая внимания на запятые, по
правилам вычитания в столбик натуральных чисел.
Ставим в ответе запятую под запятыми.
Умножение десятичных дробей происходит в три этапа.
Десятичные дроби записывают в столбик и умножают как обыкновенные числа.
Считаем количество знаков после запятой у первой десятичной дроби и у второй.
Их количество складываем.
В полученном результате отсчитываем справа налево столько же цифр, сколько
получилось их в пункте выше и ставим запятую.
Для деления десятичной дроби на натуральное число пользуемся следующими
правилами.
5
Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не
обращая внимание на запятую.
Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.
Делить десятичные дроби друг на друга можно разными способами. По традиции,
небольшой план действий:
Определяем дробь с наибольшим количеством знаков (цифр) справа от запятой.
Умножаем обе десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д., чтобы превратить
десятичные дроби в целые числа.
Делим обыкновенные числа по правилам деления в столбик и записываем ответ.
На нуль делить нельзя!
Представлени
е десятичной
дроби в виде
обыкновенной
дроби и
обыкновенной
в виде
десятичной
Десятичную дробь представляют в виде обыкновенной дроби, записав ее со
знаменателем. При этом число целых искомой обыкновенной дроби равно числу
целых десятичной дроби. В числителе искомой дроби пишем цифры, стоящие
после запятой (десятичные знаки), а в знаменателе записываем 1 с количеством
нулей, которое равно количеству десятичных знаков. Далее, если возможно,
производят сокращение дроби.
Если десятичные знаки начинаются нулями, их в числитель обыкновенной дроби
писать не нужно.
Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на
знаменатель.
Рациональные числа
Целые числа
Целые числа – это натуральные числа, число нуль, а также числа,
противоположные натуральным.
Любое натуральное число является целым, но не любое целое число является
натуральным.
Целые положительные числа - это целые числа со знаком плюс.
Целые отрицательные числа – это целые числа со знаком минус.
6
Модуль
(абсолютная
величина)
числа
Число нуль (число 0) не является ни целым положительным, ни целым
отрицательным числом.
Целые положительные числа – это целые числа, которые больше нуля.
Целые отрицательные числа – это целые числа, которые меньше нуля.
Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа x — неотрицательное число, определение
которого зависит от типа числа x. Обозначается: ~|x|.
Сравнение
рациональных
чисел
Сравнение двух рациональных чисел, имеющих разные знаки. При этом
используется правило сравнения чисел с разными знаками: любое положительное
число больше любого отрицательного, а любое отрицательное число меньше
положительного.
Сравнение нуля с рациональным числом, отличным от нуля. При этом справедливо
правило: любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число
меньше нуля.
Сравнение положительных рациональных чисел следует начинать со сравнения их
целых частей. При этом используется следующее правило: больше то число, целая
часть которого больше, а меньше то число, целая часть которого меньше.
Сравнение отрицательных рациональных чисел подчиняется правилу сравнения
отрицательных чисел: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого
меньше, и меньше то, модуль которого больше.
Арифметичес
кие действия с
рациональным
и числами
Правило сложения рационального числа с нулем: прибавление нуля к любому
числу дает это же число. С помощью букв это правило записывается так: a+0=a для
любого рационального a, а в силу переместительного свойства сложения
рациональных чисел также справедливо равенство 0+a=a.
Сложение противоположных рациональных чисел: сумма противоположных чисел
равна нулю. В буквенном виде это правило имеет такую запись: a+(−a)=0, для
любого рационального a.
Правило сложения чисел с разными знаками. Чтобы сложить положительное и
отрицательное число, надо:
 найти модули слагаемых;
 сравнить полученные числа, при этом
если полученные числа равны, то исходные слагаемые являются
противоположными числами, и их сумма равна нулю,
если же полученные числа не равны, то надо запомнить знак числа, модуль
которого больше;
 из большего модуля вычесть меньший;
перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого
больше.
Определение. (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю,
считается число, обратное n-й степени числа а:
Степень с
целым
показателем
Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степеней с
любым показателем.
7
Числовые
выражения,
порядок
действий в
них,
использование
скобок.
Законы
арифметическ
их действий
Квадратный
корень из
числа
первая ступень — сложение и вычитание,
вторая ступень — умножение и деление.
При нахождении значения выражения действия выполняются
в следующем порядке:
1. В выражении отсутствуют скобки, и оно включает в себя действия
только одной ступени, то тогда все операции выполняются по порядку слева на
право.
2. Если в выражении отсутствуют скобки, и присутствуют действия двух
ступеней. Тогда в первую очередь выполняются действия второй ступени, а во
вторую действия первой ступени.
3. Если выражение содержит скобки, то действия в скобках
выполняются в первую очередь. Остальные действия выполняются
в соответствии с правилами 1. и 2.
Действительные числа
Квадратный корень из числа a - это НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число, квадрат
которого равен a.
Число под знаком арифметического квадратного корня называют подкоренным
числом, а выражение под знаком корня – подкоренным выражением, при этом
термин «подкоренное число» часто заменяют на «подкоренное выражение».
Например, в записи число 151 – это подкоренное число, а в записи выражение a
является подкоренным выражением.
Свойства квадратных корней
если а ≥ 0 и b > 0;
если а ≥ 0 и n — натуральное
число;
если а ≥ 0 и n — натуральное
число.
Нахождение
Для примера, попробуем вычислить корень из числа 2, с точностью до 0.01, то есть
приближенног до двух знаков после запятой.
о значения
Будем рассуждать следующим образом. Число √2 больше 1, так как
12 < 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 22 больше 2. Следовательно,
корня
десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,… То есть
корень из двух, это единица с чем-то. 1< √2 < 2.
Теперь попытаемся отыскать цифру десятых. Для этого будем дроби от единицы
до двойки возводить в квадрат, пока не получим число большее двух. Шаг деления
возьмем 0,1, так как мы ищем число десятых. Другими словами будем возводить в
квадрат числа: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9
1,12 =1,21; 1,22=1,44; 1,32=1,69; 1,42=1,96; 1,52=2,25.
Получи число превышающее двойку, остальные числа уже не надо возводить в
квадрат. Число 1,42 меньше 2, а 1,52 уже больше двух, то число √2 должно
принадлежать промежутку от 1,4 до 1,5 (1,4< √2 < 1,5). Следовательно, десятичная
запись числа √2 в разряде десятых должна содержать 4. √2=1,4… . Иначе говоря,
√2 это число большее 1.4, но не превышающее 1.5.
Далее ищем цифру сотых, точно таким же образом. Возводим в квадрат числа от
1,41 до 1,49, с шагом 0,01, пока не получим число большее двух.
8
1,412=1,9881, 1,422=2,0164.
Уже при 1.42 получаем, что его квадрат больше двух, далее возводить в квадрат
числа не имеет смысла.
Из этого получаем, что число √2 будет принадлежать промежутку от 1,41 до 1,42
(1,41< √2
Так как нам необходимо записать √2 с точностью до двух знаков после запятой, то
мы уже можем остановиться и не продолжать вычисления. √2 ≈ 1,41. Это и будет
ответом. Если бы необходимо было вычислить еще более точное значение, нужно
было бы продолжать вычисления, повторяя снова и снова цепочку рассуждений.
Понятие об
иррациональн
ом числе.
Десятичные
приближения
иррациональн
ых чисел.
Числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные
непериодические десятичные дроби, называются иррациональными числами.
Иррациональными числами НЕ являются:
натуральные числа;
целые числа;
обыкновенные дроби;
смешанные числа;
конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.
Понятие десятичных приближений иррациональных чисел с недостатком и с
избытком на конкретном примере. Для этого рассмотрим иррациональное число
Последовательностью десятичных приближений числа
с недостатком
называют последовательность конечных десятичных дробей, которая получится,
если у числа
отбросить все десятичные знаки, начиная, сначала с первого
десятичного знака, затем со второго десятичного знака, потом с третьего
десятичного знака и т.д.
9
Проценты.
Нахождение
процента от
величины и
величины по
её
проценту
Процент — это сотая часть числа (величины). После числа вместо слова
«процент» ставят знак %.
1% =0,01
Выразим проценты десятичной дробью:
34%=0,34
7% =0,07,
17% =0,017
123%=1,23
Найдём 18% от 300.
Сначала найдём 1% от числа 300.
300:100=3
Полученное число умножим на число процентов.
3⋅18=54
Итак: 18%от300=54. Или 18%от300
0,18⋅300=54.
Чтобы найти процент от числа, надо:
1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью;
2) умножить данное число на эту дробь.
Чтобы найти число по его проценту, надо:
1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью;
2) разделить данное число на полученную дробь.
Отношение,
выражение
отношения в
процентах
Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов
на 100.Например, 125% = 125:100 = 1,25%
Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо ее умножить на 100.
Например, 0,971 = 0,971·100 = 97,1%
Нахождение процентного отношения чисел.
Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить
на 100%:
.
Пропорция.
Пропорциона
льная и
обратно
пропорционал
ьная
зависимости
Округление
чисел.
Прикидка
Равенство двух отношений называют пропорцией.
В верной пропорции произведение крайних членов равно
произведению средних.
Если в верной пропорции поменять местами средние члены или
крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.
2 : 16 = 18 : 24 ;
12 : 18 = 16 : 24 ;
24 : 16 = 18 : 12;
Две величины называют прямо пропорциональными,
если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз
другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Две величины называют обратно пропорциональными,
если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз
другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
В результате округления получается приближённое значение величины.
При округлении числа до некоторого разряда все цифры последующих разрядов
заменяются нулями.
Цифра разряда, до которого выполняется округление, остаётся без изменения, если
в округляемом числе за ней следует одна из цифр:
0,1,2,3,4,
а если за ней следует цифра 5,6,7,8,9, то к цифре разряда, до которой округляли,
прибавляется 1.
Когда не требуется точное значение числового выражения, округляют его
компоненты и выполняют действия с приближёнными значениями.
10
Буквенные
выражения
(выражения с
переменными)
Числовое
значение
буквенного
выражения
Допустимые
значения
переменных,
входящих в
алгебраически
е выражения
Такую операцию называют прикидкой результата действия.
Выражение, содержащее буквы, которыми обозначены некоторые числа,
называется буквенным выражением.
Выражение с переменными – это буквенное выражение, в котором буквы (все или
некоторые) обозначают величины, принимающие различные значения.
Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и
выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется
значением алгебраического выражения.
Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет
смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).
Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не
будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает
знаменатель дроби в нуль!
Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.
Ответ: выражение 2)
не имеет смысла при х = 4.
Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х
= -2. .
Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.
Равенство
буквенных
выражений,
тождество.
Преобразован
ия
выражений
Свойства
степени с
целым
показателем
Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых
значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.
Тождество – это равенство, справедливое при всех допустимых значениях
входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются,
например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением,
называют тождественным преобразованием или просто преобразованием
выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными
выполняются на основе свойств действий над числами.
для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b, а также любых целых
чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями:
am·an=am+
n;
am:an=am−
n;
если m и n – целые
числа, причем m>n,
то
при 0<a<1 справедли
во неравенство
am<an, а
если n – целое
при a>1 выполняется
неравенство am>an.
то an<bn и a−n>b−
(am)n=am·n;
(a:b)n=an:bn;
положительное
число, a и b –
положительные
числа,
причем a<b,
n
;
11
При a=0 степени am и anим
еют смысл лишь когда и m,
и n положительные целые
числа, то есть, натуральные
числа. Таким образом,
только что записанные
свойства также
справедливы для случаев,
когда a=0, а числа m и n –
целые положительные.
Многочлены
Многочлен – это сумма одночленов.
Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена.
Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, из трех членов –
трехчленом. А одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.
Чтобы решить многочлен, надо свести подобные члены.
Сложение многочленов.
Сложим многочлены 5х2 + 7х – 9 и – 3х2 – 6х + 8. Для этого выделим их в скобки,
затем раскроем скобки и приведем подобные члены:
(5х2 + 7х – 9) + (–3х2 – 6х + 8) = 5х2 + 7х – 9 – 3х2 – 6х + 8 =
= 5х2 – 3х2 + 7х – 6х – 9 + 8 = 2х2 + х – 1.
Вычитание многочленов.
При вычитании многочленов важно помнить, что после раскрытия скобок знаки во
втором многочлене меняются на противоположные.
(a·b)n=an·
bn;
Многочлен.
Сложение,
вычитание,
умножение
многочленов
Вычтем из многочлена х3 + 5х2 – х + 8 многочлен х3 – 7х – 1. Для этого выделим их
в скобки, затем раскроем их, учитывая знак минус перед вторым многочленом, и
приведем подобные члены:
(х3 + 5х2 – х + 8) – (х3 – 7х – 1) = х3 + 5х2 – х + 8 – х3 + 7х + 1 =
= х3 – х3 + 5х2 – х + 7х + 8 + 1 = 5х2 + 6х + 9.
Произведение многочленов.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена
умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения
сложить.
Умножим многочлен a + b на многочлен c + d:
(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd.
12
Формулы
сокращенного
умножения:
квадрат
суммы и
квадрат
Алгебраическ
ая дробь.
Сокращение
дробей
Действия с
алгебраически
ми дробями
Рациональные
выражения и
их
преобразован
ия
Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить ее числитель и
знаменатель на общий множитель. Но если общим множителем числителя и
знаменателя обыкновенной дроби может быть только число, то общим
множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может быть
многочлен, в частности, одночлен или число.
Чтобы сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно
сложить числители, а знаменатель оставить прежним.
Для сложения алгебраических дробей с разными знаменателями действовать
нужно по следующему правилу: привести их к общему знаменателю, после чего
сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Вычитание алгебраических дробей – выполняется аналогично сложению. Если
знаменатели исходных алгебраических дробей одинаковые, то нужно просто
выполнить вычитание многочленов в числителях, а знаменатель оставить прежним.
Если же знаменатели различны, то сначала выполняется приведение к общему
знаменателю, после чего выполняется вычитание полученных дробей с
одинаковыми знаменателями.
Чтобы умножить алгебраические дроби нужно отдельно перемножить числители, и
отдельно – знаменатели.
Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь
умножить на дробь, обратную второй.
Правило возведения алгебраической дроби в степень: нужно в эту степень
отдельно возвести числитель, и отдельно – знаменатель.
Выражения, составленные из чисел, переменных, скобок, степеней с целыми
показателями, соединенных с помощью знаков арифметических действий +, −, · и :,
где деление может быть обозначено чертой дроби, называются рациональными
выражениями.
Рациональные выражения, содержащие деление на выражение с переменными,
которые называют дробными рациональными выражениями. При этом особое
внимание уделяется так называемым рациональным дробям (их также называют
алгебраическими дробями), то есть дробям, в числителе и знаменателе которых
находятся многочлены. Это в итоге дает возможность выполнять преобразование
рациональных дробей.
Уравнения и неравенства
Уравнения
Уравнение с Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.
одной
Уравнения с одной, двумя, тремя и т.д. переменными – это уравнения, содержащие
переменной,
в своей записи одну, две, три, … неизвестные переменные соответственно.
13
корень
уравнения
Линейное
уравнение
Квадратное
уравнение,
формула
корней
квадратного
уравнения
Корень уравнения – это такое значение буквы (переменной), при подстановке
которого уравнение обращается в верное числовое равенство.
Уравнение вида a·x=b, где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется
линейным уравнением с одной переменной.
Квадратное уравнение – это уравнение вида a·x2+b·x+c=0, где x –
переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a отлично от нуля.
Числа a, b и c называют коэффициентами квадратного
уравнения a·x2+b·x+c=0, причем коэффициент a называют первым, или
старшим, или коэффициентом при x2, b – вторым коэффициентом, или
коэффициентом при x, а c – свободным членом.
Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1, называют
приведенным квадратным уравнением. В противном случае квадратное уравнение
является неприведенным.
Квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0, называют неполным, если хотя бы один
из коэффициентов b, c равен нулю.
Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого все коэффициенты
отличны от нуля.
три вида неполных квадратных уравнений:
a·x2=0, ему отвечают коэффициенты b=0 и c=0;
a·x2+c=0, когда b=0;
a·x2+b·x=0, когда c=0.
формулу корней квадратного уравнения:
называемый дискриминант квадратного уравнения.
, где D= b2−4·a·c – так
Алгоритм решения рационального уравнения
Решение
рациональных
уравнений
Уравнение с
двумя
переменными;
решение
уравнения с
двумя
переменными
1. Перенести все члены уравнения в одну часть.
2. Преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби p(x)q(x)
3. Решить уравнение p(x)=0
4. Для каждого корня уравнения p(x)=0 сделать проверку: удовлетворяет ли он
условию q(x)≠0 или нет. Если да, то это корень заданного уравнения; если нет, то
это посторонний корень и в ответ его включать не следует.
Линейное уравнение с двумя переменными - любое уравнение, которое имеет
следующий вид: ax + by =с. Здесь x и y есть две переменные, a,b,c – некоторые
числа. 10x + 25y = 150;
Решением линейного уравнения ax + by = с , называется, любая пара чисел (x,y)
которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с
переменными x и y в верное числовое равенство.
Каждое линейное уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много
различных решений. То есть существует бесконечно много различных двух чисел х
и у, которые обращают линейное уравнение в верное тождество.
14
Система
уравнений;
решение
системы
Система двух
линейных
уравнений с
двумя
переменными;
решение
подстановкой
и
алгебраически
м сложением
Числовые
неравенства и
их свойства
Система уравнений - это два или несколько уравнений, для которых необходимо
найти все их общие решения. Обычно для записи системы уравнений, их
записывают в столбик и рисуют одну общую фигурную скобку.
{ 4x + 3y = 6
{ 2x + y = 4
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел
(x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из
уравнений системы обращается в верное равенство.
Алгоритм решения способом сложения
1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты
при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.
2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с
одним неизвестным
3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из
переменных.
4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и
решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.
5. Сделать проверку решения.
Алгоритм решения способом подстановки:
1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из
него одну переменную через другую, например, x через y. (можно и y через x).
2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в
другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной
неизвестной.
3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение.
4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте,
получаем вторую неизвестную из решения.
5. Выполнить проверку полученного решения.
Неравенства
Если разность a – b положительное число, то a > b.
Если разность a – b отрицательное число, то a < b.
1) Если a > b, то b < a. Если a < b, то b > a.
2) Если a < b и b < c, то a < c.
3) Если a < b и при этом c – любое число, то a + c < b + c.
4) Если a < b и при этом c – положительное число, то ac < bc.
Если a < b и при этом c – отрицательное число, то ac > bc.
5) Если a < b и c < d, то a + c < b + d.
6) Если a < b и c < d, где a, b, c, d – положительные числа, то ac < bd.
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же
положительное число, то получится верное неравенство.
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же
отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то
получится верное неравенство.
Если a и b – положительные числа
15
Неравенство с
одной
переменной.
Решение
неравенства
Решение неравенства с одной переменной - это значение переменной, при котором
неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство с одной переменной означает найти все его решения или
доказать, что решений нет.
Решения неравенств с одной переменной метод интервалов:
Если неравенство имеет вид f(x)=(x−x1)(x−x2)⋅⋯⋅(x−xn)>0(<0) , то в каждом из
промежутков, на которые область определения разбивается точками 𝑥1x2,...,xn, знак
функции сохраняется, а при переходе через каждую из точек x1,x2,...,xn ее знак
меняется.
Линейные
неравенства с
одной
переменной
Если переменной х придать какое-либо числовое значение, то мы получим
числовое неравенство, выражающее либо истинное, либо ложное высказывание.
Пусть,
например, дано неравенство 5х-1>3х+2. При х=2 получим 5·2-1>3·2+2 – истинное
высказывание (верное числовое высказывание); при х=0 получаем 5·0-1>3·0+2 –
ложное высказывание.
Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной
обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства.
Решить неравенство с переменной – значит найти множество всех его решений.
Два неравенства с одной переменной х называются равносильными, если
множества решений этих неравенств совпадают.
Основная идея решения неравенства состоит в следующем: мы заменяем данное
неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное
неравенство снова заменяем более простым равносильным ему неравенством и т.д.
Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.
1. Если какой-либо член неравенства с одной переменной перенести из одной части
неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения
знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
2. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на
одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак
неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
3. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на
одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на
противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
Линейным называется неравенство вида ax+b>0 (соответственно ax+b<0, ax+b³0,
ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств
основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.
Системы
линейных
неравенств
Система и совокупности неравенств.
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если
ставится задача найти множество общих решений заданных неравенств.
Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в
верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.
16
Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений
неравенств, образующих систему. Неравенства, образующие систему,
объединяются фигурной скобкой.
Квадратные
неравенства
Если взять любое квадратное уравнение и заменить в нём знак "=" (равно) на
любой значок неравенства (> ≥ < ≤ ≠), получится квадратное неравенство.
Например:
x2-8x+12 ≥ 0
или
-x2+3x > 0
x2≤ 4
Квадратные неравенства можно решать двумя способами.
Один способ - это метод интервалов.
Второй способ - использованием парабол
Алгоритм решения квадратных неравенств.
1. Подготавливаем неравенство к решению путём тождественных преобразований.
Если неравенство уже готово, этот пункт пропускаем.
2. Делаем из неравенства уравнение. Решаем его, находим корни.
3. Рисуем ось Х, отмечаем точками корни уравнения. Если исходное неравенство
нестрогое, точки - черные (закрашенные). Если строгое - белые (пустые внутри).
4. Схематично рисуем параболу по исходному выражению.
5. Определяем области +/- на рисунке. Выбираем нужные области по исходному
неравенству и записываем ответ.
Решение
текстовых
задач
арифметическ
им способом
Решение
текстовых
задач
алгебраически
м способом
Числовые
функции
Текстовые задачи
Задачи, в которых зависимость между условием и требованием сформулирована
словами, называются текстовыми. При этом главным отличием задачи от примера
является не только наличие текста, но и наличие части условия или требования,
выраженного на естественном (нематематическом) языке.
Под текстовой задачей понимают такую задачу, в которой речь идёт о реальных
объектах, процессах, связях и отношениях. Реальные процессы – это движение,
работа, наполнение и освобождение бассейнов, покупки, смеси, сплавы и др.
4 основных этапа процесса решения задачи:
1) осмысление текста задачи и анализ её содержания;
2) осуществление поиска решения и составление плана решения;
3) реализация плана решения;
4) анализ найденного решения, поиск других способов решения.
Решение сюжетной задачи алгебраическим методом состоит в последовательной
реализации трех этапов:
- перевод текста задачи на алгебраический язык – составление математической
модели данной сюжетной задачи;
- решение полученной математической задачи – внутримодельное решение;
- ответ на вопрос задачи, перевод полученного результата на язык исходной
ситуации – интерпретация внутримодельного решения.
ФУНКЦИЯ
Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в
соответствие каждому элементу x из множества X определённое число y, то
говорят, что задана функция y=f(x) с областью определения X.
17
Понятие
функции.
Область
определения
функции.
Способы
задания
функции
Областью определения функции y=f(x) называют множество всех значений x , для
которых функция имеет смысл.
Множество всех значений функции y=f(x), x∈X называют областью значений
функции.
Пишут: y=f(x),x∈X
x - независимая переменная (аргумент)
y - зависимая переменная
D(f) - область определения функции
E(f) - область значения функции
Задать функцию - это значит указать правило, которое позволяет по произвольно
выбранному значению x∈D(f) вычислить соответствующие значение y.
Способы задания функции:
Графический: функция задаётся графиком
Если дана функция y=f(x),x∈X и на координатной плоскости xOy отмечены все
точки вида (x;y), где x∈X, а y=f(x), то множество этих точек называют графиком
функции y=f(x),x∈X.
Аналитический: функция задаётся формулой
Табличный: функция задаётся таблицей значений
График
функции,
возрастание и
убывание
функции,
наибольшее и
наименьшее
значения
функции,
нули
функции,
промежутки
знакопостоянс
тва, чтение
графиков
функций
Определение. Функция f возрастает на множестве P, если для любых x1 и x2 из
множества P, таких, что x2>x1, выполнено неравенство f(x2) > f(x1).
Определение. Функция f убывает на множестве P, если для любых x1 и x2 из
множества P, таких, что x2>x1, выполнено неравенство f(x2) < f(x1).
Иначе говоря, функция f называется возрастающей на множестве P, если большему
значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.
Функция f называется убывающей на множестве P, если большему значению
аргумента соответствует меньшее значение функции.
На рисунке ниже изображен график функции, определенной на отрезке [-1;10]. Эта
функция возрастает на отрезках [-1;3] и [4;5], и убывает на отрезках [3;4] и [5,10].
что функция
, определенная на промежутке Х, достигает на нем
своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка а,
принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из Х выполняется
неравенство
.
Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и
наименьшего значений.
Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции
могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если
наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней
точке отрезка,
18
Примеры
графических
зависимостей,
отражающих
реальные
процессы
Функция,
описывающая
прямую
пропорционал
ьную
зависимость,
её график
Пропорциональная зависимость (прямая) выражается формулой у = kх, в которой k
есть постоянное число (коэффициент пропорциональности). Предположим, что k =
2 и мы желаем графически изобразить функцию: у=2х. Для этого дадим
переменному числу х какие-нибудь частные значения, например такие: х = 0, 1, 2,
3,... и вычислим соответствующие значения функции y. Для ясности расположим
те и другие в такой таблице:
Теперь, начертив координатные оси и выбрав единицу длины (положим OQ ),
построим точки О, M, M', М'',..., координатами которых служат значения х и у,
помещенные в нашей таблице.
Так, О будет точка, имеющая координаты х = 0, у = 0, точка М имеет координаты х
= 1, y= 2, и т. д. Сколько бы мы таких точек ни построили, все они должны лежать
на одной и той же прямой.
19
Изменение положения прямой в зависимости от
коэффициента пропорциональности. Построим еще на одном и том же чертеже
прямые, выражающие функции:
у = 1/2 х ;
у=х;
у = 2х,
у которых коэффициенты положительные и притом возрастают.
Линейная
Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве
функция, её
всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное
график,
число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.
геометрическ В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой
ий смысл
есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).
коэффициенто Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой
в
пропорциональностью.
Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая
по оси Oy, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному
направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.
Свойства линейной функции:
1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;
2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось.
Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;
3) Свойством периодичности линейная функция не обладает;
4) Точки пересечения с осями координат:
Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью
абсцисс.
Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
5) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),
y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).
b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),
y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,
k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
6) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.
20
k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,
k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
7) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой
достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости
зависит от значений коэффициентов k и b. Ниже приведена таблица, которая
наглядно это иллюстрирует рисунок 1.
Функция,
описывающая
обратно
пропорционал
ьную
зависимость,
её график.
Гипербола
Функция обратно пропорциональной зависимости (гипербола)
График обратно пропорциональной зависимости — кривая (гипербола), состоящая
из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.
k — коэффициент обратной пропорциональности, действительное число (k≠0).
k>0, функция убывающая, ветви гиперболы расположены в I и III координатных
четвертях.
21
k<0, функция возрастающая, ветви гиперболы расположены во II и IV
координатных четвертях.
Область определения есть множество всех чисел, отличных от нуля, т.е. (−∞;
0)∪(+∞;).
Гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко
приближается
к ним, т.к. х≠0.
Квадратичная функция и ее график
Функция вида
, где
называется квадратичной функцией.
В уравнении квадратичной функции:
a - старший коэффициент
b - второй коэффициент
с - свободный член.
Квадратичная
функция, её
график.
Парабола.
Координаты
вершины
параболы, ось
симметрии
Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для
функции
имеет вид:
Обратите внимание на точки,
Чтобы найти координаты этих точек для
обозначенные зелеными кружками - это,
функции y=x^2, составим таблицу:
так называемые "базовые точки".
Если в уравнении квадратичной функции
старший коэффициент a=1, то график
квадратичной функции имеет ровно такую
же форму, как график функции y=x^2 при
любых значениях остальных
коэффициентов.
график функции y=-x^2 симметричен
графику функции y=x^2 относительно оси
ОХ.
22
Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.
График
функции y
√х
График
функции
y │x│
Рассмотрим функцию y=√x. График этой функции показан на рисунке ниже.
Свойства функции y=√x
1. Область определения функции
явяется луч [0;+∞);
2. y=0 при х=0 из этого следует что
начало координат принадлежит
графику функции; y>0 при x>0, а
значит график располагается в первой
координатной четверти (первом
координатном угле)
3. Функция возрастает на луче [0;+∞);
Другими словами на этом луче,
большему значению аргумента,
соответствует большее значение
функции.
4. Функция имеет наименьшее
значение, и не имеет наибольшего
значения. Данное значение достигается
тогда, когда х=0;
5. Функция непрерывна.
6. Функция выпукла вверх.
7. Область значений функции y=√x
является луч [0;+∞)
Рассмотрим функцию y = |x|. Она определена на всей оси 0x, четная. Ее график
состоит из двух лучей, выходящих из начала координат и направленных по
биссектрисам I и II координатных углов:
23