Лекции по ТФКП часть 1

1. Комплексные числа и действия над ними
1.1. Комплексные числа
Рассмотрим множество всех действительных чисел и поле действительных чисел.
Первое обозначим символом E , второе символом R . Пусть, далее E 2  E  E — декартово
произведение E на себя. Другими словами E 2 — это множество всех упорядоченных
пар z  ( x, y ) , где x  E и y  E .
Два элемента z1  ( x1 , y1 ) и z 2  ( x2 , y2 ) множества E 2 считаются равными тогда и
только тогда, когда
x1  x2 , y1  y 2 .
Определим на E 2 алгебраические операции сложения и умножения следующим
образом.
Суммой
элементов
z1  ( x1 , y1 )  E 2
и
z 2  ( x2 , y 2 )  E 2
называется
элемент
z1  z 2  ( x1  x2 , y1  y2 ) , а произведением элемент z1  z 2  ( x1 x2  y1 y2 , x1 y2  x2 y1 ) .
Непосредственно из определений следует, что введенные операции коммутативны:
z1  z 2  z 2  z1 , z1  z 2  z 2  z1 .
Для
произвольных
элементов
z1 , z 2 , z 3  E 2
справедливы
равенства
( z1  z 2 )  z 3  z1  ( z 2  z 3 ) , ( z1  z 2 ) z 3  z1 ( z 2  z 3 ) т.е. выполняется закон ассоциативности
соответственно по отношению к сложению и умножению. Проверка показывает, что эти
операции подчинены закону дистрибутивности
( z1  z 2 ) z 3  z1 z 3  z 2 z 3 .
Вычитание определяется как операция, обратная сложению, т.е. разностью z1  z 2
называется элемент z 3  ( x 2 , y 2 )  E 2 , обладающий свойством z 2  z 3  z1 .
Если z1  ( x1 , y1 ) , z 2  ( x2 , y2 ) , то z1  z 2  z 3  ( x1  x2 , y1  y 2 ) .
Деление определяется как операция, обратная умножению, т.е. под частным
z1 / z 2 ( z1  (0,0) , z1  ( x1 , y1 ) , z 2  ( x2 , y 2 )) понимается элемент z  ( x, y)  E 2 , обладающий
свойством z  z1  z 2 . Последнее равенство равносильно системе
 x1 x  y1 y  x2

 y1 x  x1 y  y 2
для которой определитель равен x1  y1  0 и, следовательно, система имеет единственное
2
решение, определяемое формулами
2
x
x1 x 2  y1 y 2
x1  y1
2
2
; x
x1 y 2  x 2 y1
x1  y1
2
2
.
Итак, частное от деления z 2  ( x2 , y2 ) на z1  ( x1 , y1 ) определяется равенством
z
Рассмат риваемое
z1
x x  y1 y 2 x1 y 2  x 2 y1
 ( 1 22
,
).
2
2
2
z2
x1  y1
x1  y1
множество
E2
упорядоченных
пар
z  ( x, y ), x, y  E
с
введенными операциями сложения и умножения представляет собой, как видим, поле.
Оно называется полом комплексных чисел и обозначается символом C . Элементы поля C
называются комплексными числами. Роль единицы поля C выполняет комплексное
число
(1,0) .
Действительно,
для
любого
комплексного
числа
( x, y )
имеем
( x, y )(0,1)  ( x, y ) . Множество C R всех комплексных чисел вида ( x,0), x  E образует
подполе поля C . При этом C R изоморфно полю R действительных чисел, т.е. между
элементами полей C R и R . можно установить взаимно однозначное соответствие,
сохраняющееся при операциях сложения и умножения, а значит, вычитания и деления.
Ввиду изоморфизма C R и R естественно, когда речь идет лишь об алгебраической
структуре, отождествлять поля C R и R , отождествляя соответствующие друг другу
элементы (x,0) и x разных полей. Это дает основание вместо (x,0) писать x , т.е.
x  ( x,0), x  E .
Например, (1,0)  1 (0,0)  0 .
Для обозначения упорядоченной пары (0,1) вводится символ i , который будем
называть мнимой единицей. Заметим, что i  i  (0,1)  (0,1)  (1,0)  1 или, что тоже
i 2  1 .
С помощью символа i комплексное число z  ( x, y ) может быть представлено в
алгебраической форме
z  ( x, y )  ( x,0)  (0, y )  ( x,0)  (0,1)( y,0)  x  iy .
Исходя из этой записи, число x называют действительной, а число y – мнимой частью
комплексного числа z и пишут
x  Re z , y  Im z
(Realis – действительный, Jmaginaris – мнимый).
Комплексное число x  iy называется сопряженным с комплексным числом x  iy .
Обозначение: z  x  iy .
Легко проверяются следующие равенства:
___
(z)  z ;
__________
_____
_____
z1  z 2  z1  z 2 ;
_____
_________
_____
_____ _____
z
z
z1  z 2  z1  z 2 ; ( 2 )  2 .
z1
z1
1.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и основных
операций над ними
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число
z  x  iy изображается точкой плоскости с координатами ( x, y ) и эта точка также
обозначается буквой z (рис. 1.1). Такое соответствие между комплексными числами и
точками плоскости, очевидно, является взаимно однозначным. При этом комплексные числа
( x,0)  x изображаются точками оси абсцисс. Поэтому ось
абсцисс называется действительной осью.
Чисто мнимые числа (0, y )  iy изображаются точками оси
ординат, поэтому эта ось называется мнимой осью.
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа,
называется комплексной плоскостью.
Каждому комплексному числу z  x  iy соответствует
также вектор с координатами x, y . Если начало вектора брать в начале координат, то
соответствие между комплексными числами и векторами с началом в начале координат
будет взаимнооднозначным. Вектор, соответствующий комплексному числу z , также будем
обозначать буквой z .
Определение 1.1.
Число
x 2  y 2  0 называется модулем комплексного числа z  x  iy и обозначается
через z
z  x  iy  x 2  y 2 .
Очевидно, z  0 , причем z  0 тогда и только тогда, когда z  0 .
Отметим две формулы
z  z,
zz  z ,
2
которые непосредственно вытекают из определения модуля комплексного число. Из
определения модуля комплексного числа z и рис. 1.1. видно, что длина вектора z равна z и
имеют место неравенствам
Re z  x  z ,
Im z  y  z .
Если z1  x1  iy1 , z 2  x2  iy 2 то, как мы знаем, по
определению z1  z 2  ( x1  x2 )  i( y1  y2 ) , а это означает, что
комплексному числу z  z1  z 2 соответствует вектор z равный
сумме векторов z1 и z 2 (рис. 1.2).
Из
рис. 1.2 видно, что разности
z1  z 2  z1  ( z 2 )
соответствует вектор z * , а расстояние между точками z1 и
z 2 равно длине вектора z1  z 2 , т.е. равно z1  z 2 .
Кроме этого, легко заметить, что наряду с вектором z * разности комплексных чисел

z1  z 2 соответствует вектор z 2 z1 , который можно отождествлять с вектором z * , ибо эти
два вектора одинаково направлены и имеют одинаковые модули.
z1  z 2  ( x1  x2 )  i( y1  y 2 )  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2 ,
т.е. расстояние между точками z1 и z 2 равно z1  z 2 .
Определение 1.2.
Аргументом комплексного числа z называется угол между
положительным направлением оси абсцисс и вектором z . При
этом, если отчет ведется от оси Ox против часовой стрелки, то
величина угла считается положительной, а если по часовой
стрелке — отрицательной. Аргумент обозначается так:   Argz
(рис.1.3). Для числа z  0 аргумент не определяется. Очевидно,
что аргумент комплексного числа определяется с точностью до
чисел вида
2k , k  1,2, .
В самом деле, если  0 — аргумент комплексного числа, то, как видно из рис. 1.3,
аргументом будет также любой из углов
 0  2k , k  1,2, .
Определение 1.3.
Единственное значение  0 аргумента комплексного числа z , удовлетворяющее
условию     0   , называется главным значением аргумента и обозначается  0  arg z .
Для главного значения аргумента справедливы соотношения:
arg z  arct
y
,
x
если x  0 ;
arg z  arct
y
 ,
x
если x  0 , y  0 ;
arg z  arct
y
 ,
x
если x  0 , y  0 ;
arg z 

2
arg z  
если x  0 , y  0 ;
,

2
если x  0 , y  0 .
,
Arg ( z1  z 2 ) равен углу между положительным
Из рис. 1.2 видно, что
направлением оси абсцисс и вектором z*  z1  z 2 или, что тоже самое, равен углу
между положительным направлением оси абсцисс и вектором с началом в точке z 2 ,
с концом в точке z1 .
Пример 1.
Множество точек z , удовлетворяющих уравнению z  z 0  R , есть окружность радиуса
R с центром в точке z 0 , так как z  z 0 — расстояние между точками z и z 0 .
Неравенства треугольника. Для любых комплексных чисел z1 и z 2 имеют место
неравенства
z1  z 2  z1  z 2  z1  z 2 .
(1.1)
Доказательство.
Длины сторон треугольника с вершинами в точках O , z1 , z1  z 2 равны z1 ,
z 2 и z1  z 2 (См. рис. 1.2).
Следовательно, неравенства (1.1) являются известными из элементарной
геометрии неравенствами для длин сторон треугольника.
1.3. Тригонометрическая и показательная форма
комплексного числа
Пусть   Argz , а r  z , тогда из рис. 1.3 легко видеть, что x  r cos  , y  r sin  ,
если z  x  iy , так как x, y являются декартовыми прямоугольными координатами
точки z , a , r ,  полярными координатами этой точки, при условии, конечно, что
полярная ось направлена вдоль положительного направления оси абсцисс, а полюс
полярной
системы
координат
совпадает
с
началом
декартовой
системы
координат. Теперь мы видим, что всякое комплексное число z  x  iy можно
представить в виде
z  r (cos   i sin  ) .
(1.2)
Запись комплексного числа в виде (1.2) называется тригонометрической
формой комплексного числа.
Очевидно, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны
их модули, а аргументы отличаются на числа кратные 2 .
Пример 1.
Найти arg(1  i ) и представить комплексное число z  1  i в тригонометрической
форме.
Решение.
Изобразим число z  1  i на плоскости (рис. 1.4).
Очевидно, угол
0  

4
является одним из значений
Arg (1  i ) и при этом     0   , т.е.  0  

4
является главным
значением аргумента комплексного числа z  1  i .
Arg (1  i )  

4
 2k ; k  1,2, .
r  1  i   1  (1) 2   2 .
Теперь число z  1  i можно представить в тригонометрической форме
1  i   2[cos( 

4
 2k )  i sin( 

4
 2k )] .
Комплексное число cos   i sin  обозначается символом e i т.е.
e i  cos   i sin  .
(1.3)
Как легко заметить, что формула (1.3) дает возможность определить комплексную

функцию w  e i действительного переменного  . В частности, e 2i  1 , e i  1 , e 2 i  i ,
e


2i
 i . Полагая в форме (1.3) вместо  (  ) , получим
e i  cos   i sin  .
(1.4)
Сложением и вычитанием (1.3) и (1.4) получим:
cos  
1 i
(e  e i ) ;
2
(1.5)
sin  
1 i
( e  e  i ) .
2
(1.6)
Формулы (1.3)–(1.6) называются формулами Эйлера.
Отметим некоторые свойства функции e i :
e i1  e i2  e i (1  2 ) ;
(1.8)
e i1
 e i (1 2 ) ;
i 2
e
(1.8)
(e i ) n  e in , n  0,1,2, .
(1.9)
Докажем равенство (1.7).
Имеем
e i1  e i2  (cos 1  i sin 1 )(cos  2  i sin  2 ) 
 (cos 1 cos  2  sin 1 sin  2 )  i(sin 1 cos  2  cos 1 sin  2 ) 
 cos(1   2 )  i sin( 1   2 )  e i (1 2 ) .
Аналогично проверяется (1.8). Равенство (1.9) получается из равенств (1.7) и (1.8)
по индукции.
Из (1.9) и (1.3) вытекает формула Муавра
(cos   i sin  ) n  cos n  i sin n , n  0,1,2, .
Из формул (1.2) и (1.3) следует, что любое комплексное число
z  0 можно
представить в виде
z  r i ,
(1.10)
где r  z ,   Argz .
Запись комплексного числа в виде (1.10) называется показательной формой
комплексного числа.
С помощью равенств (1.7) и (1.8) легко получаются формулы умножения и деления
комплексных чисел, записанных в показательной форме:
z1  z 2  r1e i1  r2 e i2  r1  r2 e i (1 2 ) ;
z1 r1e i1
r

 1 e i (1  2 ) .
i 2
z 2 r2 e
r2
(1.11)
(1.12)
Из формулы (1.11) следует, что модуль произведения двух комплексных чисел равен
произведению модулей этих чисел
z1  z 2  z1  z 2 ,
а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения: если 1  Argz1 ,
 2  Argz 2 , то
1   2  Arg ( z1  z 2 ) .
(1.13)
Аналогично из формулы (1.12) вытекает, что модуль частного двух комплексных
чисел равен частному модулей этих чисел
z1
z1
, z2  0 ,

z2
z2
а разность аргументов делимого и делителя является аргументом, частного: если
1  Argz1 ,  2  Argz2 , то
1   2  Arg
z1
.
z2
(1.14)
Пример 2.

(1  i 3 )(1  i)  (2e
2
 t
3 3

i
) ( 2e )  2 e
4
2
3
i

i
2e 2  2 3 (1)2i  16i .
2. Функции комплексного переменного
2.1. Понятие комплексной функции комплексного переменного
Определение 2.1
Функция
f
называется комплексной функцией комплексного переменного, если
область определения и множество значений функции f есть некоторые множества
комплексных чисел.
Пример 1.
w  z n , n — натуральное.
Для обозначения комплексной функции в дальнейшем будем применять символ
w  f (z ) ( z  x  iy — независимая переменная; w  u  iv — зависимая переменная).
Область определения этой функции — все множество комплексных чисел, так как любое
комплексное число можно возвести в п-ую степень. Кроме этого, легко показать, что
функция w  z n принимает любое комплексное значение w0 , что равносильно утверждению:
уравнение w  z n разрешимо относительно z при любом комплексном w0 . Пусть w0  Re i ,
r  re i , где R  w0 ,   Argw0 , r  z ,   Argz , тогда
Re i  (rc i ) n ;
Re i  r n c in .
Из последнего равенства имеем:
R  rn
n    2k
Отсюда имеем
r n R .

  2k
n
, k  0,1,  , n  1 .
Итак, решения уравнения w  z n найдены при любом комплексном w  0 и эти
решения определяются формулой
  2k
z   n w0 e
n
n
,
k  0,1,  , n  1 ,
  Argw0 .
При w  0 решение уравнения 0  z n очевидно: z  0 .
Рассмотрим две комплексные плоскости (рис. 2.1). Первую плоскость будем
обозначать символом
плоскости
, а вторую —
.. Комплексные числа, соответствующие точкам z
будем обозначать так z  x  iy , a комплексные числа, соответствующие
точкам w плоскости
, обозначим следующим образом
w  u  iv .
Изобразим на комплексной плоскости
множество D1  D( f ) , а на комплексной плоскости
область определения функции f —
изобразим множество значений этой
функции — множество E1  E( f ) . Тогда, очевидно, каждой точке z  D1 функция f
ставит в соответствие единственную точку w  E1 . Отсюда следует, что все множество
точек множества D1 плоскости
точек комплексной плоскости
комплексная функция f отображает на множестве E1
.
В
этом
состоит
геометрический
смысл комплексной
функции
комплексного
переменного. Функцию w  f (z ) будем называть отображением, множество E1 называют
образом множества D1 при отображении до w  f (z ) , а множество D1 — прообразом
множества E1 при этом отображении.
Рассмотрим некоторое подмножество D2 множества D1  D( f ) и построим на
плоскости
множество точек
E2  w w  f ( z), z  D2 
Множество E2 называется образом множества D2 при отображении w  f (z ) , а
множество D2 — прообразом E2 при этом отображении.
Пример 2.
Найти образ 1-го координатного угла комплексной плоскости
при отображении
w  z2 .
Решение.
Найдем предварительно образ луча Oz при отображении w  z 2 (рис. 2.2). Представим
число z в показательней форме z  z e i , тогда
w  z e i 2 , Argw  2 .
2
Если рассматривать z как любую точку луча Oz плоскости
,то мы видим, что если
луч Oz образует с осью Ох угол  , то его образ-луч O1 w на плоскости
O1u угол равный 2 . Пусть теперь угол  изменяется от нуля до
описывает ("заметает") первый координатный угол на плоскости
опишет верхнюю полуплоскость плоскости
образует с осью

, тогда луч Oz
2
, а его образ-луч O1 w
, так как при изменении   ( Argz ) от 0 до

, ( Argw)  2 изменяется от 0 до  , где ( Argz ) одно из значений аргумента z, a ( Argz ) —
2
одно из значений аргумента w . Следовательно, образом первого координатного угла
плоскости
при отображении w  z 2 является верхняя полуплоскость плоскости
.
2.2. Действительная и мнимая части комплексной функции
Комплексная функция w  f (z ) каждому z  x  iy  D( f ) ставит в соответствие
единственное комплексное число
w  u  iv  E ( f ) .
( D ( f ) и E ( f ) здесь и дальше область определения, множество значений функций
f
соответственно), другими словами каждой паре действительных чисел ( x, y )
ставится в соответствие пара действительных чисел (u, v) . Очевидно последнее
соответствие
можно
представить
действительных переменных
x, y ,
как
две
действительные
так как каждой паре
функции
( x, y )
двух
ставится в
соответствие действительное число u и действительное число v.
Как известно из теории действительных функций многих действительных
переменных
такие
функции
называются
действительными
функциями
двух
действительных переменных:
u   ( x, y ) ; v   ( x, y ) .
Теперь комплексную функцию w  f (z ) , учитывая, что w  u  iv , u   ( x, y ) ,
v   ( x, y ) можно представить в виде
w   ( x, y )  i ( x, y )
f ( z )   ( x , y )  i ( x , y ) .
или
Действительную
функцию
u   ( x, y )
называют
действительной
частью
комплексной функции w  f (z ) , а функцию v   ( x, y ) — мнимой частью функции f
и обозначают:
u  Re f ( z ) ,
v  Im f ( z ) .
В дальнейшем вместо
u   ( x, y ) и v   ( x, y ) будем употреблять также запись :
u  u ( x, y ) и v  v ( x , y ) .
Пример 1.
Найти действительную и мнимые части комплексной функции w  z 2 .
Решение.
z  x  iy ; w  ( x  iy ) 2 ;
w  x 2  i 2 xy  (iy ) 2 ; w  ( x 2  y 2 )  i 2 xy ;
u  Re z 2  x 2  y 2 — действительная часть функции w  z 2 , v  2 xy — мнимая часть
этой функции.
Замечание.
Если заданы две действительные функции двух действительных
переменных
u  u ( x, y ) , v  v( x, y ) на некотором множестве D(( x, y )  D) , то функция w  u ( x, y )  iv ( x, y )
будет комплексной функцией комплексного переменного z  x  iy .
Пример 2.
u  e x cos y ; v  e x sin y .
( x, y ) — любая точка координатной плоскости.
Функция
w  e x cos y  ie x sin y  e x (cos y  i sin y)
—
комплексная
функция
комплексного переменного z  x  iy , заданная во всей комплексной плоскости. (Здесь и
дальше фраза: "функция f задана на множестве D " означает, что множество D или
совпадает с областью определения функции f или принадлежит этой области).
2.3. Метризация комплексной плоскости. Последовательности
комплексных чисел и их пределы
Введем на множестве комплексных чисел (комплексной плоскости) расстояние между
любыми двумя комплексными числами z1 , z 2 (точками комплексной плоскости z1 , z 2 ) по
формуле
 ( z1 , z 2 )  z1  z 2 .
(Символ  ( z1 , z 2 ) означает расстояние между z1 , z 2 ).
Легко проверить, используя свойства модуля, что так определенное "расстояние"
удовлетворяет всем аксиомам расстояния:
1.  ( z1 , z 2 )  0 ;
2.  ( z1 , z 2 )   ( z 2 , z1 ) ;
3.  ( z1 , z 2 )   ( z1 , z 3 )   ( z 2 , z 2 )
(Эти аксиомы можно получить из геометрических соображений, если помнить, что модуль
разности 2-х комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти
числа).
Введя понятие расстояния на множестве комплексных чисел мы это множество
метризовали, а в любом метрическом пространстве можно строить теорию пределов для
последовательностей элементов этого пространства.
Так как понятие расстояния на множестве комплексных чисел вводится также как и
на множестве действительных чисел, и именно как модуль разности двух чисел, то с
формальной стороны определения, теоремы и их доказательства в случае комплексных чисел
выглядят также как и в случае действительных чисел.
Определение 2.2.
Комплексное число a    i называется пределом последовательности комплексных
чисел z1 , z 2 ,  , z n ,  , если для   0 , N ( ) , что для n  N ( )   (a, z n )  z n  a   .
Обозначение a  lim z n .
n 
Формулировку теорем и их доказательство для комплексных последовательностей
приводить не будем, но результатами известными из теории последовательностей
действительных чисел пользоваться будем (теоремы о пределе суммы, произведения, о
единственности предела и т.д.).
Сформулируем и докажем полезную для дальнейшего теорему.
Теорема 2.1.
z n  xn  iy n , n  1,2,  сходится к
Если последовательность комплексных чисел
комплексному числу a    i , то сходятся действительные последовательности ( x n ) ,
( y n ) , lim x n   , lim y n   и наоборот.
n 
n 
Доказательство.
1. a  lim z n  для
n 
  0 , N ( ) , n  N ( )  z n  a   
( xn  iy n )  (  i )    ( xn   )  i( yn   )   .
Но ( xn   )  ( xn   )  i( yn   )   и yn     
  lim
x n ;   lim y n
n 
n 
Первая часть теоремы доказана.
2. Дано:  lim x n   ,  lim y n  
n 
n 
Значит, для любого
yn   

2

2
 0N 1 ( ) , что x n   

2
для n  N1 ( ) и N 2 ( ) , что
n  N 2 ( ) .
Ho z n  a  ( x n  iy n )  (  i )  ( x n   )  i ( y n   )  x n    i y n   

2


2
 ,
если n  N ( ) , т.е.  lim z n  a . Что и требовалось доказать.
n
Справедлив также критерий Коши: для того чтобы последовательность ( z n ) была
сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, т.е. для
любого   0 , должен существовать такой номер N  N ( ) , что при n  N , m  N
выполняется неравенство
z n  z m   . С доказательством критерия Коши можно
познакомиться в [1].
Из теоремы 2.1. следует, что сходящаяся последовательность ограничена, т.е.
существует такое число M  0 , что z n  M для любого n  1,2,  . Действительно, пусть
последовательность
( z n  xn  y n )
сходится.
Согласно
теореме
2.1.
действительные
последовательности ( x n ) и ( y n ) также сходятся, а, следовательно, они ограничены, т.е. при
любых n  1,2,  имеют место неравенства
xn 
M
M
, yn 
, где M — некоторое
2
2
неотрицательное число.
Тогда из неравенства z n  xn  y n следует, что z n  M , при любом n  1,2,  , что и
означает ограниченность последовательности
( z n ) . Простейший пример
( z n  (1) n )
показывает, что ограниченная последовательность не всегда сходится. Но справедлива
следующая теорема.
Теорема 2.2. (теорема Болъцано-Вейерштрасса).
Из любой ограниченной последовательности ( z n ) можно выделить сходящуюся
подпоследовательность.
Доказательство.
Пусть последовательность ( z n ) ограничена, т.е. для любого n  1,2,  имеет место
неравенство z n  M , где M — некоторое неотрицательное число. Тогда из неравенств
xn  z n ;
следует, что
xn  M ;
yn  zn
y n  M для любого n  1,2,  что означает ограниченность
действительных последовательностей ( x n ) и ( y n ) . Для ограниченных действительных
последовательностей ( x n ) , ( y n ) теорема Больцано-Вейерштрасса верна. Следовательно,из
них можно выделить сходящиеся подпоследовательности, соответственно
( x nk ) ( x n ) , lim x nk  a , ( y nk ) , lim y nk  b .
n 
n 
Согласно теореме 2.1., lim z nk  a  ib ( z nk  x nk  iy nk ) , т.е.  подпоследовательность
n 
( z nk )  a  ib .
Теорема доказана.
Теорема 2.3.
Если  lim z nk  a , то последовательность z n сходится к пределу a и существует
n 
последовательность из значений Argz n :
( Argz1 ) , ( Argz 2 ) ,  , ( Argz n ) ,  ,
сходящаяся к одному из значений аргумента предела a . (Здесь и в дальнейшем символ
( Argz ) означает одно из значений аргумента числа z ).
Доказательство.
Пусть существует lim z nk  a . Тогда z n  a   для
n 
n  N ( ) .
Но z n  a  z n  a .
Этот факт геометрически очевиден, если числа z n и
a изобразить на плоскости (рис. 2.3). Значит z n  a  
для
n  N ( )
так
как
zn  a   .
Следовательно

lim z nk  a .
n 
Остальные утверждения теоремы принимаем без доказательства. Их доказательство
смотри в [2].
2.4. Расширенная плоскость комплексного переменного.
Комплексная сфера
Будем говорить, что последовательность ( z n ) имеет пределом бесконечность (пишут
lim z n   ), если для любого положительного числа M существует такой номер N  N (M ) ,
n 
что все члены последовательности с номером n  N удовлетворяют неравенству z n  M .
В этом случае говорят также, что последовательность
(zn )
сходится к
бесконечно удаленной точке. Геометрически приве денное определение означает,
что, какой бы мы ни взяли круг радиуса M с центром в начале координат, все
точки z n , начиная с некоторой, оказываются вне этого круга.
Таким
образом,
рассматривавшаяся
до
сих
пор
конечная
плоскость
комплексного переменного С может быть пополнена еще одной воображаемой или,
как говорят в математике, несобственной бесконечно удаленной точкой  .
Комплексная плоскость, дополненная несобственной бесконечно удаленной
точкой, называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается С .
Выясним геометрический смысл расширенной комплексной плоскости. Пусть
S — сфера радиуса 1, которая касается комплексной плос кости С в точке z  0
(рис. 2.4).
Обозначим
диаметрально
через
N
точку
противоположную
сферы,
точке
O
касания сферы с комплексной плоскостью.
Каждой
точке
соответствие
точку
z C
поставим
PS ,
S,
в
PN,
которая является точкой пересечения сферы
S с лучом N z .
Таким образом, мы установим взаимно
однозначное соответствие между точками комплексной плоскости и точками сфе ры,
и лишь одна точка N  S не будет иметь соответствующей точки на плоскости.
Но, если точка z комплексной плоскости удаляется неограниченно от точки O ,
то соответствующая точка P сферы S приближается к точке N  S . Естественно
поставить в соответствие точке N бесконечно удаленную точку z   .
Построенное соответствие называется стереографической проекцией,
S
—
комплексной сферой (или сферой Римана).
2.5. Предел и непрерывность комплексных функций
Определение 2.3.
Комплексное число A называется пределом комплексной функции w  f (z ) в точке
z 0 , если для   0 ,  ( )  0 , что для z  z 0 , z  z 0   ( )  f ( z)  A   .
Обозначение: A  lim f ( z ) .
z z0
Рассмотрим две комплексные плоскости
и
.
Тот факт, что A  lim f ( z ) геометрически выглядит следующим образом: точки
z z0
w  f (z ) находятся в  –окрестности точки A (круге радиуса  с центром в точке A ),
если точки z находятся в  –окрестности точки z 0 (круге радиуса  ( ) с центром в точке
z 0 ) (рис.2.5).
Эквивалентным предыдущему является следующее.
Определение 2.4.
Комплексное число А называется пределом ф ункции w  f (z ) в точке z 0 если
для любой последовательности z n  z 0 , z n  z 0 последовательность значений функции
wn  f ( z n ) стремится к A . (Равносильность двух определений докажите самостоятельно).
Теорема 2.4.
Если комплексная функция f ( z )  u ( x, y )  iv ( x, y ) имеет предел в точке z 0  x0  iy 0
равный A    i , то действительная и мнимая части комплексной функции имеют
пределы в этой точке
lim u ( x, y )   ,
x  x0
y  y0
lim v( x, y )  
x  x0
y  y0
и наоборот.
Доказательство.
1. Пусть A    i 
lim
z  z0  x0  y0
f ( x) 
для z n  z 0  x0  iy 0  f ( z n )  A    i .
Но z n  xn  iy n , f ( z n )  u( xn , y n )  iv ( xn , y n ) .
По теореме 2.1., если f ( z n )  A    i , то
u ( xn , y n )   , а v( xn , y n )   , т.е.
 lim u ( x n , y n )   и  lim v( x n , y n )   ,
n 
т.е. для любой
n 
последовательности
z n  ( xn , y n )  z 0  x0  iy 0
последовательности
значений функций u  u ( x, y )  Re f ( z ) и v  v( x, y )  Im f ( z ) : u ( x n , y n ) и v( xn , y n ) стремятся
соответственно к  и
z 0  x0  iy 0 , равные  и
 , т.е. функции u  u ( x, y ) и v  v( x, y ) имеют пределы в точке
 соответственно.
2. Пусть  lim u ( x, y )   , и  lim v( x, y )  
x  x0
y  y0
x  x0
y  y0
тогда используя вторую часть теоремы 2.1 получаем, что
 lim f ( z )    i .
z  z0
Теорема доказана.
Из теоремы 2.4. следует, что известные из курса математического анализа, теоремы о
пределах для функций нескольких действительных переменных остаются справедливыми
и для функций комплексного переменного.
Так, если функции f1 z  и f 2 z  имеют конечные пределы при z  z 0 , то имеют
место следующие соотношения:
lim [ f1 ( z)  f 2 ( z)]  lim f1 ( z)  lim f 2 ( z) ,
z  z0
z  z0
z  z0
lim [ f1 ( z) f 2 ( z)]  lim f1 ( z )  lim f 2 ( z) ,
z  z0
lim
z  z0
z  z0
z  z0
f1 ( z )
f1 ( z ) zlim
 z0

( lim f 2 ( z)  0) .
f 2 ( z ) lim f 2 ( z ) z z0
z  z0
Определение 2.5.
Комплексная
функция
f ( z )  u ( x, y )  iv ( x, y )
называется
непрерывной в точке
z 0  x0  iy 0 если для   0 ,  ( )  0 , что для всех z , таких что z  z0   ( ) выполняется
неравенство f ( z)  f ( z 0 )   .
Из данного определения непрерывности функции и определения предела функции
естественно вытекает следующее:
Определение 2.6.
Комплексная функция f называется непрерывной в точке z 0 если lim f ( z )  f ( z 0 ) .
z  z0
Равносильность двух последних определений очевидна в случае, если z 0 является
предельной точкой области определения функции.
Введем обозначения
z  z 0  z , x  x0  x , y  y 0  y , z  x  iy ;
w  f ( z 0 )  f ( z 0  z )  f ( z 0 )  u( x0 , y0 )  iv( x0 , y0 ) ;
(
f ( z 0 )  u ( x0 , y 0 )  iv ( x0 , y 0 )
).
f ( z 0  z )  u ( x0  x, y 0  y )  iv( x0  x, y 0  y )
Дадим геометрическое истолкование приращениям независимой переменной z и
функции w  f (z ) (рис. 2.6).
Приращению z на плоскости
соответствует вектор с началом в точке z 0 и с
концом в точке z 0  z ; приращению функции w  f ( z 0  z )  f ( z 0 ) на плоскости
соответствует вектор w ; с началом в точке w0 и с концом в точке
w  f ( z 0  z )  w0  w
Из равенства lim f ( z )  f ( z 0 ) имеем
z  z0
lim f ( z)  f ( z 0 )  0 ; f ( z 0 )  const ,
z  z0
значит lim f ( z)  f ( z 0 )  lim f ( z)  lim f ( z 0 )  lim ( f ( z)  f ( z 0 ))  0 .
z  z0
z  z0
z  z0
z  z0
Введя обозначения
z  z 0  z , f ( z )  f ( z 0 )  f ( z 0  z )  f ( z 0 )  f ( z 0 ) ,
имеем lim f ( z 0 )  0
z 0
(z  0  z  z 0 ) .
Определение 2.7.
Функция w  f (z ) называется непрерывной в точке z 0 , если lim f ( z 0 )  0 .
z 0
Равносильность этого определения непрерывности функций с двумя предыдущими
непосредственно вытекает из предыдущих рассуждений.
Теорема 2.5.
Если комплексная функция f ( z )  u ( x, y )  iv ( x, y ) непрерывна в точке z 0  x0  iy 0 , то
непрерывны в этой точке действительная и мнимая её части:
Re f ( z )  u ( x, y ) , Im f ( z )  v( x, y )
и наоборот.
Доказательство.
1. Пусть
комплексная
функция
f ( z )  u ( x, y )  iv ( x, y )
непрерывна
в
точке
z 0  x0  iy 0 . На основании последнего определения имеем:
lim f ( z 0 )  0 .
z 0
Заметим, что f ( z 0 )  u( x0 , y0 )  iv( x0 , y 0 ) .
Условие f ( z 0 )  0 равносильно условиям
z 0
u ( x0 , y 0 )  0 , v( x0 , y 0 )  0
x 0
y 0
x 0
y 0
Последнее означает, что функции u ( x, y ) , v ( x, y ) непрерывны в точке ( x0 , y0 ) (См.
непрерывность функций 2-х действительных переменных).
2. Пусть функции u  Re f ( z ) и v  Im f ( z ) непрерывны в точке z 0  x0  iy 0 , тогда
v  0 
u  0 ,
x 0
y 0
x 0
y 0
f  u  iv  0 при z  0 ,
т.е. комплексная функция f ( z )  u ( x, y )  iv ( x, y ) непрерывна в точке z 0 .
Теорема доказана.
Теорема даёт возможность перенести на комплексные
непрерывные функции свойства непрерывных действительных
функций
двух
действительных
сформулировать
эти
свойства
переменных.
вспомним
Чтобы
некоторые
определения из теории метрических пространств, взяв в
качестве
метрического
пространства
пространство
комплексных чисел.
Определение 2.8.
Точка z 0
называется предельной точкой множества
комплексных чисел E , если в любой r –окрестности точки
z 0 : z  z 0  r находятся точки z  z 0 , z  E .
Определение 2.9.
Множество
комплексных
чисел
E
называется
ограниченным, если существует круг z  R , включающий в
себя множество E (рис. 2.7).
Определение 2.10.
Множество
комплексных
чисел
E
называется
замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Пример 1.
Любой замкнутый круг z  z 0  R является множеством замкнутым (рис. 2.8).
Теорема 2.6.
Всякая комплексная непрерывная функция f ограничена на замкнутом ограниченном
множестве комплексных чисел E , т.е.  постоянная M  0 , что для z  E имеем:
f ( z)  M .
Доказательство.
Предположим противное. Пусть функция
f (z )
не является ограниченной на
замкнутом множестве E .
Тогда для любого натурального числа n найдется такая точка z n  E , чт о
f ( zn )  n
(n  1,2,) .
Так как по условию теоремы множество E ограничено, то ( z n ) — ограниченная
последовательность.
В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса, из ограниченной последовательности ( z n )
можно выделить сходящуюся подпоследовательность ( z nk ) .
Пусть
lim z nk  z 0 . Так как множество
k 
принадлежит множеству E . Функция
E
является замкнутым, то точка
f (z ) непрерывна на множестве
z0
E , поэтому
вследствие непрерывности f (z ) в точке z 0 будем иметь
f ( z nk )  f ( z 0 )
что невозможно, так как из f ( z nk )  n (n  1,2,) следует, что
f ( z nk )   .
3. Дифференцирование функций комплексного переменного
3.1. Моногенность комплексных функций
Моногенность и аналитичность - основные понятия в теории комплексных
функций. Известно, что если u  Re f ( z ) , a v  Im f ( z ) – непрерывные функции в
некоторой
точке
z0 ,
то
непрерывной
будет
и
комплексная
функция
f ( z )  u ( x, y )  iv ( x, y ) в этой точке.
Если функция u ( x, y ) и v ( x, y ) дифференцируемы в точке z 0  ( x0 , y0 ) , то
дифференцируемым в этой точке будет отображение из R 2 в R 2 , задаваемое парой
функций
u ( x, y ) и v ( x , y ) .
Однако комплексная функция
f ( z )  u ( x, y )  iv ( x, y ) в этом случае, как мы
увидим дальше, с необходимостью не будет дифференцируемой в точке z 0  x0  iy 0
но, в том смысле, что ее приращение в этой точке будет иметь вид:
f ( z 0 )  A  z  z ,
(3.1)
где A не зависит от z , a   0 при z  0 .
Вспомним определение дифференцируемости действительной функции двух
действительных переменных.
Определение 3.1.
Действительная функция u  u ( x, y ) называется дифференцируемой в точке
( x0 , y0 ) , если ее приращение в этой точке
u  u ( x0  x, y0  y)  u( x0 , y0 )
можно представить в виде
u  ax  by   1x   2 y ,
где a 
(3.2)
u ( x0 , y 0 )
u( x0 , y0 )
, b
, а  1  0 ,  2  0 при (x, y )  (0,0) .
y
x
Теорема 3.1.
Если. частные производные
точки
( x0 , y 0 )
и
непрерывны
u u
,
существуют в некоторой окрестности
x
y
в
точке
( x0 , y 0 ) ,
то
функция u  u ( x, y )
дифференцируема в этой точке.
Определение 3.2.
Комплексная функция u  iv  f (z ) называется моногенной пли дифференцируемой в
смысле комплексного анализа в точке z 0 , если ее приращение в этой точке имеет вид (3.1).
Теорема 3.2.
Если комплексная функция f мопогенна в точке z 0 , то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
Если функция f моногенна в точке z 0 , то, как следует из соотношения (3.1),
lim f ( z 0 )  0 ,
z 0
а это значит, что функция f непрерывна в точке z 0 .
Исследуем теперь, при каких условиях комплексная функция u  iv  f (z ) моногенна в
точке z 0 . Для этого запишем более подробно приращение этой функции
f ( z 0 )  f ( z 0  z )  f ( z 0 )  [u( x0  x, y0  y)  ;
 iv ( x0  x, y0  y)]  [u( x0 , y0 )  iv ( x0 , y0 )] ;
f ( z 0 )  u ( x0 , y0 )  iv( x0 , y0 )
или более кратко
f  u  iv .
(3.3)
Теорема 3.3. (Необходимое и достаточное условие моногенности)
Для того, чтобы комплексная функция u  iv  f (z ) была моногенной в точке z 0
необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были дифференцируемы ее действительная
часть u и мнимая v и выполнялись условия Коши-Римана (К.–Р.) в этой точке
u ( x0 , y 0 ) v( x0 , y 0 ) u ( x0 , y 0 )
v( x0 , y 0 )


,
x
y
y
x
или кратко:
u v
,

x y
u
v

y
x
(К.–Р.)
Доказательство.
1. Необходимость. Пусть функция u  iv  f (z ) – моногенна и точке z 0 , т.е. имеем
(3.1), где
A  a  ib , z  x  iy ,    1   2 , f  u  iv .
В силу последних равенств равенство (3.1) можно переписать в виде:
u  iv  (a  ib)(x  iy)  ( 1   2 )(x  iy) ;
u  iv  ax  (b)y   1x  ( 2 )y 
i[bx  ay   2 x   1y] 
u  ax  (b)y   1x  ( 2 )y ,
(3.4)
v  bx  ay   2 x   1y .
(3.5)
Из
( 3.4 )
и
( 3. 5)
с ле дуе т,
чт о
u  u ( x, y )
ф у нк ц ия
и
v  v ( x, y )
дифференцируемы в точке x0  y0 i  z 0 и при этом
v

 b

y

u
a

y
u
 a,
x
v
 b,
x
(К.-Р.)
Необходимость доказана.
И.
Достаточность.
Пусть
дифференцируемы в точке
функции
( x0 , y 0 )
u  u ( x, y )
функция
и
v  v ( x, y )
и выполняются условия Коши-Римана.
Покажем, что комплексная функция u  iv  f (z ) моногенна в точке z 0  x0  iy 0 .
Из дифференцируемости функций u и v следует
u 
u
u
x 
y   1x   2 y ,
x
y
(3.6)
v 
v
v
x  y  1 x   2 y ,
x
y
(3.7)
где 1  0 ,  2  0 , 1  0 ,  2  0 при (x, y )  (0,0) ,
u u ( x0 , y0 )

x
x
f ( z 0 )  u  iv 
и т.п.
u
u
v
v
x 
y  i( x  y ) 
x
y
x
y
 1x   2 y  1x   2 y .
(3.8)
Используя условия Коши-Римана, равенство (3.8) можно записать в виде
f 
u
u
v
v
x  ( )y  i x  i y 
x
y
x
y

1x   2 y  i1x  i 2 y
z
z .
или в виде
f ( z 0 )  Az  z ,
где
A

(3.9)
u( x0 , y0 ) v( x0 , y0 )
,
i
x
x
1x   2 y  i1x  i 2 y
z
Легко показать, что   0 при z  0 , так как
.
y
y

1
z
z
x
x

 1,
z
z
и 1  0 ,  2  0 , 1  0 ,  2  0 при z  (x  iy )  0  (x  iy )  (0,0) .
Итак:
f ( z 0 )  Az  z
(3.9)
и   0 при z  0 , что и означает моногенность функции f в точке z 0 .
Что и требовалось доказать.
Пример 1.
f ( z )  z 2  ( x 2  y 2 )  i 2 xy .
u  x 2  y 2 , v  2 xy .
u
v
u
v
2;
 2y ,
 2 y ,
 2x –
x
x
y
y
непрерывные в любой точке ( x, y)  R 2 . Отсюда следует, что функции u  u ( x, y ) и
v  v( x, y ) дифференцируемы в каждой точке ( x, y )  R 2 . Легко заметить, что в каждой
точке выполняются и условия Коши-Римана, а значит, по теореме 3.3. функция u  iv  f (z )
моногенна в каждой точке комплексной плоскости.
Пример 2.
f ( z)  x  i2 y , u  x , v  2 y .
u
v
v
u
 1;
0,
 2.
 2 y ,
x
x
y
y
Условия Коши-Римана не выполняются ни в одной точке плоскости, а значит функция
f ( z )  u  i 2v , не моногенна ни в одной точке комплексной плоскости.
3.2. Производная
Определение 3.3.
Производной комплексной функции u  iv  f (z ) в точке z 0 н а з ы в а е т с я п р е д е л
отношения
приращения
ф ун к ц и и
f ( z 0 )  f ( z 0  z )  f ( z 0 )
приращению
независимой переменной z , когда z  0 , т.е.
lim
z 0
f ( z 0 )
 f ' ( z0 ) .
z
(3.10)
Как мы видим, определение производной комплексной функции по форме совпадает
с определением производной действительной функции действительного переменного.
Имеет место также следующая теорема.
Теорема З.4.
Если комплексная функция f моногенна в точке z 0 , то она имеет производную в
этой точке и наоборот.
Доказательство.
1. Дано f — моногенна в точке z 0 , т.е.
f ( z 0 )  Az  z ,
где   0 при z  0 , а A 
u( x0 , y0 ) v( x0 , y0 )
, если f ( z )  u ( x, y )  iv ( x, y ) . Тогда
i
x
x
f ( z 0 )
 A  lim  . Ho lim   0 , и мы имеем
z 0
z 0
z 0
z
lim
 lim
z 0
f ( z 0 )
u( x0 , y0 ) v( x0 , y0 )
 f ' ( z0 )  A 
i
z
x
x
2. Дано  f ' ( z 0 ) , т.е. имеем (3.10). Из (3.10) 
f ( z 0 )
 f ' ( z 0 )   , где   0 при
z
z  0 , т.е. имеем
f ( z 0 )  f ' ( z 0 )z  z .
(3.11)
Из (3.11) следует, что функция f моногенна в точке z 0 . Теорема доказана.
Из сказанного выше следует, что если функция моногенна в точке z 0 , то для неё
легко могут быть получены следующие правила дифференцирования, которые мы приводим
без доказательства:
1. (c' )  0 , если c  const .
2. ( z n )'  nz n1 .
3. [ f1 ( z)  f 2 ( z)]'  f1 ' ( z)  f 2 ' ( z) .
4. [ f1 ( z)  f 2 ( z)]'  f1 ' ( z)  f 2 ( z)  f 2 ' ( z)  f1 ( z) .
5. (
f1 ( z )
f ' ( z )  f 2 ( z )  f 2 ' ( z )  f1 ( z )
)'  1
.
2
f 2 ( z)
f1 ( z )
6. Если w  f (z ) , z  f
1
( w) , то
dz
1
при условии, что f ' ( z )  0 .

dw f ' ( z )
3.3. Аналитические функции
Определение 3.4.
Комплексная функция
f
называется аналитической в области D , если она
моногенна в каждой точке этой области.
Пример 1.
w  z 2 — аналитична во всей комплексной плоскости.
Определение 3.4.
Комплексная функция
f
называется аналитической в точке
z 0 , если она
аналитическая в некоторой окрестности этой точки.
Аналитические функции образуют подмножество множества всех комплексных
функций. Они обладают целым рядом иимечательных свойств, имеют многочисленные
приложения в различных вопросах математики и естествознания.
Теорема 3.5. (Достаточное условие аналитичности)
Пусть f ( z )  u  iv . Если в каждой точке z области D функции u и v имеют
непрерывные частные производные и выполняются условия Коши-Римана, то функция f
аналитична в области D .
Доказательство.
Из непрерывности
u
,
x
u
,
y
v
,
x
v
y
в любой точке области
D
следует
дифференцируемость функций u и v в D . А тогда на основании теоремы 3.3. будем иметь,
что функция f моногенна в любой точке области D , т.е. аналитична в области D .
Как будет показано в дальнейшем, все элементарные комплексные функции
аналитичны в своих областях определения.
3.4. Связь аналитических функций с гармоническими
Определение 3.6.
Действительная
функция
 ( x, y ) ,
определенная
в
области
D,
называется
гармонической в области D , если она в этой области имеет непрерывные частные
производные первого и второго порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е.
уравнению
 
 2  2

 0.
x 2 y 2
Пример 1.
Функция   ln x 2  y 2 является гармонической во всякой области, не содержащей
точки (0,0) .
Действительно,
 2
y2  x2
,

x 2 ( x 2  y 2 ) 2
 2
x2  y2

y 2 ( x 2  y 2 ) 2
 2  2

0
x 2 y 2
Отсюда
Пусть в некоторой области D задана аналитическая функция f ( z )  u ( x, y )  iv ( x, y ) ,
причем ее действительная и мнимая части u ( x, y ) и v ( x, y ) имеют непрерывные частные
производным первого и второго порядка.
Позже будет показано, что функция f (z ) , аналитическая области D , имеет в каждой
точке z области D непрерывные производные любого порядка. Отсюда следует, что
функции u ( x, y ) и v ( x, y ) имеют в каждой точке области D непрерывные частные
производные любого порядка по переменным x и y .
Так как функция
f ( z )  u ( x, y )  iv ( x, y ) аналитическая в области
D , то её
действительная и мнимая части в любой точке области D удовлетворяют условиям КошиРимана:
u v
,

x y
u
v
 .
y
x
Дифференцируя первое из этих равенств по x , а второе по y и складывая, получим
 2u  2u  2v
 2v



 0,
x 2 y 2 yx xy
(3.12)
так как в силу непрерывности производных второго порядка
 2v
 2v
.

yx xy
Дифференцируя же первое их этих равенств по y , а второе по x и вычитая, будем
иметь
 2v  2v

0.
x 2 y 2
(3.13)
Равенства (3.12) и (3.13) говорят о том, что функции u ( x, y ) и v ( x, y ) удовлетворяют
уравнению Лапласа и, значит, являются гармоническими функциями в области D .
Итак, справедлива следующая теорема.
Теорема 3.6.
Действительная и мнимая части u ( x, y ) , v ( x, y ) аналитической в области D функции
f ( z )  u ( x, y )  iv ( x, y ) являются в этой области гармоническими функциями.
Отметим, что обратное утверждение неверно, т.е. если u ( x, y ) и v ( x, y ) являются
произвольно выбранными гармоническими функциями, то функция u  iv , вообще
говоря, не будет аналитической, так как условия Коши-Римана, как правило, не будут
выполнены.
Определение 3.7.
Две гармонические в области D функции u ( x, y ) и v ( x, y ) , связанные в этой области
условиями Коши-Римана, называются сопряженными гармоническими функциями.
Докажем следующую теорему.
Теорема 3.7.
Для всякой функции u ( x, y ) гармонической в односвязной области D можно найти
сопряженную с ней гармоническую функцию v ( x, y ) , определенную с точностью до
постоянного слагаемого.
Доказательство.
Пусть имеем гармоническую функцию u ( x, y ) . Будем искать для неё сопряженную
v ( x, y ) , т.е. v ( x, y ) подберём так, чтобы выполнялись условия Коши-Римана
u v
,

x y
u
v
 .
y
x
Так как функция u ( x, y ) является гармонической в области D , то для всех точек этой
области справедливо равенство
 2u  2u

 0,
x 2 y 2
(3.14)
которое запишем в виде
 u

u
( )  ( ) .
x x
y y
Отсюда, учитывая, что область

D
односвязная, заключаем,
что выражение
u
u
dx  y является полным дифференциалом некоторой функции v ( x, y ) .
y
x
Функцию v ( x, y ) находим в виде криволинейного интеграла второго рода
( x, y )
v ( x, y ) 

( x0 , y 0 )

u
u
dx  y  c ,
y
x
где ( x0 , y0 )  D – фиксированная точка, а интеграл берётся по любой кусочно-гладкой
кривой, целиком лежащей в области D и соединяющей точку ( x0 , y0 ) произвольной точкой
( x, y ) , c – произвольная постоянная. Так как
dv 
v
u
u
u
dx  y   dx  y ,
x
y
y
x
u v
,

x y
то
u
v
 .
y
x
Таким образом, функция v ( x, y ) является искомой.
Наоборот, если задана гармоническая функция u ( x, y ) , то искомая сопряженная
гармоническая функция находится по формуле
v
v
dx  y  c ,
y
x
( x0 , y 0 )
( x, y )
u ( x, y ) 

где c – произвольная постоянная.
Таким образом, по действительной части аналитической функции, за которую
принимают любое решение уравнения Лапласа, можно восстановить эту аналитическую
функцию с точностью до мнимой постоянной. По мнимой части аналитическая функция
восстанавливается с точностью до действительной постоянной.
Практически проще поступать, как указано в следующем примере.
Пример 2.
Найти аналитическую функцию w  f z   u  iv , если известна ее действительная
часть u  x 2  y 2  2 x , причем f (i )  2i  1 .
Решение.
Так как
u
u
 2x  2 ,
 2 y , то из условий Коши-Римана находим
x
x
v
 2y
x
(3.15)
v
 2x  2
x
(3.16)
Воспользовавшись первым из этих уравнений, находим
v   2 ydx  c( y )  2 xy  c( y ) ,
(3.17)
где функция c( y ) пока произвольна. Для определения c( y ) дифференцируем (3.17) по
y и подставляем в равенство (3.16)
v
 2 x  c' ( y )  2 x  2 .
y
Отсюда
c' ( y )  2 и c( y )  2 y  c ,
где c — произвольная постоянная.
Следовательно, v  2 xy  2 y  c .
Получим
w  f ( z )  u  iv  x 2  y 2  2 x  i(2 xy  2 y  c)
или
w  ( x 2  2ixy  y 2 )  2( x  iy )  ic  z 2  2 z  ic
Так как f (i )  2i  1 , то c  0 и окончательно будем иметь
w  f ( z)  z 2  2z .
3.5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
Пусть функция w  f (z ) в точке z 0 аналитическая и
f ' ( z 0 )  0 . Рассмотрим
гладкую кривую l , проходящую через точку z 0 .
Пусть L – образ кривой при отображении w  f (z ) , a w0 –образ точки z 0 (рис.3.1).
На кривой l возьмем произвольную точку z  z 0  z , которая отобразится в точку
w  w0  w кривой L .
Согласно определению производной имеем
f ' ( z 0 )  lim
z 0
w
.
z
(3.18)
Отсюда получим
w
 f ' ( z 0 )   (z ) ,
z
где  (z )  0 при z  0 . Таким образом
w  f ' ( z 0 )z  z (z ) .
(3.19)
Так как z (z ) является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению
с z при z  0 , то равенство (3.19) запишется следующим образом
w  f ' ( z 0 )z  0(z ) .
(3.20)
Примем во внимание, что w  w  w0 , z  z  z 0 из paвенства (3.20) получим:
w  w0  f ' ( z 0 )( z  z 0 )  0(z ) .
(3.21)
В равенстве (3.21) отбросим второе слагаемое в правой части. Будем иметь
приближенное равенство:
w  w0  f ' ( z 0 )( z  z 0 )
откуда
w  w0  f ' ( z 0 )  z  z 0
В плоскости
(3 . 2 2 )
рассмотрим окружность z  z 0   . Тогда из (3.22) получим
w  w0  f ' ( z 0 )   ,
т.е. окружность z  z 0   при наших условиях функция w  f (z ) отображает с точностью
до бесконечно малых более высокого порядка по сравнению с z на окружность радиуса
r  f ' ( z0 )   .
Очевидно, круг
z  z 0   отображается с точностью до малых более высокого
порядка, чем z , на круг
w  w0  r  f ' ( z 0 )   .
Величина
lim
w
z 0
z
k
(3.23)
называется коэффициентом линейного растяжения в точке z 0 при отображении w  f (z ) .
Так как
lim
z 0
w
z
 f ' ( z0 ) ,
(3 . 2 4 )
то из (3.23) и (3.24) заключаем, что модуль производной в точке z 0 если f ' ( z 0 )  0 ,
является коэффициентом линейного растяжения в этой точке при отображении w  f (z ) .
Пример 1.
Пусть w  f ( z )  z 3 . Найти коэффициент линейного растяжения в точке z 0  3i ,
осуществляемого данной функцией при отображении.
Решение. Найдем производную функции w'  3 z 2 , а затем f ' ( z 0 ) .
Имеем
f ' ( z 0 )  3(3i ) 2  27 .
Следовательно, коэффициент линейного растяжения в точке z 0  3i при отображении w  z 3
равен 27 .
Выясним теперь геометрический смысл аргумента. Имеем
Argf ' ( z 0 )  lim Arg
z 0
w
.
z
(3.25)
Так как аргумент частного двух комплексных чисел равен разности их аргументов, то
из (3.25) получим
Argf ' ( z 0 )  lim ( Argw  Argz ) .
z 0
(3.26)
Argw , Argz – это соответственно углы  ' и  ' , которые векторы w и z образуют с
действительной осью на плоскости
и
соответственно.
lim Argw , lim Argz – это соответственно углы  и  , составляемые касательными
z 0
z 0
к кривым L и l соответственно в точке w0 и z 0 с действительной осью.
Таким образом, из (3.26) получаем
Argf ' ( z 0 )     ,
(3.27)
т.е. аргумент производной в точке z 0 показывает угол поворота касательной к кривой l в
точке z 0 при отображении w  f (z ) .
Пример 2.
Пусть w  f ( z )  z 2 . Найти угол поворота линии в точке z 0  2i при отображении w  z 2 .
Решение.
Имеем w' 2z , w' z 2i  4i , arg f ' ( z 0 )  arg 4i 
Таким образом, угол поворота равен

2
.

.
2
Рассмотрим еще одну гладкую кривую l1 проходящую через точку z 0 . Пусть образом
кривой l1 при отображении w  f (z ) будет кривая L1 , проходящая через точку w0 . Угол
между касательной к кривой l1 в точке z 0 и действительной осью обозначим через 1 , а угол
меледу касательной к кривой L1 , в точке w0 и действительной осью – через  1 .
Согласно геометрическому смыслу аргумента производной
Argf ' ( z 0 )   1  1 .
Из равенств (3.27) и (3.28) следует      1  1 .
(3.28)
Таким образом, доказали следующую теорему.
Теорема 3.8.
Если функция w  f (z ) аналитическая в точке z 0 и f ' ( z 0 ) , то это отображение
w  f (z ) сохраняет углы между кривыми, пересекающимися в точке z 0 * .
3.6. Конформные отображения
Определение 3.8.
Отображение w  f (z ) называется конформным и точке z 0 , если оно сохраняет углы
между кривыми и обладает свойством постоянства растяжений в точке z 0 по всем
направлениям, выходящим из точки z 0 .
Таким образом, на основании результатом предыдущего параграфа мы приходим к
следующей теореме.
Теорема 3.9.
Если ф ункция w  f (z ) аналитическая в точк е z 0 и f ' ( z 0 )  0 , то отображение
является конформным и точке z 0 .
Определение 3.9.
Функция w  f (z ) называется однолистной и области D , если f ( z1 )  f ( z 2 ) для любых
z1  z 2 из D .
Пример 1.
Функция w  z 4 не является однолистной на всей комплексной плоскости, так как для
z1  2 и z 2  2 ( z1  z 2 ) выполняется условие f ( z1 )  f ( z 2 )
Определение 3.10.
Отображение w  f (z ) называется конформным и области D , если оно конформно в
каждой точке области D и функция w  f (z ) является аналитической и однолистной и
области D .
Докажем следующую теорему.
Теорема 3.10.
Пусть функция w  f (z ) – однолистная и аналитическая в области D и f ' ( z 0 )  0 в
каждой точке области D . Тогда отображение w  f (z ) будет конформным в области D .
Доказательство.
В силу условия f ' ( z 0 )  0 при z  D и теоремы 3.9. отображение, осуществляемое
функцией w  f (z ) , является конформным в каждой точке области D .
А следовательно, отображение w  f (z ) будет конформным в области D , так как
выполняются все условия определения 3.10.
Таким образом мы доказали, что условия аналитичности, однолистность и неравенство
нулю производной функции является достаточными условиями конформности отображения,
осуществляемого этой функцией.
3.7. Основная задача и общие теоремы теории конформных отображений
В настоящем параграфе приведем без доказательства ряд теорем, выходящих за рамки
программы, но которые имеют большое значение при решении задач на конформные
отображения.
Основной задачей теории конформных отображений является следующая задача.
Даны две области D и D * комплексной плоскости; требуется найти функцию
осуществляющую конформное отображение одной из этих областей на другую. Эта задача
не всегда имеет решение. Например, невозможно взаимно-однозначное конформное
отображение многосвязной области на односвязную.
Таким образом, возникают вопросы об условиях существования и однозначного
определения функции, конформно отображающей область D на область D * .
Б.Риманом в 1851 году была доказана следующая теорема, которую называют основной
теоремой теории конформных отображений.
Теорема 3.11.
Пусть D и D * – две произвольные односвязные области, границы которых состоят
более чем из одной точки. Тогда существует и только одно конформное отображение
w  f (z ) области D на область D * такое, что
f ( z 0 )  w0 ,
arg f ' ( z 0 )   ,
(3.29)
где z 0  D , w0  D * ,  – заданное действительное число (рис.3.2).
Условия (3.29) называются условиями нормировки конформного отображения. Вместо
(3.29) можно задать другие условия. Например, можно задать
f ( z 0 )  w0 , f ( z1 )  w1 ,
где z 0 , w0 – внутренние, а z1 , w1 – граничные
точки областей D и D * соответственно, или
f ( z k )  wk , (k  1,2,3) ,
где z1 , z 2 , z 3 – различные граничные точки
области
D, а
w1 ,
w2 ,
w3
–
различные
граничные точки области D * , причем точки z1 , z 2 , z 3 и w1 , w2 , w3 следуют в порядке
положительного обхода границ D и D * областей D и D * соответственно.
Теорема
Римана
устанавливает
факт
существования
функции,
конформно
отображающей область D на область D * , но не даёт удобного способа построения её. Кроме
того, эта функция выражается через элементарные функции лишь для простых областей.
Поэтому изучение частных случаев отображений с помощью комбинаций элементарных
функций имеет большое практическое значение.
Приведём без доказательства теорему о соответствии границ.
Теорема 3.12.
Пусть G и D – односвязные области, причем их границы G  L и D  Г –
простые замкнутые кусочно-гладкие кривые.
Если функция w  f (z ) конформно отображает область G на область D , то
1) функцию f (z ) можно непрерывно продолжить на замыкание области G , т.е.
можно доопределить f (z ) на L так, что получится непрерывная в G функция;
2) эта функция w  f (z ) отображает однозначно кривую
L на кривую
Г
с
сохранением ориентации.
С доказательством теоремы 3.12. молено ознакомиться в [9]. Для практики важен
следующий в известном смысле обратный теореме 3.12 принцип соответствия границ.
Теорема 3.13.
Пусть в односвязной области D , ограниченной контуром у, задана однозначная
аналитическая функция
w  f (z ) , непрерывная в
D
и осуществляющая взаимно
однозначное отображение контура у на некоторый контур Г плоскости w .
Тогда, если при заданном отображении контуров сохраняется направление обхода, то
функция w  f (z ) осуществляет конформное отображение области D на внутреннюю
область G , ограниченную контуром Г .
Из принципа соответствия границ следует, что для того, чтобы определить область
G , на которую аналитическая функция w  f (z ) конформно отображает данную область
D , достаточно найти контур, на который эта функция отображает границу области D и
установить направление обхода этого контура.
Пример 1.
Найти область G , на которую функция w  5z  i конформно отображает область D ,
ограниченную контуром  :
x 2  y 2  4x  0 .
Решение.
Пусть z  x  iy , w  u  iv .
Тогда w  5 z  i  5( x  iy )  i  5 x  i (5 y  1) .
Отсюда u  5x , v  5 y  1 , т.е. x 
u
v 1
, y
.
5
5
Контур  отображается в контур Г .
u
v 1 2
u
( )2  (
) 4 0
5
5
5
или
(u  10) 2  (v  1) 2  100 ,
т.е. окружность радиуса 10 с центром в точке M (10,1) .
Легко убедиться, задав контуры параметрическими уравнениями, что положительное
направление обхода контура  соответствует положительному направлению обхода контура
Г.
Тогда на основании принципа соответствия границ, заключаем, что функция
w  5z  i осуществляет конформное отображение внутренности рассматриваемой окружности
x 2  y 2  4 x  0 на внутренность окружности
(u  10) 2  (v  1) 2  100 .
4. Элементарные аналитические функции и их конформные
отображения
4.1. Линейная функция
Линейной называется функция
w  az  b ,
где a и b – комплексные постоянные, a  0 .
Линейная функция обладает следующими свойствами.
1. Областью
определения
функции
w  az  b
является
вся
комплексная
плоскость.
2. Линейная функция принимает любое комплексное значение. В самом деле,
уравнение w  az  b разрешимо относительно z при любом w : z 
wb
, (a  0) .
a
3. Отображение w  az  b однолистно на всей комплексной плоскости, так как
az1  b  az 2  b ,
если z1  z 2 для z1  C и z 2  C .
4. Заметим, что lim (az  b)   .
z 
Доопределим линейную функцию на бесконочности
az  b, z  C .
f ( z)  
 , z  .
Тогда функция f (z ) определена на расширенной комплексной плоскости.
5. Производная линейной функции ранни a
w'  (az  b)'  (az )'(b)'  a( z )'(b)'  a  0 .
Функция w  az  b , следовательно, аналитична по всей комплексной плоскости.
6. Из свойств 3, 5 и теоремы 3.10. следует, что линейная функция осуществляет
конформное отображение комплектной плоскости на себя.
Чтобы подробнее изучить отображение, осуществляемое линейной функцией,
рассмотрим вначале частные случаи. Будем изображать z и w точками одной и той
же плоскости.
1. Пусть a  1 . Тогда w  az  b (рис.4 1).
Заметим, что преобразование плоскости и этом случае сводится к параллельному
переносу с вектором переноса b . В самом деле, полагая b  x0  iy 0 , z  x  iy ,
w  u  iv , получим
w  z  b  x  iy  x0  iy 0  ( x  x0 )  i( y  y0 )  u  iv ,
откуда
u  x  x0 ,
v  y  y0 .
Мы получили формулы параллельного переноса в декартовых координатах.
Если точка z опишет некоторую кривую, то преобразование w  z  b только
перенесет её в направлении вектора b , так как каждая точка кривой перемещается
по прямой, параллельной вектору b на одно и тоже расстояние равное b .
2. Пусть a  1 , т.е. a  e i , b  0 . Тогда
w  e i z .
(4.2)
Из (4.2) имеем:
w  z , Argw  Argz   , так как ( Arge i )   . Из этих равенств следует, что
точка w получается из точки z поворотом вектора вокруг начала координат на
угол  (рис.4.2).
Действительно,
w  ( x  it )e i  ( x  iy )(cos   i sin  ) 
 ( x cos   y sin  )  i( x sin   y cos  )  u  iv
u  x cos   y sin  ,
Так что:
v  x sin   y cos  .
Мы получили известные формулы поворота осей координат.
3. Пусть a  k ( k – действительное положительное число), b  0 . В этом
случае
w  kz .
(4.3)
Из (4.3) имеем
w kz .
Argw  Argz ,
Таким образом, точка z и соответствующая точка w находятся на одном и том
же луче, выходящем из начала координат, отношение расстояния от начала
координат до точки w к расстоянию от начала координат до точки z постоянно
и равно k , т.е. преобразование является гомотетией с центром в точке z  0 и
коэффициентом k .
При
k  1 имеем растяжение, 0  k  1 имеем сжатие, при k  1 имеем
тождественное преобразование плоскости на себя (рис.4.3).
Рассмотрим теперь отображение с помощью
любой линейной функции w  az  b .
Полагая a  a e i , получим
w  a e i z  b .
Преобразование
(4.4)
есть
(4.4)
суперпозиция
преобразований
  e i z ,   a  , w    b
Поэтому переход от точки
z
к точке
w  az  b можно осуществлять,
выполнив в укапанном порядке следующие преобразования:
1) поворот вектора z относительно начала координат на угол  (  e i z ) ,
2) преобразование гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом
a (  a  ) ,
3) параллельный перенос полученной точки  на вектор ( w    b) .
4.2. Функция w 
Перед изучением функции w 
1
z
1
введём некоторые понятия.
z
Рассмотрим окружность Г : z  a  R .
Определение 4.1.
Две
точки
z1
и
z2
(рис.4.4)
называются
симметричными относительно окружности Г , если:
1) они находятся на одном луче, выходящем из
центра a окружности;
2) произведение
расстояний
от
центра
окружности до них равно квадрату радиуса окружности
z1  a  z 2  a  R 2 .
В частности, для центра окружности a симметричной точкой считается
бесконечно удаленная точка.
Определение 4.2.
Отображение, переводящее каждую точку z1 плоскости в точку z 2 , которая
симметрична данной относительно некоторой окружности называется симметрией
относительно этой окружности или инверсией.
Построение точек, симметричных относительно некоторой окружности,
можно осуществить следующим образом.
Если
z1
точка лежит внутри окружности, то проводим луч
az1 . Затем
восстанавливаем к этому лучу в точке z1 перпендикуляр до пересечения с окружностью.
В точке пересечения проводим касательную к окружности и продолжаем её до
пересечения с лучом az1 в точке z 2 . Точка z 2 и будет искомой точкой, симметричной с z1
относительно данной окружности.
Если точки z1 лежит вне окружности, то построение надо осуществить в обратном
порядке.
Перейдем к изучению функции
w
1
z
(4.5)
Установим некоторые свойства этой функции.
1. Функция w 
1
определена для всех z  0 .
z
2. Множество значений функции – все множество комплексных чисел, за исключением
точки w  0 .
Действительно, уравнение разрешимо относительно z при любом w  0 .
8. Продолжим функцию w 
1
на расширенную комплексную плоскость C  C  
z
 1 , z  0, z  ,
 z
f ( z )   , z  0,
 0, z  .

Так
доопределенная
функция
w  f (z )
взаимно–однозначно
отображает
рассматриваемую комплексную плоскость комплексной переменной z на расширенную
комплексную плоскость w , причем f (0)   и f ()  0 .
4. Функция w 
1
однолистна в области C1  C \ 0.
z
Замечание 1. Функция f (z ) однолистна на всей расширенной комплексной плоскости.
5. Докажем, что функция w 
1
есть аналитическая функция в области C1  C \ 0.
z
Выделим действительную и мнимую части функции w 
w
1
z
1
1
x  iy
x
y

 2
 2
i 2
.
2
2
z x  iy x  y
x y
x  y2
Следовательно,
u ( x, y )  Re
1
x
1
y
 2
, v( x, y )  Im   2
2
z x y
z
x  y2
u
2 xy
u
x2  y2
 2
 2
,
2 2
y
x ( x  y )
(x  y 2 )2
v
2 xy
v
y2  x2
 2
,
.

x ( x  y 2 ) 2 y ( x 2  y 2 ) 2
Частные производные
u u v v
,
,
,
неопределеиы в каждой точке z  x  iy  0 .
x y x y
Легко заметить, что в любой точке области C1  C \ 0 выполняются условия КошиРимана
u
v
2 xy
u v
y2  x2

 2
;
.

 2
2 2
y
x
x y ( x  y )
(x  y 2 )2
Выполнение этих
производных
условий в области
C1  C \ 0 и непрерывность частных
u u v v
1
,
,
,
там означает аналитичность функции w 
в области
x y x y
z
C1  C \ 0.
6. Вычислим производную от данной функции:
w'  
1
.
z2
Мы видим, что она не обращается в нуль ни при каком значении z и существует
всюду, кроме точки z  0 .
Так как в области C1  C \ 0 функция w 
реализуемое функцией w 
1
однолистна и w' 0 , то отображение,
z
1
, конформно в области C1 .
z
Замечание 2. Если учесть определение угла между линиями в бесконечно удаленной точке
(угол между линиями в бесконечно удаленной точке одной из плоскостей ( z или w ) равен углу
между образами этих линий в начале координат другой плоскости), то отображение f (z ) окажется
конформным во всей расширенной плоскости.
7. Рассмотрим геометрический смысл отображения f (z ) .
Найдем образ круга z  1 при данном отображении.
Для решения поставленной задачи отображение w 
1
представим как суперпозицию
z
двух отображений:
1)  
1
;
z
2) w   .
Рассмотрим произвольную точку z  0 , лежащую внутри единичного круга, и
найдем её образ при отображении w 
1
. Сначала построим точку  . Будем считать, что
z
плоскости z ,  и w совмещены. Имеем
 
1 1
 ,
z
z
  z  1.
откуда
Таким образом, точки z и  (плоскости z и 
совмещены) расположены на одном луче, выходящем из
центра окружности, и произведение расстояний от центра
этой окружности до точек z и  равно квадрату радиуса
R  1 окружности, а это означает, что точки z
и 
симметричны относительно единичной окружности z  1
(рис.4.5).
Отображая теперь точку  зеркально относительно
действительной оси, мы получим точку
w
1
z
Итак, чтобы по данной точке z построить точку w 
точку  
1
, надо сначала построить
z
1
, симметричную точке z относительно единичной окружности
z
z 1 , и
полученную точку  отразить симметрично относительно действительной оси. При этом
внутренность единичного круга отображается в его внешность и, наоборот, при
одновременном симметричном отображении относительно действительной оси. Начало
координат отображается в бесконечно удаленную точку, бесконечно удаленная точка в
начало координат.
Единичная окружность остается на месте, но зеркально отображается относительно
диаметра, лежащего на действительной оси.
4.3. Степенная функция с натуральным показателем
Степенная функция с натуральным показателем – это функция вида w  z n , где n –
натуральное, a z – комплексная переменная.
Свойства:
1.
Степенная
функция определена на всей комплексной плоскости, так как для
любого комплексного числа z существует
z 
z

 z  zn.



n
2. Множество значений степенной функции есть также все множество комплексных
чисел.
Докажем это утверждение, т.е. покажем, что функци я w  z n принимает любое
комплексное значение, другими словами покажем, что при любом комплексном числе w
уравнение w  z n разрешимо относительно z .
Пусть z  re i , w  Re i ,
где r  z , R  w ,   Argz ,  – одно из значений, например, главное значение Argw .
Тогда уравнение w  z n примет вид
Re i  (re i ) n
и ли
Re i  r n e in .
Модуль левой части равен R , аргумент –  . Модуль правой части равен r n , аргумент
– n .
Два комплексных выражения равны между собой тогда и только тогда, когда
модули этих выражений равны, а аргументы отличаются на число кратное 2 , т.е.
 R  rn,

n    2k , k  0,  1, 
Последняя система, очевидно, равносильна исходному уравнению. Имеем
rn R,


  2k
n
, k  0,  1, 
Таким образом нами показано, что при любом w  Re i уравнение w  z n имеет n
решений, определяемых формулой
r Re
n

(В формуле  
  2k
n
i
  2k
n
, где k  0,1,2,, n  1 .
вместо k можно брать и другие значения, отличные от
значений k  0,1,2,, n  1 , но новых решений, как легко проверить, получать не будем).
Очевидно, при w  0 уравнение имеет решение z  0 .
3.
Степенная функция w  z n аналитична во всей комплексной плоскости. Это
утверждение следует из дифференцируемости функции
w  zn  
z 
z

z


n
как произведения n дифференцируемых функций z , у каждой из которых существует
производная ( z )'  1 .
Аналитичность можно доказать и по другому. Покажем это в случае n  2 .
w  z 2  ( x  iy ) 2  ( x 2  y 2 )  i 2 xy ;
u  Re z 2  x 2  y 2 , v  Im z 2  2 xy ;
u
 2 y ;
y
u
 2x ;
x
v
 2x .
y
v
 2y ;
x
Условия Коши–Римана выполняются во всех точках плоскости.
u v
;

x y
Частные производные
u
v
 .
y
x
u u v v
,
,
,
непрерывны на всей
x y x y
комплексной
плоскости, а тогда по известной теореме–условии аналитичности функций в
области функция w  z n будет аналитической во всей комплексной плоскости.
4.
Степенная функция w  z n однолистна во всяком углу величины
2
с
n
вершиной в начале координат. (Под углом здесь и далее понимаем открытый угол,
не включающий в себя сторон).
Докажем
утверждение
следующим
образом:
посмотрим,
где
возможно
нарушение однолистности функции w  z n в комплексной плоскости, т.е. где при
z1  z 2 будем иметь
z1n  z 2n .
z1  z1 e i1 , z 2  z 2 e i2 ,
Пусть
1  Argz1 ,  2  Argz 2 ,
где
тогда
z1 e e1n  z 2 e e 2 n  z1
n
n
n
 z 2 ,  2 n  1n  2k ,
n
k  0,  1,  2,  ,
так как два комплексных выражения равны между собой тогд только тогда, когда
равны их модули, а аргументы отличав на число, кратное 2 .
Из последних равенств получим
z1  z 2 ,  2  1 
2k
, k  0,  1,  2,  .
n
Мы видим, что нарушение однолистности возможно в точках z1 и z 2 , у
которых одинаковые модули, а аргументы отличаются на числа:
 2  1 
Это означает, что внутри угла
2
2
,  2  1  2  , 
n
n
2
n
(рис.4.0) нарушение
однолистности произойти не может, а, значит, внутри этого
угла функция однолистна.
2
n
с вершиной в начале координат на плоскости z конформно
отображает на открытый угол n с вершиной в начале
координат на плоскости w .
Как мы показали, функция w  z n однолистна в указанном углу. Кроме этого, в
5.
Степенная функция w  z n всякий открытый угол  
каждой точке угла существует производная ( z n )'  nz n 1  0 , а такие отображения, как мы
знаем, конформны.
Покажем теперь, что образом угла  при отображении w  z n является угол n .
Рассмотрим произвольный луч Oz образующий угол  с осью Ox при условии
1     2 (рис.4.7), Легко проверить, используя формулу w  z n  z e in , что образом
n
луча Oz при отображении w  z n будет луч Ow , обрааующий угол n с осью O1u , так
как Argw  n , если Argz   .
Если луч Oz будет вращаться от положения луча OA к положению луча OB , то он
опишет угол  . Тогда образ луча Oz – луч Ow опишет угол n , перемещаясь от луча
O1 A1 к лучу O1 B1 .
4.4. Показательная функция
Как известно, при x действительном имеем
x
e x  lim (1  ) n .
n 
n
Аналогично определяем
z
e z  exp z  lim (1  ) n ,
n 
n
если z  x  iy – комплексное.
Можно показать [5], что
z
e z  lim (1  ) n  e x ,
n 
n
z
Arge z  Arg lim (1  ) n  y .
n 
n
(Здесь и ниже символ ( Argt ) означает одно из значений аргумента t ).
Таким образом, комплексная показательная функция с комплексным показателем
определяется равенством
e z  exp z  e x (cos y  i sin y) ,
(4.7)
так как
z
lim (1  ) n  e x (cos y  i sin y ) .
n 
n
Свойства показательной функции.
1. Область определения показательной функции – все множество комплексных
чисел, т.е. D(e z )  C . Утверждение следует из того, что действительная функция w  e x
определена при любом действительном x , а действительные функции sin и cos определены
при любом действительном
y , а поэтому формула (4.7) имеет смысл при любом
комплексном z  x  iy .
2. e z  e x ;
Arge z  y .
Это свойство следует из формулы (4.7).
3. Показательная функция принимает любое комплексное значение, кроме нуля, т.е.
множество значений (область значений) показательной функции
E (e z )  C \ 0 .
Показательная функция не принимает нулевого значения, так как
ez  ex  0 .
Покажем
теперь,
что
показательная
функция
примет
значение
любого
комплексного числа w  0 , т.е. покажем, что уравнение
w  ex
(4.8)
разрешимо относительно z  x  iy при любом w  0 .
Представим w в тригонометрической форме:
w  w (cos  i sin  ) ,
(4.9)
где  – одно из значений Argw , например, пусть   Argw – главное значение
Argw .
Теперь на основании (4.7) и (4.9) уравнение (4.8) примет вид:
w (cos  i sin  )  e x (cos y  i sin y) .
Отсюда
w  e x , y    2k , k  0,  1,  2,  ;
Итак, мы нашли решение уравнения (4.8)
z  x  iy  ln w  i(arg w  2k ) , k  0,  1,  2, 
(4.10)
при любом w  0 .
Свойство доказано.
4.
e z1  z2  e z1  e z2 .
Пусть z1  x1  iy1 , z 2  x2  iy 2 .
Тогда
e z1  z2  e ( x1  x2 )i ( y1  y2 )  e x1  x2 [cos( y1  y 2 )  i sin( y1  y 2 )] .
(4.11)
(Последнее равенство получено на основании формулы (4.7)) С другой стороны
e z1  e z2  e x1 (cos y1  i sin y1 )  e x2 (cos y 2  i sin y 2 ) 
e x1  x2 [(cos y1 cos y 2  sin y1 sin y 2 )  i(sin y1 cos y 2  sin y 2 cos y1 )] 
 e x1  x2 [cos( y1  y 2 )  i sin( y1  y 2 )] .
(4.12)
Из (4.11) и (4.12) имеем доказываемое утверждение
e z1  z2  e z1  e z2
5. Показательная функция аналитична во всей комплексной плоскости и (e z )'  e z .
Из определения показательной функции имеем
e z  e x cos yie x sin y .
Следовательно,
u  Re e z  e x cos y
v  Im e z  e x sin y ;
u
 e x cos y ;
x
u
 e x sin y ;
y
v
 e x sin y ;
x
v
 e x cos y .
y
Частные производные непрерывны в каждой точке z  x  iy  C , так как для любых
x и y непрерывны функции e x , cos y , sin y . Легко заметить также, что в любой точке
комплексной плоскости выполняются условия Коши-Римана:
u v
;

x y
u
v
 .
y
x
Выполнение этих условий и непрерывность частных производных
u u v v
,
,
,
во
x y x y
всей комплексной плоскости означает аналитичность показательной функции во всей
комплексной
плоскости.
Для
нахождения
f ' ( z) 
u
v
i
x
x
производной
показательной
функции
воспользуемся формулой
( f ( z )  u ( x, y )  iv ( x, y )) ;
(e z )'  e x cos y  ie x sin y  e x (cos y  i sin y)  e z .
6. Показательная
функция
непрерывна
во
всей
комплексной
плоскости.
Непрерывность функции следует из её аналитичности. (Функция аналитическая во всей
комплексной
плоскости
дифференцируема
в
каждой
точке
плоскости,
а
дифференцируемости всегда следует непрерывность функции).
7. Показательная функция периодична с периодом равным 2i .
В самом деле
e z  2i  e x i ( y  2 )  e x [(cos y  2 )  i(sin y  2 )] 
 e x (cos y  i sin y)  e z .
Замечание. Любой другой период показательной функции имеет вид
2ik , k  0,  1,  ,
т.е., если
e z T  e z ,
то T  2ik , k  0,  1,  2 ,  .
Пусть имеем (4.13), тогда e T  1 . Положим T    i , тогда e   i  1 .
e (cos   i sin  )  1  e  1 ,
(4.13)
из
  2k , k  0,  1,  2 ,  .
(4.14)
Из (4.14) следует, что   0 , тогда
T  0  i2k , k  0,  1,  2 ,  .
Что и требовалось доказать.
8. Показательная функция однолистна во всякой
открытой горизонтальной полосе ширины не больше
2 .
Утверждение будет доказано, если мы покажем,
что нарушение
однолистности возможно лишь на
границах указанной полосы, т.е.
e z1  e z2 при z1  z 2
тогда и только тогда, когда z1  z 2  2k , например, при
k  1 z1 и z 2 лежат па пересечении перпендикуляра HC с прямыми AB и A1 B1 , расстояние
между которыми равно 2 (рис.4.8).
Итак, пусть e z1  e z2 и z1  z 2 .
Тогда e z1 T  e z1 , где T  z 2  z1 .
Но T , как показано в предыдущем свойстве, всегда равно 2ik , т.е. T  2ik . Итак,
z 2  z1  2ik , k  0,  1,  , если e z1  e z2 , что и требовалось доказать.
4.5. Отображения, осуществляемые показательной функцией
Задача 1.
Найти оброз горизонтальной прямой y  y 0  const при отображении w  e z .
Решение.
Пусть z  x  iy 0 – любая точка прямой AB , где y  y 0  const (рис.4.9).
Тогда w  e z  e x iy0  e x (cos y 0  i sin y 0 ) . Но w  e z  e x , ( Argw)  y0  const . Если x
изменяется от   д о   , т о w  e x iy0  e x изменяется от 0 до   .
( Argw)  y0  const остается неизменным. Если x  Re z изменяется от   до   , a
Im z  y0  const не изменяется, то точки z «пробегает» прямую AB , а тогда образ точки
z при отображении w  e z «продвигается» по лучу O1 B1 , образующему угол y 0 с осью
O1u в плоскости
, так как
w и з м е н я е т с я в э т о м с л уч а е о т 0 д о   , а
( Argw)  y0  const остается неизменным.
Итак, образом прямой AB , где y  y 0  const при отображении w  e z является луч
O1 B1 , образующий угол y 0 с осью O1u на плоскости
.
Задача решена.
Задача 2.
Найти образ вертикальной прямой при отображении w  e z . Решение.
Пусть z  x0  iy – любая точка прямой KL (рис.4.10), где x0  Re z  const . Образ этой
точки – точка
w  e z  e x0 (cos y  i sin y) .
Если y  Re z изменяется от   до   , то точка z  x0  iy «пробегает» прямую
LK снизу вверх, а образ этой точки при отображении точка w  e x0 (cos y  i sin y) будет
описывать «бесконечное» число раз окружность w  e x0  const .
Задача решена: образом прямой x  x0  const при отображении w  e z является
окружность w  e x0  const в плоскости
.
Задача 3.
Найти образ горизонтальной полосы шириной h р при отображении w  e z .
Решение.
Рассмотрим
произвольную
горизонтальную
прямую
AB :
y  ,
лежащую
в
горизонтальной полосе, ограниченной прямыми KM , где y   1 и RS , где y   2
(рис.4.11).
Образом прямой AB , как мы установили при решении задачи 1 , является луч O1 B1 в
плоскости
, образующий угол у с осью O1u . При изменении  от  1 до  2 , прямая AB
перемещается от прямой KM к прямой RS и «заметает» в плоскости
горизонтальную
полосу шириной h   2   1 .
Образ прямой AB – луч O1 B1 будет перемещаться при этом от луча O1 M 1 к лучу
O1 S1 (  изменяется от  1 до  2 ) и опишет на плоскости
угол величиной h   2   1 .
Задача решена: образом горизонтальной полосы шириной h при отображении w  e z
является угол на плоскости
с вершиной в начале координат O1 величины h .
Замечание. Если открытая горизонтальная полоса имеет ширину не больше 2 , то,
как мы отметили в свойствах функции w  e z , эта функция однолистна в данной полосе.
Кроме того, в каждой точке комплексной плоскости, а значит и в каждой точке
полосы (e z )'  e z  0 .
Однолистность функции
w  ez
в рассматриваемой полосе и условие
(e z )'  0
обеспечивает конформность отображения полосы шириной h  2 на угол величины h с
вершиной в начале координат.
4.6. Тригонометрические функции комплексного переменного
Тригонометрические функции sin z и cos z определяются следующими равенствами:
sin z 
e iz  e iz
;
2i
(4.15)
cos z 
e iz  e iz
.
2
(4.16)
Это определение естественно, так как при действительном 
из определения
показательной функции (формула (4.7)) имеем
sin z 
e i  e i
e i  e  i
; cos z 
.
2i
2
Установим некоторые свойства тригонометрических функций.
1.
Тригонометрические функции sin z и cos z определены для всех z  C , так как для
всех z  C определена показательная функция e z .
2. Известные
тригонометрические
тождества
остаются
справедливыми
и
для
тригонометрических функций комплексного переменного.
Например,
а) sin 2 z  cos 2 z  1 ;
б) sin( z1  z 2 )  sin z1  cos z 2  cos z1  sin z 2 ;
в) cos( z1  z 2 )  cos z1  cos z 2  sin z1  sin z 2 ;
г) sin 2z  2 sin z  cos z .
Докажем, например, что sin 2z  2 sin z  cos z .
Действительно, имеем
sin 2 z 
2
3.
e i 2 z  e i 2 z (e iz  e iz )  (e iz  e iz )


2i
2i
(e iz  e iz ) (e iz  e iz )

 2 sin z  cos z
2i
2i
Функции sin z , cos z непрерывны во всей комплексной плоскости, так как
непрерывна в каждой точке комплексной плоскости функция w  e z .
4.
Функции sin z и cos z являются периодическими с периодом 2 .
Действительно, имеем
e i ( z  2 )  e i ( z  2 ) e iz 2i  e iz 2i e iz  e iz
sin( z  2 ) 


 sin z ;
2i
2i
2i
e i ( z  2 )  e i ( z  2 ) e iz  e iz
sin( z  2 ) 

 cos z .
2i
2i
Докажем, что у функций sin z , cos z периодов, отличных от 2k , k  0,  1,  2 ,  не
существует.
В самом деле, если T – есть период функции cos z , то
cos( z  T )  cos z .
При z 

получаем
2
cos(T 

2
)  0.
Отсюда следует, что

e
i (T  )
2

e
 i (T  )
2
 0,
или
e i ( 2T  )  1 .
Положим T    i , тогда
e 2   e i ( 2  )  1 ,
e 2   (cos( 2   )  i sin( 2   ))  1 .
Отсюда следует, что
  0 ,   m , m  0,  1,  2 ,  ,
т.е. T    i  m , и так как cos T  cos 0  1, то m есть четное число и T  2k ,
k  0,  1,  2 , 
5. Функция sin z – нечетная, a cos z – четная, т.е.
sin(  z )   sin z ; cos(  z )  cos z .
Эти равенства легко проверить, если воспользоваться формулами (4.15) и
(4.16).
6. Функции
w  sin z
и
w  cos z
являются
аналитическими
во
всей
комплексной плоскости.
Проверим это, например, для функции w  sin z . Выделим действительную и
мнимую части функции w  sin z :
w  u  iv  sin z 


e iz  e iz e i ( x iy)  e i ( x iy)


2i
2i
e ix y  e ix y e  y (cos z  i sin z )  e y (cos z  i sin z )


2i
2i
cos x(e  y  e y )  i sin x(e  y  e y )
e y  e y
e y  e y
 sin x
 i cos x
.
2i
2
2
Отсюда имеем, что
u ( x, y )  sin x
e y  e y
e y  e y
; v( x, y )  cos x
.
2
2
Легко проверить, что условия Коши-Римана
(4.17)
u v
;

x y
u
v

y
x
выполняются для всех z  C . Так как функции u ( x, y ) и v ( x, y ) имеют непрерывные
частные производные и условия Коши-Римана выполняются для всех z  C , то функция
w  sin z является аналитической во всей комплексной плоскости.
По формуле f ' ( z ) 
u
v
i
– вычислим производную функции w  sin z .
x
x
w'  (sin z )' 

u
v
e y  e y
e y  e y
i
 cos x
 i( sin x
)
x
x
2
2
ey
e y
e ix y  e ix y
(cos x  i sin x) 
(cos x  i sin x) 

2
2
2
e i ( x iy)  e i ( x iy) e iz  e iz


 cos z .
2
2
Аналогичным образом доказывается, что
(cos z )'   sin z .
7. Некоторые свойства тригонометрических функций не сохраняются при
переходе от действительного аргумента к комплексному. Может оказаться, что
sin z  1 или cos z  1 .
В самом деле
e iz  e  iz
e iz e  iz
e iz
e iz





2i
2i
2i
2i
2i
sin z 

e iz
2

e  iz
2

e  y ix
2

e y iz
2

ey e y

,
2
2
при y   sin z стремится к   и, следовательно, sin z принимает сколь угодно
большое значение. Другими словами функции sin z и cos z неограничены во всей
комплексной плоскости.
8. Уравнения sin z  0 и cos z  0 имеют решения только при y  0 , т.е.
только
на
действительной
оси.
k  0,  1,  , а cos z  0 , если z  x 

2
Следовательно,
sin z  0 ,
если
z  x  k ,
 k , k  0,  1,  ,.
В самом деле, пусть
sin z  0 .
Тогда из (4.17) следует, что
(4.18)
sin x
e y  e y
e y  e y
 i cos x
 0 , т.е.
2
2
sin x  chy  i cos x  shy  0 .
Отсюда имеем
sin x  chy  0,
.

cos x  shy  0.
Из первого уравнения системы следует, что sin x  0 , так как chy  0 для
любого y . Из второго уравнения системы получим, что shy  0 , так как при
sin x  0 cos x  0 . Но shy  0 тогда и только тогда, когда y  0 .
Таким образом,
sin x  0  z  x  k , k  Z .
Функции tgz и ctgz определяются формулами:
tgz 
sin z
;
cos z
Так как cos z  0 при z  x 
определена.
Аналогичным

2
ctgz 
cos z
.
sin z
 k , k  Z , то в этих точках функция tgz не
образом
функция
ctgz
определена
всюду
на
комплексной плоскости, кроме точек z  k , k  0,  1,  .
4.7. Гиперболические функции комплексного переменного
Гиперболические функции определяются следующими соотношениями:
chz 
e z  ez
e z  ez
; shz 
2
2
(4.19)
Сравнивая определение тригонометрических функций и гиперболических функций,
получим:
chiz  cos z ; shiz  i sin z ;
cos iz  chz ; sin iz  ishz .
(4.20)
Следовательно, если аргумент синуса имеет множитель i , то его можно внести за знак
функций, причем синус тригонометрический следует заменить синусом гиперболическим и
наоборот.
Если аргумент косинуса имеет множитель i , то его можно опустить, заменив
тригонометрический косинус гиперболическим и наоборот.
Используя формулы (4.20), можем получить ряд тождеств для гиперболических
функций.
1. Известно,
что
sin 2   cos 2   1 .
Пусть
  iz .
Тогда
sin 2 iz  cos 2 iz  1 .
Воспользовавшись формулами (4.20), получим
(ishz ) 2  (chz ) 2  1 ,
т.е.
ch 2 z  sh 2 z  1 .
sh( z1  z 2 )  i sin i( z1  z 2 ) 
2.
 i(sin iz1 cos iz 2  sin iz 2 cos iz1 )  i(ishz1chz 2  ishiz 2 chiz1 ) 
 shz1chz 2  chz1 shz 2 .
Аналогичным образом указывается, что
ch( z1  z 2 )  chz1chz 2  shz1 shz 2 .
4.8. Логарифмическая функция комплексного переменного
Определение 4.4.
Соответствие,
обратное
показательной
функции
называется
многозначной
логарифмической функцией.
Разрешив уравнение
ez  w
(4.21)
относительно z , w  0 получим формулу для определения значений многозначной
логарифмической функции: представим w в показательной форме w  w e i , где  – одно
из значений Argw , например,   Argw – главное значение аргумента w , и представив e z в
виде e z  e x  e iy получим равенство e x  e iy  w e i . Отсюда получим
e x  w , x  ln w , y    2k , k  0,  1,  2 ,  ,
так как два комплексных выражения равны между собой тогда и только тогда, когда равны
модули этих выражений, а аргументы отличаются на число, кратное 2 . Итак имеем
z  x  iy  ln w  i(  2k )
или
z  ln w  i(arg w  2k ) –
– соответствие, обратное показательной функции w  e z . Это соответствие обозначаем
символом Lnw . Итак, по определению
Lnw  ln w  i(arg w  2k ) , k  0,  1,  2 , 
(4.22)
Полагая в формуле (4.22) k  0, k  1,  , получим ряд однозначных функций:
k  0,
z  ( Lnw) 0  ln w  i arg w ;
k  1,
z  ( Lnw)1  ln w  i(arg w  2 ) ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эти функции называются однозначными ветвями многозначной логарифмической
функции z  Lnw .
Для однозначной ветви z  (Lnw) 0 вводят специальный символ ln w , т.е. полагают
ln w  ( Lnw) 0 или что тоже самое
ln w  ln w  i arg w .
Эту ветвь называют главной ветвью логарифмической многозначной функции.
Каждая ветвь логарифмической функции является функцией обратной для сужения
показательной функции w  e z на некоторую горизонтальную полосу шириной 271.
Например, z  ln w – функция обратная для сужения функции w  e z на полосу
   Im z  y   . В самом деле, функция w  e z однолистна в указанной полосе, а
следовательно существует для этой функции в указанной полосе обратная однозначная
функция. Формулу для определения значений этой функции получим, если разрешим
относительно z уравнение:
w  ez
при условии    Im z  y   .
Решения этого уравнения получены, все они содержатся в формуле
z  x  iy  ln w  i(arg w  2k ) , k  0,  1,  2 ,  .
(4.23)
Условию    Im z  y   удовлетворяет функция
z  ln w  i arg w  ln w ,
получаемая из формулы (4.23) при k  0, так как здесь
y  0 ,    arg w   .
Итак,
z  ln w – функция обратная для сужения функции w  e z на полосу
   Im z   .