Документ 323273

Вариант №2
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ (50 баллов)
1.Для множеств A   4; 0;1; 2; 5и B   4;  3;0;1;1; 2 найдите:
пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств A  B . Составьте три
различных подмножества множества В. (3 балла)
2.Решите уравнение: 3  x  x  2  x  4 , (3 балла)
3.Вычислите значения определителей:
1
3 2 1
2 3 1
2 1 3 1
2 2
1)
; 2) 0 1  1 ; 3)
. (3 балла)
3 1
0 1
2 3
1 1 3
2
1
1 1
4.Постройте обратную матрицу для данной:
 3 1 2 


(3 балла)
  1 1  1
 1 1 0


5.Решите систему линейных уравнений методом Крамера:
 x1  3x 2  2 x3  5,

(3 балла)
 x1  9 x 2  4 x3  1,
 2 x  6 x  3x  6.
1
2
3

6.По координатам вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 A1 0; 3; 2 , A2  1; 3; 6, A3  2; 4; 2 , A4 0; 5; 4 найти:
1) длины ребер A1 A2 и A1 A3 ; 2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A3 ; 3) площадь грани A1 A2 A3 ; 4) объем
пирамиды; 5) уравнения прямых A1 A2 и À1 À3 ; 6) уравнения плоскости A1 A2 A3 ; 7) высоту пирамиды,
опущенную из вершины A4 к плоскости A1 A2 A3 ; 8) высоту грани A1 A2 A3 , проведенную из вершины
A2 к стороне A1 A3 . (4 балла)
7.Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что полуось в = 6, а эксцентриситет е = 0,4; (3 балла)


n 3  2n 2  4n
x 2  3x  4
sin 2 x
 x  3
2
lim
;
lim
; 5) lim 
2)
3)
.
4)
;
lim
x

6

x
 .
2
2
x 
x  4
x0 3 x
n 
x 
4 x
n 5
 x 
8.Найти: 11) lim
x
(3 балла)
9.Вычислите производные следующих функций:
x
e2x
. (3 балла)
2x
10. Найдите приближенное значение выражения: 99.9 . (3 балла)
x 1
. (3 балла)
11. Вычислите значение предела, используя правило Лопиталя: lim
x 1 ln x
12. Исследовать при помощи дифференциального счисления и построить график функции:
x 2  5x  3
y 2
.
(3 балла)
x  x 1
1) f x   3 2  3x  2 ; 2) f x   x 3 cos 4 x; 3) f  x  
13.Найдите интегралы известными Вам методами:
e3x  1
ln x
dx ; 2) 
1) 
dx , 3)  x  2  x dx , 4)
x
e
x 1  ln x
(4 балла)
14. Вычислите известными Вам методами:
 2
1)
3
2
 cos x  sin x dx ; 2)  3x e

2

2
x3
dx ; (3 балла)
0
15. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
2x  3
dx , 5)
2
4
x
dx
 x 1  x  .
3
4
1) y   x 2  2 x  3, y  0 ; 2) y  x 2  10 x  16, y  x  2 . (3 балла)
16. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям:

у   y sin x  е  cos x sin 2x; у 0  3, х 0  ;
(3 балла)
2
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА (25 баллов)
1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не
превосходит 4;б) произведение числа очков не превосходит 4;в) произведение числа очков делится на 4.
(2,5 балла)
2. В круге радиуса 12 наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну
из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1 =2,37 и S2.=3,52 (3 балла)
3. Среди 9 лотерейных билетов 3 выигрышных. Наудачу взяли 6 билетов. Определить вероятность того,
что среди них 2 выигрышных. (2,5 балла)
4. В двух партиях 78% и 39% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по
одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно
бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное? (2,5 балла)
5. Из 1000 ламп ni принадлежат i-й партии, i = l, 2, 3,
3
n
i 1
i
=1000. В первой партии 6%, во второй 5%, в
третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что
выбранная лампа - бракованная. n1=430, n2=180. (2,5 балла)
6. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет mi% изделий
(i=l, 2, 3). Среди изделий i-го завода ni% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось
первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом.
m1=60, m2=20, m3=20, n1=70, n2=80, n3=90, j=2 (3 балла)
7. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,4. Куплено 13 билетов. Найти
наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность. (3 балла)
8. Случайная величина Х задана рядом распределения. Найти функцию распределения F(x) случайной
величины X и построить ее график. Вычислить для X ее математическое ожидание М(Х), дисперсию
D(X) и среднее квадратическое отклонение. (3 балла)
X
5
10
12
14
0,4
0,2
0,1
0,3
9. В лабораторию поступили 1800 образцов. Из них 550 были отобраны случайно для испытаний на
электросопротивление. Результаты испытаний приведены в таблице:
Электросопро8,5 – 9,5
9,5 – 10,5 10,5 – 11,5 11,5 – 12,5 12,5 – 13,5
Итого
тивление
Число
40
80
180
200
50
550
образцов
Найти границы, в которых с вероятностью 0,978 заключено среднее электросопротивление одного образца во всей
совокупности, если выборка: а) повторная; б) бесповторная. (3 балла)
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА (25 баллов)
1. Пусть даны четыре множества A, B, C и D (см. рис.).
A
B
D
C
Постройте диаграммы Эйлера-Венна для следующих выражений:
DB
A|D
C  A
(5 баллов)
2. Ниже номера наборов четырех переменных, на которых логическая функция принимает единичное
значение. Запишите эту функцию в СДНФ и произведите минимизацию методом Куайна, методом
сочетания индексов и методом Карно (результаты минимизации для всех случаев должны совпасть).
f(0, 3, 7, 9, 10, 12, 13, 14) = 1. (5 баллов)
3. Постройте матрицы смежности и инцидентности для графа.
2
5
3
1
4
(5 баллов)
4. Постройте матрицы смежности и инцидентности графа G: G1  G2  G3
G1
G2
1
7
3
4
G3
6
1
3
5
3
4
2
(5 баллов)
5. Закодируйте сообщение с длиной кодового слова l = 4. Добавьте корректирующие коды для защиты
кодов сообщения от единичных сбоев.
«ТИШЕ ЕДЕШЬ – ДАЛЬШЕ БУДЕШЬ». (5 баллов)