080502 - Амурский государственный университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
(ГОУ ВПО «АмГУ»)
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по УНР
________________Е.С.Астапова
«_____» _______________2007г.
РАБОЧАЯ
по дисциплине
ПРОГРАММА
«Теория поля» – факультатив
для специальности 080502 – Экономика и управление на предприятии
(по отраслям)
курс – I
семестр – II
Лекции –
18 (час.)
Практические занятия – 18 (час.)
Экзамен – нет
Зачет – II семестр
Лабораторные занятия – 0 (час.)
Самостоятельная работа – 28 (час.)
Всего часов –
64 (час.)
Составители: Двоерядкина Н.Н., Торопчина Г.Н.
Факультет М и И
Кафедра ОМ и И
2007 год
Рабочая программа составлена на основании авторских разработок преподавателей кафедры ОМиИ, в соответствии с рекомендациями выпускающей кафедры.
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры общей математики и информатики
« __ » __________ 2007г., протокол №_______
Заведующий кафедрой _______ Г.В. Литовка
Рабочая программа обсуждена на заседании УМС ___________________
«___» ______________2007г., протокол № ____
Председатель ______________________________
(подпись И.О.Ф.)
СОГЛАСОВАНО
СОГЛАСОВАНО
Начальник УМУ
Председатель УМС факультета
____________________
_______________________
«__» ___________2007г.
«___» ______________2007г.
СОГЛАСОВАНО
Заведующий выпускающей
кафедры
_____________________
«__» __________2007г.
Рабочая программа переутверждена на 20__/20__ учебный год на заседании кафедры от «___» ________ 20__г., протокол №__
Заведующий кафедрой _________ Г.В.Литовка
Заведующий выпускающей кафедры_________________
3
1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе.
1.1. Цели преподавания учебной дисциплины «Теория поля» (факультатив)
Дисциплина «Теория поля» является логичным продолжением дисциплины
«Математика» для специальности «Экономика и управление на предприятии (по отраслям)» поэтому целью преподавания этой дисциплины является:
- углубление знаний студентов по отдельным темам математики, имеющим
широкое физическое приложение;
- обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и
моделирования устройств, процессов;
- формирование личности студента, развитие его интеллекта и творческих способностей.
1.2. Задачи изучения дисциплины.
- на математических примерах из «Теории поля» продемонстрировать сущность научного подхода, универсальность математики и ее роль в развитии других
наук;
- научить студентов приемам исследования и решения математически формализованных задач;
- привить навыки самостоятельного изучения литературы.
1.3. Перечень учебных дисциплин с указанием разделов, усвоение которых
необходимо для осознания учебных тем курса «Теория поля».
Основные аксиомы и теоремы элементарной геометрии, алгебры, начал математического анализа, общей физики.
1.4. После изучения дисциплины студент должен знать и уметь использовать:
- основные понятия и методы векторного анализа, интегрального исчисления,
теории рядов, аналитической геометрии;
- математическую символику для выражения количественных и качественных
отношений объектов.
4
2. Содержание дисциплины.
2.1. Федеральный компонент. Дисциплина «Теория поля» является факультативом, поэтому при составлении рабочей программы мы опираемся на опыт работы
кафедры «Общей математики и информатики» и рекомендации кафедры «Экономики и менеджмента организации» АмГУ.
2.2 Лекционные занятия, наименование тем, содержание.
1. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве: аффинная, прямоугольная, полярная, цилиндрическая, сферическая системы координат; задание
координат точки в различных системах; построение фигур на плоскости; построение поверхностей и тел в пространстве методом сечений.
2. Некоторые приложения определенного интеграла: длина дуги плоской кривой; объем тел вращения; площадь поверхности вращения; статические моменты и
моменты инерции плоских дуг и фигур; координаты центра тяжести; вычисление
работы и давления с помощью интеграла.
3. Кратные интегралы и их приложения: понятие двойного интеграла, его
геометрический смысл, свойства; вычисление двойного интеграла в декартовых и
полярных координатах; нахождение площадей и объемов с помощью двойных интегралов. Понятие тройного интеграла, его свойства; тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах; нахождение объема, массы, центра тяжести тел с помощью тройного интеграла.
4. Криволинейные и поверхностные интегралы: понятие криволинейного и
поверхностного интегралов, их свойства; вычисление криволинейного интеграла
при различных способах задания контура кривой; формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса.
5. Элементы векторного анализа: понятие скалярного и векторного полей; ротор и дивергенция векторного поля; поток и циркуляция векторного поля их вычисление и физический смысл.
6. Ряды Фурье: теорема Дирихле; разложение периодических функций в ряд
Фурье; продолжение функций четным и нечетным образом.
5
2.3 Практические и семинарские занятия, их содержание.
1. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве: построение точек
и фигур в прямоугольной и полярной системах координат на плоскости. Построение поверхностей и тел в пространстве методом сечений. Взаимное расположение
прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве.
2. Приложения определенного интеграла: вычисление длины дуги; объема тел
вращения; площади поверхности вращения; статических моментов и моментов
инерции; координат центра тяжести; работы и давления с помощью интеграла.
3. Кратные интегралы и их приложения: вычисление двойного интеграла в
декартовых и полярных координатах; нахождение площадей и объемов с помощью двойных интегралов. Вычисление тройного интеграла в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат; нахождение объема, массы,
центра тяжести тел с помощью тройного интеграла.
4. Криволинейные и поверхностные интегралы: вычисление криволинейного
интеграла при различных способах задания контура кривой и поверхностного интеграла; формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса.
5. Элементы векторного анализа: вычисление ротора и дивергенции потока и
циркуляции векторного поля.
6. Ряды Фурье: разложение периодических функций в ряд Фурье; продолжение функций четным и нечетным образом.
2.4. Самостоятельная работа студентов.
Студентам необходимо самостоятельно повторять ранее изученные понятия
по математике. Основное время, выделенное на самостоятельную работу, отдается
на выполнение домашних заданий и подготовку к контрольным работам.
2.5 Промежуточные формы контроля знаний, перечень и темы.
Результативность работы обеспечивается системой контроля, которая включает опрос студентов на практических занятиях, проверку выполнения домашних
заданий, контрольные работы, зачет.
Каждое практическое занятие начинается с проверки домашнего задания и
опроса по теоретическому материалу.
6
По каждой теме
предусмотрена контрольная работа, которая позволяет
определить уровень усвоения темы.
Образец типовых контрольных работ.
Тема 1: аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
1. Составить уравнение множества точек, произведение расстояний которых
от точек F1(a,0) и F2 (- a, 0) есть постоянная величина равная а 2. В полученном
уравнении перейти к полярным координатам и построить фигуру.
2. Дан тетраэдр ABCD: A (-1, 2, 5); B(0, -4, 5); C(-3, 2, 1); D(1,2,4). Написать
уравнение плоскости , проходящей через вершину D перпендикулярно стороне
АВ. Определить двугранный угол между плоскостями ABD и ABC.
3. Исследовать сечение поверхности 4x2+9y2-36z2-144=0 координатными
плоскостями и плоскостями: х-3=0, у+4=0, z-1=0.
4. Построить изображение поверхности, заданной в пространстве уравнением:
x2+4y=0
Тема 2: Приложения определенного интеграла


1. Найти длину дуги кривой   cos 3   от   0 до   .
3
2
2. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ од х  t  sin t
.
 y  1  cos t
ной арки циклоиды: 
3. Найти статический момент и момент инерции треугольника с основанием 5
см и высотой 3 см относительно его основания.
Тема 3: Кратные и криволинейные интегралы.
1. Вычислить: a)
 x ln ydxdy , где
D
б)
 x
T
2
0  x  4
D:
;
1  y  e
 x  0, y  0, z  0
;
yzdxdydz , где T : 
 x yz 2
в)
 z  (x2  y 2 ) / 2
2
где
;
(
x

y

z
)
yzdxdydz
T
:
 2

2
2
x  y  z  3
T
г)
dxdy
 y  1  x 2
D
:
,
где
;

D x 2  y 2  1
 y  0
7
 x0
д)  уdx где L :  y  0
L
2 x  3 y  6

е)
 (x
2
 y 2 )dx  xydy, если путь от А(1; 1) до В (3; 4) отрезок прямой.
AB
2. Определить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями
у2=4х+4 и у2=-2х+4.
3. Найти площадь части сферы x2+y2+z2=4, вырезанной цилиндром х 2/4+у2=1
4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z=x2+y2 и z=1.
Тема 4: Элементы векторного анализа

1. Найти векторные линии в векторном поле а  х  i  z  k .
2. Найти работу силы F  ( x 2  2 y) i  ( y 2  2x) j вдоль отрезка MN от точки M (4;0) до точки N (0;2).

3. Найти циркуляцию векторного поля а  ( y  z) i  ( z  x) j  ( x  y) k вдоль
x  cos t


контура L :  y  sin t в направлении, соответствующем возрастанию парамет z  2  (1  cos t )

ра t.

4. Найти дивергенцию векторного поля а  ( y 2  z 2 ) i  ( z 2  x 2 ) j  ( x 2  y 2 ) k в
точке М (1,1,1).

5. Найти ротор векторного поля а  ( х  z)  i  ( x  y)  k .
Тема 5: Ряды Фурье
1. Запишите уравнение гармонических колебаний, зная что их амплитуда равна 47, частота 3, а начальная фаза 12.
2. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию у=х 2 с периодом 2, заданную на отрезке [-1, 1].
3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию у=х-х2, заданную на полупериоде [0, 1], продолжив ее: а) четным; б) нечетным образом.
4. Дана функция f(x)=соs 2x с периодом 2π, заданная на интервале [0,π]. Определить коэффициент а3 разложения f(x) в ряд Фурье.
8
2.6. Итоговый контроль знаний.
Итоговая форма контроля знаний по дисциплине зачет. Студенты допускаются к зачету в установленном порядке, определенном «Положением о курсовых экзаменах и зачетах АмГУ».
Зачет проводится по билетам, содержащим вопросы из всех разделов программы. Отметка зачтено ставится при выполнении не менее 50% заданий.
Примерные вопросы к зачету по дисциплине «Теория поля».
1. Понятие аффинной, прямоугольной, полярной, цилиндрической, сферической систем координат.
2. Определение координат точки в различных системах.
3. Построение фигур на плоскости в аффинной, прямоугольной, полярной
системах координат.
4. Построение поверхностей и тел в пространстве методом сечений.
5. Определение длины дуги плоской кривой.
6. Определение объема тел вращения.
7. Определение площади поверхности вращения.
8. Определение статических моментов плоских дуг и фигур.
9. Определение моментов инерции плоских дуг и фигур.
10. Определение координат центра тяжести.
11. Вычисление работы и давления с помощью определенного интеграла.
12. Понятие двойного интеграла.
13. Геометрический смысл двойного интеграла.
14. Свойства двойного интеграла.
15. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах.
16. Нахождение площадей и объемов с помощью двойных интегралов.
17. Понятие тройного интеграла.
18. Свойства тройного интеграла.
19. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
20. Нахождение объема, массы, центра тяжести тел.
21. Понятие криволинейного интеграла II рода.
22. Свойства криволинейного интеграла.
9
23. Вычисление криволинейного интеграла при различных способах задания
контура кривой.
24. Формула Грина для криволинейного интеграла по замкнутому контуру.
25. Понятие поверхностного интеграла.
26. Свойства поверхностного интеграла.
27. Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса.
28. Понятие скалярного и векторного полей.
29. Определение ротора и дивергенции векторного поля.
30. Понятие двусторонней ориентированной поверхности.
31. Как определяется поток векторного поля через поверхность.
32. Циркуляция векторного поля.
33. Теорема Дирихле.
34. Разложение периодических функций в ряд Фурье
2.7. Распределение времени по курсу.
Вопросы, изучаемые на
лекции
кол-во
часов
Различные системы координат, связь между ними.
2
Аналитическая геометрия
в пространстве. Плоскость
и поверхности второго порядка.
2
2
Двойной интеграл
2
Тройной интеграл
2
Криволинейный интеграл
II рода
2
Ряды Фурье
кол-во
часов
Формы
контроля
2
к/р 1
Приложения определенного интеграла.
Поверхностный интеграл
II рода
Элементы векторного
анализа
Вопросы, изучаемые на практическом
занятии
Построение точек и фигур в аффинной,
прямоугольной и полярной системах координат.
2
2
2
Построение поверхностей и тел в пространстве методом сечений.
Вычисление длины дуги; объема тел; площади поверхности; статических моментов
и моментов инерции; координат центра
тяжести; работы и давления с помощью
интеграла
Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах; нахождение площадей и объемов с помощью двойных интегралов.
Вычисление тройного интеграла в прямоугольной, цилиндрической и сферической
системах координатах; нахождение объема, массы, центра тяжести тел с помощью
тройного интеграла.
Вычисление криволинейного интеграла
при различных способах задания контура
кривой
Вычисление поверхностного интеграла
Вычисление ротора, дивергенции, потока и
циркуляции векторного поля.
Разложение периодических функций в ряд
Фурье; продолжение функций четным и
нечетным образом.
2
2
к/р 2
2
2
к/р 3
2
2
2
к/р 4
2
к/р 5
10
18
18
зачет
3. Учебно-методические материалы.
3.1. Основная литература
1. Бугров, Яков Степанович.
Высшая математика [Текст]: учебник: Рек. Мин.
обр. РФ: В 3 т. / Яков Степанович. Яков Степанович Бугров, ; Я.С. Никольский. - 5-е
изд., стер. - М. : Дрофа, 2003
Т. 2 : Дифференциальное и интегральное исчисление. - 2003. - 510 с.
Т. 3 : Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - 2003. - 512 с.
2. Ермилова, Нелли Александровна. Теория поля [Текст] : учеб. пособие: рек.
ДВ РУМЦ / Н.А. Ермилова, А.Е. Ситун; АмГУ, ФМиИ. – Благовещенск: Изд-во
Амур. гос. ун-та, 2006. - 104 с.
3. Элементы векторной алгебры [Текст] : Практикум / С.В. Карпова, Г.В. Литовка, Т.А. Маничева, А.П. Филимонова, 2001. - 74 с.
3.2.Дополнительная литература
1. Натансон, И. П. Краткий курс высшей математики [Текст] : учебник: рек.
Мин. обр. РФ / Натансон И.П. - СПб. : Лань, 2005. - 728 с.
2. Данко, Павел Ефимович.
Высшая математика в упражнениях и задачах
[Текст] : учеб. пособие для вузов: В 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников.
- 5-е изд., испр. - М. : Высш. шк., - 1999.