ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Физический факультет
Рассмотрено и рекомендовано
На заседании кафедры теоретической
и вычислительной физики ЮФУ
Протокол №_______________
«______»__________________200 г.
Зав.кафедрой____________________
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета
______________________ ____
__________________________
«_______»______________200 г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
учебной дисциплины
«ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ,
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЕКТОРНОГО
И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА»
вузовского компонента цикла ДВМ
по специальностям: 010701- Физика, 010707- Медицинская физика,
140307-Радиационная безопасность человека и окружающей среды.
Составитель
кандидат физ.-мат. наук, доц.
НОВАКОВИЧ А.А.
Ростов-на-Дону
2009 г.
2
Содержание УМК
1. Пояснительная записка…………………………………………………3
2. Учебно-тематический план дисциплины……………………………..5
3. Содержание курса……………………………………………………….9
Модуль 1. Понятие и определение вектора и векторного поля.
Основные теоремы векторного анализа……………………9
Модуль 2. Дифференциальные операторы в векторном анализе….18
Модуль 3. Понятие и определение тензора. Основные операции и
свойства тензора………………………………………….24
Модуль 4. Элементы тензорного анализа………………………………38
4. Методические рекомендации по самостоятельной работе………..48
5. Методические рекомендации по проведению практических
занятий.................................................................................................... ..58
3
1. Пояснительная записка
1.1. Цели дисциплины
В
соответствии
с
требованиями,
предъявляемыми
ГОС
по
специальностям: 010701 –физика, 010707- медицинская физика, 140307радиационная безопасность человека и окружающей среды, целью изучения
дисциплины «Векторный и тензорный анализ, Дополнительные главы
векторного и тензорного анализа» является изучение студентами основ
одного из наиболее важных для физической науки разделов математики векторного
и
тензорного
анализа
с
целью
заполнения
пробела,
существующего между традиционными математическими дисциплинами и
дисциплинами теоретической физики, и подготовки студентов к лучшему
восприятию последних, а также изложение математических методов,
используемых в курсе общей физики, прежде всего в разделе «Электричество
и магнетизм».
1.2. Задачи дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны научиться
пользоваться математическим аппаратом векторного и тензорного анализа
так, как это принято в физике, освоить типичные для физики приемы его
применения и привыкнуть к наиболее распространенным в физической
литературе системам обозначений.
Для успешного усвоения курса ВТА студенты должны знать и уметь
использовать основные разделы традиционного математического анализа,
векторной алгебры и аналитической геометрии, которые изучаются на
первом курсе физического факультета частично раньше, а частично –
параллельно с курсом векторного и тензорного анализа.
В первой части курса ВТА, читаемого студентам второго курса
физического
факультета
в
третьем
семестре
излагаются
основы
математического описания дифференциальных и интегральных свойств
4
векторных и скалярных полей. Знание этих свойств и умение владеть
соответствующим математическим аппаратом совершенно необходимо для
освоения курса общей физики «Электричество и магнетизм» и курсов
теоретической физики «Электродинамика» и «Основы механики сплошных
сред», где изучаются свойства полевых систем – электромагнитного поля и
сплошных сред – жидкостей и твердых тел.
Во второй части курса дополнительные главы ВТА, вводится понятие
тензора произвольного ранга, излагаются основы тензорной алгебры,
включающей все основные операции над тензорами, рассматриваются
свойства симметричных тензоров второго ранга, изучается символ ЛевиЧивита, использующийся в тензорном анализе для определения векторного
произведения, изучается преобразование тензорных величин при инверсии
системы
координат
и
дается
обобщение
интегральной
теоремы
Остроградского-Гаусса для тензорных полей произвольного ранга. Умение
владеть
соответствующим
математическим
аппаратом
совершенно
необходимо для освоения курса «Основы механики сплошных сред», при
изложении которого используются тензоры высших рангов, и облегчит
изучение
разделов
курса
«Электродинамика»,
использующих
релятивистскую форму записи уравнений Максвелла.
1.3. Место в образовательной программе специальности
Данная дисциплина является теоретической основой для углубления и
расширения знаний, полученных при изучении общих курсов лекций
«Электричество и магнетизм», «Основы механики сплошных сред»,
«Релятивистская электродинамика».
5
2. Учебно-тематический план дисциплины
(ВТА) Второй курс, третий семестр
Виды учебных занятий
Всего
Аудиторные
часов
занятия
по
Сам.
учеб.
Практ. работа
плану Лекции занятия
Наименование
модулей и тем
1
Модуль 1.
Понятие и
определение
вектора и
векторного
поля. Основные
теоремы
векторного
анализа.
Модуль 2.
Дифференциаль
ные операторы в
векторном
анализе.
2
3
4
5
6
Тема 1.
Скалярные и
векторные величины в
физике. Скалярные и
векторные поля.
Градиент скалярного
поля. Применение
понятия градиента в
математике и в физике.
3
3
5
Тема 2.
Поток векторного
поля. Дивергенция
векторного поля.
Теорема Гаусса и ее
применение в физике.
3
3
6
Тема 3.
Циркуляция
векторного поля. Ротор
векторного поля.
Теорема Стокса и ее
применение в физике.
3
3
6
Тема 4.
Дифференциальные
операторы второго
порядка в векторном
анализе и примеры их
применения в физике.
3
3
6
6
Тема 5.
Преобразование
выражений векторного
анализа. Метод
оператора “набла” и
примеры его
применения в физике.
3
3
5
Тема 6.
Операции векторного
анализа в
криволинейных
системах координат.
3
3
6
18
18
34
ИТОГО:
70
7
(Дополнительные главы ВТА) Второй курс, третий семестр
Виды учебных занятий
Всего
Аудиторные
часов
занятия
по
Сам.
учеб.
Практ. работа
плану Лекции занятия
Наименование
модулей и тем
1
Модуль 3.
Понятие и
определение
тензора.
Основные
операции и
свойства
тензора.
Модуль 4.
Элементы
тензорного
анализа.
2
3
4
5
6
Тема 7.
Векторы и тензоры.
Преобразование
векторов и тензоров
при поворотах системы
координат.
2
2
3
Тема 8.
Операции над
тензорами.
2
2
3
Тема 9.
Свойства тензоров
второго ранга.
Собственные значения
и собственные векторы
симметричных
тензоров второго
ранга.
4
4
5
Тема 10.
Символ Леви-Чивита.
3
3
4
Тема 11.
Преобразование
тензоров при инверсии
системы координат.
Псевдотензоры.
3
3
4
8
Тема 12.
Элементы тензорного
анализа. Обобщенная
теорема
ОстроградскогоГаусса для тензорных
полей.
4
4
5
ИТОГО:
60
18
18
24
ИТОГО по двум
частям курса
130
36
36
58
9
3. Содержание курса
Модуль 1.
Понятие и определение вектора и векторного поля. Основные теоремы
векторного анализа.
Комплексная цель: После изучения модуля студент должен знать
определение отдельного вектора и векторного поля, правило преобразования
компонент векторов при повороте декартовой системы координат, уметь
вычислять дивергенцию и ротор векторного поля, знать критерии
потенциальности и соленоидальности векторного поля, уметь вычислять их
поток и циркуляцию, понимать физический смысл основных интегральных
теорем векторного анализа.
Содержание модуля 1
Тема 1. Скалярные и векторные величины в физике. Скалярные и
векторные поля. Градиент скалярного поля. Применение понятия
градиента в математике и в физике.
Дается сводка основ векторной алгебры. Обращается внимание на то,
что большинство физических величин являются скалярами и векторами.
Подчеркивается, что физической величиной является вектор, а не
компоненты, зависящие от выбора системы координат. Напоминаются
понятия правой координатной системы, проекций (компонент) векторов,
единичных ортов, линейной комбинации векторов, скалярного, векторного и
смешанного произведений векторов. Приводятся примеры применения
векторных методов в геометрии и физике. Вводятся понятия скалярного и

 

векторного полей:  (r ) и a (r ) . Подчеркивается, что r - это не координата
частицы, а координата точки пространства. Рассматриваются скалярные и
векторные поля в гидромеханике и электродинамике. Ставится задача
изучения дифференциальных свойств скалярных полей – нахождение
экстремальных точек, определение скорости изменения поля в заданном
направлению, в частности, определения направления и скорости наиболее
быстрого роста скалярного поля. Выводится формула, связывающая
изменение поля при малом перемещении с компонентами вектора
перемещения. Анализируется структура полученной формулы и вводится
понятие вектора градиента. Рассматривается,
как
с
использованием
градиента решаются задачи описания дифференциальных свойств скалярных
полей. Показывается, что направление градиента – направление
наискорейшего роста поля, модуль – скорость роста в этом направлении,
плоскость, перпендикулярная градиенту – касательная к поверхности
постоянного значения поля, точки, где градиент равен нулю – экстремальные
точки. Приводятся примеры применения градиента в физике – связь
векторного силового поля и поля потенциальной энергии, потенциала и
напряженности электрического поля, потока тепла и градиента температуры.
Основные понятия, глоссарий.
10
Скаляр – однокомпонентная величина, значение которой не зависит от
выбора системы координат, например: масса, заряд, энергия, работа,
плотность, объем, давление и т.д.

Вектор – трехкомпонентная величина a , компоненты которой
преобразуются при поворотах системы координат как компоненты радиус
вектора r , например, сила, скорость, ускорение, напряженность
электрического поля и т.д.
Правая декартова координатная система – три взаимно перпендикулярные
координатные оси x, y, z (x1, x2, x3), направленные так, что направление оси z
(x3) определяется направлениями осей x, y (x1, x2) по правилу правого винта.
  
  
Единичные орты – три единичных вектора e x , e y , e z ( e1 , e2 , e3 ),
направленные по соответствующим координатным осям.


Линейная комбинация векторов - a  b , где ,  - вещественные числа.
ЛКВ обладает всеми традиционными алгебраическими свойствами суммы
произведений.
 
 
Скалярное произведение векторов a  b  (a , b ) - скаляр, со следующими
   
 
свойствами для любых векторов: 1. a  b  b  a , 2. a  a  0 ,



 
 
3. a  (b1  b2 )  a  b1  a  b2 .
  
 
Векторное произведение векторов a  b  [ab ]  [a  b ] - вектор, со


 



следующими свойствами: 1. [ab ]  [b a ] , 2. [a (b1  b2 )]  [ab1 ]  [ab2 ] ,

  
 

[e1e2 ]  e3 , [e2 e3 ]  e1 , [e3e1 ]  e2 . Модуль векторного произведения – это
площадь параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях.
 
Смешанное произведение векторов: (a ,[b c ]) - скаляр, модуль которого
равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях.
Для любых векторов СПВ не меняется при их циклической перестановке и
меняет знак при перестановке двух любых векторов-сомножителей.


Если в каждой точке r пространства задан скаляр  (r ) - это скалярное
поле.
 

Если в каждой точке r пространства задан вектор a (r ) - это векторное
поле.

Приращение  скалярного поля при перемещении на вектор  r равно:







   (r  r )   (r ) 
x1 
x2 
x3  grad   r .
 x1
 x2
 x3

  
,
,
Градиент – это вектор grad     с компонентами
.
 x1  x2  x3
r


Величина   grad   r  / grad / /  r / cos , где  - угол между

векторами градиент и  r . Направление вектора grad - это направление
скорейшего роста скалярного поля в данной точке, а модуль градиента – это
скорость роста поля в этом направлении.
11
Экстремальные точки скалярного поля – это точки, при смещении из
которых с точностью до членов, линейных по смещению, поле остается
неизменным. В этих точках grad  0 .
 
Силовое поле F (r ) - это векторное поле, значение которого в
каждой точке пространства равно силе, действующей на частицу в
этой точке.
Потенциальное силовое поле – это силовое поле, работа по перемещению
частицы в котором по любому замкнутому контуру равна нулю. В этом

случае можно ввести скалярное поле потенциальной энергии U (r ) ,
 

связанное с силовым полем соотношением: F (r )  grad U (r ) .
 
Плотность потока тепла q (r ) - количество тепловой энергии, протекающей
в единицу времени через единичную площадку, ориентированную
перпендикулярно потоку тепла. Вектор ППТ связан с градиентом
 


температуры соотношением: q (r )    grad T (r ) , где T (r ) - скалярное поле
температуры,  - коэффициент теплопроводности.
Тема 2. Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Теорема
Гаусса и ее применение в физике.
На физических примерах потоков массы, тепла и заряда вводится
общее понятие потока векторного поля и понятие вектора нормали к
дифференциально малой площадке. Показывается, что поток поля через
замкнутую поверхность равен сумме потоков через поверхности
дифференциально малых объемов, на которые разбивается весь объем.
Обращается внимание на то, что для того, чтобы эта сумма была
интегральной, необходимо, чтобы каждый член в ней был пропорционален
объему малого участка. Вводится понятие дивергенции векторного поля и
показывается, что дивергенция – это плотность источников поля.
Формулируются теорема Гаусса. Выводится соотношение, выражающее
дивергенцию через частные производные компонент векторного поля.
Приводятся примеры применения теоремы Гаусса для получения
дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения скалярных
величин – массы (уравнение непрерывности), электрического заряда и
количества тепла (уравнение теплопроводности). Подчеркивается, что
использование рассмотренных методов векторного анализа позволяет
сформулировать
законы
электростатики
и
магнитостатики
в
дифференциальной и интегральной формах.
Основные понятия, глоссарий.
 

Вектор площадки  S   f  n  S направлен перпендикулярно площадке и

равен по модулю ее площади. Этот вектор направлен по внешней нормали n ,
если площадка является элементом замкнутой поверхности, в противном
случае считается, что этот вектор связан с направлением обхода площадки
правилом правого винта.
12

 

Поток  векторного поля a (r ) через площадку  S в точке r равен
   
 
  a (r )   S  a (r )  nS .
 
Поток  векторного поля a (r ) через поверхность S равен сумме потоков

этого поля через все площадки  S i , на которые разбита поверхность S. При
 S i  0 сумма превращается в интеграл по поверхности S:


  
  
   a (ri )S i   a (r )dS , где ri - средняя точка на площадке  S i .
i
S
 
Поток S векторного поля a (r ) через замкнутую поверхность S может
быть записан как сумма потоков  m через поверхности дифференциально
малых объемов  Vm , на которые разбивается замкнутый объем V,
ограниченный поверхностью S:  S    m . Чтобы последняя сумма была
m
интегральной, необходимо, чтобы потоки  m были пропорциональны
соответствующим объемам  Vm .

 
Дивергенция векторного поля a (r ) в точке rm - это скаляр,
 m

 
равный: diva (rm ) 
, где rm - средняя точка в объеме  Vm .
 Vm
Отсюда следует, что в пределе при  Vm  0 сумма по m
становится
интегралом
по
объему
V:
 
 
 S    m   div a (rm )Vm   div a (r ) dV . Представляя этот поток
m
m
V
  
в виде интеграла  S   a (r )dS по поверхности S, ограничивающей
S
 

 
объем V, мы приходим к теореме Гаусса:  a (r )dS   div a (r )dV .
S
V
Связь между дивергенцией векторного поля и частными производными
3 a
 
  a1  a2  a3
его компонент: div a (r )  a 


 .
 x1  x2  x3 1  x
Уравнение непрерывности – дифференциальное уравнение в частных
производных, связывающее скорость изменения плотности  жидкости в
каждой точке объема и дивергенцию произведения плотности и скорости

 

v (r ) жидкости в этой же точке:
 div( v) . Уравнение непрерывности
t
выводится из закона сохранения массы с использованием теоремы Гаусса.
Закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее
скорость изменения плотности электрического заряда  в каждой точке и
 
дивергенцию плотности электрического тока j (r ) в этой же точке:
13


 div j . Выводится из закона сохранения заряда с использованием
t
теоремы Гаусса.
Тема 3. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Теорема
Стокса и ее применение в физике.
Рассматривается задача вычисления работы силового поля по
замкнутому контуру и на основе этого рассмотрения вводится общее понятие
циркуляции векторного поля. Устанавливается связь между циркуляцией
векторного поля и его потоком через поверхность, натянутую на контур.
Вводится понятие ротора векторного поля и выводится теорема Стокса.
Устанавливается связь между компонентами ротора и частными
производными компонент векторного поля по координатам. Показывается,
как в двумерном случае из теоремы Стокса выводится формула Грина.
Рассматриваются приложения теоремы Стокса к задачам физики.
Доказывается, что необходимым и достаточным условием потенциальности
силового векторного поля, заданного во всем пространстве, является
равенство нулю его ротора. Выводятся законы электромагнитной индукции
Фарадея и магнитостатики Био-Савара-Лапласа в дифференциальной форме.
Основные понятия, глоссарий.
 
Циркуляция векторного поля a (r ) по замкнутому контуру L - скалярная

величина, равная сумме скалярных произведений векторов участков  rn , на
 
которые разбит конур L, и векторов a (r ) в средних точках этих участков:

  
AL   a (rn )rn . При  rn  0 сумма переходит в интеграл по контуру L:
n
  
AL   a (r )dr . Циркуляция меняет знак при изменении направления обхода
L
контура. Циркуляцию по контуру L можно представить в виде суммы

циркуляций по границам Lk дифференциально малых площадок  S k , на
которые разбита поверхность S, натянутая на контур L, причем направление

векторов  S k согласуется правилом правого винта с направлением обхода
контуров L и Lk, для которых вычисляются циркуляции: AL   ALk . Чтобы
k
записанная сумма была интегральной, необходимо, чтобы суммируемые
величины были пропорциональны S k . Это возможно, если существует
 
 
векторное поле, называемое ротором rot a (r ) поля a (r ) такое, что

 
ALk  rot a (rk )  S k . При  S k  0 циркуляция записывается в виде
  
интеграла по поверхности S: AL   rot a (r ) dS . Таким образом, циркуляция
S
может быть записана как в виде интеграла по контуру, так и в виде потока
ротора векторного поля через поверхность, натянутую на контур. Этот
14
  
  
результат называется теоремой Стокса: AL   a (r )dr   rot a (r )dS . Ротор
L
S
векторного поля выражается через частные производные компонент поля



e1
e2
e3

 
соотношением: rot a (r ) 
 x1

 x2

. Определитель, стоящий в правой
 x3
a1
a2
a3
части, надо формально разложить по первой строке, что дает выражение для
ротора в виде линейной комбинации единичных ортов.
Формула Грина выводится из теоремы Стокса для случая двумерного поля,

заданного на плоскости (x,y): a ( x, y, z )( P( x, y), Q( x, y),0) и замкнутого контура
  
L, заданного на плоскости (x,y). Тогда: AL   a (r )dr   Pdx  Qdy ,
L
L

Q  P
 
rot a (r )(0,0, (

)) и dS (0,0, dxdy ) . Тогда из теоремы Стокса следует
x y
формула Грина:
Q  P
AL   Pdx  Qdy   (

)dxdy .

x

y
L
S
Проектное задание
1. Найти угол между направлениями наискорейшего роста функций
(x2+2y2-z2) и r=|r| в точке А(-1, 1, 1).
2. Найти силу, действующую на частицу в точке А(-1, -2, -1), если
потенциальная энергия равна (2x+y2-z).
3. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:
        
 a  b  c, a  b  c, a  b  c .
4. Для тетраэдра, заданного координатами вершин, уметь находить: длины
ребер, углы между ребрами, площади граней, углы между гранями, объем.

 


e cr
5. Вычислить: grad
, gradsin( k r ) , div [ a[b r ]] , div [ar ]] , rot [ar ]] , где
r
   


a , b , d , k  const , c  const , c  0, r ( x, y, z ), r | r | . Результаты записать
компактно, по возможности в векторном виде.



 dr 
[ dr ]


6. Вычислить: grad  3  , rot 3 , где d  const , r ( x, y, z ), r | r | . Результаты
r
r 
записать компактно, по возможности в векторном виде.
15
 
 
 ( dr ) r 
 ( dr ) r 
div  5  , rot 5  ,
 r 
 r 






где a , b , d , k  const , r ( x, y, z ), r | r | . Результаты записать компактно по


 
7. Вычислить: grad (ar )(b r ) ,
возможности в векторном виде.
 
8. Найти поток поля a (r )( x  z, y  2 x  z, x  y) через поверхность сферы
радиуса r с центром в начале координат.
 
9. Найти циркуляцию поля a (r )( x  z, y  2 x  z, x  y) по окружности
единичного радиуса с центром в начале координат, лежащей в плоскости
(y,z).

10. Найти циркуляцию поля [ar ] по окружности единичного радиуса с
центром в начале координат, лежащей в плоскости, нормаль которой


образует равные углы с координатными осями ( a  const , r ( x, y, z ) ).
Тест рубежного контроля
1. Найти модуль напряженности электрического поля в точке (1, 1, 1), если
потенциал равен (x2-y2+z2).
а) 1 б) –1 в) 12 г) 2
2. Найти проекцию на ось z напряженности электрического поля в точке
(1, 1, 1), если потенциал равен (x2y2z2).
а) –2 б) 2 в) 1 г) -1

3. Найти поток поля r через поверхность сферы единичного радиуса.
а) 1 б) 3 в) 4 / 3 г) 4

4. Найти поток поля  через поверхность сферы единичного радиуса.

(Вектор  имеет компоненты (x, y, 0).)
а) 2 б) 1 в) 8 / 3 г) 4 / 3

5. Вычислить div zr .
а) 3 б) 4z в) 3z г) z


 

6. Вычислить div (d sin( k r )) , где d , k  const , r ( x, y, z )




а) 3 б) (dk ) cos( k r ) в) cos( k r ) г) ( d k )


 

7. Вычислить rot (d sin( k r )) , где d , k  const , r ( x, y, z )






а) 0 б) [k d ] sin( k r ) в)  [k d ] sin( k r )
г) [k d ] cos( k r )
16
 
8. Найти циркуляцию поля a (r )( x  z, y  2 x  z, x  y) по окружности
единичного радиуса с центром в начале координат, лежащей в плоскости
(y,z).
а) 3 б) 1 в) 2 г) 
Бланк ответов
1
2
3
4
5
6
7
8
а
б
в
г
Список рекомендованной литературы
1. Савельев И.В. Основы теоретической физики, т. 1. - М.: Наука, 1975.
2. Савельев И.В. Курс обшей физики, т. 2. - М.: Наука, 1988.
3. Батыгин В.В., Топтыгин И.М. Сборник задач по электродинамике.
- М.:Наука,1970.
4. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного
исчисления. Харьков: Вища школа, 1986.
5. Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике.
т.1,5,7. –М.: Мир, 1967.
6. Г.Джеффрис, Б.Свирлс. Методы математической физики (Выпуск 1).
–М.:Мир, 1969.
7. Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. Математические методы физики.
–М.:Атомиздат,1972.
8. П.К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ.
–М.: Наука, 1967.
9. Ведринский Р.В., Мачавариани В.Ш. Методические указания “Основы
векторного и тензорного анализа” Часть 1. Ростов-на-Дону. Ростовский
государственный университет, 1995.
17
Промежуточный рейтинг-контроль
По учебному модулю №1 и видам занятий.
1. Практические занятия (6 пр. зан.): мин. 5, макс.10.
2. Контрольная работа:
мин. 5, макс.10.
3. Коллоквиум
мин. 30 макс. 50
Сумма баллов за модуль:
мин. 60, макс.120.
Таблица
Соответствие баллов промежуточного рейтинга оценке
_____________________________________________________________________
Оценка
Отлично
Хорошо
Удовлетво- Неудовлетворительно
рительно
__________________________________________________________
Баллы
100-120
80-99
60-79
0-59
__________________________________________________________
18
Модуль 2.
Дифференциальные операторы в векторном анализе.
Комплексная цель: После изучения модуля студент должен знать
определение оператора Лапласа, уметь вычислять результат его действия
на скалярные и векторные поля, как в декартовой прямоугольной системе
координат, так и в произвольной криволинейной ортогональной системе
координат, понимать физический смысл уравнений математической
физики, содержащих оператор Лапласа: уравнения диффузии и уравнения,
связывающего скалярный потенциал электромагнитного поля с плотностью
электрического заряда.
Содержание модуля 2
Тема 4. Дифференциальные операторы второго порядка в
векторном анализе и примеры их применения в физике.
Операторы второго порядка возникают при последовательном
применении двух операций первого порядка (градиент, дивергенция и ротор)
к векторным и скалярным полям. С учетом того, что операция градиент
применяется к скалярным полям, а дивергенция и ротор – к векторным,
возможны
лишь
следующие
операции
второго
порядка:


divgrad , divrot a, graddiv, rotgrad, rotrot a .
Далее выясняется, какие из перечисленных операций второго порядка
могут давать не нулевой результат и приводятся примеры применения
операций второго порядка в физике.
Тема 5. Преобразование выражений векторного анализа. Метод
оператора “набла” и примеры его применения в физике.
Вводится векторный дифференциальный оператор «набла» и
формулируются правила преобразования выражений векторного анализа с
помощью данного оператора. Методом оператора «набла» проводится
преобразования
выражений
векторного
анализа,
в
которых
дифференциальные операторы первого порядка действуют на произведения
полей. Показано, как с использованием полученных соотношений из
уравнений
Максвелла
выводится
закон
сохранения
энергии
электромагнитного поля.
Основные понятия, глоссарий.
Векторный дифференциальный оператор «набла» имеет компоненты



 
 
 
и его можно представить в виде:  
,
,
e1 
e2 
e3 .
 x1  x2  x3
 x1
 x2
 x3
Алгебраические преобразования выражений, содержащих оператор «набла»,
проводятся по обычным правилам векторной алгебры, надо только
учитывать, что «набла» - это дифференциальный оператор и по определению
он должен стоять слева от функции, которую нужно продифференцировать.

 

Так   a - это дивергенция поля a (r ) , а a   - скалярный
19
3



дифференциальный
оператор:
.
Понятно,
что
a     a ( r ) 

x

 1




  grad  ,   a  div a , [a ]  rot a .
Оператор Лапласа - скалярный дифференциальный оператор второго
2
2
2
порядка:       2  2  2 .
 x1  x2  x3
С учетом свойств оператора «набла» легко убедиться, что для любых полей


справедливо:
divrot a  (,[a ])  0 ,
rotgrad  [, ()]  [, ]  0 ,






rotrot a  [[a ]]  (, a )  (, )a  graddiv a  a . Надо иметь в виду, что
последний член – это вектор с компонентами a1 , a2 , a3 .
Тема 6. Операции векторного анализа в криволинейных системах
координат.
Вводится представление о криволинейных системах координат,
координатных линиях и поверхностях. Вводится представление об
ортогональных криволинейных системах координат и коэффициентах Ламе.
Выводятся выражения, позволяющие вычислять градиент, дивергенцию и
результат действия оператора Лапласа в криволинейных ортогональных
системах координат. Приводятся примеры применения полученных
результатов в физике.
Основные понятия, глоссарий.
Если положение точки пространства однозначно определяется тройкой чисел
q1 , q2 q3 , которые не являются декартовыми координатами точки, то задана
криволинейная система координат. Криволинейные координаты q1 , q2 q3
однозначно
выражаются
через
декартовы
координаты
q1  f1 ( x, y, z ), q2  f 2 ( x, y, z ), q3  f 3 ( x, y, z ) и обратно. Множество точек,
для которого одна из криволинейных координат постоянна, например,
q1  f1 ( x, y, z )  const , образует двумерную поверхность в трехмерном
пространстве, называемую координатной поверхностью. Пересечение двух
координатных поверхностей образует координатную линию, на которой
одна из криволинейных координат q (  1,2,3) изменяется, а две другие постоянны. Если в каждой точке пространства координатные линии
криволинейной системы координат ортогональны друг к другу, систему
называют ортогональной криволинейной системой координат. Три
взаимно перпендикулярных единичных вектора, направленных по
касательным к координатным линиям в данной точке, называются
реперными ортами. Понятно, что в случае криволинейных координат
реперные орты в разных точках не параллельны друг другу. Векторное поле
в криволинейных системах координат характеризуется в каждой точке
пространства проекциями вектора на реперные орты.
20
Длина вектора перемещения l , связывающего близкие точки на
координатной линии, пропорциональна изменению координаты q  ,
меняющейся вдоль этой линии. Если двигаться в направлении роста этой
координаты, то l  H  q . Коэффициенты H  , которые по определению
положительны, называются коэффициентами Ламэ.
В ортогональной криволинейной системе координат выражение для
градиента скалярного поля  имеет вид
  
i
1  *
ei
H i qi
Дивергенция векторного поля a в ортогональной криволинейной системе
координат определяется по формуле
   a1H 2 H 3    a2 H 3 H1    a3 H1H 2  
1




H1H 2 H 3 
q1
q2
q3

Ротор векторного поля a в ортогональной
a 
криволинейной системе
координат определяется по формуле
H1e1*
1

, a  
H1 H 2 H 3 q1
H 2e2*

q2
H 3e3*

q3
H1a1
H 2 a2
H 3a3
Наконец, определяя оператор Лапласа как div grad  , получаем выражение
для данного оператора  в криволинейной ортогональной системе
координат:
 
1
H1 H 2 H 3
   H 2 H 3     H 3 H1     H1 H 2   







 q1  H1 q1  q2  H 2 q2  q3  H 3 q3  
Проектное задание
1. Преобразовать выражения методом оператора  и затем расписать в
частных производных следующие выражения: а) div  A, B  , б) grad A, B , в)
 

 

rot  A, B  , г) div fA , д) rot fA , е) grad  f  e  , ж) divgrad  f  e 
2. Найти напряженность электрического поля, если задан потенциал  ,
E   grad 


а)    x 2  2 y 2 z  sin  x    exp   x 2  y 2  z 2  ,
б)    x 2  sin  z  x   y 2 x  cos  z    exp   x 2 
3. Найти плотность электрического заряда в вакууме
напряженность электрического поля E , div E  4
а) E   x 2  4sin  z  exp  xy  ,cos  x   ln  xyz  , xy 2 z 


б) E  x  exp   x 2   y  z,ln  xy  sin  z  , x  y  z  1
 , если задана
21
4. Зная вид функций xi  xi  qk  , записать квадрат расстояния между двумя
бесконечно-близкими точками, и найти коэффициенты Ламе для
сферической и цилиндрической систем координат.
(Для сферической системе координат: x1  sin  cos  , x2  sin  sin  ,
x3  cos . Для цилиндрической системы координат x1   cos  , x2   sin  ,
x3  z .)
5. Получить формулы для градиента скалярного поля  в сферической и
цилиндрической системах координат.
6. Получить формулы для дивергенции векторного поля a в сферической и
цилиндрической системах координат.
7. Получить формулы для ротора векторного поля a в сферической и
цилиндрической системах координат.
8. Получить формулы для оператора Лапласа скалярного поля 
в
сферической и цилиндрической системах координат
9. Задана сферически-симметричная функция:   r  . Найти   r 
а)   r   3r 2 , б)   r   r 3  2r 2 , в)   r   sin  r 2 
Тест рубежного контроля
1. Вычислить значение величины ( x 3  y 3  z 3 )
а) 18
б) x+y+z в) 6(x+y+z) г) 0
2. Вычислить значение величины  ( x 2 y 2 z 2 )
а) 0
б) 6
в) 2(y2z2+x2z2+x2y2)
г) 2(yz+xz+xy)
 2 
3. Вычислить значение величины (ar ) , a  const
а) 2 б) 2a2 в) a2
г) 0


4. Вычислить значение величины  sin( ar ), a  const




а) a 2 sin( ar ) б)  a 2 sin( ar ) в)  a 2 cos( ar )
г) a 2 cos( ar )
sin kr 
, здесь k=const
r
sin kr
sin kr
в) k
г)  k
r
r
5. Вычислить значение величины 
a) k 2
sin kr
r
б)  k 2
sin kr 
r
6. Указать правильное значение коэффициента Ламе hx для декартовой
системы координат.
а) hx  1
б) hx  x
в) hx  y
г) hx  z
7. Указать правильное значение коэффициента Ламе hr для сферической
системы координат.
a) hr  1
б) hr  r
в) hr  r 2
г) hr  r  sin 
8. Указать правильное значение коэффициента Ламе hr для цилиндрической
системы координат.
22
a) hr  1
б) hr  r
в) hr  r 2
г) hr  z
Бланк ответов
1
2
3
4
5
6
7
8
а
б
в
г
Список рекомендованной литературы
1. Савельев И.В. Основы теоретической физики, т. 1. - М.: Наука, 1975.
2. Савельев И.В. Курс обшей физики, т. 2. - М.: Наука, 1988.
3. Батыгин В.В., Топтыгин И.М. Сборник задач по электродинамике.
- М.:Наука,1970.
4. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного
исчисления. Харьков: Вища школа, 1986.
5. Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике.
т.1,5,7. –М.: Мир, 1967.
6. Г.Джеффрис, Б.Свирлс. Методы математической физики (Выпуск 1).
–М.:Мир, 1969.
7. Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. Математические методы физики.
–М.:Атомиздат,1972.
8. П.К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ.
–М.: Наука, 1967.
9. Ведринский Р.В., Мачавариани В.Ш. Методические указания “Основы
векторного и тензорного анализа” Часть 1. Ростов-на-Дону. Ростовский
государственный университет, 1995.
10. Ведринский Р.В., Мачавариани В.Ш., А.А.Новакович, Ф.В. Демехин.
Методические указания “Основы векторного и тензорного анализа”
Часть 2. Ростов-на-Дону. Ростовский государственный университет,
1998.
23
Промежуточный рейтинг-контроль
По учебному модулю №2 и видам занятий.
1. Практические занятия (6 пр. зан.): мин. 5, макс.10.
2. Контрольная работа:
мин. 5, макс.10.
3. Коллоквиум
мин. 30 макс. 50
Сумма баллов за модуль:
мин. 60, макс.120.
Таблица
Соответствие баллов промежуточного рейтинга оценке
_____________________________________________________________________
Оценка
Отлично
Хорошо
Удовлетво- Неудовлетворительно
рительно
__________________________________________________________
Баллы
100-120
80-99
60-79
0-59
__________________________________________________________
24
Модуль 3.
Понятие и определение тензора. Основные операции и свойства тензора.
Комплексная цель: После изучения модуля студент должен знать
определение тензора произвольного ранга и все допустимые операции над
отдельными тензорами,
результатом которых является тензорная
величина определенного ранга, уметь вычислять компоненты тензора
любого в повернутой относительно исходной системе координат, знать
основные свойства симметричных вещественных тензоров второго ранга,
уметь вычислять их собственные значения и компоненты их собственных
векторов, понимать физический смысл собственных значений и
построенных из последних инвариантных скалярных величин.
Содержание модуля 3
Тема 7. Векторы и тензоры. Преобразование векторов и тензоров
при поворотах системы координат.
Все последующее изложение основ векторного и тензорного анализа
ведется для случая трехмерного Евклидового пространства с использованием
декартовой системы координат. В начале изложения темы выводится
формула преобразования декартовых координат фиксированной точки при
повороте системы координат в общем случае. Вводится матрица поворота
системы координат. Рассматриваются общие свойства матрицы поворота,
доказывается ее ортогональность для поворота системы координат в общем
случае. Вводится понятие вектора, как трехкомпонентной величины,
компоненты которой преобразуются при повороте системы координат так же
как декартовые координаты точки. Подчеркивается, что данный закон имеет
универсальный характер для всех векторов без исключения, что в свою
очередь является требованием инвариантности всех фундаментальных
физических уравнений, содержащих векторные величины, относительно
конкретного выбора ориентации координатной системы. Приводятся
формулы преобразования компонент векторов при повороте системы
координат в двух вариантах: в тензорной символике (т.е. c использованием
индексов, для нумерации компонент), и в матричной символике. Далее на
примере поляризации кристалла диэлектрика, помещенного в однородное
электрическое поле, показано, что линейная связь между компонентами
вектора поляризации и напряженности электрического поля дается 9-и
компонентной величиной, т.е. величиной более сложной природы по
сравнения с вектором. Выводится закон преобразования данной 9-и
компонентной величины при повороте системы координат в общем случае.
Выведенный закон преобразования положен в основу определения
тензорных величин второго ранга. Вводится единичный тензор второго ранга
(символ Кронекера), доказывается независимость его компонент от выбора
системы координат, как следствие ортогональности матрицы поворота. В
заключительной части лекции дается определение тензора произвольного
ранга как многокомпонентной величины, преобразующейся при повороте
системы координат так же как множество всех возможных произведений
25
компонент N различных векторов. Из выведенного закона следует, что
вектор и скаляр являются частными случаями тензоров соответственно
первого и нулевого ранга.
Основные понятия, глоссарий.
Правая декартова координатная система – три взаимно перпендикулярные
координатные оси x, y, z (x1, x2, x3), направленные так, что направление оси z
(x3) определяется направлениями осей x, y (x1, x2) по правилу правого винта.
  
  
Единичные орты – три единичных вектора e x , e y , e z ( e1 , e2 , e3 ),
направленные по соответствующим координатным осям.
Ортогональная матрица – матрица, которая при ее транспонировании
T
T
совпадает с обратной, т.е. U U   U  U   1
Матрица поворота системы координат – ортогональная
матрица с матричными элементами U i j   ei, e j  , которые задают
связь между декартовыми координатами точки в системах
координат O с ортами  e1, e2 , e3  и O  с ортами  e1, e2 , e3  ,
повернутых друг относительно друга: xi  U i j x j .
j
Скаляр – однокомпонентная величина, значение которой не зависит от
выбора системы координат, например: масса, заряд, энергия, работа,
плотность, объем, давление и т.д.

Вектор – трехкомпонентная величина a , компоненты которой ai   ei , a 
преобразуются при поворотах системы координат так же как декартовые
координаты точки: ai   ei, a   U i j a j , где U i j   ei, e j  . Примерами
j
векторов
являются:
сила,
скорость,
ускорение,
напряженность
электрического поля и т.д.
Тензор второго ранга - девятикомпонентная величина, компоненты которой
нумеруются двумя векторными индексами ai j ,
каждый их которых
пробегает независимо значения 1,2,3. Закон преобразования его компонент
при повороте системы координат имеет вид:
T
ai j  U i kU j n ak n  U i k ak nU j n   U i k ak n U n j ,
k ,n
или
k ,n
 a    U a U ,
T
где
 a  -квадратная
k ,n
матрица с компонентами ai j ,
 a  - с компонентами ai j .
Символ Кронекера -  ij является частным случаем тензора второго ранга,
компоненты которого 11   22   33  1 , 12  13   21   23   31   32  0 не
изменяются при повороте системы координат.
Ранг тензора определяется числом векторных индексов, нумерующих его
компоненты. Максимальное число независимых компонент тензора ранга N
26
равно 3 N в случае трехмерного пространства. Закон преобразования
компонент такого тензора при повороте системы координат имеет вид:
ai1 i2 ... iN   U i1 j1U i 2 j2 ...U iN jN a j1 j2 ... jN ,
j1 j2 .. jN
где U i j   e,i e j . Очевидно, что вектор – тензор первого ранга, а скаляр –
тензор нулевого ранга.
Тема 8. Операции над тензорами.
Изучаются основные операции тензорной алгебры. Вводится тензорная
символика и правило суммирования Эйнштейна по паре одинаковых
индексов в выражениях, содержащих свертки тензоров. Перечисляются пять
возможных операций над тензорами, результатом которых являются
тензорные величины. На конкретных примерах доказывается справедливость
перечисленных ниже операций:
1. Покомпонентное умножение тензора на скаляр.
2. Покомпонентное сложение тензоров одинакового ранга.
3. Внешнее (прямое) произведение тензоров.
4. Свертка тензора по паре одинаковых индексов.
5. Перестановка индексов в тензоре.
С целью закрепления изложенного материала, решается задача о вычислении
кинетической энергии вращения твердого тела с привлечением тензорной
символики. Вводятся понятия: вектора бесконечно малого поворота и
вектора мгновенной угловой скорости. Строится тензор моментов инерции
твердого тела. Доказывается свойство симметричности тензора моментов
инерции.
Основные понятия, глоссарий.
Покомпонентное умножение тензора на скаляр. Если все компоненты
некоторого тензора умножить на скаляр, возникает многокомпонентная
величина, являющаяся тензором того же ранга.
Покомпонентное сложение тензоров одинакового ранга. Результатом
данной операции является тензор, называемый суммой исходных тензоров и
имеющий тот же ранг. Складывать тензоры различных рангов недопустимо.
Внешнее (прямое) произведение тензоров. Если каждая компонента одного
тензора ранга N умножается на всевозможные компоненты второго тензора
ранга M, возникает многокомпонентная величина, являющаяся тензором
ранга N+M.
Свертка тензора по паре одинаковых индексов. Если из числа компонент
тензора ранга
N
A
i1 i2 ...ik ...i p ...iN
 выбрать
такие компоненты, у которых
27
нумерующие индексы в двух позициях (скажем k и p) одинаковы
A
i1 i2 ...( ik i )...( i p i )...iN

и равны некоторой величине i, после чего сложить
выбранные компоненты, отвечающие возможным значениям индекса i, т.е.
i=1,2,3, при неизменных нумерующих индексах в других позициях, то
полученная многокомпонентная величина:
 Ai1 i2 ...(ik i )...(ip i )...iN  Ai1 i2 ...ik 1 ik 1...ip1 ip1...iN
i
является тензором ранга N-2. Такая операция называется сверткой тензора по
индексам, занимающими позиции k и p. Например
 ai i  C ,  ai i k  Sk ,  ak i i  Sk
i
i
i
Перестановка индексов в тензоре. Многокомпонентная величина,
полученная из исходного тензора ранга N путем переименования его
компонент, является тензором того же ранга. Например, из компонент
тензора второго ранга ai j можно получить компоненты тензора второго
ранга bi j так что ai j  b j i .
Симметричный тензор – тензор, компоненты которого не изменяются при
перестановке любой пары индексов. Например, условие симметричности
тензора второго: ai j  a j i
Антисимметричный тензор – тензор, компоненты которого изменяют знак
при перестановке любой пары индексов. Например, для тензора третьего
ранга условие антисимметричности имеет вид: ei j k  e j i k  ei k j  ek j i .
Вектор бесконечно малого поворота – вектор  , модуль которого равен
углу поворота  , а направление совпадает с осью поворота, причем так, что
направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к
направлению вектора  .
Вектор мгновенной угловой скорости – приращение вектора бесконечно
малого поворота за единицу времени:  

.
dt
Тензор моментов инерции твердого тела – тензор с компонентами:
  m y2  z2 
 mxy
 mxz 


2
2
2

I i k   m  xl  i k  xi xk  
 mxy
m x  z 
 myz 



2
2 
  mxz
 myz
m x  y 

28
здесь суммирование проводится по отдельным материальным точкам,
составляющим твердое тело. Выражение для кинетической энергии вращения
1
имеет вид: T  I i k i k
2
Тема 9. Свойства тензоров второго ранга. Собственные значения и
собственные векторы симметричных тензоров второго ранга.
Рассматриваются общие свойства симметричных тензоров второго
ранга с вещественными компонентами, как наиболее важных в физических
приложениях. Доказывается, что симметричность тензора не зависит от
выбора системы координат. Свойства тензоров второго ранга ai j
эквивалентны свойствам квадратной матрицы
a  ,
ij
построенной из
компонент тензора. Вводятся понятия собственных векторов (главных
направлений) и собственных значений (главных значений) симметричной
квадратной матрицы. Строится система уравнений, из которой находятся
собственные векторы и собственные значения тензора, которая является
системой линейных, однородных уравнений относительно компонент
собственного вектора x , и имеет отличное от нуля решение только при
условии обращения в нуль ее детерминанта. Последнее условие называется
вековым уравнением, определяющим собственные значения тензора. Далее
доказывается:
1. В случае вещественного симметричного тензора вековое уравнение всегда
имеет три вещественных корня. Если все корни различны, то говорят, что
тензор имеет невырожденные собственные значения, каждому из них
однозначно соответствуют направление в пространстве,
называемое
главным направлением тензора.
2. Собственные векторы вещественного симметричного тензора второго
ранга, принадлежащие различным собственным значениям – взаимно
ортогональны.
В случае трехмерного пространства вековое уравнение является
кубическим уравнением относительно собственных значений. В случае трех
вещественных корней формула Кардано является крайне неудобной для их
вычисления. Более удобной в этом случае является тригонометрическая
форма решения кубического уравнения.
Преобразуем вековое уравнение det ai j   i j  0
к виду:
Замена переменной   x 
 3  a 2  b  c  0
a
позволяет исключить квадратный член:
3
29
x3  3 px  2q  0
Корни этого уравнения могут быть найдены по формуле:
1
 q  2 n 
a
xn  2 p sin  arcsin 

;
n  1,2,3 n  xn 


p p
3
3 
3



Собственные векторы симметрического тензора ai j находим как
xi( n )  M1i , где M 1i - миноры матрицы ai j  n i j .
В случае невырожденных собственных значений главные направления
тензора второго ранга определяются однозначно. Если с каждым из трех
таких направлений связать единичный орт, то система координат, заданная
ортогональной тройкой таких орт называется системой главных осей тензора.
В заключительной части лекции доказывается, что в системе своих главных
осей симметричный вещественный тензор второго ранга имеет вид
диагональной матрицы, на главной диагонали которой расположены его
собственные значения: ai j  i i j (В данном случае суммирование по
парному индексу i не подразумевается).
Рассматриваются свойства вещественных симметричных тензоров
второго ранга, собственные значения которых совпадают по величине. В
этом случае собственные значения называются кратными или
вырожденными. Если все собственные значения различны, каждому из них
однозначно соответствует главное направление тензора. В случае
вырожденных собственных значений возникает неоднозначность в выборе
главных направлений. Так в случае двукратного вырождения корня
существует
плоскость,
проходящая
через
начало
координат,
перпендикулярная третьему главному направлению, все направления на
которой являются главными. Если вырождение трехкратное, то любые
направления в пространстве главные. Аналогично, в случае тензоров на
плоскости (двумерное пространство) возможны либо два разных
вещественных корня, либо эти корни совпадают.
Для геометрической иллюстрации указанных свойств симметричного
тензора второго ранга вводится понятие характеристической поверхности
тензора. Вводится классификация тензоров, в зависимости от кратности
вырождения
собственных
значений:
шаровой,
симметрический.
асимметрический,
тензоры.
Указывается
вид
характеристических
поверхностей для шарового, симметрического и асимметрического тензоров.
Дальнейшая классификация тензоров основана на различии знаков их
собственных значений. Так существуют положительно определенный,
отрицательно определенный и знаконеопределенный тензоры.
30
В заключительной части лекции для закрепления пройденного материала
рассмотрены два физических приложения.
1. Свободное вращение твердого тела. Наличие элементов точечной
симметрии у твердого тела приводит к вырождению главных значений
тензора моментов инерции (главных моментов инерции). Так наличие одной
оси симметрии третьего или более высокого порядка приводит к
двукратному вырождению главных значений инерции (симметрический
волчок). Наличие двух, и как следствие, нескольких осей симметрии третьего
или более высокого порядка приводит к трехкратному вырождению главных
значений инерции (шаровой волчок). Все Платоновы тела: тетраэдр, куб,
октаэдр, додекаэдр и икосаэдр являются шаровыми волчками.
2. Оптические свойства алмаза. В алмазе каждый атом углерода имеет
тетраэдрическое окружение атомами ближайших соседей. Наличие четырех
осей симметрии третьего порядка в атомном окружении приводят к тому, что
тензор диэлектрической проницаемости алмаза является шаровым. Поэтому
алмаз с точки зрения его оптических свойств является изотропной средой.
Основные понятия, глоссарий.
Собственный вектор и собственное значение. Вектор x называется
собственным вектором симметричной квадратной матрицы Â , а  - ее
собственным значением, если выполняется условие:
Âx   x
или
 a11 a12 a13  x1 
 x1 
a
 
 
 21 a22 a23  x2     x2 
a
 
x 
 31 a32 a33  x3 
 3
Вековое уравнение (уравнение на собственное значение). Система
уравнений, из которой находятся главные направления и главные значения
тензора является системой линейных, однородных уравнений относительно
компонент вектора x , которая имеет отличное от нуля решение только при
условии :
det  Aˆ   Iˆ   0 ,
где Iˆ - единичная матрица, или
a11  
a12
a13
a21
a22  
a23  0
a31
a32
a33  
Раскрывая определитель, получаем для нахождения главных (собственных)
значений тензора алгебраическое уравнение третьего порядка.
31
Характеристическая поверхность тензора – поверхность второго порядка,
заданная уравнением: ai j xi x j  1.
Шаровой тензор - тензор, все главные значения которого одинаковы:
1  2  3 . Шаровой тензор пропорционален единичному тензору, т.е.
ai k  c   i k
и имеет одинаковый вид во всех системах координат.
Характеристическая поверхность шарового тензора есть сфера.
Симметрический тензор – тензор, два главных значения которого
одинаковы, а третье отлично от них: 1  2  3 . Его характеристическая
поверхность является поверхностью вращения.
Асимметрический тензор – тензор, собственные значения которого
различны: 1  2  3 . Его характеристическая поверхность является
поверхностью второго порядка общего вида.
Положительно определенный тензор – тензор, все главные значения
которого положительны.
Отрицательно определенный тензор – тензор, все главные значения
которого отрицательны. В этих двух случаях при построении
характеристических поверхностей надо выбирать разные знаки в правой
части уравнения поверхности (плюс для положительно определенного
тензора и минус для отрицательно определенного). И в том, и в другом
случаях характеристическая поверхность тензора есть эллипсоид (шар в
случае 1  2  3 , эллипсоид вращения в случае 1  2  3 и эллипсоид
общего вида в случае 1  2  3 )
Знаконеопределенный тензор – тензор, имеющий как положительные, так и
отрицательные
собственные
значения.
Его
характеристической
поверхностью является гиперболоид с двумя листами, отвечающим двум
знакам в правой части уравнения для характеристической поверхности.
Проектное задание
1. Найти матрицу поворота системы координат на плоскости при повороте на
угол  .
а) Убедится, что матрица U 3  поворота на угол  3  1   2 совпадает с
произведением матриц U1  и U 2  , которые являются матрицами поворота
на углы 1 и  2 соответственно.
б) Убедиться, что матрица поворота U 2  на угол  совпадает с
матрицей U1  , где U1  - матрица поворота на угол  .
1
32
2. Найти матрицу поворота системы координат в трехмерном пространстве
на угол  .
а) Вокруг оси Ox. б) Вокруг оси Oy. в) Вокруг оси Oz
3. В случае двумерного пространства вычислить компоненты вектора bi в
системе координат, повернутой на угол  по сравнению с исходной.
Компоненты вектора и угол  следующие:
а) b1  1, b2  2,    / 6 .
б)
в) b1  5, b2  2,    / 4 .
г)
b1  3, b2  1,    / 3 .
b1  1, b2  4,    / 6
4. В случае двумерного пространства вычислить компоненты тензора
второго ранга ai j в системе координат, повернутой на угол  по сравнению с
исходной. Компоненты тензора и угол  следующие:
а) a11  1, a12  2, a21  3, a2 2  5,    / 3
б) a11  1, a12  4, a21  2, a2 2  1,    / 4
в) a11  3, a12  1, a21  2, a2 2  6,    / 6
г) a11  5, a12  2, a21  1, a2 2  1,    / 2
5.
В трехмерном пространстве заданы компоненты вектора. Найти
компоненты вектора в системе координат, повернутой на угол  вокруг оси
Ox по сравнению с исходной. Компоненты вектора и угол  следующие:
а) b1  1, b2  2, b3  3,    / 3
б) b1  4, b2  1, b3  5,    / 2
6. Найти тензор ci j  ai j  b j i , где ai j и bi j являются тензорами в двумерном
пространстве и их компоненты равны:
а) a11  1, a12  2, a21  3, a22  5 , b11  1, b12  4, b21  2, b22  1
б) a11  3, a12  1, a21  2, a22  6 , b11  5, b12  2, b21  1, b22  1
в) a11  2, a12  1, a21  2, a22  3 , b11  0, b12  6, b21  2, b22  4
7. В двумерном пространстве заданы векторы ai и bi а так же тензоры
второго ранга ci j и di j . Найти тензорную размерность приведенных ниже
величин и вычислить все их компоненты:
а) ai b j б) ai bi в) ai c j k г) bi d j k д) ci i е) d j j ж) ai ci j з) ai c j i
и) ai c j j к) bi di j л) bi d j i
м) bi d j j н) ci j d j k о) c j i d j k п) ci i d j j
Векторы ai и bi и тензоры ci j и di j равны:
a1  1, a2  2, b1  3, b2  1
c11  3, c12  1, c21  2, c22  6
33
d11  5, d12  2, d 21  1, d 22  1
8. Разложить тензор ci j на сумму симметричного ai j и антисимметричного
bi j тензоров. Для симметричного тензора ai j : найти собственные значения и
собственные векторы, проверить ортогональность собственных векторов,
найти орты системы координат, связанной с главными осями, записать
матрицу поворота к главным осям, записать вид тензора в главных осях,
классифицировать тензор (шаровой, симметрический, асимметрический,
положительно, отрицательно определенный или знаконеопределенный).
Произвести вычисления для тензоров ci j с компонентами:
9
a)  3
 2

 3
в)  3
 6

3 2 
2 4 
4 6 
5 6 
1 3 
3 2 
 3 9
б)  9 3
 5 4

 2 6
г)  6 3
 1 1

5 
4 
3 
1
1
3 
Тест рубежного контроля
1. Рассматриваются две декартовые системы координат O и O с общим
началом и базисными векторами (ортами)
 e1 , e2 , e3 
и
 e1, e2 , e3  ,
образующими правые ортонормированные тройки. Матричные элементы


матрицы поворота системы координат U ij  ei  e j . Новая система
координат O получена путем вращения исходной системы координат O на
угол 90о вокруг одной из ее осей. Матрица данного поворота имеет вид:
 0 0 1
U ij   0 1 0 
1 0 0 


Вокруг какой из осей был совершен поворот?
а) Вокруг оси Ox
б) Вокруг оси Oy.
в) Вокруг оси Oz
г) Поворот не производился.
2. Рассматриваются две декартовые системы координат O и O с общим
началом и базисными векторами (ортами)
 e1 , e2 , e3 
и
 e1, e2 , e3  ,
образующими правые ортонормированные тройки. Матричные элементы


матрицы поворота системы координат U ij  ei  e j . Новая система
34
координат O получена путем вращения исходной системы координат O на
угол 180о вокруг одной из ее осей. Матрица данного поворота имеет вид:
1 0 0 
U ij   0 1 0 
 0 0 1


Вокруг какой из осей был совершен поворот?
а) Вокруг оси Ox.
б) Вокруг оси Oy.
в) Вокруг оси Oz
г) Поворот не производился.
3. Рассматриваются две декартовые системы координат О и О’ с общим
началом и базисными векторами (ортами)
Матричные
элементы
матрицы
 e1 , e2 , e3 
преобразования
и
 e1, e2 , e3  ,
системы
координат
U ij   ei  e j  . В системе координат О задан вектор (тензор 1-го ранга), как
 a1 , a2 , a3  . В системе
вектор определяется набором компонент  a1, a2 , a3  .
трехкомпонентная величина
координат О’ тот же
Какой из выписанных ниже выражений является правилом преобразования
компонент векторных величин при преобразовании системы координат?
а)
ai  U ji a j
б)
ai  U ij a j
г)
j
в)
ai  U ij ak
jk
j
ai  det U   U ij a j
j
4. Рассматриваются две декартовые системы координат O и O с общим
началом и базисными векторами (ортами)
Матричные
элементы
матрицы
 e1 , e2 , e3 
преобразования
и
 e1, e2 , e3  ,
системы
координат
U ij   ei  e j  . В системе координат O задан тензор 2-го ранга, как 9-и
компонентная величина aij , i=1,2,3, j=1,2,3. В системе координат O тот же
тензор определяется набором компонент aij , i=1,2,3, j=1,2,3.
Какой из выписанных ниже выражений является правилом преобразования
компонент тензорных величин 2-го ранга при преобразовании системы
координат?
а)
aij  U kiU lj akl
б)
aij  U ilU jk akl
г)
kl
kl
в)
kl
aij  U ikU jl akl
aij  det(U )  U ikU jl akl
kl
35
5. Ниже приведены выражения, в которых все величины с нижними
индексами являются тензорами соответствующих рангов. Какая из
приведенных ниже операций над тензорами является незаконной, т.е.
результат данной операции не определяет тензорную величину?
а) cij
 a ji  bij
б) cijk
 aikj  bkji
в) cijk  aijj  bijk
г) c ji  aij  bij
6. Ниже приведены выражения, в которых все величины с нижними
индексами являются тензорами соответствующих рангов. Используется
правило суммирования Эйнштейна по паре одинаковых индексов. Какая из
приведенных ниже операций над тензорами является незаконной, т.е.
результат данной операции не определяет тензорную величину?
а)
dij  aik bkj  cij
б)
dijk  aijk bijk  cijk
в)
dijk  aill b jk  ckji
г)
d ji  aikj bklm clm
7. Для вещественного симметричного тензора 2-го ранга aij , компоненты
которого записаны в стандартной матричной символике:
2 1 1
aij   1 2 1 
1 1 2




не решая уравнение на собственные значения: det aij   ij  0 , а
используя только свойство инвариантности свертки тензора aii , выбрать из
предложенного списка правильные собственные значения данного тензора:
а) 1  2, 2  1, 3  1
б) 1  2 , 2  2, 3  1
1  2, 2  2, 3  2
8. Вещественный симметричный тензор aij является положительно
в)
1  4, 2  1, 3  1
г)
определенным и имеет 3 различные собственные значения. Какую форму
имеет характеристическая поверхность
данного тензора,
заданная
уравнением aij xi x j  1.
а) Трехосный эллипсоид
в) Двуполостный гиперболоид
б) Одноосный эллипсоид
г) Однополостный гиперболоид
36
Бланк ответов
1
2
3
4
5
6
7
а
б
в
г
Список рекомендованной литературы
1. Савельев И.В. Основы теоретической физики, т. 1. - М.: Наука, 1975.
2. Савельев И.В. Курс обшей физики, т. 2. - М.: Наука, 1988.
3. Батыгин В.В., Топтыгин И.М. Сборник задач по электродинамике.
- М.:Наука,1970.
4. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного
исчисления. Харьков: Вища школа, 1986.
5. Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике.
т.1,5,7. –М.: Мир, 1967.
6. Г.Джеффрис, Б.Свирлс. Методы математической физики (Выпуск 1).
–М.:Мир, 1969.
7. Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. Математические методы физики.
–М.:Атомиздат,1972.
8. П.К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ.
–М.: Наука, 1967.
9. Ведринский Р.В., Мачавариани В.Ш., А.А.Новакович, Ф.В. Демехин.
Методические указания “Основы векторного и тензорного анализа”
Часть 2. Ростов-на-Дону. Ростовский государственный университет,
1998.
Промежуточный рейтинг-контроль
По учебному модулю №3 и видам занятий.
1. Практические занятия (6 пр. зан.): мин. 5, макс.10.
2. Контрольная работа:
мин. 5, макс.10.
8
37
3. Коллоквиум
Сумма баллов за модуль:
мин. 30 макс. 50
мин. 60, макс.120.
Таблица
Соответствие баллов промежуточного рейтинга оценке
_____________________________________________________________________
Оценка
Отлично
Хорошо
Удовлетво- Неудовлетворительно
рительно
__________________________________________________________
Баллы
100-120
80-99
60-79
0-59
__________________________________________________________
38
Модуль 4.
Элементы тензорного анализа.
Комплексная цель: После изучения модуля студент должен знать
определение псевдотензора произвольного ранга, отличие правила
преобразования компонент псевдотензора при произвольном ортогональном
преобразовании декартовой системы координат от аналогичного правила
преобразования компонент тензора, уметь вычислять компоненты
псевдотензора произвольного ранга в новой координатной системе,
полученной из исходной в результате ортогонального преобразования, знать
формулировку обобщенной теоремы Остроградского-Гаусса, понимать
физический смысл приложений этой теоремы к ряду физических задач.
Содержание модуля 4
Тема 10. Символ Леви-Чивита.
Вводится символ Леви-Чивита. В случае трехмерного пространства
символ Леви-Чивита определяется как полностью антисимметричная
многокомпонентная величина ei j k , изменяющая знак при перестановке
любой пары индексов: ei j k  e j i k  ek j i  ei k j
Компонента e123 выбирается равной 1. Рассматриваются основные свойства
символа Леви-Чивита, являющиеся следствиями данного определения:
равенство нулю компонент, имеющих два или три одинаковых индекса, и
инвариантность его компонент относительно циклической перестановки
индексов: ei j k  e j k i  ek i j
Символ Леви-Чивита ei j k
можно так же определить как смешанное


произведение ортов правой координационной системы: ei j k  ei , e j , ek  , из
которого следует, что векторное произведение двух векторов a и b может
быть записано в виде:  a , b   ei ei j k a j b k , а смешанное произведение трех
векторов a , b и c , как
 a, b , c    e
i jk
ai b j ck .
Доказывается справедливость представления ротора векторной величины A

в виде:
rot A  , A  ei ei j k
Ak
x j
Показано, что определитель матрицы 3  3 так же может быть записан в виде
соотношения с использованием символа Леви-Чивита. В заключительной
части изложения темы доказывается справедливость важного для
дальнейших приложений соотношения для свертки произведения двух
символов Леви-Чивита по одной паре индексов: ei j k ei l m   j l k m   j m k l
39
Основные понятия, глоссарий.
Символ Леви-Чивита – 27-и компонентная величина, имеющая шесть
ненулевых компонент: e123  e231  e312  1, e213  e132  e321  1 . Компоненты
символа Леви-Чивита изменяют знак при перестановке любой пары
нумерующих индексов, и не изменяются при их циклической перестановке.
Определение символа Леви-Чивита одинаково во всех системах координат.
Определитель матрицы 3  3 :
a11 a12
a21 a2 2
a31 a32
a13
a23  ei j k a1i a2 j a3 k
a33
Тема 11. Преобразование тензоров при инверсии системы
координат. Псевдотензоры.
Приводиться доказательство, что определение символа Леви-Чивита,
независящее от конкретного выбора системы координат, совместимо с
законом преобразования компонент тензора третьего ранга, если
рассматривается только поворот координатной системы. Вводится понятие
инверсии координатной системы, расширяющее класс ортогональных
преобразований координат. Рассматриваются собственные и несобственные
ортогональные преобразования. Указывается, что общим случаем
собственных ортогональных преобразований является поворот координатной
системы, а общим случаем несобственных ортогональных преобразований
является поворот с последующей инверсией системы координат. Показано,
что отражение в любой плоскости, проходящей через начало координат –
несобственное преобразование. Устанавливается закон преобразования
компонент тензора произвольного ранга при инверсии системы координат. В
частном случае тензоров третьего ранга, их компоненты изменяют знак при
инверсии, откуда следует, что символ Леви-Чивита не является тензором
третьего ранга, а векторное произведение двух векторов не является
истинным вектором. Устанавливается закон преобразования компонент
символа Леви-Чивита, совместимый с требованием их неизменности при
выполнении как собственного, так и несобственного ортогонального
преобразования. Вводятся псевдотензоры произвольного ранга, и закон
преобразования их компонент. Из последнего следует, что символ ЛевиЧивита есть псевдотензор третьего ранга. Доказывается, что тензорная
свертка ci  ei j k a jbk , положенная в определение векторного произведения
векторов a и b является псевдотензором первого ранга, называемого так же
аксиальным вектором (псевдовектором). Приводятся конкретные физические
примеры аксиальных векторов. В заключительной изложения темы,
40
рассмотренные ранее операции над тензорами, обобщаются на случай
псевдотензоров:
1. Допустимо покомпонентное сложение псевдотензоров одинакового
ранга. В результате возникает псевдотензор того же ранга. Как интрига
ставится вопрос о возможности покомпонентного сложения тензора и
псевдотензора одинаковых рангов, ответ на который прозвучит в следующей
лекции.
2. Внешнее произведение тензоров не имеет ограничений. При вешнем
умножении тензора и псевдотензора возникает псевдотензор суммарного
ранга, тензора на тензор и псевдотензора на псевдотензор возникает тензор
суммарного ранга.
3. Свертка псевдотензора по паре индексов дает псевдотензор, ранг
которого на 2 меньше исходного.
4. Перестановка любого количества индексов в псевдотензоре
определяет новый псевдотензор того же ранга.
Законность рассмотренных операций следует из правил преобразования
компонент тензоров и псевдотензоров, и ортогональности матрицы
преобразования системы координат.
Возвращаемся к вопросу о допустимости покомпонентного сложения
тензора и псевдотензора одинакового ранга. Для ответа на этот вопрос
анализируется операция векторного произведения, определенная ранее как
свертка ci  ei j k a jbk . Показывается, что направление результирующего
вектора в данном случае определяется правилом правой руки, если
использована правая система координат, и правилом левой руки в левой
системе координат. Такое определение векторного произведения вытекает из
физических требований, а именно из симметрии законов физики
относительно зеркальных отражений. Приводится пример уравнения
движения заряженной частицы в электромагнитном поле в тензорной записи
через скалярный и векторный потенциалы, без использования векторного
произведения. В таком виде очевидна инвариантность уравнения
относительно зеркального отражения или инверсии. Тождественным
преобразованием данное уравнение приводится к стандартному виду с
использованием векторного произведения, из которого следует, что правило
правой или левой руки при подсчете силы Лоренца входит дважды, так что
использование правой системы координат не более чем традиция. На
примере движения заряженной частицы в магнитном поле соленоида с током,
иллюстрируется симметрия законов электродинамики относительно
зеркальных отражений. Математически, упомянутая симметрия законов
41
классической физики выражается в том, что в левой и правой частях
физических уравнений входят либо векторы, либо псевдовекторы, и они не
смешиваются между собой. В заключительной части лекции говориться об
эксперименте Ву, проведенном в Колумбийском университете (США), в
котором было открыто явление, нарушающее симметрию относительно
зеркального отражения. Описание этого явления потребовало построения
физических уравнений, в которое одновременно входят как векторы, так и
псевдовекторы. Таким образом покомпонентное сложение тензоров и
псевдотензоров допустимо !
Основные понятия, глоссарий.
Инверсия системы координат – операция, изменяющая направление
координатных осей, или орт системы координат, на противоположное.
ei  ei . Матрица преобразования, соответствующая инверсии имеет вид:
 1 0 0 
U 0    0 1 0  ,
 0 0 1


очевидно, что ее определитель U 0   1 .
Собственное ортогональное преобразование – линейное преобразование
xi  U i j x j . Здесь U  -ортогональная матрица с определителем: U   1.
j
Общим случаем собственного ортогонального преобразования системы
координат является поворот относительно ее начала.
Несобственное ортогональное преобразование – линейное
преобразование xi  U i j x j . Здесь U  - ортогональная матрица с
j
определителем:
U   1. Общим случаем несобственного
ортогонального преобразования системы координат является
поворот с последующей инверсией. При несобственных
преобразованиях правая координатная система переходит в левую,
и наоборот. Отражение в любой плоскости, проходящей через
начало
координат
–
частный
случай
несобственного
ортогонального преобразования.
Псевдотензор ранга N - многокомпонентная
преобразования которой имеет вид:
ai1 i2 ... iN  U 

величина,
закон
U i1 j1U i 2 j2 ...U iN jN a j1 j2 ... jN
j1 j2 .. jN
Этот закон преобразования не отличается от законов преобразования тензора
в случае собственных ортогональных преобразований, где U   1, но в
42
случае несобственных преобразований истинные тензоры и псевдотензоры
преобразуются по разному закону.
Аксиальный вектор – псевдотензор первого ранга, или псевдовектор.
Компоненты псевдовектора при инверсии системы координат не изменяются,
а истинного, или полярного вектора изменяют знак. Примерами аксиальных
векторов являются: момент силы, момент импульса, магнитный дипольный
момент, напряженность магнитного поля, а так же величина, определяемая
векторным произведением двух полярных векторов.
Тема 12 Элементы тензорного анализа. Обобщенная теорема
Остроградского- Гаусса для тензорных полей.
В заключительной части курса переходим из области тензорной
алгебры в область тензорного анализа, но в самом простом случае:
рассматривается 3-х мерное евклидово пространство с использованием
декартовой системы координат. Смысл данного перехода заключается в том,
что вместо отдельных тензоров рассматриваются тензорные поля, в связи с
чем, появляется новая операция – дифференцирование тензоров. Дается
определение скалярного, векторного и тензорного полей произвольного
ранга. Перечисляются все возможные операции над тензорными полями, и
доказывается их законность, как обобщение соответствующих операций над
отдельными тензорами. Основное внимание уделяется введенной новой
операции – дифференцированию тензоров, которая порождает новое
тензорное поле, имеющее ранг, на единицу больший, чем исходное.
Возвращаясь к введенным ранее операциям вычисления градиента,
дивергенции, ротора и оператора Лапласа, окончательно устанавливается,
что их результатом являются скалярные или векторные поля, что ранее
утверждалось без проведения доказательств. В заключительной части лекции
формулируется и доказывается теорема, обобщающая интегральную теорему
Остроградского-Гаусса, доказанную ранее для случая векторных полей, на
случай тензорных полей произвольного ранга. Рассматривается ряд
физических приложений обобщенной теоремы Остроградского Гаусса для
тензорных полей.
1. Доказывается справедливость закона Архимеда о выталкивающей
силе, действующей на тело произвольной формы, погруженное в
несжимаемую жидкость.
2. Показывается, что сила самодействия замкнутого стационарного
тока (системы токов) равна нулю. В случае замкнутого нестационарного тока
компоненты напряженности электрического и магнитных полей на большом
43
расстоянии от тока обратно пропорциональны этому расстоянию, что может
привести к возникновению конечной силы самодействия.
3. Теорема Остроградского-Гаусса справедлива и для неевклидова
пространства. На качественном уровне рассказывается о геометрии 3-х
мерного пространства Вселенной в закрытой модели Фридмана. Конечный
объем и отсутствие двумерных границ у такого пространства приводит к
равенству нулю полной энергии и электрического заряда Вселенной.
Основные понятия, глоссарий.
Скалярное поле – физическая величина скалярного типа, имеющая
определенное значение в каждой точке пространства. Скалярное поле
задается функцией координат a  x1, x2 , x3  . В новой координатной системе
тоже
скалярное
поле
описывается
другой
функцией:
a  x1, x2 , x3   a  x1 , x2 , x3  , если рассматривать новые координаты xi  U i j x j
j
как функции от старых координат. U i j   ei  e j  - матрица ортогонального
преобразования декартовой системы координат.
Векторное поле - физическая величина векторного типа, компоненты
которой имеют определенное значение в каждой точке пространства.
Векторное поле задается тремя функциями координат ai  x1, x2 , x3  . В новой
координатной системе тоже векторное поле описывается тремя другими
функциями: ai  x1, x2 , x3   U i j a j  x1 , x2 , x3  , если рассматривать новые
j
координаты xi  U i j x j как функции от старых координат.
j
Тензорное поля ранга N – задается функциями координат для каждой
компоненты поля. Общее число таких функций равно 3 N . В новой
координатной системе тоже поле описывается тем же числом других
функций:
Ti1i2 ... iN  x1, x2 , x3  

U i1 j1U i 2 j2 ...U iN jN T j1 j2 ... jN  x1 , x2 , x3 
j1 j2 .. jN
Обобщенная теорема Остроградского-Гаусса.
Для тензорного поля Ti1 i2 ...i N ( x1 , x2 , x3 ) N-го ранга справедлива теорема,
которая является обобщением теоремы Остроградского-Гаусса.

V iN
Ti1 i2 ...iN
xiN
dV    Ti1 i2 ...i N dSiN
S iN
44
Для ее доказательства умножим левую и правую части равенства на
произвольный постоянный тензор Ai1 i2 ...iN 1 ранга (N-1) и выполним свертку
по индексам i1 i2 ...iN 1 .
Проектное задание
1. Вычислить свертки, где ei j k - символ Леви-Чивита.
а) ei j j
б) ei j k ek l m
в) ei j j ei k m
г) ei j k ek j m
д) ei j k ei j m
е) ei j k ei m j
2. Получить формулу преобразования двойного векторного произведения
a, b , c   , используя символ Леви-Чивита.
  
3. Преобразовать выражения, используя символ Леви-Чивита.
  a , b  , c , d  
 a , b  , c , d 
а)
б)
 


 


rot  a, b 
rot rot  a , b 
в)
г)

д)

div  a, b 
е)
rot rot A
4. Вычислить, используя символ Леви-Чивита:
а)
где a и b - постоянные векторы.
rot  a, r , b , r   ,


rot  , r  ,
б)
где  - постоянный вектор.
div  , r  ,
в)
где  - постоянный вектор.
rot  f (r )r 
г)
д)


rot  f (k r ) ,
где  и k - постоянные векторы.
5. Найти матрицу преобразования системы координат, включающую вначале
поворот на 900 вокруг оси Oz, а затем инверсию.
u i
6. Тензор второго ранга
в общем случае не является ни симметричным,
x j
ни антисимметричным тензором. Его, однако, можно представить в виде
суммы симметричного и антисимметричного тензоров:
u i 1  u i u j  1  u i u j 
 


 

x j 2  x j xi  2  x j xi 
1  u i u j 
Антисимметричный тензор второго ранга


  pi j имеет три
2  x j xi 
отличные от нуля компоненты. Вследствие этого удобно вместо тензора pi j
45
ввести псевдовектор, определенный равенством: si  ei j k pk j . Почему si u
псевдовектор? Показать, что ei k j p j k  ei k j j   rot u i
xk
7. Симметричный тензор
1  u i u j 


 бывает удобно представить в виде
2  x j xi 
суммы шарового тензора и симметричного тензора, имеющего нулевой след
(девиатора):
1  u i u j   1  u i u j  1 uk  1 uk
1


 Di j   i j divu

 
  i j
  i j
2  x j
xi   2  x j
xi  3
xk  3
xk
3
Доказать, что Di i  0 .
8. Векторное поле u имеет компоненты: u  (2 x  3 y, 3z  4 x, x  y  z ) .
Найти компоненты тензора девиации (тензор девиации определен в
предыдущем задании).
Тест рубежного контроля
1. Какая, из перечисленных ниже компонент символа Леви-Чивита, равна
единице?
а)
 321
б)
 213
в)
 312
г)
132
2. Какое из соотношений для свертки произведения двух символов ЛевиЧивита истинно?
а)
 ijk  lmk   ij lm   il jm
б)
 ijk  lmk   il jm   im jl
в)
 ijk  lmk   im jl   il jm
г)
 ijk lmk   il jm   im jl
3. Какое из выписанных соотношений не является ротором векторной
величины
а)
A?
rotA  ei ijk

Ak
x j

Aj
в) rotA  ek  ijk
xi
б)
rotA  e j ijk

Ak
xi

 
rot
A
 A j  ijk
ek
г)
xi
4. Как преобразуются компоненты символа Леви-Чивита при инверсии
системы координат?
а) Не меняются
б) Изменяют знак
в) Зануляются
в) Становятся равными единице
46
5. Даны:
a-
истинный (полярный) вектор и
вектор). Чем является их векторное произведение
а) истинным вектором
в) скаляром
псевдовектор (аксиальный
b-
a  b  ?


б) псевдовектором
г) псевдоскаляром
6. Даны два псевдовектора (аксиальные векторы):
Чем является их скалярное произведение
a b  ?
a иb.
а) скаляром
б) псевдоскаляром
в) истинным вектором
г) псевдовектором
7. Матрица ортогонального преобразования декартовых координат имеет
вид
1 0 0 


U    0 1 0 
 0 0  1


Какому именно ортогональному преобразованию она соответствует?
а) Повороту на 180о относительно оси OZ
б) Зеркальному отражению в XY координатной плоскости
в) Зеркальному отражению в XZ координатной плоскости
г) Зеркальному отражению в YZ координатной плоскости
8. В исходной декартовой системе координат заданы компоненты
аксиального вектора: a1=1, a2=2, a3=3. Указать правильный набор его
компонент в системе координат, полученной в результате зеркального
отражения в XY координатной плоскости исходной системы координат.
а) a1=1, a2=2, a3=-3.
б) a1=-1, a2=-2, a3=3.
в) a1=-1, a2=-2, a3=-3. г) a1=1, a2=2, a3=3.
Бланк ответов
1
а
б
в
г
2
3
4
5
6
7
8
47
Список рекомендованной литературы
1. Савельев И.В. Основы теоретической физики, т. 1. - М.: Наука, 1975.
2. Савельев И.В. Курс обшей физики, т. 2. - М.: Наука, 1988.
3. Батыгин В.В., Топтыгин И.М. Сборник задач по электродинамике.
- М.:Наука,1970.
4. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного
исчисления. Харьков: Вища школа, 1986.
5. Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике.
т.1,5,7. –М.: Мир, 1967.
6. Г.Джеффрис, Б.Свирлс. Методы математической физики (Выпуск 1).
–М.:Мир, 1969.
7. Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. Математические методы физики.
–М.:Атомиздат,1972.
8. П.К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ.
–М.: Наука, 1967.
9. Ведринский Р.В., Мачавариани В.Ш., А.А.Новакович, Ф.В. Демехин.
Методические указания “Основы векторного и тензорного анализа”
Часть 2. Ростов-на-Дону. Ростовский государственный университет,
1998.
Промежуточный рейтинг-контроль
По учебному модулю №4 и видам занятий.
1. Практические занятия (6 пр. зан.): мин. 5, макс.10.
2. Контрольная работа:
мин. 5, макс.10.
3. Коллоквиум
мин. 30 макс. 50
Сумма баллов за модуль:
мин. 60, макс.120.
Таблица
Соответствие баллов промежуточного рейтинга оценке
_____________________________________________________________________
Оценка
Отлично
Хорошо
Удовлетво- Неудовлетворительно
рительно
__________________________________________________________
Баллы
100-120
80-99
60-79
0-59
__________________________________________________________
К сдаче экзамена по дисциплине допускаются студенты, аттестованные
по 1-му, 2-му, 3-му и 4-му модулю.
48
4. Методические рекомендации по самостоятельной работе
Самостоятельная работа студентов состоит в проработке лекционного
материала, работе с учебниками, подготовке к практическим занятиям,
экзамену и зачету.
4.1 Методические рекомендации по
изучению вопросов
теоретического материала курса «Векторный и тензорный анализ,
Дополнительные главы векторного и тензорного анализа», вынесенных на
самостоятельную проработку, а также рекомендации по подготовке к
практическим занятиям.
Тема 1.
Скалярные и векторные величины в физике. Скалярные и векторные
поля. Градиент скалярного поля. Применение понятия градиента в
математике и в физике.
Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в
литературе /4.3.1, 4.3.2, 4.3.5/.
Тема 2.
Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса
и ее применение в физике.
Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в
литературе /4.3.1, 4.3.2, 4.3.4, 4.3.5/. Следует также повторить материал курса
«Математический анализ», раздел «Кратные интегралы». Самостоятельная
работа состоит также в подготовке к практическому занятию по данной теме
и решению задач, заданных на дом.
Тема 3.
Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Теорема Стокса и
ее применение в физике.
Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в
литературе /4.3.1, 4.3.2, 4.3.4, 4.3.5/. Следует также повторить материал курса
«Математический анализ», раздел «Кратные интегралы». Самостоятельная
работа состоит также в подготовке к практическому занятию по данной теме
и решению задач, заданных на дом.
Тема 4.
Дифференциальные операторы второго порядка в векторном анализе и
примеры их применения в физике.
49
Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в
литературе /4.3.2, 4.3.4, 4.3.5, 4.3.6/. Самостоятельная работа состоит также в
подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач,
заданных на дом.
Тема 5.
Преобразование выражений векторного анализа. Метод оператора
«набла» и примеры его применения в физике.
Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в
литературе /4.3.2, 4.3.4, 4.3.5, 4.3.7/. Самостоятельная работа состоит также в
подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач,
заданных на дом.
Тема 6.
Операции векторного анализа в криволинейных системах координат.
Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в
литературе /4.3.2, 4.3.4, 4.3.5, 4.3.8/. Самостоятельная работа состоит также в
подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач,
заданных на дом.
Тема 7.
Векторы и тензоры. Преобразование векторов и тензоров при
поворотах системы координат.
Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в
литературе /4.3.4, 4.3.5, 4.3.7. 4.3.8/. Самостоятельная работа состоит также в
подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач,
заданных на дом.
Тема 8.
Операции над тензорами.
Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в
литературе /4.3.4, 4.3.5, 4.3.7. 4.3.8/. Самостоятельная работа состоит также в
подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач,
заданных на дом.
Тема 9.
Свойства тензоров второго ранга. Собственные значения и
собственные векторы симметричных тензоров второго ранга.
Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в
литературе /4.3.4, 4.3.5, 4.3.7. 4.3.10/. Самостоятельная работа состоит также
50
в подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач,
заданных на дом.
Тема 10.
Символ Леви-Чивита.
Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в
литературе /4.3.4, 4.3.6, 4.3.7. 4.3.8/. Самостоятельная работа состоит также в
подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач,
заданных на дом.
Тема 11.
Преобразование тензоров при инверсии системы координат.
Псевдотензоры.
Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в
литературе /4.3.4, 4.3.6, 4.3.7. 4.3.8/. Следует также повторить материал
седьмой темы. Самостоятельная работа состоит также в подготовке к
практическому занятию по данной теме и решению задач, заданных на дом.
Тема 12.
Элементы тензорного анализа. Обобщенная теорема ОстроградскогоГаусса для тензорных полей.
Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в
литературе /4.3.4, 4.3.6, 4.3.7, 4.3.8/. Следует также повторить материал курса
«Математический анализ», раздел «Кратные интегралы». Самостоятельная
работа состоит также в подготовке к практическому занятию по данной теме
и решению задач, заданных на дом.
4.2 Перечень вопросов и задач, выносимых на письменный экзамен.
1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(3, 2, 1) в
направлении наискорейшего роста функции exp (-r2), r=|r|.
2. Написать уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного
значения функции (x2+y2-3z) в точке А(-1, 2, -1).
3. Найти угол между направлениями наискорейшего роста функций
(x2+2y2-z2) и r=|r| в точке А(-1, 1, 1).
4. Найти силу, действующую на частицу в точке А(-1, -2, -1), если
потенциальная энергия равна (2x+y2-z).
5. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:
51
        
 a  b  c, a  b  c, a  b  c .
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 1, 2), которая
является плоскостью, касательной к поверхности постоянного значения
 


функции r  a в этой точке. r - радиус-вектор, a - постоянный вектор с
координатами (1, 2, 0).
7. Для тетраэдра, заданного координатами вершин, уметь находить: длины
ребер, углы между ребрами, площади граней, углы между гранями, объем.



 


8. Найти: grad r , div r , rot r , grad  , div  , rot  , где r ( x, y, z ), r  | r |, ( x, y,0) ,

 |  | .


9. Найти grad x , div zr , rot yr

 


e cr
gradsin(
k
r
)
div
[
a
[b r ]] , div [ar ]] , rot [ar ]] ,
10. Вычислить: grad
,
,
r





x

 


rot [a[b r ]] , rot (d sin( k r )) , div (d sin( k r )) , ( ) , div( r [ar ]) , rot(r [ar ]) ,
r3


 
[ ar ]
[ ar ]
x2
e cr
 
 ([ ar ],[b r ]) ,
где
grad ([ar ],[b r ]), div
, rot
,  ,

r
r
r
r
   


a , b , d , k  const , c  const , c  0, r ( x, y, z ), r | r | .
Результаты
записать
компактно, по возможности в векторном виде.

 
y
r  R0
1
1
d
11. Вычислить: grad   , div   , rot ,  ,    , где
r
| r  R0 |
| r  R0 |
| r  R0 |
r3
 


R0 , d  const , r ( x, y, z ), r | r | .
Результаты
записать
компактно,
по
возможности в векторном виде.



 dr 
z
[ dr ]


12. Вычислить: grad  3  , rot 3 , ( ) , где d  const , r ( x, y, z ), r | r | .
r
r3
r 
Результаты записать компактно, по возможности в векторном виде.
 
 


 ( dr ) r 
 ( dr ) r 
 
13. Вычислить: grad (ar )(b r ) , div  5  , rot 5  , (d cos( k r )) ,
 r 
 r 






где a , b , d , k  const , r ( x, y, z ), r | r | . Результаты записать компактно по
возможности в векторном виде.
 
14. Найти поток поля a (r )( x  z, y  2 x  z, x  y) через поверхность сферы
радиуса r с центром в начале координат.
 
15. Найти циркуляцию поля a (r )( x  z, y  2 x  z, x  y) по окружности
единичного радиуса с центром в начале координат, лежащей в плоскости
(y,z).

16. Найти циркуляцию поля [ar ] по окружности единичного радиуса с
центром в начале координат, лежащей в плоскости, нормаль которой


образует равные углы с координатными осями ( a  const , r ( x, y, z ) ).
17. Вычислить div grad для следующих скалярных полей:


52
 
 
 
a) f  sin kr , б) f  r 1 sin kr , в) f  kr , г) f  exp  r  ,
д) f  exp  r 2  , е)
2
f  r 1 exp  r  , где k - постоянный вектор.
18. Вычислить rot rot для следующих векторных полей:
a) a   x 2 , xy  y 2 , xz  z 2  , б) a   x 2  y 2 , xz , yz  , в) a   2 xz , x 2  y 2 ,2 z 2 
19. Упростить выражения с предварительным использованием методов
векторной алгебры и вычислить: a) rot  a, b , r   , б) div  a, b , r   , в)




rot  a, r , b , r   ,


г) div  a, r , b , r   , где a , b -постоянные векторы.


20. Преобразовать выражения методом оператора  и затем расписать в
частных производных следующие выражения: а) div  A, B  , б) grad A, B , в)
 

 

rot  A, B  , г) div fA , д) rot fA , е) grad  f  e  , ж) divgrad  f  e 
21. Найти напряженность электрического поля, если задан потенциал  ,
E   grad 


а)    x 2  2 y 2 z  sin  x    exp   x 2  y 2  z 2  ,
б)    x 2  sin  z  x   y 2 x  cos  z    exp   x 2 
22. Найти плотность электрического заряда в вакууме
 , если задана
напряженность электрического поля E , div E  4
а) E   x 2  4sin  z  exp  xy  ,cos  x   ln  xyz  , xy 2 z 


б) E  x  exp   x 2   y  z,ln  xy  sin  z  , x  y  z  1
23. Зная вид функций xi  xi  qk  , записать квадрат расстояния между двумя
бесконечно-близкими точками, и найти коэффициенты Ламе для
сферической и цилиндрической систем координат.
(Для сферической системе координат: x1  sin  cos  , x2  sin  sin  ,
x3  cos . Для цилиндрической системы координат x1   cos  , x2   sin  ,
x3  z .)
24. Получить формулы для градиента скалярного поля  в сферической и
цилиндрической системах координат.
25. Получить формулы для дивергенции векторного поля a в сферической и
цилиндрической системах координат.
26. Получить формулы для ротора векторного поля a в сферической и
цилиндрической системах координат.
53
27. Получить формулы для оператора Лапласа скалярного поля  в
сферической и цилиндрической системах координат
28. Задана сферически-симметричная функция:   r  . Найти grad   r  ,
  r 
а)   r   3r 2 , б)   r   r 3  2r 2 , в)   r   sin  r 2 
29. Найти матрицу поворота системы координат на плоскости при повороте
на угол  .
а) Убедится, что матрица U 3  поворота на угол  3  1   2 совпадает с
произведением матриц U1  и U 2  , которые являются матрицами поворота
на углы 1 и  2 соответственно.
б) Убедиться, что матрица поворота U 2  на угол  совпадает с
матрицей U1  , где U1  - матрица поворота на угол  .
1
30. Найти матрицу поворота системы координат в трехмерном пространстве
на угол  .
а) Вокруг оси Ox. б) Вокруг оси Oy. в) Вокруг оси Oz
31. В случае двумерного пространства вычислить компоненты вектора bi в
системе координат, повернутой на угол  по сравнению с исходной.
Компоненты вектора и угол  следующие:
а) b1  1, b2  2,    / 6 .
б)
b1  3, b2  1,    / 3 .
в) b1  5, b2  2,    / 4 .
г)
b1  1, b2  4,    / 6
32. В случае двумерного пространства вычислить компоненты тензора
второго ранга ai j в системе координат, повернутой на угол  по сравнению с
исходной. Компоненты тензора и угол  следующие:
а) a11  1, a12  2, a21  3, a2 2  5,    / 3
б) a11  1, a12  4, a21  2, a2 2  1,    / 4
в) a11  3, a12  1, a21  2, a2 2  6,    / 6
г) a11  5, a12  2, a21  1, a2 2  1,    / 2
33.
В трехмерном пространстве заданы компоненты вектора. Найти
компоненты вектора в системе координат, повернутой на угол  вокруг оси
Ox по сравнению с исходной. Компоненты вектора и угол  следующие:
а) b1  1, b2  2, b3  3,    / 3
б) b1  4, b2  1, b3  5,    / 2
54
34. Даны векторы ai и bi . Доказать, что множество величин ai  b j  образует
тензор второго ранга. Такой тензор иногда называют диадой.
35. Даны: вектор ai и тензор второго ранга bi j . Доказать, что множество
величин ai  b j k  образует тензор третьего ранга.
36. Дан тензор третьего ранга ai j k . Доказать, что множество величин
b j i k  ai j k образует тензор третьего ранга.
37. Даны тензоры второго ранга ai j и bi j . Доказать, что множество величин
a
ij
 bk m  образует тензор четвертого ранга.
38. Найти тензор ci j  ai j  b j i ,
где
ai j и bi j являются тензорами в
двумерном пространстве и их компоненты равны:
а) a11  1, a12  2, a21  3, a22  5 , b11  1, b12  4, b21  2, b22  1
б) a11  3, a12  1, a21  2, a22  6 , b11  5, b12  2, b21  1, b22  1
в) a11  2, a12  1, a21  2, a22  3 , b11  0, b12  6, b21  2, b22  4
39. В двумерном пространстве заданы векторы ai и bi а так же тензоры
второго ранга ci j и di j . Найти тензорную размерность приведенных ниже
величин и вычислить все их компоненты:
а) ai b j
б) ai bi
в) ai c j k
г) bi d j k
д) ci i
е) d j j
ж) ai ci j
з) ai c j i
и) ai c j j
к) bi di j
л) bi d j i
м) bi d j j
н) ci j d j k
о) c j i d j k
п) ci i d j j
Векторы ai и bi и тензоры ci j и di j равны:
a1  1, a2  2, b1  3, b2  1
c11  3, c12  1, c21  2, c22  6
d11  5, d12  2, d 21  1, d 22  1
40. Разложить тензор второго ранга
ci j на сумму симметричного ai j и
антисимметричного bi j тензоров, где ci j равны:
41.
 2 3 2 
6 4 7 
 1 2 4 
 2 7 8 
а)
б)




6 2 7 
5 4 3 




Для симметричного тензора ai j на плоскости: найти собственные
значения и собственные векторы, проверить ортогональность собственных
векторов, найти орты системы координат, связанной с главными осями,
55
записать матрицу поворота к главным осям, записать вид тензора в главных
осях.
Произвести вычисления для тензоров с компонентами:
а) a11  9, a12  2, a21  2, a22  6
б) a11  3, a12  9, a21  9, a22  3
в) a11  0, a12  3, a21  3, a22  6
г) a11  1, a12  2, a21  2, a22  1
42. Разложить тензор ci j на сумму симметричного ai j и антисимметричного
bi j тензоров. Для симметричного тензора ai j : найти собственные значения и
собственные векторы, проверить ортогональность собственных векторов,
найти орты системы координат, связанной с главными осями, записать
матрицу поворота к главным осям, записать вид тензора в главных осях,
классифицировать тензор (шаровой, симметрический, асимметрический,
положительно, отрицательно определенный или знаконеопределенный).
Произвести вычисления для тензоров ci j с компонентами:
3 2 
 3 9 5 

 9 3 4 
2 4 
a)
б)


 5 4 3 
4 6 


5 6 
 2 6 1
 6 3 1
1 3 
в)
г)





3 2 
 1 1 3 
43. Вычислить свертки, где ei j k - символ Леви-Чивита.
9
 3

 2

 3
 3

 6

а)
ei j j
б)
ei j k ek l m
в)
ei j j ei k m
г)
ei j k ek j m
д)
ei j k ei j m
е)
ei j k ei m j
ж)
ei j k ek l mem n q
з)
ei j k ek l mel i n
44. Получить формулу преобразования двойного векторного произведения
a, b , c   , используя символ Леви-Чивита.
  
45. Преобразовать выражения, используя символ Леви-Чивита.
  a , b  , c , d  
 a , b  , c , d 
а)
б)
 


 


rot  a, b 
rot rot  a , b 
в)
г)

д)
div  a, b 

е)
rot rot A
56
46. Вычислить, используя символ Леви-Чивита:
а)
где a и b - постоянные векторы.
rot  a, r , b , r   ,


б)
где  - постоянный вектор.
rot  , r  ,
в)
div  , r  ,
г)
rot  f (r )r 
д)
rot  f (k r ) ,

где  - постоянный вектор.

где  и k - постоянные векторы.
47. Найти матрицу преобразования системы координат, включающую
вначале поворот на 900 вокруг оси Oz, а затем инверсию.
48. Даны: ai истинный вектор и bi - псевдовектор. Что представляет собой их
векторное произведение?
49. Даны: ai , bi и ci - истинные векторы. Что представляет собой их


смешанное произведение a , b , c  ?
50. Даны: ai и bi - истинные векторы, ei j k - псевдотензор Леви-Чивита. Что
представляет собой многокомпонентная величина ei j k a j bk ? Почему? Какие
операции производятся при получении этой величины?
51. Даны: ai - псевдовектор, ei j k - псевдотензор
Леви-Чивита. Что
представляет собой многокомпонентная величина ei j k ak ? Почему?
52. Даны: ai - истинный вектор, bi - псевдовектор. Что представляет собой
величина ak bk ? Почему?
53. Симметричный тензор
1  u i u j 


 бывает удобно представить в виде
2  x j xi 
суммы шарового тензора и симметричного тензора, имеющего нулевой след
(тензора девиации):
1  u i u j   1  u i u j  1 uk  1 uk
1


 Di j   i j divu

 
  i j
  i j
2  x j
xi   2  x j
xi  3
xk  3
xk
3
Доказать, что Di i  0 .
54. Задано векторное поле u в двухмерном пространстве: u  ( xy, x 2  y 2 ) .
Найти компоненты тензора девиации Di j в точках: a) x=1,y=2; b) x=0,y=1.
Найти главные значения и главные направления тензора девиации в этих
точках.
57
55.
Для тензорного поля Ti1 i2 ...i N ( x1 , x2 , x3 ) N-го ранга доказать теорему,
которая является обобщением теоремы Остроградского-Гаусса.

V iN
Ti1 i2 ...iN
xiN
dV    Ti1 i2 ...i N dSiN
S iN
Указание: Умножим левую и правую части равенства на произвольный
постоянный тензор Ai1 i2 ...iN 1 ранга (N-1) и выполним свертку по индексам
i1 i2 ...iN 1 .
4.3 Рекомендуемая литература.
1. Савельев И.В. Основы теоретической физики, т. 1. - М.: Наука, 1975.
2. Савельев И.В. Курс обшей физики, т. 2. - М.: Наука, 1988.
3. Батыгин В.В., Топтыгин И.М. Сборник задач по электродинамике.
- М.:Наука,1970.
4. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного
исчисления. Харьков: Вища школа, 1986.
5. Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике.
т.1,5,7. –М.: Мир, 1967.
6. Г.Джеффрис, Б.Свирлс. Методы математической физики (Выпуск 1).
–М.:Мир, 1969.
7. Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. Математические методы физики.
–М.:Атомиздат,1972.
8. П.К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ.
–М.: Наука, 1967.
9. Ведринский Р.В., Мачавариани В.Ш. Методические указания “Основы
векторного и тензорного анализа” Часть 1. Ростов-на-Дону. Ростовский
государственный университет, 1995.
10. Ведринский Р.В., Мачавариани В.Ш., А.А.Новакович, Ф.В. Демехин.
Методические указания “Основы векторного и тензорного анализа”
Часть 2. Ростов-на-Дону. Ростовский государственный университет,
1998.
58
5. Методические рекомендации по проведению практических
занятий
Практикум предназначен для:
- закрепления знаний, полученных при изучении теоретического
материала по дисциплине «Векторный и тензорный анализ»;
- получения практических навыков аналитических вычислений с
использованием аппарата векторного и тензорного анализа.
Перечень практических занятий
Тема 1.
Скалярные и векторные величины в физике. Скалярные и векторные
поля. Градиент скалярного поля. Применение понятия градиента в
математике и в физике.
Цель работы: получения практических навыков аналитических
вычислений градиента скалярных полей, нахождения экстремумов функций
трех переменных. Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.9/.
Номера задач по теме: 1.3.1, 1.5.1, 2.1.1, 2.2.1, 2.2.3, 2.2.6, 2.2.10, 2.3.2, 2.3.4.
Тема 2.
Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса
и ее применение в физике.
Цель работы: получения практических навыков аналитических
вычислений дивергенции векторных полей и их потоков через замкнутую
поверхность, используя теорему Гаусса.
Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.9/.
Номера задач по теме: 3.1.1, 3.1.3, 3.1.6, 3.1.12, 3.2.1, 3.3.1, 3.3.2, 3.4.1, 3.4.2.
Тема 3.
Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Теорема Стокса и
ее применение в физике.
Цель работы: получения практических навыков аналитических
вычислений ротора векторных полей и их циркуляций по замкнутым
контурам, используя теорему Стокса.
Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.9/.
Номера задач по теме: 4.1.1, 4.1.3, 4.1.6, 4.1.12, 4.3.1, 4.3.3, 4.3.6, 4.5.1, 4.7.
Тема 4.
59
Дифференциальные операторы второго порядка в векторном анализе и
примеры их применения в физике.
Цель работы: получения практических навыков аналитических
вычислений с использованием дифференциальных операторов второго
порядка при их действии на скалярные и векторные поля.
Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.9/.
Номера задач по теме: 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3, 5.2.1, 5.2.2, 5.2.3, 5.3.1, 5.3.2, 5.3.3.
Тема 5.
Преобразование выражений векторного анализа. Метод оператора
«набла» и примеры его применения в физике.
Цель работы: получения практических навыков преобразований
выражений векторных и скалярных полей с использованием метода
оператора «набла».
Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.9/.
Номера задач по теме: 6.1.1, 6.1.2, 6.1.3, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.3.1, 6.3.2, 6.3.3.
Тема 6.
Операции векторного анализа в криволинейных системах координат.
Цель работы: получение практических навыков использования
сферической и цилиндрической системы координат для вычисления
результата действия дифференциальных операторов первого и второго
порядков на скалярные и векторные поля.
Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.10/.
Номера задач по теме: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.7, 1.8, 1.10.(a), 1.11.(a).
Тема 7.
Векторы и тензоры. Преобразование векторов и тензоров при
поворотах системы координат.
Цель работы: получение практических навыков вычислений матриц
поворота декартовой системы координат и компонент тензоров первого и
второго ранга в повернутой координатной системе.
Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.10/.
Номера задач по теме: 2.1.3, 2.2.3, 2.5.1, 2.5.2, 2.5.3, 2.6.1, 2.6.2, 2.6.3, 2.7.2.
Тема 8.
Операции над тензорами.
60
Цель работы: изучение всех допустимых операций над тензорами
произвольного ранга, получение практических навыков вычислений
результатов операции свертки отдельных тензоров и их произведений.
Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.10/.
Номера задач по теме: 3.1, 3.4, 3.5, 3.11.1, 3.11.2, 3.11.3, 3.12.1, 3.12.2, 3.12.3.
Тема 9.
Свойства тензоров второго ранга. Собственные значения и
собственные векторы симметричных тензоров второго ранга.
Цель работы: изучение основных свойства тензоров второго ранга,
получение практических навыков вычислений собственных значений и
собственных векторов симметричных тензоров второго ранга,
Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.10/.
Номера задач по теме: 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3, 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3, 4.4.1, 4.4.2, 4.4.3.
Тема 10.
Символ Леви-Чивита.
Цель работы: изучение основных свойства символа Леви-Чивита,
получение практических навыков преобразований и упрощений тензорных
выражений, содержащих свертки двух и более символов Леви-Чивита.
Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.10/.
Номера задач по теме: 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3, 5.4.1, 5.4.2, 5.4.3, 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3.
Тема 11.
Преобразование тензоров при инверсии системы координат.
Псевдотензоры.
Цель работы: получение практических навыков вычислений матриц
несобственных ортогональных преобразований декартовой системы
координат и компонент аксиальных векторов и псевдотензоров при
суперпозиции поворота и инверсии координатной системы.
Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.10/.
Номера задач по теме: 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.7.
Тема 12.
Элементы тензорного анализа. Обобщенная теорема ОстроградскогоГаусса для тензорных полей.
Цель работы: на примере решения конкретных задач закрепить
теоретический материал темы, получить практические навыки использования
аппарата тензорного анализа для решения физических задач.
Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.10/.
Номера задач по теме: 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.