Домашнее задание № ЗАДАЧА 1. ЗАДАЧА 2. ЗАДАЧА 3.

Домашнее задание № 1
ЗАДАЧА 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 5, 7 и 9: а) если
цифры в числе не повторяются; б) если цифры в числе могут повторяться?
ЗАДАЧА 2. Сколько хорд можно провести через n различных точек, лежащих на одной
окружности?
ЗАДАЧА 3. Сколькими способами можно составить четырехзначное число: а) если
цифры в числе не повторяются; б) если цифры в числе могут повторяться?
ЗАДАЧА 4. Из города А в В ведут к дорог, а в город С ведет l дорог. В город D из B
ведет m дорог, а из C в D - n дорог. Сколько различных автобусных маршрутов можно
проложить между городами А и D, если между городами B и С дорог нет?
ЗАДАЧА 5. В хоккейном клубе 8 нападающих, 5 защитников и 2 вратаря. Сколько
различных составов команды может выпустить тренер на лед, если каждый спортсмен
может выполнять только свои функции и играть с любым напарником? Состав команды:
вратарь - 1, защитник - 2, нападающий -3.
ЗАДАЧА 6. У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами
можно назвать ребенка, если всего имеется 300 имен, а ребенку дают не более трех
различных имен?
ЗАДАЧА 7. В множестве супружеских пар наудачу выбирается одна. Рассматриваются
следующие события: А - "мужу больше 20 лет"; В - "муж старше жены"; C - "жене больше
20 лет". Проясните смысл выражений:
A B C, A B C.
ЗАДАЧА 8. События Аi (i = 1, 2, 3) поражение цели при i - м выстреле. Описать события:
В - "ровно одно попадание при 3-х выстрелах"; C - "не менее двух попаданий при трех
выстрелах"; Е - "хотя бы один промах".
ЗАДАЧА 9. На рисунке изображены электрические схемы с выключателями. Пусть
событие Ак - "включен выключатель с номером к". Для каждой из схем запишите события:
В - "ток течет"; C - "ток не течет".
a)
1
2
3
1
b)
2
1
2
3
4
c)
3
Домашнее задание № 2
ЗАДАЧА 1. Имеется три различных кресла и пять рулонов обивочной ткани различных
цветов. Сколькими способами можно обить кресла?
ЗАДАЧА 2. В некотором селении проживает 1000 человек. Показать, что, по крайней
мере, двое из них имеют одинаковые инициалы.
1
ЗАДАЧА 3. Из 20 сотрудников лаборатории 5 человек должны выехать в командировку.
Сколько различных групп отъезжающих можно составить, если заведующий
лабораторией и два ведущих инженера одновременно выезжать не должны? Какова
вероятность того, что наудачу отобранную группу сотрудников (5 человек) можно послать
в командировку?
ЗАДАЧА 4. Какова вероятность того, что дни рождения 12 человек приходятся на
разные месяцы года?
ЗАДАЧА 5. В коробке лежат 15 красных, 9 синих и 6 зеленых карандашей. При падении
из коробки случайным образом выпало 6 карандашей. Какова вероятность того, что это
были 1 зеленый, 2 синих и 3 красных?
ЗАДАЧА 6. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из
них с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Какова
вероятность следующих событий: а) все пассажиры выйдут на четвертом этаже; б) все
пассажиры выйдут на одном и том же этаже; в) все пассажиры выйдут на разных этажах?
ЗАДАЧА 7. После жеребьевки 2n команд распределились поровну в двух подгруппах.
Какова вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в одной
подгруппе?
ЗАДАЧА 8. В урне содержится n одинаковых перенумерованных шаров. Из урны
случайным образом извлекается шар, его номер записывается, затем шар возвращается в
урну и ее содержимое тщательно перемешивается. Какова вероятность того, что в
результате n опытов получим ряд 1, 2, … n? Какова вероятность того, что в результате n
опытов получим ряд (без повторений) в произвольном порядке?
ЗАДАЧА 9. Если в предыдущей задаче шары извлекаются без возвращения, то какова
вероятность того, что сначала будет вынут шар с номером n, затем шар с номером n-1, и
т.д., а последним будет шар с номером 1.
ЗАДАЧА 10. В ящике 10 деталей, 4 из которых окрашены. Наудачу взяты 3 детали.
Какова вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена?
ЗАДАЧА 11. Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу по
мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0.7, а вторым 0.8.
Какова вероятность того, что в мишень попала только одна пуля?
ЗАДАЧА 12. На стеллаже в библиотеке случайным образом расставлены 15 учебников, 5
из которых были в жестких переплетах. Библиотекарь наугад берет 3 учебника. Какова
вероятность того, что не менее, чем две из них, в жестких переплетах?
Домашнее задание № 3
ЗАДАЧА 1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от
друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу брошена монета радиусом r < a. Какова
вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых?
ЗАДАЧА 2. В линейном уравнении x =  коэффициент  наудачу выбирается на
замкнутом промежутке [0, 8], а свободный член  - [0, 10]. Какова вероятность того, что
корень данного уравнения не меньше 1?
ЗАДАЧА 3. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не
превышает 2. Какова вероятность того, что xy  , а y / x  2?
2
ЗАДАЧА 4. В бесконечную решетку, каждая ячейка которой является прямоугольником
с размерами a  b, бросается мячик радиусом r  a / 2; r  b / 2. Размеры ячейки даны
по осям цилиндрических прутьев решетки, диаметр которых равен d. Мячик бросается
перпендикулярно поверхности решетки. Какова вероятность того, что мячик не заденет
прутьев, заденет только один прут, заденет два прута решетки?
ЗАДАЧА 5. Среднее число пасмурных дней в июле в Томске равно 6. Какова
вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода, пасмурно?
ЗАДАЧА 6. Электрическая цепь между точками M и N составлена по схемам а) и б).
Какова вероятность событий: В – ток течет, С – разрыв цепи. Вероятности безотказной
работы элементов Ai за время T сведены в таблицу:
Ai
A1
A2
A3
A4
P(Ai)
0.6
0.8
0.7
0.9
A(2)
A(1)
M
A(4)
а)
N
A(3)
A(1)
M
N
A(2)
A(4)
б)
A(3)
Домашнее задание № 4
ЗАДАЧА 1. Студент знает 20 из 25 вопросов коллоквиума. Какова вероятность того, что
он ответит на три предложенных ему вопроса?
ЗАДАЧА 2. В первой урне 10 шаров, из них 8 белых, во второй – 20, из них 4 белых. Из
каждой урны взяли наудачу по одному шару, а затем из этих двух наудачу выбрали один.
Какова вероятность того, что взят белый шар?
ЗАДАЧА 3. По самолету производится 3 выстрела. Вероятность попадания при первом
выстреле равна 0.4, при втором – 0.5, при третьем – 0.7. Для вывода самолета из строя
заведомо достаточно трех попаданий, при одном попадании самолет выходит из строя с
вероятностью 0.2, а при двух попаданиях – 0.6. Какова вероятность того, что в результате
трех выстрелов самолет выйдет из строя?
ЗАДАЧА 4. Вероятность того, что во время работы ЭВМ произойдет сбой в процессоре,
в оперативной памяти либо в остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятность
обнаружения сбоя в процессоре, в оперативной памяти и в остальных блоках равна
соответственно 0.8, 0.9 и 0.9. Какова вероятность того, что возникший в ЭВМ сбой будет
обнаружен?
ЗАДАЧА 5. В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после чего наудачу
извлечен один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар – белый, если
равновероятны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по
цвету)?
3
Домашнее задание № 5
ЗАДАЧА 1. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель.
Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятность попадания в
цель для первого, второго и третьего орудия равны соответственно: 0.4, 0.3 и 0.5.
ЗАДАЧА 2. Имеются 2 урны. В первой урне содержится a белых и b черных шаров; во
второй – c белых и d черных шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают
три шара, после чего из второй урны случайно вынимают один шар. Какова вероятность
того, что этот шар белый?
ЗАДАЧА 3. В ящике находится a новых теннисных мячей и b игранных. Из ящика
наугад вынимаются два мяча, которыми играют. После этого мячи возвращают в ящик.
Через некоторое время из ящика снова вынимают наугад два мяча. Какова вероятность
того, что они будут новыми (a ≥ 2 b≥2)?
ЗАДАЧА 4. В коробке находятся две неотличимые по внешнему виду и по весу
игральные кости: одна правильная, с одинаковыми вероятностями выпадения всех шести
цифр при случайном подбрасывании; другая неправильная, с неравномерным
распределением массы по объему. При случайном подбрасывании неправильной
игральной кости шестерка появляется с вероятностью 1 ⁄ 3, единица – с вероятностью
1 ⁄ 9, остальные цифры выпадают с одинаковой вероятностью. Какова вероятность того,
что была подброшена правильная игральная кость, если в результате случайного
извлечения и подбрасывания выпало 3 очка, 6 очков?
ЗАДАЧА 5. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков
соответственно равны p1, p2, p3. Какова вероятность, что второй стрелок промахнулся,
если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины?
ЗАДАЧА 6. К зачету по теории вероятностей преподаватель подготовил 50 вопросов. 13
– по комбинаторике; 17 – по алгебре событий; 11 – формула полной вероятности и 9 –
схема Бернулли. Для сдачи зачета достаточно ответить на первый доставшийся вопрос.
Студент знает ответы на 10 вопросов первой темы; на 15 – второй; 7 – третьей и 5 –
четвертой. Какова вероятность студенту сдать зачет? Какова вероятность того, что он
ответил на вопрос первой, второй, третьей или четвертой тем?
ЗАДАЧА 7. В результате проверки контрольной работы выяснилось, что в первой
группе успешно справились с работой 10 студентов из 15, а во второй 16 из 20. Случайно
выбранная работа получила неудовлетворительную оценку. Какова вероятность того, что
она принадлежит студенту первой/второй группы?
Домашнее задание № 6
ЗАДАЧА 1. Вероятность отказа каждого прибора при испытании не зависит от отказов
других приборов и равна 0.2. Испытано 9 приборов. Каково наивероятнейшее число
отказавших приборов? Чему равна вероятность этого события?
ЗАДАЧА 2. Для стрелка, выполняющего упражнение в тире вероятность попасть в
"яблочко" при одном выстреле не зависит от предшествующих результатов и равна
1 ⁄ 4. Спортсмен сделал 5 выстрелов. Какова вероятность событий: А – ровно 1 попадание;
В – ровно 2 попадания; C – хотя бы 1 попадание; D – не менее трех попаданий?
ЗАДАЧА 3. В семье 10 детей. Считая вероятность рождения мальчика равной 0.51 и
девочки равной 0.49, найдите вероятность того, что в семье: а) 5 мальчиков и 5 девочек; б)
число мальчиков от 3 до 8.
4
ЗАДАЧА 4. В ячейку памяти записывается 8 – разрядное двоичное число. Значения 0 и 1
в каждом разряде появляются с равной вероятностью. Какова вероятность того, что в
числе будут 4 единицы, не более трех единиц?
ЗАДАЧА 5. Вероятность попадания в 10 при 1 выстреле равна 0.2. Сколько нужно
произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0.9 попасть в 10 хотя
бы 1 раз?
ЗАДАЧА 6. В фирме, предоставляющей услуги такси, имеется 15 машин. Вероятность
выхода на линию каждой из машин равна 0.85. Какова вероятность нормальной работы
фирмы в ближайший день, если для этого необходим выход на линию не менее 12 машин?
ЗАДАЧА 7. Мишень состоит из трех зон: круга и двух колец. Вероятность попадания в
круг, во внутреннее кольцо и во внешнее равна соответственно 0.15; 0.22 и 0.13
соответственно. Какова вероятность того, что при 10 выстрелах 6 попаданий будет в круг,
три – во внутреннее кольцо и одно – во внешнее?
Домашнее задание № 7
ЗАДАЧА 1. В камере хранения ручного багажа 75% всей клади составляют сумки.
Какова вероятность того, что на заполненном стеллаже (50 мест) находятся не менее 30 и
не более 40 сумок? Каково наивероятнейшее число сумок и какова вероятность этого
события?
ЗАДАЧА 2. При изготовлении отливок брак составляет 20%. Сколько необходимо
запланировать отливок, чтобы с вероятностью не менее 95% была обеспечена программа
выпуск, для выполнения которой необходимо 50 бездефектных отливок?
ЗАДАЧА 3. Прибор содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа
для каждого из которых равна 0.0005. Какова вероятность отказа прибора, если он
наступает при отказе хотя бы одного элемента?
ЗАДАЧА 4. Две игральные кости одновременно подбрасываются два раза. Написать
биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X – числа
выпадения четного числа очков на каждой игральной кости.
ЗАДАЧА 5. Дискретная СВ задана законом распределения:
x
3
4
7
10
p
0.2
0.1
?
0.3
Найти F(x) и построить ее график
Домашнее задание № 8
ЗАДАЧА 1. Дискретная СВ задана законом распределения:
x
p
3
0.2
4
?
7
0.4
10
0.3
Найти функцию распределения и построить
график. Вычислить M[x], D[x], Sk, Ex.

0,
x0


ЗАДАЧА 2. Дана плотность распределения: f ( x)  sin x, 0  x  . Найти F(x).
2


0.
x

2
5
ЗАДАЧА 3. Производится 2 независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания
при каждом выстреле равна p. Рассматриваются СВ Х – разность между числом
попаданий и числом промахов; У – сумма числа попаданий и промахов. Построить для
каждой СВ ряд распределения. Найти mx, Dx, my, Dy.
ЗАДАЧА 4. В коробке 4 красных и 3 зеленых карандаша. Из коробки случайным
образом извлекают 3 карандаша. Найти закон распределения СВ Х – число извлеченных
красных карандашей. Определите вероятности событий: А – извлечено не менее 2
красных карандашей; В – извлечено не более 1 красного карандаша.
ЗАДАЧА 5. Пусть Х – число выстрелов по цели до первого промаха, причем вероятность
попадания при одном выстреле равна p. Составить таблицу распределения СВ Х.
Домашнее задание № 9
ЗАДАЧА 1. СВ X подчинена закону "Симпсона" (закону равнобедренного треугольника)
на интервале [-a, a]. a) Найти f(x), F(x), P(-a/2, a), mx, Dx, Sk, Ex.
ЗАДАЧА 2. Непрерывная СВ распределена равномерно mx=8, Dx=1/3. Найти f(x).
ЗАДАЧА 3. Два стрелка независимо один от другого производят по1 выстрелу, каждый
по своей мишени. X – число попаданий 1 стрелка, Y – число попаданий 2 стрелка.
Вероятность попадания в мишень для 1 стрелка равна p1, для второго – p2. Построить
F1(x), F2(y), F(x, y).
ЗАДАЧА 4. Дана плотность вероятности СВ (X, Y).
f ( xy)  0.5sin( x  y), 0  x, y   2 . Определить F(x,y), Mx, My, Kxy.
ЗАДАЧА 5. Плотность вероятности СВ равна
f ( x)  ax 2e kx ,
(k  0, 0  x  ).
Требуется: а) найти коэффициент а; б) найти F(x); в) вычислить P(0, 1/k).
Домашнее задание № 10
ПРИМЕР 1. Дана корреляционная матрица системы СВ. Составить нормированную
корреляционную матрицу rij.
 16 14 12 
Kij   14 49 21
 12 21 36 
ПРИМЕР 2. Дан непрерывный случайный вектор (ξ, η). Известно, что Mξ = 0, Mη = 3, Dξ
= 4, Dη = 1, rηξ.= -1/2. Найти дисперсию случайной величины ζ = 3ξ - 2η.
ЗАДАЧА 3. Дана таблица распределения системы дискретных случайных величин (ξ,η):
ξ\η
-2
-1
0
1
-1
0.01
0.02
0.05
0.03
0
0.03
0.24
0.15
0.06
1
0.06
0.09
0.16
0.10
Найти законы распределения СВ: ξ + η, ξ ∙ η, mη, mξ, mη+ξ, mη∙ξ, Dη, Dξ, Dη+ξ, Dη∙ξ
ЗАДАЧА 4. Определить плотность вероятности, математические ожидания и
корреляционную матрицу системы СВ (X, Y), заданных в интервалах (0  x   / 2) и
(0  y   / 2) , если функция распределения системы равна: F ( x, y )  sin x sin y.
6
ЗАДАЧА 5. СВ характеризуется функцией распределения Рэлея: F ( x)  1  e
Найти f ( x) , Me , Mo .

x2
2 2
, ( x  0).
Домашнее задание № 11
ЗАДАЧА 1. Случайные величины ξ и η имеют математические ожидания Mξ = 1,
Mη = 4 и дисперсии Dξ = 9, Dη = 25. Коэффициент корреляции этих величин равен rξη = 1 /
3. Найти математическое ожидание СВ: а) ζ = -2ξ + 3ξη + η + 7; б) ζ = αξ2 + βξη + γη2
, ,   R .


ЗАДАЧА 2. Двумерная СВ (X,Y) задана законом распределения:
X\Y
1
2
3
1
0.07
0.08
0.09
2
0.04
0.11
0.13
3
0.11
0.06
0.10
4
0.11
0.08
0.02
Проверить, зависимы ли СВ X и Y. Найти cov(X,Y).
ЗАДАЧА 3. В урне 4 шара: 2 белых, 1 черный, 1 синий. Наудачу извлекаются 2 шара. СВ
X - число черных шаров в выборке, СВ Y- число синих шаров в выборке. Составить закон
распределения СВ (X,Y), СВ X, СВ Y.Вычислить mx , my ,  x ,  y , rxy .
ЗАДАЧА 4. Для СВ, распределенной по нормальному закону 15% значений x меньше 12
и 40% x больше 16.2. Найдите mx и σx.
ЗАДАЧА 5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально
распределенной СВ X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в
результате испытания X примет значение, заключенное в интервале [15, 25].
Домашнее задание № 12
ЗАДАЧА 1. Систематическая ошибка удержания высоты самолетом +20м, а случайная
ошибка имеет среднеквадратическое отклонение 75м. Для полета самолета отведен
коридор высотой 100м. Какова вероятность того, что самолет будет лететь ниже, внутри и
выше коридора, если самолету задана высота, соответствующая середине коридора?
ЗАДАЧА 2. Определить для нормально распределенной СВ X, имеющей M[X]=0,
1) P( X  k ) и 2) P( X  k ) (при k  1, 2, 3) .
ЗАДАЧА 3. Сервер кафедры ВТ должен обеспечивать безотказную работу в выходные
дни (48 часов) с вероятностью не менее 0.9. Считая, что безотказная работа компьютера
происходит по показательному закону, определите, чему должен быть равен параметр λ
этого распределения?
ЗАДАЧА 4. Двумерная СВ (X,Y) задана законом распределения:
X\Y
0
1
-1
0.15
0.20
0
0.40
0.10
1
0.05
0.10
Найти коэффициент корреляции rXY .
ЗАДАЧА 5. Цена акции нормально распределена. В течение последнего года 20%
рабочих дней цена была ниже 88, а 75% - выше 90. Найти а) математическое ожидание и
среднее квадратическое отклонение цены акции; б) вероятность того, что в день покупки
цена будет заключена в пределах от 83 до 96; в) с надежностью 0.95 определить
максимальное отклонение (по модулю) от среднего значения
7
Домашнее задание № 13
ЗАДАЧА 1. Длительность времени безотказной работы компьютера имеет показательное
0.01t
распределение F (t )  1  e
(t  0) . Можно ли использовать данный компьютер в
качестве сервера, если вероятность безотказной работы сервера в течение праздников (3
суток) не должна быть меньше 0.75?
ЗАДАЧА 2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для I стрелка равна 0.4,
для II - 0.6. Оба стрелка, независимо друг от друга , делают по 2 выстрела в цель. Найти
закон распределения СВ X, СВ Y, СВ (X,Y), F ( X , Y ), если X - число попаданий I стрелка,
СВ Y - II стрелка.
ЗАДАЧА 3. При большом числе измерений установлено, что 75% ошибок а) не
превосходят + 1.25 мм, б) не превосходят по абсолютной величине 1.25 мм. Заменяя
частоты появления ошибок их вероятностями, определить в обоих случаях среднее
квадратическое отклонение ошибок измерения, считая их нормально распределенными с
нулевым математическим ожиданием.
ЗАДАЧА 4. Случайная величина подчинена
P( X  2)  0.99 . Вычислить M [ X 2 ] и P[ X 2  2) .
закону
N (1,  ) .
Известно,
что
Домашнее задание № 14
ЗАДАЧА 1.
СВ
ξ
и
η
имеют
математические
ожидания
m  1, m  4, и D  9, D  25. Коэффициент корреляции этих величин r  1 3. Найти
математическое ожидание СВ: а)   2  3    7; б)    2     2 .
ЗАДАЧА 2.
Доказать рекуррентную формулу для биномиальных вероятностей:
p nm
Pn ,m1 ( p) 
Pn ,m ( p) .
q m 1
ЗАДАЧА 3. СВ X - время работы радиолампы имеет показательное распределение.
Какова вероятность того, что лампа проработает не менее 800 часов, если среднее время
работы радиолампы 400 часов?
ЗАДАЧА 4. Время ремонта телевизоров – СВ X, распределенная по показательному
закону. Определите вероятность того, что на ремонт потребуется не менее 20 дней, если
среднее время ремонта телевизора составляет 15и дней. Найти плотность вероятности,
функцию распределения и среднее квадратическое отклонение СВ X.
ЗАДАЧА 5. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 ч. Полагая, что время
безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а)
выражение его плотности вероятности и функции распределения; б) вероятность того, что
в течение 100 ч. прибор не выйдет из строя.
8