Задание N 10. Варианты ответа: Производная третьего порядка функции равна … Решение: Чтобы найти третью производную функции, нужно трижды последовательно продифференцировать функцию, то есть Тогда Задание N 10.1 Производная второго порядка функции равна … Решение: Производная второго порядка функции производной, то есть , равна производной от ее первой . Тогда .И . 10.2 Дана функция . Тогда равно … Решение: Производная второго порядка функции производной, то есть . Тогда , равна производной от ее первой и . Найденные производные подставим в . Тогда . Математический анализ / Асимптоты графика функции Задание N 11. Варианты ответа: Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид Тогда значение k равно… –2 . Решение: Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид: . Угловой коэффициент k вычисляется по формуле: 1 . Тогда 4 –1 11.1 Горизонтальная асимптота графика функции имеет вид... Решение: Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции , если Вычислим предел: , или . . Вывод: – горизонтальная асимптота. 11.2 Вертикальная асимптота графика функции имеет вид… Решение: Прямая если является вертикальной асимптотой графика функции – точка разрыва и при этом хотя бы один из односторонних пределов , равен . Точками разрыва функции являются те точки, в которых знаменатель равен нулю: ; – точка разрыва функции и . Вывод: x= –8 – вертикальная асимптота. Математический анализ / Основные методы интегрирования 12. Множество первообразных функции равно … Решение: Замечая, что , положим Задание N 12.1 . Варианты ответа: Множество первообразных функции равно … Решение: Интегрируем методом по частям, используя формулу . Тогда , 12.2 В неопределенном интеграле тогда интеграл примет вид … введена новая переменная Решение: Если , то и . Тогда Векторный анализ / Норма вектора в евклидовом пространстве Задание N 13. Варианты ответа: Длина вектора равна 3. Проекция вектора на ось Oy положительна. Тогда координата y равна… 6 Решение: Длина вектора вычисляется как –2 По условию . Отсюда получаем: полученное уравнение: . Решаем 2 . , Так как по условию проекция вектора на ось Oy положительна, то ответом является 0 . 13.1 Длина суммы векторов и равна… Решение: Найдем координаты суммарного вектора: . Вычислим длину найденного вектора: 13.2 На векторах , как на сторонах построен треугольник. Тогда длина стороны CB равна… Решение: Сделаем схематический чертеж. По правилу вычитания векторов: . Координаты векторов таковы . Тогда . Вычислим требуюмую длину стороны CB , или, что то же самое, длину вектора . Векторный анализ / Линейные операции над векторами . Задание N 14. Варианты ответа: Даны вектор и точка Тогда точка В имеет координаты … . Решение: , при этом . Следовательно: . Тогда Задание N 14.1 Точки последовательные вершины параллелограмма. Точка пересечения его диагоналей. Если , то – точка равен … Решение: Условие задачи полезно проиллюстрировать рисунком, который поможет при решении. По правилу вычитания векторов параллелограмма: 14.2 Даны вектор ось равна… . По свойству диагоналей . Тогда . Тогда проекция вектора на Решение: Координатами вектора называются его проекции на оси координат. А так как координаты разности векторов вычисляются по формуле: , то . Векторный анализ / Скалярное произведение векторов Задание N 15. Варианты ответа: Даны векторы , , . Тогда скалярное произведение 8 равно… Решение: Найдем координаты вектора 20 . Тогда 17 12 15.1 Косинус угла между векторами и равен… Решение: Применим формулу: 15.2 Векторы и взаимно перпендикулярны. Их длины: скалярный квадрат Векторный анализ / Векторное произведение векторов равен… , . Тогда Задание N 16. Варианты ответа: Даны векторы Тогда модуль вектора , равен… , . 5 Решение: Отметим, что заданные векторы следующие координаты: имеют и 4 . Найдем вектор , используя формулу: 3 . Затем вычислим модуль найденного вектора формуле: Тогда по 0 . . Модуль вектора : . 16.1 На векторах То площадь и , как на сторонах построен параллелограмм. параллелограмма равна … Решение: Площадь параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах, равна модулю векторного произведения этих векторов. При решении нужно использовать свойства векторного произведения векторов: 1) , 2) 3) Тогда . 16.2 Даны орты , тогда выражение преобразовать к виду … можно Решение: Для решения воспользуемся свойствами векторного произведения векторов: 1) 2) , тогда , тогда . Отсюда: . Рассмотрим теперь, чему равно векторное произведение . Пусть это векторное произведение равно некоторому вектору то есть Согласно определению векторного произведения: того тройка векторов , , правая . , кроме . Тогда . Таким образом: . А, следовательно, выражение, предложенное в задании можно преобразовать к виду: . Отметим, что представленное решение очень подробное, а потому кажется громоздким. Для упрощения решения можно воспользоваться готовой таблицей векторных произведений координатных ортов многих учебниках. Функциональный анализ / Элементы теории множеств Задание N 17. Объединением множеств и является множество… Решение: Объединением множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B. Поэтому Варианты ответа: , представленной во 17.1 Разностью множество… множеств и является Решение: Разностью множеств A и B называется совокупность тех элементов из A, которые не содержатся в B. Поэтому 17.2 Пересечением множеств и является множество… Решение: Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как A, так и B. Поэтому Функциональный анализ / Мера плоского множества . Задание N 18. Варианты ответа: 9 Мера плоского множества, изображенного на рисунке, равна … 12 Решение: Мерой плоского множества в данном случае является значение площади треугольника ABC. Поэтому получаем 20 4,5 18.1 Мера плоского множества, изображенного на рисунке, равна … Решение: Мерой плоского множества в данном случае является значение площади круга с радиусом R=2, поэтому . 18.2 Мера плоского множества, изображенного на рисунке, равна … Решение: Мерой плоского множества в данном случае является значение площади трапеции ABCD. Найдем площадь трапеции Функциональный анализ / Отображение множеств Задание N 19. Варианты ответа: Образом отрезка отображении множество … при является Решение: На отрезке функция непрерывна. Найдем образы концевых точек отрезка при отображении с помощью функции . Имеем ,а Поэтому образом отрезка при отображении функцией будет отрезок . . . 19.1 Образом отрезка при отображении постоянные, является множество … , где k,n – Решение: Отображение осуществляется линейной функцией образы концевых точек отрезка отрезка будет отрезок : . Найдем . Образом , . 19.2 Образом множества при отображении является … Решение: Отображение осуществляется тригонометрической функцией получаем, что , а при : . При , отметим также, при . Поэтому образом интервала : будет вся числовая прямая, так как на указанном интервале функция непрерывна Функциональный анализ / Метрические пространства Задание N 20. Варианты ответа: Множество упорядоченных групп из n действительных чисел с расстоянием образует метрическое пространство … Решение: Множество упорядоченных групп из n действительных чисел с расстоянием называется n-мерным арифметическим евклидовым пространством (метрическим пространством). 20.1 Множество действительных чисел с расстоянием метрическое пространство … образует Решение: Множество действительных чисел с расстоянием метрическое пространство Комплексный анализ / Формы записи комплексного числа . образует Задание N 21. Пусть тогда Варианты ответа: . Известно, что , , –4 равно … Решение: Используя равенство , комплексное число можно возвести в n- ую степень по формуле Муавра Имеем . . 4 21.1 На рисунке приведено геометрическое изображение комплексного числа. Его тригонометрическая форма записи имеет вид … Решение: Воспользуемся равенством . В нашем случае , а аргумент будет равен комплексного числа . Имеем. 21.2 Комплексное число в тригонометрической форме имеет вид … Решение: Воспользуемся равенством , аргумент . В нашем случае определим из системы равенств: .Аргумент комплексного числа будет равен , так как вектор, изображающий данное комплексное число находится в четвертой координатной четверти. Имеем . Комплексный анализ / Операции над комплексными числами Задание N 22. Варианты ответа: Результатом деления комплексного числа комплексное число является … на Решение: Найдем значение выражения , умножив и числитель и знаменатель дроби на . Имеем . Найти значение выражения . Решение: Умножим и числитель и знаменатель данного дробного выражения на сопряженное знаменателю. Имеем 22.1 Найти значение выражения . Решение: Имеем Комплексный анализ / Определение функции комплексного переменного . Задание N 23. Варианты ответа: Действительная часть функции , где , имеет вид … Решение: Имеем Тогда действительная часть функции имеет вид . 23.1 Мнимая часть функции , где , имеет вид … Решение: Полагая , имеем . Тогда мнимая часть функции будет иметь вид Комплексный анализ / Дифференцирование функции комплексного переменного Задание N 24. Если Варианты ответа: и , то имеет вид … Решение: Найдем производную функции . Имеем . 24.1 Дана функция . Тогда равно Решение: Найдем значение функции при . Имеем . 24.2 Значение производной функции в точке равно … Решение: Подставим в производную значение . Имеем . 24.3 Если и , то имеет вид … Решение: Найдем производную функции . Имеем . Дифференциальные уравнения / Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Задание N 25. Варианты ответа: Функция является решением дифференциального уравнения . Тогда значение равно … Решение: Вычислим производную первого порядка и подставим и в данное дифференциальное уравнение . Тогда: , то есть . 2 25.1 Общее решение дифференциального уравнения Решение:Для решения линейного дифференциального уравнения можно ввести замену . Следовательно, . Тогда , . Положим имеет вид… , то есть , или и , , где . Тогда общее решение уравнения примет вид: . 25.2 Общее решение дифференциального уравнения Решение:Для решения линейного дифференциального уравнения можно ввести замену Положим имеет вид… , , то есть . Тогда , или . . Следовательно, и , , где уравнения примет вид: . Тогда общее решение . Дифференциальные уравнения / Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Задание N 26. Варианты ответа: Решение задачи Коши имеет вид… , Решение: Для решения дифференциального уравнения разделим переменные: и проинтегрируем обе части этого равенства , или , где . Тогда общее решение данного уравнения примет вид: . Для вычисления значения произвольной постоянной воспользуемся начальным условием , а именно, , то есть . Следовательно, частное решение уравнения будет равно . 26.1 Решение задачи Коши имеет вид… , Решение: Для решения линейного дифференциального уравнения ввести замену , то есть , где . Тогда , , или . Следовательно, можно . Положим , и . Тогда общее решение уравнения примет вид: . Для определения частного решения воспользуемся условием , то есть и . Следовательно, частное решение уравнения будет равно . 26.2 Функция будет частным решением задачи Коши: , при… Решение:Из равенства Подставим функцию следует, что , то есть . в дифференциальное уравнение: Тогда , то есть . Дифференциальные уравнения / Линейные дифференциальные уравнения второго порядка Задание N 27. Варианты ответа: Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид … Решение: Составим характеристическое уравнение и решим его: . Тогда общее решение примет вид: , где . 27.1 Корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения равны: имеет вид… Решение: . Тогда это уравнение . Характеристическое уравнение имеет вид , , где . Следовательно, соответствующее дифференциальное уравнение можно записать как . 27.2 Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид … Решение: Частное решение данного уравнения со специальной правой частью ищется как , где − это количество нулевых корней характеристического уравнения. Составим характеристическое уравнение и решим его: . Так как среди корней характеристического уравнения нет нулевых корней, то частное решение имеет вид: .