Электростатическое поле в вакууме

ЧАСТЬ 3. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
ТЕМА 1. Электростатическое поле в вакууме
Третья часть курса начинается с электродинамики – раздела физики, в
котором рассматриваются явления, связанные с электрически заряженными
телами и их взаимодействиями. Основным понятием электродинамики
является электрический заряд.
1.1.
Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда.
Что же такое электрический заряд? Можно было бы сказать так:
электрический заряд - это алгебраическая физическая величина,
определяющая взаимодействие заряженных тел. Однако сразу же возникает
следующий вопрос: что такое заряженные тела? Ответ может быть только
таким: это тела, обладающие электрическим зарядом.
Итак, мы вернулись к тому же вопросу, с которого начинали: что такое
электрический заряд? Сложившаяся ситуация аналогична положению с
определением точки, прямой и плоскости в геометрии: это неопределяемые,
т.е. основные понятия, на которых строится вся геометрия Евклида. Поэтому
будем считать так: электрический заряд представляет собой основное
понятие, на котором строится электромагнетизм. Заряды появляются на телах
в результате их электризации. Опытным путем установлено, что в природе
существуют электрические заряды двух видов; их условились называть
положительными и отрицательными. Положительные заряды образуются,
например, при натирании стекла кожей, отрицательные – при натирании
эбонита шерстью. Различие между положительными и отрицательными
зарядами проявляется хотя бы в том, что заряды одного знака отталкиваются,
заряды противоположных знаков – притягиваются. Единицей измерения
электрического заряда в системе СИ является 1 Кулон (Кл) – заряд, который
протекает по проводнику за 1 секунду при силе тока в 1 Ампер. Согласно
определению, 1 Кл  1 А∙с. Установлено также, что в природе существуют
наименьший положительный и наименьший отрицательный заряды; их
носителями являются, соответственно, элементарные частицы протон и
электрон. Заряд протона равен 1,6  10 19 Кл, его масса – 1,66  1027 кг. Заряд
электрона составляет  1,6  1019 Кл, его масса равна 9,1  10 31 кг.
Положительный электрический заряд величиной 1,6  10 19 Кл принято называть
элементарным и обозначать так: e  1,6  10 19 Кл. В соответствии с этим заряд
электрона qe  e , заряд протона q p  e . Слово «элементарный» означает, что
на нынешний день нет достоверных данных о существовании в природе
электрического заряда меньшей величины. Следовательно, заряд любого тела
является целым кратным наименьшего положительного или отрицательного
заряда; он может принимать не любые, но строго определенные (дискретные)
значения, отличающиеся на величину элементарного заряда. Численное
1
значение заряда не зависит от скорости его движения, т.е. электрический
заряд является релятивистски инвариантной величиной.
Опыт показывает, что электрический заряд тела может изменяться в
различных процессах. Однако суммарный заряд выбранной системы тел
остается неизменным при условии, что эта система электрически
изолирована, т.е. через ограничивающую ее поверхность не проникают
электрические заряды. В этом состоит сущность одного из фундаментальных
законов природы – закона сохранения электрического заряда. В соответствии
с этим законом невозможно создать только положительный либо только
отрицательный заряд; аналогично этому не может исчезнуть заряд только
одного знака.
1.2. Закон Кулона
Этот закон определяет силу взаимодействия точечных электрических
зарядов (заряженное тело представляет собой точечный заряд, если размеры
тела пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других тел, с
которыми оно взаимодействует):
F k
q1q2
.
r2
Здесь F - модуль силы взаимодействия, q1 и q2 - модули зарядов, r расстояние между ними, k - коэффициент пропорциональности, зависящий
от выбора системы единиц измерения. В системе СИ, используемой в
настоящее время,
k
1
40
.
Здесь  0  8,85  10 12 Ф/м – т.н. электрическая постоянная. Векторы сил
расположены на прямой, проходящей через заряды.
Опыт показывает, что сила взаимодействия двух точечных зарядов не
зависит от наличия других заряженных тел. Исходя из этого для вычисления
взаимодействия протяженных зарядов их нужно разбить на части, настолько
малые, чтобы каждую из частей можно было считать точечным зарядом.
Далее нужно вычислить силу взаимодействия всех возможных пар таких
частей, и затем найти векторную сумму этих сил. Вместе с тем расчеты
показывают, что электростатическое взаимодействие протяженных тел
сферической формы, заряженных равномерно, можно рассчитывать по
закону Кулона, даже если радиусы сфер сравнимы с расстоянием между
ними. При этом заряды на телах следует считать точечными,
сосредоточенными в центрах сфер.
1.3.
Напряженность электростатического поля
Электростатическое поле – это материальная среда, посредством которой
взаимодействуют покоящиеся электрические заряды. В рамках полевой
интерпретации взаимодействие происходит следующим образом. Один из
зарядов создает в окружающем пространстве электростатическое поле,
2
которое действует на другой заряд. Этот заряд также создает поле,
действующее на первый заряд. Если же заряды движутся, то наряду с
электростатическими (кулоновскими) существуют и магнитные силы. В этом
случае взаимодействие зарядов осуществляется уже посредством
электромагнитного поля.
В качестве силовой характеристики электростатического поля
используется вектор напряженности:
E
F
.
q
(1.1)
Здесь E - вектор напряженности в определенной точке поля, F - вектор силы,
действующей на точечный положительный заряд q в этой точке. Из
определения (1.1) следует единица измерения напряженности 1 Н/Кл и ее
физический смысл: вектор напряженности в данной точке поля равен силе,
действующей на единичный положительный точечный заряд, помещенный в
эту точку.
Для графического изображения электростатических полей
используются линии напряженности (силовые линии). Они проводятся так,
что касательная в каждой точке силовой линии указывает направление
вектора напряженности в этой точке поля. При этом густота силовых линий
пропорциональная модулю напряженности (под густотой понимается
количество силовых линий, пересекающих плоскую поверхность единичной
площади, перпендикулярную линиям напряженности). Из определения
вектора напряженности следует, что силовые линии электростатического
поля начинаются на положительных и оканчиваются на отрицательных
зарядах. Модуль напряженности поля точечного заряда q на удалении r от
него определяется известной формулой:
E
q
40 r 2
.
Если в каждой точке поля напряженность одинакова по модулю и
направлению, такое поле называется однородным. Понятно, что силовые
линии однородного поля представляют собой параллельные равноотстоящие
прямые.
Электрические поля подчиняются принципу суперпозиции. Это
означает, что напряженность поля, создаваемого системой N зарядов, может
быть найдена как векторная сумма напряженности полей, создаваемых
каждым зарядом в отдельности независимо от остальных:
N
E   Ei .
i 1
Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряженность поля,
создаваемого протяженными заряженными телами любой формы. Для этого
тело мысленно разбивается на части, достаточно малые для того, чтобы
считать их точечными зарядами. Далее вычисляется напряженность поля,
создаваемого каждой такой частью, и затем производится суммирование.
3
1.4.
Теорема Гаусса в интегральной форме
Потоком вектора напряженности электрического поля сквозь
элементарную поверхность называется физическая величина
(1.2)
d  EdS cos  .
Здесь E - модуль вектора напряженности, dS - площадь поверхности,  - угол
между вектором напряженности и единичным вектором нормали (рис. 1.3).
n
E

dS
Рис. 1.3
Из этого равенства следует, что поток вектора – величина алгебраическая; ее
знак определяется углом  . Поверхность считается элементарной, если она
мала настолько, что ее можно приближенно рассматривать как часть
плоскости, а вектор напряженности в каждой ее точке одинаков. Если
рассматривать площадь элементарной поверхности как вектор dS  n  dS , то
правую часть равенства (1.2) можно представить как скалярное
произведение: d  (E, dS )  E  dS. Приближенное значение потока вектора
напряженности сквозь протяженную (не элементарную) поверхность S
получается в результате суммирования потоков через элементарные
поверхности площадью S i :
N
   Ei S i cos  i .
(1.3)
i 1
Здесь Ei - модуль вектора напряженности на i -ой поверхности,  i - угол
между единичным вектором нормали и вектором Ei , N - количество
элементарных поверхностей, на которые разбита рассматриваемая
протяженная поверхность. Точное значение потока получается в результате
перехода к пределу суммы (1.3) при стягивании всех элементарных
поверхностей в точку:
  lim
Si 0
N
 E S
i
i 1
i
cos  i .
Предел в правой части последнего равенства называется в математике
поверхностным интегралом второго рода, или интегралом второго рода по
поверхности S :
N
lim
Si 0
 E S
i 1
i
i
cos  i   E dS .
S
Следует иметь в виду, что единичные векторы нормали к поверхности S в
любой ее точке должны иметь направление либо внутрь поверхности, либо
извне ее.
4
Найдем поток вектора напряженности поля, создаваемого точечным
положительным зарядом q , помещенным в центр сферы радиуса R , через ее
поверхность. Поскольку заряд точечный, вектор напряженности в каждой
точке сферы перпендикулярен ей и одинаков по модулю:
q
E
40 R 2
.
Поток вектора E при этом равен произведению модуля напряженности на
площадь поверхности сферы:

q
40 R
2
 4R 2   
q
0
.
Легко видеть, что поток равен заряду внутри сферы, деленному на
электрическую постоянную. Можно строго доказать, что если внутри любой
замкнутой поверхности находятся заряды разных знаков, то поток вектора
напряженности сквозь эту поверхность равен алгебраической сумме зарядов,
деленной на  0 , независимо от их расположения внутри поверхности. Это
утверждение и составляет сущность теоремы Гаусса для электростатического
поля в интегральной форме:
 E dS 
S
q
0
(здесь кружок на символе интеграла означает интегрирование по замкнутой
поверхности).
Теорема Гаусса позволяет значительно упростить процедуру расчета
электростатических полей, создаваемых протяженными телами, если эти тела
обладают определенной симметрией. Ниже приводится ряд примеров.
1. Поле равномерно заряженной плоскости. Распределение
электрического заряда по плоскости характеризуется физической величиной,
которая называется поверхностной плотностью заряда. Разделив заряд q на
площадь S участка плоскости, получим среднюю поверхностную плотность
заряда на этом участке:
 
q
.
S
Перейдя к пределу отношения q / S при стягивании участка плоскости в
точку, найдем поверхностную плотность заряда в этой точке:
q dq

.
S 0 S
dS
  lim
Из определения следует, что величина  имеет размерность 1 Кл/м2.
Будем полагать, что положительный электрический заряд распределен
по плоскости равномерно, т.е. поверхностная плотность заряда в каждой
точке плоскости одинакова. Нетрудно показать, что электростатическое поле
плоскости однородно. Для этого рассмотрим напряженность поля в точке A ,
находящейся на некотором удалении от плоскости (рис. 1.4). Систему
координат выберем так, что оси OX и OY расположены в плоскости
5
Y
q1
E 2Y

A
q 2
E1Y
E2
E1 X
X
E1
Рис. 1.4
рисунка, ось OZ перпендикулярна ей (на рисунке ось OZ не показана).
Выделим на линии пересечения заряженной плоскости с координатной
плоскостью XOY участок, малый настолько, что сосредоточенный на нем
заряд q1 можно считать точечным. Напряженность поля, создаваемого в
точке A зарядом q1 , изобразится вектором E1 . Если выбранная нами точка
A также находится на координатной плоскости, то проекция этого вектора
на ось OZ будет равна нулю. Поэтому вектор E1 можно представить как
сумму двух компонентов: E1  E1X  E1Y . Понятно, что на линии пересечения
заряженной и координатной плоскостей всегда найдется часть плоскости,
симметричная относительно начала координат, на которой сосредоточен
такой же точечный заряд q2 . Этот заряд создает в точке A поле, вектор
напряженности которого E2 также состоит из двух компонентов:
E2  E2 X  E2Y .
Поскольку компоненты E1Y и E2Y по модулю одинаковы, вектор суммарной
напряженности поля зарядов q1 и q2 направлен вдоль оси OX , т.е.
перпендикулярно заряженной плоскости, и равен сумме E1X  E2 X .
Аналогичными рассуждениями можно показать, что при любом положении
точечного заряда q1 на заряженной плоскости (а не только на линии
пересечения с координатной плоскостью) всегда найдется симметричный
ему заряд q2 , в результате чего вектор суммарной напряженности поля
будет всегда направлен вдоль оси OX .
Итак, векторы напряженности поля, создаваемого равномерно
заряженной плоскостью, и соответствующие силовые линии
перпендикулярны этой плоскости. Предположим теперь, что по мере
удаления от нее напряженность поля уменьшается. Так как густота силовых
линий пропорциональна модулю вектора напряженности, силовые линии при
этом должны расходиться. В свою очередь это означает, что по мере
удаления от заряженной плоскости должна возникать составляющая вектора
E , направленная параллельно плоскости. Поскольку такая составляющая в
любой точке поля равна нулю, предположение об уменьшении
напряженности оказывается несостоятельным, т.е. электростатическое поле
6
равномерно заряженной плоскости однородно. Для расчета его
напряженности с помощью теоремы Гаусса необходимо выбрать
вспомогательную поверхность, которая называется гауссовой поверхностью.
Учитывая характер поля, в качестве таковой целесообразно взять прямой
круговой цилиндр с образующими, параллельными линиям напряженности
(рис. 1.5). Понятно, что поток вектора E через боковую поверхность
цилиндра равен нулю, а через его основания – 2S осн E . Заряд внутри
гауссовой поверхности сосредоточен на той части плоскости, которая
вырезается цилиндром, и равен S осн . По теореме Гаусса имеем:
2S осн E 
S осн

.
E
0
2 0
 0
E
E
S осн
q
S осн
Рис. 1.5
Теперь рассмотрим поле, создаваемое двумя параллельными
плоскостями, заряженными разноименно с одинаковой по модулю
поверхностной плотностью. На рис. 1.6 видно, что вне плоскостей
напряженность поля равна нулю, а между ними –  /  0 . Две
близкорасположенные металлические пластины образуют плоский
конденсатор.

E

E
E
E
E0
E
E
E  2E  2E
E0
Рис. 1.6
2. Поле равномерно заряженной цилиндрической поверхности.
Распределение заряда по боковой поверхности цилиндра радиуса R
можно охарактеризовать линейной плотностью. Отношение заряда q ,
7
сосредоточенного на участке боковой поверхности протяженностью l , к
l дает среднюю линейную плотность заряда на этом участке:
q
  .
l
Перейдя к пределу этого отношения при l  0 , получим линейную
плотность заряда на участке боковой поверхности, стягивающемся в
окружность:
q dq

.
l 0 l
dl
lim
Очевидно, размерность линейной плотности заряда 1 Кл/м.
Из соображений симметрии ясно, что линии напряженности поля
равномерно заряженной бесконечно протяженной цилиндрической
поверхности представляют собой радиально расходящиеся полупрямые. Если
заряд положительный, линии напряженности перпендикулярны поверхности
и выходят из нее; если же заряд отрицательный, линии напряженности
сходятся на ней. Исходя из симметрии поля ясно, что в качестве гауссовой
поверхности целесообразно использовать поверхность коаксиального
цилиндра с основанием радиуса r и образующей длиной l . Поток вектора
напряженности через его основания равен нулю, поток через боковую
поверхность   2rl  E , где E – модуль вектора напряженности поля на
поверхности гауссова цилиндра. Заряд внутри него сосредоточен на
заряженной поверхности и равен l . По теореме Гаусса имеем:
2rl  E 
l

E
, r  R.
0
20 r
Пусть имеются две коаксиальные цилиндрические поверхности,
заряженные разноименно с одинаковой по модулю линейной плотностью
(рис. 1.7). Напряженность поля внутри цилиндра меньшего радиуса R1 и вне
цилиндра большего радиуса R2 равна нулю, поскольку в обоих случаях равен
нулю суммарный заряд. Напряженность отлична от нуля лишь в промежутке
между заряженными цилиндрами. Выбрав в качестве гауссовой поверхности
коаксиальный цилиндр радиуса r с образующей длиной l , по теореме Гаусса
имеем:
R1
r
R2
Рис. 1.7
8
2rl  E 
l

E
, R1  r  R2 ,
0
20 r
т.е. напряженность поля зависит только от заряда на внутреннем цилиндре.
Система двух коаксиальных цилиндрических поверхностей образует
цилиндрический конденсатор.
3. Поле равномерно заряженной сферы. Пусть заряд q распределен
равномерно по поверхности сферы радиуса R . Из соображений симметрии
следует, что линии напряженности представляют собой радиально
расходящиеся полупрямые, выходящие или сходящиеся на поверхности
сферы в зависимости от знака ее заряда. Исходя из этого, в качестве
гауссовой поверхности в данном случае целесообразно взять
концентрическую сферу радиуса r . Поток вектора напряженности через нее
  4r 2 E , заряд внутри нее равен q . По теореме Гаусса имеем:
4r 2 E 
q
q
.
E
0
40 r 2
Поскольку заряд внутри заряженной сферы равен нулю, напряженность поля
там тоже имеет нулевое значение. Поэтому
E
q
, r  R.
40 r 2
4. Поле равномерно заряженного шара. Пусть заряд q равномерно
распределен по объему шара радиуса R . Из соображений симметрии
следует, что линии напряженности электрического поля представляют собой
радиальные полупрямые, выходящие или сходящиеся в центре шара. Для
вычисления напряженности поля выберем гауссову поверхность в виде
сферы радиуса r с центром в той же точке, что и центр шара. По теореме
Гаусса имеем:
q
4
1
4r 2 E  q0  r 3 , q0 
.
4 3
3
0
R
3
С учетом этого имеем:
E
q
r
 3 , r  R.
40 R
Напряженность поля вне шара найдем также по теореме Гаусса:
4r 2 E 
q
q
E
, r  R.
0
40 r 2
Таким образом, внутри шара напряженность поля возрастает по мере
удаления от центра по линейному закону, вне шара – уменьшается обратно
пропорционально квадрату расстояния, как и в случае поля точечного заряда.
1.5.
Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Выделим в объеме V , охватываемом поверхностью S , малый объем
V , который охватывается поверхностью S ' , и применим к нему теорему
9
Гаусса:  En dS 
S'
q'
, где q ' – заряд внутри поверхности S ' . Разделим это
0
равенство на V :
1
V
 En dS 
S'
q'
. Теперь в левой части имеем поток вектора
 0 V
напряженности из единицы объема, в правой части – среднюю плотность
заряда в объеме V , деленную на электрическую постоянную. Далее
перейдем к пределу при V  0 :
 1
lim 
V 0 V


 1 q' 

E
dS

lim
 n  V 0  0 V  .
S'

(1.4)
Предел в левой части дает поток вектора E из объема V , стягивающегося в
точку, деленный на этот объем, предел в правой части – плотность заряда в
этой же точке, деленную на  0 . Предел в левой части называется
дивергенцией вектора E :
 1
lim 
V 0 V


  div E .
E
dS
n
'

S

(1.5)
В декартовых координатах
div E 
Ex E y Ez
,


x
y
z
где Ex , E y , E z - проекции вектора напряженности на координатные оси.
Используя оператор набла, дивергенцию вектора E можно представить в
виде скалярного произведения: div E  (, E) . Из определения (1.5) следует,
что численное значение дивергенции напряженности в определенной точке
поля равно потоку вектора E из единицы объема в этой точке. Переписав
равенство (1.3) в виде
div E 

,
0
приходим к теореме Гаусса в дифференциальной форме. Проинтегрировав
последнее равенство по объему V , в левой части получим поток вектора
напряженности через поверхность S , охватывающую этот объем, в правой –
электрический заряд внутри этой поверхности, деленный на электрическую
постоянную:
1
q
 div Edv    dv   E dS  
n
V
0 V
S
.
0
Легко видеть, что мы пришли к теореме Гаусса в интегральной форме.
1.6.
Потенциал электростатического поля
Пусть точечный положительный заряд q ' , находящийся в поле другого
точечного положительного заряда q , перемещается из точки 1 в точку 2.
Если заряд q находится в начале системы координат, положение точек 1 и 2
относительно него определяется радиус-векторами r1 и r2 (рис. 1.8).
10
F

er
q' 
dl

r2
r
r1
O
q
Рис. 1.8
При этом на заряд q ' действует сила F 
1 qq '

 er , где er – единичный
40 r 2
вектор вдоль направления прямой, проходящей через заряды q и q ' . Работа,
совершаемая силой F при малом перемещении dl :
dA  ( F , dl ) 
1
40

qq '
1 qq '
(
e
,
dl
)


 dr .
r
40 r 2
r2
Работа при перемещении заряда q ' из точки 1 в точку 2 получается в
результате интегрирования:
r2
qq ' dr
qq '
 2 
40 r
40
r1
A12  
1 1
   .
 r1 r2 
(1.6)
Таким образом, работа сил электростатического поля, совершаемая при
перемещении заряда, определяется лишь начальным и конечным положением
заряда и не зависит от формы траектории. Этот результат вполне
соответствует тому, что кулоновская сила, действующая на заряд, является
центральной, т.е. консервативной. Следовательно, работа кулоновских сил
при перемещении заряда вдоль замкнутой траектории L равна нулю:
q  E dl  0   E dl  0 .
L
L
Последнее равенство обычно рассматривается как условие консервативности
(потенциальности) электростатического поля. В теории векторных полей
криволинейный интеграл от векторной функции вдоль замкнутой линии
называется циркуляцией вектора. В соответствии с этим условие
потенциальности электростатического поля заключается в равенстве нулю
циркуляции вектора напряженности.
Ранее было показано, что работа консервативных сил может быть
представлена как разность потенциальной энергии тела в начальной и
конечной точках траектории:
(1.7)
A12  W1  W2 .
11
Из сопоставления равенств (1.6) и (1.7) следует, что потенциальная энергия
заряда q ' в поле заряда q может быть найдена по формуле:
W
1 qq '
 const .
40 r
Численное значение произвольной постоянной выбирается так, что при
r   потенциальная энергия равна нулю. В таком случае const  0 ,
1 qq '
.
W
40 r
(1.8)
Поскольку отношение
W
q

'
q
40 r
не зависит от заряда q ' , эта величина используется в качестве энергетической
характеристики поля точечного заряда q и называется его потенциалом:

q
.
40 r
(1.9)
Так как электрический заряд – величина алгебраическая, потенциал поля –
также алгебраическая величина. Используя выражение для потенциала,
перепишем равенства (1.8) и (1.7): W  q ' , A12  q ' (1  2 ) . Разность 1  2
называется электрическим напряжением между точками поля: (1  2 )  U .
Если заряд q ' удаляется на бесконечность, где 2  0 ,
A1  q '1  1 
A1
.
q'
Таким образом, потенциал поля в определенной точке можно
представить как работу, совершаемую силами поля при перемещении
единичного точечного заряда из этой точки на бесконечность. Если
электростатическое поле создается совокупностью зарядов, то согласно
принципу суперпозиции    i (здесь  i – потенциал поля i -ого заряда ).
i
1.7.
Соотношение между потенциалом и напряженностью
электростатического поля
Пусть в пространстве существует электростатическое поле. Работа,
совершаемая силами поля при элементарном перемещении заряда q вдоль
направления l : dA  (q E, dl )  qEdl cos  , где  – угол между направлением
перемещения и вектором напряженности. Поскольку E cos   El (проекция
вектора E на направление l ), имеем: dA  qEl dl  qd , где d – изменение
потенциала на перемещении dl . Из последнего равенства следует, что
El  
d
,
dl
т.е. производная потенциала по направлению l с противоположным знаком
равна проекции вектора напряженности на это направление. Понятно, что
если в качестве направлений взять оси декартовой системы координат, то
12
EX  



, EY   , EZ   .
x
z
y
В соответствии с этим
 

 
E   i 
j
k  , E   , E   grad .
y
z 
 x
Таким образом, вектор напряженности направлен в сторону быстрейшего
убывания потенциала.
Как уже отмечалось, для графического изображения
электростатических полей используются линии напряженности (силовые
линии). Они проводятся так, что касательная в каждой точке силовой линии
совпадает с направлением вектора E , а густота линий пропорциональна его
модулю. Существует еще один способ графического изображения
электростатического поля, использующий т.н. эквипотенциальные линии
(поверхности) – геометрическое место точек с одинаковым потенциалом.
Уравнение эквипотенциальной поверхности в декартовой системе координат
имеет вид: F ( x, y, z)  0 (здесь 0 – определенное значение потенциала). В
качестве примера найдем уравнение эквипотенциальных поверхностей
электростатического поля точечного заряда q . Если заряд находится в начале
системы координат, то в соответствии с равенством (1.9)
0 
q
40 x  y 2  z 2
2
,
где x, y, z – координаты точки наблюдения. Отсюда следует, что
эквипотенциальные поверхности представляют собой концентрические
сферы с центром в месте расположения заряда и радиусом q / 40 0 :
2
 q 
 .
x  y  z  
4


0 0 

2
2
2
Поскольку при перемещении пробного заряда вдоль эквипотенциальной
поверхности потенциал не изменяется, работа сил поля равна нулю. Из этого
следует, что вектор силы, действующей на заряд со стороны поля, в любой
точке эквипотенциальной поверхности направлен по нормали к ней.
При графическом изображении электростатических полей
эквипотенциальные поверхности располагаются так, что разность
потенциалов между соседними поверхностями одинакова. При этом их
«густота» получается больше там, где потенциал изменяется быстрее, а
напряженность поля – больше. Например, для однородного поля, силовые
линии которого направлены вдоль оси OX , имеем:
E
d
 d   Edx ,
dx
2
x2
1
x1
 d    Edx  1  2  E ( x2  x1 ) .
Из последнего равенства следует, что разность потенциалов между любыми
двумя точками, находящимися на одинаковом удалении на оси OX , имеет
одно и то же значение. Поскольку эквипотенциальные поверхности
перпендикулярны линиям напряженности, в случае однородного поля они
13
представляют собой параллельные равноотстоящие плоскости,
перпендикулярные оси OX .
1.8. Электрический диполь
В электростатике и электродинамике большое значение имеет
модельный объект, который называется электрическим диполем.
Электрическим диполем называется система двух точечных зарядов,
одинаковых по модулю и противоположных по знаку, находящихся на
определенном расстоянии друг от друга. Прямая, проходящая через заряды,
называется осью диполя. Вектор l , начинающийся на отрицательном и
оканчивающийся на положительном заряде, называется плечом диполя.
Результаты экспериментальных и теоретических исследований показывают,
что электростатическое и электромагнитное поле любой электронейтральной
системы зарядов на расстояниях, значительно превышающих расстояния
между зарядами, можно представить как поле эквивалентного диполя.
Из соображений симметрии следует, что поле диполя симметрично
относительно его оси. Найдем потенциал поля в точке M , удаленной от
центра диполя на расстояние r  l (рис. 1.9). Согласно принципу
суперпозиции      , где
 
q
40 r
,   
q
40 r
, q  0.
Поскольку r  l ,
M

r
r
r

 q
q
l
Рис. 1.9



1 
q
q
l
l

.
r  r  cos  , r  r  cos  ,  

2
2
40  r  l cos  r  l cos  


2
2


Проделав ряд тождественных преобразований, можно получить следующее:

1 ql cos 
.
40
r2
(1.9А)
Отсюда следует, что потенциал поля в точке M определяется произведением
ql . Вектор p  ql называется электрическим моментом диполя, или
14
дипольным моментом. Поскольку  – угол между векторами r и p ,
последнее равенство можно переписать так:

1 ( p, r )
.
40 r 3
Для вычисления напряженности поля электрического диполя
используем соотношение
El  
d
,
dl
согласно которому производная потенциала поля по направлению l есть
проекция вектора напряженности на это направление с противоположным
знаком. Поскольку поле диполя симметрично относительно его оси, вектор
напряженности можно представить как сумму двух взаимно
перпендикулярных компонент (рис. 1.10): E  El1  El 2 . Поскольку
направление l1 совпадает с r , El1 совпадает с Er :
El 1  
 2 p cos 

.
r
40 r 3
dl2
 d  dl2  rd . Поэтому имеем:
r
d
1 
1 p sin 
p
, E  El 1 2  El 2 2 
El 2  


1  3 cos 2  .
3
3
rd
r  40 r
40 r
На рис. 1.10 видно, что
(1.9Б)
l2
dl 2

M
d
r


q
l1
q
Рис. 1.10
Далее рассмотрим электронейтральную систему, состоящую из N 
положительных и N  отрицательных точечных зарядов:
N
N
i 1
j 1
 qi  q ,  q j  q ,
q  q  0 . По аналогии с определением центра масс тела, центрами
положительных и отрицательных зарядов в выбранной системе координат
называются точки с радиус-векторами
N
N
r 
 qi ri
i 1
q
, r 
q
j 1
j
q
rj
.
(1.10)
Выше уже отмечалось, что поле любой электронейтральной системы зарядов
на расстояниях, значительно превосходящих расстояние между ними,
эквивалентно полю соответствующего диполя. Положительным зарядом
15
этого диполя является суммарный положительный заряд, отрицательным
зарядом диполя – суммарный отрицательный заряд, причем заряды диполя
находятся в точках с радиус-векторами r и r . На рис. 1.11 видно, что
электрический момент такого диполя p  q l , l  r  r . С учетом равенств
q

O
q

l
r
r

Рис. 1.11
q  q  q , (1.10) и (1.11) имеем:
 q r  q j rj 
N  N
 i i

j
   qi ri  q j r j   qk rk .
p  q  i

q  i
 q
j
k 1



Сумма
N  N

k 1
(1.12)
qk rk называется дипольным моментом системы зарядов;
несложно показать, что его численное значение не зависит от выбора
системы координат. Потенциал и напряженность поля, создаваемого
зарядами системы, можно вычислять по формулам (1.9А) и (1.9Б), используя
в качестве p модуль дипольного момента (1.12).
1.8.
Диполь в электростатическом поле
Если диполь находится в однородном электрическом поле, на его
заряды действует пара сил с плечом l sin  (рис. 1.12). Модуль момента пары
сил M  qEl sin   pE sin  . Поскольку направление вектора M связано с
l
M
F

q


F
E
l sin 
Рис. 1.12
 
направлением действия пары сил правилом правого винта, M  p, E .
Если   0 , т.е. вектор p расположен вдоль линий напряженности поля,
M  0.
Таким образом, однородное электростатическое поле оказывает на
диполь ориентирующее действие, заставляя диполь повернуться так, чтобы
вектор дипольного момента был сонаправлен с линиями напряженности.
Диполь, находящийся в электростатическом поле, обладает
потенциальной энергией W  q   q  q(   ) , где  и  – потенциал
16
поля в месте расположения положительного и отрицательного зарядов. Если
линии напряженности направлены вдоль оси OX (рис. 1.13) , то
EX  
d
 d   E X dx ,
dx

x

x
 d   E X  dx       E X ( x  x ).
На рис. 1.13 видно, что x  x  l cos  ; поэтому
W  qEl cos    pE cos   ( p, E) .

q

x
OX
x
l
q 
Рис. 1.13
В неоднородном электростатическом поле на диполь действует сила,
стремящаяся сообщить ему поступательное движение. Покажем это на
примере диполя, находящегося в поле положительного точечного заряда q '
(рис. 1.14,а). Поскольку сила притяжения, действующая на отрицательный
заряд диполя, в первом случае больше силы отталкивания, приложенной к
положительному заряду, диполь будет втягиваться в область более сильного
поля. Понятно, что во втором случае диполь будет выталкиваться в область с
меньшей напряженностью.
Теперь рассмотрим более общий случай, когда диполь расположен под
углом  к линии напряженности (рис. 1.14,б). С целью упрощения будем
считать, что x  l . Сумма проекций сил F и F на ось OX :
a)

p

q
1
q' 
21

q
p
б)
E
q

q

O

q'
E

F
q


r
x
F
X
E

q
Рис. 1.14
FX  ( F  F ) cos  . Для вычисления напряженности поля заряда q ' в месте
расположения зарядов диполя нам понадобятся квадраты соответствующих
расстояний:
2
2
l
l
2
2
r  x 2  xl cos     cos 2  , r  x 2  xl cos     cos 2  .
2
2
Учитывая, что x  l , эти равенства можно упростить:
2
2
r  x 2  xl cos  , r  x 2  xl cos  .
Тогда
17
FX 
1
40
 qq ' qq ' 
 2  2  cos  .
r
r 
 
Поскольку cos   1 ,
FX 
qq ' 
1
1
qq ' 2 xl cos 
q ' 2 p cos 

.







40  x 2  xl cos  x 2  xl cos  
40
x4
40
x3
Можно показать, что
d  1 q' 
.
FX  p cos  
dx  40 x 2 
Так как
1 q'
E,
40 x 2
dE
.
dx
Понятно, что напряженность поля заряда q ' с увеличением расстояния до
FX  p cos 
него убывает, т.е. dE / dx  0 . Поэтому если угол  острый, то FX  0 (диполь
втягивается в область более сильного поля). В противном случае (угол 
тупой) FX  0 , т.е. диполь выталкивается в область с меньшей
напряженностью.
18