Кинематика вращательного движения 1. Поступательное и вращательное движение

Кинематика вращательного движения
1. Поступательное и вращательное движение
В данном примере траектория центра масс
- окружность, остальные точки тела также
движутся по окружностям , но центры
этих окружностей не лежат на одной
прямой.
а) поступательное движение. Любая линия, проведенная в твердом теле, при движении
остается параллельной самой себе.
Здесь, как и в предыдущем примере, центр
масс тела движется по той же окружности.
б) вращательное движение, центр масс движется по окружности того же радиуса. Каждая
точка твердого тела движется по своей окружности; центры всех окружностей лежат на прямой,
называемой осью вращения.
2. Псевдовектор бесконечно малого поворота
При повороте тела на угол dφ, вводят псевдовектор
бесконечно малого поворота
. В правой системе
координат направление
определяют правилом
правого винта: винт, расположенный вдоль
оси, вращается вместе с телом,
направление его поступательного
движения определяет направление
псевдовектора.
В левой системе координат направление
псевдовектора изменится на обратное, истинный
вектор при этом не меняет направления.
3. Угловая скорость и угловое ускорение
Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки
этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси
вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 6). Ее положение
через промежуток времени t зададим углом   . Элементарные (бесконечно малые)
повороты можно рассматривать как векторы (они обозначаются  или d ). Модуль
вектора d равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением
поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении
движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта (рис.6). Векторы,
направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами
или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они
могут откладываться из любой точки оси вращения.
Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной
угла поворота тела по времени:

Вектор  направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор
d (рис.7). Размерность угловой скорости dim =T–1, а ее единица — радиан в секунду
(рад/с).
Линейная скорость точки (см. рис. 6)
т. е.
В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное
произведение:
При этом модуль векторного произведения, по определению, равен
, а направление

совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от 
к R.
Если (  = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения
T — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол
2. Так как промежутку времени t = T соответствует  = 2, то  = 2/T, откуда
Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в
единицу времени называется частотой вращения:
откуда
Угловая скорость
, или
Псевдовектор
псевдовектор
.
направлен так же, как и
, (6.2).
6.4. Угловое ускорение (сравните с 3.10) .
Связь линейной скорости материальной точки твердого тела и угловой скорости
откуда
Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой
скорости по времени:
При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси
вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном


движении вектор  сонаправлен вектору  (рис.8), при замедленном — противонаправлен
ему (рис.9).
Тангенциальная составляющая ускорения
Нормальная составляющая ускорения
Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге
окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение a , нормальное
ускорение a n ) и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость , угловое
ускорение ) выражается следующими формулами:
В случае равнопеременного движения точки по окружности (=const)
где 0 — начальная угловая скорость.
Задача:
Колесо радиусом R=0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается
уравнением  = 4t + 5t4. Определить полное ускорение точек обода колеса через t=1 с после
начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время. [а=8,5 м/с2; N=0,48]
6.6. Связь линейного ускорения материальной точки твердого тела с угловой скоростью и
угловым ускорением
Продифференцируем (6.5) по времени:
,
,
из (3.10.1)
, используя (6.4)
.
Из (3.10.1)
, заменяя
, (6.5), получим
.