Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образо- Дальневосточный государственный университет путей сообщения

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный университет путей сообщения»
Естественнонаучный институт
полное наименование института/факультета
«_25_» ___04_______ 2010_г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
дисциплины
Методы оптимизации
полное наименование дисциплины
для направления подготовки
010500 «Прикладная математика и информатика»
специальности 01050065 «Прикладная математика и информатика»
Квалификации математик, системный программист
01050062- бакалавр прикладной математики и информатики
Составитель
канд. физ.-матем. наук, доцент В.Я.Прудников
Обсуждена на заседании кафедры
«Прикладная математика»
«28» _______04_____ 2010 г., протокол № 4
Одобрена на заседании методической комиссии Естественнонаучного института
«28» 04 2010 г., протокол № 4
Л.И. Никитина
.
2010 г.
ОПДФ.08 Методы оптимизации: элементы выпуклого анализа; численные методы математического программирования; оптимальное
управление; вариационное исчисление.
102
Введение
Рабочая программа составлена в соответствии с содержанием и требованиями
Государственного образовательного стандарта для направления подготовки 010500
«Прикладная математика и информатика».
В процессе преподавания дисциплины рассматриваются элементы математического программирования, выпуклого анализа, вариационного исчисления и теории
оптимального управления.
1. Цель дисциплины
- теоретическая подготовка по методам оптимизации;
- практическая подготовка по моделированию прикладных задач, решаемых оптимизационными методами;
- обучение умению выбора тех методов оптимизации, которые приводят к наиболее
эффективному решению поставленных практических и теоретических задач.
2. Задачи дисциплины:
- показать важность оптимизационных методов для решения прикладных задач;
- научить выбору наиболее эффективного метода оптимизации при различных вариациях исходных данных;
- освоение методов математического программирования, вариационного исчисления, теории оптимального управления;
- выработка умения построения оптимизационных моделей;
- повышение общего уровня профессиональной подготовки.
В ходе изучения дисциплины формируются знания:
основных методов математического программирования, теории вариационного исчисления, теории оптимального управления;
умения:
- ориентироваться в выборе наиболее эффективных методов оптимизации;
- ставить и решать оптимизационные задачи;
- грамотно пользоваться программным обеспечением для численной реализации оптимизационных моделей.
3. Связь с другими дисциплинами
Дисциплина «Методы оптимизации» рассчитана на предварительное освоение
курсов
- математического анализа, включающего в себя дифференциальное и интегральное исчисления, интеграл Лебега;
- линейной алгебры;
- основ функционального анализа.
в профессиональной подготовке выпускника, наряду с теорией построения
оптимизационных моделей, осваиваются вопросы их практического использования.
Основные разделы курса закрепляются в процессе выполнения практических заданий.
5. Техническое оснащение дисциплины
Выполнение практических заданий требует использования компьютера и применения современных математических программ.
Объём дисциплины и его распределение по видам работ
Семестр
6
Лекции
36
Практические (семинарские) занятия
18
Самостоятельная работа
54
Всего часов
108
Форма отчётности
Экзамен
Неделя
6. Тематический развернутый план лекционного курса (36 час.)
1.
2.
3.
4.
5.
Содержание лекции
Классификация задач оптимизации: задачи численных методов математического программирования, вариационного исчисления и оптимального
управления. Вариационный метод решения уравнений.
Примеры минимаксных задач. Понятие о многокритериальной оптимизации. Теоретические основы математического программирования (МП).
Постановка задачи МП. Классификация задач МП: линейное, нелинейное,
квадратичное, геометрическое программирование. Функция Лагранжа задачи МП. Достаточные условия оптимальности в терминах седловой точки
функции Лагранжа.
Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества, выпуклые функции,
проекции точки на выпуклые множества. Критерий выпуклости функции.
Строгая выпуклость, сильная выпуклость.
Задача выпуклого программирования, её основные свойства. Глобальность
локального минимума в задачах выпуклого программирования.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Необходимые условия оптимальности в задаче МП. Необходимое условие
минимума в задаче без ограничений, неприменимость его в задаче с ограничениями. Необходимое условие минимума в задаче с ограничениями.
Допустимые направления. Активные и пассивные ограничения. Конус. Сопряженный конус. Лемма Форкаша – Минковского ( без доказательства).
Линеаризация ограничений. Условия регулярности. Практические критерии
выполнения условия регулярности ( линейная независимость градиентов
активных ограничений, условие Слейтера).
Необходимые условия минимума в задаче с ограничениями – неравенствами. Теорема Куна – Таккера. Условия дополнительной жесткости. Интерпретация множителей Лагранжа в условиях Куна – Таккера.
Формулировка необходимого условия минимума в общей задаче МП. Выражение его в форме условия стационарности функции Лагранжа. Максимин, минимакс, седловая точка. Понятие о двойственности в МП.
Методы безусловной минимизации. Общая схема итерационных методов.
Метод градиентного спуска. Теорема о сходимости. Классификация методов безусловной минимизации: скорость сходимости, вычислительная
устойчивость, характер используемой информации о минимизируемой
функци.
Сопряжение направления, их свойства. Общие принципы построения методов безусловной минимизации на основе сопряженных направлений.
Метод сопряженных градиентов. Обоснование сходимости за конечное
число шагов для квадратичной функции. Обзор других методов безусловной минимизации.
Понятие о методах условной минимизации: метод штрафных функций, метод проекции градиента, метод условного градиента, двойственный метод,
метод случайного поиска.
Простейшие задачи вариационного исчисления. Необходимое условие экстремума. Уравнение Эйлера – Лагранжа. Условия Лешандра и Якоби.
Постановка задачи оптимального управления. Программное управление,
обратная связь. Формулировка необходимого условия оптимальности
управления в форме принципа максимума Л. С. Понтрягина.
Линейная задача быстродействия. Понятие управляемости и наблюдаемости для линейных систем. Критерии управляемости и наблюдаемости.
Задача линейно – квадратичного регулятора, решение с помощью принципа
максимума, прямое обоснование оптимальности решения.
Уравнение Беллмана для простейшей задачи оптимального управления:
x=f(x,u,t), 0≤t≤T, u(t)€U, τ(u)=φ[x(t)]→min. Достаточные условия оптимальности.
Решение задачи о линейно – квадратичном регуляторе. Связь динамического программирования в дискретных системах.
Неделя
7. Тематический развернутый план практических занятий(18 часов)
1,2
3,4
5,6
7,8
9,10
11,12
13,14
15,16
17,18
Содержание практического занятия
Минимизация функций одной и многих переменных (по курсу математического анализа), метод наименьших квадратов.
Выпуклые множества, выпуклые функции, Критерий выпуклости функции.
Множества уравнений выпуклых функций.
Необходимые условия минимума для задачи безусловной минимизации. Достаточные условия. Необходимые условия минимума в задаче МП с ограничениями-неравенствами. Допустимые направления, конус направлений.
Условие регулярности, критерии регулярности. Лемма ФаркашаМинковского. Теорема Куна-Таккера, ее геометрический смысл. Выпуклое
программирование. Лемма Гиббса: решение задачи о нахождении проекции
данной точки на симплекс, сведение задачи к нахождению корня скалярного
уравнения, составление алгоритма решения.
Метод градиентного спуска в непрерывном и дискретном вариантах. Метод
наискорейшего спуска, исследование скорости на модельном примере.
Сопряженные направления. Геометрический смысл сопряженных направлений при n=2. Метод сопряженных градиентов, исследование его сходимости
на модельном примере.
Двойственный метод решения задачи нелинейного программирования, основанный на отыскании седловой точки функции Лагранжа.
Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера-Лагранжа.
Условия Лагранжа и Якоби.
Принцип максимума. Решение линейных задач быстродействия.
Динамическое программирование. Примеры аналитического решения уравнения Беллмана в непрерывном случае. Алгоритм решения задачи управления
дискретным процессом.
8. Самостоятельная работа студентов
Самостоятельная работа студентов направлена на развитие практических навыков,
навыков правильного оформления результатов анализа математических исследований, закрепление теоретических основ дисциплины, работу с учебно-методической
литературой, углубленное изучение дисциплины «Методы оптимизации» и реализуется в формах:
1.
Проработка лекционного материала
2.
Реферативная работа
3.
Выполнение индивидуальных расчетных заданий
4.
Подготовка к экзамену
9. Основные формы промежуточного контроля
Основной задачей контроля качества усвоения материала дисциплины является
обеспечение постоянной, систематической работы студентов в течение семестра и
выявление уровня усвоения
Систематическая работа над изучением теоретического материала, выполнение
практических и индивидуальных заданий в соответствии с планом - графиком занятий, способствуют качественному усвоению материала. Промежуточный контроль
осуществляется в виде
- cсобеседование по индивидуальным практическим заданиям;
- рубежного контроля (тестирование) по разделам дисциплины;
- контрольных работ.
10. Форма итогового контроля
По курсу «Методы оптимизации» учебным планом предусмотрен экзамен.
Экзамен в традиционной форме позволяет выяснить степень усвоения теоретических и практических вопросов программы, умение применить полученные знания к
решению практических (типовых) задач.
11. Темы расчётно-графических работ.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Симплекс-метод;
Транспортная задача;
Квадратичное программирование;
Геометрическое программирование;
Выпуклые функции и их свойства;
Градиентный метод поиска наименьшего значения выпуклой функции;
Условный экстремум;
Минимакс и его приложения;
Двойственность в математическом программировании;
Метод сопряженных градиентов;
Метод штрафных функций;
Метод условного градиента;
Метод случайного поиска;
Уравнение Эйлера-Лагранжа;
Принцип максимума Понтрягина;
Уравнение Беллмана;
Динамическое программирование;
12. Вопросы к экзамену
1.
2.
3.
4.
Классификация задач оптимизации.
Минимаксные задачи. Примеры.
Выпуклые функции: определение, непрерывность.
Критерии выпуклости функций.
Строго выпуклые и сильно выпуклые функции.
Классификация задач математического программирования.
Функция Лагранжа задачи математического программирования.
Достаточные условия оптимальности в терминах седловой точки функции
Лагранжа.
9. Задача выпуклого программирования, ее основные свойства.
10.Глобальность локального минимума в задачах выпуклого программирования.
11.Необходимые условия относительности в задаче математического программирования.
12.Необходимые условия минимума в задаче без ограничений, непременность
его в задаче с ограничениями.
13.Необходимое условие минимума в задаче с ограничениями.
14.Лемма Фаркаша-Минковского. Линеаризация ограничений.
15.Практические критерии выполнения условия регулярности.
16.Необходимые условия минимализма в задаче с ограниченияминеравенствами. Теорема Куна-Таккера.
17.Формировка необходимого условия минимума в общей задаче МП, выражение его в форме условия стационарности функции Лагранжа.
18.Максимум, минимальная седловая точка. Понятие о двойственности в МП.
19.Общая схема итерационных методов.
20.Метод градиентного спуска.
21.Классификация методов безусловной минимизации.
22.Общие принципы построения методов безусловной минимизации на основе
сопряженных направлений.
23.Метод сопряженных градиентов.
24.Метод штрафных функций.
25.Метод проекции градиента.
26.Метод условного градиента.
27.Двойственный метод.
28.Метод случайного спуска.
29.Необходимые условия в задачах вариационного исчисления. Уравнение
Эйлера-Лагранжа.
30.Постановка задачи относительно уравнения.
31.Формулировка необходимого условия оптимальности уравнения в форме
принципа максимума Л.С. Понтрягина.
32.Управляемость и наблюдаемость для линейных систем, их критерии;
33.Задачи линейно-квадратичного регулятора и её решение;
34.Уравнение Беллмана.
35.Динамическое программирование: связь с принципом максимус.
5.
6.
7.
8.
13. Учебно-методическое обеспечение
Обязательная литература
1. Демьянов В.Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. М.: Высш. шк.,
2005
2. Благодетских В.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высш. шк., 2001
3. Кузнецов А.В., Холод Н. И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач по математическому программированию. Мн.: Высш. шк., 2001
4. Пантелеев А.В., Бортаговский А.С. Теория управления в примерах и задачах.
М.: Высш. шк., 2003
Дополнительная литература
5. Зуховицкий С.И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование, изд.
2-е., М.: Наука, 1967
6. Келли Генри Дж. Метод градиентов. В сб. «Методы оптимизации» под ред. Дж.
Лейтмана, М.: Наука, 1965, стр. 244-306.
7. Уайлд Дж. Методы поиска экстремума. М.: Наука,1967
8. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир.,1973
9. Ногин В.Д., Протодьяконов И.О., Евламишев И.И. Основы теории оптимизации.
М.: Высш. шк., 1986
10. Алексеев В.М., Тихонов В.М., Фомин С.В. Сборник задач по оптимизации. М.:
Наука,1984
11. Ашмаков С.А., Тихонов А. В. Теория оптимизации в задачах и уравнениях. М.:
Наука, 1991
12. Гроссман К., Каилан А.А. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. Новосибирск: Наука, 1981
13. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975
14. Петров Ю.П. Вариационные методы оптимального управления. М.: Энергия,
1977
15. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука,
1961