СД.ДС.Ф.3 ТеорОптУупр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ДС.3 - ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности
010501 – Прикладная математика и информатика
Утверждено на заседании кафедры
математики и математических методов
в экономике факультета
физико-математического образования,
информатики и программирования
(протокол № 6 от 27 февраля 2013 г.)
Зав. кафедрой _______________О.М. Мартынов
1.1. Автор программы: кандидат физ.-мат. наук, доцент Мартынов О.М.,
1.2. Рецензенты: Локоть Вадим Владимирович, кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры
математики и МОМ, Зубова Юлия Владимировна, кандидат физ.-мат. наук, научный сотрудник
кафедры физики МГТУ.
1.3. Пояснительная записка:
Цели и задачи: Заложить фундаментальные знания, необходимые для применения
математических методов в основных сферах деятельности человека. Все эти методы должны
базироваться на прочной основе математических дисциплин. Развивать профессиональную
компетентность, определяемую как совокупность теоретических и практических навыков,
способность осуществлять профессиональные функции в рамках одного и более видов деятельности.
В профессиональной подготовке математика-программмиста курс занимает особое
положение, так как имеет прикладную направленность и является естественным продолжением курса
математического анализа, изучаемого в предыдущих семестрах.
Главная цель курса – научить студента основам теории оптимального управления,
сформировать практические навыки решения задач, включая решения задач повышенной сложности.
Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами математического анализа,
числовых систем, математической логики, геометрии, алгебры, информатики.
В результате изучения курса студенты
должны знать: основные понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины,
доказательства теорем.
должны уметь: решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал, творчески
подходить к решению профессиональных задач, строить математические модели
в различных областях естествознания , приводить их к нужному виду, выбирать и
реализовывать наиболее рациональный метод решения поставленной задачи.
1.4. Извлечение из ГОС ВПО.
Нет.
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы
№
п/п
Шифр и
наименование
специальности
010501
«Прикладная
математика и
информатика»
Курс
Семестр
4
8
Виды учебной работы в часах
Трудоем Всего
ЛК ПР/ ЛБ
Сам.
кость
аудит.
СМ
Работа
100
50
26
24
–
Вид
итогового
контроля
(форма
отчетности)
Экзамен
50
1.6. Содержание дисциплины.
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
№
п/п
1
Наименование раздела, темы
Оптимальное программное управление
детерминированными системами.
Количество часов
Всего
ауд.
ЛК
ПР
ЛБ
Сам.раб.
20
12
12
–
20
2
3
Оптимальное управление детерминироваными
системами с полной обратной связью
Оптимальное управление детерминироваными
системами с неполной обратной связью.
20
8
18
–
20
10
6
4
-
10
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
Оптимальное программное управление детерминированными системами. Основные
понятия. Постановка задачи. Необходимое условие оптимальности. Алгоритм применения принципа
максимума. Достаточные условия оптимальности. Соотношения для нахождения оптимального
управления. Оптимальное управление линейными системами.
Оптимальное управление детерминироваными системами с полной обратной связью.
Нахождение оптимального управления с полной обратной связью. Постановка задачи. Достаточные
условия оптимальности. Алгоритм нахождения оптимального управления с полной обратной связью.
Синтез оптимальных линейных регуляторов.
Оптимальное управление детерминироваными системами с неполной обратной связью.
Нахождение оптимального управления с неполной обратной связью. Постановка задачи.
Достаточные условия оптимальности. Соотношения для нахождения оптимального управления.
Методика применения синтезирующих функций.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
1
2
3
Наименование раздела
Дисциплины.
Тема.
Оптимальное программмное управление детерминированными системами.
Оптимальное управление
линейными системами.
Оптимальное управление детерминироваными системами с полной
обратной связью.
Синтез
оптимальных
линейных регуляторов.
Оптимальное управление детерминироваными системами с неполной обратной связью.
Методика
применения
синтезирующих функций.
Форма
самостоятельной
работы
Форма контроля
выполнения
самостоятельной
работы
Коллоквиум
Количество
Часов
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Коллоквиум
20
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Коллоквиум
10
Вопросы для
самостоятельного
изучения
20
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы практических занятий по изученному материалу
Практические занятия по теме «Оптимальное программное управление детерминированными
системами»
Необходимое условие оптимальности. Алгоритм применения принципа максимума.
Достаточные условия оптимальности. Соотношения для нахождения оптимального управления.
Практические занятия по теме «Оптимальное управление детерминироваными системами с
полной обратной связью»
Нахождение оптимального управления с полной обратной связью. Постановка задачи.
Достаточные условия оптимальности. Алгоритм нахождения оптимального управления с полной
обратной связью.
Практические занятия по теме «Оптимальное управление детерминироваными системами с
неполной обратной связью»
Нахождение оптимального управления с неполной обратной связью. Постановка задачи.
Достаточные условия оптимальности. Соотношения для нахождения оптимального управления.
Литература:
1. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2006.
2. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. М., Высшая школа,
2003.
3. Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М., Физматлит,
2007.
4. Вуколов Э.А. , Ефимов А.В., Земсков В.Н., Золотарев Ю.Г., Каракулин А.Ф., Поспелов А.С.,
Терещенко А.М. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. – М., Наука,
1984.
1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
Основная литература.
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Физматлит, 2005.
2. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория
оптимальных процессов. М., Наука, 1969.
4. Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М., Физматлит,
2007.
5. Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. Изд-во МГУ, 1989.
6. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974.
7. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2006.
8. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. М., Высшая школа,
2003.
9. Вуколов Э.А. , Ефимов А.В., Земсков В.Н., Золотарев Ю.Г., Каракулин А.Ф., Поспелов А.С.,
Терещенко А.М. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. – М., Наука,
1984.
Дополнительная литература
1. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М., 2001.
2. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. СПб, ЛГУ, 1980.
3. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. М., 1950.
4. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965.
5. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М., Наука, 1978.
6. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М., Наука, 1966.
7. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М., Мир, 1974.
8. Овчинников П.Ф., Лисицын Б.М., Михайленко В.М. Высшая математика. Киев, Выща школа, 1989.
1.9. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Не предусмотрено учебным планом.
1.10. Примерные зачетные тестовые задания.
ВАРИАНТ № 1
1
1
2 2


t

u
t
,0
x

x
,
I

u
t

x
t
d
t

m
i
n









1. Для задачи x
найти оптимальное
0



2
0
программное управление u *  t  и оптимальную траекторию x *  t  .
2. Для задачи
1
1
1
2 2
2


x
t

3
x
t

u
t
,
x
0

x
,
Iu

t

7
x
t
d
t

x
1

m
i
n













найти оптимальное
0



2
2
0
управление u*t, x с полной обратной связью.
ВАРИАНТ № 2
t

x
t

u
t
,0
x

0
,
x
t

u
t
,0
x

0














1. Для задачи x
,
1
211
2
22
1
2
2

I

u
t
u
td
tx

1m

i
n
найти
1
2
1


0
 




оптимальное программное управление u *  t  и
оптимальную траекторию x *  t  .
1
1
2 2


t

u
t
,0
x

x
,
I

u
t

x
t
d
t

m
i
n









2. Для задачи x
найти оптимальное
0



2
0
управление u*t, x с полной обратной связью.
ВАРИАНТ № 3
1. Для задачи
x
t

x
t
,
xx
0

0
,
1

1
,
x
t

u
t
,
xx
0

0
,
1

0














,
1
2
1
1
2
2
2
1
2
I
td
t
m
in найти оптимальное программное управление u *  t  и оптимальную
u
0
траекторию x *  t  .
1
1
2
2


t


3
x
tu

2
t
,
x
0

x
,
I

u
t

1
0
x
t
d
t












2. Для задачи x
0



2
0
12
x
1
m
inнайти оптимальное управление u*t, x с полной обратной связью.

2
1.11. Примерный перечень вопросов к экзамену.
1. Основные понятия. Постановка задачи.
2. Необходимое условие оптимальности.
3. Алгоритм применения принципа максимума.
4. Достаточные условия оптимальности.
5. Соотношения для нахождения оптимального управления.
6. Оптимальное управление линейными системами.
7. Нахождение оптимального управления с полной обратной связью. Постановка задачи.
8. Нахождение оптимального управления с полной обратной связью. Достаточные условия
оптимальности.
9. Нахождение оптимального управления с полной обратной связью. Алгоритм нахождения
оптимального управления с полной обратной связью.
10. Нахождение оптимального управления с полной обратной связью. Синтез оптимальных
линейных регуляторов.
11. Нахождение оптимального управления с неполной обратной связью. Постановка задачи.
12. Нахождение оптимального управления с неполной обратной связью. Достаточные условия
оптимальности.
13. Нахождение оптимального управления с неполной обратной связью. Соотношения для
нахождения оптимального управления.
14. Нахождение оптимального управления с неполной обратной связью. Методика применения
синтезирующих функций.
1.12. Комплект экзаменационных билетов.
Билет № 1
1. Оптимальное управление детерминированными системами (введение). Нахождение оптимального
программного управления (постановка задачи).

,u

,t
,1
0
, и функционал
2. Даны модель объекта управления xt ut, где x
1
12
1
2
I
d

u
t
d
t

x
1m

i
n






. Требуется найти оптимальное управление u *t, x .

2
2
0
Билет № 2
1. Необходимое условие оптимальности (принцип максимума, формулировка и доказательство
теоремы до получения выражения для I с 1 и  2 ).
1
1
2 2


t

u
t
,0
xx

,
I

u
t

x
t
d
t

m
i
n









2. Для задачи x
найти оптимальное управление
0



2
0
u *t, x с полной обратной связью.
Билет № 3
1. Необходимое условие оптимальности (принцип максимума, формулировка и доказательство
оставшейся части теоремы).
1
2.
Для
задачи
1
1
2 2
2


x
t

3
x
t

u
t
,
x
0

x
,
I

u
t
7
x
t
d
t
x
1

m
i
n













найти
0



2
2
0
оптимальное управление u *t, x с полной обратной связью.
Билет № 4
1. Принцип максимума (формулировка), замечания 1-5. Алгоритм применения принципа максимума.
Достаточные условия оптимальности (теорема 2). Замечание о трех возможностях применения
принципа расширения.
t

x
t
,
x
t


x
tu

t
,u

1









1
2
2
1
2. Даны модель объекта управления x
, с начальными
0
0
,x
0
0и функционал Ix
2

m
in


1
2
2
условиями x
. Найти оптимальное программное
управление u *  t  и соответствующую ему траекторию x *  t  .
Билет № 5
1. Применение принципа расширения с заданием множества V и поиском удачного доопределения
функционала I на этом множестве. Теорема 3. Замечание.
t
u
t, x
0
1

,u

,t
,t



0
, и функционал
1
2. Даны модель объекта управления x
, где x
t
1
1
2
I

u
td
4
x
t
m
i
n

t

. Задано конечное условие: xt1t11. Требуется найти оптимальную
1
2
0


*
*
t,u
*
t , на которой достигается минимум функционала.


тройку t1, x
Билет № 6
1. Соотношения для нахождения оптимального управления.
t
u
t
,x
0
32



2. Даны модель объекта управления x
, где
x

,u

,t
,t
0
, и
1
t
функционал
1
1
1 21
2
2
I

u
t
d
t

t

1

x
t

m
i
n






. Требуется найти оптимальную тройку
1
1

2
2
2
0
t,u
*
t , на которой достигается минимум функционала.

t, x*
*
1
Билет № 7
1. Нахождение оптимального управления с полной обратной связью (Постановка задачи).
t

x
t
,x
t

x
t

u
t










1
2
2
1
2. Даны модель объекта управления x
, с краевыми условиями
1
3
e
2

1
u
td
t
m
in
x
0

2
,
x
0


,
x
1

,
x
1


e









и функционал I
. Найти оптимальное
1
2
1
2

2 2
0
программное управление u *  t  и соответствующую траекторию x *  t  .
Билет № 8
1. Достаточные условия оптимальности (теорема 4). Алгоритм нахождения оптимального управления
с полной обратной связью. Замечания.
t
x
t

u
t
,x
00


,u

,t
,1







0
, и
2. Даны модель объекта управления x
, где x
1
2
utd
x
1
m
i
n
t


функционал I
. Найти оптимальную пару

t , u*
t ,
x*
на которой
0
достигается минимум функционала.
Билет № 9
1. Оптимальное управление детерминированными системами (введение). Нахождение оптимального
программного управления (постановка задачи).

,u

,t
,1
0
, и функционал
2. Даны модель объекта управления xt ut, где x
1
12
1
2
I
d

u
t
d
t

x
1m

i
n






. Требуется найти оптимальное управление u *t, x .

2
2
0
Билет № 10
1. Необходимое условие оптимальности (принцип максимума, формулировка и доказательство
теоремы до получения выражения для I с 1 и  2 ).
1
1
2 2


t

u
t
,0
xx

,
I

u
t

x
t
d
t

m
i
n









2. Для задачи x
найти оптимальное управление
0



2
0
u *t, x с полной обратной связью.
Билет № 11
1. Необходимое условие оптимальности (принцип максимума, формулировка и доказательство
оставшейся части теоремы).
1
2.
Для
задачи
1
1
2 2
2


x
t

3
x
t

u
t
,
x
0

x
,
I

u
t
7
x
t
d
tx
1

m
i
n













найти
0



2
2
0
оптимальное управление u *t, x с полной обратной связью.
Билет № 12
1. Принцип максимума (формулировка), замечания 1-5. Алгоритм применения принципа максимума.
Достаточные условия оптимальности (теорема 2). Замечание о трех возможностях применения
принципа расширения.
t

x
t
,
x
t


x
tu

t
,u

1









1
2
2
1
2. Даны модель объекта управления x
, с начальными
0
0
,x
0
0и функционал Ix
2

m
in


1
2
2
условиями x
. Найти оптимальное программное
управление u *  t  и соответствующую ему траекторию x *  t  .
Билет № 13
1. Применение принципа расширения с заданием множества V и поиском удачного доопределения
функционала I на этом множестве. Теорема 3. Замечание.
t
u
t, x
0
1

,u

,t
,t



0
, и функционал
1
2. Даны модель объекта управления x
, где x
t
1
1
2
I

u
td
4
x
t
m
i
n

t

. Задано конечное условие: xt1t11. Требуется найти оптимальную
1
2
0


*
*
t,u
*
t , на которой достигается минимум функционала.


тройку t1, x
Билет № 14
1. Соотношения для нахождения оптимального управления.
t
u
t
,x
0
32



2. Даны модель объекта управления x
, где
x

,u

,t
,t
0
, и
1
t
функционал
1
1
1 21
2
2
I

u
t
d
t

t

1

x
t

m
i
n






. Требуется найти оптимальную тройку
1
1

2
2
2
0
t,u
*
t , на которой достигается минимум функционала.

t, x*
*
1
Билет № 15
1. Нахождение оптимального управления с полной обратной связью (Постановка задачи).
t

x
t
,x
t

x
t

u
t










2. Даны модель объекта управления x
, с краевыми условиями
1
2
2
1
1
3
e
2

1
u
td
t
m
in
x
0

2
,
x
0


,
x
1

,
x
1


e









и функционал I
. Найти оптимальное
1
2
1
2

2 2
0
программное управление u *  t  и соответствующую траекторию x *  t  .
Билет № 16
1. Достаточные условия оптимальности (теорема 4). Алгоритм нахождения оптимального управления
с полной обратной связью. Замечания.
t
x
t

u
t
,x
00


,u

,t
,1







0
, и
2. Даны модель объекта управления x
, где x
1
2
utd
x
1
m
i
n
t


функционал I
. Найти оптимальную пару

t , u*
t ,
x*
на которой
0
достигается минимум функционала.
Билет № 17
1. Оптимальное управление детерминированными системами (введение). Нахождение оптимального
программного управления (постановка задачи).

,u

,t
,1
0
, и функционал
2. Даны модель объекта управления xt ut, где x
1
12
1
2
I
d

u
t
d
t

x
1m

i
n






. Требуется найти оптимальное управление u *t, x .

2
2
0
Билет № 18
1. Необходимое условие оптимальности (принцип максимума, формулировка и доказательство
теоремы до получения выражения для I с 1 и  2 ).
1
1
2 2


t

u
t
,0
xx

,
I

u
t

x
t
d
t

m
i
n









2. Для задачи x
найти оптимальное управление
0



2
0
u *t, x с полной обратной связью.
Билет № 19
1. Необходимое условие оптимальности (принцип максимума, формулировка и доказательство
оставшейся части теоремы).
1
2.
Для
задачи
1
1
2 2
2


x
t

3
x
t

u
t
,
x
0

x
,
I

u
t
7
x
t
d
t
x
1

m
i
n













найти
0



2
2
0
оптимальное управление u *t, x с полной обратной связью.
Билет № 20
1. Принцип максимума (формулировка), замечания 1-5. Алгоритм применения принципа максимума.
Достаточные условия оптимальности (теорема 2). Замечание о трех возможностях применения
принципа расширения.
t

x
t
,
x
t


x
tu

t
,u

1









1
2
2
1
2. Даны модель объекта управления x
, с начальными
0
0
,x
0
0и функционал Ix
2

m
in


1
2
2
условиями x
. Найти оптимальное программное
управление u *  t  и соответствующую ему траекторию x *  t  .
1.13. Примерная тематика рефератов.
Не предусмотрено учебным планом.
3. Содержательный компонент теоретического материала.
Лекция № 1. Введение. Постановка задачи об оптимальном программном
управлении.
Лекция № 2. Принцип максимума.
Алгоритм применения принципа максимума. Пример.
Лекция № 3. Доказательство принципа максимума
Лекция № 4. Продолжение доказательства принципа максимума
Лекция № 5. Окончание доказательства принципа максимума.
Лекция № 6. Достаточные условия оптимальности.
Лекция № 7. Соотношения для нахождения оптимального управления
Лекция № 8. Постановка задачи нахождения оптимального программного
управления с полной обратной связью.
Лекция № 9. Достаточные условия оптимальности.
Лекция № 10. Алгоритм нахождения оптимального управления с полной
обратной связью. Пример.
Лекция № 11. Постановка задачи нахождения оптимального управления с
неполной обратной связью.
Лекция № 12. Достаточные условия оптимальности.
Лекция № 13. Соотношения для нахождения оптимального управления.
Примечание. При составлении лекционного курса использовалась следующая
литература:
1. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа,
2006.
6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения программы.
Характер
изменений в
программе
Номер и дата
протокола заседания
кафедры, на котором
было принято
данное решение
Подпись заведующего
кафедрой,
утверждающего
внесенное изменение
Подпись декана
факультета (проректора
по учебной работе),
утверждающего данное
изменение
7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое
звание и степень
преподавателя
кандидат физ.-мат.
наук, доцент
Мартынов О.М.
Учебный
год
Факультет
2010-2011
ФМОИП
Специальность
010501 – Прикладная математика и
информатика