Задачный конкурс

Непрерывный задачный конкурс
Задача К1. Пусть h, b, m — высота, биссектриса и медиана, проведённые из одной вершины треугольника, а R
— радиус его описанной окружности. Существует ли такой треугольник, что
а) b > 1000h и m > 1000b? б) b > 1000h, m > 1000b и R/m > 1000?
Задача К2. Числитель каждой из 48 дробей равен одному из чисел 2, 3, …, 49, знаменатель — тоже, причём каждое из этих 48 чисел встречается как среди числителей, так и среди знаменателей. Докажите, что
либо одна из этих дробей равна целому числу, либо из них можно выбрать не более
а) 25 дробей; б) 24 дробей,
произведение которых — целое число.
Задача К3. Рейтинг каждого из 20 шахматистов выражается натуральным числом от 1 до 20, у любых
двух рейтинги различны. Шахматисты поделены на две команды по 10 человек так, что суммы рейтингов
в командах равны. Команды играют матч-турнир из 100 партий, в котором каждый шахматист играет по
одной партии с каждым из 10 шахматистов противоположной команды. В любой партии побеждает шахматист с большим рейтингом. Каков может быть результат матч-турнира?
Задача К4. Боря и Вася договорились показать Ане фокус, состоящий в следующем. Аня выкладывает в
ряд карточки с числами от 1 до 100 в произвольном порядке числом вверх. Боря, посмотрев на них, либо
меняет две карточки местами, либо не делает ничего. Затем карточки (с сохранением порядка) переворачиваются числом вниз, и в комнату входит Вася. Аня называет ему число от 1 до 100, и он по одной
переворачивает карточки с целью перевернуть карточку со сказанным числом. Как Боре и Васе договориться так, чтобы он гарантированно нашёл карточку не более, чем за 50 переворачиваний?
Задача К5. Докажите, что при простом p>3 число pn не является суммой двух кубов.
Задача К6. На прямой дано n точек. Каждое расстояние между ними встречается не более, чем 2 раза.
Докажите, что хотя бы [n/2] расстояний встречается 1 раз.
Задача К7. Две окружности пересекаются в точках M и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая
окружности в точках A и C, отличных от B. Докажите, что все срединные перпендикуляры к отрезкам AC
проходят через одну точку.
Задача К8. а) В коллекции барона Мюнхгаузена есть 11 гирек, весящих от 1 до 11 граммов. На каждой
гире есть наклейка, сообщающая ее вес, но управляющий барона считает, что наклейки перепутаны. Барон же знает, что все наклейки правильны. Как-то раз управляющему потребовались гирька в 8 граммов,
и он попросил барона доказать правильность наклейки на ней. Хватит ли барону для этого двух взвешиваний на двухчашечных (рычажных) весах?
б) Решите аналогичную задачу для гирь от 1 до 15 грамм и гирьки в 11 грамм.
Задача К9. Назовем натуральное число равномерным, если оно записывается при помощи только одной
ненулевой цифры. Сколько существует n-значных чисел, которые нельзя представить в виде суммы n
равномерных чисел с попарно разным количеством цифр?
Задача К10. На доске 100×100 n клеток покрашено в черный цвет. Каждую секунду один из квадратиков
2×2, в котором ровно 3 белых клетки, становится полностью белым. При каком наименьшем n можно
утверждать, что все клетки точно не станут белыми?
Задача К11. Можно ли выписать числа от 1 до 2015 в ряд так, чтобы для каждой пары различных чисел
между ними не было бы написано их среднее арифметическое?
Задача К12. Правильный треугольник разделен правильным образом на n2 правильных треугольников.
Сколько есть параллелограммов, составленных из этих треугольничков?
Задача К13.Конечное множество натуральных чисел Х таково, что в нем не менее двух элементов и для
𝑏2
любых элементов a>b из Х число 𝑎−𝑏 также принадлежит этому множеству. Какое наибольшее число элементов может содержать X?
Задача К14.Две окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Прямая, проходящая через B, пересекает
вновь окружности S1 и S2 в точках C и D соответственно. Другая прямая, проходящая через B, пересекает
вновь окружности S1 и S2 в точках E и F соответственно. Прямая CF пересекает вновь окружности S1 и S2
в точках P и Q соответственно. M и N – середины дуг PB и QB соответственно. Докажите, что если
CD= EF, то точки C, F, M и N лежат на одной окружности.
Задача К15. В таблице 6060 на диагонали, ведущей из правого верхнего угла в левый нижний, отмечены
несколько клеток, не являющихся угловыми. Далее в таблицу вписали числа по следующему правилу. В
каждую клетку верхней строчки и левого столбца вписали 1. В отмеченные клетки вписали 0. Во всех
остальных клетках число равно сумме чисел, стоящих в соседних с ней сверху и слева клетках. Докажите,
что число в правой нижней клетке не делится на 59.
Задача К16.50 рыцарей короля Артура сидели за круглым столом. Перед каждым из них стоял бокал
красного или белого вина. Известно, что на столе стоял хотя бы один бокал красного вина и хотя бы один
бокал белого вина. Король два раза хлопнул в ладоши. После первого хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал красного вина, взял у своего левого соседа его бокал, а после второго хлопка каждый
рыцарь, перед которым стоял бокал белого вина (и, возможно, что-нибудь еще), передал этот бокал левому соседу своего левого соседа. Докажите, что кто-то из рыцарей остался без вина.