Вариационное исчисление и оптимальное управление

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра математического моделирования
БУТАКОВА Н.Н.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010800.62 «Механика и математическое моделирование»,
профиль подготовки «Механика жидкости, газа и плазмы»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Бутакова Н.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010800.62
«Механика и математическое моделирование», профиль подготовки «Механика жидкости,
газа и плазмы», очная форма обучения. Тюмень, 2011 г., 12 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Вариационное исчисление и
оптимальное
управление
[электронный
ресурс]
/
Режим
доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и.о. зав. кафедрой математического моделирования,
д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Н.Н. Бутакова, 2011.
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Целью курса является получение и последующее применение студентами
ключевых представлений и методологических подходов, направленных на построение и
анализ систем управления механическими системами.
Задачи учебного курса: приобретение навыков в построении математических
моделей различных практических задач, в выборе математических методов для их
решения с использованием вычислительных машин; ознакомление с основными
понятиями вариационного исчисления, теории устойчивости и управления, с
постановками задач и методами их решения, а также с основными алгоритмами, которые
отвечают этим решениям и могут быть эффективно реализованы в теоретических
исследованиях и технических приложениях.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Вариационное исчисление и оптимальное управление» – это
дисциплина по выбору, которая входит в вариативную часть профессионального цикла.
Для ее успешного изучения необходимы знания, приобретенные в результате
освоения предшествующих дисциплин: «Математический анализ», «Дифференциальные
уравнения»,
«Комплексный
анализ»,
«Уравнения
математической
физики»,
«Динамические системы», «Системы компьютерной математики», «Инструментальные
средства компьютерного моделирования».
Освоение дисциплины «Вариационное исчисление и оптимальное управление»
необходимо при последующем изучении дисциплин «Устойчивость и управление
движением», «Нелинейные уравнения с обратной связью» и для написания выпускной
квалификационной работы.
1.3.
Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в
результате освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими
профессиональными компетенциями:
умением понять поставленную задачу (ПК-2);
умением формулировать результат (ПК-3);
умением на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат (ПК-5);
умением самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата
(ПК-6);
умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7);
владением методом алгоритмического моделирования при анализе постановок
прикладных задач (ПК-19);
владением методами математического и алгоритмического моделирования при
решении прикладных и инженерно-технических задач (ПК-20);
владением методами математического и алгоритмического моделирования при
решении задач механики (ПК-23).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
●
Знать:
– типичные постановки задач вариационного исчисления;
3
– типичные постановки задач управления и оценивания;
– основные результаты в области вариационного исчисления, оптимального
оценивания траекторий динамических систем и оптимального управления.
●
Уметь:
– ставить и решать задачи вариационного исчисления, включая решение задач с
использованием вычислительных машин;
– ставить и решать задачи оптимального управления и оценивания, включая
построение алгоритмов численного решения задач.
●
Владеть
– методами решения задач вариационного исчисления и оптимального управления;.
2. Структура и трудоемкость дисциплины
Дисциплина «Вариационное исчисление и оптимальное управление» читается в
восьмом семестре. Форма промежуточной аттестации – зачет. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 часов).
3. Тематический план
2
3
Из них
в
интера
ктивно
й
форме
Итого
количе
ство
баллов
Самостоятельная
работа
1
Итого
часов
по
теме
Семинарские
(практические)
занятия
Тема
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
Лекции
№
недели семестра
Таблица 1.
4
5
6
7
8
9
Модуль 1
1 Основные понятия
вариационного исчисления
1
3
3
6
12
2
0-10
2 Простейшие задачи
вариационного исчисления
2-4
9
9
6
24
3
0-15
3 Достаточные условия
экстремума. Сильный
экстремум
5-6
6
6
6
18
3
0-15
18
18
18
54
8
0-40
Всего
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Модуль 2
4 Вариационные задачи для
случая многих неизвестных
функций. Вариационные
задачи на условный
экстремум
7
3
3
6
12
3
0-15
5 Основные понятия и задачи
теории оптимального
управления
8
3
3
6
12
3
0-15
9-10
6
6
6
18
3
0-15
11
3
3
6
12
3
0-15
Всего
15
15
24
54
12
0-60
Итого (часов, баллов):
33
33
42
108
из них в интерактивной
форме
10
10
6 Условия экстремума в
задачах оптимального
управления
7 Принцип Вейерштрасса
0-100
20
20
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
выполнение
домашнего задания
Итого количество
баллов
решение задач на
практическом
занятии
1
контрольная работа
№ темы
Письменные работы
4
5
6
7
0-3
0-7
0-10
Модуль 1
1. Основные понятия вариационного исчисления
2. Простейшие задачи вариационного исчисления
0-7
0-2
0-6
0-15
3. Достаточные условия экстремума. Сильный
экстремум
0-7
0-2
0-6
0-15
0-14
0-7
0-19
0-40
Всего
Модуль 2
5
1
4
5
6
7
4. Вариационные задачи для случая многих
неизвестных функций. Вариационные задачи на
условный экстремум
0-7
0-2
0-6
0-15
5. Основные понятия и задачи теории
оптимального управления
0-7
0-2
0-6
0-15
6. Условия экстремума в задачах оптимального
управления
0-7
0-2
0-6
0-15
7. Принцип Вейерштрасса
0-7
0-2
0-6
0-15
Всего
0-28
0-8
0-24
0-60
Итого
0-42
0-15
0-43
0-100
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
1
Модули и темы
2
Виды СРС
Недел
я
семес
тра
Объе
м
часов
Кол-во
баллов
обязательные
дополнительн
ые
3
4
5
6
7
Модуль 1
1
Основные понятия
вариационного
исчисления
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
1
6
0-7
2
Простейшие задачи
вариационного
исчисления
выполнение
домашнего
задания;
решение
контрольной
работы
работа с
литературой
2-4
6
0-13
3
Достаточные
выполнение
условия экстремума. домашнего
Сильный экстремум задания;
решение
контрольной
работы
работа с
литературой
5-6
6
0-13
18
0-33
Всего по модулю 1:
Модуль 2
6
1
2
3
4
Вариационные
задачи для случая
многих неизвестных
функций.
Вариационные
задачи на условный
экстремум
выполнение
домашнего
задания;
решение
контрольной
работы
5
Основные понятия и
задачи теории
оптимального
управления
выполнение
домашнего
задания;
решение
контрольной
работы
6
Условия экстремума
в задачах
оптимального
управления
7
Принцип
Вейерштрасса
4
5
6
7
7
6
0-13
работа с
литературой
8
6
0-13
выполнение
домашнего
задания;
решение
контрольной
работы
работа с
литературой
9-10
6
0-13
выполнение
домашнего
задания;
решение
контрольной
работы
работа с
литературой
11
6
0-13
Всего по модулю 2:
12
0-52
ИТОГО:
42
0-85
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Темы дисциплины необходимые
для
изучения
обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1
2
3
4
5
6
7
+
+
+
+
1
Устойчивость и управление
движением
+
+
2
Нелинейные уравнения с
обратной связью
+
+
+
+
+
+
+
3
Выпускная квалификационная
работа
+
+
+
+
+
+
+
7
5. Содержание дисциплины
Тема 1. Основные понятия вариационного исчисления: примеры
содержательных задач о поиске экстремумов; типовые задачи вариационного исчисления;
основные понятия и определения; общая постановка задачи вариационного исчисления;
классификация экстремумов.
Тема 2. Простейшие задачи вариационного исчисления: необходимые условия
экстремума в простейшей задаче; основные леммы вариационного исчисления; уравнение
Эйлера; экстремали в регулярной и сингулярной ситуациях; случаи упрощения уравнения
Эйлера; вариационная задача с незакреплёнными границами; условия трансверсальности;
разрывные задачи; условия Вейерштрасса-Эрдмана; задачи с ограничениями;
односторонние вариации.
Тема 3. Достаточные условия экстремума. Сильный экстремум: вторая
вариация функционала; условие Лежандра; достаточные условия слабого относительного
экстремума; геометрическая интерпретация достаточных условий слабого локального
экстремума; достаточные условия сильного относительного экстремума; необходимые
условия сильного относительного экстремума.
Тема 4. Вариационные задачи для случая многих неизвестных функций.
Вариационные задачи на условный экстремум: простейшая вариационная задача с n
неизвестными; каноническая форма системы дифференциальных уравнений Эйлера;
обобщения простейшей вариационной задачи для случая n неизвестных; сильный
относительный экстремум в задаче с n неизвестными; правило множителей Лагранжа в
задаче конечномерной оптимизации; вариационная задача Лагранжа на условный
экстремум; изопериметрическая задача.
Тема 5. Основные понятия и задачи теории оптимального управления: пример
содержательной задачи о построении оптимального управления; задача оптимального
программного управления как вариационная задача на условный экстремум;
классификация задач теории оптимального управления; задача о переводе системы из
одного заданного состояния в другое; управляемость системы.
Тема 6. Условия экстремума в задачах оптимального управления: построение
оптимальных программных управлений в задаче Больца; однопараметрическое семейство
допустимых управлений; необходимые условия экстремума и их каноническая форма;
оптимальное стабилизирующее управление; принцип оптимальности; уравнение
Беллмана; задача об оптимальном быстродействии; достаточные условия экстремума в
задаче Лагранжа
Тема 7. Принцип Вейерштрасса: принцип Вейерштрасса; постановка задачи;
понятие игольчатой вариации управления; принцип максимума и его соотношение с
принципом Вейерштрасса.
6. Планы практических занятий
Тема 1. Основные понятия вариационного исчисления (3 час.)
1) типовые задачи вариационного исчисления;
2) классификация экстремумов.
Тема 2. Простейшие задачи вариационного исчисления (9 час.)
1) необходимые условия экстремума в простейшей задаче;
8
2) уравнение Эйлера;
3) экстремали;
4) вариационная задача с незакреплёнными границами;
5) условия трансверсальности;
6) разрывные задачи;
7) условия Вейерштрасса-Эрдмана;
8) задачи с ограничениями;
9) односторонние вариации.
Тема 3. Достаточные условия экстремума. Сильный экстремум (6 час.)
1) вторая вариация функционала;
2) условие Лежандра;
3) достаточные условия слабого относительного экстремума;
4) достаточные условия сильного относительного экстремума;
5) необходимые условия сильного относительного экстремума.
Тема 4. Вариационные задачи для случая многих неизвестных функций.
Вариационные задачи на условный экстремум (3 час.)
1) простейшая вариационная задача с n неизвестными;
2) каноническая форма системы дифференциальных уравнений Эйлера;
3) сильный относительный экстремум;
4) правило множителей Лагранжа в задаче конечномерной оптимизации;
5) вариационная задача Лагранжа на условный экстремум;
6) изопериметрическая задача.
Тема 5. Основные понятия и задачи теории оптимального управления (3 час.)
1) задачи о построении оптимального управления;
2) задача оптимального программного управления как вариационная задача на
условный экстремум;
3) задача о переводе системы из одного заданного состояния в другое.
Тема 6. Условия экстремума в задачах оптимального управления (6 час.)
1) построение оптимальных программных управлений в задаче Больца;
2) однопараметрическое семейство допустимых управлений;
3) необходимые условия экстремума;
4) оптимальное стабилизирующее управление;
5) принцип оптимальности;
6) уравнение Беллмана;
7) задача об оптимальном быстродействии;
8) достаточные условия экстремума в задаче Лагранжа
Тема 7. Принцип Вейерштрасса (3 час.)
1) принцип Вейерштрасса;
2) понятие игольчатой вариации управления;
3) принцип максимума и его соотношение с принципом Вейерштрасса.
7. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)
7.1. Примерные задания для контрольной работы
9
1. Решить простейшую задачу классического вариационного исчисления
2. Решить задачу Больца
3. Решить задачу с подвижными концами
4. Решить изопериметрическую задачу
5. Решить задачу Лагранжа
6. Решить задачу оптимального быстродействия
7. Решить задачу оптимального управления
7.2. Примерные вопросы для подготовки к зачету
Примеры содержательных задач о поиске экстремумов.
Типовые задачи вариационного исчисления.
Общая постановка задачи вариационного исчисления.
Классификация экстремумов.
Необходимые условия экстремума в простейшей
исчисления.
6. Основные леммы вариационного исчисления.
7. Уравнение Эйлера.
8. кстремали в регулярной и сингулярной ситуациях.
9. Случаи упрощения уравнения Эйлера.
10. Вариационная задача с незакреплёнными границами.
11. Условия трансверсальности.
12. Разрывные задачи.
13. Условия Вейерштрасса-Эрдмана.
1.
2.
3.
4.
5.
10
задаче
вариационного
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
Задачи с ограничениями.
Односторонние вариации.
Вторая вариация функционала.
Условие Лежандра.
Достаточные условия слабого относительного экстремума.
Геометрическая интерпретация достаточных условий слабого локального
экстремума.
Достаточные условия сильного относительного экстремума.
Необходимые условия сильного относительного экстремума.
Простейшая вариационная задача с n неизвестными.
Каноническая форма системы дифференциальных уравнений Эйлера.
Обобщения простейшей вариационной задачи для случая n неизвестных.
Сильный относительный экстремум в задаче с n неизвестными.
Правило множителей Лагранжа в задаче конечномерной оптимизации.
Вариационная задача Лагранжа на условный экстремум.
Изопериметрическая задача.
Пример содержательной задачи о построении оптимального управления.
Задача оптимального программного управления как вариационная задача на
условный экстремум.
Классификация задач теории оптимального управления.
Задача о переводе системы из одного заданного состояния в другое.
Управляемость системы.
Построение оптимальных программных управлений в задаче Больца.
Однопараметрическое семейство допустимых управлений.
Необходимые условия экстремума и их каноническая форма.
Оптимальное стабилизирующее управление.
Принцип оптимальности.
Уравнение Беллмана.
Задача об оптимальном быстродействии.
Достаточные условия экстремума в задаче Лагранжа
Принцип Вейерштрасса.
Понятие игольчатой вариации управления.
Принцип максимума и его соотношение с принципом Вейерштрасса.
8. Образовательные технологии
При изучении дисциплины «Вариационное исчисление и оптимальное управление»
используются следующие образовательные технологии:
– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);
– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной
работы в процессе изучения дисциплины «Вариационное исчисление и оптимальное
управление» предусматривается использование в учебном процессе следующих активных
и интерактивных форм проведения занятий:
– практические занятия в диалоговом режиме;
– компьютерное моделирование и практический анализ результатов;
– научные дискуссии;
– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.
11
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля)
9.1. Основная литература
1. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М.
Оптимальное управление движением. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 376 с.
2. Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин С.В. и др. Оптимальное управление. М.:
МЦНМО, 2008. – 320 с.
3. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 504 с.
4. Зейферт Г., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом. Ижевск:
Издательский дом «Удмуртский университет», 2000. – 160 с.
5. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление: Задачи и
примеры с подробными решениями. М.: Эдиториал УРСС, 2002. – 256 с.
6. Крищенко А. П., Ермошина О. В., Ванько В. И., Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н.
Вариационное исчисление и оптимальное управление. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.
Баумана, 2006. – 488 с.
9.2. Дополнительная литература
7. Александров В.В., Злочевский С.И., Лемак С.С., Парусников Н.А. Введение в
динамику управляемых систем. М.: Изд-во мех-мат. ф-та МГУ, 1993. – 189 с.
8. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации.
Теория. Примеры. Задачи. М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 320 с.
9. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 384 с.
10. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука,
1969. – 408 с.
11. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. СПб.:
Издательство «Лань», 2008. – 192 с.
12. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.:
Наука, 1969. – 424 с.
9.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы
Интернет – ресурсы:
1. Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического
факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru
2. eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://elibrary.ru
Для работы на практических занятиях необходимы пакеты программ Matlab и
Maple.
10. Технические средства и материально-техническое обеспечение
дисциплины (модуля)
Аудитория с мультимедийным оборудованием для лекционных и практических
занятий.
12