Материалы в формате DOC

7 класс.
1. В десятичной записи семи последовательных натуральных чисел ровно
2008 цифр. Сколько раз среди них встречается цифра 9?
Ответ. 286.
Решение. Каждое следующее натуральное число имеет то же количество
цифр, что и предыдущее, или на одну цифру больше. Т.к. 2008 не делится
нацело на 7, то все 7 последовательных чисел не могут иметь одинаковое
количество цифр. При делении на 7 числа 2008 имеем в остатке 6, поэтому
первое число имеет 286 цифр, остальные 6 - по 287. Чтобы количество цифр
увеличилось на единицу, первое число должно состоять из одних девяток. В
следующих числах девяток быть не может: там только нули и числа от
единицы до шести.
Следовательно, всего девяток 286.
2. Туземцы с именами АУ, ИА, ИО и УО умеют писать только буквы
своих имен. Они начертали на камне АИУИАОУ, причем никто не
написал две буквы рядом, и все написали различное количество букв.
Кто начертал больше всех букв и сколько? (Укажите все возможности.)
Ответ: АУ, он написал четыре буквы.
Решение. Составим таблицу, в верхней строке которой расположим
написанное слово, а во второй и третьей - кто из туземцев мог написать
соответствующую букву слова.
(Туземцев занумеруем в порядке их записи в условии задачи).
А И У И А О У
1
2
1
2
1
3
1
2
3
4
3
2
4
4
В таблице наибольшее число раз встречаются два туземца: 1 и 2, по 4 раза.
Т.е. максимальное количество букв, которое могло быть написано одним
туземцем, равно 4.
Предположим, не было туземца, начертавшего 4 буквы. Тогда возможное
количество букв, написанное каждым туземцем, будет следующим: 3,2,1,0
(по условию ими были начертаны разные количества букв). Но всего было
начертано 7 букв, а в последнем варианте их только 6. Следовательно,
максимальное количество начертанных букв может равняться только 4. Это
не может быть второй туземец, т.к. его буквы стоят рядом и, следовательно,
одну из них писал не он. Таким образом, максимальное количество букв,
равное 4, мог написать только первый туземец.
3. Банк "Всемирная сеть" при снятии денег со счета берет фиксированную
плату за проведение операции плюс определенный процент со
снимаемой суммы. Например, при снятии со счета 4ооо руб. вкладчик
заплатит 22 руб. 10 коп, при снятии 10ооо руб. - 48 руб. 50 коп.
Сколько придется заплатить вкладчику, если он соберется снять со
счета 7000 руб.?
Ответ: 35 рублей 50 копеек.
Решение. Сумму оплаты банку можно описать формулой: Р = Sb+ а, где а фиксированная плата, b - процент от снимаемой суммы, взимаемый банком ,
деленный на 100, S - снимаемая сумма.
Условия задачи можно записать двумя равенствами:
4000b + а = 22,1
10000b +а =48,5.
Сложим эти равенства и, разделив на 2, получим: 7000b + а = 35,3. Т.е. при
снятии со счета 7000 вкладчику придется заплатить 35,5 руб.
4. Четыре простых числа (имеющих в десятичной записи не менее двух
цифр) отличаются друг от друга только последней цифрой. Доказать,
что их сумма имеет не менее шести делителей.
Решение. Четыре простых числа, отличающиеся только последней цифрой,
должны оканчиваться на 1, 3, 7 и 9-ку. Простое число, большее 9, не может
оканчиваться на четную цифру и на пятёрку, так как 2 и 5 будут в этом
случае уже третьим делителем. Значит, простое число может оканчиваться
цифрами 1, 3,7 и 9. Наши четыре простых числа можно записать в
следующем виде: 10n + 1, 10n + 3, 10n + 7, 10n + 9 ( n - число, получающееся
при отбрасывании последней цифры у каждого из простых чисел). Сумма
этих простых чисел равна 40n + 20=20(2n+1), то есть делится на 20, поэтому
делителями суммы будут 1, 2, 4, 5,10 - уже шесть делителей.
5. Докажите, что числа от 1 до 30 нельзя разбить на две группы: А- из
двух чисел и В - из 28 чисел так, чтобы сумма чисел в группе В была
равна сумме квадратов чисел в группе А.
Решение. Способ 1. Заметим, что в последовательности чисел от 1 до 30
количество четных и нечетных чисел одинаково и равно 15. А сумма всех
чисел - число нечетное.
Числа в группе А могут быть либо одной четности, либо разной.
Рассмотрим каждый вариант.
1). Оба числа - одной четности. Сумма квадратов чисел в группе А - число
четное, т.к. если оба числа - нечетные, то и их квадраты тоже являются
числами нечетными, а сумма будет четной. Сумма чисел в группе В - число
нечетное (как результат вычитания из нечетного числа двух чисел одной
четности). Равенство невозможно.
2). Числа в группе А разной четности. Сумма квадратов - число нечетное. В
группе В осталось четное количество как четных, так и нечетных чисел.
Сумма - число четное. Равенство невозможно.
Способ 2. Пусть разбиение возможно, и в группу А вошли числа х,у. Должно
выполняться равенство: 1+2+...+29+30-х-у=х2+у2 или 31∙15=x(x+1)+y(y+1). В
правой части каждое слагаемое четно, а левая - нечетна, и равенство
невозможно. Значит, разбиение на такие группы невозможно.
6.
Вася хочет закрасить несколько клеток шахматной доски и
разрезать на прямоугольники 1x4 и квадраты 2x2 по линиям клеток так,
чтобы в каждой фигуре оказалась хотя бы одна закрашенная клетка. Вася уже
закрасил четырнадцать клеток, соседних с диагональными по стороне (см.
рис.) Какое наименьшее число клеток он должен
закрасить ещё,
чтобы выполнить свою задачу?
Ответ: Вася должен закрасить еще 4 клетки.
Отметим крестиками «х» закрашенные вначале 14 клеток. Четыре клетки с
номерами 1, 2, 3, 4 при разрезании окажутся в 4-х разных фигурах, не
содержащих ни одной из ранее закрашенных клеток. Васе придется в каждой
из этих фигур закрасить по одной клетке.
Осталось привести пример.
8 класс.
5. Можно ли число 1001 представить в виде разности двух составных чисел,
имеющих одинаковое количество простых делителей? (Каждый простой
делитель учитывается один раз, например, 180 имеет только три простых
делителя: 2,3,5)
Ответ. Можно.
Решение. Заметим, 1001=7∙11∙13, где 7, 11 и 13 простые. Пример: 1001=
2∙2∙1001-3∙1001. В уменьшаемом и вычитаемом по четыре простых
множителя.
6. На доске 9x20 Петя и Вася действуют следующим образом. Петя выбирает
любую клетку, а Вася закрашивает строку или столбец, в котором она
находится. Сможет ли Петя, назвав 27 клеток, добиться того, чтобы все
клетки доски были закрашены, или Вася может ему в этом помешать?
(Клетку можно закрашивать несколько раз.)
Ответ: Вася сможет помешать Пете.
Решение. Для того чтобы помешать Пете, Вася должен закрасить не более 8
строк и не более 19 столбцов (8+19=27). Клетка, стоящая на пересечении не
закрашенного столбца и не закрашенной строки не будет закрашена, и, таким
образом, не все клетки окажутся закрашенными.
9 класс.
1. По кругу написано 2008 чисел. Среди них нет положительных. И
каждое равно произведению двух своих соседей. Найти сумму всех
чисел.
Ответ: 0.
Решение. Возьмем произвольное число. Предположим число не равно О,
следовательно, число отрицательное, тогда соседние числа будут разных
знаков, но рядом нет положительных, следовательно, пришли к
противоречию. Поэтому по кругу располагаются нули и сумма равна 0.
2. Подряд написали числа 1,2, 3,4, 5,..., 2007,2008. Каких цифр написано
больше нулей или двоек? На сколько?
Ответ: На 102 двоек больше.
Решение: Добавим к числам 1, 2, ...9 впереди два нуля, а к двузначным один
нуль, тогда получим следующую последовательность до 1000:
000, 001, 002, ...,009, 010,..., 999, в которой количество всех цифр одинаково.
Мы добавили 3+2*9+(99-9)=111 нулей, при этом в этой последовательности
нулей и двоек стало одинаковое количество. Поэтому двоек больше на 111.
От 1000 до 2000 впереди каждого числа добавляется единица, что не влияет
на равенство числа цифр 0 и 2. И последний ряд чисел, в котором зачеркнем
по одинаковому количеству нулей и двоек.
Поэтому двоек на 102 штуки больше чем нулей.
10 класс.
1. См. задачу №1 9 класса.
11 класс.