6 класс - Омские олимпиады

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
05.02.11  6 класс
05.02.11  6 класс
г. Омск
г. Омск
Математическая олимпиада ИМИТ ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина,
создателя системы городских математических олимпиад.
Математическая олимпиада ИМИТ ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина,
создателя системы городских математических олимпиад.
Довывод
Довывод
1. У бедного Зязяки не было денег, и он взял взаймы у богатого Бябяки и купил в
магазине 1 зяку и 3 бяки. После этого он продал на рынке 1 зяку по цене 4-х бяк, а 3
бяки по цене 2-х зяк. После возврата долга денег ему как раз хватило на покупку 4-х бяк
в магазине. Во сколько раз в магазине зяка дороже бяки?
1. У бедного Зязяки не было денег, и он взял взаймы у богатого Бябяки и купил в
магазине 1 зяку и 3 бяки. После этого он продал на рынке 1 зяку по цене 4-х бяк, а 3
бяки по цене 2-х зяк. После возврата долга денег ему как раз хватило на покупку 4-х бяк
в магазине. Во сколько раз в магазине зяка дороже бяки?
2. Расставьте в вершинах и серединах сторон квадрата числа 1, 2, 3,…, 8 так, чтобы
сумма любых трех чисел, стоящих на одной стороне, была одна и та же.
2. Расставьте в вершинах и серединах сторон квадрата числа 1, 2, 3,…, 8 так, чтобы
сумма любых трех чисел, стоящих на одной стороне, была одна и та же.
3. В избушке живут три медведя: Михаил Иванович, Настасья Петровна и их сын
Мишутка. Михаил Иванович налил в тарелку 5 поварешек супа, а Настасья Петровна 2
поварешки. Михал Иванович съедает свою порцию за 6 минут, а Настасья Петровна за
4 минуты. Если Мишутка будет есть суп вместе с папой, то папина порция будет
съедена за 5 минут. За какое время будет съеден мамина порция, если Мишутка будет
есть вместе с мамой?
3. В избушке живут три медведя: Михаил Иванович, Настасья Петровна и их сын
Мишутка. Михаил Иванович налил в тарелку 5 поварешек супа, а Настасья Петровна 2
поварешки. Михал Иванович съедает свою порцию за 6 минут, а Настасья Петровна за
4 минуты. Если Мишутка будет есть суп вместе с папой, то папина порция будет
съедена за 5 минут. За какое время будет съеден мамина порция, если Мишутка будет
есть вместе с мамой?
4. Все гномы делятся на лжецов и рыцарей. На каждой клетке доски 4×4 стоит по гному.
Известно, что среди них и лжецы, и рыцари. Каждый гном заявил: среди моих соседей
лжецов и рыцарей поровну. Сколько всего лжецов? (Два гнома считаются соседями,
если они стоят в клетках, имеющих общую сторону)
4. Все гномы делятся на лжецов и рыцарей. На каждой клетке доски 4×4 стоит по гному.
Известно, что среди них и лжецы, и рыцари. Каждый гном заявил: среди моих соседей
лжецов и рыцарей поровну. Сколько всего лжецов? (Два гнома считаются соседями,
если они стоят в клетках, имеющих общую сторону)
5. На дощечке написано два числа: с левой стороны написано число 2011, а с правой –
число 1000. За один ход можно прибавить к числу, написанному с левой стороны,
некоторое натуральное число, а число, написанное с правой стороны, умножить на то же
самое число. Как уравнять числа на разных сторонах дощечки, сделав не более 1000
ходов?
5. На дощечке написано два числа: с левой стороны написано число 2011, а с правой –
число 1000. За один ход можно прибавить к числу, написанному с левой стороны,
некоторое натуральное число, а число, написанное с правой стороны, умножить на то же
самое число. Как уравнять числа на разных сторонах дощечки, сделав не более 1000
ходов?
6. Карандаш раскрасил деревянный кубик в
соответствии с разверткой (см. рис. слева);
Самоделкин распилил его на 8 кубиков и
составил кубики обратно в виде куба, вся
поверхность которого окрашена. Гурвинек
смотрит на кубик и видит, конечно, не все
грани, а только три, повернутые к нему (см.рис.
справа). Но утверждает, что знает, какой кубик
лежит в дальнем от него углу. Какой?
6. Карандаш раскрасил деревянный кубик в
соответствии с разверткой (см. рис. слева);
Самоделкин распилил его на 8 кубиков и
составил кубики обратно в виде куба, вся
поверхность которого окрашена. Гурвинек
смотрит на кубик и видит, конечно, не все
грани, а только три, повернутые к нему (см.рис.
справа). Но утверждает, что знает, какой кубик
лежит в дальнем от него углу. Какой?
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
05.02.11  6 класс
г. Омск
Математическая олимпиада ИМИТ ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина,
создателя системы городских математических олимпиад.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
05.02.11  6 класс
г. Омск
Математическая олимпиада ИМИТ ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина,
создателя системы городских математических олимпиад.
Вывод
Вывод
7.По траве вереницей вплотную друг за другом ползут сороконожки. Длина каждой
сороконожки — 10 сантиметров. В 12-00 сороконожки подползли к дорожке длиной 1
метр. Как только сороконожка поставит все 40 ножек на дорожку, она начинает ползти
со скоростью 15 см/сек, а пока хотя бы одна её ножка на траве, она ползёт в 3 раза
медленнее. Ровно в 12-01 последняя сороконожка сползла с дорожки и поставила свою
последнюю ножку на травку. Сколько было сороконожек?
7.По траве вереницей вплотную друг за другом ползут сороконожки. Длина каждой
сороконожки — 10 сантиметров. В 12-00 сороконожки подползли к дорожке длиной 1
метр. Как только сороконожка поставит все 40 ножек на дорожку, она начинает ползти
со скоростью 15 см/сек, а пока хотя бы одна её ножка на траве, она ползёт в 3 раза
медленнее. Ровно в 12-01 последняя сороконожка сползла с дорожки и поставила свою
последнюю ножку на травку. Сколько было сороконожек?
8. Пять натуральных чисел заканчиваются различными цифрами. Известно, что среди
всевозможных пар этих чисел можно выбрать ровно три пары, в которых произведение
заканчивается на 0. Может ли сумма всех чисел заканчиваться на 5?
8. Пять натуральных чисел заканчиваются различными цифрами. Известно, что среди
всевозможных пар этих чисел можно выбрать ровно три пары, в которых произведение
заканчивается на 0. Может ли сумма всех чисел заканчиваться на 5?
9. Из 24 спичек выложена фигура в виде квадрата 3×3 (см. рисунок),
длина стороны каждого маленького квадратика равна длине спички.
Какое наименьшее число спичек можно убрать так, чтобы не осталось
ни одного целого квадратика 1×1, выложенного из спичек?
9. Из 24 спичек выложена фигура в виде квадрата 3×3 (см. рисунок),
длина стороны каждого маленького квадратика равна длине спички.
Какое наименьшее число спичек можно убрать так, чтобы не осталось
ни одного целого квадратика 1×1, выложенного из спичек?
10. Два путешественника попали в плен к людоедам. У людоедов есть
много колпаков синего и красного цвета. Ночь путешественники
проводят в одной хижине, а наутро людоеды надевают на каждого путешественника
какой-то колпак. Каждый путешественник видит колпак на своём товарище, но не видит
колпака на своей голове. После этого их разводят в разные стороны и заставляют
записать на листочке один из двух цветов. Если хотя бы один путешественник запишет
цвет своего колпака, то их отпускают. Если оба ошибаются – их съедают. Какую
стратегию ответов путешественники должны разработать, находясь в хижине, чтобы
остаться в живых?
10. Два путешественника попали в плен к людоедам. У людоедов есть
много колпаков синего и красного цвета. Ночь путешественники
проводят в одной хижине, а наутро людоеды надевают на каждого путешественника
какой-то колпак. Каждый путешественник видит колпак на своём товарище, но не видит
колпака на своей голове. После этого их разводят в разные стороны и заставляют
записать на листочке один из двух цветов. Если хотя бы один путешественник запишет
цвет своего колпака, то их отпускают. Если оба ошибаются – их съедают. Какую
стратегию ответов путешественники должны разработать, находясь в хижине, чтобы
остаться в живых?
8.
РЕШЕНИЯ
1.
2.
3.
4.
Ответ: В три раза.
В результате такой купли-продажи и после возврата долга у 1
8
3
Зязяки осталось денег на сумму магазинной цены 1 зяки и
1 бяки. Поскольку 4 бяки стоят столько же, то цена 1 зяки
5
7
равна цене 3 бяк.
Ответ: Например, так (см. рисунок).
Ответ: За 3 минуты.
6
4
2
Так как Михаил Иванович за 6 минут съедает 5 поварешек
супа, то за минуту он съест 5/6 поварешки. Вместе с Мишуткой они за минуту
съедают 1 поварешку, значит Мишутка за минуту съедает 1–5/6=1/6 поварешки.
Но если одна Настасья Петровна съедает за минуту 2/4=1/2 поварешки, то
вместе с Мишуткой они за минуту съедят 1/2+1/6=2/3 поварешки. Тогда с
маминой порцией они справятся за 2:2/3=3 минуты.
Ответ: 12.
л л л л
Ясно, что все клетки с 3 соседями заняты лжецами. Оба соседа
л
л
каждого гнома, стоящего в угловой клетке - лжецы, значит
л р
л
сами они тоже лжецы. Известно, что хотя бы один рыцарь на
л
л
л
л
доске есть, значит стоит он в какой-то клетке оставшегося
квадратика 2х2. Но, тогда оба его соседа также рыцари и, следовательно,
оставшаяся клетка этого квадратика также занята рыцарем.
5. Первым ходом прибавим к 2011 число 3, а 1000 умножим на 3, получим пару:
2014 и 3000. Далее прибавляя к левому числу 1, а правое число умножая на 1, за
986 ходов мы сможем уравнять числа.
6. Ответ: 3-4-6.
Очевидно, что после распиливания у каждого маленького кубика окрашено
ровно три грани. Выпишем комбинации раскрасок граней всех 8 маленьких
кубиков согласно развертке: 1-2-6, 1-2-5, 2-3-6, 2-3-5, 3-4-6, 3-4-5, 1-4-5, 1-4-6.
На правой картинке видны все четыре кубика, у которых есть грань «1» –
вычеркнем их. Кроме того, на правой картинке видны еще два кубика, у
которых есть грань «2», вычеркнем их. Останется только два кубика: 3-4-6 и 34-5. Один из них мы видим на рисунке, и у него помимо видимых граней
окрашена нижняя грань, тогда это может быть только кубик 3-4-5. А значит, в
дальнем углу лежит кубик 3-4-6.
7. Ответ: 26.
1) Для начала заметим, что каждая сороконожка, дойдя до дорожки, заползает
на нее 2 сек, и 2 сек ей требуется, чтобы полностью сползти с дорожки на
траву. Кроме того, по самой дорожке она бежит 90 см, и пробегает их за 6 сек.
2) Будем следить за последней сороконожкой. Поскольку ей потребовалось 10
сек от начала дорожки и до самого конца путешествия, то по траве она бежала
50 сек, и пробежала 250 см. Значит, в 12.00 перед ней стояли 25 сороконожек, а
всего их было 26.
9.
Ответ: Нет, не может.
Перемножая два натуральных числа, можно получить в конце 0 только, если
один из множителей оканчивался на 0 или на 5.
Если бы среди наших пяти чисел было число, оканчивающееся 0, то,
перемножая его с любым из оставшихся четырех чисел, мы получили бы, по
крайней мере, четыре произведения, оканчивающихся 0. Тогда у нас есть число,
последняя цифра которого равна 5. По условию ровно три попарных
произведения дают в конце 0, значит среди оставшихся четырех чисел три
числа являются четными, а четвертое – нечетным. Но три четных числа и одно
нечетное в сумме будут давать нечетное число, а по условию необходимо,
чтобы их сумма оканчивалась нулем.
Ответ: 5 спичек.
Оценка: убирая спичку, мы «портим» не более двух
квадратиков (каждая спичка является стороной одного или двух
соседних квадратиков). Изначально у нас 9 маленьких
квадратиков, поэтому четырьмя спичками обойтись не удастся.
Пример для 5 спичек существует (и не один).
10. Стратегия состоит в следующем: первый
путешественник пишет цвет колпака, который он видит на своем
товарище, а второй путешественник – цвет, которого он не видит
(если второй видит на первом колпак синего цвета, то в бумажке
он пишет «красный»). При такой договоренности хотя бы один из
путешественников укажет цвет своего колпака.
Если на них были надеты колпаки одного цвета, то первый
обязательно угадывает, так как пишет цвет колпака своего
товарища.
Если на путешественников были надеты колпаки разных цветов,
то второй обязательно угадывает свой цвет, указывая в бумажке
цвет, «противоположный» цвету колпака своего товарища.