Банк заданий 11 клас…

11 класс задания
1. Постройте график функции
(5
баллов)
2. Определите a так, чтобы сумма квадратов корней уравнения x2 + (2 - a)x – a - 3 = 0 была
наименьшей. (6 баллов)
3. Докажите, что если число
делится на 11, то оно также делится и на
121.(4 балла)
4. Длины четырех отрезков (числа a, b, c, d) удовлетворяют условию a2 + b2 + c2 + d2 = ab + bc +
cd + da. Верно ли, что объем куба, ребро которого равно одному из этих отрезков, равен
объему прямоугольного параллелепипеда, тремя ребрами которого являются три другие
отрезка? (6 баллов)
5. Даны n точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости. Сколько
плоскостей можно провести через различные тройки этих точек?(8 баллов)
6. Найдите такое натуральное число k, что 2008! делится на 2007k, но не делится на 2008k.
(Напомним, чтоn! = 1·2·3·4·… ·n).(6 баллов)
7. Может ли вершина параболы y = 4x2 – 4(a + 1)x + a лежать во второй координатной
четверти при каком-нибудь значении а?(6 баллов)
8. (an) – арифметическая прогрессия с разностью 1. Известно, что S2008 - наименьшая среди
всех Sn (меньше суммы первых n членов для любого другого значения n). Какие значения
может принимать первый член прогрессии?(8 баллов)
9. Внутри равностороннего треугольника со стороной 8 находится равнобедренный
треугольник АВС, в котором АС = ВС = 1, ‫ﮮ‬С=120°. Две вершины А и В могут лежать либо на
одной стороне большого треугольника, либо на двух. Где при этом может оказаться
вершина тупого угла – точка С? Нарисуйте это геометрическое место точек и найдите
длину соответствующей линии.( 9 баллов)
10. Клетчатая прямоугольная сетка m x n связана из веревочек единичной длины. Двое
делают ходы по очереди. За один ход можно разрезать (посередине) не разрезанную
ранее единичную веревочку. Если не останется ни одного замкнутого веревочного
контура, то игрок, сделавший последний ход, считается проигравшим. Кто из игроков
победит при правильной игре и как он должен для этого играть?(10 баллов)
11. Решите уравнение
.(6 баллов)
12. Функция y = f(x) определена на множестве всех действительных чисел и является
периодической с периодом 5. Найдите значение выражения
f(-6) + f(19) – f(-13), если f(-1) = -2 и f(2) = 3,5.(3 балла)
13. Какую наибольшую длину может иметь ребро правильного тетраэдра, который
помещается в коробку, имеющую форму куба со стороной 1 см? Ответ обоснуйте.(6
баллов)
14. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равняется а, а боковое ребро
равняется b. Плоскость, параллельная боковому ребру и проходящая через
скрещивающуюся с ним сторону основания, пересекает пирамиду по квадрату. Вычислите
сторону квадрата.(9 баллов)
15. Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с
единицей, есть точный квадрат.( 6 баллов)
16. Решите уравнение sin44x + cos2x = 2sin4x·cos4x. (6 баллов)
17. Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть
многоугольник с нечетным числом сторон?(6 баллов)
18. Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники
одной и той же площади. (10 баллов)
19. В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из
чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом
столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой
строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной
нулю.(10 баллов)
20. Докажите, что уравнение xy = 2006 (x+y) имеет решения в целых числах.(6 баллов)
21. Докажите, что если α, β, γ - углы произвольного треугольника, то справедливо тождество
cos2α + cos2β + cos2γ + 2 cosα cosβ cosγ = 1.( 6 баллов)
22. Три шара радиуса R касаются друг друга и плоскости α, четвертый шар радиуса R положен
сверху так, что касается каждого из трех данных шаров. Определите высоту «горки» из
четырех шаров. (8 баллов)
23. Докажите неравенство x2 - 3x3 < 1/6 на луче [1/4; +∞). (7 баллов)
24. В прямоугольник 20 x 25 бросают 120 квадратов 1 x 1. Докажите, что в прямоугольник
можно поместить круг с диаметром, равным 1, не имеющий общих точек ни с одним из
квадратов. (10 баллов)
25. . Найдите
sin   10cos 
2sin   cos  , если tg  3 .( 6 баллов)
26. Сколько различных корней имеет уравнение
cos(4 x)  x  x 2  0 ?
(4 балла)
 4 x 3  2  8 x
27. Решите систему неравенств 
. (8 баллов)
x 1
2 x2
8

3

28. Два автохозяйства отправили несколько машин для перевозки грузов. Число машин,
отправленных из второго автохозяйства, меньше удвоенного числа машин, отправленных
из первого. Если бы первое автохозяйство послало на две машины больше, а второе – на
две меньше, то машин из второго автохозяйства было бы не меньше, чем машин из
первого. Сколько машин отправлено из каждого автохозяйства, если всего было
отправлено меньше 16 автомашин? (9 баллов)
29. Известно, что
x 1
. Найдите корни уравнения f ( x )  1  0 .
2x  3
2x  8  x
 0 . (5баллов)
x3
f  2x 
30. Решите неравенство
(6 баллов)
31. Какой остаток при делении на 5 дает число 310033100333100  810088100888100 ? (8 баллов)
32. Сколько корней имеет уравнение sin( 3x)  x (3 ) ?( 6 баллов)
x 1 1
x 1 1
2
33. Решите уравнение
. (10 баллов)
34. В параллелограмме ABCD проведена средняя линия MN (M – середина AB, N – середина
CD). Точка P делит отрезок BC в отношении 1:3 (считая от точки B), Q делит отрезок AD в
отношении 2:3 (считая от точка А), O – пересечение PQ и MN. Найдите отношение MO к
ON. (10 баллов)
35. Какое наименьшее значение может принять выражение cos(2x) – 2cos(x)? (6 баллов)
36. Вычислите




1
1 
2 
3 
300   
 arccos cos    arccos cos    arccos cos      arccos cos
  

  3 
  3 
  3 
  3 
.(10 баллов)
37. У Василия было много яблок, и он решил отдать их своим друзьям. Когда друзья пришли,
он распределил яблоки между ними, причем всем досталось поровну. Неожиданно
подошел еще один друг, яблоки пришлось перераспределить, и опять всем досталось
поровну, но теперь на 15 штук меньше, чем в прошлый раз. Когда подошел еще один друг,
яблоки снова перераспределили, опять всем досталось поровну, но в этот раз еще на 9
штуки меньше. Сколько яблок было у Василия и сколько в конце концов к нему пришло
друзей? (10 баллов)
38. Строительную компанию наняли построить дорогу из города N в город M, и за первый
восьмичасовой рабочий день она построила 2 км дороги. Ночью прошел дождь и смыл
всю разметку, которая была нарисована на построенном участке дороги. На следующий
день разметка была восстановлена, и на это ушла часть рабочего времени. Скорость
восстановления разметки – 6 км/ч. В результате на второй день был построен более
короткий участок дороги. Следующей ночью вся разметка опять была смыта дождем, и ее
восстановление снова потребовало части рабочего времени. На каком максимальном
расстоянии могли находиться города N и М, если известно, что дорога между ними в
результате была построена, и во время строительства каждую ночь шел дождь?(10 баллов)
39. В трапеции ABCD длина основания AD равна 2 2 , а длина основания BC равна
= 15°, угол D = 30°. Найдите длину боковой стороны AB. (8 баллов)
2 . Угол A
40. Решить уравнение Cx + 1x - 2 + 2Cx - 13 = 7(x - 1).(8 баллов)
41. Решить уравнение Ax3 - 2Cx4 = 3Ax2.(8 баллов)
42. Доказать, что
.(8 баллов)
43. Вычислить сумму 1/1·2 + 1/2·3 + ... + 1/n·(n + 1), где n ∈ N.(8 баллов)
44.
Ответы
1.
y = 4. Поэтому, графиком
функции будет у=4
2. Ответ: a = 1. Найдем сумму квадратов корней уравнения x12 + x22 = (x1 + x2)2 –
2x1x2 = (2 – a)2 + 2(a + 3) = … = (a – 1)2 + 9. Значение данного выражения будет
наименьшим при a = 1. При этом значении a дискриминант левой части уравнения
положителен, поэтому корни существуют.
3. Имеем
. Из условия следует, что
хотя бы один сомножитель делится на 11. Если первый, то n + 1 четно, если второй,
то n - 1 четно, в силу признака делимости на 11. Тогда оба числа n + 1 и n - 1 четны,
оба сомножителя делятся на 11, и их произведение делится на 121.
4. Ответ: да, верно. Данное уравнение перепишем в виде (a – b)2 + (b – c)2 + (c– d)2 +
(d – a)2 = 0. Следовательно, длины всех четырех отрезков равны между собой.
Поэтому объем куба с ребром a равен объему прямоугольного параллелепипеда с
ребрами b, c, d.
5. Ответ: (n(n - 1)(n - 2))/6 . Первую точку можно взять п способами, вторую
(n – 1) способом. Число прямых, проходящих через них, равно (n(n - 1)/2. Третью
точку можно выбрать (n – 2) способами. Тогда число прямых, проходящих через
эти три точки, равно (n(n - 1)(n - 2))6, что и определяет наибольшее количество
плоскостей, которые можно провести через различные тройки из n точек.
6. Ответ: 9. Разложим число 2007 на простые множители: 2007 = 32 · 223.
В разложении на простые множители числа 2007! показатель степени у числа 3
будет достаточно большим, так как множитель 3 входит в разложение каждого
третьего числа. Множитель 223 входит только в разложение чисел вида 223р, где р
– натуральное число, не превосходящее 9. Таким образом, в разложение числа
2007! на простые множители число 223 войдет с показателем 9. Следовательно,
число 2008! будет делиться на 2007k, где k=9.
7. Ответ: нет, не может. Координаты вершины параболы x0 = (a + 1)/2, y0 = 4((a +
1)/2)2 - 4(a +1)(a + 1)/2 + a = -a2 - a - 1 = -(a + 1/2)2 - 3/4. Так как у0 < 0 при любых
значениях а, то во второй координатной четверти вершина параболы находиться
не может.
8. Ответ: a1 (-2008; -2007). Так как разность прогрессия положительна, то прогрессия –
возрастающая. Следовательно, описанная ситуация возможна тогда и только тогда,
когда члены прогрессия с первого по 2008-ой – отрицательны, а начиная с 2009-го
– положительны. Таким образом, S2008 будет наименьшей, тогда и только тогда,
когда а2008 < 0, a2009 > 0. Отсюда получаем систему неравенств
9. Если вершина А и В лежат на одной стороне треугольника, то вершина С лежит на
отрезке прямой, параллельной этой стороне. Длина этого отрезка равна 8 - √3.
Пусть вершины А и В лежат на двух сторонах равностороннего треугольника с
общей вершиной О. Тогда вокруг четырехугольника АСВО можно описать
окружность (четырехугольник является вписанным). В этой окружности углы ВАС и
ВОС равны, так как опираются на одну и ту же дугу с хордой ВС. Следовательно,
угол ВОС равен 30°. Следовательно, третья вершина треугольника – точка С – лежит
на биссектрисе угла равностороннего треугольника. Длина соответствующего
отрезка биссектрисы равна 1. Итак, точка С может лежать на стороне некоторого
равностороннего треугольника и на некоторых отрезках биссектрис внутренних
углов этого треугольника.
Длина шести звеньев этой
линии равна 27 - 3√3.
10. Ответ: если m + n – четно, то выигрывает второй игрок, если m + n – нечетно, то
выигрывает первый. В начале игры веревочек единичной длины было m(n + 1) +
n(m + 1) = 2mn + m + n. Это число имеет ту же четность, что и число m + n.
Последний ход в игре разрушает последний замкнутый контур. Докажем, что
граница любого замкнутого конура содержит четное количество веревочек
единичной длины. Действительно, рассмотрим границу произвольного замкнутого
контура. Каждый вертикальный столбец исходной сетки содержит четное
количество горизонтальных веревочек единичной длины из этой границы
(возможно, и нулевое), т. к. войдя в замкнутый контур, например, снизу, мы
обязаны из него выйти. Аналогично, каждая горизонтальная строка исходной сетки
11.
12.
13.
14.
содержит четное количество вертикальных веревочек единичной длины. Таким
образом, общее количество единичных веревочек на границе замкнутого контура –
четно. Выигрышная стратегия для любого игрока состоит в том, чтобы не разрушать
последний замкнутый контур, пока есть такая возможность.
Ответ: 1,5. Проанализировать какие значения могут принимать функции, стоящие в
обеих частях уравнения.
Ответ: -7,5.
Ответ: √2 см. Радиус сферы RT, описанной около тетраэдра, не будет превосходить
радиус сферы RK, описанной около куба. Пусть сторона тетраэдра а. Она будет
равна ((2√3)/3)·RT. Самый большой тетраэдр, удовлетворяющий условию RT = RK,
будет тетраэдр, ребра которого будут диагоналями куба. В этом случае RK = √3/2,
потому a = (2√6)/3· RT = (2√6)/RK = (2√6)/3 >· √6/3 = √2.
Ответ: сторона квадрата равна ab /(a + b). Использовать подобие треугольников.
15. Пусть это 4 последовательных числа: n, n + 1, n + 2, n + 3. Тогда n (n + 1)(n + 2)(n + 3)
+ 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2.
16. Перенесем в левую часть 2sin4x · cos4x и прибавим и вычтем по cos8x. В результате
полученное уравнение можно преобразовать к виду (sin4x – cos4x)2 + cos2x(1 –
cos6x) = 0, которое равносильно следующей системе:
Решая второе уравнение и подставляя его решения в первое уравнение, в результате
получим решение исходного уравнения x = π/2 + πk .
17. Пусть такой многогранник существует. Обозначим за 1, 2, …, число ребер на гранях,
тогда 1 + 2 + … – удвоенная сумма всех ребер многогранника, она – четная. А в
левой части стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно.
Получили противоречие. Значит, такого многогранника не существует.
18. Составим уравнение касательных к гиперболе в точке
Т. к.(1/x)' = -1/(x2), то эти уравнения будут иметь вид y = -1/(х02)(x - х0) + 1/х0.(*)
Касательная с уравнением (*) пересекает ось абсцисс в точке (х1;0);
х1 можно определить из уравнения -1/(х02)(x - х0) + 1/х0= 0. Решая данное уравнение,
получим х1 = 2х0. Точка (0; y1) пересечения с осью ординат определяется подстановкой в
уравнение (*) значения х = 0. В итоге получим y2 = 2/х0. Отрезки осей координат и
касательной составляют прямоугольный треугольник, катеты которого имеют длины а =
2|х0| и b = 2 / |х0|. Площадь данного треугольника равна 2.
19. Найдем произведение всех 25 чисел, записанных под каждым столбцом и всех 25
чисел, записанных справа от строчек. Так как в этом произведении каждое из чисел
квадратной таблицы входит по два раза, то произведение этих 50 произведений, в
каждом из которых стоит по 25 множителей, будет положительным, т. е. равно 1. А
так как произведение 50 чисел положительно, то отрицательных сомножителей
будет четное число (2, 4, …, 50). Сумма же 50 произведений может быть нулем
лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно - 1, т. е.
слагаемых с - 1 должно быть нечетное число. А это значит, что сумма 50
написанных произведений не может равняться нулю.
20. Преобразуем уравнение к следующему виду: (х – 2006)(у - 2006) = 20062.
Уравнение имеет решения, например, х = у = 4012.
21. Преобразуем выражение в левой части равенства, учитывая, что α + β + γ = π, и
применяя формулы: cos2x = (1 + cos2x)/2, cosx = - cos(π - x), cosx + cosy = (2cos((x
+ y)/2))cos((x - y)/2), получим справедливое
тождество.
22. Пусть четыре шара радиуса R c центрами A, B, C, D касаются друг друга и первые три из них
– плоскости a в точках A1, B1, C1 (см. рис). Тогда точки A, B, C, D являются вершинами
правильной пирамиды с ребром 2R. Вершина D этой пирамиды проектируется в центр
основания О., .
23. Пусть y = x2 – 3x3. Тогда y' = 2x – 9x2 и с помощью метода интервалов
получаем, что y' < 0 при всех x>2/9. Но 1/4>2/9, следовательно, функция y(x)
убывает на луче [1/4; +∞]. Это значит, что x2 - 3x3 < 1/16 - 3/64 = 1/64 < 1/64.
24. Окружим каждый квадрат полоской шириной 1/2. Образующие
фигуры тоже квадраты со стороной 1 + 2 x 1/2 = 2, имеют площадь
равную 4. Их общая площадь равна 4 x 120 = 480, в то время как
искомая площадь равна 500. Следовательно, найдется точка, которая
не покрыта построенными квадратами, но это значит, что она удалена
от данных квадратов не меньше чем на по всем направлениям. Круг
радиуса с центром в этой точке не имеет общих точек ни с одним из
квадратов
25. Разделим и числитель, и знаменатель дроби на cos  . Получим
sin   10cos  tg  10 3  10


 1 .
2sin   cos  2tg  1 2  3  1
Ответ: 1 .
26. . ОДЗ уравнения:
совокупности
x  0;1 .
уравнений
Решение уравнения определится из
cos 4 x  0
 x  x2  0

1 n

x

 , n

8 4

. Первая
x0


x 1
только при n  0;1; 2; 3 .
с
учетом
ОДЗ.
Откуда
x
из ОДЗ
совокупность дает значения
Ответ: 6 решений.
 2  x  27
2  2  4  2 
 x  7
x





8
8
 
x 1
x 1
 x 1
 8 9
  
 9  9
2x
27. Преобразуем систему
.
28. Пусть
x
и
y
3 x
3
x   7;1
Ответ:
.
- количества машин, посланных соответственно из первого и
второго автохозяйств. Составим систему неравенств
 y  2x

y  2  x  2.
 x  y  16

Вычитая из первого неравенства второе, а затем – из третьего неравенства
x  4
. Этим неравенствам

x

6

удовлетворяет единственное натуральное значение x  5 . Подставляя это
второе, получаем
 2 x2
. Откуда

x

2

14

x

значение в первое и второе неравенства системы, получаем систему
неравенств для
 y  10
. Откуда y  9 .
y: 
y

9

Ответ: 5 и 9 автомашин.
29. Сделаем замену переменной
y  2 x . Тогда
y
1
y2
2
.
f  y 

y  3 2y  6
Вид функции не зависит от переменной, принятой для обозначения
аргумента. Поэтому
дает
x  4 .
f  x 
x2
x2
1
. Решение уравнения
2x  6
2x  6
Ответ: 4 .
30. Решим неравенство обобщенным методом интервалов, предварительно
установив
область определения неравенства
x  4, x  3 .
Корень
знаменателя: x  3 .
Корни числителя определяются из решения иррационального уравнения
 x0
 x0

2x  8  x  
   x  4  x  4 . Отложим корни
2
2 x  8  x
  x  2

на числовой оси и применим метод интервалов (см. Рис.1).
В результате получим:
x  (3; 4] .
Ответ:
x  (3; 4] .
31. Остаток числа при делении на 5 зависит от его последней цифры,
следовательно,
достаточно
определить
последнюю
цифру
310033100333100  810088100888100 .
100
последней цифрой 33
сказать про
100
8
,
Последняя
3100
100
, а также с последней цифрой 333
100
88
,
100
100
100
888
1000
последнюю цифру у 3 33 333
Нарисуем таблицу
n
цифра
3n
совпадает
с
. То же можно
. Будем, следовательно, определять
 810088100888100  3300  8300 .
Последняя цифра 3n
1
3
3
2
9
9
3
27
7
4
81
1
5
243
3
6
729
9
7
2187
7
8
6561
1
…
…
…
Как видно из таблицы, последние цифры 3n повторяются с периодом 4,
причина этого в том, что 3n  3n1  3 , следовательно, последняя цифра 3n
однозначно определяется последней цифрой
3n 1 . Так, если
3n 1
оканчивается на 1, то 3n оканчивается на 3, если 3n 1 оканчивается на 3, то
3n оканчивается на 9 и т.д.
Раз последние цифры чередуются с периодом 4, 3300 должно иметь ту же
последнюю цифру, что и, например, 34 . Следовательно, 3300 оканчивается
на 1.
Аналогично определяется последняя цифра 8300 . Последние цифры
степеней восьмерки чередуются следующим образом: 8, 6, 8, 6, … В
результате делаем вывод, что 8300 оканчивается на 6.
Итого, последняя цифра 3300  8300 равна 1 + 6 = 7. Окончательный ответ –
остаток при делении на 5 числа 310033100333100  810088100888100 равен двум.
Ответ: 2
32. Для решения задачи сначала произведем замену t = 3x. Уравнение примет
вид sin t  t (9 ) . Его количество корней совпадает с количеством корней
исходного уравнения, поэтому остановимся на поиске количества корней
нового уравнения. Нарисуем графики функций y = sin t и y  t (9 ) в одной
системе координат:
График функции y  t (9 ) проходит через точки A(  9 ; -1) и B( 9 ; 1).
Корни уравнения соответствуют точкам пересечения графиков функций. Из
рисунка видно, что пересечения следует искать только на отрезке [  9 ;
9 ]. Подсчет количества точек пересечения дает ответ: 19.
Ответ: 19
33. Перенесем знаменатель в правую часть. Следует не забыть проследить, чтоб
в ответе не оказалось корней, при которых знаменатель равен нулю. Итак:
x 1 1  2 x 1 1
.
В зависимости от возможных расположений x относительно точек 1 и –1
раскрываем внутренние модули:
x  1
1  x  1
1 x
( x  1)  1  2 (1  x)  1 
( x  1)  1  2 (1  x)  1 
( x  1)  1  2 ( x  1)  1 
 x 2  2 x
x  2 x 
x  2x2
x  2x 
0 x
Правый модуль в текущем
интервале  ;1 всегда
раскрывается одинаково.
Левый модуль раскрывается поразному в зависимости от двух
случаев:
Полученное уравнение,
очевидно, имеет единственно
решение: x = 0. Решение
находится как раз в интервале
[–1; 1]
Левый модуль в текущем
интервале 1; всегда
раскрывается одинаково.
Правый модуль раскрывается
по-разному в зависимости от
двух случаев.
x  2:
x  2:
 x  2  2( x)  x  2
x  2(2  x)  x  4 3
ответ не лежит в интервале
 ;2
ответ как раз лежит в
интервале [1; 2]
2  x:
2  x:
x  2  2( x)  x   2 3
x  2( x  2)  x  4
ответ не лежит в интервале
[–2, –1]
ответ как раз лежит в
интервале 2;
Итого после разбора случаев нашлось три ответа: 0, 4/3, 4. Ответ 0 отпадает,
т.к. при x = 0 знаменатель x  1  1  0 .
Ответ: 4/3, 4
Ответ: 4, 4/3
34. Условие задачи изображено на рисунке
Обозначим длину отрезка BC за a. Т.к. ABCD параллелограмм, то AD = a. Найдем длины BP
и PC.
1) BP + PC = a
2) BP / PC = 1/3
Решаем эту систему и находим, что BP = 1/4 a, PC = 3/4 a. Аналогично находим длины AQ и QD: AQ
= 2/5 a, QD = 3/5 a.
В трапеции ABPQ точка M лежит на середине боковой стороны AB, при этом MO||AQ, т.к.
MN – средняя линия в параллелограмме ABCD. Следовательно, MO – средняя линия в трапеции
ABPQ и ее длина может быть вычислена по формуле: MO = (BP + AQ) / 2 = (1/4 a + 2/5 a) / 2 = 13/40
a.
Аналогично, ON – средняя линия трапеции QPCD и ее длина вычисляется по формуле
ON = (PC + QD) / 2 = (3/4 a + 3/5 a) / 2 = 27/40 a.
Итак. MO / ON = 13 / 27.
Ответ: 13/27
35. Преобразуем выражение из условия задачи
cos( 2 x)  2 cos( x) 
 2 cos 2 ( x)  1  2 cos( x) 
 2t 2  2t  1
где t = cos(x). Квадратный трехчлен относительно t имеет положительный
старший коэффициент и, следовательно, принимает свое наименьшее значение
при t = t 0 – координата вершины. Вычислим t0  
b
2 1

 . Подставим
2a
22 2
1
3
в 2t 2  2t  1 , получим  . Итак, выражение из условия задачи при
2
2
1
3
cos(x) =
принимает свое наименьшее значение, равное  .
2
2
t  t0 
Ответ: -3/2
36. Рассмотрим функцию f(x) = arccos(cos(x)). Заметим, что f(x) периодична с
периодом
т.к.
2 ,
f ( x  2 )  arccos(cos ( x  2 ))  arccos(cos ( x))  f ( x) .
Вычислим несколько первых слагаемых требуемой суммы.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Сумма
arccos(cos (1 / 3))  1 / 3
arccos(cos (2 / 3))  2 / 3
arccos(cos (3 / 3))  3 / 3
arccos(cos (4 / 3))  2 / 3
arccos(cos (5 / 3))  1 / 3
arccos(cos (6 / 3))  0
этих шести слагаемых равна (1  2  3  2  1  0) / 3  3 . Далее слагаемые будут
повторятся, т.к. arccos(cos(x)) периодичная функция. Всего в сумме 300 слагаемых, период состоит
из 6 слагаемых, т.о. слагаемые разбиваются на 300/6 = 50 периодов. Сумма слагаемых в каждом
периоде 3 . Итого ответ 50  3  150 .
Окончательный результат следует не забыть поделить на
делить перед всей суммой.
 , которое написано как общий
Ответ: 150
37. Обозначим через N количество яблок у Василия, через f – количество друзей
Василия, которое пришло к нему вначале, через p – количество яблок,
которое досталось каждому другу вначале. Мы можем написать три
уравнения:
1) N = fp
пока не подошли два последних друга
2) N = (f + 1) (p – 15)
до того как подошел последний друг
3) N = (f + 2) (p – 15 – 9)
после того как подошли все друзья
Преобразуем все три уравнения, раскрыв скобки:
1) N = fp
2) N = fp – 15f + p – 15
3) N = fp – 24f + 2p – 48
Внимательный взгляд на полученное позволяет сделать вывод:
1) – 15f + p – 15 = 0
2) – 24f + 2p – 48 = 0
Из первого уравнения удается найти p = 15f + 15, подставляем это во второе уравнение,
– 24f + 2 (15f + 15) – 48 = 0  6f – 18 = 0  f = 3. Итак, вначале к Василию пришло 3 друга, т.е.
всего у него в конце было 5 друзей.
Найдем количество яблок N у Василия: p = 15f + 15 = 60, окончательно N = fp = 60 3 =180
Ответ: 180, 5
38. Скорость восстановления разметки равна 6 км/ч, за восьмичасовой рабочий
день можно восстановить 6  8  48 км дорожной разметки. Пусть города
находятся на некотором меньшем расстоянии, например 48 – x км. Начало
рабочего дня всегда начинается с восстановления разметки, по времени
восстановление никогда не будет занимать больше (48 – x) / 6 часов = 8 – x/6
часов. Значит, после восстановления разметки у рабочих есть еще минимум
x/6 часов для строительства нового участка дороги. Если скорость
строительства дороги u (не будем ее вычислять, хотя это возможно, раз нам
дано, что за первый рабочий день построено 2 км), то каждый день строится
минимум ux/6 километров. Ну а раз каждый день строится как минимум
некоторое определенное количество километров, в конце концов, дорога
будет построена.
Результат. Если расстояние между городами меньше 48 км, то между ними
будет построена дорога. Если расстояние между ними больше 48 км, дорога
никогда не будет построена, потому что рабочего дня не хватает даже на то,
чтобы восстановить разметку на участке дороги между городами.
Ответ: 48
39. Условие задачи изображено на рисунке:
Проведем BK параллельно CD. Заметим KD || BC, KB || DC, следовательно,
KBCD параллелограмм и KD = BC = 2 . AD – секущая параллельных прямых
BK и CD, следовательно  AKB =  ADC = 30°. Далее найдем длину отрезка
AK = AD – KD = 2 2  2  2 .
Боковую сторону AB теперь можно найти по теореме синусов для
треугольника ABK:



. При этом  ABK = 180° – 
sin  sin 
AKB –  BKA = 180° – 30° – 15° = 135°. И sin 135° =
2 2 . Теперь можно
найти AB, оно получается равным 1.
Ответ: 1
40. Воспользуемся формулами, получим:
(x + 1)!
2(x - 1)!
+
(x - 2)!·3!
= 7(x - 1);
(x - 4)!·3!
Проводим сокращение, умножаем обе части на 3!, получим
(x + 1)x(x - 1) + 2(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 3!·7(x - 1)
(x + 1)x + 2(x - 2)(x - 3) = 42
x2 + x + 2x2 - 10x + 12 = 42
x2 - 3x - 10 = 0
Решаем квадратное уравнение, получаем два решения: x = -2, x = 5. Но так как x согласно
условию задачи может быть лишь положительным, то получаем x = 5.
Ответ: x = 5.
41. Применяем формулы, получим:
x!
x!
-2
(x - 3)!
x!
=3
(x - 4)!·4!
(x - 2)!
Проводим сокращение дробей и умножаем обе части уравнения на 12:
12x(x - 1)(x - 2) - x(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 36x(x - 1)
12(x - 2) - (x - 2)(x - 3) = 36
12x - 24 - x2 + 5x - 6 - 36 = 0
x2 - 17x + 66 = 0
Решаем квадратное уравнение и находим два решения: x1 = 11, x2 = 6.
Ответ: x = 11 или x = 6.
42. Воспользуемся методом математической индукции.
1. База индукции.
При k = 1,
= 2cosπ/4. Утверждение верно.
2. Переход индукции.
Допустим при неком k = n (n ∈ N) выражение
истинно. Докажем, что оно верно и при k = n + 1, т.е.
Но так как (исходя из истинности перехода индукции)
то нам нужно доказать следующее утверждение:
= 2cosπ/2n+2.
Делаем преобразования:
2 + 2cosπ/2n+1 = 4cos2 π/2n+2.
Для доказательства этого равенства воспользуемся формулой понижения степени
косинуса 2cos2x = cos2x + 1. Тогда
4cos2 π/2n+2 = 2(cosπ/2n+1 + 1) = 2cosπ/2n+1 + 2. Что и требовалось доказать.
Переход доказан, а потому исходное утверждение верно при любом n ∈ N.
43. Воспользуемся следующим равенством:
1
/k - 1/(k + 1) = 1/k·(k + 1).
Тогда нашу сумму можно переписать в следующем виде:
1
/1·2 + 1/2·3 + ... + 1/n·(n + 1) = 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ... + 1/n - 1/(n + 1) = 1 - 1/(n + 1).
Ответ: 1 - 1/(n + 1).