Бутылка Клейна

Реферат на тему:
Бутылка Клейна
План:
Введение




1 Свойства
2 Рассечения
3 Параметризация
4 Бутылка Клейна в культуре
Примечания
Введение
Бутылка Клейна, погружённая в трёхмерное пространство.
Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность (то есть двумерное
многообразие). Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком
Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название,
по одной версии, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche
(поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).
По другой версии, название обязано тому обстоятельству, что простейшее наглядное
изображение данной поверхности в пространстве напоминает по форме бутылку.
Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с двумя
отверстиями: в донышке и в стенке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его
через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном
пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном
евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки.
В отличие от обыкновенного стакана у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко
заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не
пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет
«снаружи»).
Более формально бутылку Клейна можно получить склеиванием квадрата
идентифицируя точки (0,y) ~ (1,y) при
и (x,0) ~ (1-x,1) при
показано на диаграмме.
,
, как
1. Свойства




Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым
неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна
является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.
Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное
евклидово пространство
, но вкладывается в
.
Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю.
Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве
сделать это, не создав
самопересечения, невозможно.
Хроматическое число поверхности равно 6.
2. Рассечения
При рассечении бутылки Клейна получается лента Мёбиуса
Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки
Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет
лента Мёбиуса, изображенная справа (необходимо помнить, что изображенного
пересечения на самом деле нет).
3. Параметризация
Бутылка Клейна в виде восьмёрки имеет довольно простую параметризацию:
В этом виде самопересечение имеет форму геометрического круга в плоскости XY.
Константа r равна радиусу круга. Параметр u задаёт угол на плоскости XY и v обозначает
положение около 8-образного сечения.
4. Бутылка Клейна в культуре
Стеклянная бутылка Клейна






Изредка встречается сувенир в виде стеклянной бутылки Клейна. Для изготовления
такой бутылки нужен стеклодув высокой квалификации. В том месте, где бутылка
пересекает сама себя, приходится оставлять отверстие, чтобы внутреннее
пространство бутылки не было изолированным.
В сериале «Футурама» в серии «The Route of All Evil» на полке показано пиво
Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна.
В рассказе математика и писателя Мартина Гарднера «Остров пяти красок» в
бутылке Клейна исчезает один из героев произведения.
В рассказе писателя Дэна Шорина «Бутылочка профессора Клейна», входящем в
межавторский цикл Южная Пристань в качестве сюжетообразующего элемента
рассматривается гомеоморфность бутылки Клейна.
В книге Александра Митича "Игра в поддавки" герои попадают в пространство,
подобное бутылке Клейна
Юмористическое стихотворение Виктора Лебедева
Два математика в саду
Справляли день рожденья.
Один принес с собой еду,
Другой – бутылку Клейна.
Один спросил: «Как пить вино
Когда бутыль двумерна?
Ведь верхом тут зовется дно,
И стенок нет, наверно?»
Другой ответил: «Не робей,
И выпей-ка в охотку!
Сказал мне Мёбиус, что в ней
Вино покрепче водки.»
Послушал друга наш бедняк,
Поднес к губам посуду...
Куда он вдруг пропал и как,
Рассказывать не буду.

В декабре 2008 года в Санкт-Петербурге вышел сборник абсурдистской прозы и
поэзии из серии Петраэдр под названием «За бутылочкой Клейна»[1].
Примечания
1. Список произведений и авторов - www.fantlab.ru/edition29046