по векторной алгебре, линейным пространствам и операторам

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1. Доказать тождество:
( x , a ) ( x , b) ( x , c )
а) ( a, b, c )  ( x , y, z )  (y, a) ( y, b ) ( y, c ) ;
( z, a ) ( z, b ) ( z, c )
( a, a ) ( a, b ) ( a, c )
б) ( a, b, c )  (b, a) ( b, b ) ( b, c ) .
( c, a ) ( c, b ) ( c, c )
2
a1 a2 a3
2. Доказать, что b1 b2 b3  ( a12  a22  a32 )  ( b12  b22  b32 )  ( c12  c22  c32 )
c1 c2 c3
3. Даны ненулевой вектор a и скаляр p . Найти любое решение уравнения ( x , a )  p . (Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной; так как требуется найти любое решение, то одну из этих характеристик можно выбрать произвольно).
Ответ: x  pa / | a |2 .
4. Даны два вектора a и b . Представить вектор b в виде суммы двух
векторов x и y , так, чтобы вектор x был коллинеарен вектору a , а
вектор y был ортогонален вектору a .
5. Даны два неколлинеарных вектора a и b . Найти вектор x , компланарный векторам a и b и удовлетворяющий условиям ( a, x )  1,
( b, x )  0 .
6. Даны три некомпланарных вектора a , b и c . Найти вектор x , удовлетворяющий системе уравнений ( a, x )   , ( b, x )   , ( c, x )   .
 [b, c ]   [c, a ]   [a, b]
Ответ: x 
.
( a, b, c )
7. Даны неколлинеарные векторы a и b и скаляр p . Найти любое решение уравнения ( x , a, b)  p . (Подсказка: вектор характеризуется
направлением и длиной; так как требуется найти любое решение, то одну из этих характеристик можно выбрать произвольно).
Ответ: x  p[a, b] / | [a, b] |2 .
1
8. Доказать, что векторы a , b , c ,
[a, b]  [b, c ]  [c, a ]  0 , компланарны.
удовлетворяющие условию
9. Векторы a , b и c удовлетворяют условию a  b  c  0 . Доказать,
что [a, b]  [b, c]  [c, a].
10. Доказать, что если три вектора a , b и c попарно неколлинеарные и
[a, b]  [b, c]  [c, a], то они удовлетворяют соотношению a  b  c  0 .
(Подсказка: покажите сначала, что векторы a , b и c компланарны).
11. Даны произвольные векторы p , q , r , n . Доказать, что векторы
a  [p, n] , b  [q, n] и c  [r, n] компланарны.
12. Доказать, что если векторы [a, b] , [b, c] , [c, a] компланарны, то они
коллинеарны.
130. Три вектора a , b и c связаны соотношением a  [b, c], b  [c, a] ,
c  [a, b]. Найти длины векторов и углы между ними.
Ответ: векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину.
14. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням тетраэдра,
равных по модулю площадям этих граней и направленных в сторону
вершин, противолежащих граням, равна нулю.
15. Могут ли отличные от нуля числа x 1 , x 2 , x 3 , y1 , y 2 , y 3 , z1 , z 2 . z3
удовлетворять системе уравнений
x 1x 2  y1 y 2  z1z2  0
x 1x 3  y1 y 3  z1z3  0

x 3 x 2  y 3 y 2  z3 z 2  0

 x 1 y1 z1
 x 2 y2 z2  0
 x 3 y 3 z3
16. Даны три некомпланарных вектора OA  a , OB  b , OC  c , отложенных от одной точки O . Выразить через a , b и c вектор OH ,
где H – ортогональная проекция точки O на плоскость ABC .
( a, b, c )
 [b, c ]  [c, a ]  [a, b] .
Ответ: OH 
([b, c ]  [c, a ]  [a, b])2
2
17. Решить уравнение [b, c ]x  [c, a ]y  [a, b]z  d  0 .
Ответ: x  ( d, a ) /( a, b, c ) , y  ( d, b) /( a, b, c ) , z  ( d, c ) /( a, b, c ) .
18. Доказать тождество ([a, b],[c, d]) 
( a, c ) ( a, d )
.
( b, c ) ( b, d )
19. Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на векторах a
( a, a ) ( a, b )
и b равна
.
S
( b, a ) ( b, b)
20. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b
и c равен
( a, a ) ( a, b ) ( a, c )
V  (b, a) ( b, b) ( b, c ) .
( c, a ) ( c, b) ( c, c )
3
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
1. Какие из следующих множеств образуют подпространства линейного
пространства ℝ n :
а) M 1  { (1,2 ,, n ) |1  2     n  0};
б) M 2  { (1,2 ,, n ) |1  2     n  1} ;
в) M 3  { (1,2 ,, n ) | n  0} ;
г) M 4  { (1,2 ,, n ) |1  1} ;
д) M 5  { (1,2 ,, n ) |1   n };
е) M 6  { (1,2 ,, n ) |1   n  0} ;
ж) M 7  { (1,2 ,, n ) |1   n  0};
з) M 8  { (1,2 ,, n ) |1  2     n  0}
и) M 9  { (1,2 ,, n ) |2   4   6    0};
к) M 10  { (1,2 ,, n ) |1  2     n } ;
л) M 11  { (1,2 ,, n ) |2   4   6  };
м) M 12  { (1,2 ,, n ) | i ℤ, i } .
2. Какие из следующих множеств образуют подпространство линейного
пространства V ( 3 ) :
а) множество свободных векторов пространства, координаты которых в
декартовом базисе – целые числа;
б) множество свободных векторов пространства, параллельных оси Ox ;
в) множество радиус-векторов, концы которых лежат на фиксированной
прямой;
г) множество радиус-векторов, концы которых лежат в первой и третьей
четверти;
д) множество векторов, образующих с данным ненулевым вектором угол
.
3. В линейном пространстве ℝ n [x ] рассматриваются множества многочленов, удовлетворяющих условиям:
а) f ( 0)  0 ; б) f (1)  0 ;
в) f ( 0)  f (1)  0 .
Докажите, что каждое из этих подмножеств является подпространством
линейного пространства ℝ n [x ] и найдите его размерность.
4. Докажите, что пересечение двух подпространств линейного пространства снова является подпространством этого пространства.
5. Пусть L 1 и L 2 – подпространства линейного пространства L . Суммой подпространств L 1 и L 2 (обозначают L 1  L 2 ) называется под4
множество L , элементы которого могут быть записаны в виде x1  x 2 ,
где x1  L 1 , x 2  L 2 . Доказать, что L 1  L 2 тоже является подпространством линейного пространства L .
6. Пусть x , y – векторы линейного пространства,  ,  – числа. Доказать,
что  x   y   x   y тогда и только тогда, когда    или x  y .
7. Доказать, что если некоторая подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и сама система линейно зависима.
8. Доказать, что если система векторов линейно независима, то и любая ее
подсистема линейно независима.
9. Может ли система векторов быть линейно зависимой, если любая ее
подсистема линейно независима?
10. Пусть x , y , z – линейно независимая система векторов. Будет ли линейно независимой система векторов x  y , y  z , z  x ?
Ответ: нет.
11. Пусть x , y , z – линейно независимая система векторов. Доказать, что
векторы x , x  y , x  y  z также линейно независимы.
12. Доказать, что если векторы x , y и z линейного пространства над ℝ
линейно независимы, то векторы x  y , x  z , y  z тоже линейно независимы.
13. Какому условию должно удовлетворять число  , чтобы векторы
a 1  ( ,1,0 ) , a 2  (1, ,1) , a 3  ( 0,1, ) пространства ℝ3 были линейно зависимыми?
Ответ:  3  2  0 .
14. Какому условию должны удовлетворять числа  ,  ,  , чтобы векторы a1  (1, , 2 ) , a 2  (1,  ,  2 ) , a 3  (1, , 2 ) пространства ℝ3 были
линейно зависимыми?
Ответ: хотя бы два из трех чисел  ,  ,  должны быть равны.
5
15. Векторы a 1 , a 2 , a 3 – линейно зависимы и вектор a 3 не является линейной комбинацией векторов a 1 , a 2 . Доказать, что векторы a 1 и a 2
различаются лишь числовым множителем.
16(*). Исследовать на линейную зависимость систему векторов:
а) e x , e2 x , e3 x ( x  ( ; ) );
б) e x , shx . chx ( x  ( ; ) );
1
в) , x , 1 ( x ( 0;1) );
x

г) 1, tgx , ctgx ( x   0;  ).
 2
17. Доказать, что линейный оператор пространства L всегда переводит
линейно зависимую систему векторов в линейно зависимую.
18. Докажите, что если x и y – собственные векторы линейного оператора  , относящиеся к различным собственным значениям, то вектор
 x   y (   0 ,   0 ) не является собственным вектором оператора
.
19. Пусть  – оператор, действующий из L в V . Ядром оператора 
называется множество Ker   {x  L | x  o}. Доказать, что ядро оператора является подпространством линейного пространства L .Найти ядро
оператора дифференцирования в пространстве многочленов.
20. Доказать, что если  – линейный оператор, то  o  o .
6