Функциональные уравнения – знакомые незнакомцы

Функциональные уравнения – знакомые незнакомцы
Функциональные уравнения! Раз уравнение, значит, должно быть равенство. Но что должно включать
равенство, чтобы уравнение называлось функциональным? Вообще говоря, определение
функционального уравнения довольно сложное, это одно из основных понятий интенсивно
развивающейся области математики – функционального анализа. Понятно, что у нас не хватит знаний
для глубокого изучения функциональных уравнений. Но кое в чём мы сможем разобраться.
Под функциональным уравнением будем понимать уравнение, в котором нужно найти
неизвестную функцию, связанную с известными функциями при помощи образования
сложной функции. С простейшими функциональными уравнениями Вы уже встречались.
Например, уравнение
функция.
. Решением этого уравнения является любая чётная
Познакомимся со способами решения функциональных уравнений на конкретных
примерах.
Задача 1. Найдите все функции, определённые на
, удовлетворяющие условию
.
Пусть
- некоторое действительное число. Тогда
. Отсюда
или
или
. Из этого видно, что, если функции
то их графикам будут принадлежать точки
функциями будут функции
и
или
существуют,
. Понятно, что такими
, но не только они!!! Например, функция
также является решением уравнения.
Решением будет являться и функция
Это знаменитая функция Дирихле, с которой Вы ещё не раз встретитесь, изучая высшую
математику.
Можете сконструировать ещё несколько функций-решений данного функционального
уравнения.
Окончательный ответ будет звучать так:
- всякая, определённая на
двух прямых
и
функция, график которой принадлежит объединению
.
Задача 2. Найдите функцию
удовлетворяющую условию
число.
, определённую на множестве натуральных чисел,
, где
- некоторое действительное
Будем решать это уравнение по схеме, которая в математике называется методом Коши.
1.
Найдём
выражения
для
Получим
,
,
.
2. Этот “эксперимент” подсказывает, что
, где
3. Проверим, действительно ли выполняется равенство
Применим для доказательства метод математической индукции.
1. Проверим, выполняется ли равенство при
2.
Предположим,
что
равенство
верно
.
, где
.
- верно.
:
при
,
где
,
т.е.
- верно.
3. Докажем, что из этого следует равенство для
получим
или
Значит, равенство верно для любого натурального
. Т.к.
, то при
;
.
. Таким образом, решением заданного
функционального уравнения будет функция
число.
, где
- произвольное
Надеюсь, Вы узнали в этой функции давнюю знакомую – бесконечную арифметическую прогрессию.
Попробуйте сами составить функциональное уравнение, решением которого будет
геометрическая прогрессия. Если не сможете, не огорчайтесь, попробуйте “увидеть” это
уравнение в одной из задач для самостоятельной работы.
Рассмотрим ещё один метод решения функциональных уравнений – метод подстановки.
Он заключается в подстановке вместо переменных их некоторых значений, позволяющих
найти функцию
.
Задача 3. Найдите все функции, определённые на множестве
удовлетворяющие соотношению
Придадим
значение
Отсюда
Получим систему
,
.
. Получим
.
.
Из уравнения (1) выразим
и подставим в уравнение (2).
;
;
Отсюда
Проверим,
;
действительно
ли
функция
;
удовлетворяет
.
уравнению
.
- верно.
Ответ:
.
Решим ещё одно функциональное уравнение методом Коши.
Задача 4. Найдите все непрерывные функции (график таких функций можно
изобразить, не отрывая карандаша от бумаги), удовлетворяющие условию
.
Будем находить решение функционального уравнения постепенно, т.е. сначала найдём его
решение, если является натуральным числом, затем – целым, потом рациональным и,
наконец, - действительным.
1.
Пусть
. Тогда
2.
При
3.
Докажем методом математической индукции, что при натуральных значениях
.
, получим
,
(докажите это самостоятельно!)
4.
При
Значит, для
5.
получим
, имеем
Положим в равенстве (1)
или
,
. (1)
.
- постоянное число. Обозначим его через
.
.
, где
, получим
. Обозначив
. Отсюда
через
, получим
. Значит, при положительном и рациональном
Предполагая, что функция
6.
7.
- непрерывна, получим
Возьмём в равенстве
Отсюда
, при
.
,
.
. Получим
.
.
Возьмём в этом равенстве
Т.к.
мы получим
, то
. Получим
или
, т.е.
решением уравнения будет функция
.
. Итак, для любого действительного
.
Ответ:
Замечание. Уравнение
называется уравнением Коши.
Ещё один способ решения функциональных уравнений заключается в использовании
функциональных уравнений с известным решением.
Задача 5. Найдите непрерывные функции
, удовлетворяющие условию
. (1)
Попробуем
свести
это
уравнение
к
функциональному
с непрерывным решением
уравнению
. Пусть
. Так как
- постоянное число, обозначим его через
значение
. Получим
Коши
, тогда
и получим
.
Придадим теперь
. Из уравнения (1)
получим
или
(2). Решением уравнения (1) является функция
Значит, решением уравнения (2) будет функция
Ответ:
.
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Запишите несколько решений функционального уравнения
а)
;
.
б)
.
2. Укажите все функции
с
, удовлетворяющие следующему условию:
.
3. Решите задачу 2, если функции–решения задачи обладают дополнительными
свойствами:
а) непрерывностью в каждой точке своей области определения;
б) непрерывностью и чётностью;
в) непрерывностью и нечётностью.
4. Решите функциональные уравнения:
а)
б)
.
5. Найдите все функции, определённые на множестве
тождество
, для которых выполняется
.
6. При каких значениях
существует функция
, для которой справедливо тождество
?
7. Найдите
.
8.
, если для всех
имеет место соотношение
определена при всех действительных значениях
. Найдите
.
и удовлетворяет условию