Задача №1 Дано: Найти: (C+7) / (C+4). такие целые числа С при которых дробь является целым числом. Решение. Числитель больше знаменателя на 3. При прибавлении к числителю и знаменателю любого натурального числа и 0, числитель всегда будет больше знаменателя на 3. Это значит данная дробь не может быть целым числом, если С будет натуральным числом и 0. Выяснили, что С не может быть ни натуральным числом ни 0. Рассмотрим отрицательные числа от -1 до -∞. Рассматриваем С= -1: (-1+7)÷( -1+4) = 6 ÷ 3 = 2. Получилось число целое, значит С=-1 подходит. Рассматриваем С = -2: (-2 + 7) ÷ (-2+ 4) = 5÷2=2,5. Получилось нецелое число, С=-2 не подходит. Рассматриваем С=-3: (-3 + 7) ÷ ( -3 + 4) = 4. Число целое, значит С=-3 подходит. Рассматриваем С=-4: (-4+7)÷(-4+4)=0. Не получается при С=-4. На 0 делить нельзя. Рассматриваем С=-5: (-5 + 7) ÷ (-5 + 4) = -2. Получается целое число, С=-5 подходит. Рассматриваем С=-6: (-6+7)÷ (-6 + 4)= -0,5. Не подходит С=-6, не целое число получилось. Рассматриваем С=-7: (-7 + 7) ÷ (-7 + 4)=0. Подходит С=-7. Рассматриваем С=-8: (-8 + 7) ÷ (-8 + 4)=1/4. С=-8 не подходит т.к. получилась дробь. Рассматриваем С=-9: (-9 + 7) ÷ (-9 + 4) = 2/5. С=-9 не подходит т.к. опять дробь получилась. Если рассматривать и дальше то разница между числителем и знаменателем останется неизменной и будет равна 3, а это никогда не даст целого числа при делении, значит остальные отрицательные числа отбрасываем как неподходящие к нашим заданным условиям. Ответ: С принадлежит к множеству {-1; -3; -5; -7}. Задача №2. Дано: Найти: Первый школьник купил пенал и ластик Сколько заплатил четвертый Заплатив 40 руб. школьник-х ? Второй школьник купил ластик и карандаш Заплатив 12 рублей. Третий школьник купил пенал, карандаш и две тетради заплатив 50 рублей. Четвертый купил пенал и тетрадь. Решение. Обозначим пенал - п, ластик - л, карандаш - к и тетрадь – т. Составим систему уравнений. п+л=40, л+к=12, п+к+2т=50, п+т=х. Из первых двух равенств системы найдем п. Для этого из первого равенства вычтем второе равенство системы. ( п + л ) - ( л + к )= 40 – 12, п + л – л – к = 28, п – к = 28. Из третьего равенства системы выразим т. п + к + 2т = 50, а так как п = к + 28, то к + 28 + к +2т = 50, 2к +2т =50 – 28, 2к + 2т =22, к +т =11, т=11 – к. Подставим в четвертое равенство системы значения п и т. п + т =х, (к + 28) +(11 – к) =х, 28 + 11 =х, х = 39. Ответ: 39 рублей заплатил четвертый школьник. Задача№3 Дано: Найти: число 56. 2 слагаемых числа 56, так чтобы 1/3 первого слагаемого была равна 1/4 второго слагаемого. Решение. Пусть первое слагаемое будет х, второе слагаемое будет y. Составим систему уравнений. x + y = 56, x/3 = y/4. Во втором уравнении системы найдем х: x= 3у/4. Найденный х подставим в первое уравнение: 3y/4+у=56, 3у/4+у=56, 7у/4=56, у=56×4÷7, у=224÷7, у=32. Из первого равенства системы найдём х: х=56-у, х=56-32, х=24. Проверяем по второму уравнению системы уравнений, подставляя х и у: 24/3=32/4. Получилось. Ответ: Число 56 разложено на 2 слагаемых 24 и 32 так, что 1/3 первого слагаемого равна ¼ второго слагаемого. Задача №4. Дано: Найти: числа a, b, c, так что число а составляет 80% числа b, Числа a,b,c. число c составляет 140% числа b и число с˃а на 72. Решение. 1) 140-80=60%, на 60% с˃а. 2) 72÷60=1.2, составляет 1%, 3) 1.2 ∙ 80=96, число а, 4) 1.2 ∙ 140 = 168, число с, 5) 168÷140∙100=120, число b. Ответ: a=96, b=168, c=120. Задача №5. Дано: Найти: Поезд проходит мимо светофора за 5 длину и скорость поезда. секунд , а мимо платформы длинной 150 метров за 15 секунд. Решение. Отсчет времени проезда платформы длинной 150 метров начинается по пересечении первым вагоном одного края платформы, а заканчивается по пересечении последним вагоном другого края платформы. Значит из 15 секунд за которые поезд прошёл платформу, нужно вычесть 5 секунд которые он затратил на прохождение мимо дальнего конца платформы всей длинны поезда. Это время можно взять из прохождения поезда мимо светофора, а оно равно 5 секундам. 15-5=10 сек. За это время поезд проходит 150 метров. Узнаём сколько метров за секунду проходит поезд путём деления на 10 и затраченные секунды и пройденные метры: если поезд проходит 150 метров за 10секунд, то 15 метров поезд проезжает за 1 секуну. Скорость поезда равна 15 м/с. Мимо столба , от начала первого до конца последнего вагона, он ехал 5 секунд, значит: 5 ∙ 15=75 м. Длинна поезда. В часе 3600 секунд, в километре 1000 метров, отсюда: 15∙3600÷1000=54км/ч. Скорость поезда. Ответ: длинна поезда 75 метров, скорость поезда 54 км/ч. Задача№6 Найти: Наименьшее число записываемое одними единицами которое делилось бы на число 3333….3(сто троек). Сумма цифр в этом числе равна 3∙100=300. Теперь если это число разделить на 1 то получится наименьшее количество единиц в числе которое делится на 333…3(сто троек). 300÷1=300. Получается 1111….1 (триста единиц) Ответ: наименьшим числом записываемым одними единицами которое делилось бы на число 3333…..3(сто троек) является 1111…1(триста единиц). Задача №7. Дано: Найти: два катера с одинаковой скоростью в стоячей в какой реке на воде . Катера проходят одинаковое расстояние поездку потребуется по течению и возвращаются, каждый по своей больше времени, в реке, течение одной реки медленнее течения реке с быстрым или другой реки. медленным течением. Решение: Пусть скорость катера в стоячей воде будет V. Пусть скорость течения медленной реки будет VТМ. Пусть скорость течения быстрой реки будет VТБ. Допустим, что VТБ ≥ V , тогда катер который едет по реке с быстрым течением вообще не сможет вернутся. Ответ: катер идущий по реке с медленным течением не только вернется назад но и сделает это первым, а катер идущий по реке с быстрым течением может вообще не вернутся обратно. Задача №8 Дано : пятизначное число 42х4у, Найти: х, у. это кратно 72. Решение. Раскладываем число 72 на два множителя: 72=8 ∙ 9. Признак делимости на 9 – сумма цифр числа делится на 9. Признак делимости на 8 – число образованное его тремя последними цифрами делится на 8. Число делящиеся на 8 заканчивается на чётное число или 0. Значит у может быть только цифрами 0,2,4,6,8, а х может быть любой цифрой от 0-9. Рассмотрим у=0: если у=0 то по признаку делимости на 8 и на 9, х у числа 42х4у может быть равен только 8 т.к.: числа 42040, 42140, 42240, 42340, 42440, 42540, 42640, 42740, 42940 не делятся на 9, а вот число 42840 отвечает признакам делимости на 8 и на 9. Рассмотрим у=2: числа 42042,42142, 42242, 42342, 42442, 42542, 42642, 42742, 42842, 42942 не делятся на 8 и 9 одновременно, значит они не подходят. Рассмотрим у=4: числа 42044,42144, 42244, 42344, 42444, 42544, 42644, 42744, 42844, 42944 не делятся на 8 и 9 одновременно, значит они не подходят. Рассмотрим у=6: числа 42046,42146, 42246, 42346, 42446, 42546, 42646, 42746, 42846, 42946 не делятся на 8 и 9 одновременно, значит они не подходят. Рассмотрим у=8: если у=8 то по признаку делимости на 8 и на 9, х у числа 42х4у может быть равен только 0 т.к.: числа 42148, 42248, 42348, 42448, 42548, 42648, 42748, 42848, 42948 не делятся на 9, а вот число 42048 отвечает признакам делимости на 8 и на 9. Проверяем: 42840÷72=592 получилось, 42048÷72=584 получилось. Ответ: цифра х=8, если у=0 для числа 42840 и цифра х=0 если у=8 для числа 42048. Задача №9. Дано: Найти: 411 цифр нумерации страниц учебника. Сколько страниц в учебнике? Решение. Для нумерации 9 страниц, с первой страницы по девятую страницу нужно 9 цифр. Для нумерации 90 страниц, с десятой страницы по девяносто девятую страницу необходимо две цифры на одну страницу, поэтому: (99-9) ∙ 2=180 цифр необходимо для нумерации 90 страниц с 9 по 99 страницы. На страницы для нумерации которых необходимо три цифры из 411 цифр остаётся: 411-(180+9) = 222 цифры. 222÷3=74, страницы пронумерованы тремя цифрами. Складываем количества страниц с одной цифрой в нумерации страницы, с двумя цифрами в нумерации страницы и с тремя цифрами в нумерации страницы: 9+90+74=173 страницы в учебнике. Ответ:173 страницы в учебнике. Задача№10 Найти. Сколько бабушек и прабабушек было у моих прабабушек и прадедушек. Решение. У меня 4 прабабушки и 4 прадедушки. У каждого из них по 4 прабабушки и по 2 бабушки. Умножаем (4+4)∙(4+2)=48 прабабушек и бабушек было у моих прабабушек и прадедушек. Ответ:48 прабабушек и бабушек было у моих прадедушек и прабабушек. сне менат еле м