Дифференциальные и разностные уравнения Конспект лекционного материала для направления подготовки

МУРМАНСКАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
Дифференциальные и разностные уравнения
Конспект лекционного материала
для направления подготовки
080500.62(Ф) «Бизнес-информатика»
Мурманск
2013
Дифференциальные и разностные уравнения: конспект лекций по
дисциплине для обучающихся по направлению подготовки 080500.62(Ф)
«Бизнес-информатика» / сост. преподаватель кафедры общественных и естественных наук И.Н.Грант. – Мурманск: МАЭУ, 2013. – 66с.
 Мурманская академия
экономики и управления, 2013
2
Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях.
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n – го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида
F ( x, y, y , y ,..., y ( n ) )  0
(1.1),
где F – заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает, что в них
входят производные
y, y,..., y ( n )
(функции, образованные как результат
дифференцирования); термин – «обыкновенное» говорит о том, что искомая
функция зависит только от одного действительного аргумента.
Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном
виде аргумент x, искомую функцию y (x) и любые ее производные, но стар(n)
шая производная y ( x) обязана входить в уравнение n-го порядка. Напри-
мер
а) y   y  e x – уравнение первого порядка;
б)
1
y   y y  x  7  0 – уравнение третьего порядка.
x 1
При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:
d2y
dy
 ( x 2  1)  0 – уравнение второго порядка;
в)
2
dx
dx
г) x 2 dy  ( x  1) ydx  0 – уравнение первого порядка,
образующее после деления на dx эквивалентную форму задания уравнения:
x 2 y  ( x  1) y  0 .
Функция
 (x ) называется решением обыкновенного дифференциального
уравнения, если при подстановке в него y   ( x), y   ( x),..., y ( n )   ( n ) ( x) оно
обращается в тождество.
Например, уравнение 3-го порядка
3
x
y   2 y   y   3 y  e  x  2  0 имеет решение  ( x)  e 
2
.
3
Найти тем или иным приемом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение – значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.1) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим
решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, причем число констант совпадает с порядком уравнения: y  y( x, C1 , C2 ,..., C n ).
Общее решение может быть, и не разрешено явно относительно y(x):
( x, y( x), C1 , C2 ,..., Cn )  0. В этом случае решение принято называть общим
интегралом уравнения (1.1).
Например, общим решением дифференциального уравнения y   x являетx4
x2
 C1
 C 2 x  C3 , причем
ся следующее выражение: y  y( x, C1 , C 2 , C3 ) 
24
2
второе слагаемое может быть записано и как
~
C1 x 2 ,
так как произвольная
постоянная C1 , делённая на 2, может быть заменена новой произвольной по~
стоянной C1 .
Задавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в
общем решении или в общем интеграле, получаем определенную функцию,
уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1). Для отыскания значений произвольных постоянных, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при
x  x0 : y ( x0 )  y 0 ; y ( x0 )  y 0 ;... y ( n 1) ( x0 )  y 0( n 1)
(1.2)
В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причем, общее число начальных условий равно числу
определяемых произвольных констант.
4
Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям
называется задачей Коши.
Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка – основные
понятия.
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (n=1) имеет вид:
F ( x, y, y)  0 или, если его удается разрешить относительно производной:
y   f ( x, y ) . Общее решение y=y(x,С) или общий интеграл ( x, y ( x), C )  0
уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка y ( x0 )  y0 позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение или, что тоже, будет
решена задача Коши. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности,
справедлива теорема, принимаемая здесь без доказательства.
Теорема 2.1. Если в уравнении y   f ( x, y ) функция f ( x, y ) и ее частная
производная
df ( x, y )
непрерывны в некоторой области D плоскости XOY , и
dy
в этой области задана точка ( x0 , y0 ) , то существует и притом единственное
решение
 (x ) , удовлетворяющее как уравнению
y   f ( x, y ) , так и началь-
ному условию  ( x0 )  y0 .
Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой
семейство кривых на плоскости XOY, не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C. Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения y   f ( x, y ) обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке ( x0 , y0 ) тангенс угла наклона касательной к
кривой равен значению правой части уравнения в этой точке: tg  f ( x0 , y0 ) .
5
Другими словами, уравнение y   f ( x, y ) задается в плоскости XOY поле
направлений касательных к интегральным кривым. Замечание: Необходимо
отметить,
что
к
уравнению
y 
dy
 f ( x, y )
dx
приводится
уравнение
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 и так называемое уравнение в симметрической
форме
dx
dy

.
X ( x, y ) Y ( x, y )
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида y   f ( x ) g ( y )
(3.1)
или уравнение вида f1 ( x) g1 ( y)dy  f 2 ( x) g 2 ( y)dx  0
(3.2)
Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это
уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными,
произвести следующие действия:
dy
dy
 f ( x) g ( y);
 f ( x)dx; g ( y )  0
dx
g ( y)
dy
 g ( y)  f ( x)dx  C ;
Теперь надо решить уравнение g(y)= 0. Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).
Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение f1 ( x) g 2 ( y)  0 :
g1 ( y )
f ( x)
dy  2
dx  0 , что позволяет получить общий интеграл уравнеg 2 ( y)
f 1 ( x)
ния (3.2):

g1 ( y )
f ( x)
dy   2
dx  C .
g 2 ( y)
f1 ( x )
(3.3)
Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями f1 ( x)  0, g 2 ( y)  0 ,
если такие решения существуют.
Пример.
6
Решить уравнение: x 2 ( y  1)dx  ( x 3  1)( y  1)dy  0 .
Решение.
Разделяем переменные:
x2
y 1
dx 
dy  0;
3
y 1
x 1
Интегрируя, получаем
x 3  1  0; y  1  0 .
1
ln x 3  1  y  2 ln y  1  C
3
3
Далее из уравнений x  1  0 и y  1  0 находим x=1, y=-1. Эти решения –
частные решения.
Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Определение 1. Уравнение 1-го порядка y   f ( x, y ) называется однородным, если для его правой части при любых
 0
справедливо соотношение
f (x,y )  f ( x, y ) , называемое условием однородности функции двух пере-
менных нулевого измерения.
x 2  xy  y 2
) - однородная нулевого
Пример 1. Показать, что функция f (
y2  x2
измерения.
 (x) 2  (x)(y)  (y) 2 
 2 x 2   2 xy   2 y 2
)
Решение. f 
 f(
(y) 2  (x) 2
 2 y2  2 x2


 2 ( x 2  xy  y 2 ) 
x 2  xy  y 2
 f
),
 f(
2
2
2
y2  x2
  (y  x ) 
 0,
что и требовалось доказать.
y
Теорема. Любая функция F ( x, y )  f ( ) - однородна и, наоборот, любая одx
y
нородная функция F ( x, y ) нулевого измерения приводится к виду f ( ) .
x
Доказательство.
7
Первое утверждение теоремы очевидно, т.к. f (
утверждение.
Положим

1
,
x
тогда
y
y
)  f ( ) . Докажем второе
x
x
для
однородной
функции
y
y
F ( x, y )  F (x,y )  F (1, )  f ( ) , что и требовалось доказать.
x
x
Определение 2. Уравнение M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
(4.1)
в котором M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. облаm
дают свойством f (x,y)   f ( x, y) при всех
 , называется однородным.
Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду
dy
y
 ( )
dx
x
(4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле y=zx, где z(x) –
новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим: z x  z   (z ) или x
1
dx
dz
dz  .
  ( z )  z   0 или
 ( z)  z
x
dx
Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции z(x)
dz
y
  ( z)  z  ln x  C , который после повторной замены z  x дает общий
интеграл исходного уравнения. Кроме того, если z i - корни уравнения
 ( z )  z  0 , то функции y  zi x, x  0 - решения однородного заданного
уравнения. Если же  ( z )  z , то уравнение (4.2) принимает вид
dy y
 и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его реdx x
 y  Cx, x  0,
шениями являются полупрямые: 
.
 x  0, y  0.
Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку x=zy.
Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.
8
Рассмотрим уравнение вида
Если
a1 b1
 0,
a b
то
dy
a x  b1 y  C1
 f( 1
).
dx
ax  by  C
это
уравнение
с
помощью
(5.1)
подстановки
x     , y     , где  и  - новые переменные, а  и  - некоторые
a1  b1   C1  0
постоянные числа, определяемые из системы 
a  b  C  0 ,
a1  b1
d

f
(
)
Приводится к однородному уравнению
d
a  b
Если
a1 b1
 0 , то уравнение (5.1) принимает вид
a b
dy
k( ax  by )  C1
 f(
)  f1 ( ax  by ) .
dx
ax  by  C
Полагая z=ax+by, приходим к уравнению, не содержащему независимой переменной.
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
2
2
2
2
Проинтегрировать уравнение ( x  2 xy  y )dx  ( y  2 xy  x )dy  0
и выделить интегральную кривую, проходящую через точки: а) (2;2); б) (1;1).
Решение.
Положим y=zx. Тогда dy=xdz+zdx и
( x 2  2 zx 2  z 2 x 2 )dx  ( z 2 x 2  2 x 2 z  x 2 )( xdz  zdx)  0 .
2
Сократим на x и соберем члены при dx и dz:
( z 3  z 2  z  1)dx  ( z 2  2 z  1) xdz  0 .
dx
z 2  2z  1

dz  0,
Разделим переменные:
x ( z 2  1)( z  1)
9
z 1  0 .
Интегрируя, получим
x( z 2  1 )
C,
или
z 1
Заменив здесь z на
ln x  ln z  1  ln( z 2  1 )  ln C1 ;
C   C1
.
y
, получим общий интеграл заданного уравнения в виx
x2  y2
 C или x 2  y 2  C( x  y ) ( C  0 ,C   ) .
де (5.2)
x y
Это семейство окружностей
C 2
C 2 C2
( x  ) ( y  ) 
, центры которых
2
2
2
лежат на прямой y = x и которые в начале координат касаются прямой y + x
= 0. Эта прямая y = -x в свою очередь частное решение уравнения.
Теперь режим задачи Коши:
А) полагая в общем интеграле x=2, y=2, находим С=2, поэтому искомым
2
2
решением будет ( x  1)  ( y  1)  2 .
Б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку (1;-1). Зато полупрямая y = -x, 0  x   проходит через точку и дает искомое решение.
Пример 2. Решить уравнение: ( x  y  2)dx  ( x  y  4)dy  0 .
Решение.
Уравнение является частным случаем уравнения (5.1).
Определитель
a1 b1
в данном примере  0 , поэтому надо решить следуюa b
    2  0
щую систему 
    4  0
Решая, получим, что   1,   3 . Выполняя в заданном уравнении подстановку
x    1, y    3 ,
получаем
однородное
уравнение
(   )d  (   )d  0 . Интегрируя его при помощи подстановки   z ,
находим
 2  2   2  C .
10
Возвращаясь к старым переменным x и y по формулам   x  1,  y  3 ,
имеем
x 2  2 xy  y 2  4 x  8 y  C .
Обобщенное однородное уравнение.
Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется обобщенным однородным, если
удается подобрать такое число k, что левая часть этого уравнения становится
однородной функцией некоторой степени m относительно x, y, dx и dy при
условии, что x считается величиной первого измерения, y – k-го измерения,
dx и dy – соответственно нулевого и (k-1)-го измерений. Например, таким
будет уравнение (
2
 y 2 )dx  dy  0 .
2
x
(6.1)
Действительно при сделанном предположении относительно измерений
x, y, dx и dy члены левой части
2dx
, y 2 dx и dy будут иметь соответствен2
x
но измерения -2, 2k и k-1. Приравнивая их, получаем условие, которому
должно удовлетворять искомое число k: -2 = 2k = k-1. Это условие выполняется при k = -1 (при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является
обобщенным однородным.
Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y  zx k , где z – новая неизвестная функция. Проинтегрируем указанным методом уравнение (6.1). Так как k
= -1, то y 
z
2
, после чего получаем уравнение ( z  z  2)dx  xdz  0 .
x
C  2 x3
C  2 x3
Интегрируя его, находим z 
, откуда y 
. Это общее
( C  x 3 )x
C  x3
решение уравнения (6.1).
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид:
11
dy
 P( x) y  Q( x) ,
dx
(7.1)
где P(x) и Q(x) – заданные непрерывные функции от x. Если функция
Q( x)  0 , то уравнение (7.1) имеет вид:
dy
 P( x) y  0
dx
(7.2)
и называется линейным однородным уравнением, в противном случае
Q ( x )  0 оно называется линейным неоднородным уравнением.
Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:
dy
  P( x)dx; ln y    P( x)dx  ln c ;
y
 P ( x ) dx
y  Ce 
(7.3)
Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее
решение уравнения (7.1), в котором функция P(x) обозначает ту же функцию,
что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации
произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать
функцию С=С(x) так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1).
Тогда для производной функции (7.3) получим:
 P ( x ) dx
dy dC   P( x )dx

e
 CP( x )e 
.
dx dx
Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:
 P ( x ) dx
 P ( x ) dx
dC  P( x )dx
e
 CP( x )e
 CP( x )e
 Q( x )
dx
dC
 P( x )dx

Q
(
x
)
e
или
.
dx
12

Откуда C ( x)   Q( x)e
P ( x ) dx
 C1 , где C1 - произвольная постоянная. В ре-
зультате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
ye 
(C1   Q( x)e
dx)
(7.4)
Первое слагаемое в этой формуле представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое
формулы (7.4) есть частное решение линейного неоднородного уравнения
(7.1), полученное из общего (7.4) при C1  0 . Этот важный вывод выделим в
виде теоремы.
Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения y1 ( x) , то все остальные решения имеют вид
y  y1 ( x)  y0 ( x) , где y0 ( x) - общее решение соответствующего линейного
однородного дифференциального уравнения.
Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется другой метод,
иногда называемый методом Бернулли. Будем искать решение уравнения
(7.1) в виде y ( x)  u ( x)  v( x) . Тогда
dy du
dv

v  u . Подставим найденную
dx dx
dx
производную в исходное уравнение:
du
dv
v  u  Puv  Q .
dx
dx
Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и
вынесем функцию u(x) за скобку: v
du
dv
v  u (  Pv)  Q
dx
dx
Потребуем обращения в нуль круглой скобки:
13
dv
 Pv  0 .
dx
(7.5)
Решим это уравнение, полагая произвольную постоянную C равной нулю:
 P ( x ) dx
dv
  Pdx; v  e 
. С найденной функцией v(x) вернемся в уравнение
v
(7.5):
P ( x ) dx
du
 Q ( x )e 
.
dx

Решая его, получим: u( x)   Q( x)e
P ( x ) dx
dx  C .
Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид:
y( x)  u( x)  v( x)  ( Q( x)e
P ( x ) dx
 P ( x ) dx
dx  C )e 
.
Уравнение Бернулли.
Определение.
Дифференциальное уравнение вида
dy
 P( x) y  Q( x) y  , где   0,1 , называdx
ется уравнением Бернулли.
Предполагая, что y  0 , разделим обе части уравнения Бернулли на y  . В ре
зультате получим: y
dy
 P  y  1  Q
dx
(8.1)
 1
Введем новую функцию z ( x)  ( y ( x))
. Тогда
dz
dy
 (  1) y 
. Домноdx
dx
жим уравнение (8.1) на (  1) и перейдем в нем к функции
z(x):
dz
 (  1) Pz  (  1)Q , т.е. для функции z(x) получили линейное неодноdx
родное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо
 1
z(x) выражение y
, получим общий интеграл уравнения Бернулли, кото-
рый легко разрешается относительно y. При   0 добавляется решение
y(x)=0. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к ли 1
нейному уравнению путем подстановки z  y
, а применяя метод Бернул-
ли, подробно разобранный в § 7. Рассмотрим применение этого способа для
решения уравнения Бернулли на конкретном примере.
14
x 2
Пример. Найти общее решение уравнения: y   xy  ( x  1)e y
(8.2)
Решение.
Уравнение (8.2) является уравнением Бернулли, причем   2 .
Будем искать решение уравнения в виде y ( x)  u ( x)  v( x) .
x
2
Тогда uv  uv  xuv  ( x  1)e (uv) .
В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые,
которые содержат функцию u(x), и потребуем, чтобы
ve
u e


x2
2
x2
2
v  xv  0 .
Откуда
. Тогда для функции u(x) будем иметь следующее уравнение:
 ( x  1)e  e
x
 x2
 u или u  ( x  1)e
2

x2
x
2
 u2 ,
которое является уравнением с разделяющимися переменными для функции
2
u(x). Решим его u du  (1  x)e
x2
 x
1
  e 2  c , u 
u
Следовательно,
1
y ( x) 
e

x2
x
2
общее
e

x2
2
,

x2
x
2
 dx ,
1
e

2
x
x
2
c
решение
данного
уравнения
имеет
вид:
y(x)=0.
c
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Определение. Если в уравнении M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (9.1) левая часть есть
полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде
du(x,y)=0, следовательно, его общий интеграл есть u(x,y)=c.
Например, уравнение xdy+ydx=0 есть уравнение в полных дифференциалах,
так как его можно переписать в виде d(xy)=0. Общим интегралом будет
xy=c.
15
Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в
некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x. Тогда, для того, чтобы уравнение (9.1)
было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество
M N

y
x
(9.2).
Доказательство.
Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем
достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая функция u(x,y), что
u( x , y )
u( x , y )
 N( x, y ) .
 M ( x, y ) и
y
x
Действительно, поскольку
u
 M ( x , y ) ,то
x
x
u ( x, y )   M ( x, y )dx   ( y )
(9.3)
, где
 ( y ) - произвольная диффе-
x0
ренцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по y:
u x M ( x , y )

dx   ( y ) .
y x
y
Но
0
M N
,

y
x
следовательно,
u x N ( x , y )

dx   ( y )  N ( x , y )  N ( x0 , y )   ( y ) .
y x
x
0
y
Положим  ( y )  Q( x0 , y )   ( y )   N ( x0 , y )dy и тогда
y0
u
 N ( x, y ).
y
y
x


x0
y0
Итак, построена функция u ( x, y )  M ( x, y )dx  N ( x0 , y )dy , для которой
u( x , y )
u( x , y )
 N( x, y ) .
 M ( x, y ) , а
y
x
Рассмотрим пример.
16
Пример. Найти общий интеграл уравнения: (
Решение. Здесь M ( x, y ) 
y
x
 e x )dx  2
dy  0 .
2
x y
x  y2
2
y
x
 e x , N ( x, y )   2
.
2
x y
x  y2
2
M N
x2  y2


Тогда
2 . Следовательно, заданное дифференциальное
y
x x 2  y 2 
уравнение 1-го порядка является уравнением в полных дифференциалах, т.е.
существует такая функция u(x,y), частные производные которой соответственно по x и y равны M(x,y) и N(x,y):
u
y
 2
 ex ,
2
x x  y
u
x
 2
. Интегрируем первое из двух соотношеy
x  y2
ний по x:
u ( x, y )   (
y
x
 e x )dx   ( y ) , u ( x, y)  arctg  e x   ( y ) .
2
x y
y
2
Теперь продифференцируем u(x,y) по y и приравняем полученное в результате выражение выписанной выше частной производной

du
:
dy
x
x
  ( y )   2
.
2
x y
x  y2
2
Откуда  ( y )  0 и  ( y )  c . Следовательно, общим интегралом заданного
уравнения является: arctg
x
 ex  c .
y
Интегрирующий множитель.
Если уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 не является уравнением в полных
дифференциалах и существует функция µ = µ(x,y), такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение
µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)du, то функция µ(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ =
1.
17
Если найден интегрирующий множитель µ, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего
интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.
Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и
y, то
M  N 

.
y
x
Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка:
N
 M N 



M
  

x
y

y

x


(10.1).
Если заранее известно, что µ= µ(ω), где ω – заданная функция от x и y, то
уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной ω:
d
  
d
(10.2),
M N

y
x
где    
, т. е. дробь является функцией только от ω.


N
M
x
y
Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель
  d
  e
,
с = 1.
В частности уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x (ω = x) или только от y (ω = y), если выполнены соответственно следующие условия:
M N

y
x
  x  ,
N
  x dx
  e
или
18
M N

y x
  y  ,
M
  y dy
  e
.
Дифференциальные уравнения 2-го порядка
§1. Методы понижения порядка уравнения.
Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:
. (1.1)
Общим решением уравнения является семейство функций, зависящее
от
двух
произвольных
постоянных
и
(или
:
– общий интеграл дифференциального уравнения 2-го порядка). Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1.1)
состоит в отыскании частного решения уравнения, удовлетворяющего
начальным условиям: при
:
. Необходимо заме-
,
тить, что графики решений уравнения 2-го порядка могут пересекаться в отличие от графиков решений уравнения 1-го порядка. Однако решение задачи
Коши для уравнений 2-го порядка (1.1) при довольно широких предположениях для функций, входящих в уравнение, единственно, т.е. всякие два решения с общим начальным условием
совпадают на пе-
,
ресечении интервалов определения.
Получить общее решение или решить задачу Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка аналитически удается далеко не всегда. Однако в некоторых случаях удается понизить порядок уравнения с помощью
введения различных подстановок. Разберем эти случаи.
1. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной .
Пусть
дифференциальное
уравнение
2-го
порядка
имеет
вид:
, т.е. в уравнении (1.1) явно не присутствует независимая переменная . Это позволяет принять
за новый аргумент, а производную 1-го
19
порядка
принять
за
новую
функцию
.
Тогда
.
Таким образом, уравнение 2-го порядка
для функции
, не содержащее явно , свелось к уравнению 1-го порядка
для функции
. Интегрируя это уравнение, получаем общий интеграл
или
, а это есть дифференциальное уравнение
1-го порядка для функции
. Решая его, получаем общий интеграл исход-
ного дифференциального уравнения, зависящий от двух произвольных постоянных:
.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
данных начальных условиях:
,
при за-
.
Решение.
Так как в исходном уравнении в явном виде отсутствует аргумент , то
примем
за новую независимую переменную, а
– за
. Тогда
и уравнение приобретает следующий вид для функции
:
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
. Откуда следует
Так как при
, т.е.
и
, то подставляя начальные условия
в последнее равенство, получаем, что
В результате для функции
и
, что равносильно
.
имеем уравнение с разделяющимися пере-
менными, решая которое, получаем
вия, получаем, что
.
. Используя начальные усло-
. Следовательно, частный интеграл уравнения,
удовлетворяющий начальным условиям, имеет вид:
2. Уравнения, не содержащие явно искомой функции .
20
.
Пусть
дифференциальное
уравнение
2-го
порядка
имеет
вид:
, т.е. в уравнение явно не входит искомая функция . В этом
случае вводят постановку
ние 2-го порядка
го порядка
. Тогда
и уравне-
для функции
переходит в уравнение 1-
для функции
дифференциальное
уравнение
. Проинтегрировав его, получаем
1-го
порядка
для
функции
:
. Решая последнее уравнение, получаем общий
интеграл заданного дифференциального уравнения
, завися-
щий от двух произвольных постоянных:
.
Пример 2. Найти общее решение уравнения:
Решение.
В данное уравнение 2-го порядка явно не входит искомая функция
, следовательно, делаем замену:
и
. В результа-
те чего получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции
или
:
, являющееся линейным уравнением. Ре-
шая его, получаем:
или
. Итак, для функции
получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
, откуда следует общее решение исходного уравнения:
.
3. Порядок степени понижается, если удается преобразовать его к та-
кому виду, что обе части уравнения становятся полными производными по
от каких-нибудь функций. Например, пусть дано уравнение
обе части на
, получаем
;
– порядок уравнения понижен.
21
;
. Деля
;
§2. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка.
Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка имеет следующий вид:
, (2.1)
где
,
и
,
– заданные функции, непрерывные на
том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a0(x) ≠ 0, поделим (2.1) на
и, после введения новых обозначений для коэффициен-
тов, запишем уравнение в виде:
(2.2)
Примем без доказательства, что (2.2) имеет на некотором промежутке
единственное решение, удовлетворяющее любым начальным условиям
, если на рассматриваемом промежутке функции
,
и
непрерывны. Если
,
, то уравнение (2.2) называется одно-
родным, и уравнение (2.2) называется неоднородным в противном случае.
Рассмотрим свойства решений лоду 2-го порядка.
Определение. Линейной комбинацией функций
называется выражение
Теорема. Если
, где
и
– произвольные числа.
– решение лоду
, (2.3)
то их линейная комбинация
также будет решением
этого уравнения.
Доказательство.
Поставим выражение
в (2.3) и покажем, что в
результате получается тождество:
.
Перегруппируем слагаемые:
.
22
Поскольку функции
и
являются решениями уравнения
(2.3), то каждая из скобок в последнем уравнении тождественно равна нулю,
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Из доказанной теоремы вытекает при
– решение уравнения (2.3), то
, что если
тоже есть решение этого
уравнения.
Следствие 2. Полагая
лоду
, видим, что сумма двух решений
также является решением этого уравнения.
Замечание. Доказанное в теореме свойство решений остается справед-
ливым для лоду любого порядка.
§3. Определитель Вронского.
Определение. Система функций
называется ли-
нейно независимой на некотором промежутке, если ни одна из этих функций
не представляется в виде линейной комбинации всех остальных.
В случае двух функций
это означает, что
. Последнее условие можно переписать в виде
, т.е.
или
. Стоящий в числителе этого выражения определитель
называется определителем Вронского для функций
и
. Таким образом, определитель Вронского для двух линейно не-
зависимых функций не может быть тождественно равен нулю.
Пусть
независимых решений
– определитель Вронского для линейно
и
уравнения (2.3). Убедимся подстанов23
кой, что функция
удовлетворяет уравнению
.
(3.1)
Действительно,
.
Поскольку
функции
и
удовлетворяют
, т.е.
Найдем
это
уравнению
(2.3),
то
– решение уравнения (3.1).
решение:
.
;
Откуда
,
.
,
,
.
В правой части этой формулы надо взять знак плюс, так как только в
этом случае при
получается тождество. Таким образом,
(3.2)
Это формула называется формулой Лиувилля. Выше было показано,
что определитель Вронского для линейно независимых функций не может
быть тождественно равен нулю. Следовательно, существует такая точка
,в
которой определитель для линейно независимых решений уравнения (2.3)
отличен от нуля. Тогда из формулы Лиувилля следует, что функция
будет отлична от нуля при всех значениях
межутка, поскольку при любом значении
из рассматриваемого про-
оба множителя в правой части
формулы (3.2) отличны от нуля.
§4. Структура общего решения лоду 2-го порядка.
24
Теорема. Если
и
– линейно независимые решения уравне-
ния (2.3), то их линейная комбинация
, где
и
– произ-
вольные постоянные, будет общим решением этого уравнения.
Доказательство.
То, что
есть решение уравнения (2.3), следует из тео-
ремы о свойствах решений лоду 2-го порядка. Надо только еще показать, что
решение
будет общим, т.е. надо показать, что при любых
начальных условиях
постоянные
и
можно выбрать произвольные
,
так, чтобы удовлетворить этим условиям. Запишем
начальные условия в виде:
Постоянные
и
из этой системы линейных алгебраических уравне-
ний определяются однозначно, так как определитель этой системы
есть
значение определителя Вронского для линейно независимых решений лоду
при
:
,
а такой определитель, как мы видели в предыдущем параграфе, отличен от
нуля. Теорема доказана.
Пример. Доказать, что функция
, где
и
вольные постоянные, является общим решением лоду
– произ-
.
Решение.
Легко убедиться подстановкой, что функции
и
удо-
влетворяют данному уравнению. Эти функции являются линейно независимыми, так как
. Поэтому согласно теореме о
структуре общего решения лоду 2-го порядка
щим решением данного уравнения.
25
является об-
§5. ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Дано
лоду
2-го
порядка
(5.1), где
с
постоянными
коэффициентами
. Согласно предыдущему па-
,
раграфу общее решение лоду 2-го порядка легко определяется, если известны
два линейно независимых частных решения этого уравнения. Простой метод
нахождения частных решений уравнения с постоянными коэффициентами
предложил Л. Эйлер. Это метод, который называется методом Эйлера, состоит в том, что частные решения ищутся в виде
.
Подставляя эту функцию в уравнение (5.1), после сокращения на
,
получим алгебраическое уравнение, которое называется характеристическим:
(5.2)
Функция
будет решением уравнения (5.1) только при тех зна-
чениях k, которые являются корнями характеристического уравнения (5.2). В
зависимости от величины дискриминанта
1.
возможны три случая.
. Тогда корни характеристического уравнения различны:
. Решения
ми, т.к.
и
будут линейно независимы-
и общее решение (5.1) можно записать в
виде
.
2.
. В этом случае
линейно независимого решения
и
. В качестве второго
можно взять функцию
. Прове-
рим, что эта функция удовлетворяет уравнению (5.1). Действительно,
. Подставляя эти выражения в
,
уравнение (5.1), получим
или
, т.к.
26
и
.
Частные решения
и
линейно независимы, т.к.
. Следовательно, общее решение (5.1) имеет вид:
или
3.
.
. В этом случае корни характеристического уравнения ком-
плексно-сопряженные:
, где
. Можно прове-
,
рить, что линейно независимыми решениями уравнения (5.1) будут функции
и
творяет,
. Убедимся, что уравнению (5.1) удовле-
например,
функция
y1.
Действительно,
,
. Подставив эти выражения в уравнение (5.1), получим
.
Обе скобки в левой части этого равенства тождественно равны нулю.
Действительно,
,
. Таким образом, функция
удовлетво-
ряет уравнению (5.1). Аналогично нетрудно убедиться в том, что и
есть
решение
уравнения
, то общее решение
(5.1).
Поскольку
будет иметь вид:
.
§6. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (лнду) 2-го порядка.
Теорема 1. Общее решение лнду 2-го порядка
f(x) (6.1)
27
представляется в виде суммы общего решения
соответствующего одно-
родного уравнения
(6.2)
и любого частного решения
лнду (6.1).
Доказательство.
Докажем сначала, что
этого
будет решением уравнения (6.1). Для
подставим
в
уравнение
(6.1):
f(x). Это равенство является тождеством,
т.к.
и
f(x). Следовательно,
есть решение уравнения (6.1).
Докажем теперь, что это решение является общим, т.е. можно так выбрать входящие в него произвольные постоянные, что будут удовлетворяться
любые начальные условия вида:
,
(6.3). Согласно тео-
реме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (лоду) общее решение уравнения (6.2) можно представить в
виде
, где
и
– линейно независимые решения этого
уравнения. Таким образом:
и, следовательно, начальные условия (6.3) можно записать в виде:
или
(6.4)
Произвольные постоянные
и
определяются из этой системы ли-
нейных алгебраических уравнений однозначно при любых правых частях,
т.к. определитель этой системы
есть значение определи-
=
теля Вронского для линейно независимых решений уравнения (6.2) при
28
, а такой определитель, как мы видели выше, отличен от нуля. Определив постоянные
и
из системы уравнений (6.4) и подставив их в выра-
жение
, мы получим частное решение уравнения (6.1),
удовлетворяющее заданным начальным условиям. Теорема доказана.
Докажем еще одну простую теорему, которая часто используется при
решении лнду.
Теорема 2. Если
- решение дифференциального уравнения
f1(x),
а
-
f2(x), то функция
решение
уравнения
будет решением
уравнения
f1(x) + f2(x). (6.5)
Доказательство.
Подставив функцию
в уравнение (6.5), получим
f1 + f2. Это равенство является тожде-
ством, т.к.
f1 и
f2. Теорема доказана.
§7. Решение лнду 2-го порядка с постоянными коэффициентами со
специальной правой частью.
Пусть в уравнении (6.1) коэффициенты постоянны, т.е. уравнение имеет вид:
f(x) (7.1)
где
.
Рассмотрим метод отыскания частного решения
уравнения (7.1) в
случае, когда правая часть f(x) имеет специальный вид. Это метод называется
методом неопределенных коэффициентов и состоит в подборе частного ре-
29
шения в зависимости от вида правой части f(x). Рассмотрим правые части
следующего вида:
, где
1. f(x)
член степени
– много-
, причем некоторые коэффициенты, кроме
, могут рав-
няться нулю. Укажем вид, в котором надо брать частное решение в этом случае.
а) Если число
для
уравнения
не является корнем характеристического уравнения
(5.1),
то
частное
решение
записываем
в
виде:
, где
– не-
определенные коэффициенты, которые подлежат определению методом неопределенных коэффициентов.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Для уравнения
составляем характеристическое уравнение:
. Откуда получаем
. Следовательно, общее решение
,
однородного уравнения есть
ного уравнения f(x)
. Правая часть заданимеет специальный вид (случай 1), причем
не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное
решение ищем в виде:
, где
– неопределенные коэф-
фициенты. Найдем производные первого и второго порядков и подставим их
в заданное уравнение:
.
Обе части сокращаем на
и приравниваем коэффициенты при одина-
ковых степенях в левой и правой частях равенства
Из полученной системы уравнений находим:
, а общее решение заданного уравнения есть:
30
. Тогда
.
б) Если
является корнем кратности
соответствующего ха-
рактеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:
,
где
– неопределенные коэффициенты.
Пример 2. Решить уравнение
.
Решение.
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:
, откуда
уравнения
. Тогда общее решение однородного
,
есть:
.
Правая часть заданного уравнения имеет специальный вид (случай 1).
Так как
является корнем характеристического уравнения кратности
, то частное решение ищется в виде:
. Находим неопределенные коэффициенты
методом,
изложенным
в
примере
1.
В
результате
получаем
. Окончательно имеем следующее выражение для общего решения:
.
2. Правая часть f(x)
и
, где хотя бы одно из чисел
отлично от нуля. Укажем вид частного решения в этом случае.
а) Если число
не является корнем характеристического уравнения
для уравнения (5.1), то частное решение ищем в виде:
,
где
– неопределенные коэффициенты.
31
б) Если число
является корнем характеристического уравнения для
уравнения (5.1), причем его кратность
, то записываем частное решение
в виде:
,
где
– неопределенные коэффициенты.
Пример 3. Решить уравнение
.
Решение.
Корни характеристического уравнения для уравнения
дут
.
,
Тогда
общее
бу-
решение
этого
лоду:
.
Правая часть заданного в примере 3 уравнения имеет специальный вид:
, где
f(x)
,а
. Число
ется корнем характеристического уравнения кратности
ное решение лнду имеет вид:
Для определения
и
явля-
, поэтому част.
находим
,
и подставляем в заданное
уравнение:
.
Приводя подобные члены, приравнивая коэффициенты при
, получаем следующую систему:
, отсюда
,
.
Окончательно общее решение заданного уравнения имеет вид:
.
, где
3. f(x)
члены степени
и
и
- много-
соответственно, причем один из этих многочленов мо-
жет равняться нулю. Укажем вид частного решения в этом общем случае.
а) Если число
не является корнем характеристического уравне-
ния для уравнения (5.1), то вид частного решения будет:
32
,
(7.2)
где
–
неопределенные
коэффициенты,
а
.
б) Если число
является корнем характеристического уравнения
для уравнения (5.1) кратности
, то частное решение лнду будет
иметь вид:
, (7.3)
т.е. частное решение вида (7.2) надо умножить на
. В выражении (7.3)
- многочлены с неопределенными коэффициентами, причем их степень
.
Пример 4. Указать вид частного решения для уравнения
.
Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид:
,
. Его корни:
. Общее решение лоду имеет вид:
.
Правая часть заданного уравнения имеет специальный вид (случай 3):
. Число
f(x)
является корнем характе-
ристического уравнения кратности
член первой степени, а при
. Коэффициент при
есть много-
- нулевой степени, поэтому степень много-
членов с неопределенными коэффициентами надо брать
. Итак, вид
частного решения:
.
Далее коэффициенты
могут быть определены по методу не-
определенных коэффициентов.
33
Замечание. Если правая часть уравнения (7.1) есть сумма двух функций
f(x) = f1(x) + f2(x), где каждая из f1(x), f2(x) имеют специальный вид (случаи 13), то частное решение
где
подбирается в виде суммы:
,
есть частное решение для уравнения с правой частью f1(x), а
есть частное решение для уравнения с f2(x). Аналогично находятся частные
решения в случае, когда правая часть есть алгебраическая сумма конечного
числа функций специального вида, рассмотренного в случаях 1-3.
§8. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Непосредственное нахождение частного решения лнду, кроме случая
уравнения с постоянными коэффициентами, причем со специальными свободными членами, представляет большие трудности. Поэтому для нахождения общего решения лнду обычно применяют метод вариации произвольных
постоянных, который всегда дает возможность найти общее решение лнду в
квадратурах, если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Этот метод состоит в следующем.
Согласно вышеизложенному, общее решение линейного однородного
уравнения:
, (8.1)
где
– линейно независимые на некотором интервале X решения лоду, а
- произвольные постоянные. Будем искать частное решение лнду в
форме (8.1), считая, что
– не постоянные, а некоторые, пока неизвест-
ные, функции от :
. (8.2)
Продифференцируем равенство (8.2):
. (8.3)
Подберем функции
и
так, чтобы выполнялось равенство:
. Тогда вместо (8.3) будем иметь:
34
. (8.4)
Продифференцируем это выражение еще раз по . В результате получим:
. (8.5)
Подставим (8.2), (8.4), (8.5) в лнду 2-го порядка
f(x):
f(x)
или
f(x). (8.6)
Так как
- решения лоду
равенство (8.6) принимает вид:
, то последнее
f(x).
Таким образом, функция (8.2) будет решением лнду в том случае, если
функции
и
удовлетворяют системе уравнений:
(8.7)
Так как определителем этой системы является определитель Вронского
для двух линейно независимых на X решений соответствующего лоду, то он
не обращается в ноль ни в одной точке интервала X. Следовательно, решая
систему (8.7), найдем
и
и
:
. Интегри-
руя, получим:
,
где
,
- произвольные постоянные.
Возвращаясь в равенство (8.2), получим общее решение неоднородного
уравнения:
.
Пример. Решить уравнение:
.
Решение.
35
Соответствующее однородное уравнение
получим общее решение:
. Интегрируя его,
. Итак , двумя линейно независимы-
ми решениями, образующими общее решение, являются функции
и
.
Предположим теперь, что общим решением заданного уравнения является выражение
.
Для определения функций
и
Откуда получаем
имеем систему уравнений:
. Следовательно,
,
общее решение заданного уравнения есть:
.
Линейные уравнения высших порядков
§1. Однородное уравнение.
Линейным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:
f(x). (1.1)
Если при всех рассматриваемых значениях
функция f(x) равна нолю,
то это уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Предполагаем, что коэффициенты
и свободный
член f(x) определены и непрерывны в интервале
имеет единственное решение
и
. Тогда уравнение (1.1)
, определенное во всем интервале
удовлетворяющее
начальным
условиям:
, причем начальные данные
можно задавать произвольно, а
.
36
нужно брать из интервала
Линейное однородное дифференциальное уравнение (лоду) всегда имеет нулевое решение
.
Для построения общего решения лоду достаточно знать
зависимых в интервале
частных решений
линейно не-
, т.е. таких реше-
ний, для которых тождество
,
где
,
- постоянные числа, может выполняться только при
. Такая система решений называется фундаменталь-
ной. Чтобы система решений лоду была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Вронского
был отличен от нуля хотя бы в одной точке из интервала
. В действи-
тельности, в этом случае определитель Вронского отличен от нуля во всех
точках интервала
.
Если найдена фундаментальная система решений
лоду, то
формула
, (1.2)
где
- произвольные постоянные, дает общее решение этого урав-
нения в области
.
§2. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами.
Это уравнение имеет вид:
, (2.1)
где
- постоянные вещественные числа. Это уравнение име-
ет фундаментальную систему решений
37
, определенную при всех
и состоящую из степенных, показательных и тригонометрических функций.
Соответствующее ей общее решение:
определено в области
, т.е.
во всем пространстве
.
Построение фундаментальной системы решений лоду делается методом Эйлера, который состоит в том, что частное решение лоду ищется в виде
, где
- некоторое число, подлежащее определению. Подставляя
эту функцию в уравнение (2.1), после сокращения на
получим харак-
теристическое уравнение:
Его корни называются характеристическими числами уравнения (2.1). Различают три случая.
1. Все корни характеристического уравнения различны и вещественны. Обозначим их через
. Тогда фундаментальной системой ре-
шений будут:
, а общее решение имеет вид:
.
2. Все корни характеристического уравнения различны, но среди них
имеются комплексные. Пусть
– комплексный корень характери-
стического уравнения. Тогда
тоже будет корнем этого уравнения.
Этим двум корням соответствуют два линейно независимых частных решения:
. Записав линейно независимые частные
решения, соответствующие другим сопряженным парам комплексных корней
и всем вещественным корням, получим фундаментальную систему решений.
Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами даст общее решение уравнения (2.1).
3. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные.
Пусть
- вещественный k-кратный корень. Тогда ему соответствует
38
ли-
нейно независимых частных решений вида
, а в форму-
ле общего решения – выражение вида
. Если
- комплексный корень характеристического уравнения кратности
, то ему и сопряженному с ним корню
ствуют
той же кратности соответ-
линейно независимых частных решений вида:
В формуле общего решения этим корнем соответствует выражение вида:
.
Записав линейно независимые частные решения указанного выше вида,
соответствующие всем простым и кратным вещественным корням, а также
сопряженным парам простых и кратных комплексных корней, получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами даст общее решение уравнения
(2.1).
Разностное уравнение.
Если известны параметры ЛДС, то взаимосвязь между воздействием
x(n  T ) и реакцией y (n  T ) - соотношение вход-выход описывается разностным
уравнением (РУ)
N 1
M 1
i 0
k 0
y (n  T )   bi  x(( n  i )  T )   a k  y (( n  k )  T ) ,
где bi , a k - коэффициенты уравнения (вещественные константы),
x(n  T ) , y (n  T ) - воздействие и реакция (вещественные или комплексные сигналы),
i, k – значения задержек для воздействия и реакции,
N, M – константы,
x(( n  i )  T ) , y (( n  k )  T ) - воздействие и реакция, задержанные на i и kпериодов дискретизации соответственно.
Разностное уравнение представляют собой, по существу, алгоритм вычисления реакции. Потом если время нормировано (Т=1), то
N 1
M 1
i 0
k 0
y (n)   bi  x(n  i )   a k  y (n  k )
39
Пример: Решить разностное уравнение методом прямой подстановки при
заданном воздействии x(n)  0,1n .
РУ y(n)  x(n)  0,5  y(n  1) определить 5 отсчетов реакции
n
воздействие
реакция
0
1
2
3
4
x(4)  0,0001
y(0)  x(0)  0,5  y(1)  1  0,5  0  1
y(1)  x(1)  0,5  y(0)  0,1  0,5  1  0,4
y(2)  x(2)  0,5  y(1)  0,01  0,5  (0,4)  0,21
y(3)  x(3)  0,5  y(2)  0,001  0,5  0,21  0,104
y(4)  x(4)  0,5  y(3)  0,0001  0,5  (0,104)  0,05211
.
…
и так далее …
x ( 0)  1
x (1)  0,1
x(2)  0,01
x(3)  0,001
.
Рекурсивные и нерекурсивные линейные дискретные системы.
ЛДС называется рекурсивной, если хотя бы один из коэффициентов a k
РУ, описывающего ее соотношение вход-выход, не равен нулю (математически ak  0 для хотя бы одного k).
Порядком рекурсивной ЛДС называют величину: max (M  1), ( N  1).
Согласно РУ реакция y (n) рекурсивной ЛДС в каждый момент времени
определяется:
- текущим отсчетом воздействия,
- предысторией воздействия,
- предысторией реакции.
Пример РУ рекурсивной ЛДС. ЛДС I-ого порядка.
y(n)  b0  x(n)  a1  y(n  1) ,
ЛДС 2-го порядка
y( n)  b0 x( n)  b1 x( n  1)  b2 x( n  2)  a1 y( n  1)  a2 y( n  2)
ЛДС называется нерекурсивной, если все коэффициенты ak разностного
уравнения, описывающего ее отношение вход-выход равны нулю.
ak  0
Т.е. для нерекурсивной ЛДС разностные уравнения принимают вид
N 1
y (nT )   bi  x(( n  i )T )
i 0
или
N 1
y (n)   bi  x(n  i ) .
i 0
40
Порядком нерекурсивной ЛДС называют величину (N-1). Согласно РУ реакция y(n) нерекурсивной ЛДС в каждый момент времени определяется:
- текущим отчетом воздействия;
- предысторией воздействия;
( Почему нет предыстории реакции? Т.к нет возврата - ak=0).
Пример: РУ нерекурсивной ЛДС 2-го порядка
y( n)  b0 x( n)  b1 x( n  1)  b2 x( n  2)
Системы с конечной и бесконечной импульсной характеристикой.
При определении особенностей импульсных характеристик рекурсивных
и нерекурсивных ЛДС можно решить разностные уравнения и распространить результаты на импульсные характеристики данных систем.
Пример: Вычислить импульсную характеристику нерекурсивной ЛДС 2го порядка, соотношение вход-выход которой описывается РУ
y( n)  b0 x( n)  b1 x( n  1)  b2 x( n  2)
Решение: Согласно определению, импульсная характеристика – это реакция на единичн. цифр. импульс. Тогда выполнив замену
 x ( n)  U 0 ( n)

 y ( n)  h( n)
h( n)  b0 u0( n)  b1 u1( n  1)  b2 u2 ( n  2)
ПереВычислим отсчеты прямой подстановкой:
пишем:
h( 0)  b0 u0( 0)  b1 u1( 1)  b2 u0 ( 2)  b0 1  b1 0  b2 0  b0
h( 1)  b0 u0( 1)  b1 u1( 0)  b2 u0 ( 1)  b0 0  b1 1  b2 0  b1
h( 2)  b0 u0( 2)  b1 u1( 1)  b2 u0 ( 0)  b0 0  b1 0  b2 1  b2
h(3)=0 h(n)=0 при n>3
Выводы:
- ИХ нерекурсивной ЛДС имеет конечную длительность, а значения отсчетов и.х. равны коэффициентам разностного уравнения
h(n)=bi, при
n=i=0,1…,N-1
- нерекурсивной ЛДС называют системами с конечной ИХ или КИХ системы.
Пример: Вычислить ИХ рекурсивной ЛДС 1-го порядка, соотношение
вход-выход которой описывается РУ:
y( n)  b0 x( n)  a1 y( n  1)
Решение: Выполнив замену, пере- h(n)  b0 u0(n)  a1 h(n  1)
пишем РУ:
и вычислим отсчеты ИХ методом прямой подстановки:
41
h( 0)  b0 u0( 0)  a1 h( 1)  b0
h( 1)  b0 u0( 1)  a1 h( 0)  a 1 b0
2
h( 2)  b0 u0( 2)  a1 h( 1)  a 1 ( a1 b0)  a1  b0
h( 3)  ........
Вычисление можно продолжать бесконечно h(n)  (1) n  a1n  b0
Вывод:
- ИХ рекурсивной ЛДС имеет бесконечную длительность
- рекурсивные ЛДС называют системами с бесконечной ИХ, БИХ – системами.
Описание ЛДС в Z-области.
Анализ ЛДС существенно упрощается при использовании Z преобразования. Основной характеристикой ЛДС в Z-области является Z-изображение
ИХ h(n).
H( z)  Z(h( n) ), которое определяется по формуле прямого z-преобразования

H( z) 
n
  h( n)  z 
n 0
Если известно Z-изображение H(z) импульсной характеристики h(n), то
ИХ h(n) находится с помощью обратного z-преобразования h(n)  Z 1H ( z )
H(z) называют передаточной функцией (ПФ) ЛДС.
Разностному уравнению
M 1


bi x( n  i) 
( ak y ( k  j) )


i 0 
k 1

N 1
y ( n ) 


N 1
в
Z-области
соответствует
i
 biz 
Y( z) 
i0
M 1
1
k
 akz 
уравнение
 x( z)
k 1
а поделив на x(z), получим передаточную характеристику общего вида
42
N 1
i
 biz 
i0
H( z) 
M 1
k
 akz 
1
k 1
Пример: Дана передаточная функция общего вида. Записать соответствующее ей разностные уравнения: для звена 1-го порядка (числитель и знаменатель ПФ – многочлены от Z-1 первого порядка).
1
H( z) 
b0  b1 z
y( n)  b0 x( n)  b1 x ( n  1)  a1 y( n  1)
1
1  a1 z
Для звена 2-го порядка
1
H( z) 
b0  b1 z
1
1  a1 z
2
 b2 z
2
y( n)  b0 x( n)  b1 x ( n  1)  b2 x( n  2)  a1 y( n  1)  a2 y( n  2)
 a2 z
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
§ 1. Нормальные системы.
Определение 1.
Нормальная система обыкновенных дифференциальных
уравнений имеет следующий вид:
dyi
 f i ( x, y1 , y2 ,..., yn ), i  1, n
dx
где
yi , i  1, n
(1.1)
– неизвестные функции от независимой переменной x, под-
лежащие определению; f i , i  1, n – известные функции от x, y1 , y2 ,..., yn ,
заданные и непрерывные в некоторой области. Число n называется порядком
системы (1.1). В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем второго
порядка (n=2).
Определение 2. Пусть дана нормальная система уравнений
 dy
 dx   ( x, y, z )

 dz   ( x, y, z )
 dx
(1.2)
43
где

и

– заданные и непрерывные в некоторой области функции. Пара
функции (y(x); z(x)), определенная на (a,b), имеющая непрерывные производные и удовлетворяющая на (a,b) обоим уравнениям системы (1.2), называется ее решением.
Задача нахождения решения (y(x); z(x)), удовлетворяющего начальным условиям y( x0 )  y0 , z ( x0 )  z 0 , где x0 , y0 , z 0 – заданные числа (начальные данные),
называется задачей Коши.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть дана система уравнений (1.2) и пусть в некоторой области D (x,y,z)
функции  ( x, y , z ) и  ( x, y, z ) непрерывны и имеют непрерывные частные
производные по y, z. Пусть точка ( x0 , y0 , z0 )  D . Тогда существует интервал
(a,b) и определенные на нем непрерывно дифференцируемые функции y(x),
z(x),
удовлетворяющие
системе
(1.2)
и
начальным
условиям
y( x0 )  y0 , z ( x0 )  z 0 , причем эти функции единственны.
§ 2. Метод исключения.
Продифференцируем, например, первое уравнение системы уравнений (1.2)
по независимой переменной x
d 2 y d ( x, y( x), z ( x))   y  z  




 
 

 
   ( x, y, z )
2
dx
x y x z x x y
z
dx
Вместо системы (1.2) запишем систему уравнений (2.1)
 y    ( x, y , z )

 y    ( x, y, z )
(2.1)
Из первого уравнения системы (2.1) следует, что z   ( x, y, y ) . Подставим
эту функцию во второе уравнение (2.1): y    ( x, y,  ( x, y, y ))  ( x, y, y ) .
Итак, исключив из системы функцию z приходим к одному уравнению 2-го
порядка, решая которое, получаем: y  y( x, c1 , c2 ) . Теперь продифференци-
44
руем найденное выражение по x и подставим в функцию z   ( x, y, y ) . И тем
самым получим z  z( x, c1 , c2 ) . В результате получим решение в виде:
 y  y ( x, c1 , c 2 )

 z  z ( x, c1 , c 2 )
(2.2)
Определение 1. Общим решением системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка является совокупность функций (2.2),
непрерывно дифференцируемых на некотором интервале (a,b), которые при
различных допустимых значениях произвольных постоянных удовлетворяют
обоим уравнениям системы уравнений (1.2). При этом в области, в которой
выполнены условия теоремы существования и единственности, можно получить решение любой задачи Коши.
§ 3. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
(ЛОС ДУ).
ЛОС ДУ для функции y(x), z(x) называется система уравнений вида
 dy
 dx  a11 ( x) y  a12 ( x) z

 dz  a ( x) y  a ( x) z
21
22
 dx
(3.1)
где a11 ( x), a12 ( x), a21 ( x), a22 ( x) - непрерывные на (a,b) функции.
Свойства решений ЛОС ДУ (3.1).
1.
Сумма двух решений системы (3.1) – тоже решение этой системы.
Доказательство:
Пусть y1 , z1 и y2 , z2 – два каких-либо решения системы (3.1). Тогда
d ( y1  y 2 ) dy1 dy 2


 a11 ( y1  y 2 )  a12 ( z1  z 2 ) 
dx
dx
dx
 (a11 y1  a12 z1 )  (a11 y 2  a12 z 2 ).
Но
dy1
dy 2
 a11 y1  a12 z1 и
 a11 y 2  a12 z 2 .
dx
dx
45
Аналогично рассматривается и второе уравнение системы (3.1).
2.
Если y(x), z(x) – решение ЛОС ДУ и c – произвольная константа, то
cy(x), cz(x) – тоже решение (3.1). Доказательство свойства аналогично доказательству свойства 1.
Следствие.
Если y1 ( x), z1 ( x) и y2 ( x), z2 ( x) - решения системы (3.1), то выражение вида
 y( x)  c1 y1 ( x)  c2 y 2 ( x)

 z ( x)  c1 z1 ( x)  c2 z 2 ( x)
где c1 ,c2 - произвольные постоянные, тоже решение (3.1).
Определение 1. Система функций y1 ( x), z1 ( x) и y2 ( x), z2 ( x) называется линейно независимой на некотором интервале (a,b), если из системы равенств
c1 y1 ( x)  c 2 y 2 ( x)  0

c1 z1 ( x)  c2 z 2 ( x)  0
 x  ( a, b)

(3.2)
Следует, что c1  c2  0
В противном случае система функций y1 ( x), z1 ( x) и y2 ( x), z2 ( x) - линейно зависима на (a,b).
Определение 2. Определитель, составленный для системы функций
y1 ( x), z1 ( x) и y2 ( x), z2 ( x) называется определителем Вронского и обозначает-
ся W(x). Итак
W ( x) 
y1 ( x) y2 ( x)
z1 ( x) z2 ( x)
.
Теорема 1. Определитель Вронского для линейно независимой на интервале
(a,b) системы решений y1 , z1 и y2 , z 2 ЛОС ДУ не равен нулю ни в одной точке (a,b).
Доказательство.
Докажем теорему методом от противного. Предположим, что существует
точка x0  (a, b) , в которой
46
W ( x0 ) 
y1 ( x0 ) y2 ( x0 )
z1 ( x0 ) z2 ( x0 )
 0.
Составим линейную однородную систему уравнений с неизвестными
c1 и c2 :
c1 y1 ( x0 )  c2 y2 ( x0 )  0

c1 z1 ( x0 )  c2 z 2 ( x0 )  0
(3.3)
Так как определитель системы (3.3) равен нулю, то система имеет бесконечное множество ненулевых решений. Пусть c10 , c20 - одно из них. С помощью
этих констант и двух линейно независимых на (a,b) решений системы (3.1)
y1 ( x), z1 ( x) и y2 ( x), z 2 ( x) составим две функции
y ( x)  c10 y1 ( x)  c 20 y 2 ( x)
z ( x)  c10 z1 ( x)  c 20 z 2 ( x)
(3.4)
Согласно следствию из свойств решений ЛОС ДУ функции (3.4) являются
решениями системы (3.1), которые в силу (3.3) в точке
x 0 обращаются в
нуль. Следовательно, y(x), z(x) – решение следующей задачи Коши:
 dy
 dx  a11 y  a12 z

 dz
  a 21 y  a 22 z
 dx
 y ( x 0 )  0, z ( x 0 )  0


Но таким решением может быть только нулевое решение: y(x)=0, z(x)=0 при
x  (a, b) , т.е.
c10 y1 ( x)  c20 y2 ( x)  0

c10 z1 ( x)  c20 z 2 ( x)  0
 x  ( a, b)

Причем c10  0, c20  0 . Это означает, что система функций y1 , z1 и y2 , z 2
линейно зависима на (a,b), что противоречит условию теоремы. Значит наше
47
предположение о существовании на (a,b) точки
x 0 , в которой W ( x0 )  0 , не-
верно, что и доказывает теорему.
Определение 2. Линейно независимые на (a,b) решения ЛОС ДУ y1 ( x), z1 ( x)
и y2 ( x), z2 ( x) называются фундаментальной системой решений системы (3.1).
Теорема 2. Если семейство функций y1 ( x), z1 ( x) и y2 ( x), z2 ( x) образует фундаментальную систему решений ЛОС ДУ (3.1), то их линейная комбинация
 y( x)  c1 y1 ( x)  c2 y 2 ( x)
,

 z ( x)  c1 z1 ( x)  c2 z 2 ( x)
(3.5)
где c1 ,c2 - произвольные постоянные, дает общее решение системы (3.1)
Доказательство.
1.
Выражение (3.5), согласно следствию из свойств решений ЛОС ДУ, яв-
ляется решением системы уравнений (3.1).
2.
Докажем, что (3.5) – общее решение (3.1), т.е. докажем, что каковы бы
ни были начальные условия задачи Коши y( x0 )  y 0 , z ( x0 )  z 0 , всегда
найдутся значения постоянных c10 , c20 такие, что выделенное из общего
частное решение ЛОС ДУ:
 y ( x)  c10 y1 ( x)  c20 y 2 ( x)

 z ( x)  c10 z1 ( x)  c20 z 2 ( x)
будет удовлетворять этим условиям. Для этого подставим в (3.5) начальные
условия:
 y ( x0 )  y0  c1 y1 ( x0 )  c2 y2 ( x0 )

 z ( x0 )  z0  c1 z1 ( x0 )  c2 z 2 ( x0 )
(3.6)
Определителем этой алгебраической системы линейных уравнений является
определитель Вронского W ( x0 ) :
W ( x0 ) 
y1 ( x0 ) y2 ( x0 )
z1 ( x0 ) z2 ( x0 )
,
48
который, согласно теореме 1, не равен нулю. Следовательно, система уравнений (3.6) имеет решение c10 , c20 и притом единственное.
§ 4. ЛОС ДУ с постоянными коэффициентами.
Эта система имеет вид
 dy
 dx  a11 y  a12 z

 dz  a y  a z
21
22
 dx
(4.1)
где a11 , a12 , a21 , a22 - постоянные. Система (4.1) имеет фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций. Основным методом
построения фундаментальной системы решений (4.1) является метод Эйлера.
Согласно
этому
методу,
решение
ЛОС
ДУ
ищется
в
виде
y ( x)  1 e x , z ( x)   2 e x
Дифференцируем обе функции по x и подставляем в (4.1):
x
x
x

 1e  a11 1e  a12 2 e

x
x
x

 2 e  a 21 1e  a 22 2 e
Сокращаем оба уравнения системы на e x  0 :
(a11   )1  a12 2  0

a211  (a22   ) 2  0
(4.2)
Так как 1 , 2 ,  - некоторые постоянные числа, подлежащие определению,
среди которых хотя бы одно отлично от нуля, то определитель системы (4.2)
должен быть равен нулю
(a11   ) a12
a21
(a22   )
0
(4.3)
Уравнение (4.3) называется характеристическим уравнением, а его корни –
характеристическими числами системы (4.1). Каждому из корней характери49
стического уравнения соответствует хотя бы одно частное решение указанного выше вида. Различают три случая.
Оба корня характеристического уравнения вещественны и различны:
1.
1 , 2  R, 1  2 . Подставляем 1 в одно из уравнений системы (4.2), напри1
1
мер, в первое уравнение: (a11   )1  a12 2  0. Из него с точностью до кон-
станты определяем 11 , 21 , откуда получаем первое решение ЛОС ДУ:
y1 ( x)  11e1x , z1 ( x)   21e 1x . То же самое проделываем со вторым корнем ха-
рактеристического уравнения 2 и в результате получаем второе, линейно
независимое на
2
, решение ЛОС ДУ: y2 ( x)  1 e
2 x
, z2 ( x)   22 e2 x . Следо-
вательно, согласно теореме 2 §3 общим решением системы (4.1) будет следующее семейство функций:
y( x)  c111e1x  c212 e2 x
z ( x)  c1 21e1x  c2 22 e2 x .
2.
Если 1  a  ib - корень характеристического уравнения, то 2  a  ib .
Подставляем 1 в одно из двух уравнений системы (4.2) и с точностью до постоянной получаем 11 , 21 . Теперь можно составить первое решение системы
(4.1):
y1 ( x)  11e 1x  11e ( a ib) x  11e ax  e ibx  11e ax (cos bx  i sin bx)  ~
y1 ( x)  i  ~
y 2 ( x)
z1 ( x)   21e ax (cos bx  i sin bx)  ~
z1 ( x)  i  ~
z 2 ( x) .
Отделив вещественную и мнимую части, получим два вещественных линейно независимых частных решения системы (4.1), соответствующих корню
a+ib. Решения, соответствующие корню a-ib, будут линейно зависимы с решениями, соответствующими крню a+ib.
Итак, общее решение ЛОС ДУ в этом случае имеет вид:
y( x)  c  ~
y ( x)  c  ~
y ( x)
1
1
2
2
z( x)  c1  ~
z1 ( x)  c2  ~
z2 ( x) .
50
3. 1  2  
В случае кратного корня характеристического уравнения предлагается представить общее решение системы уравнений (4.1) в следующем виде:
y( x)  e x (c1  c2 x), z ( x)  e x (a1  a2 x) , где c1 , c2 , a1 , a2 - постоянные числа,
причем a1 и a 2 должны быть выражены через c1 и c2 . Рассмотрим поясняющий пример.
Пример. Найти общее решение системы:
 y  y  z

 z   y  3z
Решение
x
y ( x)  1e , z ( x)   2 e
x
. Характеристическое уравнение:
1   1
 0.
1
3
Его корни: 1  2  2 . Следовательно y( x)  e 2 x (c1  c2 x), z ( x)  e 2 x (a1  a2 x) .
Продифференцируем y(x) и подставим y , z , y  в первое уравнение исходной
системы: 2e 2 x (c1  c2 x)  c2 e 2 x  e 2 x (c1  c2 x)  e 2 x (a1  a2 x) .
Откуда после сокращения на e
2x
получаем c1  c2 x  c2  (a1  a2 x)
Приравняем в этом тождестве множители при одинаковых степенях x . В результате получим: a1  (c1  c2 ), a2  c2 . Итак, общее решение заданной системы уравнений имеет вид:
y( x)  e 2 x (c1  c2 x)
z ( x)  e 2 x ((c1  c2 )  c2 x),
где c1 и c2 - произвольные постоянные.
§ 5. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
(ЛНС ДУ).
Определение 1. ЛНС ДУ называется система уравнений следующего вида
51
 dy
 dx  a11 ( x) y  a12 ( x) z  f1 ( x)

 dz  a ( x) y  a ( x) z  f ( x)
21
22
2
 dx
(5.1)
где a11, a12 , a21, a22 , f1 , f 2 - заданные непрерывные на интервале (a,b) функции.
Теорема 1. Общее решение ЛНС ДУ (5.1) представляет собой сумму общего
решения соответствующей ЛОС ДУ (3.1) и какого-либо частного решения
системы (5.1):
Доказательство.
1.
Прежде всего докажем, что (5.2) является решением ЛНС ДУ (5.1). Для
этого, подставим выражение (5.2) в (5.1) и покажем, что в результате получим тождество.
т.е. имеем 0  0 .
Аналогичный вывод имеет место и для второго уравнения системы (5.1).
2. Во втором разделе доказательства докажем, что выражение (5.2) дает общее решение ЛНС. Для этого надо показать, что всегда найдутся числа
c10 , c20 такие, что выделенное из семейства (5.2) частное решение будет удовлетворять начальным условиям y( x0 )  y0 , z ( x0 )  z0 (5.3).
Согласно теореме 2 § 3 выражение (5.2) можно переписать в виде:
 y ( x)  c1 y1 ( x)  c2 y2 ( x)  y * ( x)

 z ( x)  c1 z1 ( x)  c2 z 2 ( x)  z * ( x)
(5.4)
где y1 ( x), z1 ( x) и y2 ( x), z2 ( x) образуют фундаментальную систему решений
ЛОС ДУ. Подставим в (5.4) начальные условия:
52
 y0  c1 y1 ( x0 )  c2 y2 ( x0 )  y * ( x0 )

 z0  c1 z1 ( x0 )  c2 z 2 ( x0 )  z * ( x0 )
Или
c1 y1 ( x0 )  c2 y2 ( x0 )  y0  y * ( x0 )

c1 z1 ( x0 )  c2 z 2 ( x0 )  z0  z * ( x0 )
(5.5)
Определитель этой системы уравнений есть определитель Вронского
W ( x0 ) 
y1 ( x0 ) y2 ( x0 )
z1 ( x0 ) z2 ( x0 )
Но согласно теореме 1 § 3 он не равен нулю W ( x0 )  0 , следовательно, система
уравнений
(5.5)
имеет
решение
и
притом
единственное:
c1  c10 , c2  c20 .
Теорема доказана.
§ 6. Метод вариации произвольных постоянных.
Применим этот метод для решения ЛНС ДУ (5.1). Общее решение ЛОС ДУ
 yo.o. ( x)  c1 y1 ( x)  c2 y2 ( x)
(3.1) дается формулой 
 zo.o. ( x)  c1 z1 ( x)  c2 z2 ( x)
где c1 и c2 - произвольные постоянные. Будем искать решение системы (5.1)
 y ( x)  c1 ( x) y1 ( x)  c2 ( x) y2 ( x)
в виде 
 z ( x)  c1 ( x) z1 ( x)  c2 ( x) z2 ( x)
(6.1)
где c1 ( x) и c2 ( x) - функции, подлежащие определению.
Подставим (6.1) в (5.1):
c1 y1  c1 y1  c2 y 2  c2 y 2  a11c1 y1  a11c2 y 2  a12 c1 z1  a12 c2 z 2  f1 
 c1 (a11 y1  a12 z1 )  c2 (a11 y 2  a12 z 2 )  f1
Откуда получаем c1 y1  c2 y2  f1
53
Аналогично получаем второе уравнение для функций c1 , c2 : c1z1  c2 z2  f 2 .
Итак, для производных c1 , c2 имеем систему уравнений
c1 y1  c2 y2  f1

c1 z1  c2 z 2  f 2
(6.2)
определитель которой есть определитель Вронского для фундаментальной
системы решений системы (3.1), который не обращается в нуль ни в одной
точке (a,b). Поэтому решая систему (6.2), однозначно определяются c1 и c2 :
c1( x)   1 ( x) и c2 ( x)   2 ( x) . Интегрируем эти выражения и подставляем результат в формулу (6.1).
Введение
Исследование поведения различных систем (технические, экономические,
экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными.
Отдельные задачи об определении касательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значений переменных величин были решены ещё математиками Древней Греции. Например, были найдены способы
построения касательных к коническим сечениям и некоторым другим кривым. Однако разработанные античными математиками методы были применимы лишь в весьма частных случаях и далеки от идей Дифференциальное
исчисление
Эпохой создания Дифференциальное исчисление как самостоятельного раздела математики следует считать то время, когда было понято, что указанные специальные задачи вместе с рядом других (в особенности с задачей
определения мгновенной скорости) решаются при помощи одного и того же
математического аппарата — при помощи производных и дифференциалов.
Это понимание было достигнуто И. Ньютоном и Г. Лейбницем.
54
Около 1666 И. Ньютон разработал метод флюксий (см. Флюксий исчисление). Основные задачи Ньютон формулировал в терминах механики: 1)
определение скорости движения по известной зависимости пути от времени;
2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости.
Непрерывную переменную Ньютон называл флюентой (текущей), её скорость — флюксией. Т. о., у Ньютона главными понятиями были производная
(флюксия) и неопределённый интеграл как первообразная (флюента). Он
стремился обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, хотя последняя была им лишь намечена.
В середине 70-х гг. 17 в. Г. Лейбниц разработал очень удобный алгоритм Дифференциальное исчисление Основными понятиями у Лейбница
явились дифференциал как бесконечно малое приращение переменного и
определённый интеграл как сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Лейбницу принадлежат обозначения дифференциала dx и интеграла
ydx, ряд правил дифференцирования, удобная и гибкая символика и, наконец, сам термин «дифференциальное исчисление». Дальнейшее развитие
Дифференциальное исчисление шло сначала по пути, намеченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы братьев Я. и И. Бернулли,
Б. Тейлора и др.
Следующим этапом в развитии Дифференциальное исчисление были
работы Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 в.). Эйлер впервые стал излагать его
как аналитическую дисциплину, независимо от геометрии и механики. Он
вновь выдвинул к качестве основного понятия Дифференциальное исчисление производную. Лагранж пытался строить Дифференциальное исчисление
алгебраически, пользуясь разложением функций в степенные ряды; ему, в
частности, принадлежит введение термина «производная» и обозначения у'
или f' (x). В начале 19 в. была удовлетворительно решена задача обоснования
Дифференциальное исчисление на основе теории пределов. Это было выполнено главным образом благодаря работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса.
55
Цель работы: рассмотреть решение дифференциальных уравнений в частных
производных.
Задачи работы – рассмотреть вопросы:
 Виды дифференциальных уравнений;
 Численные методы решения дифференциальных уравнений в
частных производных;
 Дифференциальные уравнения высших порядков в частных производных.
56
1. Основные понятия разностных схем
Помимо дифференциальных уравнений задачи рассматриваемые задачи включают дополнительные условия - краевые и начальные условия, которые обеспечивают выделение единственного решения во всей совокупности
возможных решений.
При формулировке разностной задачи, помимо аппроксимации дифференциального уравнения, необходимо описывать в разностном виде эти дополнительные условия. Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение и дополнительные условия
(краевые и начальные) называется разностной схемой.
Задача о численном решении дифференциального уравнения [8] в области сводится к вопросу о нахождении решения алгебраической системы,
которую получают, сделав два шага:
1) заменив область непрерывного аргумента областью дискретного его
изменения;
2) заменив дифференциальный оператор некоторым разностным оператором и сформулировав разностный аналог для краевых и начальных условий.
После осуществления такой процедуры приходят к алгебраической системе уравнений.
При численном решении задачи в области выбирается некоторое конечное множество точек и приближенное решение ищется только в этих точках. Такое множество точек называется сеткой, а отдельные точки называются узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функций. Свойства разностного решения, в частности, его близость к
точному решению зависит от выбора сетки.
Ниже приводятся несколько примеров сеток.
Пример 1. Равномерная сетка на отрезке. Разбивают единичный отрезок [0,1] на N равных частей. Пусть xi – фиксированная точка. Расстояние
между соседними узлами xi - xi-1=h=1/N — называют шагом сетки. Точки деления xi=ih — узлы сетки. Множество всех узлов h={xi=ih, i=1, 2, . . . ,N - 1}
составляют сетку. В это множество можно включить граничные точки x0=0,
xN=1. Обозначают это множество h = {xi = ih, i = 0, 1, . . . , N}.
Пример 2. Равномерная сетка на плоскости. Рассматривается множество функций двух аргументов u(x, t). В качестве области определения выбирается прямоугольник
Разбивают отрезки [0,1] оси x и [0, T] оси t соответственно на M и N частей: h = 1/M,  = 1/N. Через точки деления проводят прямые, параллельные
соответствующим осям. В результате этих пересечений получают узлы (xi,
tk), которые образуют сетку
57
Эта сетка имеет шаги h и  соответственно по направлениям х и t. Соседними узлами сетки называют узлы, лежащие на одной и той же прямой
(горизонтальной или вертикальной), расстояние между которыми равно шагу
сетки (h или  ).
Пример 3. Неравномерная сетка на отрезке. На отрезке [0,1] вводят
произвольные точки 0 < x1 < x2 < . . . < xN-1 < 1. Множество узлов {xi, i = 0,
. . . , N, x0 = 0, xN = 1} образуют неравномерную сетку [0, 1]. Расстояние
между соседними узлами - шаг сетки, - равно hi=xi - xi-1 и зависит от номера
i узла, т. е. является сеточной функцией. Шаг сетки удовлетворяет условию
нормировки
Пример 4.Сетка в двумерной области. На плоскости (x,y) дана область
G сложной формы с границей Г. Проводят прямые xi = ih1, i = 0,±1,±2, . . . ,
h1 > 0; yk = kh2, k = 0,±1,±2, . . . , h2 > 0. Тогда на плоскости (x, y) получают
сетку (решетку) с узлами (ih1, kh2), i,k = 0,±1,±2, . . . . Эта решетка равномерна по каждому из направлений 0x1 и 0x2. Те узлы (ih1, kh2), которые попали
внутрь G, называют внутренними, и их совокупность обозначают h. Точки
пересечения прямых xi = ih1 и yk = kh2, i, k = 0,±1,±2, . . . с границей Г называют граничными, а множество всех граничных узлов обозначают h. Узлы,
которые принадлежат области G = G+ Г составляют неравномерную вблизи
границы сетку  h = h + гh.
Итак, область G изменения аргумента х заменяется сеткой  h, т. е. конечным множеством точек xi, принадлежащих G .
Вместо функций u(x) непрерывного аргумента x  G рассматриваются
сеточные функции v(xi), т.е. функции точки xi, являющейся узлом сетки  h =
{xi}. Сеточную функцию v(xi) можно представить в виде вектора.
Если перенумеровать все узлы в некотором порядке x1, x2, . . . , xN, то
значения сеточной функции в этих узлах можно рассматривать как компоненты вектора V =(v1, . . . , vi, . . . , vN). Если область G, в которой построена
сетка, конечна, то размерность N вектора V конечна. В случае неограниченной области G сетка состоит из бесконечного числа узлов и размерность вектора V также бесконечна.
Обычно рассматривают множество сеток {h}, зависящих от шага h
как от параметра. Поэтому сеточные функции vh(x) зависят от параметра h
(или от числа узлов N в случае равномерной сетки). Если сетка {h} неравномерная, то под h понимают вектор h = (h1, h2, . . . , hN). Это замечание относится и к случаю, когда область G многомерна, x = (x1, . . . , xp); тогда h =
(h1, h2, . . . , hp), если сетка h равномерна по каждому из аргументов x1, x2, .
. . , xp.
Функции u(x) непрерывного аргумента x  G являются элементами некоторого функционального пространства Ho. Множество сеточных функций
vh(x) образуют пространство Hh. Таким образом, используя метод конечных
58
разностей, заменяют пространство Ho пространством Hh сеточных функций
vh(x).
Рассматривая множество сеток {h}, получают множество {Hh} пространств сеточных функций, зависящих от параметра h. На линейном пространстве Hh вводят норму _ · _h, являющуюся сеточным аналогом нормы _ ·
_0 в исходном пространстве Ho.
Простейшие типы норм в Hh для случая сетки h = {xi = ih} вводят
следующим образом.
1) Сеточный аналог нормы в С:
2) Сеточные аналоги нормы в L2:
Основными понятиями теории разностных схем являются следующие:
аппроксимация, корректность (устойчивость) и сходимость.
Свойство аппроксимации означает близость разностного оператора к
дифференциальному, причем отсюда не следует близость решения дифференциальной и разностной задач. Свойство устойчивости разностной схемы
является ее внутренним свойством, не зависящим от того, аппроксимирует ли
эта схема какое-либо дифференциальное уравнение. Однако, если разностная
схема аппроксимирует корректно поставленную задачу и устойчива, то ее
решении сходится при |h|  0 к решению исходной дифференциальной задачи.
Основной интерес для теории приближенных методов представляет
оценка близости vh к u. Однако эти функции принадлежат разным пространствам.
Можно сеточную функцию vh, заданную в узлах сетки, доопределить
(например, при помощи линейной интерполяции) во всех остальных точках
области G. В результате получают функцию v(x, h) непрерывного аргумента.
Тогда близость vh к u характеризуется числом ||v(x, h) - u||o.
Но обычно пространство Ho отображается на пространство Hh. Для
этого вводят оператор проектирования Ph : Ho Hh. Это по определению
линейный оператор, сопоставляющий каждой функции u(x)  Ho функцию
uh(x), x  h, так что uh(x) = Phu(x)  Hh.
Пример 1. Пусть Ho - пространство непрерывных на [0,1] функций и
 h - равномерная сетка с шагом h. Тогда полагают (Phu)(xi) = u(xi), i = 0,N.
Пример 2. Пусть Ho - пространство функций, интегрируемых на [0,1],
 h — равномерная сетка. В качестве оператора проектирования можно взять
оператор осреднения
59
Принято выбирать норму в пространстве Hh так, чтобы при стремлении
|h| к нулю, она переходила в ту или иную норму функций, заданных во всей
области G, т.е. чтобы выполнялось условие согласования норм в Hh с нормой
в Ho. Это означает, что для любого u  Ho выполняется условие
Требование согласования норм обеспечивает единственность предела
сеточных функций при |h|  0. Действительно, если для u, y  Ho имеют
то согласно (1.3)
2. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных уравнений
Пусть задан линейный дифференциальный оператор L, действующий
на гладкую функцию u(x), xG. Вводят на G=GГ сетку h и рассматривают
сеточную функцию uh(x), xh. Заменяя входящие в Lu производные разностными отношениями, получают вместо Lu разностные выражения Lhuh,
являющиеся линейной комбинацией значений сеточной функции uh на некотором множестве узлов сетки, называемых шаблоном
где Ah(x, о) - коэффициенты, h - шаг сетки, Ш(x) - шаблон. Такая замена Lu на Lhuh называется аппроксимацией на сетке дифференциального оператора L разностным оператором Lh (или разностной аппроксимацией оператора L).
Изучение разностных аппроксимаций Lh оператора L обычно проводится локально, т. е. в любой фиксированной точке сетки. Если u(x) непрерывная функция, то uh(x) = u(x).
Построение Lh начинается с выбора шаблона Ш(), т. е. с указания множества соседних с узлом узлов, в которых значения сеточной функции u(x)
могут быть использованы для аппроксимации оператора L.
60
В этом пункте рассматриваются примеры разностной аппроксимации
для простейших дифференциальных операторов.
Пример 1.Lu = du/dx
Фиксируют некоторую точку оси х и берут точки x-h и x+h, где h>0.
Для аппроксимации Lu = du/dx можно воспользоваться одним из следующих
выражений
Выписанные здесь разностные отношения называются соответственно,
правой, левой и центральной разностными производными в точке х.
В качестве разностной аппроксимации иногда берут линейную комбинацию
где у - любое вещественное число.
При у = 0, 5 получают
Возникает вопрос: какую ошибку допускают, используя ту или иную
разностную аппроксимацию и как ведет себя разность (x) = Lhu(x) - Lu(x) в
точке х при h  0. Величина (x) называется погрешностью разностной аппроксимации Lu в точке х.
Разлагают u(x) по формуле Тейлора
(предполагая при этом, что функция u(x) — достаточно гладкая в некоторой окрестности (x - ho, x + ho) точки х и h < ho, ho — фиксированное число). Подставляя это разложение в (1.4), (1.5) и (1.6), получают
Отсюда видно, что =ux-u_(x)=O(h), =u¯x-u_(x)=O(h), =uxu_(x)=O(h2).
Говорят,что Lh аппроксимирует дифференциальный оператор L с порядком m > 0 в точке x, если
61
3. Метод сеток для решения задачи Дирихле
Рассмотрим в качестве учебного примера проблему численного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона, определяемую как задачу нахождения функции
удовлетворяющей в области определения D уравнению
и принимающей значения
на границе
области (f и g являются функциями, задаваемыми при постановке задачи). Подобная модель может быть
использована для описания установившегося течения жидкости, стационарных тепловых полей, процессов теплопередачи с внутренними источниками
тепла и деформации упругих пластин и др. Данный пример часто используется в качестве учебно-практической задачи при изложении возможных способов организации эффективных параллельных вычислений [4].
Для простоты изложения материала в качестве области задания функции
далее будет использоваться единичный квадрат
Одним из наиболее распространенных подходов численного решения дифференциальных уравнений D является метод конечных разностей (метод сеток)
[5,11]. Следуя этому подходу, область решения представляется в виде дискретного (как правило, равномерного) набора (сетки) точек (узлов). Так,
например, прямоугольная сетка в области может быть задана в виде:
где величина N задает количество узлов по каждой из координат области D.
Обозначим оцениваемую при подобном дискретном представлении аппроксимацию функции
в точках
через . Тогда, используя пятиточечный шаблон для вычисления значений производных, уравнение Пуассона
может быть представлено в конечно-разностной форме
Данное уравнение может быть разрешено относительно
Разностное уравнение, записанное в подобной форме, позволяет определять
значение по известным значениям функции
в соседних узлах используемого шаблона. Данный результат служит основой для построения различных итерационных схем решения задачи Дирихле, в которых в начале вычислений формируется некоторое приближение для значений , а затем эти значения последовательно уточняются в соответствии с приведенным соотношением. Так, например, метод Гаусса-Зейделя для проведения итераций
уточнения использует правило
по которому очередное k-ое приближение значения вычисляется по последнему k-ому приближению значений
и
и предпоследнему (k-1)-ому
приближению значений
и
. Выполнение итераций обычно продолжа62
ется до тех пор, пока получаемые в результате итераций изменения значений
не станут меньше некоторой заданной величины (требуемой точности вычислений). Сходимость описанной процедуры (получение решения с любой
желаемой точностью) является предметом всестороннего математического
анализа (см., например, [5,11]), здесь же отметим, что последовательность
решений, получаемых методом сеток, равномерно сходится к решению задачи Дирихле, а погрешность решения имеет порядок .
Рис. 1. Прямоугольная сетка в области D (темные точки представляют внутренние узлы сетки, нумерация узлов в строках слева направо, а в столбцах сверху вниз).
Для примера на рис. 2 приведен вид функции , полученной для задачи Дирихле при следующих граничный условиях:
Рис. 6.2. Вид функции
в примере для задачи Дирихле
Общее количество итераций метода Гаусса-Зейделя составило 210 при точности решения
и
(в качестве начального приближения величин
использовались значения, сгенерированные датчиком случайных чисел из
диапазона [-100,100]).
2. Численные методы решения дифференциальных уравнений в
частных производных
63
Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений
позволяют найти решение в виде аналитической функции, однако эти методы
применимы для очень ограниченного класса функций. Большинство уравнений, встречающихся при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов.
В таких случаях используются численные методы решения, которые представляют решение дифференциального уравнения не в виде аналитической
функции, а в виде таблиц значений искомой функции в зависимости от значения переменной.
Существует несколько методов численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые отличаются друг от друга по сложности вычислений
и точности результата.
Рассмотрим некоторые из них.
Метод Эйлера.
Леонард Эйлер (1707 – 1783) швейцарский математик[9,c. 105]
Известно, что уравнение
задает в некоторой области поле направлений. Решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает
кривую, которая касается поля направлений в любой точке.
Если взять последовательность точек х0, х1, х2, …. и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную линию.
y
M2
M1
M3
При подстановке заданных начальных условий (х0, у0) в дифференциальное
уравнение
получаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в начальной точке
Заменив на отрезке [x0, x1] интегральную кривую на касательную к ней, получаем значение
Производя аналогичную операцию для отрезка [x1, x2], получаем:
Продолжая подобные действия далее, получаем ломаную кривую, которая
называется ломаной Эйлера.
Можно записать общую формулу вычислений:
64
Если последовательность точек хi выбрать так, чтобы они отстояли друг от
друга на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:
Следует отметить, что точность метода Эйлера относительно невысока. Увеличить точность можно, конечно, уменьшив шаг вычислений, однако, это
приведет к усложнению расчетов. Поэтому на практике применяется так
называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчета.
Суть метода состоит в том, что в формуле
вместо значения
берется среднее арифметическое значений f(x0, y0) и f(x1, y1). Тогда уточненное значение:
Затем находится значение производной в точке
средним арифметическим значений f(x0, y0) и
ненное значение у1.
. Заменяя f(x0, y0)
, находят второе уточ-
Затем третье:
и т.д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату
точки М1 ломаной Эйлера.
Аналогичная операция производится для остальных значений у.
Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата.
3. Дифференциальные уравнения высших порядков в частных
производных
Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:
В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n):
Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют
бесконечное количество решений.
Определение. Решение
удовлетворяет начальным условиям
, если
Определение. Нахождение решения уравнения
ряющего начальным условиям
Коши.
, удовлетво-
, называется решением задачи
65
Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши).
Если функция (n-1) –й переменных вида
в некоторой области
D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные
производные по
, то какова бы не была точка (
) в
этой области, существует единственное решение
уравнения
, определенного в некотором интервале, содержащем
точку х0, удовлетворяющее начальным условиям
.
Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может
быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов[4,c. 331].
Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно
легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка[10,c. 224].
Уравнения вида y(n) = f(x).
Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.
Пример. Решить уравнение
с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1;
Подставим начальные условия:
Получаем частное решение (решение задачи Коши):
66