Примеры. Хорошо этот вывод записать математически a , если а 0 - а, если а 0 /а/= Наряду с простыми примерами, которые предлагает учебник в теме «Действия с рациональными числами» хорошо рассмотреть уравнения вида: // = 5 / / = -3 // = 0 1 / 2 / 1, 3 1 / 2 7 / 2 3 / - 3/ = 2 2 /6+ / = 5, 1 / 2 7 / 2 3 Например: / 2 7 / 2 /3 - 4/ = 1 1 3 /2 - 7/ = 6 2 - 7 = 6 2 -7 = 6 и 2 - 7 = - 6 2 = 13 2 =1 = 6,5 Ответ: = 1 2 1 ; 6,5 2 При изучении элементарных функций и их графиков хорошо рассмотреть и построить графики таких функций как: 1 1 у = / /; у = / 3/; у = /2 /; у = / - 2/; у=-/ / 2 3 у = 2х2 - 5/ / +2 у = / 2-3 +2/ у = - 3 // + 3 Рассмотрим некоторые из них. 1. у = -3 / / + 3 у= 5 // , при х 0 то данную функцию можно записать так , при x 0 3 3, при 0 у= 3 3, при 0 На множестве [0 : ) строим график функций у = -3 +3, на множестве (- : 0) строим график функций у = 3 +3. так как / / = 1 2. у = 2 2 - 5/ /+2 2 2 5 2, при 0 у 2 2 5 2, при 0 На множестве (- : 0) строим график функции у = 2 2+5 +2, на множестве [0 : ) - график функции у = 2 2 - 5 +2 3. После изучения квадратных неравенств можно рассмотреть график функции у = / 2 - 3 +2/ 2 3 2, если 2 3 2 0 у= 2 2 3 2, если 3 2 0 2 2 Решая неравенства 3 2 0 и 3 2 0 получаем, что неравенство 2 3 2 0 верно при ( : 1] 2 : , а неравенство 2 3 2 0 верно при (1 : 2) Получили 2 3 2, при (- :1] [2 : ) у 2 3 2, при (1 : 2) 2 На примере этого графика можно сделать вывод или вернее правило построения любой функции вида у = / f () / . Правило: 1) строим график функции у = f ( ) . 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, то есть где f ( ) < 0, строим кривую, симметричную относительно оси ОХ или проще: та часть графика, которая расположена под осью ОХ зеркально отображается вверх. Например: у / 4 / 1. Строим график функции у 4 2. График нижней полуплоскости отображаем зеркально (симметрично) вверх относительно оси ОХ. При изучении темы «Линейные неравенства» можно рассмотреть решение неравенств вида / / 2 и / / 2. Объяснение вести, опираясь на понятие, что модуль это расстояние. Выражение / / 2 можно читать как: Отложить расстояние от начала отсчета больше или равное «2». Расстояние можно отложить и влево и вправо. Расстояние большее или равное «2», отложенное право от начала отсчета, 3 соответствует точкам, координаты которых больше или равны «2». Следовательно 2 или 2 : Расстояния, отложенные влево, соответствуют точкам, координаты которых меньше или равны (-2), следовательно -2, или ( : 2] . Получили, что решение неравенства / / 2 является объединение двух промежутков (- : - 2 ] [2: ). В общем виде неравенства / / a при а > 0 имеет решение: (- : - а ] [а : ). Рассмотрим решение неравенства вида / / a. Объяснение вести, опираясь на рисунок. Пример / / 2 Решение будет объединение двух промежутков (-2 : 0] и [0 : 2). Их удобно записать одним промежутком (-2 : 2). Итак: Решением неравенства вида / / < а, при а > 0 будет промежуток (- а : а). Для закрепления можно перейти к решению следующих неравенств. /2 -3/ 3 /2 +5/ >2 - 3 < 2 - 3 < 3 2 +5 >2 и 2 +5<-2 - 3 + 3 < 2 <3+3 2 >2-5 2< - 2 - 5 0 < 2 < 6 2 > - 3 2 < - 7 0 < < 3 > -1,5 < - 3,5 Ответ: (0 : 3) Ответ: ( : 3,5) (1,5 : ) При изучении системы линейных неравенств предложить неравенства вида 1) / 4 / 2 5 Опираясь на то, что решением неравенства / / a является -а < <a можно записать: - (2 +5) < х - 4 < 2 +5 Это двойное неравенство можно записать в виде системы: 4 2 5 4 2 5 9 3 1 9 1 1 3 3 1 3 Ответ: ( ; ) 2. (2 -3) > 5+ Опираясь на то, что решением неравенства / / > а является объединение решений двух неравенств > а и <-а, можно записать: 2 -3 <- (5+ ) 2 3 5 и 3 <-2 >8 <- 2 3 4 Решением первого неравенства будет (8: ). Решением второго неравенства будет 2 3 ( : ) . В ответ идет объединение этих двух промежутков. Решить уравнение / +6/ 3- Опираясь на то, что уравнение вида / / = а, а 0 имеет решение = а, то данное уравнение распадается на две системы: 3 0 6 3 3 2 3 3 1,5 3 0 6 (3 ) 3 6 3 3 решения нет 6 3 Ответ: -1,5 После знакомства с «модулем», решением простых уравнений и неравенств перейти к более полному изучению «модулей». Это можно сделать на факультативных занятиях или выделить несколько уроков, взятых из повторения. Рассмотреть все свойства «модуля» и показать их на примерах. Свойства: 1. / / 0 χ, χ 0 χ, χ 0 / /= 2. /ав/ = /а/ ·/в/ a /a/ 3. / / в /в/ 4. /-а/ = /а/ 5. /а/ = /в/ а = в 6. /а/ < с, с > 0 - с < а < с 7. /а/ > с, а > с и а < -с при с < 0 а - любое 8. /а/2 = а2 - это свойство часто применяется при изучении темы «Вектора» как при доказательстве так и при решении задач. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ При решении уравнений с «модулем» можно выделить три основных вида решения: 1. Если уравнение имеет вид /f( )/ = / ( ) /то надо решить уравнения: f( ) = ( ) и f( ) = - ( ) и корни объединить 2. Если уравнение имеет вид /f( )/ = ( ) , то надо решить уравнение f( ) = ( ) и f( ) = - ( ) и выбрать из корней те, при которых g( ) 0 или решить две системы 5 f( ) = ( ) () 0 и f( ) = - ( ) ( ) 0 и решение каждой системы записать в ответ. 3. Если уравнение имеет вид /f1( )/+/f2( )/+… + /fn( )/ = 0 то в этом случае разбивают область определения на промежутки, внутри которых выражения стоящие под знаком «модуля» сохраняют знак. После решают уравнение на каждом из промежутков и отбирают те значения Х, которые лежат на данном промежутке. Третий вид обобщенный. Им можно пользоваться при решении уравнений и /f( )/ = ( ) и /f( )/ = / ( )/. Уравнение первого и второго видов рассматривались выше. Рассмотрим решение третьего вида. Например: /7-2 /=/5-3 /+/ 2 / . Найдем те значения , при которых каждый модуль обращается в ноль, и назовем их критическими точками. + 2= 0 7-2 = 0 5-3 = 0 = 3,5 =-2 5 = 3 2, 5 , 3,5 – критические точки которые разбивают всю область определения на 3 промежутки: 5 5 (- ; -2], (-2: ], ( : 3,5], (3,5 : ) 3 3 Рассмотрим данное уравнение на каждом из промежутков и найдем его корни. а) ( : 2 ] 7-2 =5-3 -( +2) 2 =-4 =-2, -2 ( : 2 ] следовательно =-2 корень. 5 б) (2; ] 3 7-2 =5-3 + +2 0=0 5 Получили тождество, следовательно - любое. Решением будет промежуток (-2: ] 3 5 в) ( ; 3,5 ] 3 7-2 = - (5-3 )+ +2 6 =10 5 5 5 = , ( ;3,5 ] следовательно на данном промежутке решения нет. 3 3 3 г) (3,5 : ) 6 - (7-2 ) = - (5-3 ) + +2 2 = -4 = - 2, -2 (3,5 : ) следовательно решения нет на данном промежутке. 5 Ответ: =-2, (2; ] 3 5 Или ответ можно записать как промежуток [-2; ] 3 Рассмотрим уравнение: / -/4- //-2 =4 Решение: и 4 0 4 0 а) / 4 / 2 4 / 4 / 2 4 4 а) / 2 4 / 2 4 4 а) 2 4 0 2 4 2 4 4 2 решения нет 4 4 и 4 2 4 0 2 4 2 4 4 4 2 2 4 0 0 =0 корень 4 решения нет б) 4 0 4 2 4 Отчет: =0 Можно предложить решить уравнения следующие: 1. /9 -8/=4 +1 2. / 2-6 +7/=/3 -11/ 3. / +1/+/2- /=/ +3/ 4. / 4-16-( 2+4)/=/ 4-16/-/ 2+4/ Далее при изучении следующих тем можно включать уравнения с «модулем». Рассмотрим несколько уравнений 1. 2 / 2 / / 2 1 1 / 2 1 1 , х – любое 1 / 1 / 1 0 2 1 0 2 а) / 2 / б) / 2 / 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 / 1 / 1 2 1 1 2 / 2 / 2 / 2 / 2 2 2 1 2 1 2 o 2 1 2 0 / 2 / 1 / 2 / 2 2 2 1 0 1 0 2 1 / 2 / 2 7 1 2 2 20 1 2 любое [1 : ) и 1 2 2 1 2 1 1 2 1 20 1 2 2 1 1 1 3 решения нет -3 корень решения нет Ответ: {-3} [-1: ) 2) /sin / + sin .( 4) 2 0 sin 0 a) sin sin ( 4) 2 0 и sin 0 б) sin sin ( 4) 2 0 sin 0 sin sin ( 4) 2 0 sin 0 2 sin (1 ( 4) ) 0 или sin 0 1+( 4) 2 =0 n, n решения нет sin 0 получили: n, n Z = n удовлетворяет условию sin 0 , следовательно n решение sin 0 б) sin sin ( 4)2 0 sin =0 = n, n z = n и =3 не <0 5 корень или sin 0 sin (1 ( 4)2 ) 0 (х-4)2-1=0 (х-4)2 =1 /х-4/ = 1 4 1 и 4 1 5 3 удовлетворяют условию sin 8 Ответ: =5, n , n Z 3) / log 2 1/ (2 5)(log 2 1) Для решения рассмотрим две системы 0 а) log 2 1 0 log 2 1 (2 5)(log 2 1) 0 log 2 0 (log 1) (2 5)(log 1) 0 2 2 0 2 (log 2 1)(1 2 5) 0 log2 -1=0 или -2 -4=0 2 корень =-2 не удовлетворяет условию 2 и 0 б) log 2 1 0 log 2 1 (2 5)(log 2 1) 0 log 2 1 (log 1) (2 5)(log 1) 0 2 2 0 2 (log 2 1)( 1 2 5) 0 log2 -1=0 или -2 -6=0 2 3 и =-3 =2 не удовлетворяют условию 0< <2 Ответ: =2 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ Рассмотрим следующие виды решения неравенств, содержащих знак «модуля». f ( x ) () 1) / f () / () f ( x ) () f ( x) ( ) или эту систему можно записать так f ( x) ( ) 2) / f () / () данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств f ( ) ( ) и f ( ) ( ) В ответ записывают решения обоих неравенств. / f () / / () / f 2 ( ) 2 ( ) или данное неравенство можно решать также как и неравенство вида: /f1( )/+/f2( )/+…+/ f n ( )/ 0 Область допустимых значений которого разбивается критическими точками на промежутки и решается на каждом промежутке без знака модуля. Решением является объединение решений на каждом из промежутков. Решение методом интервалов. Рассмотрим несколько примеров. 1) 3 / -1/+ 2>7 3 / -1/>7- 2 3 ( -1)<-(7- 2) 3 ( -1)<-(7- 2) 3 -3<-7+ 2 2-3 -4>0 у = 2-3 -4 2-3 -4=0 и 3 ( -1)>7- 2 3 ( -1)>7- 2 3 -3>7- 2 2+3 -10>0 у = 2+3 -10 2+3 -10=0 9 1 = -1 2=4 1 = -5 2=2 Объединяя оба решения Ответ: ( : 1) (2 : ) 2) / -6/< 2-5 +9 Данное неравенство равносильно системе 2 6 5 9 2 6 ( 5 9) Решая систему получим: 2 6 15 0 2 4 3 0 у = 2 6 15 у = 2 4 3 2 6 15 =0 2 4 3 0 D<0, -любое 1= 3 2 = 1 ( : 1) (4 : ) получим. получили: ( : 1) (3 : ) любое ( : 1) (3 : ) ( : 1) (3 : ) это и есть ответ 3) / 3 1 / / 2 5 / (3 1) 2 (2 5) 2 9 2 - 6 +1>4 2-20 +25 5 2+14 - 24>0 у=5 2+14 - 24 5 2+14 - 24=0 Д = 169 1=1,2 2 4 Ответ: ( : 4) (1,2 : ) 4. / -1/+/2- />3+ =1 и = 2 критические токи, которые делят области определения на три промежутка (;1], (1;2], (2; ) а) (;1] - +1+2- >3+ 3 <0 <0 ( : 1] ( : 0) 0 10 б) (1 : 2] -1+2- >3+ <-2 (1 : 2] решения нет 2 в) ( 2 : ) -1-2+ >3+ >6 (2 : ] (6 : ) 6 Ответ ( : 0) (6 : ) Рассмотрим решение неравенства методом интервалов: 1 / 2 3 / 0 / 2 2 / 1 введем функцию f () 1 / 2 3 / / 2 2 / 1 Найдем нули функции и точки разрыва. Для этого решим два уравнения 1 - / = 0 и / 2 2 - /-1 = 0 2 - 3/ 1 - / 2 - 3/=0 / 2 - 3/=1 2 - 3= 1 2=2 и 2=4 / 2 2 - /-1 = 0 / 2 2 - / = 1 2 2 - = 1 2 2 - - 1= 0 и 2 2 - + 1= 0 1 1 ; 2 1; 2 решения нет = 2 2 = 2 и 2 точки в которых функция равна «0». 1 ; 1; точки разрыва 2 Определим знак на каждом из промежутков и запишем ответ: 1 Ответ: ( : 2] [ 2 : ) (1 : 2 :] [2 : ) . 2 Рассмотрим еще один способ решения неравенств, содержащих знак модуля. Это графический способ, то есть решение неравенств с помощью графиков. 11 Пример: / -2/ >2 +3 а) Строим графики функций у = / -2/ и у = 2 +3 (строить можно схематично). б) решаем уравнение: / -2/ = 2 +3 2 2 3 2 2 3 и 2 3 0 2 3 0 5 1,5 1 1 3 3 1,5 Решения нет в) выберем те значения при которых график функции у = / -2/ расположен выше графика функции у = 2 +3. Это и будет решением неравенства / - 2/ > 2 +3 1 Ответ: ( : ) 3 Рассмотрим еще одно неравенство: /3 2 - 7 - 6/ < / 2+ / а) схематически изображаем графики функций у = /3 2 - 7 - 6/ и у = / 2+ / б) Решая уравнения 3 2 - 7 - 6 = 2+ и 3 2 - 7 - 6 = - 2- находим абсциссы точек пересечения графиков 3 33 3 33 1 2 7 , 2 2 7 , 3 , 4 , 4 4 в) с помощью рисунка записываем ответ: 12 Ответ: ( 3 33 3 33 : 2 7) ( : 2 7) 4 4 13