очный-решения

«Будущие исследователи – будущее науки»
Математика (1 тур) 18, 19 января 2014
Вариант 18.01.2014
7 класс
7.1. В начале каждого летнего месяца цена товара увеличивалась. В августе цена оказалась на 25% больше, чем в июне. Средняя цена товара за три летних месяца оказалась
на 10% больше цены в июне. На сколько процентов была повышена цена в июле?
Ответ: На 5%. Решение. Пусть х – цена товара в июне, у – цена товара в июле. Тогда
1
1,25х – цена в августе, а средняя цена за три месяца  x  y  1,25 x   1,1x . Отсюда, решая
3
уравнение, получим у = 1,05х.
7.2. Прямоугольник ABCD разбит двумя перпендикулярными прямыми на четыре маленьких прямоугольника. Известен периметр Р = 20 исходного прямоугольника и периметры РА = 16, РВ = 12 маленьких прямоугольников, содержащих точки А и В соответственно. Найдите периметры остальных двух маленьких прямоугольников.
Ответ: РС = 4, РD = 8. Решение. Заметим, что периметры "противоположных" маленьких прямоугольников в сумме составляют периметр большого: РА + РС = Р; РB + РD = Р
(это следует из сложения соответствующих отрезков, составляющих большой прямоугольник). Таким образом, PC  P  PA = 4; PD  P  PB = 8.
7.3. Можно ли разбить все натуральные делители числа 2014 (включая 1 и 2014) на две
группы так, чтобы произведение чисел одной группы равнялось произведению чисел
другой?
Ответ: можно. Решение. Сначала найдем простые делители числа 2014. Таких делителей
три: а = 2, b = 19, c = 53; это простые числа и 2014 = а  b  c. Всего у числа 2014 имеется 8
натуральных делителей: 1, а, b, с, аb, аc, bc, аbc. Их можно разбить на 2 группы так: {а, b,
с, аbc} и {1, аb, аc, bc} (единицу можно было перевести и в первую группу).
7.4. Найдите обыкновенную дробь
неравенствам
Ответ:
крайних
p
с наименьшим знаменателем, удовлетворяющую
q
1
p
1
.
 
2014 q 2013
2
.
4027
дробей,
Решение. Если сложить отдельно числители и знаменатели наших
то
получим
2
.
4027
Непосредственно
убеждаемся,
что
1
2
1
p


. Докажем, что любая другая дробь
имеет больший знаменатель.
2014 4027 2013
q
1
1
 следует, что q < 2014, а из неравенОчевидно, что если р = 1, то из неравенства
2014 q
1
1
ства 
следует, что q > 2013, т.е. получаем противоречие (между 2013 и 2014 нет
q 2013
натуральных чисел. Если р = 2, запишем наше двойное неравенство в виде
2
2
2
и точно так же, как в случае р = 1, убеждаемся, что число q должно
 
4028 q 4026
находиться между 4026 и 4028, а такое число одно – это q = 4027. Если p  3, то из нераp
1
p
венства 
получим, что q > 2013p  6039.

q 2013 2013 p
8 класс
8.1. В начале каждого летнего месяца цена товара увеличивалась. В августе цена оказалась на 25% больше, чем в июне. Средняя цена товара за три летних месяца оказалась
на 10% больше цены в июне. На сколько процентов была повышена цена в июле?
Ответ: На 5%. Решение. См. задачу 7.1.
8.2. Параллелограмм ABCD разбит двумя прямыми, параллельными сторонам, на четыре
маленьких параллелограмма. Известен периметр Р = 20 исходного параллелограмма и
периметры РА =16, РВ =12 маленьких параллелограммов, содержащих точки А и В соответственно. Найдите периметры остальных двух маленьких параллелограммов.
Ответ: РС = 4, РD = 8. Решение. См. задачу 7.2 (с заменой прямоугольников на параллелограммы; это возможно в силу равенства противоположных сторон параллелограмма).
8.3. Найдите обыкновенную дробь
неравенствам
Ответ:
p
с наименьшим знаменателем, удовлетворяющую
q
1
p
1
.
 
2014 q 2013
2
. Решение. См. задачу 7.4.
4027
8.4. Дано натуральное число п. Докажите, что число N  2  10 n  1 делится на 3 и найдите
2
N
N
; б) числа   .
3
3
Ответ: а) 6п +1; б) 12п + 1. Решение. Сумма цифр числа N равна 3, и поэтому (по признаку делимости на 3) N делится на 3. Если поделить уголком число N = 200…01 (здесь
п – 1 нулей) на 3, то получим последовательно цифры частного 66…67 (здесь п – 1 шестерок). Таким образом, сумма цифр числа N равна 6(n  1)  7  6n  1 . Далее,
сумму цифр (в десятичной записи) а) числа
N 2  (66...67)2  (6  11...1  1)2
2
(здесь
п
единиц).
Поэтому
2
 10 n  1 
 2  10 n  1 
4  10 2 n  4  10 n  1 1




N  6 
 1  
  400...0400...01 (здесь два раза
 
9
3
9
9




по п – 1 нулей). Поделив на 9 уголком, получим число 44…488…89 (здесь п четверок и п –
1 восьмерок). Таким образом, сумма цифр числа N 2 равна 4n  8(n  1)  9  12n  1 .
9 класс
9.1. Положительные числа a, b удовлетворяют соотношению a 3  b  b3  a . Можно ли
утверждать, что a = b?
Ответ: нельзя. Решение. Если a  b , приведем соотношение к виду a 3  b3  a  b 
a 2  ab  b 2  1 . Можно взять, например, положительные числа a, b такие, что a = 2b, то1
2
гда 7b 2  1 и поэтому b 
, a
. (Замечание: можно найти и рациональные по7
7
ложительные различные a, b, удовлетворяющие соотношению.)
9.2. В трапеции ABCD из соседних вершин А и В (нижнего и верхнего оснований соответственно) провели биссектрисы углов А и В. Докажите, что точка пересечения этих биссектрис лежит на средней линии трапеции или на ее продолжении.
Решение. Пусть М – точка пересечения биссектрис. Тогда по свойству биссектрисы угла,
точка М равноудалена, с одной стороны, от прямых АВ и AD, а с другой стороны – от прямых АВ и ВС. Значит, точка М равноудалена от оснований трапеции АD и ВС, т.е. М лежит
на средней линии (или ее продолжении).
9.3. Дано натуральное число п. Докажите, что число N  2  10 n  1 делится на 3 и найдите
2
N
N
сумму цифр (в десятичной записи) а) числа
; б) числа   .
3
3
Ответ: а) 6п +1; б) 12п + 1. Решение. См. задачу 8.4.
9.4. Сколько существует приведенных квадратных трехчленов P( x)  x 2  bx  c таких,
что Р(х) имеет целые корни, а сумма его коэффициентов (т.е. 1 + b + c) равна 2014?
Ответ: 8. Решение. Сумма коэффициентов многочлена равна его значению при х = 1,
тогда P(1)  (1  x1 )(1  x2 )  ( x1 1)( x2 1) , где x1 , x2 – корни Р(х). Таким образом, имеем
разложение 2014  ( x1 1)( x2 1) на целые множители. Число 2014 имеет 3 простых делителя, а именно 2, 19, 53, а всего натуральных делителей 8 (их перечисление см. в задаче
7.3). С учетом симметрии имеем 4 разложения 2014 на два сомножителя (т.к. пары (a,b) и
(b,a) соответствуют одной и той же паре корней). А с учетом отрицательных делителей
имеем 8 разложений.
10 класс
10.1. Положительные числа a, b удовлетворяют соотношению a 3  b  b3  a . Можно ли
утверждать, что a = b?
Ответ: нельзя. Решение. См. задачу 9.1.
10.2. а) Докажите, что единичный квадрат можно разбить на 2014 квадратиков. б) Можно
ли добиться того, чтобы в искомом разбиении у самого маленького квадратика сторона
была меньше 10–200?
Ответ: б) можно. Решение. Если любой квадрат разбить на 4 квадратика с половинной стороной, то в разбиении добавится 3 квадрата. Таким образом, разбивая последовательно исходный квадрат на 4 квадратика, далее один из получившихся квадратиков еще
на 4 квадратика, и так далее, мы за п шагов будем иметь 1 + 3п квадратиков разбиения.
Приравняв 1 + 3п = 2014, получим п = 671. Самый маленький квадратик такого разбиения
будет иметь сторону, равную 2 671 . Покажем, что 2 671  10 200 . Действительно, имеем
 
67
 
67
210  1024  103 . Отсюда 2671  2670  210  103  10 201  10 200 .
10.3. Дана трапеция с основаниями AD = d, BC = b и боковыми сторонами AВ = а, CD = с.
Пусть М – точка пересечения биссектрис углов А и В, а N – точка пересечения биссектрис углов С и D. Найдите длину отрезка MN.
1
b  d  a  c . Решение. Пусть Р – середина боковой стороны АВ, Q – сере2
дина стороны CD. Поскольку точки М и N лежат на средней линии PQ или ее продолжении (см. задачу 9.2) и углы АМВ и CND – прямые (как следует из вычисления этих углов с
1
1
использованием условия о биссектрисах), то по свойству медианы PM  a , QN  c .
2
2
bd a c
  . Если же
Если отрезки РМ и QN не пересекаются, то MN  PQ  PM  QN 
2
2 2
РМ и QN пересекаются, то рассмотрев 3 случая расположения точек М и N (обе точки
внутри; обе вне трапеции; одна вне, а другая внутри трапеции), во всех трех случаях по1
лучим, аналогично предыдущему, MN  (a  c  b  d ). Замечание: вместо рассмотрения
2
случаев можно придти к такому же результату, введя координатную ось вдоль прямой PQ.
10.4. Сколько существует приведенных квадратных трехчленов P( x)  x 2  bx  c таких,
что Р(х) имеет целые корни, а сумма его коэффициентов (т.е. 1 + b + c) равна 2014?
Ответ: 8. Решение. См. задачу 9.4
Ответ:
11 класс
11.1. Сколько существует натуральных чисел п, удовлетворяющих неравенствам
4
5n  n  3 10n ?
Ответ: 94. Решение. Возведя неравенство 4 5n  n в четвертую степень, получим
5n  n 2  n  5 . Возведя неравенство
n  3 10n в третью степень, получим
n 3  100n 2  n  100 . Таким образом, 5  n  100 .
11.2. а) Докажите, что единичный квадрат можно разбить на 2014 квадратиков. б) Можно
ли добиться того, чтобы в искомом разбиении у самого маленького квадратика сторона
была меньше 10–200?
Ответ: б) можно. Решение. См. задачу 10.2.
11.3. Дана трапеция с основаниями AD = d, BC = b и боковыми сторонами AВ = а, CD = с.
Пусть М – точка пересечения биссектрис углов А и В, а N – точка пересечения биссектрис углов С и D. Найдите длину отрезка MN.
1
b  d  a  c . Решение. См. задачу 10.3.
Ответ:
2
11.4. Докажите неравенство sin 2 x  sin 2 y  1 | sin x sin y | для любых х, у.
Решение. Имеем: sin 2 x  sin x  sin x , т.к. sin x  1 , и аналогично sin 2 y  sin y . Таким
2
образом, достаточно доказать, что sin x  sin y  1  sin x  sin y . Последнее неравенство
записывается в виде 1  sin x 1  sin y   0 . Оно верно для всех х, у, т.к. sin x  1 ,
sin y  1 .
Вариант 19.01.14
7 класс
7.1. Цену товара в магазине 1 июля увеличили на 25%. Увидев, что товар стали хуже покупать, дирекция магазина решила понизить цену, чтобы она стала равна июньской. На
сколько процентов нужно для этого понизить июльскую цену?
Ответ: на 20%. Решение. Пусть х – начальная цена. После повышения цена стала равна
1,25х. Чтобы после понижения цена стала равна х, она должна быть понижена на 0,25х,
0,25 x 1
что составляет
  20% .
1,25 x 5
7.2. Прямоугольник ABCD разбит двумя перпендикулярными прямыми на четыре маленьких
прямоугольника. Известна площадь S = 30 исходного прямоугольника и площади SА = 6,
SВ = 4 маленьких прямоугольников, содержащих точки А и В соответственно. Найдите
площади остальных двух маленьких прямоугольников.
S
S
2
Ответ: SС = 8, SD = 12. Решение. Заметим, что C  B 
и SС + SD = S – SA – SB = 20.
SD S A 3
Таким образом, требуется разделить площадь, равную 20, в отношении 2:3. Тогда
2
3
S C   20  8 , S D   20  12 .
5
5
7.3. Существует ли пятизначное натуральное число, которое после умножения на 9 записывается теми же цифрами, но в обратном порядке?
Ответ: существует. Решение. Пусть abcde – искомое число, т.е. abcde  9  edcba . Тогда
очевидно a = 1, b равно 0 или 1 (иначе при умножении на 9 получили бы шестизначное
число), но если b = 1, то старшие цифры после умножения на 9 равны e=d=9 , а младшие
цифры b,a равны младшим цифрам произведения 99 9 , т.е. 9 и 1 – противоречие. Значит,
b=0. Поэтому e = 9, а предпоследняя цифра d = 8 (это следует из умножения столбиком) и
тогда третья цифра с может быть либо 8, либо 9, и при проверке подходит только с = 9.
Таким образом, число 10989 – единственное, удовлетворяющее условию.
7.4. Даны целые числа m, n, которые удовлетворяют равенству 99m  101n . Докажите, что
m + n делится на 8.
Решение. Поскольку числа 99 и 101 взаимно просты, то число т должно делиться на 101, а
число п – на 99. Пусть m = 101k, тогда 99 101k  101n  n  99k . Поэтому
m  n  101k  99k  200k 8 .
8 класс
8.1. Цену товара в магазине 1 июля увеличили на 25%. Увидев, что товар стали хуже покупать, дирекция магазина решила понизить цену, чтобы она стала равна июньской. На
сколько процентов нужно для этого понизить июльскую цену?
Ответ: на 20%. Решение. См. задачу 7.1.
8.2. Найдите все пятизначные натуральные числа, которые после умножения на 9 записываются теми же цифрами, что исходное число, но в обратном порядке?
Ответ: одно число 10989 . Решение. См. решение задачи 7.3.
8.3. Даны целые числа m, n, которые удовлетворяют равенству 99m  101n . Докажите, что
m + n делится на 8.
Решение. См. задачу 7.4.
8.4. Существует ли четырехугольник, у которого есть три стороны, превосходящие по длине
бóльшую диагональ?
Ответ: Не существует выпуклого четырехугольника, невыпуклые существуют. Решение. Из
четырех углов выпуклого четырехугольника ABCD хотя бы один – неострый (т.к. в сумме
углы составляют 3600). Пусть это будет угол A. Тогда в ABD имеем BD >AB и BD >AD.
Рассмотрим пример. Пусть ABC – равнобедренный треугольник со сторонами AB = BC =
13, AС = 10. Пусть M – середина AC, тогда по теореме Пифагора BM = 12. Возьмем точку
Е на высоте BM такую, что BE< 2. Тогда в невыпуклом четырехугольнике ABCE все четыре стороны превосходят большую диагональ AС.
9 класс
9.1. Пусть а – количество шестизначных чисел, делящихся на 13, b – количество шестизначных чисел, делящихся на 19. Найдите a – b.
Ответ: 21863. Решение. Число а равно количеству натуральных п, удовлетворяющих
4
1
неравенствам 105  13n  106  7692  n  76923 . Учитывая, что п – натуральное
13
13
число, получаем 7693  n  76923 , т.е. всего 76923 – 7693 + 1 = 69231 чисел. Аналогично
подсчитываем, что b = 52631 – 5264 + 1 = 47368. В результате a – b = 21863.
9.2. Натуральные числа a, b удовлетворяют соотношению a 3  20b  b 3  20a . Можно ли
утверждать, что a = b?
Ответ: можно. Решение. Если a  b , то приводим соотношение к виду a 3  b 3  20(a  b)
 a 2  ab  b 2  20 . Пусть, для определенности, a  b . Очевидно, при b  4 левая часть
последнего равенства больше правой. Осталось рассмотреть три возможных случая (т.к. a,
b – натуральные числа), а именно: 1) а = 1, b = 2; 2) а = 1, b = 3; 3) а = 2, b = 3. Во всех трех
случаях левая часть не равна 20. Значит, наше предположение о том, что a  b , неверно.
9.3. а) Существует ли четырехугольник, у которого есть три стороны, превосходящие по
длине бóльшую диагональ? б) Приведите пример четырехугольника, у которого ровно две
стороны превосходят по длине бóльшую диагональ.
Ответ: а) не существует выпуклого четырехугольника, невыпуклые существуют. Решение.
а) См. задачу 8.4. б) Рассмотрим пример из решения задачи 8.4 и продолжим высоту BM.
Возьмем точку D на этом продолжении такую, что MD < 1. Тогда, очевидно, у выпуклого
четырехугольника ABCD ровно две стороны превосходят большую диагональ BD.
9.4. Дано число N= 2 2014  1 . Докажите, что а) N – составное число, б) N можно представить
в виде произведения трёх натуральных сомножителей, больших единицы.
Решение. а) N делится на 5, что следует, например, из рассмотрения последней цифры, т.к.
22 + 1 = 5 и 22014 + 1 = (22)1007 + 1 делится на 22 + 1. б) Дополним N до полного квадрата:

  
2
N  2 2014  1  2 2014  2  21007  1  21008  21007  1  2 504
2


2

 1  2 504 21007  1  2 504 . Обозначим через А, В первый и второй сомножители.
B
Один из сомножителей (второй) делится на 5, поэтому N  A  5  – искомое разложение.
5
1007
10 класс
10.1. Пусть а – количество шестизначных чисел, делящихся на 13, b – количество шестизначных чисел, делящихся на 19. Найдите a – b.
Ответ: 21864. Решение. См. задачу 9.1.
10.2. Докажите, что не существует действительных чисел х, у, удовлетворяющих уравнению
x 2  7 y 2  1  5 xy .
Решение. Если рассмотреть данное равенство как квадратное уравнение относительно неизвестного х, то его дискриминант равен (5 y ) 2  4(7 y 2  1)  2 y 2  1  0 при всех х, у.
10.3. Дан остроугольный треугольник АВС. Точка М – точка пересечения высот. Найдите
угол А, если известно, что АМ = ВС.
Ответ: 45. Решение. Пусть К – основание высоты из точки В. Докажем, что треугольники
АМК и ВКС равны. Действительно, имеем прямоугольные треугольники, у которых
MAK  CBK  90  C и, по условию, АМ = ВС. Тогда из равенства треугольников
следует, что АК = ВК, и значит, в прямоугольном треугольнике АВК катеты равны. Поэтому A  45 .
10.4. Дано число N= 2 2014  1 . Докажите, что а) N – составное число, б) N можно представить
в виде произведения трёх натуральных сомножителей, больших единицы
Решение. См. задачу 9.4.
11 класс
11.1. Докажите, что не существует действительных чисел х, у, удовлетворяющих равенству
x 2  7 y 2  1  5 xy .
Решение. См. задачу 10.2.
11.2. Сколько существует пятизначных натуральных чисел, которые делятся на 9 и не содержат в своей записи цифры 0?
Ответ: 94.Решение. Первую цифру числа можно выбрать девятью способами (это любая
цифра, кроме нуля). Аналогично, вторую, третью и четвертую цифру можно выбрать девятью способами. Последнюю, пятую, цифру можно выбрать единственным способом после выбора первых четырех цифр из условия делимости на 9 (если сумма первых четырех
цифр делится на 9, то последняя цифра – 9, в остальных случаях последняя цифра однозначно выбирается из цифр 1,2,…,8). Тогда по правилу произведения получаем результат.
11.3. Дан остроугольный треугольник АВС. Точка М – точка пересечения высот. Найдите
угол А, если известно, что АМ = ВС.
Ответ: 45. Решение. См. задачу 10.3.
11.4. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y  sin x(sin x  1) (sin x  2) .
2
Ответ: наименьшее значение равно 
, наибольшее значение равно 6. Решение. Обо3 3
значим t  sin x  1. Тогда 0  t  2 и задача состоит в нахождении наибольшего и
наименьшего значений функции y  (t  1)t (t  1) на отрезке [0;2]. Имеем: y  t 3  t ,
1
y   3t 2  1 . Критические точки t1, 2  
. В рассматриваемом промежутке [0;2] есть од3
1 1 
2
1
на критическая точка t1 
– это точка минимума; y (t1 ) 
. На кон  1  
3 3 
3 3
3
цах данного промежутка y (t ) принимает значения y(0) = 0; y(2) = 6. Отсюда следует результат.