L18-3

Наложение волн
Рассмотрим наложение двух волн с одинаковой длиной волны в однородной и
изотропной среде. Предположим, что эти волны возбуждаются одновременно
источниками, расположенными в точках
O1
и
O2
(рис. 18.4). В произвольной точке
среды М будем иметь
Рис.18.4
A1
A
sin 1t  k1 x  1   1 sin 1
r1
r1
A
A
 2  2 sin 2 t  k2 x  2   2 sin  2
r2
r2
1 
(18.24)
(18.25)
Согласно принципу наложения колебаний в точке М получим новое гармоническое
колебание:
  1   2  A sin ,
(18.26)
где
2
2
A  A 
AA
A   1    2   2 1 2 cos  1   2  ,
r1r2
 r1   r2 
A
 A

A
A
tg    1 sin 1  2 sin  2   1 cos 1  2 cos  2 
r2
r2
 r1
  r1

2
(18.27)
(18.28)
Результат наложения волн зависит от среднего значения последнего члена в
выражении
квадрата
амплитуды
(18.27)
результирующей
волны
(18.26).
Пространственно-временная зависимость этого члена, или как его еще называют,
интерференционного члена, обусловлена разностью фаз накладывающихся
волн:
1   2  2  1  t  k  r2  r1   2  1  .
Отсюда
следует,
что
временная
зависимость
накладывающиеся волны имеют одинаковую частоту:
разности
1  2 .
фаз
исчезает,
если
Волны, разность фаз которых не зависит от времени, называются
когерентными.
При наложении когерентных волн возникает явление интерференции –
периодическое распределение энергии между волнами в пространстве. Действительно,
для когерентных волн выражение (18.26) имеет следующий вид:
2
2
A  A 
AA
 2

A   1    2   2 1 2 cos   r2  r1   2  1   ,
r1r2


 r1   r2 
2
(18.29)
откуда следует, что в точке М амплитуда результирующего колебания будет
максимальной, если
2

Отсюда, если
r
2
 r1   2  1   2 n; n  0, 1, 2,...
1   2 , то для разности хода волн (ход волны – это путь, проходимый
волной от источника до рассматриваемой точки) будем иметь
r2  r1  n .
(18.30’)
Если разность хода равна целому числу длин волн, то волны усиливают друг
друга, и мы имеем максимальную интенсивность. Если же
r2  r1   2n  1  2,
(18.30)
то будем иметь минимум интенсивности.
При наложении некогерентных волн явление интерференции не наблюдается, так как
среднее квадрата результирующей амплитуды равна сумме квадратов средних
амплитуд накладывающихся волн.
Стоячие волны
Следствием интерференции является образование стоячих волн. Простейшую
одномерную стоячую волну можно возбудить, вызвав гармонические колебания на
одном из концов стержня (или гибкой струны) конечной длины
. В зависимости от
способа возбуждения колебаний, бегущая волна
1  x, t   A0 sin t  kx  ,
(18.31)
может быть или продольной, или поперечной. Отражаясь от другого конца стержня
(струны), в той же точке М волна создаст колебания по закону (здесь поглощение
волны игнорируется)
Рис.18.5
2  x, t   A0 sin t  k  x  2     ,
где

(18.32)
– возможное изменение фазы волны из-за отражения. По принципу наложения
волн результирующее колебание в точке М будет
  x, t   2 A0 cos k   x    2  sin t  k   2 .
(18.33)
Полученное выражение есть уравнение одномерной стоячей волны, где
A x   2 A0 cos k   x    2 .
(18.34)
Периодическая функция, зависящая от координат и представляющая амплитуду
стоячей волны. Заметим, что в точках
k   x    2   n; n  0, 1, 2,...
амплитуда колебаний максимальна и равна
2 A0 .
(18.35)
Эти точки называются пучностями
стоячей волны. А точки, определяемые условием
k   x    2   2n  1 2; n  0, 1, 2,...
(18.36)
характеризуются нулевым значением амплитуды и называются узлами стоячей
волны.
рис. 18.6 a
рис. 18.6 б
Во время отражения упругих волн изменение фазы продольной волны

зависит
величины волнового сопротивления сред по разные стороны от поверхности
отражения. Под волновым сопротивлением упругой среды понимают произведение  u ,
где

– плотность массы среды, а
u
– фазовая скорость распространения продольной
волны. Если продольная волна из среды с волновым сопротивлением
границу среды с волновым сопротивлением
 2 u2
1u1
падает на
по направлению нормали, то
  0, если 2u2  1u1 ,
   , если 2u2  1u1 .
(18.37)
Расстояние между двумя пучностями (узлами) называется длиной стоячей волны:
ст  x2  x1 

k


2
.
(18.38)
Значит, длина стоячей волны равна половине длине соответствующей бегущей волны
(рис. 18.6 а).
Заметим одну важную особенность стоячей волны.
Все точки в области между узлами стоячей волны колеблются в одинаковой
фазе, но с разными амплитудами (рис. 18.6 а). Действительно, в уравнении стоячей
волны (18.33) зависящий от времени фазовый член не зависит от координаты. При
переходе от одной ячейки стоячей волны к другой амплитудный член (18.34) меняет
знак. Это означает, что в соседних ячейках колебания совершаются в
противоположных фазах.
В отличие от бегущей волны, в стоячей волне отсутствует перенос энергии. В
каждой из ячеек полная энергия не меняется с течением времени, а только
периодически переходит из кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Это
является следствием того, что стоячая волна представляет собой наложение
противоположно двигающихся бегущих волн, переносящих одинаковую энергию. В
этом и есть причина того, что они получили название стоячих волн.
Во время свободных колебаний закрепленной за один конец упругой струны в ней
устанавливаются стоячие волны, причем на закрепленном конце мы будем иметь узел,
а на открытом конце – пучность (рис. 18.6 б). Следовательно, в такой струне должно
поместиться четное число полуволн:
  2m  1 ст 2, m  1;2;...
Если закреплены оба конца струны (например, в струнных музыкальных
инструментах), то на обоих концах струны будем иметь узлы. Это означает, что в
струне должно помещаться целое число длин волн
Но
ст   / 2  u / 2 . Так что

 mст
u
m, m  1;2;...
2
(18.39)
которая представляет спектр частот собственных колебаний струны. Нетрудно
показать, что собственная частота струны зависит от напряжения растяжения σ. Оно
выражается зависимостью скорости распространения волн вдоль натянутой струны
u  .
Этим и обусловлена «настройка» струнных
уменьшением силы натяжения в них струн.
инструментов
–
увеличением
или