Принцип Дирихле

принцип дирихле
1. Можно ли окрасить клетки таблицы 4  7 так, чтобы во всех строках и во всех столбцах таблицы
число закрашенных клеток было различно?
(Поляков Е.)
Ответ. Нельзя.
Решение.
Число закрашенных клеток может изменяться от 0 до 7, т.е. всего имеем 8 вариантов. Строк и столбцов
всего 11. По принципу Дирихле получим, что в каких-то двух линиях (строках и столбцах) будет
одинаковое число закрашенных клеток.
Здесь количества закрашенных клеток (0, 1, …, 7) – это «клетки», а строки и столбцы – «зайцы».
2. В городе N более 201 улицы. На каждой улице не менее 52 и не более 252 домов. Докажите, что
найдутся по меньшей мере две улицы с одинаковым числом домов. (Дятлов Дмитрий)
Доказательство.
От 52 до 252 имеется 201 различное значение числа домов на улице. Однако улиц больше, чем 201.
Поэтому по принципу Дирихле уже среди 202 улиц найдутся по меньшей мере 2 улицы с одинаковым
числом домов.
Здесь улицы – «зайцы», а число домов на улице – «клетки».
3. 10 друзей послали друг другу праздничные открытки. Каждый послал 5 открыток. Докажите, что двое
послали открытки друг другу.
(ПГТЮМ)
Доказательство.
Общее число посланных открыток 10  5  50 (это «зайцы»), а общее число пар людей 45 (это «клетки»).
По принципу Дирихле хотя бы два письма попадут в одну пару, значит эти люди писали друг другу.
4. Все буквы фразы «МАГНИТОГОРСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ» записали в клетки
прямоугольной таблицы (в одну клетку записывается одна буква), причем четыре клетки таблицы
остались пустыми. Докажите, что в таблице найдется строка (или столбец) в которой (котором)
встретятся две одинаковые буквы.
Доказательство. Из условия следует, что таблица состоит из 39 клеток, т.е. имеет размеры 1×39 или
3×13. А так как в указанной фразе имеется четыре одинаковых буквы, то по меньшей мере две из них
попадут в одну строку или столбец.
Здесь «клетки» - строки, «зайцы» - буквы «и». Т.е. «клеток» максимум 3, а «зайцев» 4.
Конечно, таблица может иметь размеры 39  1 и 13 3 . В этих случаях роль «клеток» сыграют
столбцы.
6. Докажите, что среди любых 6 человек либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.
(?)
Доказательство.
Рассмотрим произвольного человека А. Среди 5 других найдутся трое, знакомых с А, или трое,
незнакомых с А.Действительно, если так не будет, то людей, знакомых с A , максимум двое; людей,
незнакомых с A , также максимум двое. Получим, что всего мы рассматриваем 1+2+2=5 человек, а по
условию, людей 6. Получили противоречие с условием. Т.о. найдутся трое, знакомых с А, или трое,
незнакомых с А. Для определенности положим, что эти трое знакомы с А. Если из этих троих какие-то
двое знакомы друг с другом, то вместе с человеком А они составляют тройку попарно знакомых. Если
среди этих троих нет знакомых, то они составляют тройку незнакомых между собой людей.
Здесь «зайцы» - 5 человек, а «клетки» (их две) – это отношение этих людей к A («знакомы» и
«незнакомы»).
7. Докажите, что из любых трех натуральных чисел можно найти два, сумма которых делится на 2.( из
книги Смыкаловой Е.В. «Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса».)
принцип дирихле
Доказательство.
Среди трех чисел обязательно найдутся два числа одинаковой четности (три «зайца»-числа рассаживаем
по двум клеткам: «четное» и «нечетное»), их сумма будет четной, и, следовательно, будет делиться на 2.
9. Винни-Пух, Сова, Кролик и Пятачок вместе съели 70 бананов, причем каждый из них съел хотя бы
один банан. Винни-Пух съел больше всех, Сова и Кролик вместе съели 45 бананов. Сколько бананов
съел Пятачок?(ПермьГО)
Ответ. Пятачок съел один банан.
Решение.
Т.к. Сова и Кролик съели вместе 45 бананов, то, по следствию из принципа Дирихле, кто-то из них съел
45
 22,5 банана, т.е. не меньше 23 бананов. Винни-Пух и Пятачок вместе съели
не меньше, чем
2
70-45=25 бананов. Т.к. Винни-Пух съел больше всех, то он съел больше 23 бананов, а т.к. по условию
каждый съел хотя бы один банан, то Винни-Пух съел 24 банана, а Пятачок 1 банан.
Доказать, что кто-то (Сова или Кролик) съел не меньше 23 бананов можно и не ссылаясь на следствие
из принципа Дирихле. Действительно, если каждый из них съел не больше 22 бананов, то вместе они
могли съесть не больше 44 бананов.
9б. Шесть кругов имеют общую внутреннюю точку. Докажите, что центр одного из них лежит внутри
другого.
(?)
Доказательство.
Соединим общую точку со всеми центрами. Образовалось 6 углов; по следствию из принципа Дирихле
360 0
один из них не превышает
= 60 0 . Рассмотрим два круга, центры которых породили этот угол.
6
Докажем, что один из этих кругов содержит центр другого. Назовем общую точку точкой A , а два
выбранных центра точками O1 (центр круга с радиусом r1 ) и O2 (центр круга с радиусом r2 ).
Рассмотрим треугольник O1 AO2 , где O1 AO2  60 0 .
A
Среди углов этого треугольника обязательно найдется угол, не меньший, чем
180 0
 60 0 (следствие из принципа Дирихле). Пусть это угол AO1O2 . Тогда
O1
O2
3
получили: AO1O2  O1 AO2 , отсюда следует, что AO2  O1O2 (соотношения между сторонами и
углами треугольника). Т.к. A - внутренняя точка кругов, то r2  AO2 . Таким образом, получаем
r2  O1O2 , это и означает, что точка O1 лежит внутри круга с центром O2 .
Еще возможен случай, когда точки O1 , O2 и A лежат на одной прямой, причем центры кругов лежат по
одну сторону от точки A ( O1 AO2  0 0 ), в данном случае утверждение задачи очевидно.
На шахматной доске 8 8 стоит 31 пешка. Доказать, что найдется «уголок» из трех клеток, на котором
нет пешек.
(ПермьТЮМ)
Доказательство.
Разобьем доску на 16 квадратиков 2  2 . Очевидно, что найдется квадратик, в котором стоит не более 1
пешки (иначе пешек было бы не меньше 2  16  32 ). В таком квадратике и найдется нужный уголок.
В математической регате участвует 21 команда. Каждой команде для решения предлагаются 9 задач.
Докажите, что найдутся 3 команды, решившие одинаковое количество задач.
Доказательство.
принцип дирихле
Команда может решить 9 задач, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 задачу и не решить ни одной задачи (то есть решить 0
задач). Всего – 10 вариантов. Предположим, что нет трех команд, решивших одинаковое количество
задач. Пусть 0 задач решили 2 или меньше команд. Также, пусть 1задачу, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 задач
решили не более двух команд. Тогда всего в регате принимало участие не более 20 команд, а их было
21. Противоречие, значит, найдутся три команды, решившие одинаковое количество задач, что и
требовалось доказать.
В выпуклом пятиугольнике выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать четырехугольник с
вершинами в вершинах пятиугольника так, что в него попадут обе выбранные точки.
(МО)
Доказательство.
Проведем прямую через эти точки. В одной из полуплоскостей лежит
три вершины пятиугольника (из которых хотя бы две не лежат на
одной прямой). Отрезаем этот треугольник и получаем нужное
разбиение.
Клетки таблицы 15  15 окрашены в три цвета. Докажите, что найдутся хотя бы две строки, в которых
одинаковое количество клеток какого-то одного цвета.( «Математика: Интеллектуальные марафоны,
турниры, бои 5-11 классы: Книга для учителя. Авторский коллектив: Блинков А.Д., Семенов А.В. и
др.»)
Доказательство.
Предположим, что это не так, тогда в каждой из строк количество клеток каждого из цветов различно.
Следовательно, всего в таблице клеток каждого цвета должно быть не менее, чем 0+1+…+14=105, т.е.
клеток всех трех цветов должно быть не менее, чем 315, что противоречит тому, что в таблице 225
клеток.
Если 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то хотя бы в одном ряду окажется не менее двух человек.
Если в зале рассадить 26 человек, то по крайней мере 3 ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале?
(МР)
Ответ. 29
Решение.
Если рядов в зале больше 29, то можно рассадить 30 человек так, что во всех рядах будет не больше
одного человека, что противоречит условию, значит, рядов в зале не больше 29. Если в зале меньше 29
рядов, то можно рассадить 26 человек так, что менее трех рядов окажутся пустыми, что также
противоречит условию, значит, в зале не менее 29 рядов. Следовательно, в зале ровно 29 рядов.
15 мальчиков собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то два из них собрали одинаковое число
орехов.( Смыкалова Е.В. «Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса».)
Доказательство.
Пусть это не так, т.е. все мальчики собрали разное число орехов. Тогда они должны были собрать не
менее, чем 0+1+2+…+14=105 орехов. Противоречие.