R2-2

2.2. Приложения производной к исследованию функций
Теорема Лопиталя. Пусть функция 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) определены и дифференцируемы в
некоторой окрестности точки а, за исключением быть может, самой точки а. Пусть
далее
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) = 0; 𝑔′ (𝑥) ≠ 0 в указанной окрестности точки а. Тогда, если
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
существует
предел
отношения
производных
бесконечный), то существует и предел lim
𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
lim
𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
= lim
𝑓′ (𝑥)
𝑥→𝑎 𝑔′ (𝑥)
lim
𝑓′ (𝑥)
(конечный
𝑥→𝑎 𝑔′ (𝑥)
или
, причем справедливо равенство:
.
Эта теорема служит для раскрытия неопределенности
0
0
при нахождении пределов
функций. Теорема справедлива и в случае, если lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) = ∞, т.е. с ее
помощью можно раскрывать неопределенности
𝑥→𝑎
∞
∞
𝑥→𝑎
, а также неопределенности вида
0 ∙ ∞, ∞ − ∞, 1∞ , 00 , сводящиеся к неопределенностям вида
0
0
и
∞
∞
.
Функция называется убывающей (возрастающей) на заданном промежутке, если
для любых двух значений
𝑥1 и 𝑥2
аргумента х из этого промежутка,
удовлетворяющих условию
𝑥1 < 𝑥2 ,
выполняется условие 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ),
(𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )).
Признаки возрастания и убывания функции на промежутке: если для любого х из
заданного промежутка:
1) 𝑓 ′ (𝑥) > 0, то функция возрастает;
2) 𝑓 ′ (𝑥) < 0, то функция убывает на заданном промежутке.
Точка 𝑥0 называется точкой максимума (минимума) функции, если в любой
достаточно малой окрестности точки 𝑥0 для произвольного х из этой окрестности
выполняется условие 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0 ), (𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0 )).
Точки максимума и
минимума называются точками экстремума функции.
Необходимые условия экстремума: если функция в точке 𝑥0 имеет экстремум, то
производная 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0 или не существует.
Точка 𝑥0 , в которой производная не существует или равна нулю, называется
критической.
1
Достаточные условия экстремума:
1. Если при переходе слева направо через критическую точку 𝑥0 производная
меняется с «+» на «-», то 𝑥0 - точка максимума, а если с «-» на «+», то 𝑥0 - точка
минимума.
2. Если 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0, то при 𝑓 ′′ (𝑥0 ) > 0, 𝑥0 - точка минимума, а при 𝑓 ′′ (𝑥0 ) < 0 , 𝑥0
– точка максимума.
Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции 𝑓(𝑥) на замкнутом
промежутке [a, b] нужно из значений функций в критических точках,
принадлежащих промежутку, и на границах промежутка выбрать наибольшее
(наименьшее).
График функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется выпуклым (вогнутым) на заданном
промежутке, если он лежит ниже (выше) касательной, проведенной к графику
функции в любой точке с абсциссой из этого промежутка.
Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции: если
𝑓 ′′ (𝑥) < 0 (𝑓 ′′ (𝑥) > 0) на заданном промежутке, то график функции выпуклый
(вогнутый) на указанном промежутке.
Точка графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется
точкой перегиба. Если 𝑓 ′′ (𝑥0 ) = 0 или 𝑓 ′′ (𝑥0 ) не существует, а справа и слева от
точки 𝑥0 вторая производная имеет разные знаки, то точка (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) есть точка
перегиба.
Прямая а называется асимптотой кривой 𝑦 = 𝑓(𝑥), если расстояние точки М(х; у)
кривой от прямой а стремится к нулю, при неограниченном удалении этой точки от
начала координат.
Прямая х=а является вертикальной асимптотой кривой 𝑦 = 𝑓(𝑥), если lim 𝑓(𝑥) =
𝑥→𝑎
±∞.
Прямая 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 - наклонная асимптота кривой 𝑦 = 𝑓(𝑥), если существуют
конечные пределы 𝑘 = lim
𝑓(𝑥)
𝑥→∞ 𝑥
и 𝑏 = lim (𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥).
𝑥→∞
Найти следующие пределы:
Пример 1. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥 3 −1+𝑙𝑛 𝑥
𝑒 2𝑥 −𝑒 2
Решение. Числитель и знаменатель стремятся к нулю при 𝑥 → 1, т.е. здесь имеется
неопределенность
0
.
0
Воспользуемся
правилом
Лопиталя,
отношения функций пределом отношения их производных:
2
заменив
предел
1
3𝑥 2 +
𝑥 3 − 1 + 𝑙𝑛 𝑥
𝑥= 4 =2
lim
=
lim
𝑥→1
𝑥→1 2𝑒 2𝑥
𝑒 2𝑥 − 𝑒 2
2𝑒 2 𝑒 2
Пример 2. lim
ln(𝑥−𝑎)
𝑥→𝑎 ln(𝑒 𝑥 −𝑒 𝑎 )
Решение.
1
ln(𝑥 − 𝑎)
𝑒 𝑥 − 𝑒𝑎
𝑒𝑥
1
𝑥
−
𝑎
lim
=
lim
=
lim
=
lim
=
lim
=1
𝑥
𝑒
𝑥→𝑎 ln(𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑎 )
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎 (𝑥 − 𝑎)𝑒 𝑥
𝑥→𝑎 𝑒 𝑥 + (𝑥 − 𝑎)𝑒 𝑥
𝑥→𝑎 (1 + 𝑥 − 𝑎)
𝑒𝑥 − 𝑒𝑎
Здесь
правило
неопределенности
Лопиталя
∞
∞
применялось
дважды:
сначала
для
раскрытия
0
, а затем для неопределенности .
0
Пример 3. lim (𝑥 𝑐𝑡𝑔 𝜋𝑥)
𝑥→0
Здесь имеется неопределенность 0 ∙ ∞. Приведем эту неопределенность к виду
0
0
,
записав заданную функцию в виде дроби, а затем применим правило Лопиталя:
𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝜋𝑥
1
lim (𝑥 𝑐𝑡𝑔 𝜋𝑥) = lim (
) = lim (
)=
𝑥→0
𝑥→0 𝑡𝑔 𝜋𝑥
𝑥→0
𝜋
𝜋
Пример 4. lim 𝑥 sin 𝑥
𝑥→0
Решение. Здесь неопределенность 00 . Обозначим данную функцию через у и
прологарифмируем ее:
𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 ; ln 𝑦 = sin𝑥 ln 𝑥 =
ln 𝑥
1
sin 𝑥
Вычислим предел логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя:
1
ln 𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑥
lim ln 𝑦 = lim
= lim cos 𝑥 = lim
=0
𝑥→0
𝑥→0 1
𝑥→0 −
𝑥→0 𝑥 cos 𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
sin 𝑥
Тогда lim 𝑦 = 𝑒 0 = 1
𝑥→0
Пример 5. Найти интервалы монотонности функции 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2
3
Решение. Найдем производную: 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥 = 3𝑥(𝑥 − 2). Очевидно что
𝑓 ′ (𝑥) > 0
при 𝑥 ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞). Это промежутки возрастания функции.
На промежутке (0, 2) функция убывает.
Пример 6. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2
Решение.
𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥; 𝑓 ′′ (𝑥) = 6𝑥 − 6; 𝑓 ′′ (𝑥) > 0, если
𝑥 > 1;
следовательно на промежутке
(−∞; 1) график функции выпуклый, а на
промежутке (1; +∞) - вогнутый. Точка (1; 𝑓(1)), т. е. (1; −2) есть точка
перегиба графика функции.
Пример 7. Найти асимптоты кривой 𝑦 = 2𝑥 +
cos 𝑥
𝑥
Решение. Найдем сначала вертикальные асимптоты. Так как 𝑥 = 0 - точка разрыва
функции, найдем ее предел в этой точке:
cos 𝑥
lim (2𝑥 +
) = +∞
𝑥→0
𝑥
Здесь первое слагаемое стремится к нулю, а второе – к бесконечности, т.к. cos x –
ограниченная функция, а
1
𝑥
- бесконечно большая при
𝑥 → 0. Итак, ось ОУ
является вертикальной асимптотой.
Найдем теперь наклонные асимптоты:
𝑓(𝑥)
cos 𝑥
) = lim (2 + 2 ) = 2
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥
𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥
𝑏 = lim (𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥) = lim (2𝑥 +
− 2𝑥) = lim (
)=0
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥
𝑥
𝑘 = lim (
Итак, уравнение наклонной асимптоты 𝑦 = 2𝑥.
3
Пример 8. Найти экстремумы функции 𝑦 = (2𝑥 − 1) √(𝑥 − 3)2
Решение.
Область определения функции – вся числовая прямая. Найдем
критические точки.
1
2
3(𝑥 − 3) + (2𝑥 − 1)
5𝑥 − 10
3
𝑦 ′ = 2√(𝑥 − 3)2 + (2𝑥 − 1) (𝑥 − 3)−3 = 2 [
=
2
]
3
3
3
√𝑥 − 3
√𝑥 − 3
4
Функция имеет две критические точки: 𝑥 = 3 (производная не существует) и 𝑥 =
2 (производная равна нулю).
Разобьем числовую ось критическими точками на интервалы и определим знак
производной на каждом интервале: 𝑦′ > 0 при 𝑥 ∈ (−∞; 2) ∪ (3; +∞) и 𝑦′ < 0
при 𝑥 ∈ (2; 3).
Согласно достаточным условиям существования экстремума,
максимума функции; x = 3 – точка минимума.
𝑥=2
- точка
Пример 9. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 3
на промежутке [−3; 2].
Решение. Находим производную и точки, в которых она обращается в ноль: 4𝑥 3 −
4𝑥 = 0; 𝑥 = 0; 𝑥 = 1. Вычисляем 𝑓(0) = 3; 𝑓(1) = 2 𝑓(−3) = 66; 𝑓(2) = 11.
Выбираем 𝑦наиб = 66, 𝑦наим = 2.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
𝑥 2 cos 𝑥
1. lim
𝑥→0 cos 𝑥 − 1
2. lim𝜋 (𝑡𝑔 𝑥 −
𝑥→
2
1
)
1 − sin 𝑥
𝑎𝑥
3. lim
𝑥→+∞ 𝑥
4.
lim 𝑥 𝑒 −𝑥
𝑥→+∞
5. lim𝜋(𝑡𝑔 𝑥)sin 2𝑥
𝑥→
2
6. lim (1 + 𝑥)ln 𝑥
𝑥→∞
𝜋
𝑥
2
7. lim
𝑥→1 ln(1 − 𝑥)
𝑡𝑔
8. lim𝜋(𝜋 − 2𝑥)cos 𝑥
𝑥→
2
9. В какой точке касательная к параболе 𝑦 = 𝑥 2 параллельна прямой 𝑦 = 4𝑥 − 5?
5
10. На параболе 𝑦 = 𝑥 2 взяты точки с абсциссами 𝑥1 = 1 и 𝑥2 = 3. Через эти
точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет
параллельна секущей?
11. Исследовать на экстремум функцию 𝑦 =
𝑥3
3
−
5𝑥 2
2
+ 6𝑥
12. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 5 на
промежутке [-2; 2]
13. Найти интервалы монотонности функции 𝑦 = (2 − 𝑥)(𝑥 + 1)2
14. Найти точки перегиба кривой 𝑦 = (𝑥 − 4)5 + 4𝑥 + 4
15. Найти асимптоты кривой 𝑦 = √
𝑥3
𝑥−2
Ответы:
1. −2; 2. +∞; 3. +∞; 4. 0; 5. 1; 6. 0; 7. −∞; 8. 1; 9. 2; 10. 2; 11. 𝑥 = 2 −
точка 𝑚𝑎𝑥, 𝑥 = 3 − точка 𝑚𝑖𝑛; 12. 𝑦 = 4 − наименьшее значение, 𝑦 = 13 −
наибольшее значение; 13. Убывает на (−∞; 1) ∪ (1; +∞); возрастает на
(−1; 1); 14. (4; 20); 15. 𝑥 = 2; 𝑦 = 𝑥 + 1; 𝑦 = −𝑥 − 1.
6