R - Школа восточных барабанов

Антонио Грамши
РИТМОЛОГИЯ
“ Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi”
(музыка – это тайное арифметическое упражнение души, которая вычисляет,
сама того не зная). Прошло почти 300 лет с тех пор как Лейбниц, один из
основоположников математического анализа и современник Баха, написал
эти великие слова в письме Гольдбаху, однако они за это время не потеряли
очарования и актуальности. Напротив, в результате многочисленных
исследований была выявлена способность человеческого мозга,
неосознанно подмечать математические закономерности в окружающем нас
мире, в том числе в услышанной музыке. Зачастую эта способность работает
и в обратном направлении, то есть выявляется в процессе творчества.
Поэтому многие композиторы осознанно, а иногда и неосознанно
использовали в своих произведениях тонкие математические принципы:
золотое сечение, операции симметрии и многое другое.
По-видимому, самый математический объект в музыке – это ритм, ее
“скелет”. Мы займемся математическим анализом музыкальных ритмов в
связи с более общей проблемой восприятия времени и предложим
некоторые алгоритмы для генерирования и преобразования ритмов,
которые, возможно, заинтересуют композиторов и математиков. Мы
надеемся, что и музыканты-исполнители найдут для себя в этом материале
много интересного.
Дадим, в первую очередь, строгие определения тем понятиям, с которыми
нам нужно будет иметь дело. Возможно, эти определения окажутся не
самыми удачными и не будут совпадать с общепринятыми, но, по крайней
мере, у читателя в процессе чтения не возникнет недоразумений.
Ритмическим рисунком будем называть любую, начинающуюся с цифры 1,
конечную или потенциально бесконечную последовательность из единиц и
нулей. Музыкальный смысл этого определения состоит в том, что единице
соответствует звуковой сигнал, а нулю - пауза. Каждый член
последовательности находится в определенной позиции, соответствующей
временному промежутку дискретного времени. Каждый промежуток равен
условной временной единице. В дальнейшем будем называть такие
промежутки – единицы деления временной шкалы – моментами. Это так
называемое позиционное представление ритмического рисунка. Будем
заключать запись ритмического рисунка в квадратные скобки, например:
[1000101010001111].
Первому сигналу и только ему в ритмическом рисунке придается особое
значение. Будем считать его акцентированным сигналом. Все остальные
сигналы будем считать не акцентированными. В музыкальной практике
акцентированность сигнала (ноты или удара) выражается его более громким,
по сравнению с остальными сигналами, звучанием. Внутренние акценты, то
есть акцентированные сигналы внутри ритмического рисунка, пока
рассматриваться не будут – мы займемся ими позже в специальном разделе.
Разновидности позиционной нотации ритмических рисунков часто
используются в школах этнической перкуссии. При этом сигнал обычно
обозначается буквой, а пауза – прочерком. Иногда удобно использовать так
называемую модульную разновидность позиционной записи. Сущность этого
подхода лучше всего показать на примере. Вновь рассмотрим ритмический
рисунок [1000101010001111]. Разобьем его на четыре равные части-модуля,
которые будем отделять точками: [1000.1010.1000.1111]. Теперь
расположим каждый модуль вертикально, в виде столбика. В результате
получим следующую запись нашего ритмического рисунка:
1
O
O
O
1
O
1
O
1
O
O
O
1
1
1
1
Сигналы и паузы в каждом столбике считываются в направлении сверху вниз,
а сами столбики считываются слева направо. Можно рассматривать каждый
столбик как основную долю ритмического рисунка. В нашем случае их
четыре. Первая доля содержит один сигнал, вторая – два, третья – снова
один, четвертая – четыре сигнала. Так как сигналы в пределах каждой доли
распределены равномерно, то нули в каждом столбике можно вообще не
использовать, а высоту каждого столбика сократить в
4
𝒏
раз, где n – число
сигналов в столбике. В результате получим следующую компактную запись:
1 1 1 1
1
1
1
1
Такое двухмерное представление ритмического рисунка оказывается
чрезвычайно удобным в преподавании ритмики – ритмы и композиции,
записанные в модульном виде, ученики осваивают намного быстрее, чем в
классической нотации. Модульная запись подробно описана в разделе
“Альтернативные способы ритмической нотации”.
Другой подход, тесно связанный с предыдущим, заключается в том, чтобы
ритмический рисунок представлять как начинающуюся с единицы строго
возрастающую последовательность натуральных чисел. Музыкальный смысл
такого представления состоит в том, что каждому числу в
последовательности соответствует порядковый номер момента на
дискретной шкале времени, когда производится сигнал. Такое
представление ритма будем называть координатным (каждому моменту
соответствует координата на временной оси). Представим
вышеприведенный ритмический рисунок [1000101010001111] в
координатном виде, получим [1,5,7,9,13,14,15,16].
И, наконец, третий подход состоит в представлении ритмического рисунка в
виде последовательности натуральных чисел, причем каждое число
соответствует длине отрезка дискретного времени от одного сигнала
(включая момент, когда он производится) до следующего (не включая этот
момент). Такое представление будем называть геометрическим, поскольку
на первый план выступают длины временных отрезков. Например,
вышеприведенный ритмический рисунок [1000101010001111] в
геометрическом виде будет выглядеть следующим образом: [4,2,2,4,1,1,1,1].
Отметим, что классическая нотная запись является по своей сути
геометрической. В такой записи числа, соответствующие временным
отрезкам между сигналами, мы будем называть длительностями сигналов,
хотя мы продолжаем считать сигналы точечными событиями, длящимися
ровно одну единицу условного времени. Можно отказаться от такого
упрощенного взгляда и считать, что сигнал длится определенное число
моментов. Для этого нужно ввести понятие существенных пауз. В
позиционной записи начало существенной паузы обозначается нулем со
штрихом 0’; в геометрической записи число моментов, в течение которых
длится пауза, обозначается натуральным числом со штрихом. Например,
позиционная запись ритмического рисунка [1000101010001111], в который
мы вводим существенные паузы, укорачивающие первый сигнал на два
момента, а третий и четвертый сигнал на один момент, будет выглядеть
следующим образом: [100’01010’1000’1111]. Соответствующая ему
геометрическая запись будет выглядеть так: |2,2’,2,1,1’,3,1’,1,1,1,1].
Абсолютное время в разрабатываемой нами теории чаще всего не играет
никакой роли – нас интересуют только соотношения длин временных
отрезков. Поэтому мы можем умножить каждое число этой записи на любое
фиксированное натуральное число - при этом ритмический рисунок, в
сущности, останется прежним. В соответствующей позиционной записи при
этом появятся дополнительные нули. Например, вместо [4,2,2,4,1,1,1,1] мы
могли бы написать [8,4,4,8,2,2,2,2] или [16,8,8,16,4,4,4,4] и т. д. Для удобства
ритмический рисунок в геометрическом представлении лучше записывать в
виде последовательности взаимно простых чисел, хотя это и не
принципиально. В дальнейшем мы будем различать равенство ритмических
рисунков и ритмов в расширенном смысле, то есть с точностью до
коэффициента пропорциональности, которое назовем эквивалентностью
(будем для него использовать знак тильды “~”), и строгое равенство (для
которого будем использовать обычный знак равенства).
Разные виды записи будут отображать также и разные подходы к
представлению о восприятии времени. Для практических целей мы будем
использовать только позиционную и геометрическую запись. Читатель без
труда различит их: в позиционной записи нет запятых, а в геометрической
они есть. Координатная запись, неудобная в практических приложениях,
понадобится нам только в одном теоретическом рассуждении о восприятии
времени.
Бесконечное (многократное) повторение одного и того же ритмического
рисунка порождает собственно ритм. Важное свойство ритма состоит в том,
что он имеет определенное начало, а именно ритмический рисунок,
исполняемый первым. Ритмический рисунок, порождающий ритм, будем
называть ритмическим периодом. Запись ритмического периода будем
заключать между тактовыми чертами. Поскольку ритмический период
однозначно задает ритм, числовая последовательность, заключенная между
тактовыми чертами будет означать как ритмический период, так и
соответствующий ритм. Например, ритмический период |2,1,1|порождает
ритм [2,1,1],[2,1,1],[2,1,1]… =|2,1,1|. В разрабатываемой нами теории
понятия ритма и бесконечного ритмического рисунка не равнозначны.
Например, в ритме |2,1,1| каждый (1+3n)-й сигнал (где n=0,1,2,3..) акцентированный, а в бесконечном ритмическом рисунке [2,1,1,2,1,1,2,1,1,…]
акцентированным является только первый сигнал.
Мы будем различать разные варианты вырожденного ритма: |1|, |1,1|,
|1,1,1|,… Ритм |1| будем называть простым вырожденным. В качестве
особого объекта можно выделить пустой ритм, который не содержит ни
сигналов, ни пауз. Порождающий его ритмический период длится 0 единиц
условного времени, следовательно, столько же длится и соответствующий
ритм. Пустой ритм – это своеобразный аналог обычного нуля или пустого
множества. Пустой ритм будем обозначать как |0| (перечеркнутый ноль).
Таким образом, множество всевозможных ритмов можно разбить на
подмножество ненулевых ритмов (начинающихся с сигнала) и пустой ритм.
Теоретически допустим ритм, состоящий из одной паузы, то есть |0|, но,
оказывается, что он создает значительные неудобства при разработке
математических операций над ритмами и, кроме того, не является ни
ненулевым, ни пустым. Поэтому мы его рассматривать не будем.
Скорее всего, ритмы воспринимаются нами геометрически: при этом мы
сравниваем между собой временные отрезки между сигналами, а не
фиксируем их пассивно на “встроенной в мозг” временной оси.
Координатное представление может послужить основой для
феноменологической модели первичного восприятия времени. В этом
случае координаты соответствуют величине, которую можно назвать
яркостью сигнала. В каждый момент времени мы воспринимаем все
предыдущие сигналы в виде единого множества. Поскольку все они имеют
разную яркость, мы способны упорядочить их на воображаемой временной
оси. Первичное ощущение времени возникает в результате суперпозиции и
соответствующей “голографической” обработки, по крайней мере, двух
сигналов различной яркости. Подобный механизм лежит в основе
стереоскопического зрения: здесь тоже происходит суперпозиция с
последующей “голографической” обработкой двух различных зрительных
образов, получаемых от правого и левого глаза. Еще раз подчеркнем, что
описанная нами модель является именно феноменологической: мы не
знаем, что происходит на самом деле, но абстрактная модель может помочь
нам приблизиться к такому пониманию.
А теперь перейдем к описанию некоторых алгоритмов генерирования новых
ритмов с помощью различных операций над исходными ритмами. Автор
давно пытался на основе ритмов создать структуры, аналогичные
алгебраическим объектам – группам и кольцам. Основная проблема, с
которой пришлось столкнуться – это сохранение музыкального смысла в
полученных таким образом структурах: слушатель не только должен
осознавать логически, но и “слышать” те преобразования, которые
происходят с исходными ритмами. Насколько автору удалось достичь
поставленной задачи, судить читателю.
Мы будем рассматривать два класса ритмов – с одним типом сигнала и с
двумя. Первый класс был подробно рассмотрен выше. Будем называть
ритмы из этого класса однопараметрическими (единственный параметр –
временная координата сигнала).
Во втором классе имеются сигналы уже двух типов – низкий и высокий
(например, низкий и высокий звук на барабане). Будем обозначать сигналы
так же, как и раньше, но подчеркивание числа (и в позиционной, и в
геометрической записи) будет означать, что сигнал – низкий. Например, в
ритме |2,1,1| первый длинный сигнал – низкий, последние два коротких –
высокие. Понятно, что низкий и высокий сигналы – это частные случаи
тональной системы, в которой высота сигнала связывается с определенной
нотой. Поэтому будем также называть ритмы с двумя типами сигнала
двухпараметрическими (первый параметр – временная координата сигнала,
второй параметр – его высота). Всю разрабатываемую ниже теорию можно
обобщить для класса ритмов с произвольным количеством типов сигнала, но
мы этого делать не будем, ограничиваясь, в основном, первым классом и,
где это необходимо – вторым.
Унарные операции над ритмами
Прежде всего, рассмотрим девять унарных операций, или операторов, над
ритмами, из которых первые три широко используются в музыкальной
композиции. В ритме, полученном в результате применения оператора,
акцентированным будет также только первый сигнал, независимо от типа
оператора.
Первая из операций – ракоход. Она сводится к исполнению исходного ритма
в обратном порядке. Например, если мы построим ракоход от ритма
|4,2,2,4,1,1,1,1|, то получим ритм |1,1,1,1,4,2,2,4|. Ракоходы, полученные из
ритмов, записанных в геометрической и позиционной записи будут
отличаться друг от друга, но несложно доказать, что они переходят один в
другой при циклической перестановке знаков. Очевидно, что ракоход можно
представить себе как зеркальное отражение записи ритма относительно
вертикальной оси, проходящей через середину ритма. Если ритм при
ракоходе меняется, как в приведенном мною примере, то он называется
полярным, в противном случае он называется неполярным. Например,
неполярным является ритм |4,2,2,4|. Очевидно, что все неполярные ритмы,
и только они, имеют симметричную геометрическую запись.
Вторым оператором является обращение. Этот оператор имеет смысл только
для ритмов с двумя типами сигнала. Обращение состоит в замене низкого
сигнала на высокий и наоборот. Например, ритм |4,2,2,4,1,1,1,1| при
обращении преобразуется в следующий: |4,2,2,4,1,1,1,1|.
Комбинацию (последовательное выполнение) ракохода и обращения
называют инверсией. Несложно убедиться, что ракоход, обращение и
инверсия образуют абелевую (коммутативную) группу преобразований над
множеством R всевозможных ритмов, которую будем обозначать как 𝑄𝑅 .
Групповая (бинарная) операция состоит в последовательном выполнении
(суперпозиции) двух преобразований (унарных операций) над данным
ритмом. Роль единицы играет тождественное преобразование, при котором
ритм остается неизменным. Таблица Кэли для группы 𝑄𝑅 будет следующей:
e
e e
c c
r r
i i
c
c
e
i
r
r
r
i
e
c
i
i
r
c
e
Здесь e - тождественное преобразование, с – ракоход ( от лат. cancer – рак),
r – обращение ( от лат. rivoltatio - опрокидывание), i – инверсия (от лат.
inversio - перестановка). Очевидно, что группа 𝑄𝑅 Изоморфна диэдрической
группе порядка 4, 𝐷2 . В этой группе, в отличие от циклической группы
порядка 4, все элементы, отличные от единичного, e, имеют порядок,
равный 2.
Следующая, уже “нелинейная” операция, называемая дополнением ритма,
сводится к преобразованию долгих сигналов в короткие, а коротких – в
длинные. При этом в геометрической записи ритма R=|a,b,...c| ищется
максимально долгий сигнал длительности m. Дополнением ритма R будет
следующий ритм s(R)= |m+1-a,m+1-b,…m+1-c|. Например, дополнением
ритма R=|4,2,2,4,1,1,1,1| станет ритм s(R)=|4+1-4,4+1-2,4+1-2,4+1-4,4+11,4+1-1,4+1-1,4+1-1|=|1,3,3,1,4,4,4,4|. Очевидно, что эта операция вместе с
предыдущими операциями ракохода, обращения и инверсии образует
абелевую группу 𝐺𝑅 над множеством всех ритмов, но уже порядка 8.
Выпишем ее таблицу Кэли:
e
e e
c c
r r
i i
s s
cs cs
rs rs
is is
c
c
e
i
r
cs
s
is
rs
r
r
i
e
c
rs
is
s
cs
i
i
r
c
e
is
rs
cs
s
s
s
cs
rs
is
e
c
r
I
cs
cs
s
is
rs
c
e
i
r
rs
rs
is
s
cs
r
i
e
c
is
is
rs
cs
s
i
r
c
e
Из таблицы видно, что группа 𝑄𝑅 является нормальным делителем группы
𝐺𝑅 . Соответствующая фактор-группа G/Q изоморфна циклической группе
порядка 2. Очевидно также, что группа 𝐺𝑅 является диэдрической группой 𝐷3
порядка 8. Несложно разработать и другие унарные операции, которые
вместе с вышеописанными операциями будут образовывать диэдрические
группы более высоких порядков (в общем случае порядок группы 𝐷𝑛 равен
2𝑛 ).
Операция сдвига состоит в циклической перестановке чисел в
геометрической записи ритма: при этом первое число ставится в конец
записи. Будем обозначать эту операцию буквой t (от лат. translatio –
перенос). Например, t(|2,1,1|)=|1,1,2|. Музыкальный смысл этой операции
состоит в том, что акцент смещается на второй сигнал исходного ритма.
Очевидно, что каждый ритм порождает циклическую группу, порядок
которой равен числу сигналов в нем. Например, ритм |2,1,1| порождает
группу, состоящую из трех элементов: 𝑡 0 =e (тождественное преобразование),
𝑡 1 =t (собственно сдвиг) и 𝑡 2 =txt (повторный сдвиг). Итак, 𝑡 0 =|2,1,1|,
𝑡 1 =|1,1,2|, 𝑡 2 =|1,2,1|.
Теперь перейдем к двум противоположным друг другу “нелинейным”
операциям - смягчению и заострению ритмов. Смягчением называется
прибавление единицы к каждому числу в геометрической записи ритма.
Приведем пример. Возьмем неоднократно использованный нами ритм
|4,2,2,4,1,1,1,1|. Теперь, прибавляя единицу к каждому числу записи этого
ритма, получим ритм |5,3,3,5,2,2,2,2|. Этот ритм звучит аналогично
исходному, но как бы в “смягченном” варианте, поскольку теперь сигналы
распределены несколько более равномерно. Если мы применим операцию к
этому новому ритму, получим еще более “смягченный” ритм. Продолжая
применять операцию и дальше, очевидно, в пределе мы получим ритм,
состоящий из равномерной последовательности сигналов. Мы можем
смягчать ритм как угодно мало, предварительно умножая каждое число в его
записи на произвольное натуральное число (очевидно, что при этом ритм не
меняется). Как несложно убедиться, с помощью операции смягчения можно
превратить пунктирный ритм |3,1| в пунктирно-триольный |2,1|, который
широко используется в блюзе и джазе.
Операция заострения ритмов, противоположная смягчению, состоит в
вычитании единицы из каждого числа в геометрической записи ритма; при
этом минимальное число в этой записи должно превосходить единицу.
Рассмотрим снова ритм |4,2,2,4,1,1,1,1|. Поскольку запись ритма содержит
единицы, умножим предварительно каждое число, например, на 2. Получим
“растянутую” запись того же самого ритма: |8,4,4,8,2,2,2,2|. Теперь мы
можем применить операцию заострения, вычитая из каждого числа по
единице. Получим ритм |7,3,3,7,1,1,1,1|. Этот ритм тоже будет
восприниматься как подобный исходному, но, по сравнению с ним, будет
иметь несколько более “острый” характер, так как здесь сигналы будут
распределены менее равномерно. Если мы будем применять операцию
заострения и дальше, то в пределе также получим равномерный ритм, но
характер стремления к пределу здесь будет совершенно иным. Как и в
случае операции смягчения, мы можем заострять ритм как угодно мало,
предварительно умножая каждое число в его записи на произвольное
натуральное число.
Дифференцирование и интегрирование ритмов
Разумеется, речь не идет о дифференцировании и интегрировании в
общепринятом смысле. Но, хотя ритм является дискретным объектом, мы
вправе задаться вопросом: можно ли изменения, происходящие в одном
ритме R, характеризовать с помощью другого ритма R’? И, наоборот, можно
ли по данному ритму R’ найти другой ритм R, изменения в котором
характеризуются ритмом R’? Первая задача, применительно к непрерывным
функциям, решается с помощью дифференцирования, вторая – с помощью
интегрирования. Чтобы не придумывать новых терминов, мы также будем
пользоваться этими понятиями, хотя и с оговоркой, что речь идет лишь об
отдаленной аналогии. Дифференцирование и интегрирование ритмов – это
тоже унарные операции. Но, ввиду необычности и важности этих операций
для оценки сложности ритмов, мы вынесли их описание в отдельный
параграф.
Прежде всего, введем ряд необходимых предварительных понятий.
Ритмический период, если он имеет достаточную протяженность, в
большинстве случаев можно разбить на отдельные фрагменты, каждый из
которых воспринимается как единое целое. Назовем такие фрагменты
ритмическими модулями (музыканты часто выделяют начало каждого
модуля небольшим акцентом). Это понятие достаточно субъективное,
поскольку, в зависимости от музыкального опыта, протяженность модуля
может оказываться разной для разных категорий слушателей. Для наших
целей мы ограничимся изучением модулей, имеющих одинаковое
количество разрядов. Разбиение на модули такого рода возможно, если
количество разрядов в ритме – составное число. Условимся записывать
модули в виде столбика и читать их сверху вниз. Например, разделяя ритм
R=|1000101010001111| на 8 модулей, состоящих из двух сигналов, получим
следующую запись, которую можно интерпретировать как матрицу 𝑆2 (2число строк в матрице):
1 O 1 1 1 O 1 1
O O O O O O 1 1
Если мы увеличим количество сигналов в модуле до четырех, то получим
следующую матрицу 𝑆4 :
1
O
O
O
1
O
1
O
1
O
O
O
1
1
1
1
Увеличив количество сигналов в модуле до восьми, получаем следующую
матрицу 𝑆8 :
1
O
O
O
1
O
1
O
1
O
O
O
1
1
1
1
И, наконец, увеличив модуль до 16-ти сигналов, получим предельный случай
– матрицу 𝑆16 :
1
O
O
O
1
O
1
O
1
O
O
O
1
1
1
1
Очевидно, если мы транспонируем эту матрицу, то получим исходную запись
ритма, записанную в виде матрицы 1x16, 𝑆1 :
1 O O O 1 O 1 O 1 O O O 1 1 1 1
Теперь сделаем следующее преобразование для строк всех получившихся
матриц: оставляя первый знак в строке, и, двигаясь слева направо, будем
выписывать только новые знаки, пропуская повторяющиеся. Например,
матрица 𝑆4 превратится в следующий объект, который для простоты будем
называть неполной матрицей:
1
O
1
O 1 O 1
O
1
Поскольку в каждой строке происходит правильное чередование цифр, мы
можем, оставляя первую цифру в строке, заменить остальные на
нейтральный знак, например на крестик “x”. Матрица примет следующий
вид:
1
O
X
O X X X
O
X
Теперь преобразуем первый столбец, рассматривая его в направлении
сверху вниз, точно так же, как мы только что преобразовывали строки.
Получим следующую неполную матрицу:
1
X
X
X X X
X
Поскольку и так понятно, что в ячейке матрицы в левом верхнем углу будет
находиться 1 (любой ритм начинается с сигнала), мы можем и в ней
поместить крестик. В результате получим следующую матрицу:
X
X
X
X X X
X
И, наконец, заменим крестики на единицы, а пустые ячейки – на нули.
Окончательно получим следующую, уже настоящую матрицу:
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
Назовем такую матрицу характеристической матрицей первого порядка
для данного разбиения ритма на модули и будем обозначать ее как 𝑆4′
(нижний индекс по-прежнему указывает число строк в матрице и,
следовательно, тип разбиения на модули), а ритм, ей соответствующий (в
нашем случае это |1100001000100111|) – производной первого порядка по
разбиению на модули 4x4. Будем обозначать его, так же как и в случае
настоящих производных, буквой R со штрихом, то есть 𝑅4′ (здесь тоже
нижний индекс указывает тип разбиения на модули). Мы можем
рассматривать полученный ритм 𝑅4′ =|1100001000100111| как исходный и
задаться целью, найти ритм, для которого он является производной. Тогда,
проделывая преобразования в обратном порядке, мы снова получим ритм
R=|1000101010001111|, который назовем интегралом от ритма 𝑅4′ . Будем
обозначать его обычным знаком интеграла: R=∫ 𝑅4′ . Еще раз подчеркнем,
что, как в случае производной, так и в случае интеграла, нужно указать
конкретный способ разбиения на модули.
Вернемся к ритму R=|1000101010001111|
Найдем его характеристические матрицы, соответствующие остальным
типам разбиений. Выпишем в порядке возрастания числа строк все
получившиеся матрицы, включая только что разобранный случай матрицы
4x4.
Матрица 𝑆1′ :
1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
Матрица 𝑆2′ :
1 1 1 0 0 1 1 0
1 0 0 0 0 0 1 0
Матрица 𝑆4′ :
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
Матрица 𝑆8′ :
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
′
Матрица 𝑆16
:
X
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
Теперь подсчитаем для каждой характеристической матрицы число единиц,
которая она содержит, и разделим его на число сигналов в исходном ритме.
Назовем это число мерой сложности характеристической матрицы и будем
обозначать его как L. Для матрицы 𝑆1′ L=9/8, для матрицы 𝑆2′ L=7/8, для
′
матрицы 𝑆4′ L=7/8, для матрицы 𝑆8′ L=8/8=1 и, наконец, для матрицы 𝑆16
L=9/8. Итак, мера сложности минимальна для матрицы 𝑆2′ и 𝑆4′ . При этом в
матрице 𝑆4′ сумма числа строк и столбцов, которая равна 4+4=8, меньше
аналогичной суммы для матрицы 𝑆2′ , где она равна 2+8=10. Иными словами,
матрица 𝑆4′ еще более компактна, чем матрица 𝑆2′ . Интересно, что и
соответствующее матрице 𝑆4 разбиение на модули оказывается самым
естественным, причем неясно, что в данном случае важнее для удобства
восприятия ритма – квадратная форма матрицы (при этом получается
небольшое число сравнительно коротких модулей) или ее минимальная
мера сложности. Назовем такого рода матрицы оптимальными. Разумеется,
основываясь только на этом единичном примере, нельзя утверждать, что
человеческий мозг стремится воспринимать ритмы в наиболее компактном
виде, пытаясь задействовать как можно меньше “информационных ячеек”
(подобно архивированию файлов в компьютерах). Для более глубокого
изучения этой проблемы нужно тщательно проанализировать, как
воспринимают разнообразные короткие ритмы разные категории
слушателей. В любом случае, характеристическая матрица первого порядка
в какой-то мере характеризует сложность ритмов, в чем автор неоднократно
убеждался в процессе в своей многолетней музыкально-педагогической
практики.
Рассмотрим теперь следующий ритм: |1010010110100101|. Число сигналов в
нем равно 8. Построим его характеристическую матрицу 𝑆4′ . Получим:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Число знаков в этой матрице максимально, а именно 16, что в два раза
превышает число сигналов исходного ритма, то есть мера его сложности
L=16/8=2 Значит, рассматривая разбиение этого ритма на четыре модуля по
четыре разряда, мы получим очень сложный ритм. Посмотрим, что будет
получаться для других разбиений.
Матрица 𝑆1′
1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
содержит 13 единиц.
Матрица 𝑆2′
1 0 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0
содержит уже только 8 единиц.
Матрица 𝑆8′
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
содержит всего лишь семь единиц. Действительно, во втором столбце
сигналы полностью исчезают ввиду того, что вторая половина ритма
повторяет первую (если не учитывать акцентированность первого сигнала).
′
Матрицу 𝑆16
мы рассматривать не будем, поскольку она получается путем
транспонирования матрицы 𝑆1′ , которую мы уже рассматривали.
Получается, что разбиение исходного ритма на два модуля из 8-ми разрядов
– оптимально для данного ритма.
Вернемся к рассмотрению характеристической матрицы 𝑆4′ только что
рассмотренного ритма:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Теперь произведем над ней те же преобразования, которые мы
производили над матрицей 𝑆4 , чтобы получить матрицу 𝑆4′ . Получим
матрицу:
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Назовем ее характеристической матрицей второго порядка ритма
|1010010110100101| по данному разбиению и будем обозначать ее как 𝑆4′′ .
Соответствующий ритм |1000000000000000|=|16|~|1| будем называть
второй производной ритма R=|1010010110100101| и обозначать его как 𝑅4′′ .
В нашем конкретном случае 𝑅4′′ является вырожденным ритмом, хотя
исходный ритм R имел довольно сложную структуру. Стоит ли учитывать это
обстоятельство при поиске оптимального разбиения на модули? Автор пока
не может ответить на этот вопрос. В любом случае, нет сомнений, что
характеристические матрицы второго порядка (а, возможно, и высших
порядков) несут важную информацию о структуре ритма (так же, как вторые
производные – о функциях).
Теперь допустим, что, наоборот, нам нужно для ритма 𝑅4′′ найти ритм R, для
которого 𝑅4′′ являлся бы второй производной. Тогда, проделывая
преобразования матрицы 𝑆4′′ в обратном порядке, мы получили бы ритм R,
который можно назвать повторным интегралом второго порядка от ритма
𝑅4′′ , то есть R=∬ 𝑅4′′ . В нашем конкретном случае 𝑅4′′ =|16|~|1|,
R=|2,3,2,1,2,3,2,1|.
Аналогичным образом можно вычислить производные и повторные
интегралы более высоких порядков. Легко доказать, что для любого
конечного ритма при данном разбиении на модули число производных
разных порядков конечно и в точности равно числу соответствующих
повторных интегралов.
Пусть даны два достаточно коротких ритмических рисунка A и B, имеющих
одинаковое количество основных долей (или, попросту, одинаковую
временную протяженность). Обозначим соответствующие им оптимальные
матрицы как 𝑆 opt (A) и 𝑆 opt (B). Меры сложности соответствующих им
характеристических матриц обозначим как L(A) и L(B). Сыграем подряд эти
рисунки. Оказывается, что, если L(A) > L(B), то рисунок B будет казаться
несколько замедленным по сравнению с A, а если L(A) < L(B), то B, наоборот,
будет казаться ускоренным по сравнению с A. Эта разница в ощущении
скорости будет тем сильнее, чем больше различаются меры сложности
рисунков A и B. Выражаясь более образно, можно сказать, что если в данном
временном отрезке сосредоточено больше информации, то сознание
стремится как бы расширить его, чтобы воспринять лучше содержащуюся в
нем информацию. Приведем простейший пример. Сыграем ритм
R=|1010101011111111|. Практически любой слушатель скажет, что он
воспринимает его как состоящий из чередующихся фрагментов ритмических рисунков M=[10101010] и P=[11111111]. Каждый из этих
рисунков является фрагментом простого вырожденного ритма |1|. Но,
поскольку в ритме R соединяются фрагменты простого вырожденного ритма,
исполняемого в двух разных темпах, то рисунок M будет восприниматься уже
не как фрагмент ритма |1|, а как фрагмент более сложного ритма |10|.
Поэтому при переходе от фрагмента M к фрагменту P музыкально
неподготовленный человек будет слышать небольшое замедление,
поскольку фрагмент P, несмотря на то, что состоит из большего количества
сигналов, имеет оптимальную матрицу меньшей меры сложности. Это
обстоятельство хорошо известно учителям музыки: начинающие ученики,
исполняя после медленных (но сложно организованных в ритмическом
отношении) фрагментов простые пассажи, не представляющие для них
технической сложности (например, гаммообразные), часто играют их в
“скомканном” виде, то есть быстрее, чем нужно. С приобретением
музыкального опыта субъективное течение времени постепенно
приближается к объективному.
Мы разобрали простейшие случаи деления ритмических рисунков на
модули. На самом деле, модули могут иметь разную длину. Хотя именно
такие разбиения чаще всего встречаются в профессиональной музыке, мы не
будем их анализировать ввиду сложности подобного анализа.
Бинарные операции над ритмами
Теперь рассмотрим бинарные операции над ритмами. Как и в случае
унарных операций, в результирующем ритме только первый сигнал имеет
акцент независимо от типа операции.
Рассмотрим вначале операцию умножения ритмов, которую удобно
рассматривать, используя геометрическую запись. Умножить ритм A на ритм
B – это значит исполнить ритм A в ритме B. При этом вместо сигналов ритма B
мы подставляем ритмический период A, который будем растягивать в
соответствии с длительностями сигналов ритма B. Эти длительности теперь
будут представлять собой коэффициенты пропорциональности для ритма A.
Например, умножая ритм A=|2,1| на ритм B=|2,1,1|, получим ритм
C=AxB={|2,1|x2,|2,1|x1,|2,1|x1}=|4,2,2,1,2,1|. Операция умножения так же,
как и сложение, обладает свойством ассоциативности (это неочевидно, хотя
легко доказуемо), но не обладает свойством коммутативности. Нейтральный
элемент здесь – простой вырожденный ритм |1|, обратных элементов не
существует. Введем также в качестве аксиомы правило, что произведение
любого ритма и пустого ритма равно пустому ритму, то есть Rx|0|=|0|. Это
правило аналогично правилу умножения на ноль на множестве
действительных чисел (а также комплексных чисел и векторов).
Таким образом, операция умножения задает на множестве всевозможных
ритмов некоммутативную полугруппу. Отметим также, что полугруппа по
умножению не имеет делителей нуля, то есть не существует двух таких
невырожденных ритмов A и B, для которых было бы справедливо равенство:
AxB=|1|
Будем называть возведением в степень n (n – целое неотрицательное число)
ритма R и обозначать как 𝑅𝑛 произведение n сомножителей, каждый из
которых равен R, то есть RxRx…R. По определению 𝑅0 =|1|, то есть ритм в
нулевой степени есть вырожденный ритм.
Очень красивы ритмические гномоны, самоподобные структуры,
образованные возведением ритма в степень. Разумеется, для этого лучше
подходят достаточно короткие ритмы.
Очевидно, что существуют простые ритмы, которые невозможно разложить
на произведение ритмов, каждый из которых отличается от вырожденного.
Таков, например, ритм |2,1,1|. Ритмы, допускающие разложение на
множители, каждый из которых не является простым вырожденным ритмом,
будем называть составными. Сам простой вырожденный ритм, по аналогии
с единицей в теории чисел, удобно считать ни простым, ни составным.
Теперь рассмотрим сложение ритмов. В отличие от умножения, в
музыкальной практике существуют две операции, которые действительно
напоминают сложение в общеупотребительном смысле (в применении,
например, к числам, векторам и матрицам). Это наложение ритмов друг на
друга и конкатенация.
Наложение (или сложение путем наложения) удобно рассматривать,
используя позиционную запись. Будем обозначать эту операцию знаком “+”.
Пусть даны два ритма 𝑅1 и 𝑅2 Допустим, что число разрядов в позиционной
записи ритма 𝑅1 равно m, а для 𝑅2 равно n. Прежде всего, проведем
процедуру масштабирования исходных ритмов, то есть приведем их к
одному и тому же количеству разрядов. Найдем число p=н.о.к.(m,n), то есть
наименьшее общее кратное чисел m и n. Если теперь мы растянем запись
ритма 𝑅1 в p/m раз, а запись ритма 𝑅2 в p/n раз, то количество разрядов в
записи обоих ритмов будет одним и тем же, а именно p. Выписывая
исходные ритмы один над другим, осуществим их наложение по каждому
разряду в соответствии со следующими простыми правилами: 0+0=0,
0+1=1+0=1, 1+1=1. Нетрудно заметить, что эти равенства задают булево
сложение.
Приведем пример. Допустим, нужно наложить ритм A=|101| на ритм
B=|1011|. Количество разрядов в первом ритме равно трем, во втором 4.
Наименьшее общее кратное чисел 3 и 4 равно 12. Следовательно, первый
ритм нужно растянуть в 4 раза, а второй – в три. Запись ритма A преобразится
в |100000001000|. Запись ритма B преобразится в |100000100100|. Теперь
запишем их одну над другой в виде таблицы 2x12:
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
Теперь, производя наложение по каждому разряду в этих двух записях,
получим новый ритм C=A+B=|100000101100|=|6,2,1,3|. Этот ритм совмещает
свойства двух исходных ритмов, так как они слышатся в нем одновременно.
Несложно установить, что операция наложения, определенная на множестве
всевозможных ритмов, обладает свойством ассоциативности и
коммутативности. Кроме того, имеется нейтральный элемент – простой
вырожденный ритм |1|, но не существует обратных элементов.
Следовательно, множество всевозможных ритмов образует бесконечную
коммутативную полугруппу по наложению. Очевидно, что пустой ритм
невозможно масштабировать с непустым ритмом, поэтому наложение
непустого ритма на пустой не имеет смысла.
Применяя операции умножения и наложения в различных комбинациях, мы
можем получать новые разнообразные ритмы, причем они будут
восприниматься не как случайные нагромождения сигналов, а именно как
комбинации исходных ритмов. Попробуйте воспроизвести, например,
следующий производный ритм:
(|2,1,1|+|2,1|)x|2,1,1|=|12,4,2,6,6,2,1,3,6,2,1,3|.
Довольно легко доказывается, что введенные нами на множестве
всевозможных ритмов операции наложения и умножения обладают
свойством частичной дистрибутивности, то есть для любых ритмов A, B и C
будет справедливо равенство (A+B)xC=(AxC)+(BxC). Назовем такую
дистрибутивность правой (мы умножаем на ритм C справа). Равенство же
Ax(B+C)=(AxB)+(AxC) в общем случае не выполняется.
Назовем множество, образующее коммутативную полугруппу по наложению
и полугруппу по умножению, которые связаны законом частичной
дистрибутивности, неполным полукольцом. Интересное свойство неполного
полукольца однопараметрических ритмов состоит в том, что полугруппы по
наложению и умножению имеют один и тот же нейтральный элемент |1|.
Интересно также и то, что операции наложения и умножения ритмов
связаны друг с другом аналогично тому, как операции обычного сложения и
умножения связаны в полукольце целых чисел. Действительно, естественно
считать, что умножение ритма A на натуральное число n равно умножению
ритма A на ритм |n|, то есть Axn=Ax|n|, nxA=|n|xA. Но ритм |n|
эквивалентен ритму|1|, то есть простому вырожденному ритму, так как
пропорциональные ритмы мы считаем эквивалентными. Следовательно,
Axn~A~nxA. С другой стороны, если мы сложим путем наложения n раз ритм
A, то, в соответствии с нашими правилами наложения, получим тот же ритм
A.
На множестве всевозможных однопараметрических ритмов с операциями
наложения и умножения несложно построить алгебраическую структуру,
напоминающую настоящее кольцо. Для этого нужно превратить полугруппу
по наложению в абелеву группу. Этого можно достичь введением
следующих правил для поразрядного наложения сигналов: 1+1=0,
1+0=0+1=1, 0+0=0. Чтобы избежать ситуации, когда ритм начинается с паузы
(мы не рассматриваем такие ритмы, в частности, потому что их невозможно
представить в геометрическом виде), условимся применять операцию
поразрядного наложения, начиная со второго разряда. Нейтральным
элементом для группы по сложению и полугруппы по умножению здесь
также служит ритм|1|. Назовем полученную структуру неполным кольцом.
Неполное полукольцо для двухпараметрических ритмов строится
аналогично. Правила для поразрядного наложения сигналов напишем в виде
таблицы Кэли:
+ 0 1 1
0 0 1 1
1 1 1 0
1 1 0 1
Основные ее свойства можно кратко описать следующим образом: 0 –
нейтральный элемент, наложение одинаковых сигналов дает сигнал того же
типа, наложение противоположных сигналов (низкого и высокого) дает
нейтральный элемент 0. Разумеется, мы могли бы построить таблицу и
другими способами, но вышеприведенные правила поразрядного
наложения приводят к наиболее содержательной алгебре. В связи с тем, что
противоположные сигналы при наложении дают ноль, или паузу, может
случиться, что первый сигнал суммируемых путем наложения двух ритмов
тоже будет нулем. Чтобы этого не допустить, разобьем множество
всевозможных двухпараметрических ритмов на подмножество всех ритмов,
которые начинаются с низкого сигнала (подмножество R), и подмножество
всех ритмов, которые начинаются с высокого сигнала (подмножество R).
Условимся применять операцию наложения только к ритмам из одного и
того же подмножества и никогда – к ритмам из разных множеств. Несложно
убедиться, что каждое из множеств R и R представляет собой полугруппу по
наложению с нейтральными элементами, соответственно, |1| и |1|.
Например, если сложить путем наложения два арабских ритма – Муноджот
|4,2,2,4,1,1,1,1| и Максум |1,2,1,2,2| – то после приведения записи ритмов в
позиционную нотацию и операции масштабирования получим:
|1000101010001111|+|1010001010001000|=|1010101010001111|, или, в
геометрической записи, |2,2,2,2,4,1,1,1,1|.
Теперь построим полугруппу по умножению. Здесь также целесообразно
рассматривать по отдельности множества R и R. Начнем с множества R.
Полугруппа по умножению для R аналогична таковой для множества
однопараметрических ритмов, но теперь при умножении ритма A на сигналы
(коэффициенты пропорциональности) ритма B будем учитывать тип сигнала
ритма B. Если этот сигнал будет низким, то умножаемые на него сигналы
ритма A будут сохранять свою высоту, если же сигнал ритма B будет
высоким, то умножаемые на него сигналы ритма A будут ее менять на
противоположную. Эти правила удобно представить в виде таблицы:
x b b
a ab ab
a ab ab
В этой таблице a и b – длительности сигналов перемножаемых ритмов,
соответственно, A и B.
Например, если мы умножаем ритм A=|2,1,1| на ритм B=|2,1|, то получим
ритм C={|2,1,1|x2, |211|x1}=|4,2,2,2,1,1|. Несложно убедиться, что как и в
случае однопараметрических ритмов, полученное множество будет
некоммутативной полугруппой с нейтральным элементом, или единицей |1|
– простым вырожденным ритмом, состоящим только из низких сигналов.
Легко доказать, что для множества R с определенными только что
наложением и умножением будет выполняться закон правой
дистрибутивности, то есть для любых ритмов A, B и C будет справедливо
равенство (A+B)xC=(AxC)+(BxC). Следовательно, эти множества порождают
неполные полукольца, которые мы будем обозначать, соответственно, как
K(R) и K(R). Нейтральный элемент, также как и для неполного полукольца
однопараметрических ритмов, будет одним и тем же для полугруппы по
наложению и полугруппы по умножению, а именно |1|.
Для множества R неполное полукольцо строится аналогичным образом, но
нейтральным элементом в соответствующих полугруппах по наложению и
умножению по умножению будет |1|.
Попробуем теперь сконструировать неполное кольцо на каждом из
множеств R и R. Ограничимся случаем множества R; для множества R
неполное кольцо строится аналогично. Полугруппу по умножению оставим
прежней. Полугруппу по наложению изменим таким образом, чтобы она
превратилась в абелеву группу. Для этого достаточно ввести следующие
правила для поразрядного наложения: наложение противоположных
сигналов равна нейтральному элементу 0, наложение одинаковых сигналов
равна противоположному сигналу. Представим эти правила в виде таблицы
Кэли:
+
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
Из таблицы видно, что множество {0,1,1} с введенной таким образом
операцией наложения является циклической группой порядка 3. Чтобы
избежать появления ритмов, начинающихся с паузы, условимся применять
поразрядное наложение, начиная со второго сигнала, оставляя первые
сигналы неизменными – в данном случае, низкими (для множества R –
высокими).
Очевидно, что и множество всевозможных ритмов из множества R, попарное
наложение которых производится поразрядно в соответствии с
вышеприведенной таблицей, является группой. Нейтральным элементом,
как и прежде, будет ритм |1|. Операцией, обратной наложению, будет
вычитание. Например, если сложить путем наложения Муноджот
|1000101010001111| и Максум |1010001010001000| по новым правилам
наложения, то получится ритм |1010101010001111|, или, в геометрической
записи, |2,2,2,2,4,1,1,1,1|.
Можно также сконструировать неполное кольцо двухпараметрических
ритмов, где высота сигнала может принимать любое значение от 0 до N (где
N – некоторое фиксированное натуральное число, большее двух), причем
нулевой высоте сигнала соответствует пауза. Соответствующие операции
наложения и умножения в таком неполном кольце производятся как
обычное сложение и умножение по модулю N относительно параметра
высоты. Очевидно, что в рассмотренных нами неполных кольцах
однопараметрических и двухпараметрических ритмов операции
поразрядного наложения производились как сложение и умножение по
модулю, соответственно, 2 и 3. Для N=6, например, можно построить
пентатоническую алгебру, где в качестве элементов выступают мотивы –
мелодические фрагменты, составленные из нот пентатонической гаммы
(например, такой: до, ре, фа, соль, ля). Пентатоническая система очень
удобна для алгебраических манипулящий, потому что в ней не так явно
выражены тяготения, как в более сложных тональных системах (например,
мажорной и минорной диатониках). Именно поэтому в пентатонике
предпочитают импровизировать начинающие музыканты.
На основе умножения и наложения можно создать интересную
коммутативную бинарную операцию, которую мы назовем симметрическим
умножением и будем обозначать греческой буквой Δ (дельта).
Итак, 𝑅1 Δ𝑅2 =(𝑅1 x𝑅2 )+( 𝑅2 x𝑅1 ). Например,
(2,1,1)Δ(2,1)={(2,1,1)x(2,1)}+{(2,1)x(2,1,1)}=(4,2,2,1,1,1,1).
В результирующем ритме 𝑅1 Δ𝑅2 ритм 𝑅1 звучит в ритме 𝑅2 и одновременно
𝑅2 звучит в ритме 𝑅1 .
Рассмотрим теперь второй вариант сложения ритмов, а именно операцию
конкатенации (от латинского слова “catena” – цепь), имеющую большое
значение в ритмике, и, вообще, в музыке. Она состоит в простом
присоединении одного ритма к другому. Итак, если ритм C получен путем
конкатенации ритмов A и B, то мы добавляем запись ритма B справа от
записи ритма A и пишем: C=A&B. Очевидно, что конкатенация не
коммутативна. Акцент первого сигнала в ритме B в результате конкатенации
утрачивается (мы продолжаем рассматривать ритмы только с одним
акцентированным сигналом - первым). Например,
|4,2,2|&|4,1,1,1,1|=|4,2,2,4,1,1,1,1|. Исследуем свойство этой операции. Вопервых, заметим, что, в отличие от рассмотренных выше операций
наложения и умножения, конкретная последовательность чисел в
геометрической записи конкатенируемых ритмов имеет значение – мы
теперь не можем умножать на разные коэффициенты конкатенируемые
ритмы, не изменяя результата операции. Например,
|2,1,1|&|4,1,1,1,1|=|2,1,1,4,1,1,1,1|=M, а
|4,2,2|&|4,1,1,1,1|=|4,2,2,4,1,1,1,1|=N. Разумеется, M и N – совершенно
разные ритмы, хотя ритм |2,1,1| пропорционален ритму |4,2,2|. Очевидно,
что операция конкатенации ассоциативна, то есть (A&B)&C=A&(B&C).
Очевидно, что для множества всевозможных ритмов с заданной на нем
операцией конкатенации пустой ритм будет нейтральным элементом, так
как A&|0|=|0|&A=A. Следовательно, операция конкатенации порождает так
называемую свободную полугруппу на этом множестве. Алфавитом для
этой полугруппы, является, очевидно, множество всех неотрицательных
целых чисел. Мы рассмотрели операцию конкатенации для ритмов с одним
типом сигнала. Понятно, что совершенно аналогично она применяется для
ритмов с двумя и более типами сигнала.
Возвращаясь к операции умножения, понятно, что ее можно выразить через
конкатенацию следующим образом:
Rx|𝑎1 , 𝑎2 , . . 𝑎𝑛 |=|(𝑎1 xR)&( 𝑎2 xR)&…( 𝑎𝑛 xR)|.
Попробуем совместить конкатенацию с умножением. Несложно доказать,
что для любых ритмов A, B и C справедливо следующее равенство:
Ax(B&C)=(AxB)&(AxC). Но равенство (A&B)xC=(AxC)&(BxC) уже не соблюдается,
значит, эти операции связаны законом дистрибутивности лишь частично, а
именно законом левой дистрибутивности (умножаем на ритм A слева).
Если мы осуществляем конкатенацию n равных ритмов, иными словами,
получаем ритм R путем n-кратного повторения одного и того же ритма A, то
имеет смысл ввести соответствующую разновидность умножения ритма на
натуральное число, отличающуюся от рассмотренного выше растяжения
(приводящему к эквивалентному ритму). Назовем такую операцию nкратным повторением ритма A и будем обозначать ее косой чертой:
R=n\A=|A&A&…A|, где операция конкатенации повторяется n-1 раз.
Таким образом, мы получили интересную систему из трех основных
бинарных операций над ритмами: умножение и две разновидности
сложения, которые связаны с умножением, соответственно, законами
правой и левой дистрибутивности.
Рассмотрим еще одну необычную бинарную операцию для произвольных
ритмов A и B – деформацию ритма A в ритме B. Операция состоит в том, что
позиционная запись ритма A разбивается на одинаковые по длительности
части, число которых равно числу сигналов ритма B, после чего каждая часть
растягивается путем умножения на длительности сигналов ритма B. Если
число разрядов ритма A не делится на число сигналов ритма B, то мы
предварительно растягиваем весь ритм A умножением на это число. Назовем
первый ритм A деформируемым ритмом, а ритм B деформатором. Саму
операцию будем обозначать звездочкой “∗”. Приведем пример. Допустим,
надо найти деформацию ритма A=|2,1|=|101| в ритме B=|3,2|, то есть найти
ритм R=A∗B. В ритме A три разряда, а в ритме B два сигнала. Так как 3 не
делится на 2, растянем предварительно ритм A в два раза, получим ритм
A’=|100010|. Разделим его с помощью точки на две равные части, получим
A’=|100.010|. Теперь растянем первую часть в 3 раза, а вторую – в два.
Окончательно получим R=A∗B=|100000000.001000|=|11,4|. Приведем более
сложный пример. Допустим, A=|4,2,2,4,1,1,1,1|=|1000101010001111|, ритм
B=|2,1,1|. В ритме A 16 разрядов, в ритме B три сигнала. Значит, ритм A надо
предварительно растянуть в 3 раза, получим ритм
A’=|100000000000100000100000100000000000100100100100|. Теперь
разделим его точками на три равные части:
|1000000000001000.0010000010000000.0000100100100100| Растянем части в
соответствии с длительностями сигналов ритма B, окончательно получим
ритм R=|10000000000000000000000010000000.0010000010000000.0000100100100100|=
|24,10, 6,12,3,3,3,3|. Из приведенных примеров и общих соображений ясно,
что ритм, подверженный деформации, сохраняет в целом свою структуру, но
длительности сигналов меняются, причем тем сильнее, чем больше
отличаются между собой длительности сигналов деформатора. Легко
доказать, что, если деформатор – вырожденный ритм, то (A∗B)~A. В случае
если ритм B – простой вырожденный, эквивалентность превращается в
строгое равенство. Очевидно, что эта операция некоммутативна. Несложно
доказать также, что она ассоциативна. Следовательно, множество
всевозможных ритмов, на котором задана бинарная операция деформации и
нейтральным элемент - простой вырожденный ритм, является
некоммутативной полугруппой. Можно доказать, что для любого непустого
ритма A с n сигналами можно подобрать такой деформатор D, что
(A∗D)~𝐼𝑛 =|1,1…1|, где 𝐼𝑛 - вырожденный ритм из n сигналов. Например,
|3,2|∗|3,5|=|20,20|~|1,1|. Для доказательства достаточно показать
алгоритм построения деформатора, который преобразует произвольный
ритм A в ритм, эквивалентный вырожденному. Алгоритм этот очень прост.
Ритм A разбивается на части, число которых равно числу его разрядов в
позиционной записи. Пусть оно равно s. Теперь строим деформатор, в
котором ровно s сигналов. Длительность каждого сигнала ритма D сделаем
равной коэффициенту растяжения соответствующей части ритма A. Это
самый простой алгоритм. Но, как видно из приведенного выше примера,
число сигналов в деформаторе может быть равно числу сигналов в
деформируемом ритме и быть заведомо меньше числа разрядов
последнего. Справедливо ли это в общем случае и как находить такие
деформаторы, автор пока не знает.
Наличие деформатора, превращающего произвольный ритм в ритм,
эквивалентный вырожденному, отличает деформацию от уже
рассмотренных нами бинарных операций. Ведь если отношение
эквивалентности считать обобщенным равенством, а любой ритм,
эквивалентный вырожденному – обобщенным нейтральным элементом, то,
по сути, деформация становится групповой операцией, а деформатор D –
обратным элементом. Следовательно, уравнение (A∗X)~B имеет непустое
решение для любых непустых ритмов A и B в этом обобщенном смысле.
Отметим еще одно интересное свойство деформации: эта операция
обладает правой дистрибутивностью относительно операции наложения, то
есть (A+B)∗C=(A∗C)+(B∗C). Свойством левой дистрибутивности операция
деформации не обладает.
Громкость и акценты
Возвратимся теперь к внутренним акцентам, которые играют большую роль в
музыке. Обобщим множество всевозможных двухпараметрических ритмов,
введя новый параметр – громкость. Будем считать, что каждому сигналу в
ритме соответствует определенное число a из множества целых чисел
Z={…-2,-1,0,1,2,…}, называемое числом акцентов этого сигнала, которое и
будет определять его громкость V. Таким образом, громкость, так же, как и
высота – дискретный параметр. Нулевому числу акцентов соответствует
стандартная громкость сигнала. Отрицательному числу акцентов
соответствует пониженная громкость, а положительному – повышенная
громкость. Акценты удобно выписывать в виде степени над обозначением
сигнала (но при этом к операции возведения в степень они, разумеется, не
имеют никакого отношения). Нулевой акцент не выписывается. Например,
запись |42,2,2,41,1-1,1-1,1-1,1-1| означает, что первый низкий сигнал имеет 2
акцента (это самый громкий сигнал), следующие два высоких сигнала имеют
нулевые акценты и, следовательно, стандартную громкость, четвертый
низкий сигнал имеет один акцент, последние четыре коротких высоких
сигнала имеют отрицательный акцент, равный -1, следовательно, они самые
тихие. Сразу заметим, что мы по-прежнему считаем сигналы точечными
событиями, и акценты относятся именно к этим точечным сигналам. Поэтому
вышеприведенный ритм в позиционном виде выглядит следующим
образом: |120001010110001-11-11-11-1|.
Рассмотренные в предыдущих разделах ритмы имели только стандартную
громкость. Первый сигнал, хотя и считался акцентированным по умолчанию,
являлся в сущности лишь условно акцентированным: его акцент показывал
начало ритмического периода, но он совершенно не учитывался в операциях
над ритмами. В новом множестве ритмов, которое мы будем называть
трехпараметрическим (первый параметр – временная координата сигнала,
второй – его высота, третий – громкость), акценты, наряду с длительностью и
высотой, учитываются почти во всех операциях и порождают новые,
интересные операции, связанные именно с громкостью. При этом первый
сигнал в ритме не обязательно должен быть громче всех последующих.
Отметим также, что громкость в нашей теории, в отличие от длительности
сигналов в неполном полукольце ритмов – абсолютный параметр. Это
значит, что умножение числа акцентов каждого сигнала в данном ритме на
произвольный коэффициент, отличный от единицы, порождает ритм,
который считается отличным от исходного.
Как и прежде, будем рассматривать отдельно множество всевозможных
трехпараметрических сигналов с первым низким сигналом, или R’, и
аналогичное множество с первым высоким сигналом, или R’. Рассмотрим
вначале множество R’. Операция сложения для трехпараметрических
ритмов производится точно так же, как для полугруппы по сложению
двухпараметрических ритмов, но при этом осуществляется также
поразрядное сложение акцентов. Например, если сложить все те же
Муноджот и Максум, но уже с акцентированными сигналами, получим:
|43,21,21,42,1,1,1,1|+|11,22,11,21,21|=|13000110110120001111|+
+|110120001101100011000|=|1401201101201300011111|=|24,22,21,22,43,11,1,1,1|.
Отметим, что акценты в исходных ритмах мы могли бы расставить и иным
образом, соответственно, результирующий ритм был бы иным.
При сложении высокого и низкого сигнала в поразрядном сложении ритмов,
как известно, получается пауза. Если при этом сумма их акцентов не равна
нулю, то получаем акцентированную паузу. На первый взгляд, это кажется
нелепостью, но если акцентированную паузу (с отрицательным или
положительным акцентом) считать особым типом удара, то можно получить
новую, интересную полугруппу по сложению, имеющую, главным образом,
прикладное значение для компьютерных программ, генерирующих ритмы.
Разумеется, в реальном исполнении ритма акцентированная пауза не
отличается от обычной. В позиционной записи их обозначения будут
совпадать, то есть акцентированная пауза тоже обозначается нулем, но с
указанием числа акцентов в виде степени. В геометрической же записи мы
будем представлять акцентированную паузу в виде перечеркнутого
посередине числа, указывающего, как и в случае сигналов, длительность
паузы: 1, 2, 3 и т. д. Например,
|21,1,1|+|32,11|=|11011|+|120011|=|130101|=|23,1,11|. Реальное звучание
полученного ритма будет: |23,2|=|13,1|. Для полученной полугруппы по
сложению R’(+) ритм |10|=|1| по-прежнему будет нейтральным элементом.
Совершенно аналогично строится полугруппа R’(+) ритмов с первым высоким
сигналом, где нейтральным элементом будет ритм |10|=|1|. Очевидно, что
построенная ранее полугруппа R(+) является подполугруппой полугруппы
R’(+). В музыкальной практике широко практикуется операция расстановки
акцентов для изначально не акцентированных ритмов. Теперь понятно, что
эта операция сводится к сумме не акцентированного ритма и
акцентированного, причем последний ритм может быть составлен из
акцентированных пауз (кроме, разумеется, первого сигнала). Рассмотрим,
например, ритм |1,1,1,1,1,1,1,1|=|11111111|. Допустим, мы хотим сделать 1й, 4-й и 7-й сигналы акцентированными, причем одинаковой громкости,
равной одному акценту. Для этого прибавим к исходному ритму новый ритм
|31,31,21|=|11000100010|. Получим:
|1,1,1,1,1,1,1,1|+|31,31,21|=|11111111|+|11000100010|=|11111111111|=
|11,1,1,11,1,1,11,1|. Полученный ритм хорошо известен любителем восточной
ритмики – он называется Мальфуф. Построим для ритма |31,31,21|, с
помощью которого мы сделали ритм |1,1,1,1,1,1,1,1| акцентированным,
ассоциированный с ним однопараметрический ритм |3,3,2|. Назовем этот
ритм акцентирующим для ритма |11,1,1,11,1,1,11,1|. Из этого несложного
примера можно легко вывести общее правило расстановки акцентов для
произвольного ритма. Такая расстановка хорошо известна барабанщикам,
которые строят результирующий ритм как вариацию к базовому,
являющийся как раз акцентирующим ритмом. Однопараметрические
акцентирующие ритмы применяются лишь в том случае, когда речь идет об
акцентах одинаковой громкости равной единице (напомним, что громкость –
это абсолютный параметр).
На множестве R’ трехпараметрических ритмов, начинающихся с низкого
удара, можно задать операцию умножения аналогично тому, как мы это
делали для множества R двухпараметрических ритмов. Операция умножения
по-прежнему производится над ритмами, записанными в геометрическом
виде. Но, так как акцентированная пауза рассматривается как новый тип
сигнала, мы должны задать правила умножения чисел (указывающих тип и
длительность сигнала) учитывая и ее. Сделаем это в виде следующей
таблицы:
x
a
a
a
b
ab
ab
ab
b
ab
ab
ab
B
Ab
Ab
Ab
Как и прежде, a и b – длительности сигналов перемножаемых ритмов,
соответственно, A и B.
Акценты в перемножаемых ритмах тоже умножаются как обычные целые
числа. Приведем пример: |23,21,1,1|x|22,1-1|=
|43x2,41x2,20x2,20x2,23x(-1),21x(-1),10x(-1),1ox(-1)|=|46,42,2,2,2-3,2-1,1,1|. Полученный
ритм звучит так же, как ритм |86,2,2,4-3,1,1|, который получается, если
включить длительности акцентированных пауз в длительности
предшествующих им сигналов.
Очевидно, что множество R’ образует полугруппу по умножению,
нейтральным элементом в которой будет ритм |11|.
Несложно убедиться также в том, что множество R’ всевозможных
акцентированных ритмов, начинающихся с низкого удара и для которых
введены операции сложения и умножения, образуют неполное полукольцо.
Акценты в нем не влияют на структуру ритма. Неполное полукольцо R’
строится аналогично.
В связи с практическим использованием параметра громкости в
компьютерной программе генерирования ритмов возникает проблема
градуировки шкалы реальной громкости. Мы не можем допустить как
бесконечно большой, так и отрицательной громкости. Поэтому нам нужно
построить такую функцию реальной громкости, которая при увеличении
числа положительных акцентов приближалась бы асимптотически к
некоторому конечному критическому значению, а при увеличении числа
отрицательных акцентов – к нулю. Потребуем, чтобы стандартная громкость
при этом была средним из этих значений, то есть равной половине
критического значения. Желательно, чтобы искомая аппроксимирующая
функция была также симметричной относительно точки стандартной
громкости и плавной (то есть, в случае непрерывно изменяющейся
громкости – всюду дифференцируемой функцией). На такую роль хорошо
подходит функция арктангенса. Если, например, задать верхний порог
громкости числом M, а нижний нулем, то функция громкости может быть
записана следующим образом:
𝑀
𝜋
𝜋
2
V= [arctg(a)+ ], где V- громкость, a – число акцентов, M – верхний порог
громкости. Разумеется, для градуировки кроме арктангенса подходят и
многие другие функции.
Ритмы в непрерывном времени
Ритмы в непрерывном времени – это естественное обобщение ритмов в
дискретном времени, которыми мы занимались до сих пор. В непрерывном
времени точечные сигналы могут располагаться в любой точке непрерывного
отрезка времени. Понятно, что для таких ритмов позиционная запись не
имеет смысла, поэтому будем пользоваться только геометрической записью,
в которой каждое число, как и прежде, обозначает промежуток времени,
прошедший от данного сигнала до предыдущего. Рассмотрим вначале
однопараметрические ритмы, в которых единственным параметром
является момент времени, когда производится сигнал.
Сложение (наложение и конкатенация) и умножение производятся
аналогично тому, как мы производили эти операции в дискретном времени.
Правда, операция предварительного масштабирования ритмов,
необходимая для их наложения, нуждается в некотором уточнении. Итак,
если имеются ритмы A=|a1,a2,..an| и B=|b1,b2,…bm|, которые мы собираемся
наложить друг на друга, то масштабирование состоит в приведении их к
единичной длине временного отрезка. Ритм A преобразуется при этом в
𝑎
𝑎
𝑛 𝑎𝑖
𝑛 𝑎𝑖
пропорциональный ему ритм A1=|∑1 1 , ∑1 2 ,…
𝑏
𝑏
𝑚 𝑎𝑖
𝑚 𝑎𝑖
|∑1 1 , ∑1 2 ,…
𝑎𝑚
∑1𝑚 𝑎𝑖
𝑎𝑛
∑1𝑛 𝑎𝑖
|, а ритм B – в ритм B1=
|. Теперь, рассматривая эти ритмы как множества точек на
единичных отрезках времени, осуществим их наложение, объединяя
соответствующие множества точек.
Исходя из ритмов в непрерывном времени, легче понять сущность нулевого
ритма. Этот ритм можно представить как предел последовательности
некоторого ненулевого ритма с непрерывно уменьшающимся, то есть
стремящимся к нулю, коэффициентом пропорциональности.
Несложно расширить множество однопараметрических ритмов в
непрерывном времени до множества двухпараметрических (с
дополнительным параметром высоты сигнала) и трехпараметрических
ритмов (с дополнительными параметрами высоты и громкости сигнала). В
последнем случае параметр громкости тоже можно сделать непрерывным.
Можно также скорректировать унарные операции, чтобы они имели смысл
для таких ритмов. Предоставляем это сделать читателю.
Совмещение ритмов
Совмещение нескольких ритмов, то есть их одновременное исполнение
(например, на сильно различающихся между собой по тембру музыкальных
инструментах) не является n-арной операцией, так как не приводит к
образованию нового ритма, а образует новый объект – ритмический массив.
Теперь, помимо ракохода, обращения, инверсии и смягчения-заострения,
мы можем применять и другие операции по отношениям к отдельным
ритмам из массива. Эти операции, которые не имеют смысла для
изолированных ритмов, следующие: сдвиг одного ритма относительно
другого (если ритмы в массиве одинаковы, то такая операция называется
каноном, или имитацией) и растяжение-сжатие одного из ритмов массива
по отношению к другим (если изначально ритмы одинаковы, то такая пара
операций называется увеличением-уменьшением). Непревзойденным
мастером использования всех вышеописанных операций в полифонической
музыке, безусловно, был и остается Иоганн Себастьян Бах. Массивы,
составленные из двух ритмов, можно уподобить лентам, симметрия которых
подробно исследована кристаллографами (см., например, фундаментальную
монографию А. В. Шубникова и В. А. Копцика Симметрия в науке и
искусстве, Наука, 1972).
У читателя может возникнуть закономерный вопрос: а под силу ли простому
музыканту исполнить те бесконечно разнообразные и зачастую очень
сложные ритмы, которые возникают в результате многочисленных
манипуляций, описанных в этом очерке? Конечно, нет, за исключением
простых случаев. К счастью эту работу за человека может выполнить
компьютер. В ближайшее время автор надеется совместно с коллегамиэнтузиастами разработать окончательную версию компьютерной
программы генерирования и операций над ритмами. Грубая модель уже
имеется.