Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя образовательная школа №1

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
средняя образовательная школа №1
имени генерал – лейтенанта Б.П. Юркова
г.Зверева Ростовской области.
Задачи прикладного содержания
в заданиях ЕГЭ по математике
(методические рекомендации к решению заданий № 11)
Часть 2.
учитель математики МБОУ СОШ №1
им. Б.П. Юркова
Куц Фёдор Иванович
г. Зверево
2015 г.
Методические рекомендации к решению задач прикладного содержания.
В работе рассмотрено решение задач № 11 (В12) из книги «3000 задач с ответами по
математике» под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко.
1.Линейные уравнения.
2.Линейные неравенства.
3.Квадратичная функция.
4.Квадратные уравнения.
5.Квадратные неравенства.
6.Степенные неравенства.
7.Дробно - рациональные неравенства.
8.Иррациональные уравнения.
9.Иррациональные неравенства.
10.Показательные уравнения.
11.Показательные неравенства.
12.Логарифмические уравнения.
13.Логарифмические неравенства.
14.Тригонометрические неравенства.
15.Формулы с дискретными значениями переменных.
6 . Степенные неравенства.
№ 6.1 (600).Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному
отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч2, вычисляется по формуле:
𝜗 2 = 2la. Определите, с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на
расстоянии 0,5 километров от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля,
приобретаемое им ускорение не меньше 10000 км/ч2. Ответ выразите в км/ч.
Решение. По условию задачи ускорение автомобиля, не меньше 10000 км/ч2, поэтому
выполняется неравенство a ≥ 10000. Используя формулу𝜗 2 = 2la, получаем: 𝜗 2 = 2la ≥
2∙0,5∙10000, то есть 𝜗 2 ≥ 10000. Учитывая условие 𝜗 ≥ 0, получим 𝜗 ≥ 100. Таким образом,
наименьшая скорость, с которой будет двигаться автомобиль, равна 100 км/ч.
Ответ.100.
№ 6.2(550).На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие
глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, сила Архимеда, действующая на
аппарат, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: FA = 𝜌 g l3, где l – длина
ребра куба в метрах, 𝜌 = 1000кг/м3 – плотность воды, а g – ускорение свободного падения
(считайте g = 9,8 Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы
обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет
не больше, чем 5017,6 Н? Ответ выразите в метрах.
Решение. По условию задачи выталкивающая сила при погружении аппарата не больше,
чем 5017,6 Н, поэтому выполняется неравенство FA ≤ 5017,6 или 𝜌 g l3 ≤ 5017,6. С учетом
того, что 𝜌 = 1000кг/м3 и g = 9,8 Н/кг, неравенство примет вид: 1000 ∙ 9,8 ∙ l3 ≤ 5017,6; l3 ≤
0,512; l ≤ 0,8. Таким образом, максимальная длина ребра куба равна 0, 8 м.
Ответ. 0,8.
№ 6.3 (554). На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие
глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, сила Архимеда, действующая на
аппарат, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: FA = 𝛼 𝜌 g r3, где 𝛼 = 4,2 –
постоянная, r - радиус аппарата в метрах, 𝜌 = 1000 кг/м3 – плотность воды, а g – ускорение
свободного падения (считайте g = 10 Н/кг). Каким может быть максимальный радиус
аппарата, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при
погружении будет не больше, чем 2688 Н? Ответ выразите в метрах.
Решение. По условию задачи выталкивающая сила при погружении аппарата не больше,
чем 2688 Н, поэтому выполняется неравенство FA ≤ 2688 или 𝛼 𝜌 g r3 ≤ 2688. С учетом того,
что 𝛼 = 4,2, 𝜌 = 1000 кг/м3 и g = 10 Н/кг, неравенство примет вид: 4,2 ∙1000 ∙ 10 ∙ r3 ≤ 2688;
r3 ≤ 0,064; r ≤ 0,4. Таким образом, максимальная длина ребра куба равна 0, 4 м.
Ответ. 0,4.
№ 6.4 (557). Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана –
Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах,
прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры: P = 𝜎S
T4, где 𝜎 = 5,7∙10 – 8 – постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура
1
T – в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = 243∙1020 м2, а
излучаемая ею мощность P не менее 1,539∙1026 Вт. Определите наименьшую возможную
температуру этой звезды. Приведите ответ а градусах Кельвина.
Решение. По условию задачи излучаемая звездой мощность не менее1,539∙1026 Вт, поэтому
выполняется неравенство P ≥ 1,539∙1026 или 𝜎S T4 ≥ 1,539∙1026. С учетом того, что 𝜎 = 5,7∙10 –
1
1
8
и S = 243∙1020 м2, неравенство примет вид: 5,7∙10 – 8 ∙ 243 ∙ 1020 ∙ T4 ≥ 1,539∙1026. Преобразуем
неравенство: T4 ≥
1,539 ∙ 1026 ∙ 243
5,7 ∙ 10−8 ∙ 1020
; T4 ≥ 65,81∙1014; T4 ≥ 6581∙1012; T4 ≥ (9∙103)4.
Учитывая условие T > 0, получаем T ≥ 9∙103. Таким образом, наименьшая возможная
температура звезды равна 9000 К.
Ответ. 9000.
7. Дробно – рациональные неравенства.
№ 7.1 (558). Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории
используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние d1
от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d2 от линзы
до экрана - в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если
1
1
1
выполнено соотношение 𝑑 +𝑑 = 𝑓 . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы
1
2
можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в
сантиметрах.
Решение. Из формулы
1
𝑑1
1
= 30 -
1
𝑑2
;
1
𝑑1
1
d1 =1: ( 30 -
1
1
+ 𝑑 = 𝑓 при f = 30 выразим d1:
2
1
𝑑2
).
Теперь оценим величину d1. Наименьшее расстояние d1 будет достигаться при наибольшем
1
1
1
1
значении разности 30 - 𝑑 . Разность 30 - 𝑑 достигает наибольшего значения при наименьшем
1
2
1
2
значении дроби 𝑑 . Дробь 𝑑 достигает наименьшего значения при наибольшем значении d2,
2
2
то есть при d2 = 180. Найдем искомое значение d1:
1
d1 = 1: ( 30 -
1
5
) = 1: 180 = 36 (см).
180
Ответ. 36.
2 способ.
Решение. Из формулы
1
𝑑1
1
= 30 -
1
𝑑2
1
1
𝑑1
1
; d1 =1: ( 30 -
1
+ 𝑑 = 𝑓 при f = 30 выразим d1:
2
1
𝑑2
30∙𝑑2
); d1 = 𝑑
.
2 − 30
30∙𝑑2
Рассмотрим функцию d1(d2) = 𝑑
2 − 30
на промежутке [150; 180], так как d2 ∈ [150; 180].
Найдем наименьшее значение функции на указанном промежутке.
Найдем производную d1 по формуле производной от частного: 𝑑1ʹ =
30(𝑑2 −30)−30∙𝑑2
(𝑑2 − 30)2
−900
= (𝑑
2
2 − 30)
.
30∙𝑑2
Очевидно, производная в ноль не обращается, следовательно, функция d1(d2) = 𝑑
2 − 30
критических точек не имеет. Будем искать её наименьшее значение на концах промежутка
[150; 180].
30∙150
30∙180
d1(150) = 150− 30 = 37,5; d1(180) = 180− 30 = 36.
Таким образом, наименьшее значение d1 = 36 см.
Ответ. 36.
3 способ.
Решение. Формулу
1
𝑑1
1
1
+ 𝑑 = 𝑓 перепишем в линейном виде
2
𝑑2 +𝑑1
𝑑1 ∙𝑑2
1
= 𝑓; f∙(d2 + d1) = d1∙d2.
Нам необходимо найти наименьшее значение d1 при f = 30 см и при d2 ∈ [150; 180].
Получаем два уравнения:
1) 30∙(150 + d1) = d1∙150; 120 d1= 4500; d1 = 37,5.
2) 30∙(180 + d1) = d1∙180; 150 d1= 5400; d1 = 36.
Таким образом, наименьшее значение d1 = 36 см.
Ответ. 36.
№ 7.2 (561). Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f0 = 250 Гц. Чуть позже издал
гудок, подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f
𝑓
больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону f (𝜗) = 0𝜗, где с - скорость
1−
𝑐
звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они
отличаются более чем на 2 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к
платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а с = 315 м/с. Ответ выразите в
м/с.
Решение. По условию задачи выполняется неравенство f (𝜗) ≥ 252 или
того, что f0 = 250 Гц и с = 315 м/с, неравенство примет вид:
𝜗
то имеем: 250 ≥ 252∙ (1 - 315);
𝜗
1 - 315 ≤
250
;
252
1-
250
252
𝜗
250
𝜗
1−
315
1−
𝜗
𝑐
≥ 252. С учётом
𝜗
≥ 252. Так как 1 - 315 > 0,
𝜗
≤ 315;
𝑓0
315
2
≥ 252; 𝜗 ≥
2∙315
252
; 𝜗 ≥ 2,5.
Наименьшее решение данного неравенства 𝜗 = 2,5. Таким образом, тепловоз приближался к
платформе с минимальной скоростью 2,5 м/с.
Ответ. 2,5.
𝜀
№ 7.3 (564). По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая, в амперах, равна I = 𝑅+𝑟,
где 𝜀- ЭДС источника (в вольтах), r = 2 Ом – его внутреннее сопротивление, R –
сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет
𝜀
составлять не более 10 % от силы тока короткого замыкания Iкз = 𝑟, ответ выразите в омах.
Решение. По условию задачи сила тока будет составлять не более 10 % от силы тока
𝜀
𝜀
короткого замыкания Iкз, поэтому выполняется неравенство: I ≤ 0,1∙Iкз или 𝑅+𝑟 ≤ 10𝑟. С
1
учетом того, что r = 2 Ом и 𝜀 > 0, получим неравенство 𝑅+2 ≤
1
. Так как R + 2 > 0, то имеем
20
R + 2 ≥ 20 или R ≥ 18.Наименьшее решение данного неравенства R = 18. Следовательно, сила
тока будет составлять не более 10 % от силы тока короткого замыкания при наименьшем
сопротивлении R = 18 Ом.
Ответ. 8.
№7.4 (566). Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и
𝑈
сопротивлением электроприбора по закону Ома I = 𝑅 , где U – напряжение в вольтах, R –
сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который
плавится, если сила тока превышает 5 А . Определите, какое минимальное сопротивление
(в омах) должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть
продолжала работать.
Решение. Чтобы предохранитель не расплавился, сила тока в цепи I не должна превышать 5
𝑈
А. Поэтому выполняется неравенство I ≤ 5 или 𝑅 ≤ 5. С учётом того, что U = 220 В,
220
неравенство примет вид 𝑅 ≤ 5. Так как R > 0, то имеем R ≥
минимальное сопротивление электроприбора 44 Ом.
220
5
или R ≥ 44. Следовательно,
Ответ.44.
№7.5(571). В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых
составляет R 1 = 45 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить
электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R2 этого
электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с
𝑅 ∙𝑅
сопротивлениями R 1 Ом и R2 Ом их общее сопротивление дается формулой R = 𝑅 1+𝑅2 (Ом),
1
2
а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть
не меньше 20 Ом. Ответ выразите в омах.
Решение. По условию задачи для нормального функционирования электросети общее
сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом, поэтому выполняется неравенство
𝑅 ∙𝑅
45∙𝑅
≥ 20 или 𝑅 1+𝑅2 ≥ 20. Так как R 1 > 0, R2 > 0 и R 1 = 45 Ом, то имеем 45+𝑅2 ≥ 20;
1
2
R
2
45∙ R2 ≥ 20∙(45 + R2); 45 R2 ≥ 900 +20R2; 25R2 ≥ 900; R2 ≥ 36. Наименьшее решение
неравенства R2 = 36. Следовательно, наименьшее возможное сопротивление 36 )м.
Ответ. 36.
№ 7.6(574). Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется
Т −Т
формулой 𝜂 = 1Т 2 ∙100 %, где Т1- температура нагревателя (в градусах Кельвина), Т21
температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре
нагревателя Т1 КПД этого двигателя будет не меньше 75%, если температура
холодильника Т2 = 280 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
Решение. По условию задачи КПД двигателя должен быть не меньше 75%, поэтому
Т −Т
выполняется неравенство 𝜂 ≥ 75 или 1Т 2 ∙100 ≥ 75. Так как Т1 > 0 и Т2 = 280 К, то имеем
Т1 −280
Т1
1
∙100 ≥ 75; 100 Т1 - 28000 ≥ 75 Т1; 25 Т1 ≥ 28000; Т1 ≥ 28000; Т1 ≥ 1120.
Наименьшее решение неравенства Т1 = 1120. Следовательно, минимальная температура
нагревателя Т1 = 1120 К.
Ответ.1120.
№ 7.7 (577). Коэффициент полезного действия (КПД) кормозаправщика равен отношению
количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой mв. ( в килограммах) от
температуры t1 до температуры t2 ( в градусах Цельсия), к количеству теплоты, полученному
от сжигания дров массой mд..( в килограммах). Он определяется формулой: 𝜂 =
с 𝑚в (𝑡2 −𝑡1 )
∙100 %, где с = 4,2∙10 3ДЖ/(кг∙К) – теплоёмкость воды, q = 8,3∙106ДЖ/кг𝑞𝑚д
удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое
понадобится сжечь в кормозаправщике, чтобы нагреть воду массой mв = 249 кг от 20 ℃ до
кипения, если известно, что КПД кормозаправщика не больше 24%. Ответ выразите в
килограммах.
Решение. По условию задачи КПД кормозаправщика должен быть не больше 24%,
с 𝑚в (𝑡2 −𝑡1 )
поэтому выполняется неравенство 𝜂 ≤ 24 или
∙100 ≤ 24. Так как mдр > 0,
𝑞𝑚др
= 249 кг, с = 4,2∙10 3ДЖ/(кг∙К), q = 8,3∙106ДЖ/кг, t1 = 20℃, t2 = 100℃, то имеем:
4,2∙103 ∙249∙(100−20)
8,3∙106 𝑚
mдр ≥
др
∙100 ≤ 24;
4,2∙103 ∙249∙80∙100
8,3∙106 ∙24
;
4,2∙103 ∙249∙(100−20)
8,3∙106 𝑚
др
≤
24
mв
;
100
mдр ≥ 42.
Наименьшее решение неравенства mдр = 42. Следовательно, наименьшее количество дров,
которое понадобится сжечь в кормозаправщике mдр = 42.
Ответ. 42.
№ 7.8 (579). Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m = 2550 тонн,
представляет собой две пустотелые балки длиной l = 17 метров и шириной s метров каждая.
𝑚𝑔
Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой p = 2𝑙𝑠 ,
где m – масса экскаватора ( в тоннах), l – длина балок ( в метрах), g - ускорение свободного
падения ( считайте g = 10 м/с2).Определите наименьшую возможную ширину опорных балок,
если известно, что давление p не должно превышать 300 кПа. Ответ выразите в метрах.
Решение. По условию задачи давление p не должно превышать 300 кПа, поэтому
𝑚𝑔
выполняется неравенство p ≤ 300 или 2𝑙𝑠 ≤ 300. С учетом того, что m = 2550 тонн, l = 17 м, g
= 10 м/с2, неравенство примет вид
2550∙10
2∙17∙𝑠
2550∙10
≤ 300. Так как s > 0, то имеем: s ≥ 2∙17∙300,
s ≥ 2,5.
Наименьшее решение неравенства s = 2,5. Следовательно, наименьшая возможная ширина
опорных балок равна 2,5 м.
Ответ. 2,5.
№ 7.9(582). К источнику с ЭДС 𝜀 = 55 В и внутренним сопротивлением r = 0,5 Ом хотят
подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в
𝜀𝑅
вольтах, дается формулой U = 𝑅 + 𝑟. При каком наименьшем значении сопротивления
нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? ответ выразите в метрах.
Решение. По условию задачи напряжение на нагрузке не менее 50 В, поэтому выполняется
𝜀𝑅
неравенство U ≥ 300 или 𝑅 + 𝑟 ≥ 50. С учетом того, что 𝜀 = 55 В и r = 0,5 Ом, неравенство
примет вид
55∙𝑅
𝑅 + 0,5
≥ 50. Так как R > 0, то имеем 55 R ≥ 50∙ (R + 0,5). R ≥ 5.
Наименьшее решение неравенства R = 5.Следовательно, наименьшее значение
сопротивления нагрузки 5 Ом.
Ответ. 5.
№ 7.10 (585). При сближении источника и приемника звуковых сигналов движущихся в
некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала,
регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала 𝜇0 = 170 Гц и
𝑐+𝑢
определяется следующим выражением: 𝜇 = 𝜇0 𝑐−𝑣 , где c – скорость распространения сигнала
в среде ( в м/с), а u = 2 м/с и v = 17 м/с - скорости приемника и источника относительно
среды соответственно. При какой максимальной скорости с (в м/с) распространение сигнала
в среде частота сигнала в приемнике 𝜇 будет не менее 180 Гц?
Решение. По условию задачи в среде частота сигнала приемника 𝜇 не менее 180 Гц, поэтому
𝑐+𝑢
выполняется неравенство 𝜇 ≥ 180 или 𝜇0 𝑐−𝑣 ≥ 180. С учетом того, что𝜇0 = 170 Гц, u = 2 м/с и
𝑐+2
v = 17 м/с неравенство примет вид 170 ∙ 𝑐−17 ≥ 180. Так как с -17 > 0, то имеем 17∙(с + 2) ≥
18∙(с -17), 17с + 34 ≥ 18с – 306, -с ≥ - 340, с ≤ 340.
Наибольшее решение неравенства с = 340.Следовательно, максимальная скорость
распространения сигнала в среде 340 м/с.
Ответ. 340.
№ 7.11 (587). Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает
ультразвуковые импульсы с частотой 198 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в
𝑓− 𝑓
м/с, определяется по формуле 𝜗 = c 𝑓+ 𝑓0, где c = 1500 м/с – скорость звука в воде, f0 - частота
0
испускаемых импульсов ( в МГц), f - частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая
приемником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала f,
если скорость погружения батискафа не должна превышать 15 м/с. Ответ выразите в МГц.
Решение. По условию задачи скорость погружения батискафа не превышает 15 м/с, поэтому
𝑓− 𝑓
выполняется неравенство 𝜗 ≤ 15 или c 𝑓+ 𝑓0 ≤ 15. С учетом того, что c = 1500 м/с, f0 = 198
𝑓− 198
0
МГц, неравенство примет вид 1500 ∙ 𝑓+ 198 ≤ 15. Так как f + 198 > 0. То имеем
100∙( f - 198) ≤ f + 198;
100 f – 19800 ≤ f + 198; 99 f ≤ 19998; f 202.
Наибольшее решение неравенства
отраженного сигнала 202 МГц.
f = 202.Следовательно, наибольшая возможная частота
Ответ.202.
№ 7.12(603). Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну.
Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по
4𝑚𝑔
формуле P = 𝜋𝐷2 , где m = 1800 кг – общая масса навеса и колонны, D - диаметр колонны (в
метрах). Считая ускорение свободного падения g = 10 м/с2, 𝜋 = 3, определите наименьший
возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше
600000 Па. Ответ выразите в метрах.
Решение. По условию задачи давление, оказываемое на опору, не больше 600000 Па.
4𝑚𝑔
поэтому выполняется неравенство P ≤ 600000 или 𝜋𝐷2 ≤ 600000. С учетом того, что m =
1800 кг, g = 10 м/с2, 𝜋 = 3, неравенство примет вид
4∙1800∙10
4∙1800∙10
3∙𝐷 2
≤ 600000. Так как D > 0, то
имеем: D2 ≥ 3∙600000 ; D2 ≥ 0,04; D ≥ 0,2. Наименьшее решение неравенства D = 0,2.
Следовательно, наименьший возможный диаметр колонны 0,2 м.
Ответ. 0,2.
№ 7.13(605).Автомобиль, масса которого m = 2000 кг, начинает двигаться с ускорением,
которого в течение t секунд остается неименным, и проходит за это время путь S = 300
2𝑆𝑚
метров. Значение силы ( в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равна F = 𝑡 2
(Н). Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он
пройдет указанный путь, если известно, что сила F , приложенная к автомобилю, не меньше
3000 Н. Ответ дайте в секундах.
Решение. По условию задачи сила F , приложенная к автомобилю, не меньше 3000 Н,
2𝑆𝑚
поэтому выполняется неравенство F ≥ 3000 или 𝑡 2 ≥ 3000. С учетом того, что m = 2000 кг и
S = 300 м, неравенство примет вид
2∙300∙2000
𝑡2
≥ 3000. Так как t > 0, то имеем t2 ≤ 400 или t ≤ 20.
Наибольшее решение неравенства t = 20. Следовательно, наибольшее время после начала
движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, составляет 20 с.
Ответ. 20.
№ 7.14 (569). Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы,
определяемой по формуле A(𝜔) =
2
𝐴0 𝜔𝑝
, где 𝜔 - частота вынуждающей силы ( в с-1), A0 -
2 −𝜔2 ∣
∣ 𝜔𝑝
постоянный параметр, 𝜔𝑝 = 300 с-1 - резонансная частота. Найдите максимальную частоту
𝜔, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A0 не
более чем на одну пятнадцатую. Ответ выразите в с-1.
Решение. По условию задачи амплитуда колебаний должна превосходить величину A0 не
1
более чем на одну пятнадцатую, поэтому выполняется неравенство A0 ≤ A(𝜔) ≤ 115 A0 или
A0 ≤ ∣
1≤∣
2
𝐴0 𝜔𝑝
16
2 −𝜔2 ∣
𝜔𝑝
3002
16
3002 −𝜔2 ∣
3002 - 𝜔2 ≥
≤ 15 A0. С учетом того, что 𝜔𝑝 = 300 с-1 и A0 > 0, неравенство примет вид:
≤ 15 . Решим это неравенство при условиях 3002 - 𝜔2 > 0 и 𝜔 > 0.
3002 ∙15
3002 ∙15
16
16
300 2
𝜔2 ≤ (
4
; 𝜔2 ≤ 3002 -
) ; 𝜔2 ≤ 752;
;
𝜔2 ≤ 3002 (1 -
15
); ;
16
1
𝜔2 ≤ 3002 ∙ 16;
𝜔 ≤ 75.
Наибольшее решение неравенства 𝜔 = 75. Следовательно, максимальная частота 𝜔 = 75с-1.
Ответ. 75.
Литература.
1) ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / А.Л. Семенов, И. В.
Ященко и др. / под ред. А.Л. Семенова, И. В. Ященко - М.; Издательство «Экзамен». 2013 г.
2) Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. ЕГЭ 2014. Математика. Учебное
пособие. / А.В. Семенов, А. С. Трепалкин, И. В. Ященко и др. / под ред. И. В. Ященко ;
Московский Центр непрерывного математического образования. - М.; Интеллект- Центр,
2014 г.
3) Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В12. Задачи прикладного содержания
www.alexlarin.net
www.berdov.com/ege/formula/standard
www.postupivuz.ru/vopros/13601.htm