ЛЕКЦИЯ 4 5 Энергетические методы и общий принцип определения перемещений

ЛЕКЦИЯ 4
5 Энергетические методы
и общий принцип определения перемещений
5.1 Принцип возможных перемещений.
Теоремы взаимности.
Рассмотрим упругое тело – брус (рис. 5.1):
ΔPP
P
K
ΔKP
Рис. 5.1 Действительные и возможные перемещения бруса
Приложим к брусу статически силу Р (т.е. сила медленно линейно возрастает от 0 до своего номинального значения Р). Брус под действием силы деформируется. В результате деформации точке оси бруса займут новое положение, которое показано на рис.5.1 сплошной линией.
Будем вертикальное перемещение точки оси бруса обозначать через Δ с
двумя индексами: первый индекс показывает, в каком направлении происходит
перемещение (например, если точка приложения силы Р перемещается в
направлении этой силы – первый индекс будет Р); второй индекс показывает,
под действием какой силы происходит перемещение – (например, если перемещение обусловлено действием силы Р, то второй индекс будет Р). Таким образом, ΔРР – действительное перемещение точки приложения силы Р в направлении этой силы от действия этой силы (рис. 5.1). Работа силы Р на действительном перемещении ΔРР – действительная работа и равна:
1
WP  P   PP ,
2
так как зависимость прогиба ΔРР от силы Р – линейная в рамках закона Гука и
работа – площадь треугольника на диаграмме зависимости Р - ΔРР (рис. 5.2).
Приложим теперь статически силу К – брус деформируется (пунктирная
упругая линия). Перемещение ΔРК – перемещение точки приложения силы Р от
действия силы К, назовём возможным перемещением точки приложения силы
Р. Оно только от силы К, но не зависит от силы Р. Работа силы Р, которая остаётся постоянной, когда прикладывается сила К, на возможном перемещении ΔРК
Техническая механика Лекция 6
2
Р
ΔРР
Рис. 5.2 Действительная работа силы Р
равна
P   PK
(а)
и называется возможной работой силы Р на возможном перемещении ΔРК.
Для удобства рассмотрения будем представлять брус в двух состояниях
(рис. 5.3), причём нагружение в грузовом состоянии «Р» может быть произвольным:
«Р»
«К»
P
q
K
M
Рис. 5.3 Два состояния бруса
Пусть Wext – возможная работа внешних сил состояния «Р» на соответствующих возможных перемещениях состояния «К», Wint – возможная работа
внутренних сил состояния «Р» на соответствующих возможных перемещениях
состояния «К».
Имеет место принцип возможных перемещений, с которым вы познакомились в курсе теоретической механики и который применительно к задачам
сопротивления материалов формулируется следующим образом:
Если упругое тело находится в равновесии под действием системы сил, то
возможная работа внешних сил равна возможной работе внутренних сил на
любых возможных перемещениях:
Wext  Wint .
(5.1)
Имеем для возможной работы всех внешних сил, согласно (а), формулу:
n
Wext   Pi  Pi K .
i 1
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
(5.2)
Техническая механика Лекция 6
3
Найдём возможную работу внутренних сил, для чего необходимо выделить элементарный участок длиной dz в произвольном сечении бруса в состоянии «Р» и состоянии «К» (рис. 5.4) и найти работу внутренних сил состояния
«Р» на соответствующих возможных перемещениях состояния «К» элемента, а
затем проинтегрировать полученное выражение для элементарной работы по
всей длине бруса. Имеем:
dWint  N P   Q P ds  TP d  M P d .
TP
MP
«Р»
dz
MP
NP
TK MK
NP
«К»
dz
(б)
MK
NK
NK
TP
QP
QP
QK QK
а
б
Рис. 5.4 Элемент бруса в двух состояниях
TK
В выражении (б) Δ, ds, dφ и dα – возможные перемещения в направлении
NP, QP, TP и MP соответственно, т.е. перемещения от действия NК, QК, TК и MК в
направлении NP, QP, TP и MP соответственно. Найдём их.
NK вызывает растяжение – сжатие в направлении NP. Имеем (рис. 5.5 а):
dz
NK
dz
a
Δ
NK
QK
γ
б
Рис. 5.5 Возможные перемещения

ds
QK
N K dz
.
EA
(в)
Перерезывающая сила QK в поперечном сечении элемента вызывает деформацию сдвига γ (рис. 5.5 б) и перемещение ds в направлении QP определяется формулой:
ds  dz.
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
(г)
Техническая механика Лекция 6
4
По закону Гука деформацию сдвига можно определить через касательное
напряжение:

(д)
 ,
G
где усреднённое напряжение определяется формулой:
Q
 K ,
A
(е)
и коэффициент α определяется формой поперечного сечения.
Таким образом, подставляя в (г) выражение для γ (д), где для напряжения
τ используем формулу (е), получим окончательно для возможного перемещения
в направлении QP выражение:
Q dz
ds   K .
GA
(ж)
Крутящий момент ТК вызывает возможное перемещение в направлении
ТР – взаимный угол поворота dφ крайних сечений элемента, равный, как известно:
T dz
(з)
d  K .
GI
Изгибающий момент МК вызывает взаимный угол поворота крайних сечений элемента dα (рис. 5.6) – возможное перемещение в направлении МР.
O
ρ
dα
MK
MK
Рис. 5.6 Возможное перемещение в направлении изгибающего момента
Длина нейтрального волокна
dz  d ,
откуда возможное перемещение
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Техническая механика Лекция 6
5
1
d  dz .

При выводе формулы для нормальных напряжений нами было получено
соотношение:
1 MK
.

 EI
Итак, возможное перемещение в направлении МР
d 
M K dz
.
EI
(и)
Следует отметить одинаковую структуру формул для всех возможных
перемещений - сравни (в), (ж), (з), (и).
Таким образом, подставляя (в), (ж), (з), (и) в (б) и интегрируя по длине
стержня, получим для возможной работы внутренних сил выражение
l
N P N K dz l Q P Q K dz l TP TK dz l M P M K dz
.
Wint  
 


EA
GA
GI
EI

0
0
0
0
(5.3)
Следовательно, принцип возможных перемещений (5.1), согласно (5.2) и
(5.3), запишется в виде соотношения:
n
l
l
l
l
N N dz
Q Q dz
T T dz
M M dz
 Pi  Pi K   PEAK    PGAK   PGIK   P EIK .

i 1
0
0
0
(5.4)
0
Как следует из вида правой части выражения (5.4), оно не изменится, если поменять местами внутренние усилия с индексами «Р» и «К». Но тогда слева
надо записать сумму возможных работ внешних усилий состояния «К» на возможных перемещениях состояния «Р», т.е.
n
m
 Pi  P K   K j K P .
i 1
i
j1
j
(5.5)
Это – первая теорема взаимности: возможная работа внешних усилий состояния «Р» на возможных перемещениях состояния «К» равна возможной работе усилий состояния «К» на возможных перемещениях состояния «Р».
В частном случае, если в состоянии «Р» и в состоянии «К» действуют по
одному усилию и Р = К, то, как следует из (5.5):
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Техническая механика Лекция 6
6
 PK   KP .
(5.6)
Это – вторая теорема взаимности: возможное перемещение точки приложения усилия Р, вызванное действием усилия К, равно возможному перемещению точки приложения усилия К, вызванному действием усилия Р, если усилие
Р равно усилию К.
5.2 Формула Максвелла-Мора
Пусть необходимо в произвольно нагруженном брусе определить перемещение в некоторой точке С в заданном (например, вертикальном) направлении (рис. 5.7 а):
«Р»
«К»
P
q
K
С
А
В
А
С
В
ΔС
M0
а
б
Рис. 5.7 Определение перемещения в точке С
Примем за состояние «Р» состояние под действием заданной нагрузки
(рис. 5.7 а). Приложим к брусу в точке С в направлении отыскиваемого перемещения силу К и примем это состояние бруса за состояние «К» - рис. 5.7 б.
Тогда, согласно (5.5) и (5.4) получим:
l
N P N K dz l Q P Q K dz l TP TK dz l M P M K dz

 


.
EA
GA
GI
EI

0
0
0
0
K   KP
Если приложить единичную силу К = 1, то предыдущее соотношение даёт
формулу Максвелла-Мора для определения перемещения в конструкции:
l
N P N1dz l Q P Q1dz l TP T1dz l M P M1dz

 


.
EA
GA
EI
0
0
0 GI
0
(5.7)
Если рассматриваемая конструкция представляет собой балку, то продольные силы и крутящие моменты в ней обычно равны нулю, а действием поперечных сил при определении перемещений можно пренебречь, т.е. в балке
перемещения определяются формулой:
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Техническая механика Лекция 6
l

0
7
MMdz
,
EI
(5.8)
где М – изгибающий момент в поперечном сечении от внешней нагрузки,
M - изгибающий момент в поперечном сечении от единичной нагрузки в
направлении отыскиваемого перемещения.
5.3 Графоаналитический способ определения
интеграла Максвелла-Мора (способ Верещагина)
При изгибе балки перемещение определяется согласно формуле Максвелла-Мора соотношением 5.1:
l

0
MM
dz .
EI
Пусть на данном участке жёсткость на изгиб EI постоянна, а эпюра изгибающего момента от единичного нагружения имеет вид прямой без излома –
рис. 5.5. Тогда перемещение определится формулой:
1 l
   MMdz .
(в)
EI 0
0
MP
dω
C
zc
M
z
α
M
dz
MC
M
0
Рис. 5.8 Правило Верещагина
На расстоянии z от оси 0 – 0 (на этой прямой ордината эпюры от единичного нагружения равна нулю) выберем элементарную площадку Mdz = dω на
эпюре изгибающих моментов от внешнего нагружения. Тогда интеграл в (в) запишется:
l
 MMdz   Md .
0
© Учебный

центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
(г)
Техническая механика Лекция 6
8
Но с другой стороны ордината на единичной эпюре в сечении с координатой z определяется как
M  ztg .
(д)
Учитывая, что tgα величина постоянная и вынося её за знак интеграла,
имеем после подстановки (д) в (г):
l
 MMdz  tg  zd .
0
Так как величина

 zd представляет статически момент площади грузо-

вой эпюры МР относительно оси 0 – 0 и, следовательно, равна произведению
координаты zC центра тяжести площади грузовой эпюры на площадь этой эпюры ω , то
l
 MMdz  tg  z C   .
0
Но tg  z C  M C - ордината на единичной эпюре под центром тяжести
грузовой эпюры. Итак, окончательно для определения перемещения в балке получаем формулу:
n  M
k Ck
 
.
(5.9)
EI
k
k 1
Здесь суммирование проводится по всем участкам балки, на каждом из
которых должны выполняться, как мы помним, следующие ограничения:
1. Жёсткость стержня должна быть постоянной.
2. Единичная эпюра ограничена непрерывной прямой без излома.
3. Стержень должен быть прямолинейным.
Эта форма вычисления перемещения называется вычислением интеграла
Максвелла-Мора по правилу Верещагина.
Эпюра от внешней нагрузки в случае использования формулы (5.2) должна быть построена расслоённая, т.е. от каждого силового фактора отдельно. В
этом случае легко находятся площади входящих в неё фигур: прямоугольника,
треугольника и параболического треугольника, т.е. треугольника, ограниченного сверху параболой. Все эти площади являются частными видами треугольника, ограниченного сверху кривой y  a  z n - рис. 5.5, а именно: при n = 0 имеем
прямоугольник, при n = 1 – треугольник, n = 2 – параболический треугольник.
Можно получить для площади и координат центра тяжести следующие формулы:
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Техническая механика Лекция 6

b
bh
b(n  1)
, zC 
, zC 
.
n 1
n2
n2
9
(5.10)
y
h
y = a·zn
C
zC
zC
z
b
Рис. 5.9 Определение площади и центра тяжести фигур
Рассмотрим пример использования правила Верещагина.
Для данной балки (рис. 5.6) определить прогиб в точке С и угол поворота
сечения в точке А. Модуль упругости материала E = 2  10 6 кГ/см2, момент
инерции сечения I = 4000 cм5.
1. Строим расслоённую эпюру изгибающих моментов от внешней нагрузки.
2. В направлении искомого перемещения прикладываем единичную силу и
строим эпюру изгибающих моментов.
3. Центр тяжести в треугольнике расположен на расстоянии 2/3 от высоты, в
параболическом треугольнике – на расстоянии 3/4 от высоты. Итак, искомое перемещение определяется формулой:
C 
1
1MC1  2 MC2  3 MC3 .
EI
(е)
Перед последним слагаемым стоит знак минус, так как единичная эпюра
и грузовая расположены по разные стороны от оси. Имеем для площадей:
1 
1 18
18
1 63
189
1
2  , 2 
3
, 3  9  3  9 ;
2 5
5
2 5
10
3
для ординат на единичной эпюре:
M C1 
26 4
26 4
36 9
 , MC 2 
 , MC3 
 .
35 5
35 5
4 5 10
Подставляя полученные значения в (е), вычисляем перемещение точки С:
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Техническая механика Лекция 6
φС
10
2 Т/м
С
А
2м
ω1 18/5
В
ΔС 3 м
63/5 ω2
MP
Тм
9
ω3
F=1
6/5 M 3
M1
M2
M м
М=1
M1
1
M3
M2
M
Рис. 5.10 Пример применения правила Верещагина
C 
10 7
9
 18 4 189 4

 9   1,24 см .

10 
2  10 6 4000  5 5 10 5
Для определения угла поворота сечения в точке А строим эпюру изгибающих моментов от единичного момента, приложенного в точке А. Теперь ординаты на единичной эпюре (тангенс угла наклона прямой на эпюре равен 1/5):
1
1  11
12
2
13
9
M C1   3  2   , M C 2 
3  , MC3 
3 .
5
3  15
53
5
54
20
Итак, угол поворота сечения в точке А:
1
1MC1  2 MC2  3 MC3  
EI
.
10 7
9 
 18 11 189 2



 9   0,00769 рад  0,44

2  10 6 4000  5 5 10 5
20 
C 
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé