Конспект лекций. Учебное пособие МЕХАНИКА

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
«ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
И.Л. Рязанцева
МЕХАНИКА
Конспект лекций
Омск – 2006 г.
1
УДК 531 (075)
ББК 22.2 я 73
Р 99
Рецензенты: В.В. Сыркин д.т.н. профессор, зав кафедрой прикладной механики Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии;
А.А. Дектярев к.т.н. доцент кафедры «Детали машин и инженерная графика» Омского государственного аграрного университета.
Рязанцева И.Л.
Р 99 Механика: Конспект лекций. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2008. 90 с.
В конспекте лекций представлено основное содержание дисциплины
«Механика», объединяющей четыре классические дисциплины: «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов», «Теория механизмов и машин», «Детали приборов». Содержание соответствуют ГОС специальности
200106 «Информационно-измерительная техника и технологии» и направлению бакалаврской подготовки 200100.62 «Приборостроение». Предназначено
для студентов немеханических специальностей всех форм обучения.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского
государственного технического университета
© И.Л. Рязанцева, 2008
© Омский государственный
технический университет, 2008
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
СТАТИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
1.1.
Основные понятия и аксиомы статики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.
Сходящиеся силы. Сложение сходящихся сил . . . . . . . . . . . . . .
1.3.
Аналитическое определение равнодействующей системы
сходящихся сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.
Пространственная система сходящихся сил . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.
Теория пар в плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Момент силы относительно точки в плоскости . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Пара сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3. Приведение сил, произвольно расположенных в плоскости,
к заданному центру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4. Условия равновесия произвольной плоской системы сил . . . . .
1.6.
Теория пар в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.
Равновесие системы тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.
Примеры определения реакций связей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
ОСНОВЫ РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ
2.1.
Метод сечений. Напряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.
Растяжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.
Основные свойства материалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.
Геометрические характеристики поперечных сечений . . . . . . .
2.4.1. Статический момент сечений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Момент инерции сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.
Сдвиг и кручение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.
Изгиб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Определение внутренних силовых факторов при изгибе . . . . .
2.6.2. Нормальные напряжения при чистом изгибе . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3. Касательные напряжения при изгибе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.
Теории прочности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.
Упругая линия балки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
КИНЕМАТИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
3.1.
Кинематика точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.
Кинематика твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.
Кинематический анализ механизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Структура механизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Кинематический расчет механизмов методом планов . . . . . . . .
3.3.3. Аналитические методы кинематического анализа механизмов.
3.3.4. Кинематический анализ зубчатых механизмов . . . . . . . . . . . . .
ДИНАМИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
4.1.
Законы динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.
Уравнения движения материальной точки . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.
Работа и мощность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.
Теоремы динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
5
6
6
8
9
10
10
10
11
11
13
13
15
16
17
18
19
19
21
21
21
22
25
25
27
29
30
32
34
34
36
40
40
44
47
48
53
53
54
54
55
4.5.
4.6.
4.6.1.
5.
5.1.
5.1.1.
5.1.2.
5.1.3.
5.1.4.
5.1.5.
5.1.6.
5.1.7.
5.1.8.
5.1.9.
5.1.10.
5.1.11.
5.1.12.
5.1.13.
5.1.14.
5.1.15.
5.2.
5.3.
Потенциальная и кинетическая энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Кинетостатика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Кинетостатический расчет механизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ПЕРЕДАЧИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Зубчатые передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эвольвента, ее уравнения и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Теоретический исходный и исходный производящий
контуры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Методы нарезания зубчатых колес . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Станочное зацепление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Критерии качества зубчатых передач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Выбор коэффициентов смещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Силы, действующие в зацеплении прямозубых цилиндрических колес. Расчетная нагрузка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Расчет прямозубой цилиндрической эвольвентной передачи
на усталостный изгиб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Расчет прямозубой цилиндрической передачи на контактную
прочность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Точность зубчатых передач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Мертвый ход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Способы уменьшения мертвого хода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Косозубые цилиндрический передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Конические прямозубые передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Фрикционные механизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Передачи с гибкой связью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
56
57
57
63
63
63
64
65
67
67
69
70
72
73
75
76
77
78
79
81
83
87
В государственных образовательных стандартах (ГОС) некоторых
немеханических специальностей и направлений бакалаврской подготовки
дисциплина «Механика» объединяет четыре классические дисциплины:
«Теоретическая механика», «Сопротивление материалов», «Теория механизмов и машин», «Детали приборов». Дефицит учебной литературы по этой
дисциплине, большой объем информации, которую должны получить и освоить студенты, изучающие механику, малый объем аудиторных учебных занятий (особенно лекций) стали причиной подготовки этого учебного пособия.
Пособие разработано в виде конспекта лекций. Материал хорошо иллюстрирован (возможно даже несколько перегружен примерами).
Количество лекций и их содержание соответствуют ГОС и рабочей
программе
дисциплины
специальности
200106
«Информационноизмерительная техника и технологии» и направлению бакалаврской подготовки 200100.62 «Приборостроение». Учебное пособие может быть использовано студентами других немеханических специальностей.
5
1. СТАТИКА
Механика – одна из наиболее древних наук. Известно, что еще при
постройке египетских пирамид использовались некоторые простейшие механизмы: рычаги, блоки, наклонная плоскость. Выделение механики из общего
естествознания произошло в VI-III веке до н.э., когда появились первые сочинения, теоретически обобщившие накопленный опытом материал. Термин
«механика» впервые был введен Аристотелем (384-322 г. до н.э.). Основоположником механики (главным образом статики) считают величайшего математика и механика древней Греции Архимеда (287-212 г. до н.э.), давшем
решение задачи о рычаге и создавшем учение о центре тяжести. Им же был
открыт закон о давлении жидкости на погруженное в нее тело, получивший
название закона Архимеда.
Расцвет механики начался с эпохи возрождения (конец XV и начало
XVI века), представителем которой является итальянский художник, физик,
механик, инженер Леонардо да Винчи (1452-1519 гг.). Он занимался изучением вопросов трения, движения падающего тела и тела на наклонной плоскости. Им введено понятие момента силы.
Значительный вклад в развитие механики внесли: Н. Коперник (14731543 г.), Г. Галилей (1564-1642 г.), И. Ньютон (1643-1727 г.), Ж. Даламбер
(1717-1783 г.), Ж. Лагранж (1736-1813 г.), Л. Эйлер (1707-1783 г.), М.В. Ломоносов (1711-1765 г.).
Следует отметить работы российских и советских ученых, механиков
19-20 веков: П.Л. Чебышева (1821-1894 г.), Н.Е. Жуковского (1847-1921 г.),
С.А. Чаплыгина (1869-1942 г.), И.В. Мещерского (1859-1935 г.), К.Э. Циолковского (1857-1935 г.). И в настоящее время механика развивается трудами
российских и зарубежных ученых.
1.1. Основные понятия и аксиомы статики
Статика – раздел механики, рассматривающий общие свойства сил
и условия равновесия материальных тел под действием этих сил.
Равновесие – такое состояние, когда тело находится в покое или
движется равномерно.
Материальная точка – тело, размерами которого можно пренебречь.
Абсолютно твердым называют тело, расстояние между любыми точками которого остается неизменным.
Сила – мера механического взаимодействия двух тел, определяющая
интенсивность и направление этого взаимодействия.
Сила определяется: числовым значением (модулем), направлением и
точкой приложения. Прямая, совпадающая с направлением силы, называется
линией действия силы (рис. 1.1).
6
Совокупность сил, действующих
на данное тело или систему тел, называют системой сил.
Системы сил, вызывающие одинаковое изменение кинематического состояния тела, называют эквивалентными
системами сил.
Сила, эквивалентная некоторой
системе сил, называется равнодействующей силой.
Система сил, под действием которой тело может находиться в состоянии покоя, называется уравновешенной
системой сил.
Внешние силы – силы, действующие на материальные точки данной
системы со стороны материальных точек другой системы.
Внутренние силы – силы взаимодействия между материальными точками данной системы.
Аксиомы статики:
 Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии только тогда, когда эти силы
равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные
стороны (рис. 1.2).
Действие данной системы
сил на абсолютно твердое тело не
изменится, если к ней прибавить
или от нее отнять уравновешенную
систему сил.
Следствие: Действие силы
на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии
действия.
 Две силы, приложенные к телу в
одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую
диагональю параллелограмма, построенного
на этих силах как на сторонах (рис. 1.3).
 При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие.
7
 Равновесие деформируемого тела, находящееся под действием
заданной системы сил, не нарушается, если тело считать абсолютно твердым.
Принцип отвердения широко применяется при решении задач статики.
1.2. Сходящиеся силы. Сложение сходящихся сил
Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке,
называется системой сходящихся сил.
Рассмотрим плоскую систему сходящихся сил.
Задача о сложении двух сходящихся сил решается весьма просто.


Пусть в точке А тела действует две силы Р1 и Р2 (рис. 1.4). В соответствии

с третьей аксиомой статики равнодействующая R этих сил приложена в той
же точке и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих
силах как на сторонах. Для определения равнодействующей можно воспользоваться правилом треугольника. Для этого достаточно построить один из


треугольников АВС или ACD. Определение равнодействующей сил Р1 и Р2
методом силового треугольника показано на рис. 1.4б. Следует отметить, что
результирующий


вектор направлен от начала вектора силы Р1 к концу вектора силы Р2 .
  

Пусть требуется сложить четыре сходящихся силы Р1 , Р2 , Р3 и Р4
(рис. 1.5). Будем складывать их последовательно пользуясь правилом треугольника.

 

 



R1  Р1  Р2 ; R2  R1  Р3 ; R3  R2  Р4
или
  


R  Р1  Р2  Р3  Р4 .
Этот способ сложения сходящихся сил
называется графическим.
Порядок сложения векторов при построении силового многоугольника на величину равнодействующей не влияет.
Если при построении силового многоугольника конец последнего вектора совпадает с началом первого (рис. 1.6), то
8
равнодействующая равна нулю и силовой многоугольник называют замкнутым.
Равновесие тела под действием системы сходящихся сил наблюдается в
том случае, когда их равнодействующая равна нулю.
1.3. Аналитическое определение
равнодействующей системы
сходящихся сил
Проекцией силы на ось называют
скалярную величину, равную взятой со
знаком плюс или минус длине отрезка,
заключенного между проекциями начала и конца силы на эту ось (рис. 1.7).

Обозначим проекцию силы Р1 на ось Х – Р1 X .
Р1X  ab  Р1 cos .
Проекция силы на ось положительна, когда вектор составляет с осью

острый угол. Проекция силы Р 2 на ось Х:
Р2 X  cd  Р2 cos   P2 cos  .
Если вектор перпендикулярен оси, то его проекция на эту
ось равна нулю.
Чтобы задать силу, надо
знать ее проекции на оси координат (рис. 1.8). Тогда модуль силы
равен P  PX2  PY2 , а направляющие косинусы:
cos  PX P , cos   PY P .
Проекция вектора суммы на какую-либо ось равна алгебраической сумме
проекций слагаемых векторов на ту же самую ось (рис. 1.9).
   
R  P1  P2  P3 .
RX  P1X  P2 X  P3 X ; RY  P1Y  P2Y  P3Y ;
cos   RY R .
9
R  RX2  RY2 ; cos  RX R ;
Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей была равна нулю.
 PXi  0 ;  PYi  0 .
1.4. Пространственная система сходящихся сил
Пространственной называют систему сил, линии действия которых расположены в разных плоскостях.

Равнодействующая R пространственной системы сходящихся сил равна
их векторной сумме, линия ее действия проходит через точку пересечения линий действия составляющих сил.
 n 
R   Pi .
i 1
Аналитическое определение равнодействующей системы сходящихся
n
сил: RX  P1X  P2 X  ...  PnX   РiX ;
i 1
n
n
RY  P1Y  P2Y  ...  PnY   PiY ;
i 1
RZ  P1Z  P2 Z  ...  PnZ   PiZ .
i 1
R R R R ,



cos R, X  RX R ,
cos R, Y  RY R , cos R, Z  RZ R .
Условие равновесия пространственной системы сходящихся сил:

R  0 или RX  0 , RY  0 , RZ  0 .
Для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо
и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из трех координатных осей равнялась нулю.

2
X

2
Y
2
Z
 
 
1.5. Теория пар в плоскости
1.5.1. Момент силы относительно точки в плоскости
Понятие момента силы относительно точки – одно из важнейших понятий
механики. Момент силы относительно точки позволяет количественно оценить
вращательный эффект ее действия.
На плоскости момент силы М о относительно какой-либо точки равен
взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы Р на ее плечо h .
Плечо силы относительно точки – длина перпендикуляра, опущенного из
этой точки на линию действия силы (рис. 1.10).
М о  Р  h .
Точку О, относительно которой определяют момент силы, называют центром момента. Если сила стремиться повернуть тело относительно центра момента против хода часовой стрелки, то момент положительный. В противном
случае – отрицательный.
Примечания:
10

момент силы не изменяется при переносе силы вдоль линии ее действия;

момент силы равен нулю, если ее линия действия проходит через центр
момента.
Теорема Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов
слагаемых сил относительно того же центра.
1.5.2. Пара сил
Система двух равных по модулю, параллельных и
противоположно направленных сил называется парой сил или просто парой (рис. 1.11).
Кратчайшее расстояние h между линиями действия сил называют плечом пары. Для плоской системы сил момент пары – скалярная величина.
Момент пары равен взятому со знаком плюс или минус произведению модуля одной из сил пары на ее плечо.
M  P  h .
Момент пары считается положительным,
если пара стремиться вращать тело в направлении противоположном ходу часовой стрелки. В
противном случае момент отрицательный.
Плоскость, проходящая через линии действия сил, образующих пару, называется плоскостью действия этой пары.
Пары сил, моменты которых численно равны и одинаковы по знаку, эквивалентны.
Всякую пару сил, можно перемещать в любое место в плоскости ее действия.
Теорема о сложении пар: всякая плоская
система пар эквивалентна одной паре, момент которой равен алгебраической
сумме моментов данных пар.
Условия равновесия плоской системы пар:
n
 Mi  0 .
i 1
Для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов данных пар была равна нулю.
1.5.3. Приведение сил, произвольно расположенных в плоскости,
к заданному центру
Для сложения сил, произвольно расположенных в плоскости, используется
метод Пуансо, позволяющий переносить силу, действующую на тело, в любую
его точку не нарушая равновесие этого тела.
11

Пусть на тело действует сила Р , приложенная в точке А (рис. 1.12).
Тело находится в равновесии. Приведем силу к
некоторой точке О, называемой центром приведения. Для этого опустим из точки О перпендикуляр на линию действия силы и определим
момент силы М о относительно точки О.
Мо  Ph .



В точке О приложим две силы Р  и Р  , равные по модулю силе Р , парал

лельные ей и направленные в противоположные стороны. Силы Р и Р образуют пару сил, момент которой M  P  h равен моменту заданной силы относи
тельно центра О. Таким образом, на тело действуют сила Р , геометрически
равная заданной и приложенная в точке О, и пара сил с моментом, равным М о .
Равновесие твердого тела не нарушится, если силу, действующую на тело, перенести параллельно самой себе в произвольную точку тела, добавив пару
сил, момент которой равен моменту заданной силы относительно этой точки.
Используя метод Пуансо плоскую систему произвольно расположенных сил
можно привести к одной силе, приложенной в центре приведения, и одной паре.
 

Пусть на тело действуют силы Р1 , Р2 … Рn (рис. 1.13а).
Перенесем все силы параллельно самим себе в центр приведения О и добавим n пар, моменты которых М 1 , М 2 , … М n , равны моментам заданных сил
относительно центра О.
 







Р1'  P1 ; Р2'  P2 ; Рn'  Pn ; M 1  M 0 P1 ; M 2  M 0 P2 ; M n  M 0 Pn .

Равнодействующая R сил, приложенных в центре О (рис. 1.13б):
  

R  P1'  P2'  ...  Pn' .

Силу R называют главным вектором данной системы.
Главный вектор плоской системы произвольно расположенных сил равен
векторной сумме всех сил системы и приложен в центре приведения.
 
12
 
 
Систему n пар заменим эквивалентной парой, момент M которой равен алгебраической сумме моментов пар М 1 , М 2 , … М n .
n
M  M1  M 2  ...  M n   M i .
i 1
M - главный момент системы сил.
Главный момент плоской системы произвольно расположенных сил равен
алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения.
1.5.4. Условия равновесия произвольной плоской системы сил
Произвольная система сил, расположенных в плоскости, находится в равновесии,
когда главный вектор и главный момент равны нулю.

R  0 ; M  0.
(1)
Формы записи условия равновесия произвольной плоской системы сил:
1.
Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и
достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей X и Y и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего
в плоскости действия сил, были бы равны нулю.

 X i  0 ;  Yi  0 ;  M Pi  0 .
2.
Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и
достаточно, чтобы сумма моментов этих сил относительно каких-либо двух
центров А и В и сумма их проекций на ось X, неперпендикулярную к прямой АВ,
были бы равны нулю.
 Xi  0 ;  M A  0 ;  MB  0 .
3.
Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и
достаточно, чтобы сумма моментов этих сил относительно любых трех
центров А, В и С, не лежащих на одной прямой, были бы равны нулю.
 M A  0 ;  M B  0 ;  МС  0 .

1.6. Теория пар в пространстве
Момент пары сил – вектор, направленный по перпендикуляру к плоскости действия заданной пары в ту сторону, откуда вращение тела парой представляется
происходящим против хода часовой
стрелки (рис. 1.14). Модуль момента пары
равен произведению модуля силы на плечо
пары. M  P  h .
Действие пары сил на абсолютно твердое тело не изменится, если пару перенести в любую плоскость, параллельную
плоскости ее действия.
Пары сил эквивалентны, если их моменты геометрически равны.
13
Любая система пар, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна
одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых
пар.
Для равновесия абсолютно твердого тела, находящегося под действием системы пар, как угодно расположенных в пространстве, необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма
 моментов равнялась нулю, т.е. векторный
многоугольник был замкнутым М i  0 .
1.6.1. Момент силы относительно точки и относительно оси

Момент силы М о относительно какой-либо
точки О, называемой центром, есть приложенный
в этой точке вектор, направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через линию действия силы и точку О, в ту сторону, откуда вращение тела силой представляется происходящим
против хода часовой стрелки (рис. 1.15).

Момент силы М о относительно точки О равен векторному произведению

радиуса-вектора r , направленного из центра О в точку А приложения силы

 
(рис. 1.15), на вектор силы. М о  r  P . Модуль момента равен произведению
силы на ее плечо (длину перпендикуляра, опущенного из точки О на линию
действия силы).
 
M o  r  P sin r , P  P  h .

Для определения момента M Z силы P
относительно оси Z надо силу спроецировать на плоскость, перпендикулярную оси
(рис. 1.16),
 и определить момент этой проекции ( Р ) относительно точки пересечения оси и плоскости. Проекция силы на
плоскость – вектор, определяющий не
только величину, но и положение силы на
плоскости.
Момент силы относительно оси – величина скалярная. М Z  P  h .
Момент M Z считается положительным, когда с конца оси Z вращение

плоскости силой Р представляется происходящим против хода часовой стрелки.

M Z и М о связаны следующим образом: проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, равна моменту силы отно 
сительно оси. M Z  M o cos M o , Z .
 


14
1.6.2. Приведение произвольной пространственной системы сил
к заданному центру

Действие силы P на абсолютно твердое тело не изменится, если ее перенести параллельно начальному положению в любую точку О тела, прилагая


пару сил, момент М которой равен моменту М о переносимой силы относительно точки, в которую эта сила переносится (рис. 1.17).
Пусть на тело действует система нескольких
 

сил P1 ; P2 ; … Pn , как угодно расположенных в
пространстве. Используя метод Пуансо, приведем их к некоторому центру О. Для чего перенесем заданные силы параллельно самим себе в
точку О и приложим пары сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно выбранного центра приведения. Эту систему сил

приведем к главному вектору R и главному мо n 
 n  

M   M o Pi .
менту М . R   Pi ,
i 1
i 1

Условия равновесия произвольной

пространственной системы сил в векторной форме имеют вид R =0, М = 0.
Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и
достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей
и сумма моментов всех сил относительно этих координатных осей были бы
равны нулю.
 X i  0 ;  Yi  0 ;  Z i  0 ;



 M X Pi  0 ;  M Y Pi  0 ;  M Z Pi  0 .



1.7. Равновесие системы тел
В данном разделе рассматривается решение задачи статики применительно
к системам тел, соединенных между собой тем или иным способом.
Связи, соединяющие части одной системы тел, называют внутренними.
Связи, соединяющие части данной системы с телами в нее не входящими,
называют внешними.
На рис. 1.18 показана трехшарнирная арка АСВ, части АС и CВ которой соединены шарниром С. Шарнир С – внутренняя связь, шарниры А и В – внешние
связи.
Реакции внутренних связей равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.18б и в), т.е.




X C   X C' ; YC  YC' .
15
Нередко встречаются системы с нежесткими связями, например, шарнирными. При замене этих связей реакциями жесткость системы нарушается. Так,
например, если отбросить опоры А и В трехшарнирной арки, представленной
на рис. 1.18а, то ее части повернуться относительно шарнира С. В этом случае
используется принцип отвердевания, в соответствии с которым совокупность
сил, действующих на любую систему тел, должна при равновесии этой системы
удовлетворять условиям равновесия абсолютно твердого тела.
При равновесии системы тел каждое тело этой системы находится в равновесии. В связи с этим при решении задач статики рассматривается равновесие
каждого тела в отдельности.
В некоторых случаях целесообразнее рассматривать равновесие всей системы тел в целом, а затем равновесие отдельных ее частей.
1.8. Примеры определения реакций связей.
Задача 1. Однородная балка АВ весом 4 кН (рис. 1.19) опирается на горизонтальный стержень CD. Определить реакции связей, если СВ=BD, а вес
стержня CD=6 кН.
Решение: Балка 1 и стержень 2 образуют систему тел, находящуюся в равновесии под действием активных сил и реакций опор А, С, D. Балка и стержень

взаимодействуют в точке В (рис. 1.19а). Сила R12 , с которой балка действует на
стержень, направлена по нормали к поверхности стержня (рис. 1.19в). Реакция


R21 стержня на балку (рис. 1.19б) соотносится с реакцией R12 следующим об

разом: R12   R21 .
Рассмотрим равновесие балки и стержня в отдельности. Схемы их нагружения приведены на рис. 1.19б и в соответственно.
Из условий равновесия балки 1 следует:
X A  0;
R21  G1  YA  0 ;
 R21AB cos  0,5G1 AB cos  0 .
Откуда R21  0,5G1  0,5  4  2кН .
YA  R21  G1  2  4  2кН .
16
Из условий равновесия стержня 2:
XC  0;
YC  YD  R12  G2  0 ;
 G2  CB  R12  CB  YD  CD  0 .
CB
1
Откуда YD  G2  R12 
 6  2  4кН ;
CD
2
YC  G2  R12  YD  6  2  4  4кН
2. ОСНОВЫ РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ
Допущения, принятые в сопротивлении материалов:
 Если нет причин, вызывающих деформацию, то внутренние усилия
в материалах равны нулю.
 Считается, что материал тела имеет непрерывное строение и представляет собой сплошную среду.
 Считается, что материал во всех точках и во всех направлениях обладает одинаковыми свойствами.
 Деформации тела и связанные с ними перемещения точек и сечений
весьма малы и не влияют на положение сил, вызывающих эти перемещения.
 Перемещения точек и сечений упругого тела в известных пределах
нагружения пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения.
 В известных пределах нагружения материал обладает идеальной
упругостью.
 Плоские поперечные сечения, проведенные в теле до деформации,
при деформации остаются плоскими и нормальными к оси.
17
2.1.
Метод сечений. Напряжения
Для определения внутренних сил используют метод сечений, суть которого состоит в следующем. Рассмотрим тело, на которое действует система
 

сил Р1 ; Р2 ; . . . Рn (рис. 2.1а). Рассечем тело плоскостью А−А и правую его
часть отбросим. Оставшаяся часть тела (рис. 2.1б) находится в равновесии
под действием внешних сил, показанных на рисунке, и внутренних, представляющих собой произвольную пространственную систему сил. Используя


правила статики приведем их к главному вектору R и главному моменту М .


Спроецируем главный вектор R и главный момент М на оси коорди 

нат. N − продольная сила; Q x , Qy − поперечные силы; M x , M y − изгибающие
моменты; M K − крутящий момент. Для расчета продольной, поперечных сил,
изгибающих и крутящего моментов используют уравнения статики:
xi  0 ; yi  0 ; zi  0 ; M i x   0 ; M i  у   0 ; M i z   0 .
Напряжение характеризует
интенсивность внутренних сил,
действующих в сечении.
Обозначим полное напряжение

p n (рис. 2.2).


pn  lim P F ,

где
равнодействующая
Р −
внутренних сил, действующих на
площадке F . Полное напряжение раскладывается на составля

ющие:  n и  n .


 n − нормальное напряжение;  n −
касательное напряжение.

 
pn   n   n .
pn   n2  n2 .
18
2.2.
Растяжение
Растяжение − такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная нагрузка.
Это напряженно-деформированное состояние испытывает брус, показанный на рис. 2.3а. Рассмотрим равновесие части бруса, расположенной
слева от сечения m−m (рис. 2.3б). Условие ее равновесия:
F
zi  0 или  P    z  dF  0 .
0
P
.
F
При центральном растяжении брус растягивается. Его абсолютное
удлинение l  l1  l . В этой формуле l и l1 длина бруса до и после деформации. Относительное удлинение бруса   l l .
Абсолютное сужение бруса b  b  b1 , а относительное   b b .
Отношение  к  – постоянная для данного материала величина,
называемая коэффициентом Пуассона (  ).
   .
Зависимость между напряжением  Z и относительным удлинением 
устанавливает закон Гука, в соответствии с которым
 Z  Е  ,
где Е – модуль упругости первого рода.
Е и  характеризуют упругие свойства материала.
z 
2.3.
Основные свойства материалов
При конструировании механизмов надо знать основные механические
свойства материалов, из которых будут изготовлены их детали. Для решения
этой задачи проводят испытания образцов, изготовленных из этих материалов, вплоть до их разрушения. Испытания проводят при статическом, цикли19
ческом и ударном нагружениях. По виду деформации различают испытания
на растяжение, сжатие, изгиб, кручение. Для этого используют испытательные машины различных конструкций.
Наиболее простым и доступным является испытание материала на растяжение при статическом нагружении. Результатом испытания является диаграмма растяжения (рис. 2.4а), построенная в относительной системе координат. Следует отметить, что при определении  Z величину нагрузки относят к первоначальной площади поперечного сечения, а не к фактической.
Диаграмма имеет ряд характерных точек, которым соответствуют
напряжения. На участке ОА диаграмма прямолинейна, т.е. соблюдается закон
Гука. Напряжение, соответствующее точке А, называют пределом пропорциональности (  ПЦ ). На участке ОК образец сохраняет упругие свойства.
Напряжение, соответствующее точке К, называют пределом упругости (  У ).
На участке CD диаграммы деформация растет при постоянной внешней
нагрузке. Это явление называют текучестью, а участок CD диаграммы –
площадкой текучести. Напряжение, соответствующее площадке текучести,
называют пределом текучести (  Т ). Ряд материалов, например, дюралюминий, бронза, высокоуглеродистые и легированные стали, не имеют ярко выраженной площадки текучести. Для них устанавливают условный предел
текучести. Условным пределом текучести называют напряжение, которому
соответствует остаточная деформация, равная 0,2 %. Условный предел
текучести обозначают  0, 2 .
В точке В диаграммы напряжение имеет наибольшую величину и
называется пределом прочности (  В ). При достижении предела прочности на
образце образуется шейка. Она быстро развивается и в точке Е наступает
разрыв образца.
У хрупких материалов явления текучести не наблюдается. Диаграмма
растяжения этих материалов представлена на рис. 2.4б.
20
2.4. Геометрические характеристики поперечных сечений
2.4.1. Статический момент сечения
Рассмотрим поперечное сечение стержня, в котором выделим элементарную площадку dF (рис. 2.5а).
Статическим моментом поперечного сечения относительно некоторой оси, расположенной в том же сечении, называют взятую по всей площади сечения сумму произведений элементарных площадок dF на их расстояние до этой оси.
Статический момент сечения относительно оси x:
F
S x   y  dF .
0
Статический момент сечения относительно оси y:
F
S x   y  dF .
0
Размерность статического момента – мм3.
Статический момент сечения относительно какой-либо оси равен произведению площади F сечения на расстояние от его центра тяжести С до рассматриваемой оси.
S y  F  xC .
S x  F  yC ,
2.4.2. Момент инерции сечения
Моментом инерции сечения относительно оси, лежащей в плоскости
сечения, называется взятая по всему сечению сумма произведений элементарных площадок dF на квадрат их расстояния до этой оси (рис. 2.5б).
21
F
J x   y 2 dF ,
0
F
J y   x 2 dF ,
0
где J x , J y – осевые моменты инерции.
Полярный момент инерции сечения
F
F
0
0
J p    2  dF    x 2  y 2 dF  J y  J x .

Центробежным J XY моментом инерции сечения называют сумму произведений элементарных площадок на их координаты, распространенную на
всю площадь сечения.
F
J xy   x  y  dF .
0
Если сечение имеет сложную форму, то его разбивают на простые составные части. Определяют момент инерции каждой из составных частей и
используя формулы перехода вычисляют момент инерции всего сечения.
Геометрические характеристики наиболее часто встречающихся поперечных сечений (рис. 2.6):
 осевые моменты инерции прямоугольного сечения со сторонами b h (рис.
2.6а)
bh3
hb3
Jx 
Jy 
;
;
12
12
 моменты инерции круглого сечения (рис. 2.6б)
d 4
d 4
JP 
J x  J y  0,5 J P 
;
.
32
64
2.4.
Сдвиг и кручение
Касательные напряжения вызывают угловые деформации или сдвиги.
Сдвиг характеризуется искажением угла между двумя взаимно перпендикулярными волокнами, взятом в деформированном теле.
22
Рассмотрим плоский элемент BCDE (рис. 2.7), претерпевший угловые
деформации. Абсолютный сдвиг элементарного отрезка CD относительно
ЕВ, отстоящего на малом расстоянии h, равен а. Обозначим относительный
сдвиг  .
  a h.
Пусть на брус с поперечным сечением F действуют сдвигающие силы
Р (рис. 2.8). Воспользуемся методом сечений. Рассмотрим равновесие части
бруса, расположенной левее сечения m-m. Действие отброшенной его части
заменим внутренними силами с интенсивностью  ZY .
P  ZY  F  0 .
 ZY  P F .
Относительная деформация и напряжение связаны законом Гука
 ZY  G   ,
где G – модуль упругости втоЕ
рого рода. G 
.
21   
Деформация
кручения
происходит при действии на
стержень пар сил, плоскости
действия которых перпендикулярны оси стержня (рис.
2.9).
При деформации круглого стержня поперечные его
сечения остаются плоскими и
поворачиваются вокруг оси Z
на некоторый угол (рис. 2.9б).
1  2  3 . При этом продольные линии на боковой поверхности стержня превращаются в винтовые.
Выделим элемент сдеформированного бруса длиной dz (рис. 2.10а).
23
На его поверхности выделим прямоугольник abcd, испытывающий деaa
формацию сдвига. Абсолютный сдвиг равен аа′, а относительный  
, но
dz
r  d
.
aa  r  d . Следовательно,  
dz
Если прямоугольник выделить внутри бруса, в слое, находящемся на
  d .
расстоянии  от оси z, то  
dz
  d
В соответствии с законом Гука при сдвиге   G    G
.
dz
Касательные напряжения в поперечном сечении изменяются линейно от
нуля в на оси z до  max на поверхности бруса. Чтобы установить зависимость между напряжением и внешней нагрузкой, воспользуемся методом сечения. Условие равновесия части бруса, расположенной слева от рассматриваемого сечения (рис. 2.11):
F
 М      dF  0 .
0
d
d
 dF  0 или  М  G   J p  0 .
0
dz
dz
После преобразований получим
M 

.
Jp
Напряжение имеет максимальное значение при   r , следовательно,
M r M
 max 

,
Jp
Wp
где W p − момент сопротивления сечения кручению. W p  J p r .
M
Угол закручивания стержня на единицу длины  
.
GJp
Если стержень имеет длину l , то максимальный угол закручивания  max
будет определяться следующим образом
M l
 max 
.
GJp
F
 М  G2 
24
2.6. Изгиб
Изгиб – вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня
возникают изгибающие моменты.
Стержень, работающий на изгиб, называют балкой.
Изгиб называют чистым, если под действием внешней нагрузки в поперечных сечениях возникают только изгибающие моменты, а поперечные и
продольные силы отсутствуют. В противном случае изгиб называют поперечным.
2.6.1. Определение внутренних силовых факторов при изгибе
На рис. 2.12а представлен стержень, находящийся
в равновесии под

действием четырех сил, каждая из которых равна Р . Определим внутренние
силовые факторы, действующие в сечении m–m стержня (рис. 2.12б). Если
весом бруса пренебречь, то условия равновесия части стержня, расположенной левее рассматриваемого сечения, имеют вид:
Qy  P  P  0 ;
N  0;
 P  a  z   P  a  M x  0 .
Решение этих уравнений показывает, что поперечная Q y и продольная
N силы равны нулю, а внутренний изгибающий момент M x  Р  a .
25
Изгибающий момент M x в поперечном сечении стержня (балки) равен
алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну
сторону от рассматриваемого сечения.
При определении изгибающих моментов используется следующее правило знаков: если внешняя нагрузка стремиться изогнуть стержень выпуклостью вниз (рис. 2.13а), то изгибающий момент M x считается положительным, а если выпуклостью вверх (рис. 2.13б) – отрицательным.
Таким образом, на участке ВС стержня (рис. 2.12) продольная и поперечная силы равны нулю, а изгибающий момент имеет постоянное значение
и не зависит от положения поперечного сечения. Графики изменения поперечных сил и изгибающих моментов на участке ВС стержня приведены на
рис. 2.14б и в соответственно.
Определим внутренние силовые факторы, действующие в сечении n–n
(рис. 2.12в). Рассмотрим равновесие части стержня, расположенной левее сечения n–n (рис. 2.12в). Условия равновесия этой части стержня:
Qy  P  0 ;
N  0;
 P z  Mx  0.
В результате решения системы уравнений получим:
Qy  P ;
N  0;
Mx  P z .
На участке АВ стержня (и соответственно на участке СD) поперечная
сила Q y постоянна и не зависит от положения сечения.
Поперечная сила численно равна алгебраической сумме всех внешних
сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Если внешняя нагрузка стремиться сдвинуть левую часть стержня
вверх по отношению к правой (или правую вниз по отношению к левой) (рис.
2.13в), то поперечная сила в рассматриваемом сечении считается положительной. В противном случае она отрицательная (рис. 2.13г).
26
Момент изгибающий на участках АВ и СD является линейной функцией координаты z сечения и изменяется от нуля в торцовых сечениях А и D до
максимального значения на границах В и С этих участков. Графики изменения Q y и M x показаны на рис. 2.14б и
2.14в соответственно.
Нетрудно заметить,
что между ними существует определенная зависимость.
Зависимость
между изгибающим
моментом, поперечной силой и внешней
нагрузкой устанавливает теорема Д.И.
Журавского
(18211891), в соответствии
с которой:

поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по координате z сечения стержня;

вторая производная от изгибающего момента или первая производная от поперечной силы по координате z сечения стержня равна интенсивности внешней распределенной нагрузки q. Таким образом
q  dQ y dz  d 2 M x dz 2 .
Qy  dM x dz ;
Эта зависимость широко используется при построении и контроле графиков поперечных сил и изгибающих моментов.
2.6.2. Нормальные напряжения при чистом изгибе
Рассмотрим стержень, имеющий постоянное поперечное сечение прямоугольной формы, и подверженный деформации чистого изгиба (рис. 2.15).
Под действием внешней нагрузки (пар сил с моментом М) стержень изгибается. Его ось принимает форму дуги окружности. При этом верхние слои материала укорачиваются, а нижние удлиняются. В средней по высоте поперечного сечения части стержня есть слой материала N−N, длина которого
при деформации не меняется. Его называют нейтральным. При изгибе поперечные сечения остаются плоскими и нормальными к оси стержня.
Выделим элемент стержня длиной dz. Волокно nn расположено в
нейтральном слое. На расстоянии y0 от него выделим слой mm. До деформации
nn  mm  dz .
27
При деформации сечения ab и a1b1 повернуться друг относительно
друга на угол dφ (рис. 2.15б). Если радиус кривизны нейтрального слоя обозначить ρ, то радиус кривизны слоя mm будет равен   y0 .
После деформации
nn    d ,
а
mm    y0 d .
Абсолютное удлинение слоя mm:
dz  mm  nn    y0 d    d  y0  d .
Относительное его удлинение
dz y0  d y0


 .
dz
  d 
В сечении a1b1 действуют напряжения σz и τzy (рис. 2.15в). Выделим в
этом сечении элементарную площадку dF. Нормальная сила, действующая на
ней, равна σz·dF. Поскольку стержень испытывает чистый изгиб, τzy=0.
Условия равновесия рассматриваемой части стержня:
F
  z dF  0 ;
(2.1)
0
F
 М    z y0 dF  0 .
(2.2)
0
В соответствии с законом Гука  z  E z  E
нение (2.1) принимает вид:
28
y0

. С учетом этого урав-
F
y
0

Е
0
dF  0 .
Отсюда
F
 y0 dF  0 .
0
Статический момент сечения равен нулю относительно оси, проходящей через центр масс сечения. Таким образом, нейтральный слой проходит
через центр масс сечений.
Из (2.2) следует
F
E F 2
М    z ydF 
 y dF ,
0

0
F
где  y 2 dF  J x .
0
В результате получим
М
E

J x или
М
z
y
Jx .
Выразим σz.
z 
My
.
Jx
(2.3)
Формула (2.3) показывает, что нормальные напряжения в поперечном
сечении непостоянны. Их величина изменяется от максимального значения в
поверхностном слое материала до нуля в нейтральном слое. График изменения σz в поперечном сечении приведен на рис. 2.16.
Обозначим Wx  J x y . Wx – момент сопротивления сечения изгибу.
Формула (2.3) принимает вид
z 
M
.
Wx
(2.4)
Если поперечное сечение круглое (рис. 2.6б), Wx  d 3 32  0,1d 3 . При
прямоугольной форме поперечного сечения (рис. 2.6а) Wx  bh2 6 .
2.6.3. Касательные напряжения
при изгибе
В поперечных сечениях стержня
(балки) при поперечном изгибе возникают не только нормальные, но и касательные напряжения, вызывающие деформации сдвига. В соответствии с законом парности касательные напряжения возникают и в продольных сечениях, параллельных нейтральному слою. Это подтверждается появлениям в деревянных балках при поперечном изгибе продольных трещин.
29
Касательные напряжения при изгибе определяются по формуле Д.И.
Журавского (формула выведена в 1855 году).
Формула Журавского:
касательные напряжения в поперечном сечении балки (рис. 2.17а) равны произведению поперечной силы Qy на статический момент SX относительно нейтральной оси части сечения, лежащей выше рассматриваемого
слоя волокон, деленному на момент инерции JX всего сечения относительно
нейтральной оси и на ширину b рассматриваемого слоя материала.
Q S
 yz  y X ,
(2.5)
J X b
где  yz – касательные напряжения в слое а–а рассматриваемого поперечного
сечения.
Формула (2.5) показывает, что в поверхностных слоях  yz  0 . Максимальной величины они достигают на нейтральном слое. В поперечном сечении касательные напряжения изменяются по закону квадратной параболы
(рис. 2.17б).
В расчетной практике прочность балок, как правило, оценивают по величине нормальных напряжений. Только три вида балок проверяют на прочность по касательным напряжениям: деревянные балки, узкие (двутавровые),
короткие.
2.7. Теории прочности
Механическое состояние тела определяется напряжениями, возникающими при его нагружении. При малой величине внешних сил материал деформируется упруго, а при увеличении нагрузки в нем появляются необратимые пластические деформации. Последние увеличиваются по мере роста
нагрузок. Пластические деформации характерны для материалов, к которым
относятся большинство сталей.
Состояние, при котором внутренние изменения в материале приводят к
его разрушению, называют предельным напряженным состоянием (предельным напряжением). Предельное напряженное состояние хрупких материалов
30
соответствует началу их разрушения, а пластических – возникновению пластических деформаций. Заключение о прочности любой конструкции делают
на основании сравнения максимальных напряжений, которые могут возникнуть в наиболее опасной точке, и предельно допустимых для данного материала. Чем ниже уровень фактических напряжений по сравнению с предельным, тем выше прочность детали.
Для количественной оценки прочности используют понятие запаса
прочности.
Коэффициент запаса прочности (n) – число, показывающее во сколько
раз надо увеличить параметры напряженного состояния, чтобы оно стало
предельным.
Два разнотиповых напряженных состояния считаются равнопрочными,
если имеют равную вероятность статического разрушения.
При выполнении практических расчетов фактическое напряженное состояние тела сравнивают с одноосным растяжением (сжатием), поскольку
этот вид напряженного состояния является наиболее простым и доступным.
Напряжение растяжения, которое вызывает в образце такую же вероятность
разрушения материала, что и фактическое напряженное состояние, называют
эквивалентным. Наиболее опасна такая точка элемента конструкции, в которой эквивалентное напряжение достигает максимального значения.
Условия прочности:

для хрупких материалов –  экв  в ;
n

для пластичных материалов –  экв  Т .
n
Однозначно сформулировать критерии прочности не удается. В настоящее время существует пять теорий прочности. Они дополняют друг друга и
могут быть применены для различных материалов и условий.
Гипотеза наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности), предлагающая в качестве критерия предельного состояния наибольшее
нормальное напряжение (два других при этом не учитываются). Практическая проверка не подтвердила этой гипотезы.
Гипотеза наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности) предлагает в качестве критерия прочности наибольшую линейную деформацию. Разрыв материала – результат нарушения межмолекулярных сил
сцепления, являющихся следствием увеличения расстояния между молекулами.
Эта теория прочности получила довольно широкое распространение, но
детальная проверка выявила ряд существенных недостатков. В настоящее
время первая и вторая теории прочности не применяются.
Гипотеза наибольших касательных напряжений (третья теория прочности) предложена в конце XVIII века. Согласно этой гипотезе опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения достигают предельной величины. Эквивалентные напряжения вычисляются по формуле Геста:
31
 экв   2  4 2 .
(2.6)
Формула (2.6) получила практическое подтверждение и используется
для оценки прочности деталей из пластичных материалов.
Гипотеза Мора (четвертая теория прочности) предложена в конце XIX
века и является разновидностью третьей теории.
1 k
1 k
(2.7)
 экв 

 2  4 2 ,
2
2
 p
где k 
.
 сж
При  р   сж формула (2.7) преобразуется в формулу (2.6). Теория универсальна, пригодна для хрупких и пластичных материалов.
Энергетическая гипотеза (пятая теория прочности). При деформации
тела изменяются его форма и объем. Таким образом полная потенциальная
энергия деформации складывается из энергии формоизменения и энергии
изменения объема. Рассматриваемая теория предлагает в качестве критерия
энергию формоизменения. Опасное состояние материала в данной точке
наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения для
этой точки достигает предельной величины.
 экв   2  3 2 .
(2.8)
Эта теория получила практическое подтверждение и используется при
расчете пластичных материалов.
2.8. Упругая линия балки
Изогнутую под действием внешней нагрузки ось балки называют упругой линией. Деформация балки при изгибе характеризуется прогибом y и углом поворота φ сечения. Уравнения прогибов и углов поворота сечений в
общем виде можно записать так:
y  y(z) ;    (z) ,
причем φ и y связаны дифференциальной зависимостью.
dy
 .
dz
Радиус кривизны ρ кривой y  y(z) в любой точке определяется по формуле

  dy  2 
1    
  dz  

2
32
.
(2.9)
d y
dz2
В виду малости деформаций величиной dy dz 2 можно пренебречь, тогда
формула (2.9) преобразуется к виду
32

1
d2y
dz 2
или
1


d2y
.
dz 2
Ранее было установлено, что
1


M
x . С учетом этого уравнение
EJ
x
упругой линии балки принимает вид
d2y
(2.10)
EJ x 2  M x ,
dx
где E – модуль упругости материала балки; Jx – осевой момент инерции сечения.
Уравнение (2.10) – уравнение упругой линии балки. Формулы для расчета
перемещений и углов поворота сечений получают интегрированием уравнения (2.10) при заданных нагрузках и граничных условиях в местах закрепления балки. Уравнение (2.10) составляется для всех n участков. При их интегрировании определяются постоянные интегрирования по условиям плавности и непрерывности упругой линии балки (стержня) и условиям закрепления
последней.
Решение задачи значительно упрощается, если использовать универсальное уравнение упругой линии балки. Для балки постоянного сечения, нагруженной всеми основными типами внешней нагрузки (рис. 2.18), обобщенное
уравнение прогибов имеет вид:
z  a 2 //  P z  b3 // 
EJ x y z   EJ x y 0  EJ x 0z //1  M
2
3
2
6
(2.11)


z  c 4
z  d 4
q
// 4  q
// 5 .
24
24
Обобщенное уравнение углов поворота сечений:
z  b2 // 
EJ x z   EJ x 0 //1  M z  a  // 2  P
3
2
(2.12)


z  c 3
z  d 3
q
// 4  q
// 5 .
6
6
В уравнениях (2.11) и
(2.12) y(0) и φ(0) – прогибы
и углы поворота сечений в
начале координат, при z =
0, а две наклонные черты с
индексом – знаки прерывателя. Индекс знака прерывателя показывает, что для
определения прогиба (или
угла поворота сечения) на
участке, соответствующем
данному индексу, следует использовать часть уравнения, расположенную
33
слева от этого знака прерывателя. Если распределенная нагрузка q действует
только на участке CD (рис. 2.19), а на участке DE она равна нулю, то при составлении уравнений (2.11) и (2.12) для участка DE слагаемое, содержащее
нагрузку q сохраняется и добавляется слагаемое от нагрузки – q. Так для балки, изображенной на рис. 2.19, обобщенные уравнения перемещений и углов
поворота сечений имеют вид:
z3
z  a 4 //  q z  b4 // ;
EJ x y z   EJ x y 0  EJ x 0z  R
//

q
2
3
A 6 1
24
24



z  b2
z  a 3
z  b3
EJ x z   EJ x 0  R A
//1  q
// 2  q
// 3 ,
2
6
6
где
и
реакции
опор.
RA
RB
RA  RB  0,5qb  a  .
Следует отметить, что первый участок –
АВ, второй – AC, третий – AD.
3. КИНЕМАТИКА
Кинематика – раздел механики, изучающий движение с геометрической точки зрения, без учета сил, вызывающих это движение.
Кинематические расчеты выполняются для изучения движения. В зависимости от поставленной задачи могут быть определены перемещения,
траектории, скорости и ускорения тел и точек.
В механике движение – изменение положения тела с течением времени по отношению к другим телам. Система координат, связанная с телом, по
отношению к которой рассматривается изучаемое движение, называется системой отсчета. Движение тела известно, если в любой момент времени
можно определить его положение относительно выбранной системы координат.
3.1. Кинематика точки
Существует три способа задания движения точки: векторный; координатный; естественный.
При векторном способе положение точки в пространстве определяется ее радиусом–вектором (рис. 3.1).

При движении точки радиус-вектор r
изменяется по величине и направлению.
Уравнение движения точки:
 
r  r t  .
34

Радиус-вектор r можно определить через координаты точки x , y , z .




r  x i  y  j  z k ,
  
где i , j , k – орты координатных осей.

Скорость V точки – вектор, определяющий быстроту и направление
ее движения. 
 dr
V .
dt

Вектор скорости V направлен по касательной к траектории движения точки (рис. 3.1).

Ускорение а характеризует изменение скорости по величине и
направлению.
 dV
.
a
dt
Ускорение направлено по касательной к годографу скорости (рис. 3.2).
При координатном способе положение точки задается ее координатами (рис. 3.1): x  xt  ; y  yt  ; z  zt .
Скорость и ускорение определяются через их проекции на оси координат.
Проекции скорости на оси координат:
dx
dy
dz
Vx  ; V y  ; V z  .
dt
dt
dt
Модуль и направление скорости определяются следующим образом:
 
 
 
V  Vx2  V y2  Vz2 , сos V , X  Vx V ; сos V , Y  V y V ; сos V , Z  Vz V .

 

 
Проекции ускорения на оси координат:
dV
dV
dV
аx  x ; а y  y ; а z  z .
dt
dt
dt
Модуль и направление ускорения:
 
 
 
а  аx2  а 2y  аz2 , сos а, X  аx а ; сos а, Y  а y а ; сos а, Z  а z а .
 
 
35
 
При естественном способе для задания движения точки надо знать:
ее траекторию, начало отсчета, направление положительного и отрицательного перемещения (рис. 3.3). Перемещение задается криволинейной координатой
S  S t  .
Скорость точки: V 
dS
.
dt
Вектор скорости направлен по
касательной к траектории в сторону движения.

Ускорение а раскладывается на составляю-щие: нормаль

ное а n и танген-циальное а

ускорения. Нормальное ускорение а n характеризует изменение скорости по
направлению, направлено по нормали к траектории движения точки. Его величина определяется по формуле
an  V 2  ,
где  – радиус кривизны траектории.

Тангенциальное ускорение а характеризует изменение скорости по
величине, направлено по касательной к траектории движения точки. Величи
на а определяется следующим образом:
dV
.
a 
dt
Если скорость постоянна, движение точки равномерное и a  0 .
Если скорость и тангенциальное ускорение совпадают по направлению, то движение ускоренное, не совпадают – замедленное.
3.2. Кинематика твердого тела
Виды движения тела в плоскости: поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси, плоскопараллельное.
При поступательном движении тела прямая, связывающая любые
две точки тела, остается параллельной самой себе. При поступательном
движении тела перемещения, скорости и ускорения всех его точек равны.
Вращение вокруг неподвижной оси – такое движение твердого тела,
при котором все его точки перемещаются в плоскостях, перпендикулярных
оси вращения, по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.
Чтобы реализовать такое движение ось тела 1 установим в подшипник А и
подпятник В (рис. 3.4а). Свяжем с телом плоскость Р (рис. 3.4а) . При повороте тела плоскость переходит в положение Н. Угол  между плоскостями Р
и Н – угол поворота тела. Чтобы задать движение тела, надо задать функцию
   t  .
36
Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота тела
 – угловая скорость  .

d
.
dt
Величина, характеризующая быстроту изменения скорости – угловое
ускорение  .
d
.

dt
Кинематические характеристики точки М тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси:
S   R ;
dS
d
V
R
  t ;
dt
dt
dV d
d
a n  V 2 R ; a 
 R    R
 R  .
dt dt
dt
  
a  a n  a ;
a
an 2  a 2 .
Плоскопараллельное
–
такое движение твердого тела,
при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной
плоскости. Примером такого
движения является движение
шатуна
кривошипноползунного,
кривошипнокоромыслового механизмов.
Рассмотрим два последовательных положения твердо37
го тела, совершающего плоскопараллельное движение (рис. 3.5). Положение
тела в плоскости определяется положением отрезка, соединяющего две его
точки. Пусть это будут точки А и В. Перемещение тела из положения А1В1 в
положение А2В2 можно представить в виде суммы двух простых движений:
поступательного до положения А2 В2 , называемого переносным, и вращательного (относительного) до положения А2В2. В относительном движении
точка А неподвижна, тело поворачивается на угол  . Точку А называют
полюсом. В качестве полюса можно принять любую другую точку тела,
например, точку В. В этом случае движение тела складывается из двух простых движений: переносного поступательного до положения В2 А2 и относительного вращательного движения вокруг мгновенно неподвижной точки В2
(до положения А2В2). Как правило в качестве полюса принимается точка, кинематические характеристики которой известны. Следует отметить, что переносное движение может быть поступательным и вращательным; относительное – как поступательным так и вращательным.
При переносном поступательном и относительном вращательном
движениях скорости и ускорения двух точек А и В тела связаны следующим
образом:



VB  V A  VBA ,
(3.1)
где VAB    l AB .

  n 
aB  a A  aBA
 aBA ,
(3.2)
n
2
 VBA
l AB ; aBA   l AB .
где aBA
При выполнении практических расчетов векторные уравнения (3.1) и
(3.2) решаются графически.
Графическое решение векторного уравнения называют планом. План
скоростей – графическое решение уравнения (3.1), план ускорений – уравнения (3.2).
Свойства планов скоростей:
 Полюс pV плана скоростей − единственная точка, скорость которой равна нулю.
 Вектора абсолютных скоростей выходят из полюса.
 Вектора относительных скоростей проходят через концы векторов
абсолютных скоростей.
 План скоростей обладает свойством подобия.
Такие же свойства имеет план ускорений.
Рассмотрим пример расчета скоростей. Пусть тело АВС совершает
плоскопараллельное движение (рис. 3.6а). Известны скорость точки А и траектория t - t движения точки В. Требуется определить скорости точек В и С.
Скорости точек А и В связаны следующим уравнением
  
VB  V A  VBA .
(3.3)

Вектор V A (скорость переносного движения) известен по величине и

направлению. Вектор VBA (вектор относительной скорости) направлен перпен38
дикулярно АВ, поскольку в относительном движении тело вращается вокруг
мгновенно неподвижной точки А. Абсолютная скорость точки В направлено
параллельно t-t. Решим уравнение (3.3) графически. Для этого из произвольно

выбранной точки pV (рис. 3.6б) проведем линию действия вектора V A и в масштабе изобразим его в виде отрезка pV a . Из точки а плана проведем линию

действия вектора VBA , а из полюса pV − линию, параллельную t-t. Точка их
пересечения это и есть искомая точка b плана скоростей. Отрезок pV b в выбранном масштабе изображает скорость точки В.
Для определения скорости точки С тела воспользуемся свойством подобия
плана скоростей. Для этого на отрезке ab плана построим треугольник abс ,
подобный треугольнику АВС. Отрезок pV с в выбранном масштабе изображает скорость точки С.
Если переносное движение вращательное, а относительное поступательное,
то скорости и ускорения связаны следующим образом:
  
VB  V A  VBA ,
  к r
аB  а A  аВА
 аВА ,
к
к
где аВА − Кориолисово ускорение. аВА
 2перVBA .

к
Направление аВА
определяют поворотом VBA на угол 90о в направлении переносной угловой скорости пер .
Мгновенный центр скоростей. При всяком
движении тела, кроме поступательного, всегда
можно найти точку тела, скорость которой равна
нулю. Такая точка называется мгновенным центром скоростей.
Пусть скорость некоторой точки А плоской

фигуры − V A . Фигура вращается с угловой скоро . Восстановим из точки А перпендикуляр
стью

к V A так, чтобы угол 90о отсчитывался в направле39
нии вращения. На этом перпендикуляре отложим отрезок АР, равный VA  .
Примем точку А за полюс, тогда

 
VP  VA  VPA ,
V
где VPA    AB    A  VA .


Скорость точки Р = 0, поскольку скорости V A и VPA равны по величине и
противоположны по направлению.
Если известны направления скоростей двух точек плоской фигуры, то
мгновенный центр скоростей определить просто. Достаточно из этих точек
провести перпендикуляры к линиям их действия. Мгновенный центр скоростей
находится на пересечении этих перпендикуляров.
Зная положение мгновенного центра скоростей и скорость одной точки легко определить скорость любой другой точки.
  VA PA ; VB    PB .
Возможны случаи, когда скорости двух
точек тела параллельны.
Если вектора скоростей точек, не лежащих
на одной прямой, параллельны и точка их пересечения находится в бесконечности, то тело
совершает поступательное движение и скорости всех его точек равны.
Если вектора скоростей параллельны и
точки лежат на одной прямой (рис. 3.9), то мгновенный центр скоростей определяется как точка пересечения прямой АВ и прямой, соединяющей концы
векторов скоростей.
3.3. Кинематический анализ механизмов
3.3.1. Структура механизмов
Деталь – неделимая часть механизма.
40
Звено – деталь или несколько деталей, жестко связанных между собой. Неподвижное звено называют стойкой.
Кинематическая пара – соединение двух звеньев, допускающее их относительное перемещение.
Поверхности, линии, точки, по которым осуществляется контакт звеньев,
называют элементами кинематических пар. По этому критерию кинематические
пары делят на высшие и низшие. Элементами высших пар являются линия или
точка, а низших – поверхность.
По количеству ограничений, налагаемых на относительное движение звеньев, пары делят на классы. Примеры пар разного класса приведены на рис. 3.10.
Кинематическая цепь – связанная система звеньев, входящих в кинематические пары. Цепи бывают плоские и пространственные, простые и сложные,
разомкнутые (открытые) и замкнутые. Примеры приведены на рис. 3.11.
Механизм – кинематическая цепь с одним неподвижным звеном, называемым стойкой, совершающая определенное и целесообразное движение.
Одна из характеристик механизма – подвижность.
Подвижность (W) показывает сколько независимых движений надо сообщить механизму, чтобы обеспечить определенность движения его звеньев.
Подвижность плоского механизма вычисляется по формуле
W  3n  2 p5  p4 ,
где n - количество подвижных звеньев; p5 , p4 - количество пар пятого и четвертого классов соответственно.
41
Примеры определения подвижности механизмов.
На рис. 3.12а изображена кинематическая схема кривошипно-ползунного
механизма. Механизм имеет три подвижных звена (1 − кривошип; 2 − шатун; 3
− ползун) и четыре кинематические пары пятого класса, соединяющие стойку с
кривошипом (О), кривошип с шатуном (А), шатун с ползуном (В), ползун со
стойкой (В). Подвижность этого механизма:
W  3n  2 p5  p4  3 3  2  4  1 .
Рассмотрим механизм, кинематическая схема которого приведена на рис.
3.12б. Он состоит из шести звеньев: стойки; кривошипа ОА; шатунов АВС и СD;
коромысла DЕ. Механизм имеет семь кинематических пар пятого класса, соединяющие стойку с кривошипом (О), кривошип с шатуном 2 (А), шатун с
ползуном (В), ползун со стойкой (В), шатун 2 с шатуном 4 (С), шатун 4 с коромыслом (D), коромысло со стойкой (Е). Подвижность этого механизма:
W  3n  2 p5  p4  3  5  2  7  1.
При расчете подвижности надо учитывать пассивные связи и лишние степени свободы. Пассивными называют связи и лишними степени свободы, которые не влияют на работу механизма. На рис. 3.13а приведена кинематическая
схема механизма параллелограмма, кинематические размеры которого соотносятся следующим образом: ОА = ВС; АВ = ОС. При повороте кривошипа ОА на
некоторый угол кривошип ВС поворачивается в ту же сторону на такой же угол.
При этом звено АВ перемещается параллельно самому себе. Механизм работает
как механизм параллелограмма. Однако в определенный момент времени он
вырождается в механизм антипараллелограмма. Проявляется это следующим
образом: кривошип ВС начинает вращаться в направлении, противоположном
вращению звена ОА.
Чтобы обеспечить устойчивость работы механизма, необходимо установить
звено 4 (рис. 3.13б). При этом должны соблюдаться следующие условия:
OD  DA  BE  EC ; AB  DE  OC .
Определим подвижность механизма, представленного на рис. 3.13б.
W  3n  2 p5  p4  3 4  2  6  0 .
Подвижность равна нулю, но механизм работает. Пассивной связью является звено DE. Если ее исключить, то подвижность станет равной
W  3n  2 p5  p4  3 3  2  4  1 ,
что соответствует действительности.
42
На рис. 3.13в показана кинематическая схема кулачкового механизма, состоящего из стойки 0, кулачка 1, толкателя 3 и ролика 2. Определим подвижность механизма. Он имеет три подвижных звена (кулачок, толкатель и ролик),
три пары пятого класса (О, А и С) и пару четвертого класса В.
W  3n  2 p5  p4  3  3  2  3 1  2 .
Поскольку подвижность получилась равной 2, механизм должен иметь два
ведущих звена. Как правило, ведущим звеном в кулачковом механизме является
кулачок, а ведомым толкатель. Ролик же используется для уменьшения трения в
высшей паре. Таким образом, ролик дает лишнюю степень свободы, не влияя на
закон движения толкателя. Если его жестко соединить с толкателем, то подвижность механизма уменьшится. W  3n  2 p5  p4  3 2  2  2 1  1.
Основной принцип образования плоских механизмов. Любой механизм
можно представить как совокупность простейших кинематических цепей, одна
из которых имеет подвижность, равную подвижности всего механизма, а
остальные подвижность, равную нулю. Цепь с подвижностью, равной подвижности механизма, называют исходным механизмом, а цепи с нулевой подвижностью – структурными группами или группами Ассура.
Структурная группа – простейшая кинематическая цепь, содержащая пары только пятого класса, и теряющая после присоединения свободными элементами к стойке столько степеней свободы, сколько имела до присоединения.
3
Условие существования структурной группы p5  n .
2
Структурная группа имеет класс и порядок. Класс структурной группы
определяется количеством кинематических пар в наиболее сложной замкнутом
контуре, а порядок – количеством пар, которые группа может использовать для
присоединения. Примеры структурных групп приведены на рис. 3.14. На рис.
3.14а-д показаны группы II класса, 2 порядка, на рис. 3.14е – группа III класса 3
порядка, на рис. 3.14ж – группа IV класса 2 порядка.
43
3.3.2. Кинематический расчет механизмов методом планов
Цель кинематического анализа – изучение движения звеньев механизма.
Задачи кинематического анализа: определение перемещений, скоростей и
ускорений звеньев и точек звеньев.
Методы кинематического анализа:
 графический или метод кинематических диаграмм;
 графоаналитический (метод планов);
 аналитический;
 экспериментальный.
Графический метод прост, нагляден, но обеспечивает низкую точность
получаемых результатов.
Метод планов получил широкое применение в инженерной практике. Он
отличается простотой, наглядностью и дает достаточную для инженерных расчетов точность получаемых результатов.
Аналитические методы отличаются точностью и ложностью расчетных
моделей.
Экспериментальные методы позволяют учесть реальные условия работы
механизмов, но сложны в реализации.
Кинематический расчет рычажных механизмов методом планов
Расчет начинают с исходного механизма, затем выполняется расчет структурных групп в порядке их присоединения к исходному механизму.
44
Познакомимся с методом расчета на примере кривошипно-ползунного
механизма, кинематическая схема которого в заданном положении приведена на
рис. 3.15а. Пусть кривошип вращается с постоянной угловой скоростью
1  100 рад с . Длины звеньев: lOA  0,05 м ; l AВ  0,2 м ; l AS2  0,07 м . Надо определить: скорости шарнира А, ползуна В и центра масс S2 шатуна АВ; угловую
скорость  2 шатуна; ускорения шарнира А, ползуна В и центра масс S2 шатуна
АВ, угловое ускорение  2 шатуна.
Расчет скоростей начнем с определения скорости VA точки А кривошипа.

Вектор V A направлен перпендикулярно кривошипу ОА в сторону вращения.
Модуль скорости точки А вычисляется по формуле
VA  1  lOA .
При заданных значениях ω1 и lOA
VA  100  0,05  5 м с .
Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение. Скорости его точек
А и В связаны следующим образом:

 
VB  VA  VBA ,
(3.4)


где V A – переносная скорость, известная по величине и направлению; V AВ –
скорость относительная.
В относительном движении шатун вращается вокруг мгновенно неподвижной точки А. В связи с этим, линия действия вектора относительной скорости направлена перпендикулярно шатуну в заданном его положении. Линия

действия вектора VВ параллельна направляющей ползуна В. Таким образом,
уравнение (3.4) содержит 2 неизвестных. Решим его графически путем построения плана скоростей (рис. 3.15б). Масштабный коэффициент v плана скоростей:
45
VA
,
pv a
где VA – модуль скорости точки А, м/с; pv a – отрезок, которым эта скорость
изображается на чертеже, мм.
м
Размерность масштабного коэффициента v –
.
с  мм
Для определения скорости точки S2 воспользуемся методом подобия.
АS 2 as2
,

AB ab
где ab – отрезок, изображающий на плане скоростей относительную скорость

V BA , мм.
AS
Отсюда as2  ab  2 .
AB
Из точки «а» плана скоростей откладываем отрезок as2 и точку s2 соединяем с полюсом. Отрезок pv s2 изображает на плане скоростей скорость центра
масс шатуна.
Расчет модулей скоростей:
2  VBA lBA .
VS2  pv s2  v ; VB  pvb  v ; VBА  аb  v ;
v 
Расчет ускорений начинаем с определения ускорения точки А кривошипа.
а A   А2  lOA  100 2  0,05  500 м/с2.
Ускорения точек А и В шатуна связаны следующим образом:

  n 
aB  a A  aBA
 aBA .
(3.5)

Вектор a A направлен параллельно кривошипу. Вектор нормальной составляюn
щей aBA
относительного ускорения направлен параллельно шатуну, а линия

n
2
 VBA
lBA .
действия вектора aBA перпендикулярно АВ. Причем aBA
Решаем уравнение (3.5) графически. Его решение приведено на рис.
3.15в.
Масштабный коэффициент плана ускорений
а
а  A ,
pа a

где a A – модуль ускорения точки А, м/с2; pа a – отрезок, изображающий ускорение точки А на плане ускорений, мм.
м
Размерность масштабного коэффициента  a –
.
с  мм
n
Отрезок an, изображающий на плане ускорений aBA
, определяется следующим образом:
n
an  aBA
a .
Ускорение центра масс шатуна определяем методом подобия.
Расчет величин ускорений:

aBA  nb   a ; aB  pBb  a ; aBA  ab  a ; aS2  pa s2  a ;  2  aBA l AB .
46
Аналитические методы кинематического анализа механизмов
Метод векторных замкнутых контуров. Рассмотрим суть этого метода
на примере кривошипно-кулисного
механизма, кинематическая схема которого приведена на рис. 3.16а. Известны: угол поворота кривошипа  ,
все кинематические размеры ( lOA ,
lOB ), угловая скорость 1 кривошипа.
Требуется определить перемещение,
скорость и ускорение точки А3, угловые скорость и ускорение кулисы.
Представим механизм в виде замкнутого векторного контура (рис. 3.16б).
Вектора направляем вдоль звеньев из
одной кинематической пары в другую. Связь между векторами описывается уравнением
  
l0  l1  l3 .
(3.6)
Запишем уравнение (3.6) в виде проекций на оси координат.
l1 cos  l3 cos ,
(3.7)
l0  l1 sin   l3 sin .
Решим систему уравнений (3.7)
l  l sin 
cos
l3  l1
,
.
tg  0 1
cos
l1 cos
Скорости и ускорения определяются следующим образом:
dl
dV
d
d
;
VA3  3 ;
a A3  A3 ;
3 
3  3 .
dt
dt
dt
dt
Метод преобразования координат. Этот метод используется при кинематическом анализе рычажных механизмов и механизмов с
высшими парами. Суть его
поясним на конкретном
примере (рис. 3.17). Надо
определить скорость и ускорение точки К звена 2.
Для этого определим
координаты X 0 и Y0 этой
47
точки в неподвижной системе координат X 0OY0 и вычислим скорость и
ускорение через их проекции.
С каждым подвижным звеном свяжем подвижную систему координат
(как показано на рис. 3.17). Пусть координаты точки К в системе координат
X 2 АY2 заданы. Тогда координаты этой точки в системе координат, связанной
с первым звеном, определяются следующим образом:
X1  X 2 cos2  Y2 sin 2  lOA ,
Y1  X 2 sin 2  Y2 cos2 ,
где lOA − длина звена 1.
В неподвижной системе координат
X 0  X1 cos1  Y1 sin 1 ,
Y0  X 1 sin 1  Y1 cos1 .
После подстановки значений X 1 и Y1 получим
X 0  X 2 cos2  Y2 sin 2  lOA cos1  X 2 sin 2  Y2 cos2 sin 1 ,
Y0  X 2 cos2  Y2 sin 2  lOA sin 1  X 2 sin 2  Y2 cos2 cos1 .
Проекции V XK и VYK скорости точки К на оси координат:
dX
dY
VXK  0 ; VYK  0 .
dt
dt


2
VK  V XK
 VYK2 ; cosVX   V XK V ; cosVY   VYK V
Проекции а XK и аYK ускорения точки К на оси координат:
dV
dV
аXK  XK ; аYK  YK .
dt
dt


2
2
a K  a XK  aYK ; cosaX   a XK a ; cosaY   aYK a .
3.3.4. Кинематический анализ зубчатых механизмов
Задача кинематического анализа зубчатых механизмов − определение
угловой скорости выходного звена механизма или его передаточного отношения.
Передаточное отношение механизма − отношение угловых скоростей
ведущего и ведомого звеньев.
Обозначим передаточное отношение как i12 . В этом обозначении 1 и 2 −
номера ведущего и ведомого звеньев соответственно.
i12  1 2 или i21  2 1 .
Связь между кинематическими и геометрическими характеристиками
механизма устанавливает основной закон зацепления.
Нормаль к контактирующим поверхностям делит межосевое расстояние на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям.
Докажем это. Рассмотрим зацепление двух зубьев (рис. 3.18). Через точку К контакта профилей    и    проведем нормаль N  N . Обозна-
48


чим скорости точек контакта первого и второго зубьев V1 и V2 соответственно. Модули скоростей:
V1  1R1 ; V2  2 R2 ,
где 1 и  2 − угловые скорости звеньев; R1 и R2 − радиусы.
Условие нормальной работы зацепления − равенство проекций скоро

стей V1 и V2 на нормаль.
(3.8)
V1  cos 1 = V2  сos 2 или 1R1  cos 1 = 2 R2  сos 2 .
Рассмотрим прямоугольные треугольники О1КА и О2КВ. R1  cos 1  О1 А .
R2  сos 2  ВО2 .
Преобразуем уравнение (3.8) к
виду
1  О1 А  2  О2 В
или
1 О 2 В
.

2 О1 А
Поскольку треугольники О1АП
ОВ ОП
и О2ВП подобны, 2  2 .
О1 А О1 П
 ОП
Следовательно 1  2 .
2 О1 П
Но отношение угловых скоростей 1 и  2 есть передаточное
отношение. В связи с этим
 ОП
i12  1  2 .
2 О1 П
49
Точка пересечения нормали и межосевой линии называется полюсом
зацепления. Если полюс занимает неизменное положение на межосевой линии, то передаточное отношение постоянно.
Виды зубчатых механизмов.
Зубчатые механизмы преобразуют вращательное движение во вращательное (рис. 3.19а); вращательное в возвратно-поступательное; возвратнопоступательное во вращательное (рис. 3.19б).
Зубчатые механизмы делят на простые и сложные, механизмы с неподвижными и подвижными осями колес.
Простая зубчатая передача − трехзвенный механизм, состоящий из стойки и двух зубчатых колес. Различают передачи с внешним и внутренним зацеплением колес (рис. 3.19а, 3.20а). Сложные механизмы с неподвижными
осями колес подразделяют на рядовые (рис.3.20б) и ступенчатые (рис. 3.20в).
Зубчатые колеса, не влияющие на передаточное отношение, называют паразитными. В рядовом механизме, кинематическая схема которого приведена на
рис. 3.20б, колесо 2 является паразитным.
Механизмы с подвижными осями колес (рис. 3.21) называют эпициклическими. В зависимости от подвижности их делят на планетарные и дифференциальные.
Подвижность планетарного механизма
равна 1, а с подвижностью, дифференциального − 2.
Кинематический расчет зубчатых механизмов.
50
В соответствии с основным законом зацепления передаточное отношение i12 механизма, представленного на рис. 3.19а, можно определить следующим образом
(3.9)
i12  1 2   r2 r1 ,
где r1 и r2 − радиусы начальных окружностей колес.
Знак минус в формуле (3.9) говорит о том, что при передаче движения
изменяется направление вращения. Если выразить радиусы r1 и r2 выразить
через основные параметры колес, то формулу (3.9) можно привести к виду
i12  1 2   z2 z1 ,
где z1 и z 2 − числа зубьев колес.
Для передачи с внутренним зацеплением колес (рис. 3.20а) формула передаточного отношения имеет вид:
i12  1 2  z2 z1 .
В этой передаче ведущее и ведомое колеса вращаются в одну сторону.
Передаточное отношение рядового механизма, состоящего из n колес,
определяется по формуле
(3.10)
i1n  1 n  1k zn z1 ,
где 1 и n − номера ведущего и ведомого колес; k − количество пар с внешним зацеплением.
Формула для расчета передаточного отношения ступенчатого механизма имеет вид
Пz
i1n  1 n  1k ведом ых ,
(3.11)
Пzведущих
где Пzведомых − произведение чисел зубьев ведомых колес; Пz ведущих − произведение чисел зубьев ведущих колес.
В основе кинематического анализа эпициклических механизмов лежит
метод Виллиса. Суть его состоит в следующем. Чтобы определить угловую
скорость ведомого звена эпициклического механизма, надо остановить водило. Для этого всему механизму, включая стойку, мысленно сообщают дополнительное вращение с угловой скоростью  Н . В результате сложения
действительного и дополнительного движений водило, останавливается, а
угловые скорости остальных звеньев механизма изменяются на  Н . При
этом механизм преобразуется в механизм с неподвижными осями колес, для
которого можно составить формулу передаточного отношения.
Пример 1. Надо определить угловую скорость колеса 3 рядового механизма, кинематическая схема которого дана на рис. 3.20б. Пусть 1  100 1/с,
z1 = 20; z2 = 30; z3 = 40.
Решение:
Для вычисления  2 воспользуемся формулой (3.10).
i13  1 3  12 z3 z1 .
Выразим 3 .
51
3  1  z1 z2  100  20 40  50 1/с.
Пример 2. Определим угловую скорость колеса 4 ступенчатого механизма (рис. 3.20в). Пусть 1  100 1/с, z1 = 20; z 2 = 30; z3 = 20; z 4 = 40.
Решение:
Воспользуемся формулой (3.11).
z z
i14  1 4  11 2 4 .
z1  z3
Выразим  4 .
z z
20  20
4  1  1 3  100 
 33,3 1/с.
z2  z4
30  40
Пример 3. Определить угловую скорость  Н водила планетарного механизма (рис. 3.21). Если 1  100 1/с, z1 = 30; z 2 = 20; z3 = 70.
Решение:
В соответствии с методом Виллиса сообщим механизму дополнительное
вращение с угловой скоростью  Н . Скорости звеньев механизма приведены в таблице 3.1, а кинематическая схема преобразованного механизма − на
рис. 3.22.
Таблица 3.1
№
звена
1
2
3
Н
 действитель-  преобразованного механизма
1
2
0
Н
ного механизма
1  Н
2  Н
 Н
0
После остановки водила механизм
из эпициклического превращается в рядовой. Запишем для него формулу передаточного отношения
z
  Н
i13 Н   1
 11 3 .
 Н
z1
52
H 
Верхний индекс в обозначении передаточного отношения i 13
− номер
неподвижного звена. После преобразования формула для определения угловой скорости
водила принимает вид
Н 
1
.
1  z 3 z1
100
Н 
 30 1/с.
1  70 30
Пример 4. Определить угловую скорость Н водила сложного эпициклического механизма (рис. 3.23). Если 1  100 1/с, z1 = 30; z 2 = 20; z2 = 15;
z3 = 35; z 4 = 50; z5 = 20; z5 = 15; z6 = 45.
Решение:
Разделим механизм на составные части I и II, каждая из которых представляет собой простой эпициклический механизм. Для каждой из этих частей составим формулу передаточного отношения, для чего воспользуемся
методом Виллиса.
z z
  Н 1
(3.12)
i13Н 1  1
 12 2 3 ;
 Н 1
z1  z2
z z
 Н  4   Н
(3.13)
i46

 5 6.
 Н
z4  z5
Уравнения (3.12) и (3.13) решим совместно, учитывая, что Н 1  4 .
После преобразований получим
1
100
Н 

 909 1/с.
20

35
20

45








z
z
z
z
1 

1  2 3 1  5 6  1 


 
30

15
50

15
z
z
z
z



8 2 
4 5 

4. ДИНАМИКА
Динамика − раздел механики, изучающий движение материальных тел в
зависимости от действующих на них сил.
4.1. Законы динамики
Первый закон динамики (закон инерции): материальное тело (точка)
сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие других тел не изменит это состояние.
Второй (основной) закон динамики: ускорение, сообщаемое материальной точке приложенной к ней силой, пропорционально модулю силы и
совпадает
с ней по направлению.


P  ma ,
где m − масса.
53
Третий закон динамики (равенства действия и противодействия): силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда
равны по модулю и направлены по прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.
Четвертый закон динамики (независимости действия сил): ускорение,
получаемое материальной точкой при одновременном действии нескольких
сил, равно геометрической сумме ускорений, которые получила бы эта точка
под действием каждой из этих сил в отдельности.
4.2. Уравнения движения материальной точки

Пусть материальная точка А массой m движется с ускорением а под


действием силы Р , равной Рi . В соответствии со вторым законом динамики




P  ma или Рi  ma .
Запишем это равенство в виде проекций на оси плоской декартовой системы координат
d 2x
Рxi  m  2 ;
dt
d2y
(4.1)
Рyi  m  2 .
dt
(4.1) − дифференциальные уравнения движения материальной точки.
При естественном способе задания движения точки уравнения ее движения имеют вид
V2
d 2S
Рin  m 
,
Рi  m  2 ;

dt
где Pi и Pi n − тангенциальная и нормальная составляющие i  ой силы; V −
скорость точки;  − радиус кривизны траектории точки.
4.3. Работа и мощность
Мерой действия приложенной к материальной точке силы на некотором
ее перемещении является работа.
Работа постоянной силы. Пусть на материальную точку А действует по
стоянная сила Р (рис. 4.1а), под действием которой точка перемещается
из

положения А1 в положение А2, т.е. проходит путь S. Работа А силы Р равна

A  T  S или с учетом значения составляющей Т
A  P  S  cos .
Единица измерения работы − джоуль (дж).
54
Работа переменной силы на криволинейном участке пути (рис. 4.1б). На
бесконечно малом участке dS криволинейный путь можно считать прямолинейным, тогда элементарная работа dА определяется по формуле

dА  Р  dS  cos PV ,

где V − скорость.
Работа на конечном перемещении равна сумме элементарных работ

S
А   P  dS  cos PV .
 
 
0
Если задан график функции PS  , то работа равна площади криволинейной трапеции (рис. 4.1б).
Работа равнодействующей системы сил на пути S равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении.
Если тело вращается, то А  М  ,
где М − вращающий момент;  − угловое перемещение тела.
Мощность − работа силы, совершаемая за единицу времени.
Мощность (N) равна произведению модуля силы на скорость точки ее
приложения.
N  P V , при вращательном
При поступательном движении тела
N  M  .
Единица измерения мощности − ватт (вт).
4.4. Теоремы динамики
Количество движения материальной точки и системы.
Количеством движения материальной точки называют вектор, равный
произведению массы m точки на вектор V ее скорости.
Вектор количества движения всегда совпадает по направлению с вектором скорости.
Проекции количества движения на координатные оси:



mV  mVX ;
mV  mVY ;
mV  mVZ ,
X
Y
Z
где V X , VY и VZ − проекции скорости на оси координат.

Количеством движения К системы называют векторную величину,
равную геометрической сумме количеств движения всех точек системы.


К   miVi .
55
Выразим количество движения системы через проекции:
К X   miVXi ; КY   miVYi ; К Z   miVZi .

Количество движения К системы можно определить как произведение

массы m системы и скорости VС ее центра масс.


К  mVC .
Размерность количества движения − н∙с.
Импульс силы.
Импульсом постоянной по модулю и направлению силы за некоторый

промежуток времени t называют вектор, равный произведению вектора Р
силына данный
промежуток времени.

I  P t .
Если на точку действует переменная сила, импульс силы за некоторый
промежуток времени t  t2  t1 определяется следующим образом
 t2 
I   Pi dt .
t
1
Связь между количеством движения и импульсом силы устанавливает
теорема об изменении количества движения.
Изменение количества движения материальной точки за некоторый
промежуток времени равно импульсу приложенной к ней силы за тот же
промежуток времени.
Изменение количества движения системы за некоторый промежуток
времени равно геометрической сумме импульсов всех внешних сил, действующих на эту систему.
Производная по времени от количества движения точки равна действующей на нее силе.
Производная по времени от количества движения системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на нее.
Если в течении некоторого времени главный вектор всех внешних сил
системы равен нулю, то количество движения системы все это время
остается постоянным.
4.5. Потенциальная и кинетическая энергия
В механике под энергией тела понимают величину, характеризующую
его способность совершать в определенных условиях ту или иную работу.
Механическая энергия бывает двух видов: потенциальная и кинетическая.
Потенциальная энергия − энергия положения. Она зависит от взаимного
расположения тел или частей одного и того же тела.
Потенциальная энергия измеряется работой, которую тело может совершить при перемещении из одного положения в другое.
56
Кинетическая энергия тела − энергия его механического движения. Она
измеряется работой, которую тело может совершить при торможении до
остановки.

Кинетическая энергия Е тела массой m, движущегося со скоростью V :
E  mV 2 2 .
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с
угловой скоростью  :
E  J 2 2 ,
где J − момент инерции тела.
Кинетическая энергия тела, совершающего плоскопараллельное движение:
E  mV С2 2  J С 2 2 ,
где
J С − момент инерции тела относительно оси, проходящей через его

центр масс; VС − скорость центра масс тела.
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической
энергии материальной точки на некотором пути равно работе силы, приложенной к точке, на этом же пути.
Ei  E0  A .
Если точка движется под действием нескольких сил, то изменение кинетической энергии материальной точки на некотором пути равно алгебраической сумме работе этих сил на этом же пути.
Ei  E0  A .
Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий
всех материальных точек этой системы.
Изменение кинетической энергии при перемещении системы из одного
положения в другое равно сумме работ всех сил, действующих на систему
при ее перемещении.
4.6. Кинетостатика
В некоторых случаях наиболее эффективное решение можно получить,
если использовать принципы механики, одним из которых является принцип
Даламбера.
Если в любой момент времени к каждой точке системы, кроме фактически действующих на нее внешних и внутренних сил, приложить силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней
можно применить все уравнения статики.
Условия равновесия произвольной системы сил:
  
     
 Pi  Ri  Pиi  0 ;  m0 Pi  m0 Ri  m0 Pиi  0 ,
 

где Pi , Ri и Pиi − внешняя, внутренняя силы и сила инерции, действующие
на i-ю точку системы.


      
4.6.1. Кинетостатический расчет механизмов
57
Задачи расчета − определение сил, действующих на звенья механизма и
в кинематических парах.
Методы расчета: графические; графоаналитические и аналитические.
В инженерной практике широко применяют графоаналитический метод,
отличающийся простотой, наглядностью и достаточной для практического
использования точностью.
Расчет сил инерции методом теоретической механики

При поступательном движении звена главный вектор сил инерции Ри

определяется как произведение массы m тела на его ускорение a . Направлен
вектор в сторону противоположную ускорению (рис. 4.2а ).
 
Ри  am .
(4.2)
При вращении звена вокруг неподвижной оси, проходящей через его

центр масс (рис. 4.2б), главный вектор Ри сил инерции равен нулю, а главный момент М и сил инерции определяется по формуле:


М и  J S ,
(4.3)
где  − угловое ускорение звена; J S − момент инерции звена относительно
центра масс.

При плоскопараллельном движении звена (рис. 4.2в) главный вектор Ри
и главный момент М и сил инерции определяется по формулам:

 

М и  J S ,
Ри  aS m ,
(4.4)

где aS − ускорение центра масс звена.
При вращении звена вокруг оси, не проходящей через центр масс, главный вектор и главный момент сил инерции определяются по формулам (4.4).
Условие статической определимости плоской кинематической цепи.
58
Реакции в кинематических парах – результат силового взаимодействия
звеньев механизма. Если силы трения не учитывать, то в кинематической паре 4 класса (рис. 4.3а) реакция R12 проходит через точку А контакта звеньев и
направлена по общей нормали к контактирующим поверхностям. Ее величина не известна, поскольку зависит от соотношения внешних сил, действующих на звенья.
Во вращательной кинематической паре 5 класса (рис. 4.3б) реакция R12
проходит через геометрическую ось А шарнира. Однако положение реакции
и ее величина неизвестны. В поступательной кинематической паре (рис. 4.3в)
реакция R12 направлена по нормали к направляющей. Величина же и точка
приложения реакции (размер x) подлежат определению. Таким образом, при
выполнении кинетостатического расчета каждая кинематическая пара 4 класса дает одно неизвестное, а пара 5 класса два неизвестных.
Для каждого звена плоского механизма можно составить 3 уравнения
статики. Если плоская кинематическая цепь состоит из n звеньев, то для нее
можно записать 3n уравнений равновесия. Эта цепь будет статически определимой, если 3n  2 p5  p4 .
Для кинематической цепи, содержащей пары только пятого класса,
условие статической определимости имеет вид:
3n  2 p5 .
(4.5)
Формула (4.5) описывает условие существования структурной группы.
Таким образом, структурные группы статически определимы. Это и определяет порядок силового расчета механизмов. Силовой расчет начинают с
прицепной структурной группы и проводят в порядке обратном порядку
присоединения структурных групп к исходному механизму. В последнюю
очередь определяются силы, действующие на ведущее звено.
Рассмотрим особенности силового расчета структурной группы II класса
2 порядка с внутренней вращательной парой (рис. 4.4а).
Определение реакций в структурных группах II класса 2 порядка с
внутренней вращательной парой
Рассмотрим алгоритм расчета на примере структурной группы II класса
2 порядка первого вида (рис. 4.4а). Эта группа парами А и С присоединяется
59
к звеньям 1 и 4 кинематической цепи. Внешние силы (силы полезного сопротивления, тяжести, инерции), действующие на звенья 2 и 3, представлены их
 
главными векторами P2 , P3 и главными моментами сил М2, М3. В соответствии с принципом заменяемости связей действие звеньев 1 и 4 заменим ре

акциями R12 и R43 (рис. 4.4а).
Под действием системы сил группа находится в равновесии. Условие
равновесия:

  
R12  P2  P3  R43  0 .
(4.6)
Уравнение (4.6) содержит 4 неизвестных (величина и направление реакций связей). Чтобы его решить, разложим реакции R12 и R43 на составляющие, одна из которых направлена вдоль соответствующего звена и называет
n
ся нормальной (силы R12n и R43
), другая направлена перпендикулярно звену




(силы R12 и R43 ) и называется тангенциальной. Модули сил R12
и R43
можно
определить по уравнениям моментов сил относительно внутреннего шарнира
В, рассматривая равновесие каждого из звеньев 2 и 3 в отдельности. По условию равновесия звена 2:

R12
 l AB  P2  h2  M 2  0 .
(4.7)
По условию равновесия звена 3:

R43
 lBC  P3  h3  M 3  0 .
(4.8)


Если при решении уравнений (4.7) и (4.8) величины R12 и R43 получаются со знаком «-», то направление этих реакций надо поменять на противоположное.
Условие равновесия системы сил, действующих на структурную группу:

     n
R12n  R12
 P2  P3  R43  R43  0 .
(4.9)
Уравнение (4.9) содержит два неизвестных, его графическое решение
(план сил) приведено на рис. 4.4б.
60
Для определения реакции в шарнире В надо рассмотреть равновесие
системы сил, действующих на одно из звеньев структурной группы, например, на звено 2.

 
R12  P2  R32  0 .

Реакция R32 показана на рис. 4.4б пунктирной линией.
Определение реакций в структурных группах II класса 2 порядка с
внутренней поступательной парой
Особенность расчета этой структурной группы
 (рис. 4.5) состоит в том,
что неизвестна точка приложения реакции R32 ( R23 ) в соединении В. В связи
с этим для определения реакций нельзя использовать уравнение моментов
относительно точки В.
Рассмотрим алгоритм кинетостатического расчета на примере структурной группы II класса 2 порядка третьего вида (рис. 4.5а).

Реакцию в шарнире А разложим на составляющие нормальную R12n и

тангенциальную R12
(рис. 4.5а). Нормальную составляющую направим по
линии АС, соединяющую центры шарниров А и С соответственно, а тангенциальную составляющую – перпендикулярно АС. Поскольку система сил
находится в равновесии, сумма моментов сил относительно точки С равна
нулю.

R12
 l AC  P2  h2  P3  h3  M 2  M 3  0 .
(4.10)
Реакции в соединении В в уравнение не вошли, поскольку
являются

внутренними силами. Решаем уравнение (4.10) относительно R12 .
P h  P h  M2  M3

.
R12
 2 2 3 3
l AC
61

Если значение реакции получается со знаком «-», то R12
надо направить
n
в противоположную сторону. Для определения R12 рассмотрим равновесие
системы сил, действующих на звено 2. Условие равновесия:
 n   
R12
 R12  P2  R32  0 .
(4.11)

Реакция R32 известна по направлению. Ее линия действия направлена
перпендикулярно АВ.
решение уравнения (4.11) приведено на
 Графическое

рис. 4.5б. Реакции R32 и R23 равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Для определения реакции R43 рассмотрим равновесие системы сил, действующих
3.

на звено

(4.12)
R43  P3  R32  0 .
Графическое решение уравнения (4.12) приведено
 на рис. 4.5в.
Пусть положение точки приложения реакции R23 (рис. 4.5г) определяется размером x. Для его определения составим уравнение моментов сил, действующих на звено 3, относительно точки С. Уравнение имеет вид:
R23  x  P3  h3  M 3  0 .
Решая его относительно x, получим
P h  M3
.
x 3 3
R23

При отрицательном значении x точку приложении реакции R23 надо расположить так, чтобы момент последней относительно точки С был бы положительным.
Силовой расчет ведущего звена механизма
В ходе силового расчета определяется реакция в кинематической паре,
соединяющей стойку и ведущее звено. Следует отметить, что задача статически неопределима. При подвижности механизма, равной 1, количество уравнений равновесия больше числа неизвестных, подлежащих определению.
Чтобы задачу сделать статически определимой, к ведущему звену прикладывают уравновешивающую силу ( Р ур ) или уравновешивающий момент ( М ур ),
уравновешивающие систему сил, приложенных к ведущему звену. В зависимости от привода различают две схемы нагружения ведущего звена: привод
через муфту (рис. 4.6а); привод через редуктор, например, зубчатый (рис.
4.7а).
В первом случае уравновешивающий момент М ур создается непосредственно двигателем. Величина М ур определяется по уравнению моментов
сил, действующих
на звено 1, относительно точки О (рис. 4.6а). При этом ре
акция R21 со стороны звена 2 известна.
62
M ур  R21  h  G1  h1  0 .
Откуда M ур  R21  h  G1  h1 .

Реакцию R01 определяем по уравнению:
 


R01  R21  G1  Pи1  0 .
(4.13)
Графическое решение уравнения (4.13) приведено на рис. 4.6б.
Во втором случае система сил, действующих на ведущее звено, уравновешивается силой Р ур (рис. 4.7а), линия действия которой проходит
через точку контакта зубьев и направлена по общей нормали к контактирующим поверхностям. Если передача эвольвентная, то
R h
Pур  rb  R21  h  0 или Pур  21 .
rb
Условие равновесия системы сил:
 


R01  R21  G1  Pур  0 .
Решение уравнения (4.14) дано на рис. 4.7б.
(4.14)
5. ПЕРЕДАЧИ
5.1. Зубчатые передачи
5.1.1. Основные понятия и определения
Колесо состоит из тела 1 (рис. 5.1а) и зубчатого венца 2, представляющего собой чередующиеся выступы и впадины.
63
Поверхность, отделяющую тело от зубчатого венца, называют поверхностью впадин, ее радиус rfi .
Поверхность, ограничивающую зуб по высоте, называют поверхностью
вершин, ее радиус rаi .
Поверхность, отделяющую зуб от впадины, называют боковой поверхностью.
Зуб состоит из головки и ножки. Высота головки – ha , ножки – h f .
Боковая поверхность состоит из главной и переходной поверхностей.
Главной называют поверхность, которая, контактируя с главной поверхностью парного колеса, может передавать движение с заданным передаточным отношением.
Переходная поверхность соединяет главную с поверхностью впадин.
Часть главной поверхности, по которой перемещается точка или линия
контакта, называют активной.
Шаг ( p ) – расстояние между одноименными точками соседних зубьев.
Переточное число
равно отнонию
чисел
большего коменьшему.
u  z2 z1 при
да(u )
шезубьев
леса к
z 2 > z1 .
Линия
ления – георическое меточек контакнеподвижной
стеме коорди-
зацепметсто
та в
синат.
Угол зацепления – угол между общей нормалью к контактирующим поверхностям и касательной к начальным окружностям.
5.1.2. Эвольвента, ее уравнения и свойства
Эвольвента – траектория движения точки прямой, перекатывающейся
по окружности без скольжения (рис. 5.2а).
Окружность, по которой перекатывается производящая прямая, называют основной ( rb ).
Свойства эвольвенты:
 нормаль к эвольвенте касается основной окружности;
64
 точка касания основной окружности и нормали является центром кривизны эвольвенты в заданной ее точке;
 эвольвенты, описываемые точками одной и той же производящей прямой,
эквидистантны.
Уравнения эвольвенты (рис. 5.2б):
inv  tg  ; ry  rb cos  ,
где ry - радиус-вектор точки y эвольвенты; угол ( inv  ) – угол развернутости эвольвенты в точке y . Значения инвалюты угла  ( inv ) приводятся в
справочной литературе.
5.1.3. Теоретический исходный и исходный производящий контуры
Основу геометрии колес составляет теоретический исходный контур (рис.
5.3а). Теоретический исходный контур – плоская фигура, геометрия которой
определяется стандартом (ГОСТ 13755-81 при m  1 мм и ГОСТ 9587-81
при 0,1  m <1 мм). Основные его размеры в долях модуля приведены в табл.
5.1.
Модуль ( m ) есть отношение шага теоретического исходного контура к
числу  . m  p  .
Исходный производящий контур (рис. 5.3б) дополняет теоретический
исходный контур как отливка форму. Отличие в равенстве высоты головки и
ножки зуба.
Стандарт предусматривает профильную модификацию теоретического
исходного контура (рис. 5.3в), цель которой – увеличение плавности работы
передачи. Параметры модификации:
 высота профильной модификации hg ;
 глубина профильной модификации  .
В соответствии со стандартом параметры профильной модификации
определяют следующим образом:
65
hg  hg*  m
и
  *  m ,
где hg* – коэффициент высоты профильной модификации; * – коэффициент глубины профильной модификации.
Профильная модификация приводит к уменьшению геометрического коэффициента перекрытия (  ), поэтому величину hg* ограничивают. При
m  1 мм рекомендуется принимать hg*  0,45 . Если при выбранном значении
этого коэффициента величина  становится менее 1,1, значение hg* уменьшают.
Коэффициент глубины профильной модификации ( * ) выбирается по
таблице, приведенной в стандарте в зависимости от модуля и степени точности передачи. Для колес высоких степеней точности (пятой и выше) профильная модификация не предусмотрена.
Исходный контур определяет геометрию зуборезного инструмента и соответственно зубчатого колеса и передачи в целом.
Таблица 5.1.
Значения параметров исходного контура
Параметр
Угол профиля исходного контура
( )
Коэффициент высоты головки зуба ( h a* )
Коэффициент граничной высоты
( hl* )
ГОСТ 13755-81
20о
ГОСТ 13755-81
20о
1,0
1,0 или 1,1
2,0
2 h a* (при h a* =1 допус-
Коэффициент радиального зазора
0,25
кается 2,1 h a* )
0,25 … 0,4
66
( с* )
Коэффициент радиуса кривизны
переходной кривой (  *f )
0,38
2ha*  c *  2hl*
1  sin 
5.1.4. Методы нарезания зубчатых колес
В зависимости от способа формообразования различают два метода нарезания зубчатых колес: метод копирования и метод обката.
При нарезании колеса по методу копирования геометрия инструмента переносится (копируется) на заготовку. Инструмент – модульные дисковые или
пальцевые фрезы. Для нарезания конкретного колеса, имеющего определенные модуль и число зубьев, требуется свой собственный инструмент. Однако
на практике с целью сокращения номенклатуры инструмента применяют
наборы фрез, что приводит к появлению погрешности формы зуба нарезаемого колеса и, как следствие, снижению качества передачи. Метод отличается высокой производительностью, но низкой точностью изготавливаемых колес.
Для изготовления колес высокой точности используется метод обката. Профиль зуба колеса, нарезаемого по методу обката, формируется как огибающая ряда последовательных положений профиля зуба инструмента, в качестве которого применяют инструментальную рейку, долбяк, червячную фрезу. Метод позволяет нарезать одним и тем же инструментом колеса одного
модуля, но с разными числами зубьев. Метод универсальный, обеспечивает
высокую точность, но имеет низкую производительность.
5.1.5. Станочное зацепление
Станочным называют зацепление нарезаемого колеса и инструмента. На
рис. 5.4 показано станочное зацепление колеса и инструментальной рейки. В
этом зацеплении скорость V p инструмента и угловая скорость i колеса связаны следующим образом
VP  i ri .
67
В станочном зацеплении делительная окружность является начальной,
т.е. шаг и модуль колеса по делительной окружности имеют стандартные
значения.
Если в станочном зацеплении делительная прямая рейки касается делительной окружности колеса, то коэффициент смещения равен нулю ( xi  0 ).
Такое колесо называют нулевым или нарезанным с нулевым смещением инструмента. Возможны и другие варианты установки инструмента (рис. 5.5):
1. делительная прямая не касается делительной окружности;
2. делительная прямая пересекает делительную окружность.
При первом варианте
установки (рис. 5.5а) смещение считают положительным,
во втором (рис. 5.5б) отрицательным. От положения инструмента зависят форма и
68
размеры зуба колеса. При положительном смещении инструмента ширина
ножки зуба увеличивается, а ширина головки уменьшается. При нерациональных значениях коэффициентов смещения возможны дефекты геометрии
такие, как подрезание и заострение зуба колеса. Подрезанный зуб показан на
рис. 5.6а, а заостренный – на рис. 5.6б.
Подрезание зуба происходит при нарезании методом обката колес с малыми числами зубьев без смещения инструмента ( xi  0 ) или при определенных отрицательных смещениях инструмента.
Минимальное число зубьев колеса, нарезаемого без смещения и не имеющего подрезания, определяется по формуле:
2ha*
.
zmin 
(sin  ) 2
При ha*  1 ;   20 о zmin  17 .
Чтобы исключить подрезание, надо сместить реечный инструмент в станочном зацеплении на величину xi m , приняв коэффициент смещения равным
17  zi
.
xi 
17
Зуб считается заостренным, если его толщина S ai по окружности вершин
(рис. 5.6б) меньше 0,25m для кинематических передач и менее 0,4m для силовых. Размер S ai вычисляется по формуле
S

Sai  2rai  i  inv  inv ai  ,
 2ri

 ai  arccosrbi rai  .
где Si  0,5m ,
Заострение устраняют положительным смещением инструмента.
Таким образом, изменяя положение инструмента в станочном зацеплении можно воздействовать на геометрию колес и свойства передачи. Основные геометрические размеры эвольвентных зубчатых колес и передачи вычисляются по формулам, приведенным в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Основные параметры зубчатых колес и передачи
Параметр
Передаточное число
Диаметр делительный
Обозначение
u
di
Делительное межосевое расстояние
a0
Угол зацепления
w
Межосевое расстояние
aw
Диаметр начальный
d wi
Диаметр основной
dbi
69
Формула
u  z2 z1
d i  0,5  m  zi
m z1  z 2 
a0 
2
x x
inv w  inv  2 1 2 tg
z1  z 2
cos 
a w  a0
cos  w
cos 
d wi  d i
cos  w
dbi  di cos 

Диаметр впадин
d fi
d fi  di  2m ha*  c*  xi
Диаметр вершин
d ai
d a 2  aw  d f 1  c*m
Высота зуба
h
h  d ai  d fi

5.1.6. Критерии качества зубчатых передач
 Коэффициент перекрытия (  ) используется для оценки плавности
работы передачи. Он показывает, сколько пар зубьев может одновременно
находиться в зацеплении.

ab
,
m cos 
где ab – длина активной части линии зацепления.
ab  ra21  rb21  ra22  rb22  aw sin  w .
Рекомендуемая минимальная величина коэффициента перекрытия для силовых передач 1,2, а для кинематических 1,1.
Один из способов увеличения плавности работы передачи (величины  ) –
смещение инструмента в станочном зацеплении при нарезании колес по методу обката.
 Коэффициент относительного
скольжения (  ) используется для
сравнения передач по износостойкости.
Его величина определяется по формуле:
12  1  i12
1

, 21  1  i21 2 ,
2
1
где i12 и i21 – передаточные отношения,
i12  1 2 и i21  2 1 ; 1 ,  2 – радиусы
кривизны профилей зубьев шестерни и
колеса в точке их контакта.
Графики изменения величин коэффициентов относительного скольжения
за время зацепления пары зубьев приведены на рис. 5.7. Характер изменения
12 и 21 свидетельствуют о том, что ножка зуба колеса изнашивается более
интенсивно, чем головка. Износ по высоте зуба можно выравнить подбором
рациональных значений коэффициентов смещения.
Коэффициент удельного давления ( ) используется для сравнения зубчатых передач по контактной прочности, его величина определяется по формуле
  m  пр ,
70
где m – модуль;  пр – приведенный радиус кривизны.  пр 
1  2
.
1   2
5.1.7. Выбор коэффициентов смещения
Коэффициенты смещения неоднозначно влияют на критерии качества
зубчатых передач. Улучшая одни показатели, они одновременно ухудшают
другие. Выбор оптимальных значений коэффициентов смещения по заданным условиям – задача непростая. Наиболее полно можно учесть факторы,
если использовать блокирующие контуры.
Блокирующий
контур (рис.
5.8) – плоская фигура,
определяющая область
существования коэффициентов
смещения.
Блокирующие контуры
разработаны
для конкретных передач
и выбираются по числам
зубьев колес,
образующих
зацепление.
Искомые коэффициенты смещения есть координаты точки, находящейся
внутри блокирующего контура.
Чтобы исключить такие дефекты геометрии, как подрезание и заострение зубьев колес, обеспечить рекомендуемый стандартом коэффициент перекрытия, на контур нанесены условные границы x1min , x2 min , Sa1  0,25m ,
Sa1  0,4m , Sa 2  0,25m , Sa 2  0,4m ,   1,2 . На рис. 5.8 они обозначены тонкими сплошными линиями. Если при выборе коэффициентов смещения выйти за эти границы, то можно получить передачу с дефектами геометрии колес
или с коэффициентом перекрытия меньше 1,2.
Чтобы поиск коэффициентов смещения сделать направленным, на контур нанесены линии качественных показателей:
71

«а», «б» – линии коэффициентов смещения, при которых обеспечивается равнопрочность зубьев колес по изгибу (при одинаковых материалах и термической обработке). Линия «а» соответствует случаю, когда ведущей является шестерня, а «б» – колесо.
η'  η'' – линии коэффициентов смещения, при которых выравни
вается износ ножек зубьев колеса и шестерни.
Рассмотрим примеры выбора коэффициентов смещения по заданным
условиям. Для обеспечения максимальной контактной прочности передачи,
надо к условной границе   1,2 провести касательную Т-Т под углом 45о к
координатной оси. Обозначим точку касания буквой К. Коэффициенты смещения x1 и x2 надо принять равными координатам этой точки.
Передача будет иметь большую износостойкость, если коэффициенты
смещения x1 и x2 определить, как координаты точки пересечения кривой
η'  η'' с условной границей   1,2 .
Передача будет иметь оптимальную изгибную прочность (при ведущей
шестерне), если коэффициенты смещения x1 и x2 принять равными координатам точки пересечения кривой «а» с условной границей   1,2 .
Чтобы обеспечить максимальный коэффициент перекрытия, надо выбрать точку в левом нижнем углу блокирующего контура и коэффициенты
смещения принять равными координатам этой точки.
5.1.8. Силы, действующие в зацеплении прямозубых цилиндрических колес. Расчетная нагрузка
Рассмотрим зацепление прямозубых эвольвентных цилиндрических колес
(рис. 5.9). Обозначим М 1 момент движущих сил, приложенный к шестерне. На
колесо действует момент сил сопротивления М 2 . В зубчатом зацеплении движение передается путем непосредственного нажатия зуба шестерни на зуб коле
са. Сила РN , с которой один зуб действует на другой, направлена по нормали
N  N к контактирующим поверхностям
и называется силой нормального давления.
2M 1 2M 2
.
PN 

db1
db 2

Силу РN удобно представить в ви
де составляющих: окружной Рокр и ради72

альной Р р (рис. 5.9).
Pокр1  Рокр2  РN cos W  M 1 rW 1  M 2 rW 2 ,
(5.1)
Pр1  Р р 2  Рокр1tgW  Pокр2tgW .
(5.2)
Формулы (4.1) и (4.2) не учитывают условия работы передачи. В связи
с этим расчет на прочность ведут по расчетной нагрузке Р расч , определяемой
по формуле
Р расч  PN K ,
где K – коэффициент нагрузки. K  K к  K д .
Коэффициент Kк концентрации нагрузки учитывает неравномерность
ее распределения по длине зуба (рис. 5.10).
Kк  qmax q ,
где q  PN b .
Неравномерность распределения нагрузки вызвана погрешностями изготовления и сборки колес, несущих элементов передачи, корпусных деталей, деформацией элементов
привода. Величина Kк зависит от расположения колес на валу (рис. 5.11).
Коэффициент K д динамичности нагрузки учитывает наличие в соединении дополнительных динамических нагрузок Рдин , обусловленных погрешностями изготовления колес, в частности погрешностями окружного шага и профиля.
Kд 
PN  Pдин
.
РN
Величина K д зависит от степени точности изготовления колес и
окружной скорости. K д = 1,1-1,55.
5.1.9. Расчет прямозубой цилиндрической эвольвентной передачи на
усталостный изгиб
Усталостный излом происходит из-за возникновения в корне зуба усталостной трещины. Цель расчета – обеспечить выносливость зубьев при изгибе, не допустить их усталостный излом. Если шестерня и колесо изготовлены
73
из одного материала, то слабым элементом передачи является шестерня, испытывающая больше циклов нагружения. При разных материалах шестерни
и колеса расчет ведут по тому колесу, материал которого имеет меньшую изгибную прочность.
Рассмотрим самый неблагоприятный вариант нагружения, когда сила
нормального давления приложена к вершине зуба (рис. 5.12). Будем считать,
что из-за погрешностей изготовления (в частности погрешности основного
шага) вся нагрузка передается одной парой зубьев.
Перенесем силу нормального давле
ния РN по линии ее действия в точку С пересечения нормали NN с осью симметрии
зуба и разложим ее на составляющие –


окружную Рокр и радиальную Р р .
Pокр  РN cos  ; Pр  РN sin  .


Сила Рокр изгибает зуб, а Р р сжимает его. При изгибе наибольшее напряжение возникает в основании зуба. Впишем в зуб параболу с вершиной в точке С.
Парабола очерчивает балку равного сопротивления изгибу. Она касается профиля
зуба в точках А и В. Сечение АВ опасное.
Обозначим его ширину S x . Графики распределения нормальных напряжений изгиба и сжатия приведены на рис. 5.12.
Опыт эксплуатации зубчатых колес показывает, что усталостная трещина
возникает в точке А сечения АВ. В связи с этим условие прочности зуба имеет вид
 A   и   сж   и  .
6 Pокрl 6 PN l cos
6 P l P sin 
;  cж  р  N
.
2 
2
bSx
bSx
bSx
bSx
6P l cos P sin 
.
А  N 2  N
bSx
bSx
и 
Преобразуем эту формулу к виду
P
А  N ,
bmyF
где yF – коэффициент формы зуба, зависит от количества зубьев колеса и
1 6ml cos m sin 


величины коэффициента смещения.
.
S x2
Sx
yF
74
Выразим ширину зубчатого венца в долях модуля. b  m  m . В этой формуле
 m – коэффициент ширины зубчатого венца. Величина  m выбирается в
пределах 6 10 .
Выразим силу нормального давления через момент сил на шестерне.
2M 1 K
2M 1 K
, тогда  А 
РN 
  и  .
mz1 cos
 m z1m3 yF cos
При проектном расчете передачи по условию изгибной прочности зуба
определяется ее модуль
2M 1 K
.
m3
 и z1 myF cos
Если слабым звеном является колесо, то модуль вычисляют по формуле
2M 2 K
m3
.
 и z2 myF cos
5.1.10. Расчет прямозубой цилиндрической передачи на контактную прочность
Цель расчета – не допустить усталостное выкрашивание активных поверхностей зубьев, называемое питтингом. Для оценки контактной прочности передачи используют формулу Герца, выведенную для цилиндров с параллельным расположением осей и имеющую вид
 H  0,418
PN  Eпр
b  пр
  Н ,

где РN – сила нормального давления; Епр – приведенный модуль упругости;
 пр – приведенный радиус кривизны;  Н  – допускаемое контактное напряжение; b –длина линии контакта.
2Е1Е2
.
Епр 
Е1  Е2
В этой формуле Е1 и Е2 – модули
упругости материалов.

 пр  1 2 ,
1   2
где 1 и  2 – радиусы цилиндров.
Чтобы воспользоваться формулой
Герца зубья колес заменяют цилиндрами, размеры которых принимаются равными радиусам кривизны зубьев в точке их контакта и ширине зуб75
чатого венца. Испытания показали, что наиболее неблагоприятным является
случай, когда зубья контактируют в полюсе зацепления (рис. 5.13). В ходе
проверки передачи на контактную прочность определяется межосевое расстояние. В связи с этим выразим величины силы нормального давления, приведенного радиуса кривизны и ширины зубчатого венца через межосевое
расстояние.
ai sin 
M K i  1
,
, b  a  a ,
пр 
РN  1
a cos
i 12
где  a – коэффициент ширины зубчатого венца.
Значение  a принимается равным 0,1-0,4 в зависимости от передаточного
отношения ступени и передаваемой мощности. Чем больше i и чем меньше
передаваемая мощность, тем меньше значение  a .

После подстановки значений РN ,  пр и b в формулу Герца и преобразования последней получим
M 1KEпр
M 2 KEпр
a  0,82i 1 3
или a  0,82i  1 3
.
 Н 2 i 2 a
 Н 2 i a
Эти формулы можно использовать, если угол профиля исходного контура
равен 20о. При проверочном расчете передачи на контактную прочность,
можно воспользоваться следующими расчетными зависимостями:
 H  0,418
M 1 K i 13 Eпр
 

a ψai  cos   sin 
3
Н
или
 H  0,418
M 2 Ki 13 Eпр
a  ai cos   sin 
3
2
  Н .
5.1.11. Точность зубчатых передач
Государственный стандарт на эвольвентные зубчатые передачи с внешним и внутренним зацеплением предусматривает 12 степеней точности изготовления и сборки колес. На практике применяют восемь с 3 по 10. 1 и 2
степени перспективные. 11 и 12 степень имеют колеса, не подвергающиеся
механической обработке. В приборостроении в основном применяют колеса
6 – 8 степеней точности. При проектировании передачи точность назначается
в соответствии с условиями работы передачи, ее назначением, материалами
колес.
Все показатели точности разделены на четыре группы, называемые нормами:
76

норма кинематической точности определяет величину полной погрешности угла поворота зубчатого колеса за один его оборот;

норма плавности регламентирует величину циклически повторяющейся погрешности угла поворота колеса за один его оборот;

норма контакта определяет полноту прилегания боковых поверхностей зубьев колес.
Независимо от степени точности стандарт предусматривает для крупномодульных передач ( m  1 мм ) шесть видов сопряжения колес (H, E, D, C, B,
A) и восемь видов допуска (h, d, c, b, a, z, y, x), для мелкомодульных передач
(m<1 мм) – пять видов сопряжения H, G, F, E, D и соответственно пять видов
допуска h, g, f, e, d.
Каждому виду сопряжения соответствует свой допуск. Например, сопряжениям H и E – h; D, C, B, A – d, c, b, a соответственно. Однако стандарт допускает: комбинирование норм разных степеней точности; изменение допуска на боковой зазор в сторону увеличения или уменьшения.
Примеры условного обозначения степени точности:

7–С ГОСТ 1643–72. Степень точности передачи по всем нормам
седьмая, вид сопряжения С, допуск на боковой зазор соответствует виду сопряжения.

8–7–6–Ва ГОСТ 1643–72. Передача имеет 8 степень по норме
кинематической точности, 7 по степени плавности, 6 по норме контакта, вид
сопряжения В, допуск на боковой зазор – а.

7–600y ГОСТ 1643–72. Степень точности по всем нормам седьмая, минимальный боковой зазор равен 600 мкм, допуск на боковой зазор –
y.
5.1.12. Мертвый ход
Одним из показателей качества зубчатого зацепления является мертвый
ход.
Мертвый ход – отставание ведомого звена от ведущего при изменении
направления движения ведущего звена.
Величина мертвого хода зависит от величины бокового зазора jn (рис.
5.14) и определяется углом поворота i одного колеса при неподвижном
втором. Величина мертвого хода одноступенчатой передачи, приведенного к
i  му , вычисляется по формуле
j
n
i 
.
(5.3)
r cos
i
Мертвый ход ступенчатого механизма зависит от его
схемы и распределения передаточного отношения по
ступеням. Рассмотрим механизм, кинематическая схема
которого приведена на рис. 5.15. Суммарный мертвый
77
ход  , приведенный к колесу 4, вычисляется по формуле
   i   i  4 ,
2
24
3
34
где i – мертвый ход отдельных ступеней, приведенный к ведомому колесу
(2, 3 и 4 соответственно) и вычисляемый по формуле (5.3) при i = 2, 3, 4;
i24    , i34    .
2
4
3
4
5.1.13. Способы уменьшения мертвого хода
Кинематический мертвый ход зубчатой передачи можно уменьшить: регулировкой зацепления путем смещения колес в радиальном направлении;
использованием колес с люфтовыбирающими устройствами.
Типовая конструкция колеса с люфтовыбирающим устройством показана
на рис. 5.16. Оно состоит из основного колеса 1, устанавливающегося на вал,
и колеса 2, посаженного на ступицу колеса 1 по посадке с зазором. Колеса 1 и
2 связаны между собой пружинами 3, а в осевом направлении их взаимное
расположение фиксируется пружинной шайбой 4. При сборке колеса поворачивают друг относительно друга на некоторый угол (до совмещения отверстий 5). При этом пружины деформируются. В таком заведенном состоянии
колеса вводят в соединение с шестерней. После сборки под действием пружин колеса 1 и 2 поворачиваются вокруг оси и выбирают боковой зазор.
Зубья на колесах 1 и 2 нарезают совместно.
78
Такая конструкция позволяет автоматически устранять кинематический
мертвый ход, обусловленный наличием бокового зазора в зубчатом соединении. Следует отметить, что на величину мертвого хода передачи влияют: зазоры в опорах валов привода; мертвый ход муфт; силовые деформации контактирующих зубьев, несущих элементов (валов) и другие факторы.
5.1.14. Косозубые цилиндрические передачи
Косозубое цилиндрическое колесо отличается от прямозубого тем,
что зуб наклонен под углом  к образующей основного цилиндра (рис.
5.17). Косозубые колеса изготавливают теми же методами и тем же инструментом, что и прямозубые. Угол
 получается при нарезании колеса
путем установки инструмента под
этим углом к плоскости вращения
заготовки (рис. 5.17).
Косозубые цилиндрические передачи отличаются от прямозубых большей несущей способностью, плавностью и бесшумностью работы. Коэффициент перекрытия   этих передач
больше чем у прямозубых на величину   , коэффициента торцового перекрытия, равного    b  tg pt .
Основной недостаток косозубых передач – наличие осевой составляющей
силы нормального давления, сдвигающей колесо в осевом направлении и неблагоприятно влияющей на работу опор вала. Ее величина тем больше, чем
больше угол  . В связи с этим величину угла наклона зуба ограничивают.
Рекомендуемое его значение – 8-15о.
79

Геометрические размеры косозубых цилиндрических колес и передачи.
Основные геометрические размеры косозубого цилиндрического колеса
приведены на рис. 5.18. Положение линии зуба позволяет измерить три шага:
нормальный ( pn ), торцовый ( pt ) и осевой ( px ).
pt  pn cos  ; px  pn sin  ; pn    mn .
Соответственно можно определить три модуля: нормальный ( mn ),
торцовый ( mt ) и осевой ( mx ). Связь между ними выражается следующими зависимостями:
mt  m cos  ;
mx  m sin  .
n
n
Нормальный модуль является стандартным. В его обозначении индекс
можно упускать.
Размеры зуба косозубого колеса определяются геометрией режущего инструмента и задаются в долях нормального модуля.
ha  ha*  m ; h f  ha*  c*  m ,
где ha*  1 , c*  0,25 .
Диаметр делительный определяется в
долях торцового модуля, то есть
di  zi  m .
Диаметр
окружности
вершин
*
dai  m zi cos   2ha .
Диаметр
окружности
впадин
*
*
d fi  mzi cos   2ha  2c .
Межосевое
расстояние
m
z  z  .
a
cos  1 2

Расчет сил, действующих в зацеплении
косозубых цилиндрических колес.
Рассмотрим систему сил, действующих на зуб косозубого цилиндриче
ского колеса (рис. 5.19а). Сила нормального давления РN раскладывается на



составляющие: окружную Рокрi , осевую Раi и радиальную Р рi . Их величины
вычисляются по формулам:




Pокрi
P
Р рi  окрi tg n ; РN 
,
Рокрi  2М i di ;
Раi  Pокрi  tg ;
cos 
cos  cos n
где  n – угол зацепления в нормальном сечении; М i – момент сил на i  м
колесе (рис. 5.19б).

80


Оценка прочности косозубой цилиндрической передачи
Расчет на прочность производят по методике, разработанной для прямозубых цилиндрических передач. Чтобы воспользоваться ею, косозубую передачу заменяют эквивалентной прямозубой, имеющей следующие основные
размеры:
zi
;
mэкв  mn ; zэквi 
bэкв  bэкв cos  .
cos3 
После соответствующих преобразований формулы для расчета межосевого расстояния и нормального модуля по условия контактной и изгибной
прочности для стальных колес принимают вид:
a  i  1
2
3
 925  M K
1


;
 σ   iψ a
 H 
m3
0,44 M 1K cos 
.
 и z1 m yF
Следует отметить, что при определении коэффициента нагрузки величину
K д принимают на 15-20 % ниже, чем у прямозубой цилиндрической передачи.
5.1.15. Конические прямозубые передачи
Конические зубчатые передачи используются для связи валов с пересекающимися осями. Недостатки этих передач:

Передачи сложнее цилиндрических в изготовлении и монтаже,
для их изготовления требуются специальное оборудование и инструмент.
При сборке необходимо обеспечить совмещение вершин начальных (делительных)
конусов с точкой О перепересечения осей
колес (рис. 5.20).

Пересечение осей колес затрудняет размещение опор валов. Одно из колес,
81
как правило, располагается консольно, что приводит к увеличению неравномерности распределения нагрузки по длине зуба.

Сила нормального давления в зацеплении имеет осевую составляющую, что усложняет конструкцию опор.
В целом, нагрузочная способность конической передачи на 15 % ниже
нагрузочной способности цилиндрической передачи.
Конические колеса могут иметь прямой, косой, шевронный или криволинейный зуб.
Основные геометрические размеры конических колес
Строение конического колеса и основные его размеры показаны на рис.
5.21 и 5.22.
В конической передаче дополнительный конус имеет технологическое
значение. Он аналогичен торцовой поверхности колеса и служит для контроля геометрии зуба.В конической передаче различают два модуля: торцовый модуль me (измеряется в торцовом сечении и имеет стандартное значение) и средний модуль mm , определяется в сечении, отстоящем от внешнего
торца на расстоянии 0,5b . Средний модуль не гостирован и используется при
силовом расчете. Модули связаны между собой следующим образом:
mm  me 1 0,5 b ,
где  b  b Re .
В этой формуле b − ширина зубчатого венца; Re − конусное расстояние.
82
Формулы для расчета основных геометрических размеров колес и передачи:
ha  me ; hf  1,2  me ; с  0,2  me ;
dei  zi  me ;
daei  zi  me  2hae cos i ;
d fei  zi  me  2h fe cosi ;
Re  0,5me z1 u 2 1 ;
u  z2 z1  sin  2 sin 1 .
Расчет сил, действующих в зацеплении прямозубых конических колес.
83
Нормальную силу, действующую в зацеплении, раскладывают на три



составляющие: окружную Рокрi , осевую Раi и радиальную Р рi .
Рокр  2М 1 d e1 ;
Р*р  2М1 de1  Рокрtg ;
Рр  Р*р cos1 ;
Ра  Рокрtg  sin 1 .
5.2. Фрикционные механизмы
Фрикционными называют механизмы, в которых движение от ведущего
звена к ведомому передается за счет сил трения.
Простейший фрикционный механизм состоит из стойки и двух роликов 1
и 2 (рис. 5.24), прижатых друг к другу некоторой силой Q. Передача движения осуществляется силой трения F, возникающей между роликами и зависящей от силы нормального давления Q.
Условие работы механизма:
F  P,
где P – передаваемое окружное усилие.
Для обеспечения работы механизма при возможных перегрузках следует
выполнять условие: F  k  P ,
где k – коэффициент запаса сцепления. Для силовых приводов его значение
находится в интервале 1,25–1,75, а для приборных – в интервале 3 – 4.
Достоинства фрикционных механизмов:

простота конструкции;

плавность и бесшумность работы;

возможность размыкания кинематической цепи при перегрузках;

возможность плавного изменения передаточного отношения.
Недостатки:
 скольжение звеньев и, как следствие,
повышенный износ рабочих поверхностей
роликов;
 непостоянство передаточного отношения;
 низкий коэффициент полезного действия (η = 0,8 – 0,92) ;
 большая нагрузка на валы и опоры;
 большие масса и габариты.
Фрикционные механизмы весьма разнообразны. Их классифицируют по
взаимному расположению осей валов, форме рабочих поверхностей роликов,
способу передачи окружного усилия, величине передаточного отношения.
84
По первому критерию фрикционные механизмы делят на механизмы с
параллельными осями (рис. 5.24), с пересекающимися осями (рис. 5.25а) валов, соосные (5.25б).
По форме рабочих поверхностей различают механизмы с цилиндрическими (рис. 5.24), коническими (5.25а), сферическими и тороидальными роликами (рис. 5.25б).
По способу передачи окружного усилия различают передачи с непосредственным касанием роликов (рис. 5.24, 5.25) и с помощью промежуточных
деталей (рис. 5.25б и г).
В зависимости от скорости ведомого звена различают механизмы с постоянным (рис. 5.24, 5.25а) и переменным передаточным отношением (рис.
5.25б-г). Механизмы с переменным передаточным отношением называют вариаторами.
Материал роликов: сталь, чугун, текстолит, кожа, резина и т.д.

Цилиндрические фрикционные механизмы.
Кинематическая характеристика механизма – передаточное отношение.
Передаточное отношение механизма, кинематическая схема которого приведена на рис. 5.24, определяется по формуле

r2
i12  1 
,
(5.4)
2 r1 1   
где ε – коэффициент проскальзывания, зависящий от материалов роликов и
условий смазки. При работе со смазкой ε = 0,03 – 0,05, без смазки ε = 0,01 –
0,02.
Для расчета усилия Q, с которым ролики должны прижиматься друг к
другу, используется условие:
85
2kM 1
,
fd1
где f – коэффициент трения; k – коэффициент запаса сцепления, величина
которого принимается равной 1,25 – 1,75 для силовых приводов и 3 – 4 для
приборных.
Некоторые рекомендации по выбору коэффициентов трения приведены в
таблице 5.3.
Таблица 5.3
Материал роликов
Наличие смазки
Значение f
Сталь/сталь
есть
0,04 – 0,05
Сталь/сталь
нет
0,1 – 0,15
Сталь/чугун
Сталь/текстолит
нет
0,2 – 0,3
Чугун/текстолит
QkP f
или
Q
Для увеличения несущей способности механизма меняют форму рабочих
поверхностей роликов (рис. 5.26). Им придают форму клина. В такой передаче
Q  k P f ,
f
где f  – приведенный коэффициент трения, f  
.   15о 18о .

sin
2
Во фрикционных передачах наблюдается два вида скольжения: упругое и
геометрическое.
Геометрическое скольжение обусловлено погрешностями изготовления и
деформациями. Его легко продемонстрировать на примере передачи, ролики
которой в радиальном сечении форму клина (рис. 5.26). В такой передаче
окружные скорости V1 и V2 равны только в точке Р касания центроид. В точках К и М они не совпадают. Их разность и определяет геометрическое
скольжение.
86
Упругое скольжение обусловлено деформацией материала роликов под
действием сил трения в пределах площадки ab контакта (рис. 5.27). В пределах этой площадки поверхностные слои материала сдвигаются. Поверхностный слой ведущего ролика 1 выходит из контакта в точке b в растянутом состоянии, а входит в контакт в точке а в сжатом. Слой материала ведомого
ролика 2 входит в контакт в растянутом состоянии, а выходит из контакта в
сжатом. Таким образом, в пределах площадки контакта происходит относительное смещение слоев материала. В результате окружная скорость ролика 2
уменьшается по сравнению с окружной скоростью ролика 1.
Проверка передачи на контактную прочность.
Под нагрузкой в материале
роликов возникают контактные
напряжения. Прочность роликов
будет обеспечена при выполнении
следующего условия:
 H   H  ,
где  H  – допускаемое для данного материала контактное напряжение.
При линейном контакте рабочих поверхностей роликов
87
 H  0,418
Q  Eпр
b  rпр
,
при точечном контакте  H  0,3883
Q E2
пр
2
,
r
где r – радиус кривизны выпуклого ролика.
5.3. Передачи с гибкой связью
Простейшая передача с гибкой связью, состоит из двух шкивов, насаженных на валы и соединенных гибким звеном (рис. 5.28). Эти передачи просты,
отличаются плавным ходом и сравнительно низкой стоимостью. Они не требуют смазки и могут работать в широком диапазоне температур от -30о до
+80о С.
Основные виды передач представлены на рис. 5.28. Обыкновенные и перекрестные передачи используются для связи валов с параллельным расположением осей, а полуперекрестные соединяет валы со скрещивающимися
осями.
Основные виды передач представлены на рис. 5.28. Обыкновенные и перекрестные передачи используются для связи валов с параллельным расположением осей, а полуперекрестные соединяет валы со скрещивающимися
осями.
В приборных передачах с гибкой связью используют ремни плоские (рис.
5.29а), клиновые (рис. 5.29б), с круглым поперечным сечением (рис. 5.29в,
г).
Передача с плоским ремнем наиболее проста в конструктивном отношении, более компактна, но в ней выше уровень проскальзывания гибкого звена. Для изготовления гибкого звена применяют хлопчатобумажные и шерстяные ткани, синтетические материалы, полиэфирную пленку толщиной до
0,25 мм.
88
Клиновые ремни позволяют увеличить нагрузочную способность передачи. Такой же эффект достигается при использовании ремня с круглым поперечным сечением (пассика) (рис. 5.29г). Пассик в канавке шкива деформируется,
и
сила
трения между гибким звеном и шкивом возрастает. Ремни с круглым поперечным сечением чаще изготавливают из нитриловых резин и неопрена. Чтобы обеспечить наибольшую долговечность ремня и минимальное его проскальзывание,
радиус
канавки
принимается
равным
номинальному
радиусу гибкого звена.
Необходимое условие
нормальной работы передачи – создание в гибком звене силы предварительного натяжения S0,
которая обеспечит необходимое трение между
гибким звеном и шкивом.
При работе передачи под
нагрузкой
происходит
перераспределение усилий в ветвях гибкого звена (рис. 5.30).
Обозначим усилия в тянущей и холостой ветвях, как S1 и S2 соответственно, а пе-редаваемое окружное усилие Р.
S0, S1, S2 и Р связаны следующим образом:
S1  S2  2S0 ;
S1  S 2  P .
Неравенство натяжений ведущей и ведомой ветвей вызывает упругое
скольжение гибкого звена в пределах части αс1 и αс2 углов обхвата α1 и α2 соответственно. Вследствие упругого скольжения окружные скорости V1 и V2
на ведущем и ведомом шкивах не равны.
V2  V1 1    ,
где ξ – коэффициент относительного упругого скольжения. ξ =0,005–0,02. В
связи с этим передаточное отношение определяется соотношением
89
1
r2

.
2 r1 1   
Формула Эйлера связывает силы, действующие в ветвях гибкого звена.
S1
 e f .
S2
Сила трения: F  2S0 .
В этой формуле φ – коэффициент тяги.
Силу трения в передаче можно увеличить путем увеличения:
силы предварительного натяжения гибкого звена;
угла обхвата посредством замены обыкновенной передачи перекрестной
или установкой натяжных роликов;
коэффициента трения.
i12 
Расчет геометрических размеров передачи
Основные геометрические размеры передачи показаны на рис. 5.31. Для
их определения можно использовать следующие расчетные зависимости.
Диаметры шкивов:
N
d1  110 130  3 1 ,
n1
где N1 – мощность на ведущем
валу, Вт; n1 – число оборотов
ведущего вала, об/мин.
d 2  d1  i  1   .
Межосевое расстояние:
a  1,5  2 d1  d 2  .
Угол обхвата:
d d
 1 180 o  2 1  57,3 .
a
 1  .
 
1
 
Для плоских ремней допускаемое значение  угла обхвата равно
1
5
 , для
6
клиновых и круглых 0,5  0,7 .
Длина гибкого звена:
 d1  d 2  d1  d 2 2
L  2a 

.
2
4a
В этой формуле знак «-» принимается, если передача обыкновенная. Если передача перекрестная, то знак «+».
Расчет размеров поперечного сечения гибкого звена
Работоспособность гибкого звена обеспечивается при выполнении условия:
90
 Р  С Р о ,
где σР – напряжение растяжение, МПа; [σР]о – допускаемое напряжения растяжения при предварительном растяжении гибкого звена, МПа; С – коэффициент, учитывающий реальные условия работы передачи.
Р  Р F .
В этой формуле F – площадь поперечного сечения гибкого звена.
Величина [σР]о для разных типов ремня определяется экспериментально. Для плоских прорезиненных ремней [σР]о= 2,1 МПа; для ремней из синтетических волокон [σР]о= 1,7 МПа.
С  С  СV  С  С0 ,
где Сα – коэффициент, учитывающий величину угла обхвата; СV – коэффициент, учитывающий скоростной режим работы передачи; Сδ – коэффициент, учитывающий влияние на долговечность гибкого звена отношения его
толщины δ к диаметру d; С0 – коэффициент, учитывающий условия натяжения гибкого звена и расположение осей валов.
Библиографический список
1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. – М., Наука, 1988. – 638 с.
2. Зубчатые передачи. Справочник /Под ред. Е.Г. Гинзбурга. – Л., Машиностроение, 1980. – 416 с.
3. Никитин Е.М. Краткий курс теоретической механики. – М., Наука, 1971. – 400 с.
4. Справочник конструктора точного приборостроения / /Под ред. К.Н. Явлинского, Б.П. Тимофеева, Е.Е. Чаадаевой. – Л., Машиностроение, 1989. – 792 с.
5. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М., Наука, 1970. – 544 с.
6. Фролов К.В. и др. Теория механизмов и машин. – М., Высшая школа, 1988. –
638 с.
7. Шелофаст В.В. Основы проектирования машин. – М., Изд-во АПМ, 2000. –
472 с.
91