Конференция 13x

Предисловие
Данное учебно-методическое пособие представляет собой сборник
тестов и заданий по всем темам первого этапа изучения алгебры.
Предлагается 6 тем:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Выражения, тождества, уравнения
Функции
Степень с натуральным показателем
Преобразование многочленов
Формулы сокращённого умножения
Решение систем линейных уравнений
В каждой теме представлен базовый компонент. Дан перечень
обязательных вопросов, а также дополнительных (помечены «звёздочкой»).
По каждой теме предлагаются разноуровневые тесты и задания. Уровень
заданий А рассчитан на базовые знания, уровень В содержит задания
повышенной сложности без готовых ответов, для уровня С характерна
высокая сложность. Последний уровень предназначен для учащихся,
имеющих математические способности. Тренажёр содержит два
равноценных варианта по 19 заданий в каждом. Время на выполнение – 90
минут. Преставляем вашему вниманию три из разработанных 6 тестов.
Критерии оценивания:
 7 заданий части А, выполненные безошибочно, свидетельствуют о
наличии базовых знаний на удовлетворительном уровне
 Все 10 заданий части А, при отсутствии ошибок, свидетельствуют о
наличии хороших базовых знаний; если допущена одна ошибка,
обязательно решение хотя бы одного задания части В
 Решение 9 заданий части А, не менее 3 заданий части В будет
говорить об отличном уровне усвоения базового и дополнительного
компонентов
 Решение заданий части С оценивается отдельно. Необходимость их
выполнения зависит от уровня подготовки учащегося
Таким образом, у способных к математике учащихся есть право выбора
заданий повышенной сложности. С ростом индекса задания повышается его
сложность. Решение заданий части С должно иметь полное обоснование, как
показано в образце к первой теме.
Пояснительная записка:
Мы осуществляли отбор содержания в соответствии с инструктивно –
методическим письмом МОиН Челябинской области «О преподавании
математики».
Целью создания данного сборника является:
Реализация дифференцированного подхода при проверке практических
навыков, сформированных у учащихся, как в процессе усвоения базового
материала, так и в процессе усвоения дополнительных вопросов.
Из глобальной цели вытекают следующие задачи:
 Систематизация знаний учащихся по изученной теме
 Развитие хороших навыков решения на базовом уровне
 Углубление знаний по темам путём тренинговых заданий по
дополнительным вопросам
 Развитие креативности мышления путём выполнения творческих
заданий
Тесты могут найти применение в тематическом контроле независимо от
выбора учебника. Возможно использование тренажёра как в 9 классе, так и в
11( при подготовке к ГИА, к ЕГЭ)
Тесты будут способствовать не только развитию знаний, умений и
навыков, но помогут учащимся обрести уверенность в выполнении
нестандартных заданий.
Желаем успехов.
Тема 1: Выражения, тождества, уравнения.
Изучаемые вопросы:
1.
2.
3.
4.
Числовые и алгебраические выражения. Нахождение их значений.
Тождественные преобразования.
Сравнение значений выражений.
Решение уравнений с одной переменной.
5*. Решение линейных уравнений, содержащих знак модуля.
6*. Простейшие уравнения с параметром.
В-I
А1. Найди значение числового выражения.
(1,224:0,4-0,2∙15,5) ∙ 0,5-0,98
А) 1
Б) -1
В) -0,96
А2. Вычисли рациональным способом:
2
2
1 ∙ 3,1 − 1 ∙ 2,2 − 0,2 ∙ 5
3
3
А) 0,5 Б) -8,5 В) 14
А3. Найди значения выражений и сравни их, поставив вместо «и»
соответствующий знак:
(-4)2 -20,3+4,3 и 42 -20,3-4,3
А)  Б) = В) >
А4. Сравни с нулем значение выражения
2
4
0,27 ∙ (4 − 0,9) − 4,2: 4
9
5
1,2 − 0,01 ∙ 3
А) =0 Б)  0 В) > 0
А5. Сократи и вычисли
0,81 × 0,12 × 50
0,4 × 0,9 × 0,5
А) 2,7 Б) 27 В) 270
А6. Запиши в виде числового выражения разность между удвоенным
произведением чисел 2,1 и -0,5 и частным от деления 2,3 на 10
А) 2(-0,5) ∙2,1+2,3:10
Б) 2,1(-0,5)-2,3:10∙2
В) 2(-0,5) ∙2,1-2,3:10
А7. Запишите в виде буквенного выражения частное от деления суммы
чисел а
и в на их утроенную разность:
А)
а+в
3(а−в)
Б) 3(а+в) (а-в) В)
а+в
3а−в
А8. Записать в виде равенства: произведение чисел Х и Y на 12 больше
квадрата их суммы
А) xy+12=(x+y)2 Б) xy-12=(x+y)2 B) xy-12=x2 + y2
А9. Упрости выражение:
8х-(2х+5)+(х-1)
А) 7х-6 Б) 7х+4 В) 10х-4
А10. Реши уравнение
(2,5х-1):0,2=5х+4
А) 12 Б) нет решений В) 1,2
В1. Найди значение числового выражения
3
4
(33,75 − 1 + 22,25 − ) : 2,7 − 19,9
7
7
В2. Упрости алгебраическое выражение
10х-(9х-(7х+y))
В3. Реши уравнение и выбери меньший корень
|3𝑧 − 3,3| + 6,9 = 12,3
В4. Упрости выражение и найди его значение при а=1 и в= - 0,5
2(0,5(а-4в)+0,1(5а+10в))
В5. Реши уравнение и найди сумму его корней
1
( х − 1)(|х| − 2)=0
5
В6. Реши уравнение:
7-|2х|=4,5-|7х|
С1. Реши уравнение №1 и ответь на вопрос: равносильно ли оно
уравнению №2
№1
2|−х−1|+|−х−1|
3
=8
№2 (|х| − 9)(|х| + 7)=0
С2. Реши уравнение и расположи корни в порядке убывания
||2х − 1|−3| − 1=5
С3. При каком значении параметра m уравнение имеет бесконечно
много решений?
12mx+36x=0
Пример решения заданий части С.
С1.
№1
2|−х−1|+|−х−1|
3
=8
№2 (|х| − 9)(|х| + 7)=0
|х| − 9 = 0 или |х| + 7=0
3|−х − 1| = 24
|−х − 1|=8
|х| = 9
не имеет корней, т.к
х = 7, х = -9
х=9
|х|≠-7
х = -9
Уравнение №1 имеет два корня 7 и – 9
имеет два корня но 7 ≠ 9
Уравнение №2 так же
Вывод: Уравнения не являются равносильными.
С2. Реши уравнение и расположи корни в порядке убывания
||2х − 1|−3| − 1=5
1 способ:
||2х − 1|−3| − 1=5
||2х − 1|−3|=6
|2х − 1| − 3=6
|2х − 1|=9
2х-1=9 или 2х-1=-9
х=5, х=-4
2 способ: графический
или
|2х − 1| − 3= - 6
|2х − 1|= - 3
не имеет решения
||2х − 1|−3| − 1=5
||2х − 1|−3|=6
Пусть y=||2х − 1|−3|
Построим график этой функции поэтапно:
1) y=2х-1
2) отразим нижнюю часть графика y=2х-1 зеркально относительно оси
ОХ, получим y=|2х − 1|.
Получилась своеобразная «галочка»
y
1
0
0,5
3) Сдвинем полученный график на 3 единицы вниз
Мы увидим график функции
y=|2х − 1|-3
4) Отразим зеркально нижнюю часть
относительно оси ОХ.
Получим график функции y=||2х − 1|−3|
Найдем абсцисса точек пересечения
графиков y=||2х − 1|−3| и y=6
х=-4 и х=5
ответ: 5, -4
6
3 ∙
С3. При каком значении параметра m уравнение имеет бесконечно много
решений?
12mx+36x=0
12x(m+3)=0
12∙0=0 при m=-3
Следовательно, при m=-3 бесконечно много решений.
В-II
А1. Найди значение числового выражения.
(0,6∙3,75-2,75):0,25+0,1:0,05
А) 18
Б) 0
В) 4
А2. Вычисли рациональным способом:
2
2
2 ∙ 4,8 − 2 ∙ 2,1 − 3,5 ∙ 2
3
3
А) 65 Б) -14,2 В) 0,2
А3. Найди значения выражений и сравни их, поставив вместо «и»
соответствующий знак:
(-2)3 +1,5+(-0,5) и 23 +1,5-2,5
А)  Б) = В) >
А4. Сравни с нулем значение выражения
1
1 4
(1 20 − 1,8) ∙ 0,4 + 1 3 : 4 9
1,5 − 0,1 ∙ 0,5
А)  0 Б) > 0 В) =0
А5. Сократи и вычисли
1,44 ∙ 0,75 ∙ 10
0,25 ∙ 1,2 ∙ 0,5
А) 7,2 Б) 72 В) 720
А6. Запиши в виде числового выражения сумму утроенного
произведением чисел 1,9 и -3 и частным от деления 2,5 на 1,5
А) 3(-3) ∙1,9+2,5:1,5
Б) 3(-3) ∙1,9-2,5:1,5
В) -3∙1,9+3∙2,5:1,5
А7. Запишите в виде буквенного выражения частное от деления
полусуммы чисел а и в на их разность:
А)
(а+в)∗2
а−в
Б)
0,5∗(а+в)
а−в
В)
а+в
0,5(а−в)
А8. Записать в виде равенства: произведение чисел Х и Y на 11 меньше
квадрата их разности
А) xy-11=(x-y)2 Б) xy+11=x2-y2 B) xy+11=(x – y)2
А9. Упрости выражение:
10х-(3х+1)+(х-4)
А) 8х-5 Б) 11х-3 В) 8х-3
А10. Реши уравнение
(0,5х+2,5):0,4=4х-2
А) нет решений
Б) 3 В) -3
В1. Найди значение числового выражения
5
4
(66,85 − 4 + 33,15 − 1 ) : 4,7 − 20,1
9
9
В2. Упрости алгебраическое выражение
7х-(5х-(3х+y))
В3. Реши уравнение и выбери меньший корень
|3х + 2,4| + 1,2 = 14,1
В4. Упрости выражение и найди его значение при х =
-5(0,6х-1,2)-1,5х-3
𝟒
𝟗
В5. Реши уравнение и найди сумму его корней
1
( х − 2)(|х| − 1)=0
3
В6. Реши уравнение:
8-|4х|=3,5-|6х|
С1. Реши уравнение №1 и ответь на вопрос: равносильно ли оно
уравнению №2
№1
3|−х+1|+|−х+1|
4
=6
№2 (-5-х)(|х| + 7)=0
С2. Реши уравнение и расположи корни в порядке убывания
||0,5х + 1|−2| − 4=1
С3. При каком значении параметра n уравнение не имеет корней?
15nx-5x=1
Тема 2: Функции
Изучаемые вопросы:
1. Представление о функции и её графике.
2. Вычисление значений функций по формуле. Вычисление аргумента по
значению функции.
3. Построение графиков линейной функции.
4. Взаимное расположение графиков.
5*. Графики составных функций. График линейной функции, содержащий
модуль.
6*. Определение уравнения прямой по графику или заданным условиям.
B-I
А1. Задай формулой зависимость пути S от U если известно, что 2 часа
поезд шел со скоростью Uкм/ч, а затем в 1,5 раза больше времени со
скоростью на 3 км/ч меньше, чем первоначальная.
А) S=2U+3(U+3)
Б) S=2U+3(U-3)
В) S=3U+2(U-3)
А2. Найди значение функции по значению аргумента равного 2,5, если
y(x)=(-2x+4)2
А) 1
Б) -1
В) 81
А3. Найди значение аргумента, соответствующее значению функции
равному 1, если
y(x)=0,2x-3
А) -10 Б) 2 В) 20
А4. По графику изменения температуры воздуха за сутки определи:
сколько
градусов было в 3 часа дня.
ТС
9
1
24
t,час
А) 3 Б) 0 В) 8
А5. Какова область определения функции:
y=4: (0,1х-2)+х
А) х ≠ 0 Б) х ≠ -20 В) х ≠ 20
А6. Выбери верное высказывание об областях значений функции:
y = x2 +1,5
А) значения функции только положительны
Б) значения функции не отрицательны
В) значения функции любые числа
А7. Задан график движения грузового автомобиля. На каком участке
пути скорость его наибольшая?
160
t, час
20
1
13
А) с 3-х ночи до 7 утра
Б) с 8:00 до 10:00
В) с 10:00 до 13:00
А8. Какой график соответствует прямой пропорциональности?
А)
Б) y
y
x
В)
y
x
x
А9. Сколько из указанных точек (С (-1;-5), Д (0;-5), Е (-2; -1))
принадлежат графику функции y=x2 -5
А) одна Б) две В) ни одной
А10. Не выполняя построения, найди координаты пересечения
графика функции y=-10x+4 с осью абсцисс
А) (0;4) Б) (4;0) В) (0,4;0)
В1. Определи линейные функции, графиками которых являются
параллельные прямые:
1. y=1,1х-3 2. y= -1,1х
3. y= -1,1 (4-х) 4. y = -1,1x+3
В2. При каком значении параметра а точка М (-а;-2) принадлежит
графику функции y=4x-1
В3. Напиши уравнение прямой, проходящей через точку В (2;4) и
параллельной прямой, имеющей уравнение y=-x+3
В4. При каком значении параметра С точка пересечения графиков
функций у=2,5х-19 и у=2х+1 принадлежит графику прямой
пропорциональности у=сх
В5. Какая составная функция изображена на рисунке? Укажи область ее
значений.
у
1
-1
х
В6. Графики функций х=-2, у=-2х+4, у=-3 ограничивают треугольник.
Лежит ли точка В (1;1) внутри него?
С1. Реши уравнение:
|х| − 2 = 0,5х − 0,5
С2. Четыре прямые отсекают на координатных осях отрезки по 2 см (на
каждой из двух осей). Выполни построение, выделив образовавшуюся
фигуру. Найди ее площадь.
С3. При каком значении параметра а уравнение |𝟐х + 𝟑| − 𝟒 = а имеет
ровно 3 корня?
В-II
А1. Задай формулой зависимость М (стоимости всей покупки) от n
(количества тетрадей), если покупали n тетрадей по 10 рублей каждая и
в два раза меньше ручек, каждая из которых в 1,5 раза дороже тетради.
А) М=10n+2n∙15
Б) M=10n-2n∙15
В) M=10n+7.5n
А2. Найди значение функции по значению аргумента равного 1,6, если
y(x)=(-5x-1)2
А) 81
Б) -81
В) 49
А3. Найди значение аргумента, соответствующее значению функции
равному
0, если
y=-0,4x+1
А) 0,25 Б) 2,5 В) -2,5
А4. По графику изменения температуры в процессе кипения определи:
сколько градусов была вода в чайнике через3,5 мин после включения
ТС
100
t,мин
20
1
А) 80 Б) 100 В) 70
А5. Какова область определения функции:
y=5: (0,2х-1)+2х
А) х ≠ 0 Б) х ≠ 5 В) х ≠ 50
А6. Выбери верное высказывание об областях значений функции:
y = -x2 -1,5
А) значения функции любые числа
Б) значения функции не положительны
В) значения функции только отрицательные числа
А7. На каком участке пути скорость поезда была наибольшей?
S
400
240
80
2
6 7
t, час
9 10
А) с 1 до 2-х ночи
Б) с 2:30 ночи до 6 утра
В) с 7 до 9 утра
А8. На каком рисунке ты видишь график х=а?
А)
y
Б) y
В)
y
а
а
А9. Сколько из указанных точек (С (1;4), Д (0;-3), Е (2; -1)) принадлежат
графику функции y=-x2 +3 с осью ординат
А) одна Б) все В) ни одной
А10. Не выполняя построения найди координаты пересечения графика
функции y=-0,5x+7
А) (0;7) Б) (14;0) В) (0;14)
В1. Определи линейные функции, графиком которых являются
пересекающиеся прямые:
1. y=2,5(х-2) 2. y= 2,5+5
3. y= 2,5х 4. y = -2,5х
В2. При каком значении параметра в точка Р (-в;-3) принадлежит
графику функции y=-3x+3
В3. Напиши уравнение прямой, проходящей через точку А (3;5) и
параллельной прямой, имеющей уравнение y=2x-10
В4. При каком значении параметра L точка пересечения графиков
функций у=-2,25х+10 и у=-2х+1 принадлежит графику прямой
пропорциональности у=Lх
В5. Какая составная функция изображена на рисунке? Укажи область ее
значений.
у
1
2
х
-1
В6. Графики функций у =3, х =-2, у=х-1 ограничивают треугольник.
Лежит ли точка А (-1;-2) внутри него?
С1. Реши уравнение: -|х| + 2 = −0,5х + 0,5
С2. Четыре прямые отсекают на координатных осях отрезки по 4 см (на
каждой из двух осей). Выполни построение, выделив образовавшуюся
фигуру. Найди ее площадь
С3. При каком значении параметра в уравнение |−𝟐х + 𝟑| − 𝟐⃒ = в
имеет ровно 3 корня?
Тема3: Степень с натуральным показателем.
Изучаемые вопросы:
1. Степень и ее свойства. Влияние четности показателя на знак
возводимого основания.
2. Умножение и деление степеней. Возведение степени в степень.
3. Уравнения с применением свойств степени.
4. Одночлен и его стандартный вид.
5. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень.
6. Графики функций у=х2 и у=х3
7*. Графики функций у=|х2 − а|, у = |х3 |, у = |х3 − а|
В-I
А1. Вычисли:
1
1
2
2
(− )3 + (−1 )2
А) 2,375 Б) 1,125 В) 3
А2. Сравни с нулем значение выражения:
(-3,3)2-2,1∙(-0,5)-1
А) >0
Б) =0
В)  0
А3. Упрости выражение:
2к ∙43 ∙20
2к+1
+ (2к )3
А) 32×23к Б) 64+2 3+к В) 32+2 3к
А4. Найди значение выражения:
4
((−1 )2 -0,8-0,44) 3
5
А) -8 Б) 8 В) 1
А5. Вычисли:
126
35 ∙ 210
А) 6 Б) 12 В) 48
А6. Выбери верно знак, который нужно поставить вместо буквы «и»,
сравнив
значения выражений
2∙522 −9∙521
2510
и
5∙232 −4∙230
4 10
А) > Б)  В)=
А7. Возвести в степень:
(-4х5у3z2)3
А) -64х15у9z6
Б) -64х8у6z5
В) 64х15у9z6
А8. Приведи одночлен к стандартному виду:
2
1
3
2
(− х3 у)2 ∙ (1 ху)3
А) -1,5х8 у5
1
Б) 1,5х9у5 В) х9у5
3
А9. По графику функции у=х3 найди значение функции,
соответствующее аргументу равному -1,5.
8
А)  1,2
1 2
Б) 8
В)  -3,4
А10. Сколько точек с указанными координатами (С (-1;-1); Д (2;2); Е
(-3;-9)) принадлежат графику функции у=-х2 ?
А) две Б) одна В) три
В1. Является ли значение выражения: 2∙ (5
уравнения -0,5х+10=1
В2. Реши уравнение:
1
16
2
∙ (− ) 4 +(-3)2) корнем
3
27 : (0,5х)=23
𝟏
В3. Упрости выражение и найди его значение при х=-
𝟐
(−2,5х)2 ∙ х2𝑛−1
6,25х ∙ х2𝑛−3
В4. При каких значениях n значение выражения не будет
отрицательным?
(yn ∙y6)2 : ((-у)2)3)2
В5. Представь в виде степени: -0,000027х6 у9 z18
𝟏
В6. Сравни с нулем значение выражения при х= у=-2
𝟐
1
3
х3𝑛
3
7
𝑥 3𝑛−1
А=(−2 х3у∙ ху2)2 +
C1. Докажи, что значение выражения кратно 11:
Р=
12∙52𝑛+1 −8∙52𝑛 +4∙52𝑛−1
4∙52𝑛−1
C2. При каких значениях параметра а уравнение |х𝟐 − 𝟒| = а имеет
два корня?
С3. Реши уравнение:
54 26 𝟐 56 28
х = 8
310
3
B-II
А1. Вычисли:
1
1
2
2
(− )2 + (−2 )3
А) -15,375 Б) 15,375 В) -15,875
А2. Сравни с нулем значение выражения:
(-1,1)3-1,2∙0,5+0,6
А) =0
Б)  0
В) >0
А3. Упрости выражение:
3𝑛 ∙93
30 ∙3𝑛+2
+ (3𝑛 )2
А) 81∙32n Б) 27+3 2n В) 81+3 n+2
А4. Найди значение выражения:
3
((−1 )2 -0,7-0,3625) 3
4
А) -8 Б) 8 В) -1
А5. Вычисли:
135 ∗ 44
265
А) 8 Б) 2 В) 4
А6. Выбери верно знак, который нужно поставить вместо буквы «и»
сравнив значения выражений
510 −9∙58
106
и
5∙312 −20∙3010
153
А)  Б) > В)=
А7. Возвести в степень:
(-3х3у4z5)4
А) -81х12у16z20
Б) 81х7у8z9
В) 81х12у16z20
А8. Приведи одночлен к стандартному виду:
1
3
3
4
(−1 𝑎2 у)2 ∙ ( 𝑎3 у)3
А) 0,75a13 у5
Б) 0,25a13у5 В) 0,5а10у5
А9. По графику функции у=2х2 определи: при каких значениях
аргумента значение функции будет равному 1.
А) 1 и -1
Б) 2 и -2
В) -0,5 и 0,5
2
1
1
А10. Сколько точек с указанными координатами (С (-1;-1); Д (-2;8); Е
(2;8))
принадлежат графику функции у=-х3 ?
А) одна Б) две В) три
𝟒
3
1
7
𝟕
8
4
16
В1. Является ли значение выражения: ∙((− ) 2 -2( )3)+
корнем
уравнения 2х-1=0
В2. Реши уравнение:
35 ∙ 0,5х=37
𝟏
В3. Упрости выражение и найди его значение при х=-
𝟑
1,44х3 ∙ х2𝑛−2
(−1,2х)2 ∙ х2𝑛−3
В4. При каких значениях n значение выражения не будет
положительным?
(yn ∙y6)6 : ((-у)4)3)3
В5. Представь в виде степени: -0,000064х12 у18 z24
В6. Сравни с нулем значение выражения при а= - 2, в= - 1
1
В=(−3 ав2 × 0,15а2 в)3 + (ав)0
3
C1. Докажи, что значение выражения Р всегда кратно 3:
Р=
6∙52к+1 −4∙52к +2∙52к−1
2∙52к−1
C2. При каких значениях параметра в уравнение |х𝟐 − 𝟏| = в имеет
четыре корня?
С3. Реши уравнение:
36 24 𝟐 38 26
у = 8
510
5
Т-1
Вар
№ задания
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
А9
А10
В1
В2
В3
В4
В5
В6
С1
С2
С3
Т-2
I
II
Б
А
В
А
Б
В
А
Б
А
В
0,1
8х+у
-0,7
1
5

Нет
5;-4
-3
Б
В
А
В
Б
А
Б
В
А
Б
-0,1
5х+у
-5,1
5
6

Нет
2;-16
1
3
Вар
№ задания
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
А9
А10
В1
В2
В3
В4
В5
В6
С1
С2
С3
Т-3
I
II
Б
А
В
Б
В
А
Б
А
Б
В
1и3
0,25
у=-х+6
39
1
40
-1у1
Да
-1;3
8см2
4
В
А
Б
А
Б
В
В
Б
А
Б
1и4
-2
у=2х-1
35
−1
36
-1у1
Нет
-1;3
32 см2
2
Вар
№ задания
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
А9
А10
В1
В2
В3
В4
В5
В6
С1
С2
С3
I
II
Б
А
В
Б
Б
А
А
Б
В
А
Нет
32
-0,125
А
Б
А
Б
А
А
В
А
В
А
Да
18
1
9
При любом
(-0,04х4у6z8)3
В 0
Р=66
66 кратно 3
0в1
Кроме 0
(-0,03х2у3z6)3
а>0
Р=66
66 кратно 11
При а=0
х=-2, х=2
при а>4 тоже
два корня
-30;30
-30;30