Результаты олимпиады по математике среди учащихся 5–7

С 10.02.2015 г. по 15.03.2015 г. кафедрой методики преподавания математики
проводился заочный тур олимпиады по математике для учащихся 5—7 классов. 153
учащихся прислали свои работы. Они были приглашены принять участие в очном
туре олимпиады.
4 апреля 2015 года в учреждении образования «Могилевский государственный
университет имени А.А. Кулешова проводился очный тур олимпиады. В нем
приняли участие 118 учащихся из г. Могилева, г. Бобруйска, г. Черикова, г. Быхова,
г. Чаусы, г.п. Круглое, г.п. Белычини, Чаусского района, Славгородского района,
Белыничского района, Осиповичского района, Могилевского района, Быховского
района Могилевской области и Копыльского района Минской области.
Всем были выданы сертификаты участников олимпиады по математике для
учащихся 5—7 классов.
Победители олимпиады были награждены дипломами и ценными призами:
I место:
1. Кудряшов Артем — 5 класс, ГУО «Могилевская городская гимназия № 1»,
учитель Цыганкова А.В.;
2. Хотамцева Дарья — 6 класс, ГУО «Кадинская средняя школа», Ермакович
Е.С.;
3. Шупранов Алексей — 7 класс, ГУО «Средняя школа № 38 г. Могилева»,
учитель Хадускена Т.П.
II место:
1. Гинько Владислав — 5 класс, ГУО «Гимназия № 4 г. Могилева», учитель
Чернявская Н.Л.;
2. Кузавова София Ангелина — 6 класс, ГУО «Гимназия № 3 г. Бобруйска»,
учитель Рыбина Е.В.;
3. Минчук Алексей — 7 класс, ГУО «Средняя школа № 38 г. Могилева»,
учитель Атросченко Т.П.
III место:
1. Карпенко Елена — 5 класс, ГУО «Могилевская городская гимназия № 1»,
учитель Цыганкова А.В.;
2. Щербакова Дарья — 6 класс, ГУО «Средняя школа № 24 г. Бобруйска»,
учитель Лейко А.М.;
3. Коновалов Андрей — 7 класс, ГУО «Гимназия № 2 г. Могилева», учитель
Зубкова В.Н.
Учащиеся, занявшие IV место, получили поощрительные призы:
1. Сокирко Никита — 5 класс, ГУО «Средняя школа № 30 г. Бобруйска»,
учитель Окрут Т.А.;
2. Латушкин Никита — 6 класс, ГУО «Средняя школа № 25 г. Могилева»,
учитель Ганькова О.И.;
3. Гринцалев Никита — 7 класс, ГУО «Гимназия № 2 г. Могилева», учитель
Зубкова В.Н.
ЛУЧШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
5 класс
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Фамилия, имя
Кудряшов Артем
Гинько Владислав
Карпенко Елена
Сокирко Никита
Грудинский Кирилл
Зинковский Артем
Белый Артём
Макаренко Валерий
Хамритилиева Кириена
Фомицкая Софья
Ковальков Максим
Макаренко Валерия
Семёнов Михаил
Сухан Егор
Шичков Тимур
Баллы
27
23
22
21
20
20
20
20
20
19
19
19
19
19
19
Школа
ГУО «могилевская городская гимназия № 1»
ГУО «Гимназия № 4 г. Могилева»
ГУО «Могилевская городская гимназия № 1»
ГУО «Средняя школа № 30 г. Бобруйска»
ГУО «Средняя школа № 31 г. Бобруйска»
ГУО «Средняя школа № 23 г. Могилева»
ГУО «Средняя школа № 1 г.п. Круглое»
ГУО «Средняя школа № 2 г.п. Белыничи»
ГУО «Гимназия г. Быхова»
ГУО «Средняя школа № 40 г.Могилева»
ГУО «Сластеновский УПК детский сад – СШ»
ГУО «Средняя школа № 25 г. Могилева»
ГУО «Средняя школа № 25 г. Могилева»
ГУО «Средняя школа № 23 г. Могилева»
ГУО «УПК ясли – сад – СШ № 44 г. Могилева»
6 класс
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Фамилия, имя
Хотамцова Дарья
Кузавова София Ангелина
Щербакова Дарья
Латушкин Никита
Афремова Дарья
Михайловский Михаил
Сухачёв Максим
Пугин Данила
Шорников Олег
Баллы
18
17
16
15
14
13
11
11
11
Школа
ГУО «Кадинская средняя школа»
ГУО «Гимназия № 3 г. Бобруйска»
ГУО «Средняя школа № 24 г. Бобруйска»
ГУО «Средняя школа № 25 г. Могилева»
ГУО «Средняя школа № 1 г.п. Круглое»
ГУО «Средняя школа № 27 г. Бобруйска»
ГУО «Гимназия № 4 г. Могилева»
ГУО «УПК детский сад – СШ № 42 г. Могилева»
ГУО «Средняя школа № 2 г. Чаусы»
7 класс
№
1.
2.
3.
4.
5.
Фамилия, имя
Шупранов Алексей
Минчук Алексей
Коновалов Андрей
Гринзалёв Никита
Степанов Жан
Баллы
22
19
17
16
15
6.
Зелепужина Валерия
14
7.
8.
9.
Воркун Валерия
Островский Павел
14
12
Шабловский Никита
11
10.
Свиридович Максим
10
Школа
ГУО «Средняя школа № 38 г. Могилева»
ГУО «Средняя школа № 38 г. Могилева»
ГУО «Гимназия № 2 г. Могилева»
ГУО «Гимназия № 2 г. Могилева»
ГУО «УПК детский сад – средняя школа № 42 г.
Могилева»
ГУО «Годылёвский УПК детский сад – средняя
школа», Быховского района
ГУО «Средняя школа № 1 г.п. Круглое»
ГУО «Кадинская средняя школа»
ГУО «Годылёвский УПК детский сад – средняя
школа», Быховского района
ГУО «Средняя школа № 38 г. Могилева»
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ОЛИМПИАДЕ
5 КЛАСС
1. В числе 321321321321 вычеркните нужные цифры так, чтобы получилось
наибольшее число, делящееся на 9.
Решение.
Данное число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр
данного числа равна 3  2  1  3  2  1  3  2  1  3  2  1  24 . Тогда наибольшая
сумма цифр, делящаяся на 9, равна 18, и нам необходимо вычеркнуть так несколько
цифр, чтобы их сумма равнялась 6. Следовательно, искомое число будет
наибольшим, если оно будет начинаться с цифры 3, содержать наибольшее
количество цифр и иметь сумму цифр, равную 18. Нам достаточно вычеркнуть в
записи данного числа две последние тройки, т.е. получим число 3213212121.
2. Ивану исполнится n лет в n2-м году. В каком году родился Иван?
Решение.
Так как Ивану исполнится n лет в n2-году, то нам необходимо найти такое
наименьшее натуральное число n, что n2 > 2015. Это число 45 ( 452  2025 ). Значит,
Ивану будет 45 лет в 2025 году, и он родился в 1980 году.
3. На свои деньги Петя может купить 6 пирожных и 7 бубликов или 5 пирожных и
10 бубликов. Сколько Петя может купить одних бубликов?
Решение.
Во второй раз Петя на свои деньги может купить на 1 пирожок меньше и на 3
бублика больше, чем в первый раз. Тогда 1 пирожок стоит столько же, сколько 3
бублика. Значит, Петя на свои деньги может купить 6  3  7  25 бубликов.
4. В ресторане «Заюшкина избушка» подают 5 фирменных блюд: заячья капуста
под майонезом, морковка в глазури, салат из коры молодой яблони, сено свежее подеревенски, десерт «Шоколадный волк». Однажды господин Заяц, придя в ресторан
«Заюшкина избушка», попросил подать какие-нибудь 2 разных фирменных блюда.
Сколькими способами официант может выполнить заказ?
Решение.
Перечислим всевозможные варианты выполнения официантом заказа из 2
различных фирменных блюд: заячья капуста под майонезом и морковка в глазури,
заячья капуста под майонезом и салат из коры молодой яблони, заячья капуста под
майонезом и сено свежее по-деревенски, заячья капуста под майонезом и десерт
«Шоколадный волк», морковка в глазури и салат из коры молодой яблони, морковка
в глазури и сено свежее по-деревенски, морковка в глазури и десерт «Шоколадный
волк», салат из коры молодой яблони и сено свежее по-деревенски, салат из коры
молодой яблони и десерт «Шоколадный волк», сено свежее по-деревенски и десерт
«Шоколадный волк». Итак, у официанта есть 10 способов выполнить заказ.
5. Найдите сумму:
1
1
1
1
.


 ... 
1 2 2  3 3  4
9 10
Решение.
1
Воспользуемся тем, что
 1  1 . Имеем: 1  1  1 , 1  1  1 ,
1 2 1 2 2  3 2 3
n  n  1 n n  1
1 11 .
3 4 3 4
Тогда 1  1  1   1  1  1  1  1  1  1   1  1  1 1  9 .
1 2 2  3 3  4
9 10 1 2 2 3 3 4
9 10
10 10
6 КЛАСС
1. Каждый день в полдень из Гавра (Франция) в Нью-Йорк (США) отправляется
почтовый пароход и в тоже время из Нью-Йорка отходит идущий в Гавр пароход
той же компании. Каждый из этих пароходов находится в пути ровно 7 суток, и
идут они по одному и тому же пути. Сколько пароходов своей компании встретит
на своем пути пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк?
Решение.
Более удобно графическое решение.
Гавр 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
9
16
Нью-Йорк
Всего 15 пароходов.
2. Даны три различных не равных нулю цифры. Из них составлены всевозможные
трехзначные числа (цифры не повторяются). Докажите, что сумма этих чисел
делится на 6 и на 37.
Решение.
Запишем все трехзначные числа при помощи данных цифр:
100  a  10  b  c , 100  a  10  c  b , 100  b  10  a  c , 100  b  10  c  a ,
100  c  10  a  b , 100  c  10  b  a . Тогда, с учетом условия,
100  a  10  b  c  100  a  10  c  b  100  b  10  a  c  100  b  10  c  a 
 100  c  10  a  b  100  c  10  b  a  222  a  222  b  222  c  222  a  b  c  
 6  37  a  b  c . Последнее произведение делится на 6 и на 37. Значит, сумма всех
трехзначных чисел, записанных при помощи цифр a, b, c , делится на 6 и на 37.
3. Расшифровать деление:
ТОКИО ИО
ТОН
КИО
КИ
ОН
ТИО
ТИО
0
Решение.
Очевидно, что ни одна из цифр Т, К, О, И не равна нулю. Из первой разности
ТОК – ТОН = К следует, что Н = 0. Так как ИО О = ТИО, то О или 1, или 5, или 6.
Так как ИО  К  ТО0 и К > 0, то возможны два случая О = 5, К = 8 или О = 5, К = 6.
В первом случае из второй разности 8И  50  ТИ следует, что Т = 3.
Значит, И 5  8  350 , но 350 не делится на 8. Следовательно этот случай невозможен.
Во втором случае из второй разности 6И  50  ТИ следует, что
Т = 1. Значит, И 5  6  150 , И 5  25 и И = 2.
Итак,
15625
150
62
50
125
125
0
25
625
4. К числу 20142015 припишите справа три цифры так, чтобы полученное число
делилось на 7, на 8 и на 9.
Решение.
Поскольку 7, 8 и 9 – взаимно простые числа, то искомое число должно
делиться на НОД (7; 8; 9) = 504. Возьмем произвольное одиннадцатизначное число,
которое начинается на 20142015, например, 20142015500, и разделим его на 504,
получим:
20142015500  504  39964316  236 .
Тогда искомые числа есть
20142015500  236  20142015264 и 20142015264  504  20142015768 .
7 КЛАСС
1. Дан угол в 19°. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 1°?
Решение.
Постройте угол, в 19 раз больший данного угла, т.е. угол в 19 19  361 .
2. Первая слева цифра шестизначного числа равна 1. Если ее переставить на место
единиц, то число увеличится в 3 раза. Найдите эти числа.
Решение.
Пусть 1abcde – искомое число, а abcde1 – число, полученное переносом 1 в
конец числа. Тогда:
1abcde
3
abcde1
Так как только единственная цифра при умножении на 3 дает число,
оканчивающееся 1 (число 21), то эта цифра 7. Значит, e  7 . Поскольку e  7 , то 2
единицы переходят в разряд десятков, а число 3  d  2 заканчивается цифрой 7.
Следовательно, d  5 (если сомневаетесь, то проверьте возможные цифры) и в
разряд сотен переходит единица. Тогда число 3 c  1 заканчивается цифрой 5.
Отсюда c  8 и 2 переходит в разряд тысяч. Далее, число 3 b  2 заканчивается
цифрой 8. Поэтому b  2 и переноса в разряд десятков тысяч нет. Число 3  a
заканчивается цифрой 2. Значит, a  4 . Тогда искомое число – 142857.
3. Докажите, что:
2

2

2
1 3 3  5 5  7

2
7 9


2
99 101
 1
1
.
101
Решение.
2
1
  1 .
Воспользуемся формулой
n   n  2 n n  2
Имеем: 2  2  2    2  1  1  1  1  1  1    1  1  1  1 .
1 3 3  5 5  7
99 101 1 3 3 5 5 7
99 101
101
 a a 2 a3 
4. Докажите, что если а – целое число, то     – также число целое.
3 2
6 


Решение.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
 3
  2

 2

2
3  a  a    3 a  3 a  a   a  1  3 a  a  1
2
a

3
a

a
 


aa a 

 

3 2
6
6
6
6
(a  1)  a  (a  1)  3 a  (a  1) a  (a  1)  (a  1  3) a  (a  1)  (a  2)



. Числитель дроби
6
6
6
представляет собой произведение трех последовательных чисел, одно из которых
обязательно является четным, и одно обязательно делится на 3. Поэтому он делится
на 6 без остатка и дробь является целым числом.
2
3
5. Петя задумал какое-то целое число от 1 до 1000. Сможет ли Костя узнать его,
задав Пете не более десяти вопросов, на каждый из которых тот будет отвечать
только «да» или «нет»?
Решение.
При решении задачи удобно использовать таблицу степеней с основанием 2,
так как число, не превышающее 1000, находится в числовом промежутке [20 ; 210 ) .
Вопросы следует задавать так, чтобы после каждого ответа промежуток уменьшался
в два раза. Пусть, например, задумано число 300 ( х = 300).
Вопрос 1. Больше ли число х, чем 512?  512  29 


Ответ: Нет.
Вопрос 2. Больше ли число х, чем 256?  256  29 : 2  28 


Ответ: Да.
9
8

Вопрос 3. Больше ли число х, чем 384?  384  2  2 
2


Ответ: Нет.
Вопрос 4. Больше ли число х, чем 320?  320  384  256 


2
Ответ: Нет.
Вопрос 5. Больше ли число х, чем 288?  288  320  256 


2
Ответ: Да.
Вопрос 6. Больше ли число х, чем 304?  304  288  320 


2
Ответ: Нет.
Вопрос 7. Больше ли число х, чем 296?  296  288  304 


2
Ответ: Да.
Вопрос 8. Больше ли число х, чем 300?  300  304  296 


2
Ответ: Нет.
Вопрос 9. Больше ли число х, чем 298?  298  296  300 


2
Ответ: Да.
Вопрос 10. Больше ли число х, чем 299?  299  298  300 

2

Ответ: Да.
Следовательно, задумано число 300 (это единственное целое число большее
299, но не больше 300). Значит, Костя сможет узнать задуманное Петей число.
ДОПОЛНИТЕЛЬНУЮ
ИНФОРМАЦИЮ
ПО
ОЛИМПИАДЕ МОЖНО УЗНАТЬ ПО ТЕЛЕФОНУ 8 0222
28–35–25.