Эл/магн процессы описываются след величинами:

1. Электромагнитные процессы
Эл/магн процессы описываются след величинами:
1. Эл ток I,i (А) 2.Напряжение U,u (В) 3.ЭДС Е,е (В) 4.Сопротивление R,r (Ом)
5.Индуктивность L (Гн) 6.Емкость С (Ф) 7.Магн поток Ф (Вб) 8.Эл заряд Q,q (Кл)
Эл цепь - совокупность источников и приемников, соединенных с помощью
токоведущих проводников
Источники – активные элементы эл цепи(генераторы, аккумуляторы)
Приемники (нагрузка) – пассивные элементы эл цепи (лампочки, нагреватели)
В них происходит преобразование эл энергии в тепловую, механическую и др
виды энергии
Приемники делятся на:
1. Резистивный элемент с сопротивлением R (идеализированный резистор)
В этих элементах происходит преобразование эл энергии в
тепловую
2
P = I .R
С помощью этих элементов отражается преобраз. эл. энергии в механическую
2. Индуктивный элемент с индуктивностью L
В этих элементах накапливается эл энергия в магнитном поле, энергия кот равна:
I 2L
W
2
3. Емкостной элемент с емкостью с
В этих элементах эл энергия накапливается в эл поле, энергия кот равна:
U 2C
W
2
Приемники делятся на линейные, нелинейные и параметрические.
-Если параметры элементов R, L, c не зависят от токов и напряжений, то такие
элем наз линейными, а цепи, сост из этих элементов соотв линейными
-Если параметры элементов R, L, c зависят от токов и напряжений, то такие элем
наз нелинейными, а цепи, сост из этих элементов соотв нелинейными
-Если параметры элементов R, L, c зависят от времени, то такие элем наз
параметрическими, а цепи, сост из этих элементов соотв параметрическими
-Если токи и напряжения в эл цепи остаются неизменными во времени, то такие
цепи наз эл цепями постоянного тока
Узел эл цепи – точка, в кот соединяются три и более проводников Ветвь – участок
эл цепи между двумя узлами Контур – любой замкнутый путь в эл цепи
2. Линейные электрические цепи постоянного тока
Основные законы:
1.
2.
3.
З-н Ома для участка цепи: I=U/R (I=U*G, G=1/R, G=[См])
З-н Ома для замкнутой цепи: I=E/(R+r)
З-н Ома для участка цепи, содержащий источник ЭДС:
->
а) а
в
I
R
I
R
φа= φв-E+IR; I=( φа- φв+E)/R=(Uав+E)/R
в
φа= φв+E+IR; I=( φа- φв-E)/R=(Uав-E)/R
E
<-
б) а
в
E
4.
Первый з-н Кирхгофа
∑𝒏к=𝟏 𝑰 = 𝟎 Алгебраическая сумма токов в узле равна 0
5.
Второй з-н Кирхгофа ∑𝒏𝒌=𝟏 𝑰𝑹= ∑𝒏𝒌=𝟏 𝑬
Алгебраическая сумма падений напряжений в замкнутом
контуре равна алгебраическая сумме ЭДС в этом контуре
6.
Закон Джоуля-Ленца
W=I2Rt
P=I2R=IU=U2/R
1.
3. Расчет электрических цепей методом преобразований.
последовательное соединение
R1
2.
R2
Rý  R1  R2  R3
Rэ
R3
параллельное соединение
I1
I2
R1
R2
1
1
1
 
Rý R1 R2
R2
R1  R2
R1  R2
R1
R1  R2
R2
I

I
I
R

I
I

I
2
1
правило плеч: 1 1
R1  R2
R1  R2
R1  R2
Rý 
R1
Rý 
R1 R2 R3
R1 R2  R2 R3  R1R3
R3
Переход от «звезда» к «треугольнику»
1
R1
R12
R31
R3
R2
R23
3
2
R12  R1  R2 
R31  R3  R1 
R1 R2
R3
R23  R2  R3 
R2 R3
R1
R1 R3
R2
R1 
R12 R21
R12 R23
R2 
R12  R21  R31
R12  R21  R31
R3 
R23 R13
R12  R23  R31
R7
R1
R7
R8
R2
R3
R1
R9
R9
R8
R4
R5
R5
R7
R1
I5
I1
R10
R1
R6
R7
R11
R12
R10  R9  R5
I 5  I1
R11
R10  R11
R11  R6  R8 R12 
R10 R11
E1
I1 
R10  R11
R1  R7  R12
I 6  I1  I 5
4.Метод уравнений Кирхгофа
 I1  I 2  I 3  0

 I1Z1  I 3 Z 3  E1

 I 2 Z 2  I 3 Z 3  E2
5. Метод контурных токов в обычной и матричной форме
Сущность метода:
Задаются направления контурных токов и составляется система
уравнений, затем из системы уравнений находим контурные токи.
Необходимые же токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма
контурных токов.
Если в схеме есть источник тока, то контурные токи выбираются так, что
бы через него протекал лишь один контурный ток и его величина будет
равна величине истока источника Ik= J.
Последовательность расчетов:
1. Выбираем направления контурных токов
2. задаем направления токов в ветвях.
3.
Составляем систему уравнений(число контуров = числу уравнений)
R11 I1k + R12 I2k =E1k
R21 I1k + R22 I2k =E2k
R11 , R22—сопротивления контуров (1-го и 2-го): сумма всех
сопротивлений входящих в данный контур.
R21, R12—сопротивление между соответствующими контурами (1-м и 2-м)
!!R берется с «-» если не совпадают направления контурных токов на
данном резисторе!!
E1k , E2k—контурные ЭДС, равен алгебраической сумме ЭДС входящих в
контур (!!берется с «+» если направление совпадает с направлением
контурного тока, «-» если не совпадает!!)
4. Находим токи в ветвях, как алгебраическую сумму
!!если направление контурного тока совпадает с направлением тока в
ветви, то он берется с «+», если нет то с «-»!!
Пример: I2 = I2k - I1k
6. Метод наложения
Сущность: метод опирается на принципе
наложения, согласно которому токи в ветвях
равны алгебраической сумме частичных токов,
вызываемых каждым эдс в отдельности.
Последовательность расчета:
1. Оставляем первую эдс Е1, а все остальные
источники заменяем их внутренними
сопротивлениями и рассчитываем токи во всех
ветвях схемы под действием этой эдс (Е)
2. Оставляем эдс Е2 и рассчитываем токи во всех
вестях схемы под действием этой эдс. Эта
процедура повторяется столько раз, сколько
источников в схеме.
3. Находим токи в ветвях как алгебраическую
сумму частичных токов.
7.
Метод узловых потенциалов в обычной и матричной форме
Данный метод целесообразно использовать, когда q - 1 меньше n (p > 2(q - 1)).
Узловыми напряжениями (потенциалами) называют напряжения между каждым из q-1 узлов
и одним произвольно выбранным опорным узлом.
По I закону Кирхгофа записывают q-1
независимых уравнений, в которых токи
заменяют через узловые напряжения и
проводимости ветвей между узлами.
Обозначим:
задающий ток 2-го узла ( токов соседних
узлов).
Введем
. Заменим также
;
; .
Отсюда находятся все узловые напряжения, а затем определяются токи в ветвях.
Метод узловых потенциалов в матричной форме:
На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было
указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:
,
где
(14)
- диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за
исключением элементов главной диагонали, равны нулю.
!! МатрицыZ и Y взаимно обратны!!.
Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицуАи учитывая первый закон Кирхгофа,
согласно которому ,
Затем получим:
Выражение (16) перепишем, как:
(15)
.
(16)
.
(17)
Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю,
определим напряжения на зажимах ветвей: .
(18)
Тогда получаем матричное уравнение вида: .
(19)
Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если
обозначить
(20)
(21)
,то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых
потенциалов:
(22)
где - матрица узловых проводимостей; - матрица узловых токов.
В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:
(23)
,то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.
Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.
Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией
ветвей представлен на рис. 5.
Узловая матрица (примем
)А.
Диагональная матрица проводимостей ветвей:Y
где
.
,
Матрица узловых проводимостей
.
Матрицы токов и ЭДС источников
Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:
.Таким образом, окончательно получаем:
;
где
;
;
;
.
Выводы: анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны
тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по
известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.
8.
Метод двух узлов
Метод двух узлов — метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его
помощью определяют затем и токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами
схемы. Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла. Наиболее рациональным
методом расчета токов в них является метод двух узлов.
Формула для расчета напряжения между двумя узлами:
Пример 11:
Найти токи в схеме, если
E1=120 В, E3=50 В, R1=2 Ом, R2=4 Ом, R3=1 Ом, R4=10 Ом.
(В);
(А);
(А);
𝐼3 = − 55,4 А; I4 = − 0,54 А.
Пример 22:
Найти в схеме рис. 2.23, и сделать проверку баланса мощности, если
Определим токи в схеме:
В схеме потребляется мощность:
Источники ЭДС доставляют мощность:
9. Метод эквивалентных генераторов.
Применяется в тех случаях, когда требуется найти ток в одной из ветвей сложной схемы.
Сущность метода: выделяется ветвь, в которой требуется найти ток, а остальная часть схемы
заключается в активный двухполюсник, который в свою очередь заменяется эквивалентным
генератором, ЭДС которого равна напряженности холостого хода, а внутреннее
сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника
.
А – указывает, что двухполюсник
активен, т.е. содержит в себе и
источник тока и источник ЭДС
𝑰к =
Еэ
𝑹э+𝑹к
=
𝑼авх
𝑼вх + 𝑼к
Последовательность расчета:
1) Разрываем ветвь, в которой
требуется найти ток и
определяем напряжение
холостого хода на зажимах
разорванной ветви 𝑈вх
2) П – двухполюсник пассивный,
т.е. не содержит ЭДС и источник
тока. Заменяем все источники их
внутренним сопротивлением и
определяем входное
сопротивление схемы в
отношении к разорванной
ветви.
3) Определяем ток в
интересующей нас ветви по
формуле:
𝐼к =
𝑈авх
𝑅вх + 𝑅к
10.Метод пропорционального пересчета.
Последовательность:
1) Задаемся током или напряжением в одной из наиболее
удаленных ветвей и пользуясь законами Ома и Кирхгофа
рассчитываем входящую ЭДС . Поскольку она будет отличаться
от действительной, вводим коэффициент пропорциональности.
К=Едейств/Ерасчетн
2) Находим действительные токи в ветвях, умножив расчетные
на коэффициент пропорциональности.
R1
I1
I2
a
R3
I3
R5
R4
b
1)
I’3 =1 A
U’ab = I’3 (R3+R4) I’2 = U’ab /R2
E’расч= I’1 R1+ U’ab
K=Eдейств/Е’расч
2)
I1 = K I’1 I2=K I’2 I3 =K I’3
I’1 = I’3+ I’2
11. Синусоидальный ток и основные величины, характеризующие его.
Электромагнитные процессы, мгновенные значения которых повторяются через равные
промежутки времени, называются периодическими. Наименьший интервал времени, через
который электромагнитные процессы повторяются, называются периодом. Величина,
обратная периоду, называется частотой.
Область частот от 20 Гц до 10 кГц – низкие частоты, от 10 кГц до 100МГц – высокие частоты,
выше 100МГц – сверхвысокие частоты.
Синусоидальный ток – ток, изменяющийся по закону синуса или косинуса.
i=lmsin(ωᴌ+ψi)
i - мгновенное значение тока
lm – амплитуда тока (максимальное значение)
(ωᴌ+ψi) - фаза
ω – угловая частота
u=Umsin(ωᴌ+ψi)
12.Среднее и действующее значение синусоидального тока.
Синусоидальный ток и его основные характеристики
В настоящее время переменный ток находит широкое применение в технике, так
как он легко трансформируется и передается на большие расстояния при
высоком напряжении и малых потерях. Кроме того, электрические машины и
другие электротехнические устройства, предназначенные для работы в цепях
переменного тока, относительно просты и достаточно надежны в эксплуатации. В
электротехнике наибольшее распространение получил синусоидальный
переменный ток, то есть ток, величина которого изменяется по закону синуса.
Поэтому мгновенное значение синусоидального тока выражается формулой
2 πt
i  Im  Sin(
 ψ )  Im  Sin( ωt  ψ ) , f = 1/T - частота,
T
ω – угловая частота (выражается в рад/с или
с-1 ).
ω  2 πf 
2π
T .
Аргумент синуса, то есть ( ωt  φ ) называют фазой. Фаза характеризует состояние
колебания (его численное значение) в данный момент времени t.
Любая синусоидально измен функция определяется тремя величинами:
амплитудой, угловой частотой и начальной фазой. Если частота слишком низкая,
то увеличиваются габариты электрических машин и, следовательно, расход
материалов на их изготовление. При больших частотах увеличиваются потери
энергии в сердечниках эл. машин и трансформаторах.
Под средним значением синусоидально изменяющейся величины понимают её
среднее значение за полпериода. Среднее значение тока:
Iср 
T
2
1
2
  ImSinωtdt   Im
.
Т
π
0
2
О переменном токе всё известно, если
задано его уравнение или график..
Переменный ток обычно характеризуют его действующим значением
T
I
1
I
I 
  I 2 m  Sin2ωtdt  m  0.707 Im . Следовательно, действующее
T 0
2
значение синусоидального тока равно 0,707 от амплитудного.
13. Представление однофазного синусоидального тока с помощью вращающихся векторов.
Проекция вращающегося вектора на ось У есть синусоида , на ось Х –
косинусоида.
y
Im 3
3
Im 2
I
2
Im 1
т
x
5
1
4
0
П/2
П
3П/2
Im
2П
wt
5
14. Активное сопротивление, индуктивность, ёмкость цепи синусоидального
тока.
Активное сопротивление
U = Umsin(wt) i = U/R = (Umsin(wt))/R = Imsin(wt)
Im = Um/R
Ток в активном сопротивлении совпадает по фазе с напряжением
Im = Um/R = Umеjψu/R = Imеjψu
Индуктивность
Ui = L(di/dt) = L(d(Imsin(wt))/dt) = wLImcos(wt) = Umsin(wt+90)
Um = wLIm = XLIm
XL = wL - индуктивное сопротивление
Напряжение на индуктивности опережает ток в ней на 90 градусов или иначе ток
в индуктивности отстает от напряжения на 90 градусов
Im = Um/jXL = (Umеjψu)/(XLеj90) = Imеj(ψu-90)
Емкость
ic = C(dU/dt) = C(d(Umsin(wt))/dt) = wCUmcos(wt) = Umsin(wt+90) / (1/wC)
Im = Um / (1/wC) = Um/Xc
Xc = 1/wC – емкостное сопротивление
Ток в емкости опережает напряжение на 90 градусов
Im = Um/-jXL = (Umеjψu)/(XLе-j90) = Imеj(ψu+90)
15. Символический метод расчета цепей синусоидального тока
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме
Сущность символического метода заключается в переходе от дифференциальных
уравнений к алгебраическим, составленным для комплексных напряжений и
токов
i  Im
UR =Ri  Um = R * Im
UL=L * di/dt  Um=jwLIm
Дифференцирование мгновенного значения соответствует умножению
комплексного числа на jw
UC=(1/C)* ∫ i dt
Интегрирование мгновенного значения соответствует делению комплексного
числа на jw
Рассмотрим последовательное соединение R,L,C.
i
U
R
L
C
UR
UL
UC
U=UR+UC+UL=Ri+Ldi/dt+(1/C)* ∫ i dt
Um=RIm+jXLIm+(-jXC)Im=Im(R+jXL-jXC)=ImZ
Im=Um/Z – з-н Ома в комплексной форме
Z=Zejφ=R+jX=R+j(XL+XC), φ=ψU+ψi – угол сдвига фаз между напряжением и
током
Z – комплексное сопротивление Z – полное сопротивление R – активное
сопротивление X – эквивал. реактивное сопротивления XL – индуктивное
сопротиление XC – емкостное сопротиление
Параллельное соединение:
I
IR
R
IC
IR
L
C
i= iR +iL +iC
I= IR+ IL+IC=U/R +U/jXL+U/(-jXC)=U(1/R+1/jXC+1/(-jXC))=U(g-jbL+jbC)=UY
Y=Ye-jφ=g-j(bL-bC)=g-jb
Y – комплексная проводимость Y – полная проводимость g=1/R –
активная проводимость bL=1/XL – индуктивная проводимость bC=1/XC –
емскостная проводимость b=bC-bL – эквивалентная реактивная
проводимость
+j
IC
U
IR
I
φ=ψU+ψI
IL
n
ΣIn=0
- 1й з-н Кирхгофа
n=1
n
n
ΣIkZk= Σ Ek
k=1
k=1
- 2й з-н Кирхгофа
+1
16. Треугольник сопротивлений и треугольник проводимости
Треугольник сопротивлений
z=𝑧
𝑒 𝑗𝜑
= 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑗𝑧𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑅 + 𝑗𝑥
R = z cos𝜑
z = √𝑅2 + 𝑥 2
X = jz sin𝜑
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥
𝑅
Треугольник проводимостей
Y = Y𝑒 −𝑗𝜑 = 𝑌 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑗𝑌 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑔 − 𝑗𝑏
g = Y cos𝜑
Y = √𝑔2 + 𝑏 2
b = Y sin𝜑
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑏
𝑔
17. Схемы замещения реальных приёмников.
1) Схема замещения резистора
а) при низкой частоте
б) при высокой частоте у проволочных резисторов необх. учитывать их
эффективное сопротивление
2) Схема замещения катушки индуктивности
а) при низкой частоте необх. учитывать, что у катушки есть индуктивность
Y
R  jX L
XL
1
1
R


 2

j
 g  jbL
2
2
2
Z R  jX L R  jX L R  X L
R  XL
R
g 2
2
R  XL
Z
bL 
XL
R2  X L
2
g  jbL
bL
1
1
g


 2

j
 R  jX L
2
2
Y g  jbL g  jbL g  b 2 L
g b L
б) при высокой частоте необх. учитывать поверхностный эффект, эффект
близости и межвитковую ёмкость
3) Схема замещения конденс.
а) при низкой частоте конденс. может быть представлен только ёмкостным
сопротивлением
, т.к. X C  R
б) при высоких частотах необх учитыв потери выделения
18. Топографическая диаграмма
Для суждения о напряжениях между различными точками схемы удобно пользоваться
топографической диаграммой.
ТД - это диаграмма комплексных потенциалов всех точек схемы на комплексной плоскости ,
причём точка потенциал которой равен 0 располагается в начале координат.
19. Методы расчета сложных цепей синусоидального тока.
Расчет сложных синусоидальных цепей производится теми же методами, что и расчет
простых цепей:
1. Метод ур-ий Кирхгофа 2.Метод контурных токов 3.Метод наложения 4.Метод узловых
потенциалов 5.Метод эквивалентного генератора 6.Отличие закл в том, что в ур-иях
вместо напряжений будут комплексные напряжения
U U
I
I
R Z
G Y
Метод ур-ий Кирхгофа:
 I1  I 2  I  0
3

 I1Z1  I 3 Z 3  E1

 I 2 Z 2  I 3 Z3  E2
Метод контурных токов:
 Z11 I1k  Z12 I 2 k  E1k

 Z 21I1k  Z 22 I 2 k  E2 k
Z11  Z1  Z 3
Z 22  Z 2  Z 3
Z12  Z 21  Z 3
Метод узлов:
U ab
E Y

Y
k k
E1
I1 
E2

Z1
Z2

1  1  1
Z1
Z2
Z3
I2 
I3 
E1  U ab
Z1
E2  U ab
Z2
U ab
Z3
20. Мощность в цепи синусоидального тока
1. Активная мощность – среднее значение мгновенной мощности за период (та
энергия, которая преобразуется в тепловую)
P=UIcosφ=I2R
[Вт]
2. Полная мощность (представляет собой активную мощность, которую могли бы
отдать генератор или трансформатор при cosφ=1)
S=UI= I2Z
[ВА]
3.Реактивная мощность (та энергия, которой обмениваются источник и приемник
и которая накапливается в эл. и маг. полях). Положительна при отстающем токе,
отрицательна при опережающем токе.
Q=UIsinφ=IX [вар]
Связь между мощностями:
S2=P2+Q2
4. Комплексная мощность
S=U*I"=P+jQ
Коэффициент мощности:
cosφ=P/S=P/IU
21. Комплексная мощность.
U  Ue jU I  Ie jI
I
(начальная фаза тока)
U
(начальная фаза напр.)
Под комплексной мощн. S понимают произведение U на I (сопр. комплексного тока перед мнимой частью «-»)
ii
||
||
I  Ie
S  U  I ||  Ue jU  Ie jI  UIe j (U I )  UIe j  Se j  UI cos   jUI sin   P  jQ
S  P  jQ
P  Re( S )  Re(U  I || )
Q  Im( S )  Im(U  I || )
n
n
 S èñò î ÷í .   S ï ðèåì í . -баланс мощностей
k 1
k
k 1
k
22. Цепи со взаимной индуктивностью
Если магнитный поток 1-й катушки пересекает плоскость и сцепился витками с другой
катушкой, то их называют индуктивносвязанными.
Пусть ток протекает по 1-й катушке Ф1=Фм1+Фs1
Ф1 – магнитный поток 1-й катушки
Фм1 – взаимный магнитный поток 1-й катушки
Фs1 – магнитный поток рассеяния
Ψ1=Ф1*w1
Ψм1=Фм1w2 – потокосцепление взаимной
индукции 1-ой со 2-ой
L
1
i1
M
 [ Гн] собственная индуктивность катушки
 m1
i1

w2Фм1 m 2 w1Фм 2


[ Гн] ,
i1
i2
i2
величина взаимной индукции степень индукционной связи который характеризуется
коэффициентом связи
М
𝑿м
Ксв =
=
<𝟏
√𝑳𝟏𝑳𝟐
√Х𝑳𝟏 𝑿𝑳𝟐
Если токи протекают по обеим катушкам, то магнитные потоки самоиндукции и
взаимоиндукции могут совпадать по направлению (согласное) и могут быть направлены
навстречу друг другу(встречное включение) Если направление намотки катушки известно, то
одноименные зажимы определяются по правилу буравчика, если направление намотки не
известно, то одноименные зажимы могут быть определены эксперементальноследственными способами
23. Последовательное соединение индуктивно связанных катушек
Включение катушек может быть:
1.
Согласным, если поток самоиндукции совпадает направлением с
взаимоиндукции
потоком
U= IR1 + I*J*XL1 + IR2 + I *J*XL2 + 2*I* JXM
XM=ωM M=kсв *(L1 * L 2)1/2 или XM=kсв *( XL1* XL2) 1/2
2.
Встречным, если поток самоиндукции не совпадает направлением с потоком
взаимоиндукции
U= IR1 + I*J*XL1 + IR2 + I *J*XL2 -- 2*I* JXM
Xm=ωM M=kсв *(L1 * L 2)1/2 или Xm=kсв *( XL1* XL2) ½
1
24. Экспериментальное определение величины взаимной индукции
1а
*
1б
*W
А
*
А
V
*

V
Сначала определяем эквивалентное индуктивное сопротивление обеих катушек (XLЭсогл и
XLЭвстреч)
А) 𝒛 =
Б) 𝒛 =
𝑼
𝑰
𝑼
𝑰
𝑹=
𝑷
𝑰𝟐
XLЭ=√𝒁𝟐 − 𝑹𝟐
XLЭ=Zsin
XLЭсогл=(L1+L2+2M)
_
XLЭвстреч=(L1+L2-2M)
____________________
XLЭсогл -XLЭвстреч=4M => M =
i1
𝐗𝐋Эсогл−𝐗𝐋Эвстреч
𝟒
U2=M
A
юю Г2
V
𝒅𝒊𝟏
𝒅𝒕
Г2=ЬШ1 =Ю Ь= б𝑼𝟐𝒊𝟏ю = б𝑼𝑰ю
25.Параллельное соединение индуктивно связанных элементов цепи
Параллельное соединение катушек индуктивности:
1) согласное включение
2) встречное включение
I  I  I
1
2

U  I1Z1  I1Z m

U   I1Z m  I 2 Z 2
«+» для согласного
«-» для встречного
Введем обозначения:
Z1  R1  jX l1
Z 2  R2  jX l 2
Z m  jX m
U  Z m 


U Z2 
  UZ 2  UZ m
I1  
 Z1  Z m  Z1 Z 2  Z 2 m


 Zm Z2 


 Z1 U 


  Z m U  UZ  UZ
1
m
 
I2  
2
 Z1  Z m  Z1 Z 2  Z m


 Zm Z2 


I  I1  I 2 
«-» для согласного
«+» для встречного
U ( Z1  Z 2  2Z m )
Z1 Z 2  Z
2
m
«-» для согласного
«+» для встречного
Вывод: при параллельном соединении эквивалентное сопротивление меньше
меньшего из сопротивлений, однако несколько больше эквивалентного сопротивления при
отсутствии взаимной индукции - при одноименном соединении и меньше - при
разноименном.
26. Расчет сложных цепей синусоидального тока при наличии взаимной индукции
Сл.эл.цепи при наличии взаимоиндукции рассчитываются методом ур-ий Киргофа,
либо методом контурных токов. Понятие согласного и встречного вкл. катушек теряет смысл в
данном случае, и говорят о согл. или встр. напр. токов в катушках. Произв. ωMksIs берется со
знаком «+», если направления обхода катушки k и токов катушки s совпадают относит.
одноименных зарядов.
 I1  I 2  I 3  0

 I1 R1  I1 jX l1  I 2 jX m  I 3 ( jX c )  E1

 I 2 R2  I 2 jX l 2  I1 jX m  I 3 ( jX c )   E1
Z11  R1  jX l1  jX ñ
Z 22  R2  jX l 2  jX ñ
 I1k Z11  I 2 k Z12  E1k

 I1k Z 21  I 2 k Z 22  E2 k
Z12  Z 21  jX m  ( jX ñ )
E1k  E1
E2 k   E2
28. Электрические цепи трехфазного тока.
Электрические цепи трехфазного тока представляют собой совокупность трех однофазных
источников одинаковой частоты, смещенных друг относительно друга на 120°. (с
одинаковыми источниками (с одинаковой частотой)). Практически вся энергия
вырабатывается с помощью электрических цепей трехфазного тока.
Причины:
1) Передача энергии более экономична, чем через цепи с другим количеством фаз.
2) Трехфазные асинхронные двигатели и трансформаторы просты в изготовлении, надежны и
экономичны в работе.
27. Линейный (без сердечника) трансформатор
Схема линейного трансформатора состоит из двух магнитносвязанных
катушек, к одной из которых (первичной) подключается источник ЭДС Е, а ко
второй (вторичной)  нагрузка ZН .
I1
I2
 ХМ
X1

X2
ZН
E
R1
R2
Уравнения Кирхгофа для схемы трансформатора в комплексной форме
имеют вид:
I 1 jX 1  I 2 jX M  I 1 R1  E
(1)
I 2 jX 2  I 1 jX M  I 2 R2  I 2 Z Н  0
(2)
С целью магнитной развязки схемы добавим в уравнение (1) слагаемые
(I1jXМ  I1jXМ), а в уравнении (2)  слагаемые (I2jXМ – I2jXМ), в результате получим:
I 1 R1  j  X 1  X M   jX M   I 2 jX M  E
I 2 R2  j  X 2  X M   Z 2   I 1 jX M  0
Новые уравнения являются контурными для некоторой новой эквивалентной схемы без магнитных связей:
R1
R2
X2 ХМ
X1ХМ
E
ZН
ХМ
I1
I2
29. Расчёт электрических схем, соединённых по схеме звезда (интернет..редактировать)
Трехфазную цепь, соединенную звездой, удобнее
всего рассчитать методом двух узлов.
В общем случае сопротивления фаз нагрузки
неодинаковы (ZA ≠ ZB ≠ ZC )
Нейтральный провод имеет конечное сопротивление
ZN .
В схеме между нейтральными точками источника и
нагрузки возникает узловое напряжение или напряжение смещения нейтрали.
Это напряжение определяется по формуле (7.2).
Фазные токи определяются по формулам (в соответствии с законом Ома для
активной ветви):
Ток в нейтральном
проводе
Частные случаи.
1. Симметричная нагрузка. Сопротивления фаз нагрузки одинаковы и равны
некоторому активному сопротивлению ZA = ZB = ZC = R.
Узловое напряжение
,потому что трехфазная система ЭДС симметрична,
Напряжения фаз нагрузки и генератора одинаковы:
.
Фазные токи одинаковы по величине и совпадают по фазе со своими
фазными напряжениями. Ток в нейтральном проводе отсутствует
В трехфазной системе, соединенной звездой, при симметричной нагрузке
нейтральный провод не нужен.
Векторная диаграмма трехфазной цепи для симметричной нагрузки.
2. Нагрузка несимметричная, RA< RB = RC, но сопротивление нейтрального
провода равно нулю: ZN = 0. Напряжение смещения нейтрали
Фазные напряжения нагрузки и генератора одинаковы
Фазные токи определяются по формулам
Вектор тока в нейтральном проводе равен геометрической сумме векторов
фазных токов.
векторная диаграмма трехфазной цепи,
соединенной звездой, с нейтральным
проводом, имеющим нулевое сопротивление,
нагрузкой которой являются неодинаковые по
величине активные сопротивления.
3. Нагрузка несимметричная, RA< RB = RC, нейтральный провод отсутствует,
В схеме появляется напряжение смещения нейтрали,
вычисляемое по формуле:
Система фазных напряжений генератора
остается симметричной. Это объясняется тем,
что источник трехфазных ЭДС имеет
практически бесконечно большую мощность.
Несимметрия нагрузки не влияет на систему напряжений генератора. Из-за
напряжения смещения нейтрали фазные напряжения нагрузки становятся
неодинаковыми.
Фазные напряжения генератора и нагрузки отличаются друг от друга. При
отсутствии нейтрального провода геометрическая сумма фазных токов равна
нулю.
изображена векторная диаграмма трехфазной цепи с
несимметричной нагрузкой и оборванным нейтральным проводом. Векторы
фазных токов совпадают по направлению с векторами соответствующих фазных
напряжений нагрузки. Нейтральный провод с нулевым сопротивлением в схеме с
несимметричной нагрузкой выравнивает несимметрию фазных напряжений
нагрузки, т.е. с включением данного нейтрального провода фазные напряжения
нагрузки становятся одинаковыми.
30. Расчёт трёхфазных цепей, соединённых по схеме «треугольник».
Схема соединения – треугольник.
При этой схеме начало следующей фазы соединяется с концом предыдущей.
При схеме соединения “треугольник” к каждой фазе приложены линейные напряжения.
UAB, UBC, UCA – линейные напряжения (они же и фазные).
IAB, IBC, ICA – фазные токи.
IA, IB, IC – линейные токи.
Расчет трехфазных цепей по схеме “треугольник”.
1) Симметричная нагрузка Z AB  Z BC  Z CA  Z Ф
I AB  
I BC 
I CA
U AB U Ф

Z AB Z Ф
U BC
 U Ф  e  j120  I A  e  j120  a 2 I A
Z BC
U CA U Ф  e j120


 I A  e j120  a  I A
Z CA
ZФ
 I A  I AB  I CA

2
 I B  I BC  I AB  a I A
 I  I  I  aI
CA
BC
A
 C
I A  3I Ф - только при симметричной нагрузке.
2) Несимметричная нагрузка Z AB  Z BC  ZCA ; (U Л  UФ )
I AB 
I BC
UФ
;
Z AB
U BC U Ф  e  j120


Z BC
Z BC
I CA 
U CA U Ф  e j120

Z CA
Z CA
 I A  I AB  I CA

2
 I B  I BC  I AB  a I A
 I  I  I  aI
CA
BC
A
 C
Пример
Дано :
U Л  U Ф  220( В)
Z AB  100(Ом)
Z BC  100  e j 90 (Ом)
ZCA  100  e j 90 (Ом)
Решение
U
I AB  Ф  2, 2( A);
Z AB
I BC 
I CA
U BC U Ф  e j120

 1,9  j1,1( A)
Z BC
Z BC
U CA U Ф  e j120


 1,9  j1,1( A)
Z CA
Z CA
 I A  I AB  I CA  0,3  j1,1( A)

2
 I B  I BC  I AB  a I A  0,3  j1,1( A)
 I  I  I  aI  j 2, 2( A)
CA
BC
A
 C
31. Вращающееся магнитное поле.
Используется для создания асинхронных и синхронных электродвигателей. Для получения
вращающегося магнитного поля необходимо выполнение двух условий:
1) Необходимо наличие трех катушек, смещенных друг относительно друга на 1200
2) Необходимо протекание трехфазного тока по этим катушкам.
i A  I m sin t
i B  I m sin( t  120 0 )
iC  I m sin( t  240 0 )  I m sin( t  120 0 )
Протекающий по катушкам трехфазный электрический ток создает пропорциональный себе
трехфазный магнитный поток:
Ô A  Ô m sin t
Ô B  Ô m sin(t  1200 )
Ô C  Ô m sin(t  1200 )
1) Рассмотрим ωt1 = 300:
Фm
2
ФB  Фm sin( 30 0  120 0 )  Фm
ФA  ФC  Фm sin 30 0 
2) Рассмотрим ωt2 = 900:
ФA  Фm sin 90 0  Фm
1
ФB  ФC  Фm sin( 900  120 0 )   Фm
2
3) Рассмотрим ωt3 = 1200:
3
Фm
2
ФB  Фm sin( 120 0  120 0 )  0
Ф A  Фm sin 120 0 
ФC  Фm sin( 120 0  120 0 )  
3
Фm
2
Таким образом, вращающееся магнитное поле за время, равное одному периоду Т
совершает один полный оборот.
При частоте 50 Гц(f =50 Гц), T=1/f=0.02 c
T=0.02c ---- 1 оборот
T=1c ------50 оборотов
T=1мин--- 3000 оборотов
n

60 f
- скорость вращающегося магнитного поля об мин
p
p – число пар полюсов, т.е. число катушек в каждой фазе
f – частота переменного тока.
P=1--- n=3000 об мин
P=2--- n=1500 об мин
P=3 --- n=1000 об мин

32.
Принцип действия асинхронного двигателя.
Асинхронный двигатель состоит из статора (неподвижная часть) и
ротора (вращающаяся часть).
а) Статор
1 – Корпус.
2 – Срдечник (набирается из пластин
электротехнической стали).
3 – Обмотки из медного проводника
(укладываются в пазы статора).
б) Ротор
1 – Вал.
2 – Сердечник (собирается из пластин
электротехнической стали).
3 – Обмотка ротора.
Принцип действия асинхронного двигателя.
Протекающий по обмоткам статора трехфазный электрический ток
создает вращающееся магнитное поле. Вращающееся магнитное
поле пересекает обмотку ротора и наводит в них ЭДС. Под
воздействием ЭДС в обмотках ротора протекает электрический ток.
Взаимодействие вращающегося магнитного поля с током обмоток
ротора создает вращающий момент.
Электродвигатель называют асинхронным, т.к. скорость вращения
ротора немного меньше скорости вращения вращающегося
магнитного поля.
vP  0.95  0.98vВМП
33,35 Метод симметричных составляющих.
Метод симметричных составляющих применяется для расчета несимметричных трехфазных систем
напряжений, токов, и магнитных потоков. Сущность метода заключается в том, что любая
несимметричная система может быть заменена тремя симметричными: прямой последовательности,
обратной последовательности и нулевой последовательности, причем расчет для каждой системы
производится в отдельности.
Система прямой последовательности:
 A1  A1

2
 B1  a A1
C  aA
1
 1
Система обратной последовательности:
 A2  A2

 B2  aA2

2
C 2  a A2
Система нулевой последовательности:
A0  B0  C0
A  A1  A2  A0  A1  A 2  A0 - (1)
B  B1  B2  B0  a 2 A1  aA 2  A0 - (2)
C  C1  C 2  C0  aA1  a 2 A 2  A0 - (3)
Все величины – КОМПЛЕКСНЫЕ!
Для получения системы нулевой последовательности сложим (1), (2) и (3).
В результате получим:
A  B  C  A1 (1  a 2  a )  A2 (1  a  a 2 )  3 A0
1
A0  ( A  B  C )
3
Для получения системы прямой последовательности умножим (2) на “a”, а (3) –
на “a2”.
В результате получим:
A  aB  a 2 C  A1 (1  a 3  a 3 )  A2 (1  a 2  a 4 )  A0 (1  a  a 2 )  3 A1
1
A1  ( A  aB  a 2 C )
3
Для получения системы обратной последовательности умножим (2) на “a2”, а (3) –
на “a” и сложим полученные уравнения.
В результате получим:
A  a 2 B  aC  A1 (1  a 4  a 2 )  A2 (1  a 3  a 3 )  A0 (1  a 2  a)  3 A2
1
A2  ( A  a 2 B  aC )
3
Пример
Ðåø åí èå
1
1
100
U A0  (U A  U B  U C )  (100  j100  j100) 
 33,3( B)
3
3
3
U A0  U B 0  U C 0  33,3( B)
1
1
U A1  (U A  aU B  a 2U C )  (100  100  e  j 90  e j120  100  e j 90  e  j120 )  91,1( B)
3
3
U A1  91,1( B)
U B1  91,1 e  j120 ( B)
U C1  91,1 e
U A2
j120
( B)
1
1
 (U A  a 2U B  aU C )  (100  100  e j 90  e j120  100  e j 90  e j120 )  24, 4( B)
3
3
U A 2  24, 4( B)
U B 2  24, 4  e j120 ( B)
U C 2  24, 4  e  j120 ( B)
Проверка
U A  U A1  U A 2  U A0  91,1  24, 4  33,3  100( В)
Дано :
U A  100( B)
U B  100  e  j 90 ( B)
U C  100  e j 90 ( B )
Найти U A1 ,U A 2 ,U A0  ?
1.
34. Фильтры симметричных составляющих
Фильтр напряжения 0-ой последовательности
Фильтр
напряжений
0-ой
последовательности состоит из 3-ех
однофазных
измерительных
трансформаторов
напр.,
первичные
обмотки которые соединены по схеме
звезда с нейтральным проводом, а
вторичные обмотки соединены по схеме
разомкнутый треугольник, на выходе кот.
включается вольтметр или релейная защита
(т.к. напряжение на выходе разомкнутого треугольника пропорционально напряжению
нулевой последовательности)
2.
Фильтр токов 0-ой последовательности
К – коэффициент трансформации
Фильтр
токов
0-ой
последовательности состоит из 3-ех
однофазных
измерительных
трансформаторных токов, первичные
обмотки кот. (L1, L2…) включены
последовательно в лин. провода, а
вторичные
(I1,
I2)
соединены
параллельно, а на выходе включен
амперметр либо релейная защита,
т.к. ток пропорционален току 0-ой
последовательности.
3.
Фильтр напряжений обратной последовательности
Параметры
элементов
фильтра
подобраны таким образом, чтобы
угол между UBC и IBC бал равен 300;
𝑋2
𝜑BC = arctg = 300 , точка а делит R2
𝑅
пополам. Подадим на выход фильтра
напряжение
прямой
последовательности:
IBC * R1 = UR1
Uv = Uad = 0
Подадим на вход фильтра напряжение
обратной последовательности:
IBC (-jxc) = UC
UV = Uad = KU2
36. Расчёт линейных электрических цепей при несинусоидальных входных
напряжениях.
Причина появления несинусоидальных напряжений – это несинусоидальность
вторичных источников питания и наличие нелинейной нагрузки.
Последствия наличия несинусоидальных напряжений и токов.
1) Резонансные явления на высших гармониках 2) Ускоренное старение
изоляции. 3) Ложное срабатывание релейной защиты и автоматики.
37.Разложение функции в ряд Фурье
Любая несинусоидальная функция, удовлетворяющая условию Дирихле, может быть
разложена в ряд Фурье.

f (t )  A0  A1 sin(t   1 )  A2 sin(2t   2 )  ...  A0   AK sin(kt   K )
K 1
A0 - постоянная составляющая. A1 - амплитуда основной гармоники. A2 ...AK - амплитуды
высших гармоник.
 1 , 2 ,... K - начальные фазы соответствующих гармоник.
Рассмотрим “k” – ю гармонику:
AKm sin( kt  K )  AKm sin kt  cos K  AKm cos kt  sin  K  ( AKm cos K )  sin( kt ) 
 sin( kt )  AKm
 cos( kt )
 ( AKm sin  K )  cos( kt )  AKm
 - амплитуда косинусной составляющей.
 - амплитуда синусной составляющей. AKm
AKm
Вторая форма записи ряда Фурье:
f (t )  A0  A1m sin( t )  A2 m sin( 2t )  ....  A1m cos(t )  A2m cos( 2t ) 


K 1
K 1
 sin( kt )   AKm
 cos( kt )
 A0   AKm
Если функция задана аналитически, то коэффициенты второй формы записи ряда Фурье
определяются по следующим формулам:
1
A0 
2
2

f (t )d (t );
Если функция задана графически, то период функции
разбивается на “n” частей и коэффициенты второй
0
2
формы записи ряда Фурье определяются по следующим
1
AK 
f (t ) sin(kt )d (t ); приближенным формулам:

AK 
1


0
2

0
f (t ) cos(kt )d (t ).
1 n
A0   yi
n i 1
2 n
AK   yi sin i kt ;
n i 1
2 n
AK   yi cos i kt.
n i 1
где yi, sinikωt, cosikωt – значения функции в середине “i” – го интервала.
38. Случаи симметрии несинусоидальных функций
1. Функция симметрична
относительно начала координат
Эта ф-ция нечетная: f(ωt)= - f(ωt). При ее разложении в ряд Фурье будут
отсутствовать постоянная составляющая A0 и косинусные составляющие A"km , а
разложение ф-ции в ряд Фурье будет иметь вид:
f(ωt)= ∑∞
𝒌=𝟏 𝑨′km sinkωt
2. Функция симметрична относительно оси ординат
Ф-ция четная.При ее разложении в ряд Фурье будут отсутствовать
синусоидальные составляющие A’km , а разложение ф-ции в ряд Фурье будет
иметь вид:
f(ωt)=A0+ ∑∞
𝒌=𝟏 𝑨"km coskωt
3. Функция симметрична относительно оси абсцисс при смещении
положительной или отрицательной полуволн на половину периода
При разложении в ряд Фурье будут отсутствовать постоянная составляющая A0 и
все четные гармоники, а разложение ф-ции в ряд Фурье будет иметь вид:
∞
f(ωt)= ∑∞
𝒌=𝟏,𝟑 𝑨′km sinkωt + ∑𝒌=𝟏,𝟑 𝑨"km coskωt
39.
Действующее значение несинусоидальных токов и напряжений.
T
1
2
U
U
dt
T 0

U  U 0   U Km sin( kt   K )
i 1
Возведем ряд в квадрат:

2
U  U   U Km
sin 2 (kt  K ) 
2
2
0
i 1

  U Pm sin( pt   P )  U qm sin( qt   q )
p 0
q 0
pq
T
T U 02
U 02
1
2
t

(T  0)  U 02 ;
1)  U 0 dt 
0 T
T0
T
2 T
1 T 2
U Km
2
1  cos( 2kt  2 K )dt 
  U Km sin (t  K )dt 

T
T
 0
0
2)  U 2
2
2
 Km  t T  U Km sin( 2kt  2 ) T  U Km
K
 2T 0 2T 2k
0
T

1 T
  U Pm  U qm  sin( pt   P )  sin( qt   q )dt 
T 0
3)  U T
 Pm cos[( p  q)t  (   )]  cos[( p  q)t  (   )]dt  0
P
q
P
q
 U qm 
0

U 12m U 22m
U U 

 ...  U 02  U 12  U 22  ...
2
2
2
0
I  I 02  I12  I 22  ...
Действительное значение несинусоидального напряжения и тока равно корню
квадратному из суммы квадратов отдельных гармоник.
Коэффициенты, характеризующие несинусоидальные величины.
1) Коэффициент амплитуды:
Ka 
Im
I ;

K a  2
для синусоидальных
- для несинусоидальных
2) Коэффициент формы:
KФ 
I
I СР
; K  1.11- для синусоидальных
Ф

KФ  1.11- для несинусоидальных
3) Коэффициент искажений:
KH 
I1
I
;
K H  1- для синусоидальных
K H  1 - для несинусоидальных
4) Коэффициент гармоник:
I
KÃ 

I1
I 22  I 32  ...
I1
;
 K Г  0 - для синусоидальных

 K Г  0- для несинусоидальных
40. Мощность несинусоидального тока
Под активной мощностью понимают среднее значение мгновенной
мощности за период.


n
1
1 2
2
2
2
P   dt   i Rdt  I 0 R  I1 R  I 2 R  ...  P0   PK
T 0
T 0
i 1
Активная мощность несинусоидального тока:
PАКТ  U 0 I 0  U K I K cos  K
Реактивная мощность несинусоидального тока:
n
Q   U K I K sin  K
i 1
Полная мощность несинусоидального тока:
n
S  U K I K 
P2  Q2
i 1
P и Q неравны, так как и в P и в Q могут отсутствовать гармоники, для
0, 
 K   
которых
 2 . , но эти гармоники будут присутствовать в
напряжениях и токах.
Мощность искажений несимметричного тока равна:
T  S 2  (P 2  Q 2 )
41.Расчёт электрических цепей при несинусоидальных входных напряжениях.
1) Раскладываем несинусоидальное входное напряжение в ряд Фурье.
2) Рассчитываем токи и напряжения любым известным методом для каждой
гармоники в отдельности. При этом учитываем, что индуктивное сопротивление
для “k” –й гармоники равно:
X KL  kL  kX 1L
 X 0L  0

 X 0C  
Емкостное сопротивление:
X KC 
X 1C
k
3) Определяем действительные значения интересующих нас токов и напряжений
как корень квадратный из суммы квадратов отдельных гармоник:
I  I 02  I12  I 32  ...
Пример:
Дано
u (t )  80  141sin(1000t )  70, 5 sin(5000t  30)
R  30(Ом)
L  10( мГн)
С  20( мкФ )
Найти I 0 , I1 , I 5 , i (t )  ? Определить показания приборов.
U0
 0( А),
X 0 C   (Ом)

U1m
141
2
2
I1 

 2  e j 53 ( А)
R  jX 1L  jX 1C
30  j (10  50)
I0 
X 1L  10 1000 10 3  10(Ом)
1
 50(Ом)
20 1000 10 6
U 5m
50  e j 30
2


 1  e j 23 ( А)
R  jX 5 L  jX 5C
30  j (50  10)
Х 1С 
I5
IA 
UV 
I 0 2  I12  I 5 2 
U0
2
i (t )  0  2
0  2 2  12 
U 52
U12



2
2
5( A)
1412
70, 52
80 

 137, 2( B )
2
2
2
2 sin(1000t  53) 
2 sin(5000t  23)
42. Высшие гармоники в трехфазных электрических цепях
UKA=UKM sin(kt+k)
UKB= UKM sin(kt+k-k1200)
UKC= UKM sin(kt+k+k1200)
Гармоники 1-я, 4-я, 7-я, 10-я, 13-я и т.д. образуют систему прямой
последовательности
Uka
Ukc
UkB
Гармоники 2, 5, 8, 11 и т.д. образуют системы обратной последовательности
Uka
Ukв
Ukс
Гармоники 3, 6, 9, 12, 15 и т.д. образуют системы нулевой последовательности
UA0 UB0 UC0
На практике в трехфазных электрических цепях, как правило, имеет место
кососимметрическая симметрия. Поэтому в напряжениях будут отсутствовать
постоянные составляющие и все частные гармоники. Поэтому ограничиваются
рассмотрением только нечетных гармоник.
Рассмотрим различные схемы соединения.
Z A  Z B  Z C  ZФ
1) Схема соединения – “звезда без нейтрального провода”.
Пусть фазное напряжение нечетной гармоники:
E  E12  E32  E52 ...
Тогда:
U ЛИН  3  U12  U 52  U 72 ...
В линейном напряжении отсутствуют гармоники, кратные “3”.
1а) В линейных и фазных токах будут отсутствовать гармоники, кратные “3”, т.к.
отсутствует нейтральный провод.
I ЛИН  I12  I 52  I 72 ...
U ФН  U 12  U 52  U 72 ...
1б) Между нейтральной точкой нагрузки и генератора возникает напряжение
смещения нейтрали (даже при симметричной нагрузке), обусловленное
гармониками, кратными “3”:
U nN  U 32  U 92 ...
2) Схема соединения – “звезда с нейтральным проводом”.
EФН  E12  E32  E52 ...
2а) Линейное напряжение:
U Л  U12  U 52  U 72 ...
2б) В линейных (фазных) токах, кроме остальных появятся гармоники, кратные
“3”, т.к. появится нейтральный провод (путь для замыкания):
I ЛИН  I12  I 32  I 52 ...
U ФН  U 12  U 32  U 52 ...
2в) В нейтральном проводе даже при симметричной нагрузке будет протекать
ток, равный утроенному значению гармоник, кратных “3”.
I N  3  I 32  I 92 ...
3) Схема соединения – “разомкнутый треугольник”.
Соединены обмотки генератора. Напряжение на зажимах будет равно
утроенному значению гармоник, кратных “3”.
U V  3 E32  E92 ...
4) Схема соединения – “треугольник”.
Соединены обмотки генератора.
В фазных обмотках генератора или трансформатора даже при отсутствии
внешней нагрузки будут протекать токи, обусловленные гармониками,
кратными “3”.
В линейных токах и напряжениях будут
отсутствовать гармоники, кратные “3”
(даже при наличии нагрузки)
I Ф  I 32  92 ...
43.Переходные процессы в линейных электрических цепях.
При подключении эл.цепей, содержащих элементы (L и C) к источнику или
отключении их от источника они не могут мгновенно запастись энергией или
мгновенно израсходовать ее, поэтому в таких цепях возникают переходные
процессы.
Условное обозначение:
Время начала переходного процесса – (t = 0). Переходные процессы длятся доли
секунд.
Различают токи и напряжения:

непосредственно перед коммутацией t(-0), i(-0), U(-0),

и после коммутации t(+0), i(+0), U(+0).
Также i(0), U(0) – это то же самое, что и i(+0), U(+0).
Законы коммутации.
Первый закон: ток в индуктивности после коммутации остается таким же, каким
он был перед коммутацией (ток в индуктивности скачком измениться не может):
iL (0)  iL (0)
Если бы ток в индуктивности мог измениться скачком, т.е. измениться на
конечную величину за бесконечно малый промежуток времени, то это бы
соответствовало тому, что U L  L
diL
  , что невозможно.
dt
Второй закон: напряжение на емкости после коммутации остается таким же,
каким оно было перед коммутацией (напряжение на емкости скачком
измениться не может):
U C (0)  U C (0) .
Если бы напряжение на емкости могло измениться скачком, т.е. измениться на
конечную величину за бесконечно малый промежуток времени, то это
соответствовало тому, что ток в емкости был бы равен: iC  C
dU C
  , что
dt
невозможно.
!! Скачком могут изменяться токи в емкостях и резисторах, а напряжения – на
индуктивностях и резисторах.
44.Законы коммутации.
Первый закон: ток в индуктивности после коммутации остается таким же, каким он был
перед коммутацией (ток в индуктивности скачком измениться не может):
iL (0)  iL (0)
Если бы ток в индуктивности мог измениться скачком, т.е. измениться на конечную величину
за бесконечно малый промежуток времени, то это бы соответствовало тому, что
di
U L  L L   , что невозможно.
dt
Второй закон: напряжение на емкости после коммутации остается таким же, каким оно
было перед коммутацией (напряжение на емкости скачком измениться не может):
U C (0)  U C (0) .
Если бы напряжение на емкости могло измениться скачком, т.е. измениться на конечную
величину за бесконечно малый промежуток времени, то это соответствовало тому, что ток в
dU C
  , что невозможно.
емкости был бы равен: iC  C
dt
!! Скачком могут изменяться токи в емкостях и резисторах, а напряжения – на индуктивностях
и резисторах.
Начальные условия.
Начальные условия бывают:

зависимые и независимые,

нулевые и ненулевые.
Независимые начальные условия – это токи в индуктивностях и напряжения на емкостях
i L (0), U C (0) . Эти величины определяются с помощью законов коммутации.
Зависимые начальные условия – это все остальные токи и напряжения (определяются с
помощью законов коммутации и законов Кирхгофа).
Нулевые начальные условия наблюдаются в цепи, если токи и напряжения во всех элементах
цепи до коммутации были равны нулю.
Ненулевые начальные условия наблюдаются в цепи, если токи и (или) напряжения некоторых
элементов до коммутации не были равны нулю.
Классический метод расчета переходных процессов.
Принужденная и свободная составляющие токов и напряжений.
Физические процессы в эл. цепях описываются дифф. уравнениями, составленными по
законам Кирхгофа. Классический метод расчета переходных процессов заключается в
составлении и решении обыкновенных неоднородных дифф. уравнений (ДУ).
U R  U L  U C  U BX
di 1

idt  U BX
dt C 
d 2i
di i dU BX
L
R  
dt
dt C
dt
iR  L
Порядок ДУ, описывающего физические процессы в электрической цепи, определяется
числом разнородных реактивных элементов (индуктивностей и емкостей).
Решение этого ДУ запишется в следующем виде:
i  i'i"  i y  iCB
Здесь i' i y , inp  - частное решение неоднородного линейного ДУ или установившаяся
составляющая, возникающая в цепи под действием источника. Уст. составляющая
наблюдается и во время переходного процесса, и после его окончания.
i" iCB  - общее решение неоднородного линейного ДУ или свободная составляющая тока,
возникающая без воздействия источника питания. Эта составляющая определяется
параметрами эл. цепи и начальными условиями.
!! Свободная составляющая наблюдается только во время переходного процесса.
Решение однородного линейного ДУ или, иначе свободная составляющая в токах,
возникающих без воздействия источника питания. Она определяется параметрами эл. цепи и
начальными условиями и наблюдается в цепи только во время переходного процесса.
45. Характер свободной составляющей в цепи первого порядка.
Физические в электрической цепи первого порядка (с одним реактивным элементом)
описываются дифференциальным уравнением первого порядка.
Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному, также будет первого
порядка. И свободная составляющая iСВ будет представлять собой экспоненту:
iCB  Ae
Pt
 Ae

t

А – постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями.
р – корень характеристического уравнения (всегда отрицателен). [p] = c-1 .
1
- постоянная времени (численно равна времени, за которое свободная составляющая

уменьшается в “e” раз).
U R  U L  U (t )
iU R  L
diCB
0
dt
RL  R  0  p  
R
L
R
 t
L
   iCB  Ae L
R
U R  U C  U (t )
C
dU CB
R  U CB  0
dt
RC p  1  0  p  
1
;   RC
CR
46. Характер свободной составляющей в цепи второго порядка.
di
i
d 2i
L 2  R CB  CB  0
dt
dt
C
1
Lp 2  Rp   0
C
R
1
2  ; 02 
L
LC
p1, 2     2   2
Pt
Pt
1)    0 ; iCB  A1e  A2 e - функция имеет апериодический характер.
1
2
2)   0 ; p1,2    (1)(02   02 )    j , где   02   2 - корни
комплексно сопряженные.
Свободная составляющая будет носить колебательный характер.
iCB  Ae  t sin( t   )  A1e  t sin t  A2 e  t cos t
iCB  Re[ A1e P1t  A2 e P2t ]  2 Re[ A1e P1t ]
3) Дискриминант равен нулю и корни будут действительные равные
(предельный случай апериодического режима).
47. Последовательность расчёта переходных процессов классическим
методом
1). Записываем искомое решение в виде установившейся и свободной
составляющей
2). iy-?
Находим установившуюся составляющую в цепи для послекомутационный схемы
3). P-?
Составляем характеристическое уравнение для коммутационной схемы и, решая
его, находим корни характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение может быть получено следующими способами:
А). из дифференциального уравнения, составленного по законам Кирхгофа для
для мгновенных значений в послекоммутационной схеме
Б). из комплексного входного сопротивления для послекоммутационной схемы, в
которой j,w заменены на р и всё сопротивление приравнивается к нулю.
4). i(0)-? Определить независимые и зависимые начальные условия и если
необходимо значения их производных в момент времени т
48.Основные понятия операторного метода расчёта переходных
процессов.
Операторный метод расчета переходных процессов.
Функция f (t ) [i (t ); U (t )] называется оригиналом.
Функция F ( p ) называется изображением.
Метод расчета, основанный на замене оригиналов их изображениями, называется
операторным. Это позволяет перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим.
Переход от оригиналов к изображениям осуществляется с помощью прямого
преобразования Лапласа:

 f (t )e
 Pt
dt  L f (t ), где p  a  jb - комплексный оператор.
0
Переход от изображений к оригиналам осуществляется с помощью обратного
преобразования Лапласа:
1
f (t ) 
j 2
a  j
 F ( p )e
pt
dp  L1{F ( p)}
a  j
Найдем изображения некоторых простейших функций
1) f (t )  A , тогда:

1
A  F ( p)   Ae  pt dt  A( )e  pt
p
0

0
1
A
 A( )  (0  1) 
p
p
t
2) f (t )  e , тогда:

e  F ( p)   e  e
t
t
0
 pt

dt   e ( p  )t dt  
0
1
1
1
e ( p  )t  
(0  1) 
p 
p 
p 
t
3) f (t )  1  e тогда:
1
1



p p   p( p   )
4) Пусть   j . Тогда:
1  et 
1
1
p  j
p

 cos t  j sin t 

 2
 j 2
2
p  j
p  j  p  j p  
p 2
Основные законы и формулы.
1) Сумме оригиналов соответствует сумма изображений.
 f t    F  p
e j t 
2) Умножению оригинала на постоянное число соответствует умножение изображения на то
же число:
A  f t   A  F  p 
3) Дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на “p” – значение
функции в момент времени “t=0”.
df (t )
 pF ( p)  f (0)
dt
4) Интегрированию оригинала соответствует деление изображения на оператор “p”:
F ( p)
p
Найдем напряжение на индуктивности:
 f (t )dt 
U L (t )  L
di (t )
 U L ( p )  LP I ( p)  Li L (0)
dt
Найдем ток и напряжение в емкости:
dU C (t )
iC (t )  C
 I C ( p)  C  pU C ( p)  CU C (0)
dt
Напряжение на емкости:
1
I ( p)
i(t )dt  U C ( p) 
- напряжение на емкости при нулевых начальных

C
C p
условиях.
При ненулевых начальных условиях:
1
I ( p) U C (0)
U C (t )   i(t )dt  U C (0)  U C ( p) 

C
C p
p
Законы электрических цепей в операторной форме.
U C  U L  U C  U BX
U C (t ) 
di 1

idt  U C (0)  U BX
dt C 
Перейдем от оригиналов к изображениям:
I ( p) U C (0)
I ( p) R  LpI ( p)  LiL (o) 

 U BX ( p)
Cp
p
iR  L
Изображение тока равно:
U ( p)  Li L (0)  U C (0)
I ( p)  вх
R  pL  1
pC
(1)
Здесь Z ( p)  R  pL  1 pC - операторное сопротивление цепи.
Оно может быть получено из комплексного сопротивления путем замены “jω” на “p”. Это
соответствует переходу от преобразования Фурье к преобразованию Лапласа:
E ( p)
I ( p) 
- закон Ома при нулевых начальных условиях.
Z ( p)
Уравнению (1) соответствует следующая схема замещения:
В этой операторной схеме замещения ненулевые начальные условия учитываются
введением дополнительных внутренних источников ЭДС, причем источник Li L (0) направлен
по направлению протекающего тока, а источник
U C ( 0)
, учитывающий напряжение на
p
емкости, направляется навстречу протекающему току.
Первый закон Кирхгофа в операторной форме выглядит следующим образом:
n
I
K 1
K
( p)  0
Второй закон Кирхгофа в операторной форме:
n
n
U (0)
I K ( p) Z K ( p )   [ E K ( p)  LK i LK (0)  CK
]

p
K 1
K 1
Для расчета операторных схем замещения применяются все известные методы, основанные
на законах Кирхгофа.
Переход от изображений к оригиналам.
Формула разложения:
Переход от изображений к оригиналам осуществляется двумя способами:
1) По таблице изображений и оригиналов.
2) По формуле разложения (основной способ):
a0 p m  a1 p m1  ...a m F1 ( p)
I ( p) 

, где n>m; F2 ( p)  0 - не имеет кратных корней, и
F2 ( p)
b0 p n  b1 p n 1  ...bn
корней, кратных корням уравнения F1 ( p)  0 . В этом случае оригинал:
n
F1 ( p K ) PK t
e

F
(
p
)
K 1 2
K
i(t )  
Число слагаемых в формуле разложения равно числу слагаемых в уравнении F2 ( p)  0 .
F2( p)  0 - производная уравнения F2 ( p) .
В случае комплексных сопряженных корней формула разложения примет следующий вид:
 F (p )

i(t )  2 Re  1 K e P t 
 F2 ( p K )

K
49. Основные законы и формулы операторного метода, расчёт переходных
процессов.
1) Сумме оригиналов соответствует сумма изображений.
 f t . .  F  p
2) Умножению оригинала на постоянное число соответствует умножение
изображения на то же число:
A  f t .  . A  F  p 
3) Дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на “p”
– значение функции в момент времени “t=0”.
df (t ) .
.  pF ( p )  f (0)
dt
4) Интегрированию оригинала соответствует деление изображения на оператор
“p”:
 f (t )dt 
.
.
F ( p)
p
Найдем напряжение на индуктивности:
U L (t )  L
di (t ) .
.  U L ( p )  LP I ( p )  Li L (0)
dt
Найдем ток и напряжение в емкости:
iC (t )  C
dU C (t ) .
.  I C ( p )  C  pU C ( p )  CU C (0)
dt
Напряжение на емкости:
U C (t ) 
1
I ( p)
.
i
(
t
)
dt

U
(
p
)

- напряжение на емкости при нулевых начальных
.
C
C
C p
условиях.
При ненулевых начальных условиях:
U C (t ) 
1
I ( p) U C (0)
.
i
(
t
)
dt

U
(
0
)

U
(
p
)


C
.
C
C
C p
p
50Основные законы электрических цепей в операторной форме записи.
Законы электрических цепей в операторной форме.
U C  U L  U C  U BX
iR  L
di 1

idt  U C (0)  U BX
dt C 
Перейдем от оригиналов к изображениям:
I ( p) R  LpI ( p)  LiL (o) 
I ( p) U C (0)

 U BX ( p)
Cp
p
Изображение тока равно:
U ( p)  Li L (0)  U C (0)
I ( p)  вх
R  pL  1
pC
(1)
Здесь Z ( p)  R  pL  1 pC - операторное сопротивление цепи.
Оно может быть получено из комплексного сопротивления путем замены “jω” на “p”. Это
соответствует переходу от преобразования Фурье к преобразованию Лапласа:
E ( p)
- закон Ома при нулевых начальных условиях.
Z ( p)
Уравнению (1) соответствует следующая схема замещения:
I ( p) 
В этой операторной схеме замещения ненулевые начальные условия учитываются введением
дополнительных внутренних источников ЭДС, причем источник
протекающего тока, а источник
Li L (0)
направлен по направлению
U C ( 0)
, учитывающий напряжение на емкости, направляется навстречу
p
протекающему току.
Первый закон Кирхгофа в операторной форме выглядит следующим образом:
n
I
K 1
K
( p)  0
Второй закон Кирхгофа в операторной форме:
n
n
U (0)
I K ( p) Z K ( p )   [ E K ( p)  LK i LK (0)  CK
]

p
K 1
K 1
51 Переход от изображений к оригиналам. Формула разложения.
Переход от изображений к оригиналам осуществляется с помощью
обратного преобразования Лапласа:
1 a  j
pt
1{F ( p)}
f (t )
F
(
p
)
e
dp

L

j 2 a  j
Найдем изображения некоторых простейших функций
1) f (t )  A , тогда:
  pt
1  pt 
1
A
A F ( p)  Ae
dt  A( )e
 A( )(01)
0
p
p
p
0
2)
f (t )  e t , тогда:


e  F ( p)   e  e dt   e
t
0
3)
t
 pt
( p  )t
0
1 ( p )t
1
1
dt  
e

(0  1) 
p 
p 
p 
f (t )  1  et тогда:
1  et 
4) Пусть
e j t 
1
1



p p   p( p   )
  j . Тогда:
1
1
p  j
p

 cos t  j sin t 

 2

j
p  j
p  j  p  j p   2
p2   2
52. Последовательность расчета переходных процессов операторным методом.
Функция f(t) (i(t) и (t)) – называется оригиналом
Функция F(p) – называется изображением данной функции
Метод расчета основан на замене оригиналов их изображении называются
операторными. Это позволяет перейти от ДУ к алгебраическому. Переход от оригинала к
изображению с помощью прямого преобразования Лапласа:
∞
F(p) = ∫0 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑝𝑡 𝑑𝑡
p = 0 + jb
Переход от изображения к оригиналу осуществляется с помощью обратного
преобразования Лапласа:
𝑎+𝑗∞
1
F( ) =
∫𝑎−𝑗∞ 𝐹(𝑝)𝑒 𝑝𝑡 𝑑𝑝
𝑗2𝜋
1)
Сумма оригиналов соответствует сумме их изображений:
∑ 𝑓(𝑡) = ∑ 𝐹(𝑝)
2)
Умножение оригинала на постоянное число соответствует умножению изображения на
это число.
Af(t) = AF(p)
3)
Дифференцированию оригинала соответствует умножения изображения на р минус
знач. Оригинала в момент времени 0.
𝑑𝑓(𝑡)
= 𝑝𝐹(𝑝) − 𝑓(0)
𝑑𝑡
4)
Интегрированию оригинала соответствует делению изображение на р
𝐹(𝑝)
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =
𝑝
Найдем напряжение на индуктивности:
Найдем ток и
напряжение в емкости:
53. Переходные функции.(Можар на лекции не давал
вроде!!!!!!!!!!!!!!1)
Переходная функция k(t) связывает искомую величину с заданной. Переходные
функции k(t) бывают:
1) По напряжению.
2) По току.
3) По сопротивлению.
4) По проводимости.
Переходная функция k(t) определяется классическим или операционным
методом.
Переходная функция, связывающая ток в цепи с входным напряжением, имеет
размерность проводимости и называется переходной проводимостью.
Найдем переходную проводимость y (t ) для следующей схемы с помощью
классического метода.
i (t )  i y  Ae
1)
pt
2) i y  0
3) p  ?
Z  R  1 ;Z  0
pC
R  1 0 p   1
pC
RC
  1  RC
p
4) i (0)  ?
U C ( 0)  U C ( 0)  0
i (0) R  U C (0)  E  i (0) 
5)
A?
t  0; i(0)  iy  Ae0
E
R
E
E
 0 A A
R
R
6)
i  t   i y  Ae
pt
;
t
E 
i t   e .
R
Переходная проводимость y(t), связывающая искомый ток с напряжением,
будет равна
t
i (t ) 1  RC
y (t ) 
 e
E
R
Переходная проводимость численно равна току в цепи при единичном входном
напряжении:
1 
y (t  t1 )  e
R
t t1


U
i(t )  U Bx y (t  t1 )  Bx e
R
t t1

54. Включение цепи на импульсном напряжении.
Пусть цепь RC включается на напряжение U
б)
a)
t t
t
1


U  U

i(t )  U  y(t )  U  y(t  t )   e   e
1 R
R

L
R
t
U
(1  e  )
R
t
1
y (t )  (1  e )
R
i (t )  U y (t )  U y (t  t )  U y (t  t ) 
1
1
1
2
2
t t
U
t U1
 1
1
U y (t  t ) 
(1  e ) 
(1  e
)
2
3
R
R
t t
t t
U
  2 U2
 3
2

(1  e
)
(1  e
)
R
R
i (t ) 
55. Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля.
Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля производится в тех случаях,
когда происходит включение цепи на напряжение сложной формы.
Разбиваем кривую U(t) на равные промежутки времени Δх, тогда можно рассматривать
включение цепи на напряжение U(t) как включение цепи в момент времени U(0) и затем,
через промежутки времени Δх, включение на ΔU. При этом ΔU берется со знаком “+” при
возрастающей кривой, и со знаком “-” – при убывающей. И тогда ток в цепи:
X t
i (t )  U (0)  y (t )   U  y  t  x  x 
X 0
Для получения точного значения тока необходимо перейти в пределе от Δх к dx, а от ΔU - к
dUt
dU  U ( x) dx , где U ( x) 
при t  x
dt
t
Tогда i(t )  U (0)  y(t )  0 U ( x)  y(t  x)dx - основная форма записи интеграла Дюамеля.
Всего существует 5 форм записи интеграла Дюамеля.
Последовательность расчета переходных процессов с помощью интегарал Дюамеля.
1) Определяем переходную проводимость y(t) классическим или операторным методом.
2) Находим y(t-x). Для этого в переходной проводимости заменяем t на t-x.
3) Определяем U(0).
4) Определяем U (x) . Для этого берем производную от входного напряжения U(t) по
времени и переходим от t к x.
5) Подставляем все найденные величины в п.1-4 в формулу интеграла Дюамеля .
Пример:
-t
U (t )  U (1- e T )
i (t )  ?
Решение
1)
2)
3)
4)
5)
t
1 
, где   RC (см. выше)
y (t )   e
R
tx
1 
y(t  x)   e
R
U (0)  U (1  eo )  0
t
x
x
1
U 
U ( x)  (U  U  e T )   (  U  e T )   e T
T
T
x
x
t
x
1 1
tx
t
tU 
t U  
1 
U  t x( T )

T
T
i (t )    e
 e
dx  
e
dx 
e  e
dx 
R
RT
0T
0 RT
0
t
t
x(1  1 ) t
x(1  1 )
U 
1
U 
1
T
T  1) 

e 
e

e 
 (e
o RT
1 1
1 1
RT


 T
 T
t
t
t
U
U

e

(e T  e  ).
R(T   )
R(T   )
56. Основные уравнения четырехполюсников
Основные уравнения четырехполюсников:
U1=AU2+BI2
I2=CU2+DI2
A, B, С, D – клэффициенты четырехполюсника
A, В – безразмерные величины, B=Ом, D= 1/Ом
AВ-BC=1
A=D для симметричного четырехполюсника
57. А,В,Z,Y,G,Н - формы записи уравнений.
“A” – форма записи уравнения четырехполюсника:
U 1  A11  U 2  A12  I 2

 I 1  A21  U 2  A22  I 2

U 1   A11
I    A
 1   21
A12  U 2 
U 2 
      A   
A22   I 2 
I 2 
A11  A; A12  B; A21  C; A22  D
“В” – форма записи уравнения четырехполюсника:
U 2  B11  U 1  B12  I 1

 I 2  B21  U 1  B22  I 1

U 2   B11
I   B
 2   21
B12  U 1 
U 1 
      B   
B22   I 1 
I1 
Найдём коэффициенты:
U 1  A  U 2  B  I 2 , (1)

 I 1  C  U 2  D  I 2 ; (2)
Умножим уравнение (1) на D, а уравнение (2) на B, и сложим два новых
получившихся уравнения:
D  U 1  B  I1  AD  U 2  BD  I 2  BC  U 2  BD  I 2  ( AD  BC )  U 2  U 2
B11  D; B12  B;
Умножим уравнение (1) на С, а уравнение (2) на A, и сложим полученные
уравнения:
C  U 1  A  I1  AC  U 2  BC  I 2  AC  U 2  AD  I 2  ( AD  BC )  I 2  I 2
B21  C; A22  A
B11  D; B12  B; B21  C; A22  A .
“Z” – форма записи уравнения четырехполюсника:
U 1  Z11  I 1  Z12  I 2

U 2  Z 21  I 1  Z 22  I 2

U 1   Z11
U    Z
 2   21
Z12   I 1 
I1 
     Z    
Z 22   I 2 
I 2 
Найдём коэффициенты:
U 1  A  U 2  B  I 2 , (1)

 I 1  C  U 2  D  I 2 ; (2)
Выразим из уравнения (2) U 2 :
U2 
I1  D  I 2
C
Z 21 
1
; Z 22
C
1
D
 I1   I 2  (3)
C
C
D
 ;
C

Подставим уравнение (3) в уравнение (1):
A
AD
BC
A
AD  BC
A
1
 I1 
 I2 
 I 2   I1 
 I 2   I1   I 2
C
C
C
C
C
C
C
A
1
Z11  ; Z12  ;
C
C
U1 
Z11 
A
1
1
D
; Z12  ; Z 21  ; Z 22  .
C
C
C
C
“Y” – форма записи уравнения четырехполюсника:
 I 1  Y11  U 1  Y12  U 2

 I 2  Y21  U1  Y22  U 2

Найдём коэффициенты:
U 1 
 I 1  Y11 Y12  U 1 



Y





 
U 
I  Y Y
 2   21 22  U 2 
 2
U 1  A  U 2  B  I 2 , (1)

 I 1  C  U 2  D  I 2 ; (2)
Выразим из уравнения (1)
I2 :
1
A
 U1   U 2  (3)
B
B
1
A
Y21   ; Y22  ;
B
B
I2  
Подставим уравнение (3) в уравнение (2):
CB
D
AD
AD  CB
D
1
D
 U 2   U1 
U2  
 U 2   U1    U 2   U1
B
B
B
B
B
B
B
D
1
Y11  ; Y12   .
B
B
I1 
Y11 
D
1
1
A
; Y12   ; Y21   ; Y22  .
B
B
B
B
“H” – форма записи уравнения четырехполюсника:
U 1  H11  I 1  H12  U 2

 I 2  H 21  I1  H 22  U 2

U 1   H11
I   H
 2   21
H12   I 1 
I1 
     H   
H 22  U 2 
U 2 
.
“G” – форма записи уравнения четырехполюсника:
 I 1  G11  U 1  G12  I 2

U 2  G21  U1  G22  I 2

I  IeiI
58. Т-образная схема замещения четырёхполюсника
Вне зависимости от сложной структуры любой пассивный четырехполюсник может быть
заменен эквивалентной “T” или “П” – образной схемой.
1)“T ” – образная схема замещения (схема соединения - звезда).
Y0 
1
;
Z3
U 1  A  U 2  B  I 2

I 1  C U 2  D  I 2
По 1-му закону Кирхгофа:
I 1  I 0  I 2  U 0  Y 0  I 2   Z 2  I 2  U 2   Y 0  I 2  Y 0  U 2  1  Z 2  Y 0   I 2
C  Y0 ; D  1  Z2  Y0 ;
По 2-му закону Кирхгофа:
U 1  Z1  I1  Z 2  I 2  U 2  Y 0  Z1 U 2   Z1  Z1  Z 2  Y 0   I 2  Z 2  I 2  U 2 
 1  Z 1  Y 0   U 2   Z 1  Z 2  Z 1  Z 2  Y 0   I 2
A  1  Z1  Y 0 ; B  Z1  Z 2  Z1  Z 2  Y 0 ;
A  1  Z 1  Y 0 ; - (1) B  Z 1  Z 2  Z 1  Z 2  Y 0 ; -(2)
C  Y0 ;
- (3) D  1  Z2  Y0 ;
-(4)
Выражаем из уравнения (3) Z3 :
Y0  C  Z3 
1
;
C
Выражаем из уравнения (1) Z1 :
Z1 
A 1 A 1

;
Y0
C
Выражаем из уравнения (4) Z2 :
Z2 
D 1 D 1

.
Y0
C
59. П—образная форма замещения четырехполюсника
Y1 
1
1
;Y 2 
;
Z1
Z2

U1  A  U 2  B  I 2


 I1  C  U 2  D  I 2
Составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа:
U1  I 0  Z 0  U 2  ( I   I 2 )  Z 0  U 2  U 2 Y2  Z 0  I 2 Z 0  U 2 
 (1  Y 2  Z 0 )  U 2  Z 0  I 2
Составим уравнение по 1-му закону Кирхгофа:
I 1  I1  I 0  U1  Y1  I   I 2  (Y1  Y1 Y2  Z 0 )  U 2  Z 0 Y1 I 2  Y2 U 2  I 2 
 (Y1  Y2  Y1  Y2  Z 0 )  U 2  (1  Y1  Z 0 )  I 2
А=z0 Y2 + 1
В=z0
z0= В
С=(Y1+Y2 +Y1z0Y2)
D=1+Y1z0
Y1=(D-1)/B
Y2=(A-1)/B
60.Определение коэффициентов четырехполюсника (4П)
Применяются следующие способы:
Применяются следующие способы:
1. Составляются уравнения по 1-му и 2-му закону Кирхгофа, в которых первичные
параметры U1 и I1 выражаются через вторичные U2 и I2. Потом сравниваются.
2. Схема 4П сводится (преобразуется) к «Т»- или «П»-образной схеме замещения (если
это не сложно)
3. С помощью входных сопротивлений со стороны первичных и со стороны вторичных
зажимов, записанных для режимов холостого хода и короткого замыкания (основной
способ)
Питание со стороны первичных зажимов
I)
I1
1) ZH=∞; I2=0
I2
z1x U1
U2
Z1X=
П
Z1X=
GGG
𝑨
𝑼𝟏𝒙
𝑰𝟏𝒙
=
𝑨𝑼𝟐+𝟎
𝑪𝑼𝟐+𝟎
=
𝑨
𝑪
(1)-входное сопр-е со стороны первичных
𝑪
зажимов при холостом ходе вторичных
U1=AU2+BI2
I1=CU2+DI2
2) ZH=0(к.з.); U2=0
Z1K =
𝑼𝟏𝒌
𝑰𝟏𝒌
Z1K=
=
𝑩
𝑫
𝟎+𝑩𝑰𝟐 𝑩
=
𝟎+𝑫𝑰𝟐 𝑫
(2)- входное сопр-е со стороны первичных
зажимов при коротком замыкании вторичных
II) Питание со стороны вторичных зажимов
I1
3) ZH=∞; I1=0
I2
U1
U2 Z2x
П
Z2k
𝑼𝟐𝒙
Z2x=
𝑰𝟐𝒙
=
𝑫𝑼𝟏+𝟎 𝑫
=
𝑪𝑼𝟏+𝟎 𝑪
𝑫
Z2x= (3)- входное сопр-е со стороны вторичных
𝑪
зажимов при холостом ходе первичных
U2=B11U1+B12I1=DU1+BI1
I2=B21U1+B22I2=CU1+AI1
4) ZH=0; U1=0
Z2K=
𝑼𝟐𝒌
𝑰𝟐𝒌
=
𝟎+𝑩𝑰𝟏 𝑩
=
𝟎+𝑨𝑰𝟏 𝑨
𝑩
Z2K= (4)- входное сопр-е со стороны вторичных
𝑨
зажимов при коротком замыкании первичных
Совместное решение уравнений (1)-(4) не позволяет найти коэффициенты, но позволяет
найти соотношение
𝐙𝟏𝐗
𝐙𝟏𝐊
=
𝐙𝟐𝐱
𝐙𝟐𝐊
Для определения коэф-ов 4П уравнения (1)-(4) необходимо дополнить уравнением (5)
AD-BC=1
𝑨
Из (1) => C = 𝐙𝟏𝐗
Из (3) => D= 𝐙𝟐𝐱*C=A
𝐙𝟐𝐱
𝐙𝟏𝐗
Из (4) => B= 𝐙𝟐𝐊*A
𝐙𝟏𝐗
Поставим эти уравнения в уравнение (5) => A=√𝐙𝟐𝐱−𝐙𝟐𝐊
61.Характеристические параметры четырехполюсника.
Под хар-ми параметрами 4полюсника понимают характеристическое
сопротивление и постоянную передачи.
Характеристическое сопротивление
Хар-кое сопротивление (повторное или согласное) равно такому сопр-нию
нагрузки, при котором входное сопротивление 4полюсника равно сопротивлению
нагрузки.
а) Симметричная нагрузка:
Z BX  Z C  Z H 
Z BX  Z C 
U1
I1

U2
I2
;
A U2  B  I2
C U2  D  I2
A

C
U2
I2
U2
I2
B

D
A  ZC  B
C  ZC  D
;  A  ZC  B  C  ZC2  A  ZC
(A=D, т. к. четырёхполюсник симметричный):
б) Несимметричная нагрузка:
ZC 
B
C
62.Постоянная передачи четырёхполюсника.
а) Симметричный четырехполюсник.
Пусть симметричный четырехполюсник нагружен на
сопротивление, равное характеристическому

1
U1  A  U 2  B  I 2  A  U 2  B 
 U2   A  B 

ZC
ZC

U2



  U 
2 






B
I1  C  U 2  D  I 2  C  I 2  ZC  D  I 2  I 2   C 
 A   I2  A  B
C



U1

U2
I1
 A  BC  e
g
e
a jb
a jb
 e e
I2
Выходные напряжение и ток меньше входных в “a” раз и сдвинуты по фазе на угол, равный “b” радиан.
g – постоянная передачи четырехполюсника ( g
 a  jb )
a   Hn - непер.
b – коэффициент фазы. b   рад
а – коэффициент затухания.
1Hn  8.686 дБл (1 Hп равен такому затуханию, при котором выходное напряжение или ток меньше входных в “e”
раз).
g  ln  N   ln( Ne j )  ln N  ln e j  ln N  j  a  jb
j
U1 U  e u1
U
j (u u )
jb
1
2
 1
 1 e
 ea  e
ju2 U
U2
2
U2  e
a  ln
U1
I
 ln 1  ln A  BC ;
U2
I2
b   u1   u2   I1   I 2
б) Несимметричный четырехполюсник.
U1 
Z 1C
g
U2  e
Z 2C
U1 j (u u )
1
2
e

U2
Z1C
Z 2C


j 1 1C 2C
jb
e 2
 ea  e
a  ln

U1 Z 2 C
U 2 Z1C
;

b   U1  U 2  j
Z 2C 
BD
AC
1
1C  2C  .
2
63. Уравнение четырехполюсника в гиперболических функциях.
а) Симметричный четырехполюсник.
e
e
g
 A  BC
g

1

A  BC

A  BC A  BC
A  BC
 A  BC
2
A  BC
Гиперболический косинус:
e e
ch g 
2
g
g

A  BC  A  BC
 A;
2
Гиперболический синус:
e e
sh g 
2
g
g
Z C  shg 
A  BC  A  BC

 BC ;
2
A  D  chg ;
1
C
 shg  BC 
 C;
ZC
B
U1  U 2  chg  I 2 Z C  shg ;

U2

I

 1 Z  shg  I 2  chg .
C

B  ZC shg ;
C
B
 BC  B;
C
1
shg.
ZC
ZC
U
U  chg  I Z  shg I  chg
Z  Z  thg
2
2
C
H
C
1
2
Уравнение симметричного
Z âõ 


 ZC 
U2
ZC
I1
Z H  thg  Z C
- четырёхполюсника в гипер shg  I 2  chg
ZC
I 2  chg
болических функциях
Z x - входное сопротивление четырехполюсника при холостим ходе.
Z k - входное сопротивление четырехполюсника со стороны входных зажимов при коротком
замыкании выходных.
1)
Короткое замыкание ( Z H  0 )
Z1k  Z2k  Zk ;
Z k  ZC 
0  ZC  thg
 ZC  thg
0  ZC
-
(1)
2) Холостой ход ( Z H   )
1
Z вх  Z C 
ZC
ZH
thg 
 thg
ZC
;  Z x  ZC 
ZC
1 0

;
thg  0 thg
- (2)
ZH
Выразим из уравнения (2) thg :
thg 
ZC
Zx
- (3)
;
Подставим уравнение (3) в уравнение (1):
Z k  Z C  thg  Z C 
ZC
Zx
 ZC 
Z x  Zk
Выразим из уравнения (2) ZC :
ZC  Z x  thg
Подставим уравнение (4) в уравнение (1):
- (4)
Z k  ZC  thg  Z x  th 2 g  thg 
Zk
Zx
б) Несимметричный четырехполюсник.

U 1 



I1 


Z1C
Z 2C
Z 2C
Z1C

 U 2  ch g  I 2  Z1C  sh g ;
 U2

 Z 2C


 sh g  I 2  ch g  ;


уравнение несимметричного
- четырёхполюсника в гиперболических функциях
Z1C 
tg g 
Z1 X  Z1K ; Z 2C 
Z1K
Z1 X

Z2K
Z2 X
.
Z2 X  Z2K ;
1)
64. Сложные четырехполюсники.
Каскадное соединение четырехполюсников:
2)
 AЭ    Aа    Aб 
Последовательное соединение четырехполюсников:
3)
 Z Э    Z а    Zб 
Параллельное соединение четырехполюсников:
YЭ   Yа   Yб 
4) Последовательно – параллельное соединение четырехполюсников:
5)
 HЭ    Hа    Hб 
Параллельно – последовательное соединение четырехполюсников:
GЭ   Gа   Gб 
65. Активные четырёхполюсники (автономные).
Зажимы четырёхполюсника, к которых подсоединяют источник энергии, называют входными,
а к которым присоединяется нагрузка выходными. На практике встречаются случаи, когда обе
пары зажимов являются входными или выходными, содержащими независимые источники
питания, нагруженные с обеих сторон. По признаку линейности элементов, входящих в них,
четырехполюсники разделяются на линейные и нелинейные. Четырехполюсники делятся на
активные и пассивные. Четырехполюсник называется активным, если он содержит внутри
источники электрической энергии. При этом если эти источники являются независимыми, то в
случае линейного четырехполюсника обязательным дополнительным условием активности
четырехполюсника является наличие на одной или обеих парах его разомкнутых зажимов
напряжения, обусловленного источниками электрической энергии, находящимися внутри
него, т.е. необходимо, чтобы действия этих источников не компенсировались взаимно внутри
четырехполюсника. Такой активный четырехполюсник называется автономным. В случае,
когда источники внутри являются зависимыми, после отсоединения четырехполюсника от
остальной части цепи напряжение на разомкнутых зажимах его не обнаруживается. Такой
активный четырехполюсник называется неавтономным.
66.Передаточные функции четырёхполюсника. Четырёхполюсники с обратной связью.
Передаточные функции четырёхполюсника.
Четырехполюсники с обратной связью.
KU – коэффициент передачи (усиления) по напряжению.
KI - коэффициент передачи (усиления) по току.
KI 
KU 
U2
U1
I2
I1
KY - коэффициент передачи (усиления) по проводимости. KY 
KZ - коэффициент передачи (усиления) по сопротивлению.
I2
U1
KZ 
U2
I1
Четырехполюсники с обратной связью:
или
U1  U1  U OC  U1    U 2
U 2  KU  U1  KU  U1  KU    U 2
U 2  (1  K U   )  KU  U1
Тогда результирующий
коэффициент: K рез 
KU
1 KU  
Примеры четырёхполюсников с обратной связью:
1)
ОУ – операционный усилитель.
2)
67. Управляемые (зависимые) четырёхполюсники(источники).
1) Источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН).
Z вх  0
I1  0
Z вых  0 U 2  KU U1
2) Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ).
Z вх  0 U1  0
Z вых  0 U 2  K Z  I1
3) Источник тока, управляемый током (ИТУТ).
Z вх  
Z вых  
Z вх  0 U1  0
Z вых  
I 2  K I  I1
4) Источник тока, управляемый
напряжением (ИТУН).
I1  0
I 2  KY  U1
68Схемы замещения электронных ламп.
В общем случае характеристики электронных ламп нелинейны, но в области слабых сигналов
их можно считать линейными.
Схема замещения электронных ламп.
69 Схемы замещения транзисторов.
а) Низкочастотных транзистор с общей базой.
“Т”-образная схема замещения низкочастотного биполярного транзистора с
переходом p-n-p
б) Схема замещения высокочастотного транзистора с общим эмиттером.
“П”-образная схема
замещения низкочастотного
биполярного транзистора с
переходом p-n-p
в) С помощью гибридных уравнений

U1  h11  I 2  h12 U 2


 I1  h21  I1  h22 U 2
h11 – имеет размерность (Ом). h12U2 –
источник напряжения, управляемый
напряжением U2.(h12 = KU) h21I1 –
источник тока, управляемый током
I1.(h21=KI)h22U2 имеет размерность
проводимости
70. Схемы замещения операционных усилителей
Операционный
напряжением.
Ku
∞
Iвх
∞
Iвых
0
усилитель
–
источник
напряжения,
управляемый
1 “+” – неинвентирующий вход, т.е. при подаче напряжения на этот вход
напряжение на выходе получается такой же полярности.
2 “-” – инвентирующий вход, т.е. при подаче напряжения на этот вход,
напряжение на выходе получается обратной полярности.
Ku ≥ 104 – 105
rвх ≥ 100 кОм
rвых ≈ 0
z - форма зписи
𝑟б
[z] = [𝑟 − 𝛼𝑟
2
к
𝑟э
𝑟э + (1 − 𝛼)𝑟к ]
71. Классификация электронных фильтров.
Электрический фильтр – это четырехполюсник, беспрепятственно пропускающий
токи одних частот и не пропускающий или пропускающий с большими затуханием
токи других частот.
Полоса пропускания (полоса прозрачности) – это диапазон частот,
беспрепятственно пропускаемых фильтром. (a=0), а – коэффициент затухания.
Полоса затухания (полоса задерживания) – это диапазон частот, не
пропускаемых фильтром или пропускаемая с большими затуханиями. (a>>0).
Частота среза (ωС) – это граничная частота между полосой пропускания и полосой
задерживания.
Электрические фильтры, в зависимости от области пропускаемых частот делятся
на следующие:
I) Низкочастотные (фильтры нижних частот) - ФНЧ
II) Высокочастотные (фильтры высоких частот) - ФВЧ
III) Полосовые фильтры - ПФ
IV) Заграждающие фильтры – ЗФ.
В зависимости от схемы соединения элементов фильтры делятся на:
1) Г – образные.
2) Т – образные.
3) П – образные.
4) Мостовые.
В зависимости от характеристики применяемых элементов:
1) Реактивные
2) Безиндуктивные (RC - фильтры)
3) Пьезоэлектрические
4) Цифровые.
Реактивные делятся на:
1) К – фильтры (или k - фильтры).
2) М – фильтры (или m - фильтры).
72. Реактивные фильтры.
Реактивные делятся на:
1) К – фильтры (или k - фильтры).
2) М – фильтры (или m - фильтры).
К – фильтры – это фильтры, у которых отношение продольного
сопротивления к поперечной проводимости не зависит от частоты, т.е.
величина постоянная.
j L
j C

L
C
Фильтры проектрируют для работы в согласованном режиме, т.е.
величина нагрузки должна быть равна характеристическому
сопротивлению Z H  ZC
Недостатки К - фильтров:
1) Характеристическое сопротивление Z C зависит от частоты, поэтому
согласованного режима удается достигнуть в узком диапазоне частот.
2) Недостаточная крутизна кривой затухания в области частоты среза.
Для устранения недостатков, присущих К – фильтрам, создаются М –
фильтры. Это достигается введением последовательного или
параллельного звена. У них отношение продольного сопротивления к
поперечной проводимости зависит от частоты. Характеристическое
сопротивление М – фильтров практически не зависит от частоты,
поэтому согласованного режима удается достигнуть по всей полосе
пропускания.
Недостатки М – фильтров:
Некоторое изменение кривой затухания в некоторых областях.
73.R,С – фильтры
Наличие индуктивности в ряде случаев нежелательно:
1) Большие массогабаритные показатели.
2) Необходимость экранирования.
ФНЧ
“Г”-образная
“Т”-образная
“Г”-образная
“Т”-образная
“П”-образная
ФВЧ
“П”-образная
Современные RC – фильтры создаются на базе:
1) Операционных усилителей.
2) Гираторов.
3) Частотнозависимых отрицательных сопротивлений.
1.Схема Салена и Ки (на базе усилителей):
ФНЧ
ФВЧ
Схема Батерфорда:
ФНЧ
1-го порядка
2-го порядка
Для получения ФВЧ необходимо поменять местами элементы R и C.
2.RC – фильтры на базе гератора.
избавимся от индуктивности
Гераторы- полупроводниковые элементы, вместе с емкостью моделируем индуктивность.
3. RC – фильтры на базе частотнозависимых отрицательных сопротивлений.
LR
RC
C  P - частотнозависимые отрицательные сопротивления.
74. Мостовые фильтры
75.Пьезоэлектрические фильтры. Цифровые фильтры.
Пьезоэлектрические фильтры.
На кварцевые пластины подается напряжение и она начинает колебаться с частотой
приложенного напряжения.
При совпадении частоты приложенного напряжения и собственной частоты наступает
резонанс.
Цифровые фильтры.
Подаваемый сигналом (входное напряжение) поступает на АЦП (аналого – цифровой
преобразователь), где он преобразовывается в цифровой код, который подается на
микропроцессор, где происходит сравнение этого кода с заложенной характеристикой.
Условия пропускания реактивных фильтров.
A  chg  ch ( a  jb )  ch ( a )  ch ( jb )  sh ( a )  sh ( jb )
С другой стороны:
ch ( jb ) 
e
jb
e
 jb
 cos b
2
sh ( jb ) 
e
jb
e
 jb
 j sin b
2
Тогда:
A  chg  ch(a  jb)  ch( a )  ch( jb)  sh( a )  sh( jb) 
 ch( a )  cos b  jsh( a )  sin b
Полоса пропускания:
В полосе пропускания а = 0. Тогда:
A  ch(0)  cos b  j sin(0)  sin b  cos b  b  arccos A
Т.к. функция cos изменяется в пределах от “-1” до “1”, то “А” изменяется в тех же пределах.
Но “A” – это 1  Z Y
 1  1  ZY  1 или  2  Z Y  0 , т.о.
ZY  0

ZY  2
- граничные условия для определения частоты среза ( между
ними будет полоса пропускания)
ZC 
B
C

ZX ZK
Характеристическое сопротивление фильтра в полосе пропускания – чисто активное.
Полоса затухания:
b  
ФНЧ: b  
ФВЧ: b  
A  ch(a)  cos( )  jsh(a)  sin( )  ch(a)  a  Arch( A)
B
 ZX ZK
C
Характеристическое сопротивление фильтра в полосе затухания – чисто реактивное.
ФНЧ – индуктивное.
ФВЧ – емкостное.
ZC 
Пример:
Дано: L, C, U1
Найти: полосу пропускания, построить графики ZC , a, b,
Найти: U 2 , I 2 , I1
Решение.
Найдём полосу пропускания:
Z Y  

1
0,  c1 ,
 2
ZY  0
  LC




1
1
 
;
ZY  2 
2;  c 2 2LC
 2
  LC
1
;
  L C
2
1
;
  LC
2
1
B  Z  Z  Z  Z Y 
 3 2;
j C j LC
1
C Y 
;
j L
A  1 Z Y  1
ZC 
ZCном 
B

C
(
2
2
1
 3 2 )  j L
j C j LC

1
2L
1
 2 2.
C  C
2L
C
1
).
  LC
1
 1)
Полоса затухания: b   , a  Arch( A)  Arch( 2
  LC
Полоса пропускания: а = 0, b  arccos A  arccos(1 
Полоса пропускания:
2
U1
g
 e  ea  jb  e jb ;
U2
U2 
I1
I2
U1
e jb
 U1  e jb ; I 2 
 e jb  I1  I 2  e jb
U2
Z Cí î ì
;
76. Условия пропуска реактивных фильтров
𝐴 = 𝑐ℎ𝑔 = 𝑐ℎ(𝑎 + 𝑗𝑏) = 𝑐ℎ𝑎 𝑐ℎ𝑗𝑏 + 𝑠ℎ𝑎 𝑠ℎ𝑗𝑏
𝑒 𝑗𝑏 +𝑒 −𝑗𝑏
𝑐ℎ𝑗𝑏 =
2
ПП:
а=0
𝑠ℎ𝑗𝑏 =
𝑒 𝑗𝑏 +𝑒 −𝑗𝑏
2
= 𝑗𝑠𝑖𝑛𝑏
𝐴 = 𝑐ℎ0 𝑐ℎ𝑗𝑏 + 𝑗сℎ0 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 𝑐𝑜𝑠𝑏 → 𝑏 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴
0≤|cosb|≤1
-1≤A≤1
-1≤1+ZY≤1
-2≤ZY≤0
ZY=0 и
ZY=-2 – граничные условия для определения частот среза
𝐵
Характеристическое сопротивление Zc в полосе пропускания(ПП) чисто активное: 𝑍𝑐 = √ =
𝐶
√𝑍𝑥𝑍𝑘
ПЗ:
b=± π b=- π-ФВЧ
b= π – ФНЧ
𝐴 = 𝑐ℎ𝑎 𝑐ℎ(±𝜋) + 𝑗𝑠ℎ𝑎 𝑠ℎ(±𝜋) = −𝑐ℎ𝑎 → 𝑎 = 𝑎𝑟𝑐ℎ(−𝐴)
𝐵
𝑍𝑐 = √ = √𝑍𝑥𝑍𝑘
𝐶
Zc в ПЗ чисто реактивное Индуктивное – для ФНЧ Емкостное – для ФВЧ
77 Уравнения длинной линии в дифференциальной форме
К длинным линиям относятся линии электропередач, телеграфные и т.д
Данную линию разбивают на бесконечно большое число бесконечно малых отрезков dx и на
каждом отрезке dx линия заменяется схемой замещения:
X—РАССТОЯНИЕ ОТ КОНЦА ЛИНИИ (км) Y—расстояние от начала линии (км) R0—продольное
сопротивление на единицу длины (Ом/км) L0—продольная индуктивность на единицу
длины (Гн/км) G0—поперечная проводимость на единицу длины (Си/км=1/(Ом*км))
C0—поперечная емкость на единицу длины (ф/км)
dU= iR0dx + L0dx
𝜕𝑖
dU=
𝜕𝑡
𝜕𝑈
𝜕𝑥
dx
так как
di=UG0dx+ C0 dx
𝜕𝑈
𝜕𝑡
𝜕𝑈
𝜕𝑥
=iR0 +L0
𝜕𝑖
𝜕𝑡
то
di=
𝜕𝑖
𝜕𝑥
dx
𝜕𝑖
𝜕𝑥
=UG0+ C0
𝜕𝑈
𝜕𝑡
Последняя система и есть уравнения длинной линии в дифференциальной форме или
иначе телеграфные уравнения. Они зависят от 2-х величин: расстояния—х и времени--t
78.Уравнения длинной линии синусоидального тока в комплексной форме.
i
 u

R
i

L
(5)
0
0
 x
t

-уравнение длинной линии в дифференциальной форме.
 i  G u  C u (6)
0
0
 x
t
Пусть напряжение и ток в длинной линии изменяются по синусоидальному закону, т.е.:
i  I m sin(t   i )
u  U m sin(t   U )
Перейдем от мгновенных значений к комплексным:
jC
I
e
m
jt
I e
,где I 
2
jU
U e
jt
,где U 
Ume
2
U
dU
 e jt
– перешли к обычным производным, т.к. берем производную от двух
x
dx
dU
сомножителей, один из которых зависит только от расстояния
, а второй – только от
dx
времени e jt
L0
i
 L0  j  I  e jt
t
Подставим эти величины в уравнение (5). Получим:
e
jt d u
 I  R0  e
dx
jt
 j  L0  I  e
j t
jt
Разделим правую и левую части на e
. Получим:
 dU
 R0 I  j  L0  I  Z 0  I (7)

 dx

уравнение длинной линии синусоидального тока в
 dI  G U  j  C  U  Y 0  U (8)
0
0

 dx
комплексной форме
79.Вторичным параметры (коэффициент распространения и волновое сопротивление).
При распространении электромагнитной энергии по длинной кабельной линии напряжение
между проводниками и ток в проводниках не остаются постоянными, а меняются по
абсолютному значению и по фазе. Отношения между током и напряжением в любой точке
цепи и током и напряжением в начале цепи зависят от двух параметров – волнового
сопротивления Zв и коэффициента распространения γ, которые носят название вторичных
параметров передачи. Они относятся к основным показателям, характеризующим
электрические свойства цепи.
Волновое сопротивление определяется отношением напряжения к току в любой точке цепи
и выражается через первичные параметры по формуле:
__________________
Zв = √ (R + iωL) / (G + iωC).
Волновое сопротивление выражается в Омах, если активное сопротивление R выражено в
Ом/км, индуктивность L – в Г/км, емкость С – в Ф/км и проводимость G – в См/км.
В общем виде волновое сопротивление является комплексной величиной. Для всех
однородных цепей R/L > G/C, поэтому угол волнового сопротивления отрицателен.
При R << ωL и G << ωL, т.е. для частот свыше 5…10 кГц, волновое сопротивление определяется
по следующей упрощенной формуле:
_____
Zв = √ L / C).
Коэффициент распространения γ характеризует изменение мощности электромагнитной
волны при распространении ее по линии и изменение фазы напряжения и тока вдоль линии.
Коэффициент распространения – комплексная величина, причем действительная
составляющая α определяет затухание, т.е. уменьшение напряжения и тока на единицу
длины цепи, а мнимая составляющая β характеризует величину изменения фазы напряжения
и тока на единицу длины линии.
Коэффициент распр-я через первичные параметры выражается формулой:
_________________
γ = α + iβ = √ (R + iωL) · (G + iωC)
,где α выражается в неперах/км (Н/км); 1 Н = 8,69 дБ и
β – в рад/км.
Обычно коэффициент распространения γ определяют на 1 км цепи. Затухание цепи на 1 км
(α) называют коэффициентом затухания, а сдвиг фазы на 1 км (β) – коэффициентом фазы.
!!
Вторичные параметры передачи цепей так же, как и первичные, зависят от диаметра и
материала проводников, типа изоляции, температуры и частоты тока.
80.Уравнения длинной линии в гиперболических функциях.
Длинная линия – это линия, длина которой соизмерима с длиной волны,
распространяющейся в этой линии. Это – линии связи, линии электропередач.
Уравнения длинной линии в гиперболических функциях:
U  U 2 ch( x)  Z B I 2 sh( x) (16)

U2

I

 2 Z sh( x)  I 2 ch( x) (17)
B

81. Длинная линия как четырехполюсник.
Рассмотрим начало линии:
X  L U U1
I  I1
И тогда уравнения длинной линии в гиперболических функциях (16) и (17) примут
следующий вид:
U 1  AU 2  B I 2

 I 1  CU 2  D I 2
A  D  cos  L
B  Z B sh( L)
1
C
sh ( L)
ZB
U1
U2
82. Волны в линии.
Рассмотрим уравнение (10):
x
U  A1  e
 A2  e
 x
;
j
j
A1  A1  e 1 ; A2  A  e 2 ;     j  ;
j
j
 x j x
 x  j  x
U  A1  e 1  e
e
 A2  e 2  e
e
2  e jt :
Умножим правую и левую части на
j (t  1   x )
jt
x
Um  e
 A1m  e
e
 A2 m  e  x  e j (t  2   x ) ;
Перейдем к мгновенным значениям:
U  A1m  e x  sin(t   1   x)  A2 m  e  x  sin(t   2   x)  Un  Uo;
Un
Uo
Первое слагаемое представляет собой прямую или падающую волну, т.е. это синусоида,
амплитуда которой возрастает от конца линии к началу или уменьшается от начала линии к
концу – это уменьшение обусловлено потерями в линии.
83. Фазовая скорость. Длина волны.
84.Неискажающая линия.
Неискажающая линия.
Неискажающая линия – это линия, у которой коэффициент затухания и фазовая скорость v
не зависят от частоты (на этом основаны линии связи).
Условие создания неискажающей линии:
R0 G0

L0 C 0
    j   Z 0  Y 0  ( R0  j L0 )  (G0  j C0 ) 
2
 R0
  G0

 R0

 L0  C0  
 j   
 j   L0  C0  
 j  
L
 C

L

 0
  0

 0

R0
C0

 L0  C0  j L0  C0  R0 
 j L0  C0 ;
L0
L0
C
  R0  0
L0
v 



- не зависит от f ;   

  L0  C0

1
L0  C0
L0  C0
- не зависит от f ;
Волновое сопротивление такой линии:
ZB 
R

L0   0  j 
Z0
L0
R0  j L0

  L0


Y0
G0  jC0
C0
 G0

C0  
 j 
 C0

чисто активное и не зависит от f .
- сопротиление
85. Длинная линия без потерь.
Это линии, у которых R0  0, G0  0
Линии электропередач работают в следующем режиме:
L0  R0
L0  G0
    j  Z 0 Y 0  ( jL0 )( jC0 )  j L0C0
  0;    L0C0
v 


1


  L0C0
L0C0
ZB 
Z0

Y0
jL0
L0

jC0
C0 - чисто активное и не зависит от частоты.
U  U 2 cos( x)  Z B I 2 sh( x)  U 2 cos( jx)  Z B I 2 sh( jx)

U2
U2

 I  Z sh( x)  I 2 ch( x)  Z sh( jx)  I 2 ( jx)
B
B

    j  j
С другой стороны:

e j x
ch( jx) 

j x
sh( jx)  e

 e  j x
 cos( x)
2
 e  j x
 j sin( x)
2
Тогда уравнения длинной линии без потерь:
U  U 2 cos( x)  j Z B I 2 sin( x)

U2

I

j
sin( x)  I 2 cos( x)

ZB

где x – расстояние от конца линий
86.
Стоячие волны в длинной линии без потерь.
Бегущая волна отсутствует (т.е. волна стоит). Перемещения энергии нет.
Перемещение энергии будет отсутствовать в следующих случаях:
- при холостом ходе
- при КЗ
- при чисто реактивной нагрузке.
Рассмотрим режим холостого хода:
Z н  , I 2  0.
U 2 cos x
U
Z вх   ZC
 j Z B ctgx
U2
I
j
sin x
ZB
U, I, Z
Z(y)
U  U 2 cos x,
U(y) I(y)
U
(1)
I  j 2 sin x
ZB
vф w 2f 2
2y
 


 
f
f  f


2
Z в х   jZ В ctg
x

3/4
2/4
Umax
Imax
/4

Умножим обе части уравнения (1) на 2e jwt
Имеем: U ( x, t )  U 2m cos x  sin wt , где U 2 m sin wt - амплитуда косинусоиды.
i ( x, t ) 
U 2m
sin x  sin( wt  90 0 )  I m cos wt  sin x , где I m cos wt - амплитуда синусоиды.
ZB
Точки, в которых напряжение и ток все время остаются равными 0, называются
узлами. Точки, в которых напряжение и ток достигают максимальных значений,
называются пучностями.
На любом расстоянии от конца линии U и I сдвинуты на 900.
87 Переходные процессы в длинных линиях без потерь.
di
 dU

iR

L
0
0
 dx
dt

 di  UG  C dU
0
0
 dx
dt
di
 dU

L
0
 dx
dt
при R0 и G0 имеем:  di
  C dU
0
 dx
dt
Продифференцируем первое уравнение по расстоянию “X”, а второе – по времени “t”.
Получим:
 d 2U
d 2i
 2  L0
dtdx
dx
 2
2
 d i C d U
0
 dxdt
dt 2
Подставим второе в первое. Получим:
d 2U
d 2U
 L0 C 0
0
dx 2
dt 2
1
1
v 
 L0 C 0  2
v
L0 C 0
Тогда:
d 2U 1 d 2U


0
dx 2 v2 dt 2
Решение этого уравнения было дано Д’Аламбером:

x
U ( x, t )  f1  t 
 v
x
U   f1 (t  )
v
U O  f 2 (t 


x
  f 2  t 

 v

  U   U O

x
)
v
Совершенно аналогично для тока:
i ( x, t ) 
i 
U
ZB
1
ZB
 
x
 f1  t 
  v
i0 
U0
ZB


x
  f 2  t 

 v

  i  iO

Падающая волна доходит до конца линии и частично проникает в нагрузку (преломленная
волна) и частично отражается (отраженная волна).
Рассмотрим падающую волну:
i1n
E
u1n
u
ZC
R0
L0
i1n
E
а)
u1n
ZC
б)
un(x,t’)=Е
E
Vф
x
u
Em
un(x,t’)
Vф
x
ZH ZB
q 
Рассмотрим отраженную волну: U
ZH  ZB
tк=l/v
i2
ZC
e=2u2n
u2
u
Z2
i
u=un+uo
un
Vф
in
i=in-io
Vф
uo
io
Vф
Vф
x
l
0
l
0
а)
б)
 1  qU  1
U 0  qU  U 
Рассмотрим для момента времени, когда падающая волна дошла до конца линии. Тогда:
U 2  U   U 0 (1)

U U0

i 2  i n  i0  Z  Z
B
B

U 2  U n  U 0

Z B i 2  U n  U 0
U 2  Z B i 2  2U n (3)
( 2)
Уравнению (3) соответствует следующая схема замещения с сосредоточенными
параметрами:
i2
ZB
2un
u2
ZH
Рис. 2
Ключ замыкается в тот момент, когда падающая волна дошла до конца линии.
По этой схеме замещения (Рис.2) рассчитываем напряжение U2 и I2 . Затем по (1) и
(2)находим U0 и I0
x
89. Последовательность расчёта переходных процессов в длинных
линиях без потерь.
1) Рассчитываем падающие волны:
U   e; I  
U
ZB
2) Составляем схему замещения с сосредоточенными параметрами и
рассчитываем в ней U 2 , I 2 (в конце линии) классическим или операторным
методом.
3) Рассчитываем отраженные волны с помощью (1), (2) и (3).
4) Заменяя в полученных уравнениях “t” на t 
x
, получаем зависимость
U
интересующих нас величин от расстояния “x” и времени “t”.
Нелинейные электрические цепи.
Нелинейный элемент – величина, которая зависит от тока и напряжения.
а)
б)
в)
Рис. 1
Различают:
i  f (U )
1) Нелинейное активное сопротивление (рис.1 а) U  f (i )
2) Нелинейные индуктивности (рис.1 б) - это катушка индуктивности с
сердечником из ферромагнитного материала
i  f ( )
d
U
dt
  WSB i  H
e
W
W – число витков.
S–
сечение
провода.
H–
напряженность магнитного поля.
B – индукция.
L – средняя длина магнитного пути в проводе.
3) Нелинейная емкость(рис. 1 в) – это емкость
с нелинейным диэлектриком.
U  f (q)
dq
i
dt
Нелинейные элементы делятся на управляемые и неуправляемые, инерционные
и безынерционные, с симметричными характеристиками и несимметричными
характеристиками.
На основе нелинейных элементов создают следующие устройства: стабилизаторы
напряжения, преобразователи частоты, преобразователи числа фаз.
90. Расчёт последовательного, параллельного и смешанного соединения нелинейных
элементов.
Для расчета применяются следующие методы:
1) Графические.
2) Аналитические.
3) Численные.
А также их комбинации.
1) Последовательное соединение нелинейных элементов.
Суммирование характеристик вдоль оси напряжений.
I
U1(I)
U2(I)
 U1(I),U2(I)
I
I
НЭ1
n
НЭ2
U1
U2
E
U
U1
а)
U2
E
б)
2)Параллельное соединение нелинейных элементов.
Суммирование характеристик вдоль оси токов.
I
 I(U)
I
I
I1
I2
E НЭ1
НЭ2
I1
I1(U)
I2
I2(U)
U
а)
E
б)
3) Смешанное соединение нелинейных элементов (расчет начинается с расчета
параллельного соединения).
I
I1(U)
Uab(I)
I1
НЭ1
a
I(U)
I1
1
I2
I2(U)
I3
I2
E
НЭ2
R3
I3(U)
I3
U
b
а)
U1
Uab
б)
E
91. Графический вариант метода двух узлов.
U ab  U HЭ1  E1  f ( I 1 )
U ab  U НЭ 2  E 2  f ( I 2 )
a
I1
НЭ1
E1
a
I2
НЭ2
I3

R3
E2
НЭ1
НЭЭ
R3
E1
b
b
а)
б)
I
U2(I2)
Uab(I2) U3(I3)
U1(I1)
Uab(I1)
I2
I3
n
E2
U
E1
I1
Uab
Суммирование характеристик HЭ1  E1 ведем вдоль оси тока, и там, где суммарная
характеристика пересечет ось напряжений, и будет Uab (выполняется первый закон Кирхгофа I1  I 2  I 3  0 ). Зная Uab, найдем I 1 , I 2 , I 3 (графически).
92. Комбинированный метод эквивалентного генератора
Этот метод применим в тех случаях, когда имеется сложная эл. цепь с одним нелинейным
элементом. Выделяется ветвь, а остальную часть сложной схемы заключают в активный
двухполюсник.
Последовательность расчета
1.
Разрываем ветвь с нелинейным элементом и определяем направление
холостого хода на зажимах разорванной ветви
2.
Заменяем все источники в схеме их внутренними сопротивлениями и
определяем входное сопротивление схемы по отношению к разорванной ветви
3.
Графически рассчитываем схему состоящую из последовательно соединенного
источника ЭДС , Uabвх, Rвх и НЭ
93Аналитические методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока.
Метод кусочно–линейной аппроксимации, использующий
характеристики для мгновенных значений.
Сущность: характеристика нелинейных элементов заменяется отрезками
прямых. Это приводит к тому, нелинейные дифференциальные
уравнения становятся линейными, а полученные решения
согласовываются друг с другом.
Последовательность расчета:
1) Заменяем характеристику нелинейного элемента отрезками прямых.
2) Составляем нелинейные дифференциальные уравнения – систему
нелинейных дифференциальных – и подставляем в нее уравнения
отрезков прямых, в результате чего нелинейное дифференциальные
уравнения становятся линейными, и решаем систему линейных
уравнений.
3) Определяем постоянные интегрирования, согласовывая решение на
одном участке с решением на другом.
Метод гармонического баланса.
Сущность: искомое решение представляется в виде нескольких
гармоник. В результате нелинейные дифференциальные уравнения
становятся алгебраическими, где число уравнений равно “2k”, где “k” –
число учитываемых гармоник.
Последовательность расчета:
1) Определяем характеристики нелинейных элементов.
2) Составляем систему нелинейных дифференциальных уравнений и
подставляем в эту систему аппроксимированные выражения, а также
искомое решение в виде суммы нескольких гармоник.
В результате получаем систему из “2k” уравнений.
3) Решая полученную систему находим амплитуды а начальные фазы
соответствующих гармоник.
Метод эквивалентных синусоид (аналитический вариант).
Сущность: несинусоидальные токи и напряжения заменяются
эквивалентными в смысле действующих значений синусоидальными.
Это позволяет пользоваться методом, а также строить векторные
диаграммы.
Метод применяется тогда, когда форма кривых токов нас не интересует
или когда несинусоидальность невелика.
94. Аппроксимации характеристик нелинейных элементов
Виды аппроксимаций:
1) Кусочно – линейная : а) y  ax в) y  ax  в
2) Аппроксимация укороченным степенным полиномом
а) y  ax n
б) y  ax  bx n
3) Аппроксимация гиперболическим синусом: y    sh ( x)
4) Аппроксимация степенным полиномом: y  a0  a1 x  a2 x 2  ...an x n
5) Аппроксимация экспоненциальным полиномом: y  a0  a1e b x  a2 e b x  an e b x
И т.д. и т.п.
Для определение коэффициентов аппроксимации нелинейных элементов:
1
а) y  ax
U  aI  a 
2
U1
R
I1
б)
y  a  bx
U1  a  bI1
 a, b

U 2  a  bI 2
a  U0
b
U U 2  U 1

R
I
I 2  I1
в) Аппроксимация гиперболическим синусом:
y    sh ( x)
I1    sh (  )
I 2   sh (  2 ) (e   e   )


`
I1   sh (  1 ) (e   e   )
Когда   3 , величиной e   можно пренебречь из – за ее малости. Тогда:
I
ln 2
I2
I1
I2
 e  ( 2  1 ) ;  
; 
I1
 2  1
sh (  2 )
2
2
1
1
n
95 Последовательность расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока
аналитическими методами
1. Аппроксимируем характеристики НЭ
2. Составляем систему уравнений по методу уравнений Кирхгофа или узловых
потенциалов
3. Подставляем в полученную систему уравнений аппроксимируемое
выражения
4. Решаем полученную систему и находим токи и напряжения на нелинейных
элементах
Достоинства:
Позволяет анализировать задачу в общем виде
Недостатки:

Сложность

Непригодность для расчета сложных электрических цепей
Пример:
1). Iн=аUн2
(1)
2). I1-I2-Iн=0
I2R2=Uн
(2)
I1R1+Uн=Е
I2
UH

R2
I1
E U H

R1
(3)
(4)
1,3,4
2
E UH
UH

 aU
R1
R2
2
H
 0
1
1
E

)
0
R1
R2
R1
Решая полученное квадратное уравнение определяем напряжение на НЭ.
aU 2 H  U H (
96. Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока методом итераций
Одним из численных методов расчета является метод итераций:
1). Задаемся произвольным значением тока I1 и по ВАХ НЭ1 определяем U1
2). По закону Ома I2=U1\R2
3). I3 определяем по 1-му закону Кирхгофа I3=I1+I2
4). По ВАХ 3-го НЭ3 определяем U3
5). Определяем расчетную ЭДС по 2-му закону Кирхгофа
Eрасч=U1+U3+I3R4
6). Расчет ведем до тех пор, пока расчетная ЭДС не станет
достаточно близка по значению к действительной.
Этого можно добиться 2-мя способами:
1-ый способ:
Задаваясь различными значениями тока I1
определяем расчетные ЭДС и строим
вспомогательную характеристику E(I1).
97Метод Ньютона – Рафсона.
Сущность метода заключается в том, что каждое следующее приближение равно
предыдущему минус поправка, равная отношению функции предыдущего приближения к ее
производной:
x( n1)
f ( xn )
 xn 
f ' ( xn )
Для сходимости вычислительного процесса необходимо:
1) Функция должна быть дифференцируема.
2) Значение производной не должно быть слишком мало.
Пример расчета:
U1=aIn;(a=1;n=2)
U2=  sh(  I);(  =1;  =1)
U1+U2=E
f(I)=I2+shI – E= I2+shI – 1
f’(I)=2I+chI
1) I(0)=0; f(I(0))=0+sh0 – 1 = 1
f’(I(0))=0+1=1
I(1)=I(0) - ff '((II )) =0 + 1=1
0
0
2) I(1)=1; f(I(0))=12+sh1 – 1=1,17
f’(I)=2+ch1=3,54
I(2)=I(1) - ff '((II )) =1- 31,,1754 =0,67
1
1
3) I(2)=0,67; и т.д. до тех пор, пока величина I(n) не начнет
повторяться,
т.е. I(k+1) – I(k)=0.
Достоинства и недостатки численных методов:
Достоинства: позволяют рассчитывать сколь угодно сложные цепи с любой точностью.
Недостатки: не позволяют анализировать задачу в общем виде.
98 Магнитные цепи постоянного потока.
Многие электротехнические устройства и аппараты работают на основе использования
магнитного потока (основной частью таких устройств является магнитопровод).
Характеристики ферромагнитных материалов определяются зависимостью между магнитной
индукцией (В) и напряженностью магнитного поля (Н). Связь между В и Н характеризуется
кривыми намагничивания и петлями гистерезиса.
Кривые намагничивания делятся на:
1.
первоначальные,
2.
основные
3.
безгистерезисные.
2) Основная кривая намагничивания – вершины симметричных петель гистерезиса.
3) Безгистерезисная кривая получается в том случае, если при намагничивании образца
производить либо постукивание по сердечнику, либо пропускать по катушке пакетов
затухающих синусоидальных колебаний, наложенных на постоянную составляющую.
Петли гистерезиса делятся на:
1) Симметричные.
2) Предельные.
3) Несимметричные (частные циклы).
А). Симметричные:
Вr – остаточная индукция.
НС – коэрцитивная сила.
Расчет магнитных цепей постоянного тока производится, как правило графическим методом,
аналогичным методу в нелинейных цепях постоянного тока. Аналогия наблюдается только в
расчетах, но нет аналогии в физических процессах.
Ф1
s1
s3 Ф 2
Ф1
Ф2
Ф3
U1(Ф1)
U2(Ф2)
U3(Ф3)
Iw
R20
I
Ф3
w
2

s2
а)
б)
Электрическая цепь
Магнитная цепь
ЭДС (Е)
Ток (I)
Напряжение (U)
Сопротивление (R=
МДС (F)
Магнитный поток (Ф)
Напряжение (Um=Hl=RmФ)
l
)
 S
Магнитное сопротивление (Rm=
l
)
S
В воздушном зазоре считаем, что магнитный поток остается таким же, каким он был в
сердечнике. При этом пренебрегаем потоком рассеивания и распиранием магнитного
потока.
Um0=Rm0Ф
Rm0=

0  S
При расчете магнитных цепей используется закон магнитной цепи и законы Кирхгофа для
магнитной цепи.
Закон в магнитной цепи аналогичен закону Ома в электрической цепи:
E
I
R
I
F

 W - закон магнитного потока
RM RM
n
Первый закон Кирхгофа:

k 1
K
0
Второй закон Кирхгофа для магнитной цепи:
 I K WK   H K l K
( FK   RM K  K )
При расчете магнитных цепей обычно возникают две задачи:
1) По магнитному потоку найти МДС F  I W (прямая задача).
2) По известной МДС определить магнитный поток (потоки) – обратная задача.
Пример
расчета:
B
B3
B2
3
2
1
B1
H1
H2
Рис. 1
1).B3,l1,l2, l3, S1,S2, S3,W1 (прямая задача)
I1-?
F1-?
Ф3=B3S3; B3 по рисунку 1 H3; UMab=H3l3;
H2=UMab/l2; H2 по рисунку 1B2; Ф2=S2B2;
Ф1=Ф2+Ф3; B1=Ф1/S1; B1 по рисунку 1 H1;
F1=I1W1=H1l1+UMab => F1; I1=F1/W1.
H3
H
99. Графический метод расчета нелинейных цепей переменного тока, использующий
характеристики мгновенных значений.
Последовательность расчета:
1) Определяем закон изменения одной из величин нелинейного элемента.
2) С помощью графических построений находим закон изменения другой
величины нелинейного элемента.
3) С помощью расчетов или с помощью графических построений определяем
закон изменения выходной величины.
Пример расчета:
1).U=Umsin(wt)
2).
–
Причина
появления
высоких гармоник
нелинейный
элемент.
100. Графический вариант метода эквивалентных синусоид
Сущность метода: несинусоидальные токи и напряжения заменяются
эквивалентными синусоидальными (эквивалентными в смысле действующих
значений).
Рассмотрим применение метода на примере феррорезонанса напряжений и
феррорезонанса токов
Феррорезонанс напряжений.
Наблюдается в цепи из нелинейной индуктивности и линейной емкости,
последовательно соединенных. При феррорезонансе напряжений первая
гармоника тока совпадает с входным напряжением.
UС(I)
U
n
UL(I)
I
R
UR
С
UС
UL(I)
UL
U(I)
2
1
U1
E
UR(I)
0
UL –UС
U0
I1
При увеличении входного напряжения будет
наблюдаться скачкообразное увеличение тока
(2-2), а при уменьшении входного напряжения
будет наблюдаться скачкообразное
уменьшение тока (1-1) . Это явление носит
название релейного или триггерного эффекта в
феррорезонансной цепи
I0
I2
I
101. Феррорезонанс напряжений и феррорезонанс токов.
Феррорезонанс токов.
Феррорезонанс токов наблюдается в цепи из параллельно соединенных
нелинейной индуктивности и линейной емкости. При том 1-ая
гармоника тока совпадает с входным напряжением.
U
IR(U)
IC(U)
IL(U)
0
U0
I
I (U)
1
IR
IC
IL
U1
Е
R
C
IL(U)
I0
а)
Imax
б)
I
102.Расчёт нелинейных электрических цепей переменного тока методом
кусочной линейной аппроксимации.
Аналитические методы.
Для аналитического необходимо иметь аппроксимацию (характеристику
нелинейного элемента)
Кусочно – линейная аппроксимация
Для определения коэффициентов аппроксимации нелинейных элементов:
1) Метод выбранных точек.
2) Метод наименьших квадратов.
3) Метод усреднения.
Рассмотрим метод (1) как наиболее простой.
Кусочно – линейная аппроксимация
а) y  ax U  aI  a 
U1
R
I1
б)
y  a  bx
U1  a  bI1
 a, b

U 2  a  bI 2
a  U0
b
U U 2  U 1

R
I
I 2  I1
103. Расчёт нелинейных электрических цепей переменного тока методом
гармонического баланса.
Сущность: искомое решение представляется в виде
нескольких
гармоник.
В
результате
нелинейные
дифференциальные
уравнения
становятся
алгебраическими, где число уравнений равно “2k”, где “k”
– число учитываемых гармоник.
Последовательность расчета:
1) Определяем характеристики нелинейных элементов.
2) Составляем систему нелинейных дифференциальных
уравнений
и
подставляем
в
эту
систему
аппроксимированные выражения, а также искомое
решение в виде суммы нескольких гармоник.
В результате получаем систему из “2k” уравнений.
3) Решая полученную систему находим амплитуды а
начальные фазы соответствующих гармоник.
104. Расчёт нелинейных электрических цепей переменного тока методом эквивалентных
синусоид. (Схема замещения катушки и трансформатора).
Метод эквивалентных синусоид (аналитический вариант).
Сущность: несинусоидальные токи и напряжения заменяются эквивалентными в
смысле действующих значений синусоидальными. Это позволяет пользоваться
методом, а также строить векторные диаграммы.
Метод применяется тогда, когда форма кривых токов нас не интересует или когда
несинусоидальность невелика.
Катушка с ферромагнитным сердечником.
Схема замещения катушки с ферромагнитным сердечником:
фs
ф0
I
R
Xs
i
Ia

u
U
U0
G0
Ip
B0
б)
а)
Рис.1
 0 - основной магнитный поток
 S - магнитный поток рассеивания (поток, замыкающийся по воздуху )
Ф=Фs+Ф0
U Bx  iR 
d S d 0
d
di
 iR 

 iR  LS  U 0
dt
dt
dt
dt
Применяем метод эквивалентных синусоид. Тогда:
U  I R  jwLS I  U 0
(*)
I R - падение напряжения на сопротивлении “R”
- падение напряжения на индуктивности.
U 0 - нелинейная уравнивающая ЭДС индукции основного магнитного потока.
jwLS I
U 0   E 0  jw
 om
 j1.44 wf om
2
Уравнению (*) соответствует схема замещения, указанная на рис.1 б).
R и X LS - собственные параметры катушки, т.е. параметры катушки без
ферромагнитного сердечника.
g o u b0 - вносимые параметры, т.е. обусловленные наличием сердечника.
g 0 - учитывает параметры в стали
b0 - обусловлено колебаниями энергии основного магнитного потока.
Потери в стали:
Pcm  P  Pb
P - потери на гистерезис (переориентацию доменных областей)
P    fBmn G , где n  1.6  2
  - коэффициент от сорта стали.
G - масса сердечника.
Pb - потери на вихревые токи.
Pb   b f 2 Bm2 G
B - индукция магнитного поля.
 b - сорт стали, толщина пластин.
На практике:
1, 3
P
 f 
Pcm  P1, 0 B   G; n  5.69 lg 1,5
P1, 0
 50 
n
Регистрируются и приводятся в справочниках потери P1,0 u P1,5 при индукции
B  1,0 u B  1,5 Тл. Если индукция или частота отличаются, то расчет – по
приведенной формуле.
Этой схеме замещения соответствует векторная диаграмма:
+j
U
IjXS
IR
U0=E
I

Ia
a
Ip
+1
Ф0
СхемаIa замещения трансформатора.
фS1
E
ф0
фS2
i2
i1
u1
w1
w2 u2
Z2
По методу эквивалентных синусоид уравнения для первичных и вторичных цепей
трансформатора в комплексной форме:
U 1  I 1 R  jX LS 1 I 1  U 0 (1)

E 2  I 2 R2  jX LS 2 I 2  I 2 Z H (2)
Обычно число витков вторичной обмотки отличается от числа витков первичной,
поэтому обычно число витков вторичной обмотки приводится к числу первичной;
при этом исходят из того, что МДС (магнитодвижущая сила) остается неизменной
и в нагрузочном режиме, и в режиме холостого хода.
I1 w1  I 2 w2  I10 w1
I1  I10  I '2 , где I '2  I 2
k
w2 I 2

w1
k
w1
- коэффициент трансформации.
w2
Умножим уравнение (2) на “k” – коэффициент трансформации.
U 1  I 1 R  jX LS 1 I 1  U 0

w1
w1
w1
 w1
 E 2 w  I 2 R2 w  jX LS 2 I 2 w  I 2 Z H w
2
2
2
2

E ' 2  I ' 2 R' 2  jX ' LS 2 I ' 2  I ' 2 Z ' H
- уравнение вторичной обмотки, приведенное к числу
витков первичной.
E ' 2  kE2
R ' 2  k 2 R2
X 'S 2  k 2 X S 2
Z 'H  k 2 Z H
Этим уравнениям (1) и (3) соответствует следующая схема замещения:
I1’
R1’
XLS1’
XLS2'
R2'
I2'
I0
U1
g0
U0
B0
E0’
Zn'
105 Расчёт нелинейных электрических цепей переменного тока методом
последовательных приближений.
Сущность метода заключается в том, что находят приближенное решение,
которое затем уточняется. Существует много разновидностей этого метода.
Рассмотрим одну из них.
I ( n1) 
E
E

R( n )1 ( I n )  R( n ) 2 ( I n ) R( n )1  R( n ) 2
где:
- значение тока на (n+1)-ом шаге,
R(n )1 - сопротивление 1-го НЭ на n-ом шаге,
R(n ) 2 - сопротивление 2-го НЭ на n-ом шаге,
R(n )1 , R(n ) 2 зависят от I (n ) .
I ( n 1)
Последовательность расчета:
1).
А). Задаемся произвольным значением
Б). По ВАХ R(n )1 и R(n ) 2 определяем U1 ,U 2 .
В). Определяем
R( 0 )1 
Г). Определяем
I (1) 
U ( 0 )1
I (0)
и
R( 0 ) 2 
E
R( 0)1  R( 0) 2
U (0) 2
I (0)
I (0) .
.
.
2). По значению тока I (1) совершенно аналогично определяем R(1)1 и R(1) 2 , а затем
значение тока I ( 2)
Эта процедура повторяется до тех пор, пока значение тока не начнет повторяться.
В случае сложной алгебраической цепи составляем систему уравнений и на
каждом шаге решаем эту систему.
Метод контурных токов в общем случае для расчета цепи с НЭ неприемлем,
однако его можно применять в том случае, когда контурные токи выбраны так,
что через каждый НЭ протекает только один контурный ток.
110. Расчет переходных процессов в нелинейных цепях
методом условной линиализации
Сущность: характеристику нелинейного элемента заменяют эквивалентной линейной (в
рабочем режиме). Это приводит к тому, что нелинейное дифференциальные уравнения
становятся линейными, а полученное решение уточняется с учетом нелинейности
нелинейного элемента.
Пример:
Рис.1
I y  ER
Iy по ВАХ НЭ

Lэ 
;i 
y
Iy
y
 d
Lэ
;
dt
 iR  E
d 

RE
dt
Lэ
1). (t )   y   CB  A  e pt
2). y
3). p 
L
R
R
 0  p   ;  э
Lэ
Lэ
R
4).i L (0)  i L (0)  0; (0)  0
5). Найдем постоянную интегрирования: t  0; (0)   y  A  e 0 ; A   y
6).  (t )   y  y e

t

по этому выражению строим график:
По рис.2, зная t определяем  затем по рис.1
определяем i
111. Метод кусочно-линейной аппроксимации.
Последовательность расчета:
1) Заменяем характеристику нелинейного элемента отрезками прямых.
2) Составляем нелинейные дифференциальные уравнения – систему нелинейных
дифференциальных – и подставляем в нее уравнения отрезков прямых, в
результате чего нелинейное дифференциальные уравнения становятся
линейными, и решаем систему линейных уравнений.
3) Определяем постоянные интегрирования, согласовывая решение на одном
участке с решением на другом.
Сущность метода: характеристика НЭ заменяется отрезками прямых. Это
приводит к тому, что нелинейные уравнения становятся линейными, а
полученные решения на одном отрезке согласуются с решениями на другом.
ψ
3
2
Ψ2
Ψ30
ψ(i)
1
Ψ1
Аппроксимируем отдельные отрезки
прямой:i
I2 линии уравнениями
Iy
Ψ20 0 I1 ломаной
1) для отрезка 0-1 1  L1  i1 , где 0  i1  I1 ;
2) для отрезка 1-2  2  20  L2  i2 , где I1  i2  I 2 ;
1) для отрезка 2-3  3  30  L3  i3 , где I 2  i3  I y .
Коэффициенты аппроксимации 20, 30 определяются из графической
диаграммы, а коэффициенты L1, L2, L3  через координаты точек стыка отрезков
(0,1, 2, 3):
L1 
1
  1
  2
,
,
.
L2  2
L2  3
I1
I 2  I1
I3  I2
Дифференциальные уравнения для отдельных участков будут иметь вид:
L1
di
 Ri  E , где 0  i  I1 , 0  t  t1 ,
dt
di
 Ri  E , где I1  i  I 2 , t1  t  t2 ,
dt
di
L3
 Ri  E , где I 2  i  I y , t2  t  
dt
L2
Решения уравнений для отдельных участков, найденные классическим методом,
будут отличаться только постоянными коэффициентами:
p 2( t t1)
1) i1  I y  A1e p1t ,
2) i2  I y  A2e
,
3) i3  I y  A3e p3(t t 2) ,
E
R
R
R
где I y  R , p1   L , p2   L , p3   L .
1
2
3
Постоянные интегрирования находятся из начальных условий и законов
коммутации:
1)
при t = 0, i1(0) = 0, из решения (1) следует A1= Iy,
2)
при t = t1, i2(t1) = I1, из решения (2) следует A2= I1Iy,
3)
при t = t2, i3(t2) = I2, из решения (3) следует A3= I2Iy.
Моменты времени t1, t2, соответствующие переходу процесса с одного участка
характеристики на другой, определяются из совместного решения уравнений для
смежных участков в точке стыка:
A
1
ln 2 ,
p1
A1
A
1
ln 3  t1 .
 I y  A3 , откуда следует t 2 
p2 A2
1)
для точки 1: i(t1 )  I y  A1e pt1  I y  A2 , откуда следует t1 
2)
для точки 2: i(t2 )  I y  A2e p(t 2t1)
112. . Метод аналитической аппроксимации
Для аналитического необходимо иметь аппроксимацию (характеристику нелинейного
элемента)
Виды аппроксимаций:
1) Кусочно – линейная : а) y  ax в) y  ax  в
2) Аппроксимация укороченным степенным полиномом
а) y  ax n б) y  ax  bx n
3) Аппроксимация гиперболическим синусом: y    sh ( x)
4) Аппроксимация степенным полиномом: y  a0  a1 x  a2 x 2  ...an x n
5) Аппроксимация экспоненциальным полиномом: y  a0  a1e 1  a2 e 2  an e
И т.д. и т.п.
Для определение коэффициентов аппроксимации нелинейных элементов:
U
а) y  ax U  aI  a  1  R
I1
б)
bx
y  a  bx
bx
bn x
a U
0
U1  a  bI1
 a, b
U U 2  U1

b

R
U 2  a  bI 2
I
I 2  I1
в) Аппроксимация гиперболическим синусом:
y    sh ( x)
I1    sh (  )
I 2   sh (  2 ) (e  2  e   2 )


`
I1   sh (  1 ) (e 1  e  1 )
Когда   3 , величиной e   можно пренебречь из – за ее малости. Тогда:
I2
I2
I1
I2
 e  ( 2  1 ) ;  
; 
I1
 2  1
sh (  2 )
ln
Последовательность расчета нелинейных электрических цепей аналитическим методом.
1) Аппроксимируем характеристики нелинейных элементов.
2) Составляем систему уравнений либо методом уравнений Кирхгофа, либо методом узловых
потенциалов.
3) Подставляем в уравнения аппроксимированные выражения.
4) Решаем полученную систему уравнений, находим напряжения и токи в нелинейных
элементах.
Достоинства и недостатки
Достоинства: - позволяет анализировать задачу в общем виде.
Недостатки: - сложность
- непригодность для расчета сложных электрических цепей.
113 Метод последовательных приближений (метод Эйлера)
i
R
i(ψ)
ψ
i=kψ2
E
i
I y   y (по ВбАх)
Шаг времени t  5%  y
L

y  y  y .
R
IyR
Дифференциальное уравнение, описывающее эту цепь:
d
 iR  E; d  E  iR dt .
dt
  E  iR t
i0  0; 0  0;  1  E  i0 R t;  1   0   1 ; 1  i1 (по ВбАх)
i  i1 ;   1 ;  2  E  i1R t; 2   1   2 ; 2  i2 (по ВбАх)
114. Основные понятия электромагнитного поля. Три вида тока
Электромагнитное поле – совокупность электрического и магнитного полей.
Пусть к двум проводам приложено постоянное напряжение U H и по ним протекает
постоянный ток.
+
-


Под воздействием приложенного к проводам напряжения между проводами возникает
электрическое поле ( силовые линии напряженности электрического поля Е – обозначены
пунктиром).
Под воздействием протекающего по проводам электрического тока вокруг проводов
возникает магнитное поле (силовые линии напряженности магнитного поля H обозначены
сплошными линиями).
Основными величинами, характеризующими электромагнитное поле, являются:
Напряженность электрического поля Е.
Индукция магнитного поля В.
Вектор напряженности электрического поля Е численно равен силе, действующей на
электрические заряды со стороны электрического поля.
Вектор магнитной индукции В численно равен силе, действующей на движущиеся заряды со
стороны магнитного поля.
Вектор электрического смещения D   E - диэлектрик.
Вектор плотности тока   j E - проводимость среды.
Вектор магнитной индукции B   H - для магнитного поля.
D - вектор электрического смещения.  - вектор плотности тока. B - вектор магнитной
индукции.  - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды. j - удельная
проводимость среды.  - магнитная проницаемость среды. E - вектор напряженности
электрического поля.
H - вектор напряженности магнитного поля.
Различают три вида тока:    np   nep   см .
1)  np  j E - вектор плотности тока проводимости пропорционален напряженности
электрического поля.
Пример: ток в проводниках и полупроводниках в проводящем направлении.
2)  nep   - плотность тока переноса пропорциональна скорости перемещения
электрических зарядов.
dD
dE

3)  см 
- плотность тока электрического смещения пропорциональна скорости
dt
dt
изменения напряженности электрического поля .
115.Первое уравнение Максвелла (закон полного тока):
а)  H d l  I - поток вектора напряженности электрического поля вдоль любого
замкнутого поля равен току, протекающему внутри объема, ограниченного этим контуром.
 H d l  lim
I
S 0 S
S 0 S
rot H   - электрический ток вызывает вихревое магнитное поле.
б) в дифференциальной форме:
lim
116.Второе уравнение Максвелла (закон электромагнитной индукции Фарадея):
d
- ЭДС, возникающая в контуре, равна скорости изменения магнитного потока,
dt
взятого со знаком “-”:
d
а) интегральная форма: e   Edl  
- изменение магнитного потока вызывает ЭДС,
dt
равную линейному интегралу напряженности электрического поля для любого контура.
 Edl  lim  d - изменение магнитного поля
б) дифференциальная форма: lim
S 0 S
S 0 S dt
вызывает вихревое магнитное поле.
117. Третье уравнение Максвелла (обобщенная теорема Гаусса или постулат Максвелла):
e
а) теорема Гаусса в интегральной форме:
 Ed S 
S
q

- поток вектора напряженности
электрического поля сквозь любую замкнутую поверхность в однородной и изотропной среде
равен отношению заряда, заключенного внутри объема, ограниченного данной
поверхностью к абсолютной диэлектрической проницаемости.
S Ed S
q
 lim
б) теорема Гаусса в дифференциальной форме: lim
V 0 V
V  
div E 

- расхождения (дивергенция) вектора напряженности электрического поля имеют
E
начало и конец. Они (силовые линии) начинаются на “+” заряде (исток) и заканчиваются на
“-” заряде (сток).
Оператор Гамильтона:  E 

E
.



 j k
- оператор пространственного дифференцирования.
x
y
z
Постулат Максвелла.
а). В интегральной форме
 Dd S  q - поток вектора электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность в
i
S
любой среде равен заряду, заключенному внутри объема, ограниченного данной
поверхностью.
б) в дифференциальной форме: div D   или D   .
118. Четвертое уравнение Максвелла (принцип непрерывности магнитного потока):
а) в интегральной форме - поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую
поверхность равен нулю.
 Bd S  0
S
б) в дифференциальной форме div B  0 - расхождений силовых линий нет. Силовые линии
не имеют ни начала, ни конца (они непрерывны).
119. 5-ое уравнение Максвелла
Рассмотрим однородную и изотропную среду. Эксперементально было
установлено, что в таких средах между парами векторов для электрических и
магнитных полей имеется линейная связь. 5-ое уравнение Максвелла утверждает
связь между векторами D и E.
D E
Уравнение справедливо в любой точке и в любом объёме.
120.6 уравнение Максвелла (связь между Н и В).
B= µ0µH.-6-ое уравнение Максвелла.
-Магнитная постоянная равная
Гн/м
Шестой закон Максвелла относится к электромагнитной индукции:
«Электродвижущая сила, действующая на элемент проводника, измеряется
производной по времени от электротонической интенсивности, независимо от
того, обусловлена ли эта производная изменением величины или направления
электротогмческого состояния».
Шестое уравнение Максвелла вводит вектор H магнитного поля, который в
отличие от истинного вектора B является вспомогательным, вводимым для
удобства описания полей в присутствии вещества.
121. 7 уравнение Максвелла (три вида тока).
7 уравнение Максвелла -
   E   
dD
,
dt
где

- плотность,  - вектор плотности
тока ,  - удельная проводимость среды, E - вектор напряженности
электрического поля,  - скорость.
Различают три вида тока:    np   nep   см .
1)  np  j E - вектор плотности тока проводимости пропорционален
напряженности электрического поля.
Пример: ток в проводниках и полупроводниках в проводящем направлении.
2)  nep   - плотность тока переноса пропорциональна скорости перемещения
электрических зарядов.
3)  см 
dD
dE

- плотность тока электрического смещения пропорциональна
dt
dt
скорости изменения напряженности электрического поля .
122. 8 уравнение Максвелла (энергия электромагнитного поля).
W
DE BH

2
2
123 Уравнение Максвелла для электростатического поля
Для стационарного поля
B
 0,
t
и 2-е уравнение Максвелла превраща-
ется в уравнения электростатического поля:
rot E  0,
 E  dl  0.
l
2-е уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную
форму закона электромагнитной индукции. Для доказательства этого
положения проинтегрируем обе части уравнения по некоторой
неподвижной поверхности S, опирающейся на контур l:
 rot E  d s  
S
Левая
уравнения
 rot E  d s   E  d l  eинд , а в
S

S
часть
S
B
ds .
t
преобразуется по теореме Стокса:
правой части равенства получим:
l
B

Ф
d s    B  ds  
, следовательно:
t
t S
t
eинд  
Ф
dФ

t
dt
 закон электромагнитной индукции в интегральной форме.
124. Закон Кулона. Электрический потенциал, градиент потенциала
Различают электростатическое поле – электрическое поле неподвижных зарядов.
  0; B  0; H  0
D   E , то есть электростатическое поле – безвихревое.
rot E  0
qq
Закон Кулона: F  1 2 2
div D    0
4r
12
   0 r  8.86  10
Электрический потенциал  численно равен работе, совершаемой полем по перемещению
электрического заряда из данной точки в бесконечность или в точку, потенциал которой
равен нулю.

r
r

   Ed r    Ed r .
Градиент потенциала численно равен скорости изменения электрического потенциала в
направлении, в котором эта величина имеет наибольшее значение:
d
grad  
  E; E   grad  ; E  
dn
125. Уравнение Пуассона и Лапласа
Уравнения Пуассона – Лапласа:
div E 



; div grad    ;  2     - уравнение Пуассона.



 - оператор Лапласа.
d 2 d 2 d 2

2
   2  2  2   - уравнение Пуассона в декартовой системе координат.
dx
dy
dz

2
Уравнение Лапласа:      0
d 2 d 2 d 2
2
   2  2  2 0
dx
dy
dz
126. Методы расчёта электростатических полей.
1) Метод наложения (когда имеется несколько зарядов).
2) Расчет с помощью теоремы Гаусса.
3) Расчет с помощью уравнений Лапласа и Пуассона.
4) Метод зеркальных изображений.
127.Электрическое поле бесконечно заряженной оси
Требуется рассчитать электрическое поле в точке А , находящейся на расстоянии “r” от
заряженной оси. Применяем теорему Гаусса, то есть окружаем ось цилиндром,
расположенным таким образом, что бы точка “A” находилась на его поверхности.
 Ed S 
S
q

. Пренебрегая потоком вектора напряженности Е, через торцевую
поверхность:
ES 
q

или E 
q
2rl
 A    Edr   
q
l
  ;E 
Или
A 
q

dr  
2rl
2l

2r

1
ln  c
2 r
dr


q
q
1
ln r  C 
ln  C
2l
2l r
128. Электрическое поле и емкость коаксиального кабеля
E=q/2πlR1ε
C
U= (q/2πlε)*ln(R2/R1)
2l
2l
G
R
R
ln 2
ln 2
R1
R1
R2
1
R1
R 
- сопротивление изоляции коаксиального
G 2l
ln
кабеля.
130 Электрическое поле и емкость в двухпроводной линии.
 A   ' A  " A 
r
q
1
q
1
q
1
q
q
ln 
ln 
ln 
ln r2 
ln 2
2l r1 2l r2 2l r1 2l
2l к1
Пусть А будет расположена на поверхности первого провода:
1 
q
d
ln
2l R
Пусть А расположена на поверхности второго провода:
2 
q
R
ln  1 ;
2l d
Емкость: C 
q l

U ln d
R
U  1   2  1   1   21 
q
d
ln
l R
131 Метод зеркальных изображений
Пусть есть заряд “q”, расположенный на высоте “h” на бесконечной проводящей
поверхности. Под воздействием заряда на поверхности будут находиться заряды
противоположного знака.
Для расчета таких задач применяется метод зеркальных изображений, согласно
которому проводящая поверхность (плоскость) заменяется диэлектрической, под
которой располагается фиктивный заряд (q’), величина которого выбирается
таким образом, что бы  '  0 . Это будет в том случае, когда q'  q . Таким образом,
исходная и эквивалентная задачи имеют одинаковые условия, и тогда и поля
исходной и эквивалентной задачи, согласно теореме единственности, будут
одинаковы.
Пример:
Пусть двухпроводная линия находится над
бесконечной проводящей поверхностью.
Рассчитать электрическое поле в т. А
Применяем метод зеркальных изображений и заменяем бесконечную
проводящую поверхность диэлектрической, под которой будут располагаться
фиктивные заряды.
r
rr
r
q
q
q
ln 3 
ln 2 
ln 2 3
2r r1 2r r4 2r r4 r1
Пусть А будет расположена на поверхности первого провода:
A 
1 
q
2hd
ln
2l
R ( 2h) 2  d 2
Пусть А расположена на поверхности второго провода:
( 2h) 2  d 2 R
q
2 
ln
 1 ;
2l
2dh
q
2hd
U  1   2  1   1   21 
ln
l R (2h) 2  d 2
Пусть двухпроводная линия будет расположена высоко над проводящей
поверхностью, т.е. h>>d. Тогда (2h) 2  d 2  2h и тогда
l
q
d
C 
U
ln
d
и
l R
ln
R
132. I-я группа формул Максвелла (закон полного тока)
А) в интегральной форме
∮ 𝐻𝑑𝑙 = 𝐼
Линейный интеграл напряженности магнитного поля сквозь любую замкнутую
поверхность равен току, протекающему через поверхность, ограниченную
данным током.
Б) в дифференциальной форме
𝑰
∮ 𝐻𝑑𝑙
𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎 𝒔
𝒔→𝟎 𝒔
𝒓𝒐𝒕 𝑯 = 
Всякое изменение электрического поля вызывает вихревое магнитное поле. Если
есть ток, то есть магнитное поле.
133Вторая группа формул Максвелла
2я группа формул Максвелла позволяет по известным потенциалам определить
заряды:
q1  111  122

q2   211   222
11 
 22

 21  
; 12  
 21

12
;  22 

;
11
- емкостные коэффициенты.

134.Третья группа формул Максвелла
3я группа формул Максвелла позволяет по известным напряжениям найти заряды на
проводах:
C11   11   12 
 22   12 


 12

C12  C 21    12 


 - частичные емкости.
   12 
C 22   22   21  11




q1  C11U 11  C12U 12

;
q2  C 21U 21  C 22U 22
135. Электрическое поле постоянного тока, уравнение Максвелла в диэлектриках и
проводящей среде.
1) В диэлектрике:
rot E  0 (*) - (не заряд, а протекание электрического тока)
div D  0
D E
Из уравнения (*) видно, что электрическое поле постоянного тока в диэлектрике –
безвихревое, то есть потенциальное и тогда E   grad  .
2) В проводящей среде:
Закон Ома в дифференциальной форме для проводящей среды:
 E.
Поток вектора плотности электрического тока, входящий в любой объем, равен выходящему,
иначе:   d S  0 - первый закон Кирхгофа.
S
div   0 - первый закон Кирхгофа в диф.форме
Сумма векторов напряжений эл.поля вдоль любого замкнутого контура = 0
 Ed l  0 - второй закон Кирхгофа
S
rot E  0 второй закон Кирхгофа диф.форме
136. Граничные условия на границе раздела двух проводящих сред.
1) E1 sin 1  E2 sin  2
E 1t  E 2 t - тангенциальные составляющие электрического поля на границе раздела двух сред
равны.
2)  1 sin 1   2 sin  2
 1n   2 n - нормальные составляющие электрического поля на границе раздела двух сред
равны.
3) Разделим второе уравнение на первое и в результате получим:
 1 tg1

- закон преломления вектора плотности электрического тока на границе раздела
 2 tg 2
двух сред.
137. Аналогия между электростатическим полем и электрическим полем постоянного тока.
Электростатическое поле
Эл. Поле статического тока
rot E=0
rot E=0
div D=0
div D=0
D=εE
δ=ɣE
C=q\U
G=I\U
Таким образом в уравнениях электростатического поля от D к δ, ε к ɣ, C к G, q к I, то мы
получаем уравнение для электрического поля в проводящей среде. В этом заключается
метод электростатической аналогии.
138.Магнитное поле постоянного тока.
Магнитное поле постоянного тока.
rot H   - (там, где есть ток, магнитное поле – вихревое, то есть непотенциальное).
div B  0 - (но там, где ток равен нулю, там rot H  0 , то есть там магнитное поле –
безвихревое, то есть потенциальное).
Для расчета таких полей вводится вспомогательный потенциал A , для которого rot A  B .
Для таких полей уравнение Пуассона будет выглядеть следующим образом:
2 A   (применяется для расчета электромагнитного поля внутри проводников с током).
 2 A  0 - уравнение Лапласа (применяется для расчета полей вне проводников с током).
Граничные условия на границе раздела двух магнитных сред.
1) H 1 sin 1  H 2 sin  2
H 1t  H 2 t - тангенциальные направляющие магнитного поля на границе раздела двух сред
равны.
2) B1 cos1  B 2 cos 2
B1n  B 2 n - нормальные составляющие индукции магнитного поля на границе раздела двух
сред равны.

tg1
3) 1 
- закон преломления магнитной индукции на границе раздела двух сред.
 2 tg 2
139. Граничные условия тока на поверхности раздела двух сред(магнитных).
1) H 1 sin 1  H 2 sin  2
H 1t  H 2 t - тангенциальные направляющие магнитного поля на границе раздела двух сред
равны.
2) B1 cos1  B 2 cos 2
B1n  B 2 n - нормальные составляющие индукции магнитного поля на границе раздела двух
сред равны.

tg1
3) 1 
- закон преломления магнитной индукции на границе раздела двух сред.
 2 tg 2
140. Уравнение Максвелла в комплексной форме.
rot H  E  j E - первое уравнение Максвелла в комплексной форме.
rot E   jH - второе уравнение Максвелла в комплексной форме.
145.Вектор Пойтинга.
Энергия электромагнитной волны определяется с помощью теоремы Умова – Пойнтинга:
  EH
  

  E  H sin E ^ H 
Вектор Пойнтинга численно равен энергии, проходящей через единицу поверхности в
единицу времени:
   E   H   BA2
м
При sin  x E u H записываются в следующей форме:
  E H  , где H " - сопряженный комплексный вектор.
Вектор Пойнтинга помогает понять, что энергия электромагнитной волны распространяется
не в проводнике, а в диэлектрике, окружающем проводник, а проводник является лишь
направляющей.