Учебно-методическая разработка «Потенциал. Разность потенциалов» потенциал являются

Учебно-методическая разработка «Потенциал. Разность потенциалов»
Материал предназначен для учителей и учащихся 10х -11х классов. Также
может быть использован для подготовки к ЕГЭ. Понятия потенциал и разность
потенциалов являются наиболее сложными при изучении темы
«Электростатика». Данная работа включает в себя теоретический материал,
качественные и количественные задачи, которые помогут сформировать у
учащихся более полное представление об энергетической характеристике
электрического поля.
§1. Способы электризации тел.
1. Электризация трением. Атомы состоят из электрически заряженных
частиц – электронов и протонов. Заряды электронов и протонов одинаковы по
величине, но противоположны по знаку: у электрона знак отрицательный (е = 1,6*10-19 Кл), а у протона – положительный (ер=+1,6*10-19 Кл). Заряды
электрона и протона называются элементарными, так как они являются
наименьшими в природе.
В любом атоме содержится одинаковое число электронов и протонов,
поэтому атом является электрически нейтральной частицей. Тела состоят из
атомов и, следовательно, их общий заряд тоже равен нулю. Но при
соприкосновении (при трении) двух разнородных тел электроны (НО НЕ
ПРОТОНЫ!) одного тела могут переходить в большом количестве на другое
тело. При этом тело, с которого электроны ушли, становится заряженным
положительно, тело, на котором появились «избыточно», заряженным
отрицательно. Это и есть электризация трением. Электризация тел – это
разделение зарядов, а не образование их.
Если N – число электронов, перешедших с одного тела на другое, то заряд,
приобретенный первым телом, Q1 = +eN, а приобретенный вторым телом, Q2 = eN. При этом |Q1| = |Q2|.
2. Электризация индукцией. Если вблизи тела А с зарядом +Q поместить
электрически нейтральный проводник В на изолирующей подставке, то на его
стороне, обращенной к заряду
+Q
образуется заряд –Q, равный по величине
заряду тела А, а на противоположной стороне
появится заряд +Q, рис 1. Разделение зарядов
в теле В происходит потому, что вещества,
называемые
проводниками,
содержат
огромное количество свободных электронов,
не
связанных
с
атомами
вещества.
Рис № 1
Положительный заряд тела А притягивает к
себе
подвижные
электроны,
а
на
противоположной стороне
тела В образуется их
недостаток,
т.е.
положительный
заряд.
Рис № 2
Разделение
зарядов
в
данном случае проходит не в результате соприкосновения (трения) тел, а в
результате воздействия на расстоянии заряженного тела А на заряды
проводника В. Это явление разделения зарядов в проводнике называется
электризацией через влияние или электризацией индукцией. Индуцированные
заряды на проводнике в тот час же исчезнут, если убрать заряд тела А.
Происходит это потому, что свободные электроны металлов находятся
тепловом хаотическом движении. Когда электрическая сила притяжения со
стороны заряженного тела А исчезнет, электроны очень быстро (за доли
секунды) равномерно распределяются по объему тела B и
проводник
становится
электрически
нейтральным.
Чтобы индуцированный
заряд
сохранялся
на
проводнике без тела А, нужно
в
присутствии
тела
А
заземлить на короткое время
Рис № 3
правую часть тела В, рис 2, а.
В момент заземления положительный заряд уйдет в землю. Затем, сняв
заземление, можно убрать тело А. На теле В останется отрицательный заряд –
Q.
Если проводник В в присутствии заряженного тела А разделить на 2 части
и затем убрать тело А, то части тела В окажутся заряженными равными по
величине но противоположными по знаку индуцированными зарядами –Q и +Q,
рис 3, а, б.
§2. Напряженность поля, потенциал и разность потенциалов.
Заряд, образованный на теле любым способом, называется точечным, если
размерами тела можно пренебречь в данной задаче. Напряженность и
потенциал поля точечного заряда в любой произвольно выбранной точке
определяется формулами:
𝑄
1
𝐸 = 𝐾 𝑅2 = 4𝜋ℇ ∗
𝑄
𝜑 =𝐾𝑅 =
1
0
4𝜋ℇ0
∗
𝑄
𝑅2
𝑄
𝑅
(1)
(2)
Вектор
поля точечного заряда направлен по радиальной прямой от
заряда, если Q>0 и к заряду если Q<0. Потенциал φ (скалярная величина)
положителен при Q>0 и отрицателен при Q<0.
Если поле образовано двумя, тремя и т.д. точечными зарядами, то в
выбранной точке поля напряженность и потенциал n-точечных зарядов
находится по принципу суперпозиции:
𝐸⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝐸1 + 𝐸⃗2 + ⋯ 𝐸⃗𝑛
𝜑 = 𝜑1 + 𝜑2 + ⋯ 𝜑𝑛
(3)
(4)
Электростатические поля делятся на однородные и неоднородные. Поле
называется однородным, если во всех точках этого поля вектор напряженности
одинаков по модулю и направлению ( = const ). Если это условие не
выполняется – поле неоднородно. Однородными являются поля равномерно
заряженной бесконечно большой плоскости и поле двух параллельно
расположенных заряженных плоскостей (поле конденсатора). Другие
электростатические поля неоднородны.
Напряженность одного поля заряженной плоскости определяется
формулой:
𝐸=
𝜎
2ℇ0
(5)
Где σ – поверхностная плотность заряда на плоскости. Вектор
перпендикулярен плоскости и направлен от нее при σ > 0; при σ < 0 вектор
напряженности направлен к плоскости.
Модуль напряженности Е и разность потенциалов φ1 – φ2 = u между
двумя точками однородного поля, лежащие на одной силовой линии, связаны
равенством:
𝐸=
𝜑1 − 𝜑2
𝑑
=
𝑈
𝑑
(6)
Где d – расстояние между точками.
При этом вектор напряженности поля всегда направлен в сторону
убывания потенциала: в формуле 6 в любом случае φ1 < φ2
Формула показывает, что модуль напряженности поля численно равен
разности потенциалов между точками пространства с расстоянием в 1 м между
Рис № 4
ними: при d = 1м Е = φ1 – φ2
Например, если две точки a и b или с и d и т.д. находятся на одной
силовой линии и отстоят друг от друга на 1м и если напряженность этого поля ,
допустим,
Е = 200 В/м, то разность потенциалов между указанными точками φa – φb или
φс – φd и т.д. равна 200В независимо от того близко или далеко расположены
эти точки от заряженной плоскости (рис.4).
Формула (6) позволяет определить разность потенциалов (напряжение)
между двумя точками поля по известной напряженности поля и расстоянию
между точками, или определить напряженность поля по известной разности
потенциалов и расстоянию между точками.
В любом электростатическом поле существует множество точек с
одинаковым потенциалом. Точки с одинаковым потенциалом образуют
геометрические
поверхности,
которые
называются эквипотенциальными. Вектор
напряженности
в любой точке на
эквипотенциальной
поверхности
перпендикулярен этой поверхности (рис. 5) .
Зная эту закономерность, можно по известному
расположению векторов напряженности легко
Рис №5
нарисовать эквипотенциальные поверхности и,
наоборот, по известным эквипотенциальным поверхностям найти направление
векторов напряженности.
Так например, вектор
поля точечного заряда направлен по радиальным
прямым от заряда или к заряду в зависимости от знака заряда.
Рис №6
Рис № 7
Эквипотенциальными поверхностями в таких полях могут быть только
концентрические сферы, описанные вокруг точки, в которой находится заряд,
рис 6. Эквипотенциальными поверхностями поля бесконечно протяженной
заряженной плоскости, рис 7. Только при таком расположении
эквипотенциальных поверхностей вектор
однородного поля будет в любой
точке поля перпендикулярен этим поверхностям.
§3. Поле заряженного шарового проводника.
1. Заряд (+Q), сообщенный шаровому проводнику, равномерно
распределяется по наружной поверхности сферы в результате сталкивания
элементарных зарядов друг от друга. Поверхностная плотность σ зарядов на
шаре определяется отношением:
𝜎=
𝑄
𝑆шара
=
𝑄
4𝜋𝑅 2
Где R – радиус шара.
2. Напряженность поля внутри заряженного
проводника равна нулю ( = 0). Этот вывод
качественно обосновывается в школьном
учебнике. Строгое доказательство отсутствия
поля внутри заряженного проводника любой
формы (в том числе и шара) дается в курсе
физики высшей школы на основе применения
теоремы Гаусса – Остроградского.
Рис № 8
3. Электростатическое поле заряженной сферы существует в пространстве,
окружающем шар. Линии напряженности перпендикулярны поверхности шара
и радиально расходятся от него при Q > 0; при Q < 0 радиально сходятся к
шару.
4. Линии напряженности поля заряженной сферы и поля точечного заряда
совпадают вне сферы, если точечный заряд поместить в центре шара, рис 8.
Из совпадения картины линий напряженности полей следует, что должны
совпадать также напряженности и потенциалы этих полей. Напряженность и
потенциал поля заряженного шара определяется формулами напряженности и
потенциала поля точечного заряда.
𝑄
𝑄
𝐸 = 𝐾 𝑟 2 = 4𝜋ℇ 𝑟 2
0
Для r > R {
𝑄
𝑄
𝜑 = 𝐾 𝑟 = 4𝜋ℇ 𝑟
0
На самой поверхности шара напряженность поля можно выразить через
плотность заряда.
𝑄
𝐸 = 4𝜋ℇ
0𝑅
𝜎
2
=ℇ
𝑄
, т.к.
4𝜋𝑅2
0
=𝜎
Аналогично потенциал в любой точке на поверхности шара определяется
формулой:
𝑄
𝑄
𝜑 = 𝐾 𝑅 = 4𝜋ℇ
0𝑅
(7)
Поверхность шара является эквипотенциальной.
Чему равен потенциал в произвольно выбранной точке (а) внутри шара?
рис 9. Для ответа на вопрос определим работу поля по
перемещению точечного заряда q из произвольной
точки (b) на поверхности шара в точку (a).
𝐴 = 𝑞(𝑞𝑏 − 𝑞𝑎 )
Эта работа равна нулю, так как поля внутри шара
нет (𝐸⃗ = 0). q (qb - qa) = 0; но q≠0, следовательно, qb-qa =
𝑄
0, откуда, qb = qa = q = K𝑅, т.е. потенциал в любой точке
внутри заряженной проводящей сферы равен потенциалу точек её поверхности.
Таким образом, у заряженной сферы эквипотенциальным является весь объем
внутри шара, включая поверхность. Этот вывод справедлив для заряженного
проводника любой формы.
Вывод о том, что внутри проводника потенциал всюду такой же как на
поверхности может показаться для учащихся на первый взгляд странным: поля
в проводнике нет, а потенциал имеет конкретное значение, равное потенциалу
поверхности. Нужно иметь ввиду, что в той части пространства, где
напряженность поля равна нулю (𝐸⃗ = 0), равной нулю будет разность
потенциалов (а не потенциал!) между любыми точками пространства.
Потенциал же в области, где нет поля, сохраняет значение, которое он имеет на
границе, там, где поле обрывается.
Рис № 9
Рис № 10
Рис № 11
На рис. 10 приведен график изменения
потенциала поля сферического проводника
радиусом R. На участке 0≤r≤R Потенциал поля
𝑄
остается постоянным, равным 𝐾 𝑅, а далее при
r>R
монотонно
убывает
обратно
пропорционально расстоянию r.
На рис. 11 показан график E(r) поля
заряженного шара. При 0≤r<R, E=0; при r=R
𝑄
напряженность поля максимальна: 𝐸 = 𝐾 𝑅2; при
r>R
напряженность
убывает
обратно
пропорционально
квадрату
расстояния,
измеряемого
от
центра
шара
до
рассматриваемой точки поля.
§4. Передача заряда проводника другому
проводнику.
Пусть металлический шар (проводник) имеет заряд Q, а металлический
цилиндр (проводник) не заряжен, рис 12. Потенциал шара φ , а потенциал
цилиндра равен нулю. Если шар присоединить к
цилиндру
снаружи
(можно
соединить
металлической перемычкой), то заряды потекут
от тела с высоким потенциалом (шар) к телу с
низким потенциалом (цилиндр). При этом
потенциал шара станет уменьшаться, а цилиндра
– увеличиваться. Перетекание заряда с шара на
цилиндр прекратится в тот момент, когда
Рис № 12
потенциалы тел станут равными. Разность
потенциалов между телами обратится в нуль,
работа
поля
по
перемещению
зарядов
прекратится. На соединенных телах наступит
электростатическое
равновесие
зарядов.
Поверхности цилиндра и шара станут единой
эквипотенциальной поверхностью. Заряд Q,
принадлежавший вначале только шару, теперь
Рис № 13
распределен по поверхности обоих тел, рис. 13.
Отсюда следует, что при внешнем контакте двух
проводников, нельзя заряд одного проводника
полностью передать другому проводнику.
Если шар с зарядом Q поместить внутрь
цилиндра, то, как и на первом случае, заряды
потекут от шара к цилиндру. Переходящие на
цилиндр заряды, отталкиваясь друг от друга,
перейдут с внутренней поверхности на внешнюю
Рис № 14
и распределятся по ней, рис. 14. До тех пор пока
на шаре будет оставаться какая-либо часть заряда Q, потенциал шара будет
больше потенциала цилиндра, потому что потенциал шара складывается из
собственного потенциала и потенциала заряженного цилиндра. Потенциалы тел
станут одинаковыми после того, как заряд шара полностью перейдет на
цилиндр. В этот момент все пространство внутри цилиндра станет
эквипотенциальным с потенциалом, равным потенциалу наружной поверхности
цилиндра (см. предыдущий параграф). Таким образом, чтобы заряд проводника
полностью передать другому проводнику, нужно первый проводник поместить
в замкнутою полость второго проводника.
§5. Потенциал Земли. Заземление проводников.
Ориентировочно вычислено, что заряд Земли Q ∼ 5*105 Кл. Если считать
Землю изолированным шаром, то, применив формулу (7), можно оценить
потенциал Земли относительно бесконечно удаленных тел (относительно
нулевой точки в бесконечности).
𝜑зем.
𝑄
9 ∗ 109 ∗ 5 ∗ 105
9
=𝐾 2∼
∼
10
В
𝑅
6,4 ∗ 106
Этот потенциал никогда не изменяется, потому что заряд Земли Q и радиус
Земли R остаются с течением времени постоянными величинами. Имея ввиду,
что φзем = const, потенциал Земли удобно принять равным нулю (φзем = 0), а
потенциалы заряженных и изолированных от Земли тел, определять
относительно этого нулевого потенциала подобно тому, как в геодезии в
качестве нулевого уровня высоты принимают уровень воды мирового океана, а
все остальные объекты по высоте вверх и вниз
определяют относительно этого уровня. Для
решения практических задач по электричеству
важно знать разность потенциалов между точками
поля, а на абсолютное значение потенциалов в этих
точках. В этом легко убедиться на примере.
Определим
потенциалы
и
разность
потенциалов
между
Рис № 15
частями тела
В,
изображенного на рис. 3,б в первом
параграфе (обозначим части В1 и В2).
Измеряют потенциал заряженных тел
электрометром.
Простейший
демонстрационный электрометр описан в
школьном учебнике, рис 15. Корпус
(металлический) электрометра соединяют
с Землей (заземляют), а стержень –
наэлектризованным телом. Электрометр
Рис № 16
измеряет
разность
потенциалов
(напряжение) между телом В2 и Землей: φ1 - φзем. Допустим, что электрометр
показывает 200 В, тогда φ1 - φзем = 200 В. Отсюда φ1 = (200 + φзем) В = 200 В, т.к.
φзем = 0. Потенциал тела В2 относительно Земли равен 200 В. При замене тела
В2 телом В1 (рис 16), Стрелка электрометра снова покажет 200 вольт, но эти 200
В будут со знаком минус, т.к. заряд тела В1 – отрицательный: потенциал тела В1
φ2 = -200 В. Разность потенциала между телами φ1 – φ2 = 200 – (-200) = 400 В.
Такой же результат получится, если потенциал Земля считать равным 10 9 В. Из
равенства φ1 - φзем = 200 получаем: φ1 = 200 + φзем = (200 + 109) В, а φ2 = (-200 +
109) В. Разность же φ1 – φ2 = 200 + 109 - (-200 + 109) = 200 + 109 + 200 - 109 = 400
В остается прежней. Что произойдет, если тела В1 и В2 заземлить, (рис 17)?
«Лишние» электроны тела В1 уйдут в Землю, а на тело В2 придет такое же
количество недостающих электронов из Земли. В результате заряды тел
исчезнут, но не потому, что они ушли в Землю, а потому, что через Землю
(Земля проводник) электроны от тела
В1 вернулись к телу В2. Заряд Земли
при этом остается неизменным. Такой
обмен
зарядами
через
Землю
происходит
постоянно
между
заземленными
электрическими
устройствами в электротехнике и
радиотехнике
независимо
от
Рис № 17
расстояния,
разделяющего
эти
устройства.
Задача 1. Металлический шар радиусом r, заряженный до потенциала φ
окружают проводящей оболочкой радиусом R. Шар на короткое время
соединяют с оболочкой проводником (проволочка). Найти насколько при этом
изменился потенциал шара?
Решение.
До соединения со сферой заряд Q был только на шаре, рис 18. Заряд можно
определить по известным для шара потенциалу φ и
радиусу r.
𝑄
𝜑=𝐾𝑟
⇒
𝑄=
𝜑𝑟
𝐾
При кратковременном соединении шара с
оболочкой заряд полностью перейдет на сферу (см.
параграф 4). При этом поле внутри сферы исчезнет,
а потенциал в объеме сферы станет разным
потенциалу φ1 на оболочке сферы, рис 19.
𝑄
Рис №18
𝜑𝑟
𝑅
𝜑𝑟
𝜑1 = 𝐾 𝑅 = 𝐾 𝐾𝑅 =
Так как шар полностью разрядился и является
внутренней частью сферы, то его потенциал тоже
принимает значение φ1. Изменение потенциала шара Δφ
определяется разностью φ1 – φ.
φr
r
Δφ = φ1 – φ =
− φ = ( − 1)
R
R
Задача 2. Металлическая сфера радиуса R окружена металлическим
шаровым слоем с радиусами R1 и R2. Сфере сообщают заряд (+q). Определить
напряженность и потенциал в точках a, c, d, рис 20.
Решение.
1. Заряд сферы (+q) наводит (индуцирует) на внутренней поверхности (R1)
шарового слоя заряд (-q) а на внешней поверхности заряд (+q).
2. Задача сводится к отысканию характеристик поля (E, φ) в трех точках a,
c, d, образованного тремя заряженными сферами с общим центром
(концентрические
сферы).
Задача
принципиально ничем не отличается от
предыдущей с двумя концентрическими
сферами. Подчеркнем еще раз: каждая
сфера, независима от присутствия других
заряженных сфер, образует поле только
вне себя (в наружном пространстве).
Внутри сферы поля её заряда нет (𝐸⃗ = 0).
Все
пространство
внутри
сферы
эквипотенциально с потенциалом равным
Рис № 20
потенциалу поверхности сферы.
3. Точка (а) лежит за пределами всех трех сфер. Следовательно,
⃗⃗⃗⃗𝑎 будет определяться в этой точке векторной суммой
напряженность 𝐸
напряженностей 𝐸⃗ , ⃗⃗⃗⃗
𝐸1 , ⃗⃗⃗⃗
𝐸2 От всех трех сфер (индексы у напряженностей те же,
что у радиусов сфер).
⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑎 = 𝐸⃗ + ⃗⃗⃗⃗
𝐸1 + ⃗⃗⃗⃗
𝐸2
Направление векторов в точке а указано на рисунке 20.Векторы 𝐸⃗ и ⃗⃗⃗⃗
𝐸2
определяют напряженность поля положительно заряженных сфер (R и R2).
Вектор 𝐸⃗ определяет поле отрицательно заряженной сферы (R1). В проекции на
горизонтальную ОХ равенство (1) принимает вид:
𝐸𝑎 = 𝐸 − 𝐸1 + 𝐸2
Обозначим расстояние гот центра сфер до точки (а) через ra. Тогда
𝑞
𝑞
𝑞
𝐸 = 𝐾 2 ; 𝐸1 = 𝐾 2 ; 𝐸2 = 𝐾 2
𝑟𝑎
𝑟𝑎
𝑟𝑎
Так как заряды сфер без учета знаков равны друг другу, то модули
векторов так же равны между собой. Поэтому
𝐸𝑎 = 𝐾
𝑞
𝑞
𝑞
𝑞
−
𝐾
+
𝐾
=
𝐾
𝑟𝑎2
𝑟𝑎2
𝑟𝑎2
𝑟𝑎2
Аналогично определяется потенциал φa в точке (а).
𝜑𝑎 = 𝜑 + 𝜑1 + 𝜑2 = 𝐾
𝑞
𝑟𝑎
−𝐾
𝑞
𝑟𝑎
+𝐾
𝑞
𝑟𝑎
=𝐾
𝑞
𝑟𝑎
4. Точка (с) лежит в области пространства, которое является внешним по
отношению к сфере (R), но внутренним по отношению к сферам (R1 и R2).
Поэтому в точке (с) есть напряженность Ес только поля заряда сферы (R).
𝐸𝑐 = 𝐾
Потенциал φc в
потенциалов 3-х сфер
точке
(с)
𝑞
𝑟𝑐2
определяется
алгебраической
суммой
𝜑𝑐 = 𝜑′ + 𝜑1′ + 𝜑2′
𝑞
−𝑞
𝑄
𝜑′ = 𝐾 𝑟 ; 𝜑1′ = 𝐾 𝑅 ; 𝜑2′ = 𝐾 𝑅 ; Следовательно
𝑐
1
2
𝑞
𝑞
𝑞
𝜑𝑐 = 𝐾 − 𝐾 + 𝐾
𝑟𝑐
𝑟1
𝑟2
5. Наконец, в точке (d), которая лежит внутри 3-х сфер … , а потенциал …
равен сумме потенциалов на поверхностях этих сфер.
𝜑𝑑 = 𝐾
𝑞
𝑞
𝑞
−𝐾 +𝐾
𝑅
𝑅1
𝑅2
Задача 3. Две проводящие сферы радиусами r = 0,05 м и R = 1,5r м имеют
общий центр (концентрические сферы). Внешняя сфера заземлена, а
внутренняя имеет заряд q = 6 * 10-8 Кл. Определить потенциал внутренней
сферы. Среда – вакуум (рис 21).
Решение.
Если бы внешняя сфера не была
заземлена, заряд q индуцировал бы на ней
равные заряды противоположных знаков: на
внутренней поверхности (-q), на наружной
(+q). Но так как сфера заземлена, заряд (+q)
ушел в землю и на сфере остался лишь заряд (q). (Этот заряд удерживается на сфере с
зарядом (+q) малой сферы (r)).Мы имеем,
следовательно, 2 концентрические сферы –
внутреннюю с зарядом (+q) и внешнюю с
Рис № 21
зарядом (-q).
Определим собственный потенциал внутренней сферы
𝑞
′
9
6∗10−8
𝜑 = 𝐾 𝑟 = 9 ∗ 10 ∗ 5∗10−2 = 10,8 ∗ 103 В
И собственный потенциал внешней сферы:
−𝑞
−6 ∗ 10−8
9
𝜑 =𝐾
= 9 ∗ 10 ∗
= −7,2 ∗ 103 В
−2
𝑅
7,5 ∗ 10
″
В объеме сферы (R) потенциал 𝜑″ сохраняется всюду (объем сферы (R)
эквипотенциален). Отсюда полный потенциал φ1 внутренней сферы (r)
находится по принципу суперпозиции потенциалов.
𝜑1 = 𝜑′ + 𝜑″ = (10,8 − 7,2) ∗ 103 = 3,6 ∗ 103 В
Продолжим задачу и покажем, что полный потенциал φ2 сферы (R) равен
нулю, потому что сфера заземлена. Пространство между сферами толщиной (R
– r) является внешним по отношению к сфере (r). В этом шаровом поясе
существует поле заряда (+q)и сфера (R) является эквипотенциальной
поверхностью в поле этого заряда с потенциалом
𝑞
6 ∗ 10−8
9
3
𝜑 = 𝐾 = 9 ∗ 10
=
7,2
∗
10
В
𝑅
7,5 ∗ 102
‴
Полный потенциал φ2 сферы (R), как и потенциал сферы (r), находится по
принципу суперпозиции потенциалов.
𝜑2 = 𝜑 ″ + 𝜑‴ = (−7,2 + 7,2) ∗ 103 = 0
Есть другой подход к решению этой задачи. Две заряженные
концентрические сферы образуют сферический конденсатор. Разность
потенциалов φ1 – φ2 между обкладками этого конденсатора определяется по
𝑞
формуле: 𝜑1 − 𝜑2 = 𝐶 , где С – емкость, а q – заряд конденсатора. Формулу
4𝜋ℇ0 𝑅𝑟
емкости сферического конденсатора 𝐶 =
уже начинают использовать
𝑅−𝑟
в практике решения школьных задач по электростатике. В нашем случае
4 ∗ 3,14 ∗ 8,85 ∗ 10−12 ∗ 7,5 ∗ 10−2 ∗ 5 ∗ 10−2
𝐶=
= 16,67 ∗ 10−12 Ф
(7,5 − 5) ∗ 10−2
Найдем разность потенциалов между шаровыми обкладками конденсатора.
6 ∗ 10−8
𝜑1 − 𝜑2 =
= 3,6 ∗ 103 В
−12
16,67 ∗ 10
Но наружная сфера заземлена и её потенциал φ2 = 0, следовательно
потенциал внутренней обкладки φ1 = 3,6 * 103 В.
Примечание. Если расстояние между сферами (между обкладками
конденсатора) мало по сравнению с радиусами сфер, т.е., если r≈R тогда в
формуле 𝐶 =
4𝜋ℇ0 𝑅𝑟
𝑅−𝑟
4𝜋ℇ0 𝑟 2
можно положить r*R≈r2 , а R-r=d.
ℇ0 𝑆шара
, т.к. 4𝜋𝑟 2 = 𝑆шара
𝑑
𝑑
Формула емкости сферического конденсатора принимает вид формулы
емкости плоского конденсатора.
Задача 4.
Между двумя параллельно расположенными пластинами А и В, одна из
которых заземлена, существует разность потенциалов φ1 – φ2 = 100 В. В
воздушный зазор между пластинами, равный 4 см, вдвигают тонкую
металлическую пластину, отстоящую от заземленной пластины на расстоянии
l=3 см. Определить потенциал внутренней пластины и напряженность поля по
обе стороны от нее
𝐶=
=
Решение.
Потенциалы крайних пластин А и В не
заданы, но пластина В заземлена, следовательно,
её потенциал равен нулю (φ2 = 0); тогда потенциал
пластины А равен φ1 = 100 В.
Поле
между
пластинами
однородно.
Эквипотенциальными
поверхностями
в
однородном
поле
являются
геометрические
плоскости C, D, F, и
т.д.,
расположенные
Рис № 22
параллельно пластинам
А и В, (рис 22). Воспользуемся формулой (6) и
определим напряженность поля до внесения в него
пластины.
𝐸=
𝜑1 − 𝜑2
100
В
=
=
2500
𝑑
4 ∗ 10−2
м
Зная Е, и снова применяя формулу (6), найдем
потенциал эквипотенциальной плоскости С, отстоящей от пластины В на
расстоянии l.
𝜑1 − 𝜑
𝐸=
; ⇒ 𝜑 = 𝜑1 − 𝐸(𝑑 − 𝑙) = 100 − 2500 ∗ 1 ∗ 10−2 = 75 В
𝑑−𝑙
Аналогично можно определить потенциалы 𝜑′ и 𝜑″, т.д. Тонкая
незаряженная металлическая пластинка по условию совмещается с
эквипотенциальной плоскостью С, (рис 23). Следовательно, потенциал
пластины тоже будет равен 75 В. (Указание на то, что пластина тонкая
означает, что её толщиной можно пренебречь).
Поскольку вносимая в поле пластинка не заряжена и имеет такие же
размеры как пластины А и В, она не может изменить поле. Несмотря на
индуцированные заряды противоположных знаков, которые появляются на
левой и правой сторонах пластины, её общий
заряд равен нулю, рис 24. Поэтому
напряженности поля по обе стороны от
пластины одинаковы и равны первоначальной
напряженности.
Рис № 23
𝜑1 − 𝜑
25
В
=
=
2500
𝑑−𝑙
1 ∗ 10−2
м
𝜑−𝜑2
75
В
𝐸2 = 𝑙 = 3∗10−2 = 2500 м
В
𝐸1 = 𝐸2 = 𝐸 = 2500
м
𝐸1 =
Рис № 24
Задача 5. Расстояние между двумя заряженными плоскостями А и В
равно 5 см. Напряженность поля 𝐸 = 30 кВ⁄м. Между плоскостями помещают
незаряженную металлическую пластину толщиной h = 1 см. Определить
разность потенциалов между плоскостями до и после введения пластины.
Решение.
Разность потенциалов между плоскостями до внесения пластины найдем
по формуле (6), рис 25.
𝜑1 − 𝜑2 𝛥𝜑𝑎𝑏
𝐸=
=
; 𝛥𝜑𝑎𝑏 = 𝐸 ∗ 𝑑 = 30 ∗ 103 ∗ 5 ∗ 10−2 = 1500 В
𝑑
𝑑
Пластина толщиной h, помещенная в однородное поле, часть поля
уничтожает: поле исчезает внутри проводника (𝐸⃗ = 0) и остается в промежутках
l и l2, рис 26. Поверхность пластины и её объем
становятся эквипотенциальными с потенциалом
𝜑2 < 𝜑 < 𝜑1
Разность потенциалов на участке h между
плоскостями пластины C и D обращается в нуль.
′
Поэтому разность потенциалов 𝛥𝜑𝑎𝑏
Между А и В в
присутствии пластины будет складываться из разности
потенциалов 𝛥𝜑𝑎𝑐 на участке l1 и 𝛥𝜑𝑑𝑏 на участке l2.
′
𝛥𝜑𝑎𝑏
= 𝛥𝜑𝑎𝑐 + 𝛥𝜑𝑑𝑏
Заряды, индуцированные на плоскостях C и D
пластины
равны
зарядам
плоскостей А и В. Поэтому поле в промежутках l1 и l2
сохраняет свою напряженность неизменной. Используя
формулу (6), находим:
Рис № 25
𝛥𝜑𝑎𝑐 = 𝐸 ∗ 𝑙1 ; 𝛥𝜑𝑑𝑏 = 𝐸 ∗ 𝑙2
′
𝛥𝜑𝑎𝑏
= 𝐸𝑙2 + 𝐸𝑙1 = 𝐸 (𝑙2 + 𝑙1 ) = 𝐸(𝑑 − ℎ)
′
𝛥𝜑𝑎𝑏
= 30 ∗ 103 ∗ (5 − 1) ∗ 10−2 = 1200 В
Уменьшение
разности
потенциалов
между
плоскостями А и В произошло за счет исчезновения части
поля в промежутке между C и D толщиной h.
Рис № 26