L19-1

Лекция 19
МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Свойства жидкостей и газов. Характеристики течения. Материальная
производная. Уравнение неразрывности. Объемные и поверхностные силы.
Уравнение Эйлера. Основы гидростатики. Барометрические формулы.
Равновесие тел в жидкости. Стационарные течения, уравнение Бернулли.
Течение вязкой жидкости, уравнение Навье-Стокса. Формула Пуазейля. Число
Рейнольдса. Ламинарные и турбулентные течения. Звуковые волны.
Свойства жидкостей и газов.
Газы и жидкости по своим упругим свойствам существенно отличаются от твердых
тел. Если деформированное состояние твердого тела характеризуется наличием в нем
тангенциальных (касательных) и нормальных напряжений, то силы, действующие
на газы или жидкости, находящиеся в состоянии равновесия, могут вызывать в них
только нормальные напряжения. Вследствие отсутствия тангенциальных напряжений
жидкости и газы обладают текучестью, т.е. они лишены упругости формы и
принимают форму сосуда, в котором они находятся.
Для жидкостей и газов верен закон Паскаля: для любой точки жидкости
нормальное напряжение (давление Р) в состоянии равновесия одинаково по всем
направлениям. Нетрудно показать, что закон Паскаля – следствие отсутствия
тангенциальных напряжений.
В газах и жидкостях внутренние напряжения имеют характер давления: они
оказывают давление на стенки содержащих их сосудов. В некоторых исключительных
случаях, нормальные напряжения в жидкости могут реализоваться в виде натяжения
(отрицательное давление). Но, благодаря наличию растворенных в жидкости газов,
столбик жидкости сразу же распадается на части, то есть отрицательное давление
ведет к нарушению сплошности среды.
Следствием отсутствия в газах напряжений натяжения является их свойство
бесконечного расширения: газ всегда занимает весь объем сосуда, каким бы большим
он не был. В отличие от газов, жидкости характеризуются собственным объемом,
который под воздействием внешних сил меняется незначительно. Благодаря
взаимодействию молекул жидкость образует свободную поверхность, капли, которые
сохраняются благодаря так называемым силам поверхностного натяжения
(капельная жидкость). Это наиболее существенная разница между свойствами
жидкостей и газов.
В дальнейшем, говоря «жидкость» мы будем подразумевать как жидкость, так и газ.
Раздел механики, занимающийся вопросами равновесия и движения жидкостей и газов,
называется гидродинамикой.
Относительно малых деформаций упругие свойства жидкости характеризуются
одной постоянной
1  V 
1   
T   


  ,
V  P T   P T
(19.1)
которая называется коэффициентом изотермического сжатия (  – плотность
жидкости, а T – температура).
Капельные жидкости характеризуются очень малой величиной коэффициента
сжимаемости. То есть, при довольно больших давлениях ее собственный объем и
плотность меняются очень мало. Во многих задачах сжимаемость капельной жидкости
не учитывается, и жидкость считается несжимаемой.
В состоянии равновесия давление жидкости является функцией плотности и
температуры:
P  P   ,T 
(19.2)
Она называется уравнением состояния, явный вид которой получается в
термодинамике и статистической физике. С помощью уравнения состояния можно
вычислить коэффициент изотермической сжимаемости жидкости.
В
движущейся
жидкости
дополнительно
могут
возникнуть
внутренние
тангенциальные напряжения. Но это обусловлено не деформациями скольжения,
относительно которых жидкость не проявляет никаких упругих свойств, а
относительным движением частиц жидкости. Эти тангенциальные напряжения
фактически
имеют
характер
внутреннего
трения
и
называются
вязкими
напряжениями.
В гидродинамике пользуются еще одной абстракцией. Это идеальная жидкость, в
процессе произвольного движения которой вязкие напряжения не возникают, то
есть диссипация энергии отсутствует. В противном случае мы будем именовать
жидкость вязкой. Заметим, что идеальная и вязкая жидкость отличаются друг от друга
только в состоянии движения. В состоянии равновесия они характеризуются только
нормальными внутренними напряжениями.
Характеристики течения. Материальная производная
Движение жидкости (течение) математически описывается определенными
величинами. Таковы функции, выражающие пространственно-временные зависимости
давления в жидкости (Р), плотности (ρ) и скоростей
P  P  r , t ;     r, t ; v  v  r, t 
(19.3)
которые и однозначно описывают поведение жидкости. В данный момент времени
t функции (19.3) дают поля давления в жидкости, плотности и скоростей, то есть
соответствующие величины составляющих в данный момент среду частиц жидкости. В
данной точке r жидкости формулы (19.3) выражают временное изменение
характеристик течения. Так как в разные моменты времени через данную точку
проходят разные частицы жидкости, то в фиксированной точке r (19.3) не выражает
временные изменения давления, плотности и скорости конкретной частицы жидкости.
По этой причине производные
p t ,  t , v t
при
r = const
не относятся какой-
то конкретной частице жидкости, а дают локальные изменения соответствующих
характеристик в данной точке жидкости вообще.
Для определения полного изменения во времени давления, плотности и скорости
фиксированной частицы жидкости необходимо учесть уравнение движения частицы
r = r  t  . В этом
dt будем иметь
случае, например, для полного изменения скорости частицы за время
v
v
v
v
 dx  dy  dz .
t
x
y
z
dt
полученного выражения на
dv  dt
Разделив
обе
части
vx  x, vy  y, vz  z , для ускорения частицы жидкости получим
a
dv v  


v

  vx
 vy
 vz  v 
  v  v
dt t  x
y
z 
t
и
учитывая,
что
(19.4)
Подобным же образом для временной производной плотности, давления и, вообще,
для любой физической характеристики будем иметь
d  

 v
dt
t
Действие
d 
   v 
dt t
(19.5)
называется оператором Стокса или материальной производной.
Материальная производная физической величины состоит из двух частей:
локального изменения по времени и изменений по координатам, так называемых
конвективных изменений. В прямоугольной декартовой системе координат оператор
Стокса имеет следующий вид:
d 



  vx
 vy
 vz .
dt t
x
y
z
Так как поведение жидкости характеризуется пятью величинами
(19.5')
 p,  , v , v , v  ,
x
y
z
то для описания движения жидкости необходимо иметь пять уравнений. Одно из них –
это уравнение состояния (19.2). Так как в идеальной жидкости отсутствует диссипация
энергии, то протекающие в ней процессы адиабатные. В этом случае уравнение
состояния упрощается:
P  P   .
(19.6)
Остальные уравнения выражают закон сохранения массы (уравнение
непрерывности струи) и уравнение движения жидкости (уравнение Эйлера),
которое является выражением второго закона Ньютона для идеальной жидкости.