Вычисление пределов, когда предел числителя и предел знаменателя равны нулю Если при нахождении предела f (x) и являются бесконечно малыми величинами при т.е. и , , то говорят, что имеет место неопределенность вида (отношение не имеет смысла). В этом случае требуются дальнейшие преобразования функций. П р а в и л о 1. Пусть требуется вычислить предел дробно-рациональной функции , (4.23) когда при числитель и знаменатель дроби имеет пределы, равные нулю. В этом случае надо числитель и знаменатель дроби разделить на (x - a) и перейти к пределу. Пример 1. Пример 2. . . Решение. Разделим числитель и знаменатель на (x - 3): ; . Пример 3. . Решение. Разделим числитель и знаменатель на (x-2). . П р а в и л о 2. Чтобы найти предел дроби, содержащий иррациональные выражения в случае, когда пределы числителя и знаменателя равны нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или наоборот. После этого следует сделать преобразования и перейти к пределу, используя известные формулы: a2- b2 = (a - b)(a + b), a3- b3 = (a - b)(a2 +ab + b2) . Пример 4. . Решение. Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное иррациональное выражение с учетом (а - b) ( а + b) = a2 - b2 ; ; . Пример 5. . Решение. Домножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы (а - b) ( а2 + a b + b2) = a3 - b3 ; ; Пример 6. . Решение. Перенесем иррациональность числителя в знаменатель, а иррациональность знаменателя в числитель: (а - b) ( а2 + a b + b2) = a3 - b3 ; ; (а - b) ( а + b) = a2 - b2 ; ; 4.8. Эквивалентные бесконечно малые величины Пусть даны две бесконечно малые величины и при и , . Чтобы сравнить две бесконечно малые величины, нужно найти предел их отношения. О п р е д е л е н и е. Бесконечно малые величины и называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице: . Обозначается Пример 1. Действительно, при . . , где , . , , т. е. Т е о р е м а. Предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых величин. Данная теорема используется при раскрытии неопределенности вида Эквивалентные бесконечно малые величины приведены в табл. 4, где . . Таблица 4 Эквивалентные бесконечно малые величины 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Пример 2. , так как Пример 3. . , так как . Пример 4. , так как 4.9. Раскрытие неопределенностей . и П р а в и л о 1. Если при вычислении предела, представляющего собой разность двух функций, получим неопределенность , то чтобы избавиться от неопределенности, надо, или привести функции к общему знаменателю, или, при наличии иррациональности, перенести ее из числителя в знаменатель. Пример 1. Решение. Разделим числитель и знаменатель на (x + 2): ; . Пример 2. П р а в и л о 2. При вычислении пределов дробно-рациональной функции при (4.24) возможны следующие случаи: 1) если n < m, то ; (4.25) 2) если n > m, то ; (4.26) 3) если n = m, то Пример 3. . (4.27) . Решение. Вынесем из числителя и знаменателя х в наибольшей степени, т.е. перейдем от бесконечно больших величин к бесконечно малым, воспользовавшись формулами связи бесконечно малых и бесконечно больших величин: , но , поэтому . Пример 4. Пример 5. Пример 6. 4.10. Непрерывность функции О п р е д е л е н и е 1. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x = x0, если предел функции в точке x0 существует и равен значению функции в этой точке: . (4.28) Непрерывность функции в точке означает одновременно выполнение следующих условий: 1. функция y = f (x) должна быть определена в точке x0; 2. для функции y = f (x) должен существовать предел в точке x0; 3. предел функции в точке x0 должен совпадать со значением функции в этой точке. Пример. Функция y = x2 определена в каждой точке . Для любой точки . Пусть в каждой точке числовой оси. и f (2) = 4, т.е. функция y = x2 непрерывна О п р е д е л е н и е 2. Если функция непрерывна в каждой точке интервала (a, b), то она называется непрерывной на этом интервале (a, b). До сих пор мы рассматривали предел функции в точке, полагая, что он не зависит от того, с какой стороны мы подходим к точке x0. Существует, однако, много пределов, в которых это является существенным. О п е р е д е л е н и е 3. Пусть х стремится к x0 , оставаясь меньше x0, т.е. слева. Если при этом значение функции стремится к пределу, то он называется пределом слева: . (4.29) О п р е д е л е н и е 4. Пусть х стремится к x0 , оставаясь больше x0, т.е. справа. Если при этом значение функции стремится к пределу, то он называется пределом справа: . (4.30) О п р е д е л е н и е 5. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0, если выполняются три условия: 1. она определена в этой точке, т.е. существует значение функции f (x0); 2. существуют односторонние пределы: и ; 3. односторонние пределы равны между собой и равны значению функции в точке x0: . (4.31) О п р е д е л е н и е 6. Если в какой-либо точке x0 функция не является непрерывной, то точка x0 называется точкой разрыва функции, а сама функция называется разрывной в этой точке. 4.11. Классификация точек разрыва О п р е д е л е н и е 1. Точкой разрыва первого рода функции y = f (x) называется такая точка x0, в которой функция имеет левый и правый пределы, неравные между собой (рис. 69). (4.32) Рис. 69 О п р е д е л е н и е 2. Точка x0 (рис. 70) называется точкой разрыва второго рода функции y = f (x), если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности: и . (4.33) Рис. 70 Рис. 71 Рис. 72 О п р е д е л е н и е 3. Точка x0 (рис. 71) называется точкой устранимого разрыва y = f (x), если функция в точке неопределена, но односторонние пределы существуют и равны между собой: , но . (4.34) Такой разрыв можно устранить, доопределив функцию в точке разрыва x0 значением ее предела А: Пример. Исследовать функцию на непрерывность, выявить точки разрыва и определить их типы: 1) ; 2) ; 3) . Решение: 1) . Данная функция определена на всей числовой оси за исключением точки x = 3. , т.е. x = 3 является точкой разрыва. Определим тип разрыва: , , т.е. , но . Таким образом, имеет место точка устранимого разрыва. Чтобы устранить разрыв, положим значение функции в точке x = -3 равным значению односторонних пределов: - функция является непрерывной. 2) . Область определения Исследуем на тип разрыва: , x = 0 - точка разрыва. , . точка разрыва 2-го рода (рис. 73). Найдем . 3) . Область определения Исследуем на тип разрыва: Рис. 73 , x = 4- точка разрыва. , ; x = 4 - точка разрыва 2-го типа (рис. 74). Найдем . Рис. 74 Задание 1. Пример 1 Вычислить предел . Пример 2 Вычислить предел . Пример 3 Вычислить предел . Пример 4 Вычислить предел . Воспользуйтесь формулами сокращенного умножения Пример 5 Вычислить предел . Пример 6 Вычислить предел . Пример 7 Найти предел . Решение. Для вычисления предела избавимся от иррациональностей в числителе и знаменателе, умножив их на соответствующие сопряженные выражения. Пример 8 Найти предел . Разделите числитель и знаменатель на x30 (x в наивысшей степени). Пример 9 Найти предел . Используйте формулы Пример 10 Найти предел . Пример 11 Найти предел . Пример 12 Найти предел . Используйте тригонометрическое тождество Задание 2. 1) 2) 4) 5) 7) 8) 11) 6) 9) 12) 15) 3) 10) 13) 16) 14) 17) 18) Задание 3. 3x 2 1 1) lim 2 x 5 x 4 x 5 5 x3 4 x 2 1 2) lim x 3x 2 1 2x2 1 3) lim 3 x x 9 x 4 8) 4 1 4) lim 2 x2 x 2 x 4 5) lim x2 x2 4 x2 x2 5 3 x2 x2 x 2 5x 6 7) lim x 3 x3 6) lim 10) 9) 11) 12)