Пособие (часть 1 &quot

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Тольяттинский государственный университет
Автомеханический институт
Кафедра «Компьютерные технологии и обработка материалов давлением»
Егорова Э.В., Панюков Д.И, Тонких А.П.
МАТЕМАТИКА
И
ИНФОРМАТИКА
Часть I. Математика
Методические указания
для студентов
Тольятти 2009
Содержание
Структура дисциплины ......................................................................................................................5
Рейтинг и оценка уровня знаний студентов по дисциплине «Математика и информатика» .....5
Инструкции для студента ..................................................................................................................7
Маршрутная карта изучения дисциплины «Математика и информатика-1» по модулю №1 ....7
Модуль 1. Аксиоматический метод в математике. Множества .....................................................9
Задания к практическим занятиям по модулю № 1 .................................................................................................. 9
Практическое занятие № 1. Аксиоматический метод. Теория множеств. Отношения между множествами ..... 9
1. Цель работы........................................................................................................................................................ 9
2. Теоретический материал для практического занятия № 1 ............................................................................. 9
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию № 1 ................................................................... 13
4. Задания к практическому занятию № 1 ......................................................................................................... 13
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию № 1 ........................................................................ 14
Практическое занятие № 2. Операции над множествами. Алгебра множеств .................................................... 17
1. Цель работы ...................................................................................................................................................... 17
2. Теоретический материал для практического занятия № 2 ........................................................................... 17
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию №2 .................................................................... 18
4. Задания к практическому занятию №2 .......................................................................................................... 19
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №2 ........................................................................ 21
Практическое занятие № 3. Декартово произведение множеств. Бинарные отношения .................................... 22
1. Цель работы ...................................................................................................................................................... 22
2. Теоретический материал для практического занятия № 3 ........................................................................... 22
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию № 3 ................................................................... 24
4. Задания к практическому занятию №3 .......................................................................................................... 25
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №3 ........................................................................ 26
Практическое занятие № 4. Комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания ........................................ 27
1. Цель работы ...................................................................................................................................................... 27
2. Теоретический материал для практического занятия № 4 ........................................................................... 27
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию № 4 ................................................................... 28
4. Задания к практическому занятию № 4 ......................................................................................................... 28
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №4 ....................................................................... 28
Модуль 2. Теория вероятностей .....................................................................................................29
Маршрутная карта изучения дисциплины по Модулю 2 .............................................................29
Задания к практическим занятиям по модулю №2 ................................................................................................. 31
Практическое занятие № 5. Классическое определение вероятности. Вычисления вероятностей
элементарных событий ............................................................................................................................................. 31
1. Цель работы ...................................................................................................................................................... 31
2. Теоретический материал для практического занятия №5 ............................................................................ 31
4.
Примеры выполнения задания к практическому занятию № 5 ........................................................... 33
4. Задания к практическому занятию № 5 ......................................................................................................... 34
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №5 ........................................................................ 35
Практическое занятие № 6. Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий. Условная
вероятность ................................................................................................................................................................ 36
1. Цель работы ...................................................................................................................................................... 36
2. Теоретический материал для практического занятия № 6 ........................................................................... 36
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию № 6 ................................................................... 39
4.Задания к практическому занятию № 6 .......................................................................................................... 40
2
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №6 ........................................................................ 42
Практическое занятие № 7. Дискретные случайные величины. Числовые характеристики .............................. 43
1. Цель работы ...................................................................................................................................................... 43
2. Теоретический материал для практического занятия №7 ............................................................................ 43
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию № 7 ................................................................... 45
4. Задания к практическому занятию № 7 ......................................................................................................... 48
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №7 ........................................................................ 49
Практическое занятие № 8. Непрерывные случайные величины. Законы распределения ................................. 50
1. Цель работы ...................................................................................................................................................... 50
2. Теоретический материал для практического занятия №8 ............................................................................ 50
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию №8 .................................................................... 53
Задания к практическому занятию №8 .............................................................................................................. 55
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №8 ........................................................................ 58
Практическое занятие № 9. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения ............. 58
1. Цель работы ...................................................................................................................................................... 58
2. Теоретический материал для практического занятия №9 ............................................................................ 59
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию №9 .................................................................... 60
4.Задания к практическому занятию №9 ........................................................................................................... 61
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №9 ........................................................................ 63
Литература ........................................................................................................................................64
Приложение №1. Задания для выполнения самостоятельной работы №1 .................................65
Задание 1. Тема. Алгебраические операции с множествами ................................................................................. 65
Задание 2. Геометрическая интерпретация операций над множествами ............................................................. 68
Задание 3. Комбинаторика ........................................................................................................................................ 68
Приложение №2. Задания для выполнения самостоятельной работы №2 .................................69
Вычисления вероятностей элементарных событий ................................................................................................ 69
Задание 4, 5. Задачи по классическому определению вероятности (две задачи) ........................................... 69
Задание 6. Теория вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей ............................................. 73
Задание 7. Дискретная случайная величина ............................................................................................................ 75
Задание 8. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения случайной величины ..... 78
Приложение №3 ...............................................................................................................................80
Приложение №4 ...............................................................................................................................81
3
УДК 51: 004 (075.8)
ББК 22.18+32.81
М54
«МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА Часть I. Математика»
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика и
информатика» для студентов гуманитарных и педагогических специальностей
очной формы обучения. /Сост. Егорова Э.В., Панюков Д.И., Тонких А.П. – Тольятти: ТГУ,
2007.
Данные методические указания содержат: название темы каждого занятия; изложение цели
и теоретических вопросов по каждой работе; рассмотрение примеров по теме; вопросы для
самоконтроля по каждой теме. Даны задания для аудиторных занятий и самостоятельных работ.
Даны указания по подготовке к работам и их выполнению. Методические указания
рекомендованы для студентов гуманитарных и педагогических специальностей.
Составитель: Егорова Э.В., ПанюковД.И., Тонких А.П.
Утверждено научно- методическим советом университета
© Тольяттинский государственный университет, 2009
4
Структура дисциплины
Учебный курс дисциплины «Математика и информатика» структурно разделён на два
раздела:
1. Математика
2. Информатика
Начинают студенты с изучения математики в течение одного семестра по курсу
«Математика и информатика-1», который состоит из 2 модулей , в объеме 28 часов.
В следующем семестре студенты изучают информатику по курсу «Математика и
информатика-2» в объеме 32 часов и состоит из 2 модулей.
Так как данное пособие предназначено для работы со студентами в разделе «Математика»,
то далее определяются цели и задачи, касающиеся этого раздела.
Модуль 1 изучается в течение 7 недель.
В модуль включены темы:
 Аксиоматический метод. Теория множеств.
 Операции над множествами. Алгебра множеств.
 Отношения на множестве. Бинарные отношения
 Задачи комбинаторики. Перестановки. Размещения. Сочетания
Технологическая карта модуля 1 предусматривает выполнение индивидуального задания
ИДЗ №1.
Модуль 2 изучается в течение 10 недель.
В модуль включены темы:
 Классическое определение вероятности. Вычисления вероятностей элементарных
событий
 Теоремы сложения и умножения вероятностей.
 Дискретные случайные величины. Числовые характеристики.
 Непрерывные случайные величины. Законы распределения.
 Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения.
Технологическая карта модуля 2 предусматривает выполнение индивидуального задания
ИДЗ №2.
Каждому студенту выдаётся номер варианта, который соответствует номеру по списку в
журнале. Варианты заданий находятся в Приложениях данного пособия для студентов.
Рейтинг и оценка уровня знаний студентов по
дисциплине «Математика и информатика»
1. Оценивание результатов работы студентов
За временную единицу учебного процесса принимается семестр.
Рейтинг студента по дисциплине в семестре в любой отчетный момент времени равен сумме
баллов, набранных в процессе обучения и текущего контроля, а на завершающем этапе –
полной сумме баллов. Рейтинг хранится в центре тестирования и вывешивается на сайте.
Оценка, проставляемая в зачетную или экзаменационную ведомость, определяется суммой
баллов, набранных по всем видам занятий (аудиторные, самостоятельные, тесты, защита ИДЗ и
т. д.) за семестр. Максимальное количество баллов, которое может набрать студент по всем
модулям одного семестра, в том числе и по итоговому тестированию, равно 100 (сто) баллов.
Итоговая оценка за тестирование в баллах вычисляется как среднее арифметическое суммы
баллов за тестирование по каждому модулю к количеству модулей.
5
Итоговая оценка за семестр выставляется в ведомость, исходя из таблицы:
оценка
итоговый рейтинг
отлично
80-100
хорошо
60-79
удовлетворительно
40-59
неудовлетворительно
0-39
2. Допуск к тестированию и процедура тестирования
Допуск к тестированию студента разрешается в том случае, если он выполнил и защитил
индивидуальное домашнее задание. Выставляет допуск академический консультант на
образовательном портале за день до тестирования.
Студент, не допущенный к тестированию по какому-либо модулю, автоматически получает
«0» баллов в свой рейтинг за соответствующее по модулю тестирование, но продолжает
изучение дисциплины по следующим модулям.
Тестирование студентов осуществляется по графику (расписанию) после прохождения
каждого модуля дисциплины.
Расписание тестирования составляется диспетчерской службой по технологической карте,
которая выставлена на образовательном портале. Диспетчерская служба выставляет в
технологической карте дату и время тестирования.
Экзаменационные и зачетные ведомости студентов по окончании дисциплины составляются
деканатами и передаются преподавателям. Преподаватели выставляют в ведомость итоговую
оценку или зачёт.
3. Ликвидация задолжности студента по дисциплине
Если оценка студента, полученная в результате накопительного рейтинга, является
«неудовлетворительной», то студент направляется на прохождение итогового тестирования. В
исключительных случаях, на итоговое тестирование направляется студент для повышения
своей оценки с «удовлетворительно» на «хорошо» или «отлично».
Академический консультант проставляет допуск на образовательном портале студентам,
направленным на итоговое тестирование.
Итоговое тестирование проводится в ЦТ в течение сессии по расписанию. Расписание
итогового тестирования составляется единой диспетчерской службой «по схеме расписания
экзаменов».
Количество баллов, набранное студентом по итоговому тестированию, суммируется с его
рейтингом, а оценка, получаемая студентом по дисциплине, является результатом деления
общей суммы баллов на общее количество тестирований (тестирования, пройденных в течение
семестра плюс итоговое тестирование). При этом, в общее количество тестирований
включаются и те, на которые студент не был допущен.
Студент, получивший хорошие и отличные оценки по рейтингу, включающему итоговое
тестирование, имеет право претендовать на получение стипендии, как ликвидировавший
задолженности в течение сессии.
Если в результате проведения итогового тестирования общий рейтинг студента, и
соответственно его оценка остается неудовлетворительной, то студент имеет право получить
дополнительные услуги (платные) по изучению соответствующей дисциплины во вне учебное
время. Направление студента на дополнительное обучение, составление списков студентов для
проведения дополнительных занятий, является обязанностью деканата. Расписание занятий,
обеспечение кадрами и ресурсами для проведения дополнительных занятий производится
ИНПО.
После окончания дополнительного обучения студент направляется на итоговое
6
тестирование в ЦТ по списку, составленному преподавателем ИНПО. Количество баллов,
полученное за итоговое тестирование, суммируется с рейтингом студента. Оценка за
дисциплину рассчитывается как отношение общего рейтинга к общему количеству
тестирований, в том числе, к которым он не был допущен.
Сведения о результатах итогового тестирования после дополнительного обучения ЦТ
передает в деканат для формирования экзаменационной (зачетной) ведомости и проставления
оценки. Если студент получает «неуд» после прохождения дополнительного обучения, то он
отчисляется из списков студентов университета. Сведения для приказа об отчислении
предоставляет деканат.
Инструкции для студента
Данное пособие предназначено для студентов, которые обучаются по новой технологии,
особенностью которой является то, что основная деятельность студента - эта его
самостоятельная работа.
Технологическая карта (Маршрутная карта) является для студента проводником по
технологии. В карте указаны недели обучения и материал, который студент должен изучить в
указанные сроки.
Лекции и практические занятия у студентов проводит преподаватель, а за самостоятельную
работу отвечает академический консультант.
Все вопросы, которые возникают у студента во время выполнения самостоятельной работы,
студенты задают академическому консультанту через образовательный портал (Форум) или в
часы групповых консультаций.
Вариант домашнего задания и лабораторной работы соответствует номеру студента по
списку группы. Варианты заданий находятся в Приложениях данного пособия для студентов.
Выполненное ИДЗ студенты оформляют по образцу приложения №3, затем защищают
работу преподавателю. Преподаватель оценивает в баллах работу и защиту ИДЗ.
Академический консультант выставляет эти баллы на образовательный портал.
На образовательном портале представлена вся информация по дисциплине и все результаты
обучения студентов.
В пособии подробно отражено, как студент должен действовать, чтобы изучить каждый из
предложенных модулей и куда обратится по всем интересующимся вопросам.
№ недели
Маршрутная карта изучения дисциплины «Математика
и информатика-1» по модулю №1
Наименование
учеб.мероприятия
(под руководством)
1
Лекция №1
1
Самостоятельное
Тема учебного мероприятия
«Аксиоматический метод. Отношения
между множествами. Алгебра множеств»
Тема: «Аксиоматический метод.
Задание для
самостоятельной
работы
Подготовка к
7
2
изучение материала
№1
Отношения между множествами.
Алгебра множеств»
Практическое
занятие№1
(преподаватель)
Практическое занятие №1
Решение задач по теме: «Отношения
между множествами». Пройти тренинг
по теме: «Понятийный аппарат
аксиоматического метода. Отношения
между множествами».
Адрес тренинга: (http://inf.tltsu.ru)
2
Практическая
работа №1
3
Лекция №2
3
Практическое
занятие№2
(преподаватель)
3
4
Тема: «Отношения между множествами»
Тема: «Алгебра множеств»
Практическое
занятие№3
(преподаватель)
Практическое занятие 3
Решение задач по теме: «Бинарные
отношения». Пройти тренинг по теме:
«Бинарные отношения».
Адрес тренинга: http://inf.tltsu.ru
Практическая
работа №3
5
Лекция №3
5
Практическое
занятие №4
(преподаватель)
Выполнение
задания по теме:
«Отношения
между
множествами»
«Множества. Декартово произведение.
Бинарные отношенияния.»
Практическое занятие №2
Решение задач по теме: «Алгебра
множеств».
Пройти тренинг по теме: «Основные
понятия теории множеств»
Адрес тренинга: (http://inf.tltsu.ru ).
Практическая
работа №2
4
практическому
занятию №1.
Изучение
материалов на
образовательном
портале по теме:
«Множества.
Операции над
множествами.
Комбинаторика»
Тема: «Бинарные отношения»
Выполнение
задания по теме:
«Алгебра
множеств»
Выполнение
задания по теме:
«Бинарные
отношения»
«Множества. Комбинаторика:
перестановки, размещения, сочетания»
Практическое занятие №4
Решение задач по теме:
«Комбинаторика: перестановки,
размещения, сочетания». Пройти тренинг
по теме занятия
8
Адрес тренинга: http://inf.tltsu.ru
5
6
Практическая
работа №4
Практическое
занятие №5
(преподаватель
Темы модуля №1
подготовка к
защите ИДЗ №1
Практическое занятие №5
Защита ИДЗ №1
6
Практическая
работа №5
Темы модуля №1
7
Промежуточное
тестирование по
модулю №1 через
ЦТ
Промежуточное тестирование по
Модулю №1 в центре тестирования
Подготовка к
промежуточному
тестированию по
темам модуля №1
Модуль 1. Аксиоматический метод в математике.
Множества
Задания к практическим занятиям по модулю № 1
В приложении №1 выбрать свой вариант индивидуального задания (ИДЗ №1) .
Выполнить его, пользуясь данными методическими указаниями.
Оформить работу по образцу приложения №3.
Результат предъявить преподавателю.
Ответить на вопросы для самоконтроля к практическим занятиям модуля №1 .
Защитить свою выполненную работу по заданию ИДЗ №1 преподавателю.
Практическое занятие № 1. Аксиоматический метод. Теория множеств.
Отношения между множествами
1. Цель работы
Цель работы – понять алгоритм построения аксиоматической теории. Знать основные
требования к системе аксиом. Усвоить понятие «множество» и способы задания множеств.
Уметь строить отношения между множествами.
2. Теоретический материал для практического занятия № 1
2.1. Правила аксиоматического построения теории
Аксиома – утверждение, принимаемое без логического доказательства как верное в силу
своей непосредственной убедительности. Аксиоматический метод – способ построения научной
теории в виде системы аксиом и правил вывода. Аксиоматический метод позволяет получить
выводы по данной теории в виде теорем, используя аксиомы и ранее доказанные теоремы.
При аксиоматическом способе построении какой-либо математической теории соблюдаются
следующие правила:
1) Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без
определения.
9
2) Формулируются аксиомы-предложения, которые в данной теории принимаются без
доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий.
3) Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, даётся
определение, в нём разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному
понятию.
4) Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть
доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и
теорем, предшествующих рассматриваемой.
Из правил аксиоматического построения теории выделяют четыре шага:
1) Первый шаг: Задается некоторое множество первичных понятий (терминов).
2) Второй шаг: Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных
понятиях.
3) Третий шаг: При помощи первичных понятий даются определения всех остальных
понятий.
4) Четвёртый шаг: Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях
Таким образом выстраивается алгоритм аксиоматического построения теории:
1.
Первичные понятия
2.
Аксиомы.
3.
Определения
4.
Теоремы.
Соответственно можно на примере рассмотреть какое утверждение в математике относится
к одной составляющей из выше приведенного списка.
Примеры.
1) К первичным понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости относятся:
точка, прямая, плоскость.
2) Аксиома 1. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
3) Аксиома 2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и
притом только одна
Определение 1: Утверждения, принимаемые без доказательства как верные, называются
аксиомами.
Определение 2: Новые утверждения о первичных и определяемых понятиях выведенные
чисто логическим путем на основе аксиом, ранее выведенных утверждений и определений
называются теоремами.
Определение 3: Простым числом называется такое натуральное число больше единицы,
которое имеет только два делителя - единицу и само это число.
Теорема 1. Если частное натуральных чисел существует, то оно единственно.
Теорема 2. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов.
Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, по названым выше
правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно. При аксиоматическом построении
теории, по существу, все утверждения выводятся путем доказательств с применением аксиом.
Важнейшим требованием к системе аксиом является её непротиворечивость, которую
можно понимать так: сколько бы мы не выводили теорем из этих аксиом, среди них не будет
двух теорем, противоречащих друг другу. Кроме того, система аксиом должна быть полной в
том смысле, что всякая теорема, имеющая место в рассматриваемой области, из них может быть
выведена. Желательно также, чтобы система аксиом была независимой, т.е. чтобы ни одна из
них не была логическим следствием остальных.
10
Аксиоматическая теория основных структур математики является инструментом, с
помощью которого раскрывается теоретико –множественный смысл каждого понятия.
2.2. Теория множеств. Понятие множества
Понятие множества является одним из основных понятий математики. Математический
смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обыденной речи, где его
связывают с большим числом предметов. В математике можно рассматривать множество,
состоящее из одного объекта или не содержащее ни одного объекта.
Объекты, из которых составлено множество, называются элементами данного множества.
Для обозначения множества используют заглавные буквы латинского алфавита, например X, Y,
Z, а в фигурных скобках через запятую выписывают его элементы строчными буквами,
например, x,y,z. Пример обозначения множества и его элементов.
X = {x1, x2,…, xn} – множество, состоящее из n-элементов. Если элемент x принадлежит
множеству X, то следует записать: x  X, иначе элемент x не принадлежит множеству X, что
записывается: x  Х. Нет никаких ограничений на природу элементов, составляющих
множество. Например: множествами являются книги некоторой библиотеки, студенты группы,
буквы алфавита, числа и т.д.
Множество, имеющее конечное число элементов, называется конечным.
Пример. X = {x1, x2, x3}. Множество называется бесконечным, если оно состоит из
бесконечного числа элементов. Например, множество всех вещественных чисел бесконечно.
Пример записи. X = {x1, x2, ...}. Множество, в котором нет ни одного элемента, называют
пустым множеством и обозначается символом .
Понятие множества аналогично определениям совокупности, собрания, класса, семейства и
т.д. Математическое понятие множества постепенно выделилось из выше перечисленных
представлений. Понятие числа относится к так называемым начальным понятиям, т.е. к
понятиям, которые могут быть разъяснены, но не могут быть строго определены.
Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа зародилось в
глубокой древности в связи со счётом отдельных предметов. В результате появилось понятие
натурального числа, выполняющего функции счётчика.
Натуральные числа характеризуются как множество, состояшее из положительных целых
чисел. Позже появилась идея о безграничности натурального ряда и его можно сегодня
определить как бесконечное множество целых положительных чисел.
Пример записи конечного множества натуральных чисел: N ={1,2,3,…,10}.
Понятие числа постепенно расширялось и обобщалось. Появилось понятие целых чисел.
Целые числа можно рассматривать как множество, включающее положительные целые числа,
отрицательные целые числа и ноль.
Пример записи конечного множества целых чисел: Z ={-7,-4, 0, 1,2,10}.
Задачи измерения длин, площадей, объёмов привели к понятию дробей. Появились понятия
рациональных и иррациональных чисел.
Рациональным называется такое число, которое может быть представлено в виде
m
обыкновенных несократимых дробей вида: , где: m, n-целые числа и n0.
n
Рациональные числа можно рассматривать как множество, включающее целые или
дробные, положительные или отрицательные числа и ноль.
7 3
11
Пример записи конечного множества рациональных чисел: Z  { ; ; 0; ; 4,03}
3 5
9
11
m
, где: m, n-целые
n
числа. Примером иррациональных чисел являются вычисление корней вида:
2 ; 3 ; 5 ;... 19 ;… , которые могут быть вычислены приближённо.
Иррациональное число не может быть точно выражено дробью вида:
Иррациональные числа – это множество, состоящее из непериодических бесконечных
десятичных дробей.
Множества рациональных и иррациональных чисел составляют множество действительных
чисел.
Действительные или вещественные числа есть множество, состоящее из рациональных и
иррациональных чисел.
Принято обозначать числовые множества в математике:
N-множество натуральных чисел;
Q-множество рациональных чисел;
Z-множество целых чисел;
R-множество действительных чисел.
Тогда можно установить связь каждого из этих множеств: N  Z  Q  R.
В результате можно сделать заключение:
1. Множество натуральных чисел является подмножеством целых чисел.
2. Множество целых чисел является подмножеством рациональных чисел.
3. Множество рациональных чисел является подмножеством действительных чисел.
4. Множество иррациональных чисел является подмножеством действительных чисел.
Таким образом, можно сделать вывод:
Понятие «множество» является фундаментальным понятием математики и не имеет
определения. Природа порождения любого множества разнообразна, в частности, окружающие
предметы, живая природа и др.
2.3. Способы задания множеств
Можно отметить два способа задания множеств:
1. Задать полный перечень элементов этого множества. Пример. F={3, 5, 7, 9,11}.
2.Указать Р - определенное свойство или правило для определения того, принадлежит или
нет рассматриваемому множеству данный объект. В этом случае указывается
характеристическое свойство элементов множества.
Характеристическое свойство - это такое свойство, которым обладает каждый элемент,
принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. С
его помощью можно описывать какие угодно множества в удобном и компактном виде.
Запись в виде: {x  X: P(x)} или {x  X | P(x)} обозначает: множество элементов х,
обладающих свойством Р. Можно еще более точнее объяснить. Запись A={a | P(a)} означает,
что a  A тогда и только тогда, когда Р(a) истинное утверждение.
Пример. Запись A={x | x  N и x<9 } означает, что х  A тогда и только тогда, когда х натуральное число и меньше 9.
Пример. Если обозначить через N={x} множество натуральных чисел, то запись
B={x  N: x2 - 9 = 0} означает множество корней уравнения x2- 9 = 0, являющихся
натуральными числами. В данном случае это множество состоит из одного элемента
B={x  N:x2-9=0}={3}.
В этих примерах вначале указывается элемент множества, далее описание или
характеристика порождения элемента. Первый способ задания называется перечислением
множества, а второй – описанием.
12
2.4. Отношения между множествами
В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи
между ними (в частности: равенство множеств, включение).
Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В
является также элементом множества А. Утверждение, что множество В является
подмножеством множества А, записывают так: ВА. Такая запись означает, что каждый
элемент множества В является элементом множества А и множество В включено во множество
А.
Пример. Пусть В {2,4,6}– множество четных чисел, А{1,2,3,4,5,6,7} – множество целых
чисел. Следовательно, множество В включено во множество А, что записывается так: ВА, но
множество А не включено во множество В, что записывается так: А  В. Например, множества
{4,8} и {6} являются подмножествами множества {2,4,6,8}, а числа 2, 4, 6, 8 - его элементы.
Свойства включения множеств:
Пустое множество является подмножеством любого множества:   А.
Любое множество является подмножеством самого себя, т. е. для любого множества А
справедливо включение А  А.
Два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого
(A = B  (A  B и В  А)). Множества, состоящие из одних и тех же элементов,
называются равными. При этом порядок перечисления элементов множества значения не имеет.
Например: равны множества {9, 3, 6}, {6, 9, 3} и {3, 6, 9). Если множество X равно
множеству Y ,то можно записать X = Y. В противном случае X≠ Y. Другой пример. Даны
множества: Z={3, 5, 7},Y={7, 5, 3, 5, 7}. Они равны Z=Y, так как они состоят из одних и тех же
элементов. Множество Z={3, 5, 7}, X={{7,5},{3,5,7}} не равны Z ≠ X, так как элементами
второго множества являются множества. Таким образом, данные множества состоят из
элементов различной природы и не могут быть равны.
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию № 1
Пример 1. Задать три множества A, B, C из строчных букв русского алфавита. Сравнить их
между собой.
Решение.
Задаем три множества A, B, C. Множество А={а, б, с, д}; В={а, б, с, д, к, м};
С={а, б, с, д, с, м, б, а, к}. Множество А является подмножеством множеств B и С.
Множество С равно множеству B, так как состоит из одних элементов.
Пример 2.
Заданы три множества X,Y, Z. Множества равны: X{9,1,5}; Y={2 , 5 , 1, 7, 9};
Z={1, 2, 9, 1, 5, 2, 7, 5, 7}. Сравнить их между собой.
Решение.
Множество X является подмножеством множеств Y и Z, так как все элементы множества X
входят как в множество Y, так и в Z. Множество Z равно множеству Y, так как они состоят из
одних и тех же элементов.
4. Задания к практическому занятию № 1
Задание1. По примеру 1 каждый студент придумывает три любых множества A, B, C из
строчных букв русского алфавита. Сравнить их между собой. Сделать вывод в каком
отношении они находятся (включение, не равенства, равенства).
Задание2. По примеру 2 каждый студент самостоятельно записывает три любых множества
X,Y,Z. из цифр. Сравнить их между собой. Сделать вывод в каком отношении они находятся
(включение, не равенства, равенства).
13
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию № 1
5.1. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию № 1 по теме:
«Аксиоматический метод»
1. Выбрать из списка правильное соответствие между математическим утверждением и его
формулировкой:
1) Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны
попарно параллельны;
2) Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну;
3) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;
- Определение.
- Аксиома.
- Теорема.
2. К неопределяемым понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости
относятся:
- точка, прямая, плоскость;
- луч, треугольник, плоскость;
- точка, отрезок, плоскость;
- фигура, плоскость, луч.
3. Установить правильное соответствие между математическим утверждением и его
формулировкой.
1) В любой треугольник можно вписать окружность;
2) Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется
вписанной в многоугольник;
3) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом
только одна;
- Теорема.
- Определение.
- Аксиома.
4. Установить правильное соответствие между математическим утверждением и его
формулировкой:
1) Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой
стороны;
2) Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые;
3) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна;
- Теорема.
- Аксиома.
- Определение.
5. Установить правильное соответствие между математическим утверждением и его
формулировкой:
1) Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости;
2) Диагонали у прямоугольника равны;
3) Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны;
- Определение.
- Теорема.
- Аксиома.
14
6. Установить правильное соответствие между математическим утверждением и его
формулировкой:
1) Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется
описанной около многоугольника;
2) Около любого треугольника можно описать окружность;
3) Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости;
- Теорема.
- Определение.
- Аксиома.
7. Новые утверждения о первичных и определяемых понятиях выведенные чисто
логическим путем на основе аксиом, ранее выведенных утверждений и определений
называются:
-:аксиомами;
-:определениями;
-:теоремами.
8. Первый шаг из перечисленных при построении аксиоматической теории:
-: Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
-: При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
-: Задается некоторое множество первичных понятий (терминов).
-: Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
9. Второй шаг из перечисленных при построении аксиоматической теории:
-: Задается некоторое множество первичных понятий (терминов).
-: При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
-: Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
-: Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
10. Третий шаг из перечисленных при построении аксиоматической теории:
-:Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
-:При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
-:Задается некоторое множество первичных понятий (терминов).
-:Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
11. Четвёртый (последний) шаг из перечисленных при построении аксиоматической теории:
-:Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
-:При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
-:Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
-:Задается некоторое множество первичных понятий (терминов).
12. Утверждения, принимаемые без доказательства как верные, называются:
-:аксиомами;
-:определениями;
-:теоремами.
13. Высказывания, определяющие через первичные неопределяемые понятия и через
понятия, смысл которых был определен раньше, некоторые другие понятия называются:
-:аксиомами;
-:определениями;
-:теоремами.
15
5.2. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию № 1 по теме: «Теория
множеств. Отношения между множествами»
1. X={5,7,3} и Z={7,2,3,4,5}, тогда для них верным утверждением будет:
a) «Множества X и Z равны».
b) «Множества X и Z не имеют общих элементов».
c) «Множество X включает в себя множество Z».
d) «Множество X есть подмножество множества Z».
2. Заданы множества M={9,3,1,5} и N={9,1}, тогда для них верным утверждением будет:
a) «Множество M есть подмножество множества N».
b) «Множества M и N не имеют общих элементов».
c) «Множества M и N равны».
d) «Множество M включает в себя множество N».
3. Заданы множества A={1,2,3} и M={0,2,3,6,1}, тогда для них неверным утверждением
будет:
a) «Множество M включает в себя множество A».
b) «Множества A и M не равны».
c) «Множество M есть подмножество множества A».
d) «Множество A есть подмножество множества M».
4. Заданы множества A={5,1,9,3} и B={9,3,5,1}, тогда для них верным утверждением будет:
a) «Множества A и B не имеют общих элементов».
b) «Множества A и B равны».
c) «Множество A не включает в себя множество B».
d) «Множество A не является подмножеством множества B».
5. Заданы множества C={1,2,3} и D={3,2,1}, тогда для них неверным утверждением будет:
a) «Множество D есть подмножество множества C».
b) «Множество C есть подмножество множества D».
c) «Множества C и D равны».
d) «Множество C не равно множеству D».
6. Заданы множества C={1,2,3} и D={3,2,1}, тогда для них верным утверждением будет:
a) «Множество D не является подмножеством множества C».
b) «Множество C не является подмножеством множества D».
c) «Множества C и D равны».
d) «Множество C не равно множеству D».
7. Заданы множества M={9,5,4} и N={9,1,4,2,5,3}, тогда для них верным утверждением
будет:
a) «Множество M есть подмножество множества N».
b) «Множества M и N не имеют общих элементов».
c) «Множества M и N равны».
d) «Множество M включает в себя множество N».
8. Заданы множества A={2,4,3,1} и B={4,2,1,3}, тогда для них неверным утверждением
будет:
a) «Множества A и B равны».
b) «Множества A и B не имеют общих элементов».
c) «Множество A включает в себя множество B».
d) «Множество A есть подмножество множества B».
16
Практическое занятие № 2. Операции над множествами. Алгебра множеств
1. Цель работы
Цель работы – знать основные операции над множествами, понять геометрическую
интерпретацию операций над множествами. Уметь выполнять алгебраические действия над
множествами.
2. Теоретический материал для практического занятия № 2
2.1. Операции над множествами
Известно, что над числами можно производить следующие элементарные операции:
сложение, умножение, вычитание. Над множествами вводятся аналогичные операции.
Объединением двух множеств называется третье множество, состоящее из элементов,
принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Объединение двух множеств А и В
обозначается:
AB={x | x  A или x  B}.
Пример.
а) Пусть А = {1, 2, 3}, В = {3, 4, 5}. Тогда АВ = {1,2,3, 4, 5}. Таким образом, если элемент
x принадлежит объединению АВ, то он может принадлежать или множеству А, или
множеству В, или обоим этим множествам.
Пересечение множеств А и В есть множество, состоящее из элементов, общих для обоих
множеств. Пересечение множеств обозначается:
A  B={x | x  A и x  B}.
Пример.
Пусть А = {1, 2, 3}, В = {3, 4, 5}. Тогда АВ = {3}.
В результате можно сделать вывод, что АВ  А, АВ  В и АВ  АВ.
Если множества не имеют ни одного общего элемента, тогда множества не пересекаются.
Следовательно, пересечение таких множеств есть пустое множество.
Пример.
Пусть А = {7,9,5}, В = {2, 4,6}. Тогда АВ =.
Разностью двух множеств А и В называется новое множество, все элементы которого
являются элементами множества А, но не являются элементами множества В. Обозначается:
A \ B={x | x  A; x  B}.
Пример
А = {1, 2, 3, 4}, В = {3, 4, 5, 6}. Тогда А \ В = {1, 2}, В \ А= {5, 6}.
Разбиением множества Х называется такая расчлененная система Y-непустых подмножеств
множества Х, что каждый элемент множества Х является элементом некоторого множества
системы Y.
Пример. Множество Y={{1,2},{3,4},{5,6},{7,8}} есть результат операции разбиения
множества X={1,2,3,4,5,6,7,8}. Данная операция позволяет образовать новое множество Y из
одного существующего множества X. Можно выделить такое множество, что все
рассматриваемые предметы являются его элементами. Такое множество называется
универсальным. Обычно универсальное множество обозначается символом U.
Дополнением множества А называется множество A , состоящее из элементов множества
U, не являющихся элементами множества А:A ={x | x  U , x  A}.
2.2. Геометрическая интерпретация операций над множествами
Диаграммами Эйлера- Венна называют фигуры, изображающие множества и наглядно
демонстрирующие операции над множествами и некоторые свойства этих операций. С
помощью диаграмм Эйлера удобно иллюстрировать операции над множествами.
17
1. Операция объединения двух множеств изображается в виде рис.1.
Рис. 1. Объединение множеств А и В
2. Операция пересечения двух множеств изображена на рис.2.
A
B
Рис. 2. Пересечение множеств А и В
3. Геометрическая интерпретация разности двух множеств А\В представлена на рис.3.
A
B
Рис. 3. Разность множеств А\В
На диаграмме Эйлера - Венна универсальное множество обозначают в виде прямоугольника
и буквы U.
Множества, входящие в универсальное множество, обозначают в виде кругов внутри
прямоугольника (рис.4).
U
A
B
C
Рис. 4
4. Разность между универсальным множеством U и множеством А называется дополнением
множества А. Обозначается: A = U \ A . Дополнение множества А изображено на рис.5.
U
A
Рис. 5. Дополнение множества А
На рис.1-3, 5 результатом выполнения операции является затенённая область рисунка.
Диаграммами Эйлера- Венна можно представить всю последовательность выполнения алгебры
множеств.
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию №2
Пример 1. Универсальное множество состоит из 33 строчных букв русского алфавита
Заданы множества A, B, C . Найти множества X и Y и вычислить их мощность (количество
элементов в множествах) .
Пусть даны множества: А{фпдкш}; В{чмпуш}; C{аючкмтф}.
Требуется найти множества X=(A \ C)  (B\C); Y=(A \ C)  (B\C).
Решение.
A \ C={пдш}; (B\C)={пуш}; Х={пдуш}; Y={пш}.
18
Мощность множества X равна 4. Мощность множества Y равна 2.
Пример 2. Заданы множества Z={5,7,1,4} и D={3,2,1},Y={1,5}.Какое из множеств является
подмножеством? Найти Z  D; Z  D; Z \ D; D \ Z.
Решение.
Y={1,5} Z={5,7,1,4}.
Z  D={5,7,1,4,3,2}; Z  D={1}; Z \ D={5,7,4}; D \ Z={3,2}.
Пример 3.
Дано три множества М = {7, 2, 3, 5}, N = {1, 2, 4, 7, 9}, K = {6, 7, 9}.
Найти:
X= (M  N)  (M  К)\ (N  К)  (N \ K).
Z= = (M  N)  (M  К)\ (N  К)  (N \ K).
Решение.
1) M  N= {7, 2}.
2) M  К = {7}.
3) N  К={7, 9}.
4) M  K={2, 3, 5, 6, 7, 9}.
5) M  N= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}.
6) N K ={1, 2, 4, 6, 7, 9}.
7) N \ K={1, 2, 4}.
8) Р=(M  N)  (M  К) = {7, 2}{7}= {7, 2}.
9) Р\ (N  К)= {7, 2}\{7, 9}={2}.
10) D= (M  N)  (M  К)= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}{2, 3, 5, 6, 7, 9}={2, 3, 5, 7, 9}.
11) D\ (N  К) ={2, 3, 5, 7, 9}\{1, 2, 4, 6, 7, 9}={3, 5}.
X= (M  N)  (M  К)\ (N  К)  (N \ K) = (1, 2, 4).
Z= = (M  N)  (M  К)\ (N  К)  (N \ K) = (1, 2, 3, 4, 5).
4. Задания к практическому занятию №2
Задание.
Дано: Универсальное множество состоит из 10 цифр U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Заданы множества A, B, C , D.
Найти: Множества X и Y и вычислить их мощность (количество элементов в множествах).
Алгоритм выполнения задания №2.
1.
Переписать задание, которое является для всех одинаковым. Отличаются
множества A, B, C, D, X, Y.
2.
В таблице 2.1 выбрать свой вариант.
3.
Вставить в свой вариант задания множества A, B, C, D, X, Y из таблицы 2.1.
Выполненное задание №2 должно содержать три раздела:
1.
Дано.
2.
Найти.
3.
Решение.
Первые два раздела заданы выше. Решение и оформление выполнять по примеру 3.
Таблица 2.1
19
Вариант 1
Вариант 19
А={3,9,1,8,0},
А={1,5,7},
B={6,1,9
},
B={2,8},
C={
5,1,0},
C={2,7},
D={
2,9,8},
D={2.5,9},
X=(AB)  (D\C),
X=(AB)
(C\D),
Y=(AD)
 (C\B)
Y=(A\D) (CB).
Вариант 4
А={5,3,8 },
B={6,3,8 },
C={ 1,2,8,5},
D={ 3,8,4,1},
Вариант 2
Вариант 20
А={8,4,3,7,5},
А={8,4,7,2,5},
B={1,5,3,8},
B={4,6,9
},
C={4,8,0},
C={7,9,1},
D={1,0,5,8},
D={4,8,2
},
X=(A\B)
X=(A\C)
 (D(CD),
 B),
Y=(A\D) (CB).
Y=(DB)  (C\A)
Вариант 3
Вариант 21
А={6,0,1,9,5},
А={5,1,9,6},
B={8,6,3},
B={1,3,5,9
},
C={7,4,5,1},
C={4,1,9
},
D={1,3,7},
D={ 9,3,6},
X=(AC)
(B\D),
X=(A\B)
 (CD),
Y=(ABC)
Y=(AB)
 (C\D) (C\D).
Вариант 5
А={ 6,1,9},
B={ 9,2,7},
C={ 2,7,1},
D={ 9,0,2},
Вариант 6
А={ 4,2,8,5},
B={ 8.5.9},
C={3,8,1 },
D={ 5,2,8},
X=(AC) \ (DB),
X=(A\B)  (DC),
X=(AB)  (C\D),
Y=(CD)  (A\B).
Вариант 7
А={ 4,7,9,0},
B={ 3,8,0,4},
C={6,9,2,3,8 },
D={7,8,3,0},
Y=(AB) \ (CD).
Вариант 8
А={8,2,0,1 },
B={6,9,2,8 },
C={7,2,9 },
D={2,8,5,0 },
Y=(AB)  (C\D).
Вариант 9
А={ 9,5,1,3},
B={ 3,1,9,5},
C={8,4,2,5 },
D={6,3.9 },
X=(A\B)  (CD),
X=(A\D)  (CB)
X=(A\C)  (DB),
Y=(AD)  (C\B).
Y=(AB)  (C\D).
Y=(AD)  (C\B).
Вариант 10
А={6,1,9,3 },
B={ 6,9,3},
C={ 1,7,3},
D={ 7,3,9},
Вариант 11
А={3,8,5,1 },
B={7,3,8},
C={ 5,0,1,7},
D={7,3,9,2,0 },
Вариант 12
А={9,0,2,6 },
B={ 5,3,8,0,2}
C={2,7,1,6 },
D={3,9,2 },
X=(A\C)  (DB),
X=(A\B)  (DC),
X=(AB)  (C\D),
Y=(AD)  (C\B).
Вариант 13
А={1,9,3,0 },
B={ 3,0,7},
C={ 8,2,6},
D={1,8,5 },
Y=(AB) \ (CD).
Вариант 14
А={ 8,2,5,7},
B={4,9,6,8 },
C={4,6,1 },
D={8,4,2 },
Y=(AB)  (D\C).
Вариант 15
А={4,9,1,0,8},
B={ 6,9,3},
C={ 8,3,2,4},
D={ 5,0,3,9},
X=(A\B)  (CD),
X=(AB) \ (CD)
X=(AC) \ (DB),
Y=(AD)  (C\B).
Вариант 16
А={ 1,8,6,3},
B={ 7,2,6},
C={ 1,8,6,5},
D={ 5,3,9},
Y=(AB)  (C\D).
Вариант 17
А={7,2,0,5},
B={4,1,0,2},
C={8,3,6,1},
D={ 7,1,0},
Y=(A\D)  (C\B).
Вариант 18
А={8,3,6,1},
B={7,1,5},
C={1,9,4 ,8},
D={8,2,6 },
X=(AB)  (D\C),
X=(AB) \(DC),
X=(AC)  (B\D),
Y=(AD)  (C\B).
Y=(A\D)  (CB).
Y=(AD) \(CB).
Продолжение таблицы 2.1.
20
Вариант 22
А={7,8,1,3},
B={2,9},
C={3,8,2},
D={6,9,3},
X=(AB) (C\D),
Y=(AD) (C\B).
Вариант 25
А={2,8,4,7},
B={3,7},
C={5,3,8},
D={6,3,9,2},
Вариант 23
A={9,4,1,6},
B={3,8,1},
C={2,7,4},
D={6,7.8},
X=(A\B) (CD),
Y=(AB) (C\D).
Вариант 26
А={3,9,1,0,4}, B={7,0,5,1},
C={2,8,5,3}, D={6,1,8,5},
X=(A\B) (CD),
Y=(AB)\(CD).
X=(A\C) (BD),
Y=(AD) (C\B).
Вариант 28
А={8,1,3,7,4},
B={4,1,9},
C={3,7,2},
D={9,2,6},
X=(A\B) (CD),
Y=(AB)\(CD).
Вариант 31
А={4,1,8,3,9},
B={6,2,8,1},
C={4,1,9,6},
D={6,4,9},
X=(AD) (B\C),
Y=(AB)\(CD).
Вариант 29
А={9,3,4,5},
B={5,8,1},
C={8,3,7},
D={7,1,9},
X=(AB) (D\C),
Y=(AD) (C\B).
Вариант 32
А={9,1,6,3,7}, B={9,4,7,8},
C={7,1,0,3},
D={2,9,1,6},
X=(A  D) (C\B),
Y=(AB)\(CD).
Вариант 24
А={5,2,7,0},
B={1,3},
C={6,3,9},
D={5,7,6},
X=(AB) (D\C),
Y=(AD) (C\B).
Вариант 27
А={6,1,8,0,3}, B={2,7,3,1},
C={7,1,9},
D={2,8,7},
X=(AB) (C\D),
Y=(AD) (C\B).
Вариант 30 А={4,7,1,0,2},
B={1,0,9,4},
C={7,5,9},
D={4,9,1},
X=(A\B) (CD),
Y=(AB)  (C\D).
Вариант 33 А={7,3,1,8,2},
B={3,7,1},
C={8,2,6},
D={7.2.5},
X=(AC)  (B\D),
Y=(A\D)  (C\B).
Вариант 34
А={3,9,1,6,2},
B={2,4,6},
C={3,6,9},
D={1,3,8},
Вариант 35
А={3,7,0,4.8 },
B={1,4,7,0},
C={9,3,6},
D={4,0,3,8},
Вариант 36
А={2,7,1,8,6},
B={7.3.5},
C={1,0,6,7},
D={9,2,6},
X=(D\B) (CA),
X=(AB) \(DC),
X=(BC)  (A\D),
Y=(AD)  (C\B).
Y=(A\D)  (CB).
Y=(AD)  (C\B).
5.
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №2
1. Пусть даны множества: А{1,2,3}; В{3,4,5}; C{5,1,3}.
21
Множество X=(A \ C)  (B \ C) равно:
a) {4,2,3}
b){2,3}
c){2,4}
d){1,5,3}
2. Пусть даны множества: А{1,2,3}; В{3,4,5,2}; C{5,1,3}.
Множество Y==(A \ C)  (B \ C) равно:
a) {3}
b){5,4}
c){2,3}
d){2}
3. Пусть даны множества: А{1,2,3,4}; В{3,4,7}; C{5,1,3}.
Множество X=(A \ C)  (B \ C) равно:
a) {4,2,3}
b){4,7}
c){5,1,3}
d){2,4 ,7}
4. Пусть даны множества: А{1,2,3,7}; В{3,4,5,7}; C{5,1,3}.
Множество Y==(A \ C)  (B \ C); равно:
a){3}
b){1,4,3}
c){7}
d){5,3}
5. Пусть даны множества: А{8,2,3}; В{7,4,5}; C{5,1,3}.
Множество X=(A \ C)  (B \ C) равно:
a) {4,8}
b){8,2,7,4}
c){5,2,7}
d){5,2,3,7}.
Практическое занятие № 3. Декартово произведение множеств. Бинарные
отношения
1. Цель работы
Цель работы – Усвоить понятия «упорядоченные пары, декартово произведение, бинарные
отношения». Научиться строить бинарные отношения внутри множества или между двумя
множествами.
2. Теоретический материал для практического занятия № 3
2.1. Декартово произведение множеств. Бинарные отношения
Отношения между двумя и более множествами позволяют их сравнивать и делать вывод о
равенстве множеств или включении одного множества в другое. Известно, если два множества
состоят из одних и тех же элементов, то эти множества равны независимо от порядка их
следования. Однако в математике рассматриваются множества, где учитывается порядок
следования элементов множества. В том случае, когда важен порядок следования элементов
множества, в математике вводят понятие упорядоченных наборов элементов.
22
Двухэлементное множество {x, y}, в котором элемент х стоит на первом месте, а y – на
втором называется упорядоченной парой (x; y).
Упорядоченную пару, образованную из элементов х и y, принято записывать в круглые
скобки (x; y). Элемент x называют первой координатой пары, а элемент y – второй. Две пары
равны, если их координаты совпадают. Если сравнить два множества: {2,5}; {5,2}, то можно
отметить, что они равны, так как они состоят из одинаковых элементов. Если сравнить две
упорядоченные пары: (2; 5), (5; 2), то следует отметить, что они не равны, так как их
координаты не совпадают. В этом основное отличие упорядоченной пары от двухэлементного
множества.
Аналогично образованию упорядоченных пар можно конструировать новые множества,
используя вместо пар (x; y) наборы из n –элементов {а; x; y;...}.
Упорядоченные наборы, состоящие из n – элементов (n-ки) называют кортежами.
Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит. Например, (с; т; у; д; е; н; т) – это
кортеж длины 7. Тогда, декартово произведение n множеств есть множество кортежей,
построенных из n – элементов этих множеств.
В упорядоченных парах компоненты могут находиться в какой-то связи, т.е. отношении.
Если рассматривают отношения между объектами, то это: «больше», «меньше», «равно».
Например: x > y; z < r; а = с; x  A.
Из этих примеров видно, что отношение используется для двух объектов, записанных в
определенном порядке. Если две упорядоченные пары равны, то они находятся в отношении
равенства. Чтобы определить отношение, достаточно перечислить все пары, которые находятся
в данном отношении.
Отношение –  из X в Y есть множество упорядоченных пар (x ; y), где: x  X, y  Y,
которое является подмножеством декартова произведения:   X  Y. Так как, отношение
связывает два объекта, его назывют бинарным. Если (x ; y)  , где  есть некоторое
множество упорядоченных пар, то элемент х находится в отношении  с элементом y.
В математике чаще всего встречаются бинарные отношения – множество пар, т.е.
отношения, заданные на декартовом произведении двух множеств: А1А2.
Бинарное отношение может рассматриваться как между двумя множествами, так и на одном
множестве. Можно отметить виды отношений между элементами одного и того же множества
(отношения на множестве) или между элементами двух множеств:
1. Отношения эквивалентности. В этом случае выделяется какое-то свойство множества
(например, положительные или отрицательные числа, чёрный или белый цвет). По этому
свойству элементы, принадлежащие одному классу эквивалентности, являются
эквивалентными. Например. Отношение параллельности на множестве прямых. Отношение
подобия на множестве всех треугольников на плоскости.
2. Отношения частичного порядка. Примеры отношений частичного порядка: числа кратные
двум, или трём, или семи и т. д., отношения «больше» или «меньше», x > y, z < r. Пример.
Отношение на множестве задано неравенством: 5x-2y>0. Можно построить новое множество,
которое соответствует данному отношению: {(1,0); (2,1); (3,2)}. Данное множество состоит из
упорядоченных пар, каждая из которых удовлетворяет заданному отношению.
3. Отношения строгого порядка (зависимости). Примеры отношений зависимости:
табличная, функциональная y=f(x). График функции есть множество упорядоченных пар:
G = {(x, y) | x  X; y  f(x)}.
Рассмотрим различные виды отношений на примерах. Множество {(2;4), (7;3), (3;3), (2;1)}
есть множество упорядоченных пар. Однако между парами отсутствует связь. Если установить
отношение «меньше»: x < y , то множество можно записать для примера в виде: {(2;3), (4;7),
(5;8), (8;17)}. В последнем примере элементы множества располагаются по возрастанию. Такое
отношение называется отношением частичного порядка, а множество из таких элементов
получится частично упорядоченным.
23
Иначе можно записать бинарные отношения, если между ними установить функциональную
зависимость.
Пример 1.
D = {(x, y) | x  X; y = cos x}. График на координатной плоскости данной зависимости
является наглядным представлением отношения. В данном случае каждая упорядоченная пара
отношения (x, y)   графически может быть представлена точкой на плоскости. Соединив все
точки данной функциональной зависимости кривой линией, можно получить графическое
представление бинарного отношения.
Пример 2. Пусть дано уравнение y= x+2. Для данной функциональной зависимости можно
записать множество из упорядоченных пар. Пример записи множества из упорядоченных пар в
виде: {(2,4),(4,6),(6,8),(8,10)}.
Примером бинарных отношений является декартово произведение, которое представляет
множество из упорядоченных пар.
Декартовым произведением множеств X и Y называется множество всех пар (x; y), первая
компонента которых xX, вторая компонента yY.
Декартово произведение множеств X и Y обозначают XY и его можно записать:
XY={(x;y)| xX;yY}.
Декартово произведение можно образовывать как из элементов одного множества, так
и двух множеств.
Пример декартового произведения из двух множеств.
. Пусть заданы два множества: X= {7, 5}, Y= {1, 4, 8}. Из этих множеств можно создать
новое множество, перечислив все упорядоченные пары:
XY={(7;1), (7;4), (7;8), (5;1), (5;4), (5;8)}.
В полученном множестве каждый элемент является упорядоченной парой, в которой первая
компонента принадлежит множеству X, вторая множеству Y.
Пример декартового произведения из одного множества.
Пусть на множестве Х={3, 5, 7} задано отношение «меньше» (т.е. первый элемент меньше
второго, второй меньше третьего). Записать декартово произведение X  Х.
Решение.
Декартово произведение X  Х может быть записано в виде множества из упорядоченных
пар:
X  Х ={(3;3),(3;5),(3;7),(5;3),(5;5),(5;7),(7;3),(7;5),(7;7)}.
Из этого множества следует выбрать элементы, которые должны удовлетворять отношению
«меньше». В результате получится новое множество из упорядоченных пар:
={(3;5),(3;7),(5;7)}.
В новом множестве все пары являются элементами декартова произведения XX.
Отношение «меньше» на множестве Х является подмножеством декартова произведения XX.
Обобщая выше рассмотренное, можно отметить:
 Бинарное отношение  из множества X во множество Y есть подмножество декартова
произведения этих множеств:   XY. Отношения состоят из однотипных кортежей.
 Бинарное отношение  на множестве Х есть всякое подмножество декартова
произведения   XX .
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию № 3
3.1. Бинарные отношения
Пример 1.
Отношение задано неравенством: 5x- 7y < 0.
24
Построить любое множество Z из упорядоченных пар.
Выбрать из множества Z упорядоченные пары с бинарным отношением между элементами,
удовлетворяющим заданному неравенству, и переписать их в другое множество.
Решение.
Новое множество Z из упорядоченных пар с бинарным отношением между элементами
может быть любым, но обязательно должно содержать несколько упорядоченных пар с
бинарным отношением между элементами, удовлетворяющим заданному неравенству.
Например. Z={(0,0),(1,0),(-1,1),(1,1),(1,-1),(0,1)}.
Выбирают из множества Z пары так, чтобы при подстановке в заданное неравенство оно
выполнялось. Новое множество получилось в виде:
R={{-1,1},{1,1},{0,1}}.
Все упорядоченные пары во множестве R удовлетворяют заданному отношению.
Вывод. Бинарное отношение  равно множеству R и включено во множество Z:
 =R Z.
3.2. Декартово произведение множеств
1) Декартово произведение на одном множестве X  Х.
Пример 2.
Пусть на множестве Х={3, 5, 7} задано отношение «меньше» (т.е. первый элемент меньше
второго, второй меньше третьего). Записать декартово произведение XX. Из этого множества
следует выбрать элементы, которые должны удовлетворять отношению «меньше».
Решение.
Декартово произведение X  Х может быть записано в виде множества из упорядоченных
пар:
X  Х= {(3;3),(3;5),(3;7),(5;3),(5;5),(5;7),(7;3),(7;5),(7;7)}.
Из этого множества выбираются элементы, которые удовлетворяют отношению «меньше».
В результате получится новое множество из упорядоченных пар:
W={(3;5),(3;7),(5;7)}.
В новом множестве все пары являются элементами декартова произведения XX.
Отношение «меньше» на множестве Х является подмножеством декартова произведения XX.
Бинарное отношение на множестве Х есть подмножество декартова произведения W XX.
2) Декартово произведение двух множеств X  Y.
Пример 3.
Пусть заданы два множества: X= {2, 6, 1}, Y= {7, 4, 8}.
Записать декартово произведение X  Y .
Решение.
Декартово произведение двух множеств равно:
X  Y={(2, 7), (2, 4), (2, 8), (6, 7), (6, 4), (6, 8), (1, 7), (1, 4), (1, 8)}.
Аналогично можно найти декартово произведение трёх множеств: X  Y Z.
4. Задания к практическому занятию №3
4.1.По примеру 1 каждый студент самостоятельно задаёт отношения между двумя
множествами X,Y в виде произвольного неравенства. Построить новое множество из
упорядоченных пар с бинарным отношением между элементами так, чтобы при подстановке в
заданное неравенство оно выполнялось. Записать два неравенства.
4.2. По примеру 2 каждый студент самостоятельно записывает множество X и декартово
произведение на одном множестве X  Х.
25
4.3. По примеру 3 каждый студент самостоятельно записывает два множества: X и Y.
Следует найти декартово произведение двух множеств X  Y.
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №3
1. Отношение задано неравенством: x+3y ≤ 0, тогда данному отношению принадлежит
следующая пара чисел…
a) (0;0)
b) (2;2)
c) (1;3)
d) (-1;1)
2. Отношение «иметь общий делитель, отличный от единицы» выполняется для пары …
a) (7, 27)
b) (6, 9)
c) (3, 19)
d) (5, 16)
3. Отношение задано неравенством: 2x+y≤0, тогда данному отношению принадлежит
следующая пара чисел …
a) (1;5)
b) (1;1)
c) (-1;1)
d) 5;-5)
4. Отношение задано неравенством: x-3y>0, тогда данному отношению принадлежит
следующая пара чисел…
a) (5;2)
b) (1;1)
c) (5;1)
d) (0;0)
5. Отношение задано неравенством: x+2y≥0, тогда данному отношению принадлежит
следующая пара чисел …
a) (3;1)
b) (1;-1)
c) (3;-2)
d) (-3;1)
6. Отношение задано неравенством: 2x+3y<0, тогда данному отношению принадлежит
следующая пара чисел …
a) (1;1)
b) (-5;5)
c) (-5;1)
d) (0;0)
7. Отношение задано неравенством: 3x-2y≤0, тогда данному отношению принадлежит
следующая пара чисел…
a) (1;-2)
b) (0;-2)
c) (2;0)
d) (1;2)
26
Практическое занятие № 4. Комбинаторика: перестановки, размещения,
сочетания
1. Цель работы
Цель работы – усвоить основные формулы комбинаторики. Выработать навыки вычисления
количества различных комбинаций: перестановок, размещений, сочетаний.
Научиться применять эти формулы при решении задач.
2. Теоретический материал для практического занятия № 4
2.1. Формулы комбинаторики
При подсчете числа элементарных исходов, составляющих события в классической схеме,
часто используется комбинаторика. Основное правило комбинаторики (правило умножения).
Факториал
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют "n-факториал":
n! = 1 · 2 · 3· … · (n - 1) · n.
(1)
Пример 1.
3! = 1· 2· 3 = 6;
Необходимо учитывать, что факториал нуля равен единице: 0! = 1.
2.1.1. Перестановки
Формула для числа перестановок применяется в задачах о перестановках в различных
комбинациях нескольких разных объектов, причем в каждой комбинации должны
присутствовать все объекты строго по одному разу.
Определение 1. Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же nразличных элементов и отличающиеся только порядком расположения.
(2)
Рn = n! = 1 2 3 … n.
Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех цифр: 5,6,7?
По формуле (2) искомое число трехзначных чисел равно: Р3= 1 2 3=6. В данной задаче
количество возможных перестановок цифр равно шести.
2.1.2. Размещения
Если в выборках из n объектов по m объектов порядок их следования по условию задачи
имеет значения, то имеют дело с «задачей о рассаживании»: группу из n человек следует
рассадить в аудитории за каждым столом по m-человек (m<n). Число способов рассаживания
определяется числом размещений.
Определение 2: Размещениями называют комбинации, составленные из n различных
элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком
следования.
Anm 
n!
 n  (n  1)  ...  (n  m  1)
(n  m)!
(3)
2.1.3. Сочетания
Если в выборках из n объектов по m объектов порядок их следования по условию задачи не
имеет значения, то размещения, отличающиеся лишь порядком следования, становятся
одинаковыми. Число таких одинаковых выборок по m разных объектов, которые получаются
друг из друга перестановкой, равно m!
Определение 3. Сочетанием называют комбинации, составленные из n-различных элементов
по m элементов, которые отличаются только составом элементов и не зависят от порядка
следования.
27
C nm 
Anm
n!

Pm (n  m)!  m!
(4)
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию № 4
Пример 3. Группу из 20 студентов можно разместить в аудитории по 2 человека за каждой
партой. Порядок их размещения имеет значения.
Решение. Количество возможных вариантов размещений вычисляется по формуле (2):
2
A20

20!
 19  20  380
18!
.
Пример 4. Найти количество трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами, которые
можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5.
Решение. Количество трехзначных чисел в данном примере определяется по формуле
размещений (3) и равно:
5!
A53   3  4  5  60
2!
.
Пример 5. Группу из 20 студентов следует рассадить в аудитории по 2 человека за каждой
партой. Порядок их размещения не имеет значения. Определить количество возможных
вариантов сочетаний.
Решение. Количество возможных вариантов сочетаний вычисляется по формуле (4):
2
С 20

20! 19  20

 190
18!2!
2
Пример 6. Флаг государства может комбинироваться из трёх полос разного цвета.
Определить число комбинаций из пяти разных цветов, которые можно получить, выбирая из
них три полосы разного цвета.
Решение. Если учитывать порядок в комбинации, то:
5!
5! 1  2  3  4  5
A53 
 
 3  4  5  60.
(5  3)! 2!
1 2
Если же порядок в комбинации не имеет значения, то разных комбинаций:
5!
5!
1 2  3  4  5 4  5
Ñ 53 



 10.
(5  3)!  3! 2!  3! 1  2  1  2  3
2
4. Задания к практическому занятию № 4
По примерам 2, 4, 5, 6 каждому студенту придумать задачи на вычисление количества
перестановок, размещений, сочетаний. Первая задача должна содержать число перестановок,
вторая - число размещений, в третьей задаче следует найти количество сочетаний. Основная
цель такого задания заключается в умении студента объяснить отличия в условиях задач и
соответствии этих задач комбинаторике.
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №4
1. Количество перестановок букв в слове «WORD» равно:
a) 20; b) 24; c) 16; d) 8.
2. Количество перестановок букв в слове «число» равно:
a) 120; b) 24; c) 5; d) 20.
3. Сколько различных трёхбуквенных комбинаций можно составить из букв слова
«студент», если все буквы в комбинации различны?
a) 210; b) 240; c) 148; d) 32.
28
4. Сколько различных комбинаций можно составить из букв слова «победа», если все буквы
в комбинации различны?
a) 30; b) 720; c) 120; d) 360.
5. Сколько различных трёхбуквенных комбинаций можно составить из букв слова «победа»,
если все буквы в комбинации различны?
a) 720; b) 360; c) 120; d) 30.
6. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из пяти цифр: 7, 5, 3, 4,1, если
все цифры в числе разные?
a) 4; b) 120; c) 60; d) 20.
7. Сколько различных чисел можно составить из пяти цифр: 9, 7, 8, 1, 6, если все цифры в
числе разные?
a) 120; b) 60; c) 24; d) 0.
8. Сколько различных двузначных чисел можно составить из пяти цифр: 5, 7, 8, 4, 1, если все
цифры в числе разные?
a) 24; b) 20; c) 120; d) 60.
9. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из шести цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
если все цифры в числе различны?
a) 360; b) 120; c) 60; d) 240.
10. Сколько различных двухбуквенных комбинаций можно составить из букв слова
«ЗАЧЁТ», если все буквы в комбинации различны?
a) 4; b) 120; c) 60; d) 20.
Модуль 2. Теория вероятностей
№ недели
Маршрутная карта изучения дисциплины по Модулю 2
7
7
Наименование
учеб.мероприятия
(под руководством)
Лекция №4
Самостоятельное
изучение материала
№2
8
Практическое
занятие №6
(преподаватель)
8
Практическая
работа №6
Тема учебного мероприятия
Задание для
самостоятельной работы
Лекция №4
« Случайные события и операции над
ними. Теоремы сложения и
умножения вероятностей событий».
Тема:
«Случайные события и операции над
ними»
Практическое занятие №6
Решение задач по теме: «Вычисления
вероятностей элементарных
событий». Пройти тренинг по теме:
«Основные понятия теории
вероятностей».
Адрес тренинга: (http://inf.tltsu.ru).
Тема:
«Вычисления вероятностей
Изучение материалов на
образовательном портале по
теме: «Случайные события и
операции над ними»
Выполнение задания по теме:
«Вычисления вероятностей
29
элементарных событий».
Лекция №5
«Дискретные случайные величины.
Законы распределения»
Практическое занятие №7
Решение задач по теме: «Теоремы
сложения и умножения вероятностей
случайных событий». Пройти
тренинг по теме «Теоремы сложения
и умножения вероятностей».
Адрес тренинга: (http://inf.tltsu.ru).
9
Лекция №5
(преподаватель)
9
Практическое
занятие №7
(преподаватель)
9
Практическая
работа №7
Тема:
«Теоремы сложения и умножения
вероятностей случайных событий»
10
Самостоятельное
изучение материала
№3
Тема:
«Дискретные и непрерывные
случайные величины»
Выполнение задания по теме:
«Теоремы сложения и
умножения вероятностей
случайных событий»
Изучение материала на
образовательном портале по
теме: «Дискретные и
непрерывные случайные
величины»
Практическое занятие №8
Решение задач по теме: «Дискретные
случайные величины. Числовые
характеристики». Пройти тренинг по
теме «Дискретные случайные
величины».
Адрес тренинга: (http://inf.tltsu.ru).
Лекция №6
«Непрерывные случайные величины.
Законы распределения»
Практическое занятие №9
Решение задач по теме:
«Непрерывные случайные величины.
Законы распределения».
Пройти тренинг по теме:
«Непрерывные случайные
величины».
Адрес тренинга: (http://inf.tltsu.ru).
10
Практическое
занятие №8
11
Лекция №6
(преподаватель)
11
Практическое
занятие №9
(преподаватель)
11
Практическая
работа №8
Тема:
«Непрерывные случайные величины.
Законы распределения»
Практическое
занятие№10
(преподаватель)
Практическое задание №10
Решение задач по теме:
«Непрерывные случайные величины.
Нормальный закон распределения».
Пройти тренинг по теме:
«Нормальный закон распределения
вероятности».
12
элементарных событий».
Выполнение задания по теме:
«Непрерывные случайные
величины. Законы
распределения»
30
Адрес тренинга: (http://inf.tltsu.ru).
12
13
13
13
14
14
15
Практическая
работа №9
Лекция №7
(преподаватель)
Практическое
занятие№11
(преподаватель)
Практическая
работа №10
Промежуточное
тестирование по
модулю №2 через
ЦТ
Самостоятельное
изучение материала
№4
Итоговое
тестирование
через ЦТ
Темы модуля №2
Подготовка к защите ИДЗ№2
Лекция 7
«Нормальный закон распределения».
Практическое занятие №11
Защита ИДЗ №2
Темы модуля №2
Подготовка к
промежуточному
тестированию по темам
модуля №2
Промежуточное тестирование по
Модулю №2 в центре тестирования
Темы модулей №1,2
Подготовка к повторному
тестированию
Тестирование по модулям №1, 2
с минимальным результатом в центре
тестирования
Задания к практическим занятиям по модулю №2
1. В приложении №2 выбрать свой вариант заданий самостоятельной работы (ИДЗ №2).
2. Выполнить задания самостоятельной работы (ИДЗ №2),пользуясь данными
методическими указаниями.
3. Оформить работу по образцу приложения №3.
4. Результат предъявить преподавателю.
5. Ответить на вопросы для самоконтроля к практическим занятиям модуля №2 .
6. Защитить свою выполненную работу по заданию ИДЗ №2 преподавателю.
Практическое занятие № 5. Классическое определение вероятности.
Вычисления вероятностей элементарных событий
1. Цель работы
Усвоить виды случайных событий, операции над ними. Научиться находить связь между
операциями над случайными событиями с операциями над множествами. Уметь вычислять
вероятности элементарных событий.
2. Теоретический материал для практического занятия №5
2.1. Случайные события. Виды случайных событий
В математике существует наука, которая изучает объекты, связанные с понятиями
случайности и вероятности. Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая
закономерности в случайных явлениях. Случайное явление (событие) – это такое явление,
которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз
несколько по-иному. Математические законы теории вероятностей являются отражением
31
реальных статистических законов, объективно существующих в массовых случайных явлениях
природы, к изучению которых теория вероятностей применяет математические методы и по
своему методу является одним из разделов математики.
Осуществление каждого отдельного наблюдения, опыта или измерения при изучении
эксперимента называют испытанием. Результат испытания называется событием.
Различают события: достоверные, невозможные и случайные. События обозначаются
большими латинскими буквами А, В, С,..., невозможное - , достоверное - .
Достоверное событие – это такое событие, которое всегда происходит в рассматриваемом
эксперименте (содержит все точки множества ).
Невозможное событие – это такое событие, которое никогда не происходит в
рассматриваемом эксперименте (пустое множество ). Примеры: если в урне все шары белые,
то достать белый шар является достоверным событием, а достать черный шар является
невозможным событием; если человек прыгнул в воду, то выйти мокрым является достоверным
событием, а выйти сухим является невозможным событием.
Случайное событие – это такое событие, которое при воспроизведении опыта может
наступить, а может и не наступить.
Пример. Брошена монета. Выпал герб. Это событие случайное, так как может выпасть
цифра на другой стороне монеты.
Кроме того события могут быть совместными и несовместными, зависимыми или
независимыми.
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает
появления другого в одном и том же испытании. Случайные события А и В называется
несовместными, если при данном испытании появление одного из них исключает появление
другого события. Примеры: совместные события: идет дождь и идет снег, человек ест и человек
читает, число целое и четное; несовместные события: день и ночь, студент одновременно едет
на занятие и сдает экзамен, число иррациональное и четное.
Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А
не зависит от того произошло событие В или нет. Событие А называется зависимыми от
события В, если вероятность появления события А зависит от того произошло или не
произошло событие В. Примеры: два студент одновременно сдают экзамен независимо друг от
друга, работник получит оплату труда в зависимости от качества ее выполнения.
Равновозможные события – это такие события, которые имеют одинаковые возможности
для их появления.
Полная группа событий - это совокупность единственно возможных событий при данном
испытании . Пример: студент может сдать экзамен на любую оценку: студент может сдать
экзамен на 5, студент может сдать экзамен на 4, студент может сдать экзамен на 3.
Противоположные события. Два случайные события А и В называется противоположными,
если они несовместны и образуют полную группа событий. Примеры: студент может сдать
экзамен или не сдать, день и ночь.
Конкретный результат испытания называется элементарным событием. Совокупность всех
возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется множеством элементарных
событий.
Сложным событием (исходом) называется произвольное подмножество множества
элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только
тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее
сложному. Например, испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение
грани с числом «1». Сложное событие - выпадение грани с нечётным числом.
2.2. Операции над случайными событиями
Событие, состоящие в наступлении хотя бы одного из событий А или В, называется суммой
(объединением) событий А и В и обозначается А+В или А  В.
32
Событие, состоящее в наступлении обоих событий: А и В, называется произведением
(пересечением) событий А и В и обозначается АВ или А  В.
Событие, состоящее в том, что А происходит, а В не происходит, называется разностью
событий А и В и обозначается А \ В или А - В.
Событие, обозначаемое через А , называется противоположным событию А, если оно
происходит тогда и только тогда, когда событие А не происходит.
Событие А влечет В (обозначается А  В), если при наступлении события А событие В
обязательно происходит
Если А  В и В  А, то события А и В называются равносильными, или эквивалентными
(записывают А = В).
Если наступление события А делает невозможным наступление события В (и наоборот), то
событие А и В называются несовместными или непересекающимися, в этом случае А  В = .
Для совместных событий А  В  .
События А1, А2 ,..., Аk образуют полную группу событий, если выполняется условие (5):
(5)
А1  А2  ...  Аk = .
Попарно несовместные события ( Аi  А j = ,  i  j), образующие полную группу событий
называют гипотезами.
2.3. Понятие вероятности события. Классическое определение вероятности.
Вычисления вероятностей элементарных событий
Классическое определение вероятности сводит понятие вероятности к понятию
равновероятности (равновозможности) событий, которое считается основным и не подлежит
формальному определению. Это определение применимо в случаях, когда удается выделить
полную группу несовместных и равновероятных событий – элементарных исходов.
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому
событию исходов к общему числу n всех элементарных исходов:
P ( A) 
m
n
(6)
4. Примеры выполнения задания к практическому занятию № 5
Примеры непосредственного вычисления вероятностей.
Пример 1. В группе 25 студентов. Из них 10 девушек и 15 юношей. Наугад выбирают одного
студента. Найти вероятность того, что выберут юношу.
Решение. Искомая вероятность:
P( A) 
15 3
  0,6.
25 5
Пример 2.
В группе 15 студентов. Из них 5 девушек и 10 юношей. Выбирают трёх студентов. Найти
вероятность того, что из трёх выбранных студентов выберут одну девушку и двух юношей.
Решение.
При вычислении вероятности события необходимо обратиться к разделу комбинаторики.
Для данной задачи следует подсчитать различные сочетания по формуле (4).
Искомая вероятность:
P( A) 
2
C51  C10
45  5 45


 0, 5;
3
C15
455
91
где:
33
C102 
5!
15! 13  14  15
10! 9  10
 5;

 455; C 51 

 45; C153 
4!1!
12!3!
23
8!2!
2
4. Задания к практическому занятию № 5
Задание.
Найти вероятность события по классической формуле вычисления вероятностей (6) с
применением формул комбинаторики.
Алгоритм выполнения задания №5.
 Выбрать в таблице 5.1 свой вариант задания.
 Переписать формулу вероятностей (6).
 Найти вероятность события по примеру 2
Таблица 5.1
№
задача
варианта
1
В коробке было 10 ручек. Из них 3 красные, 2 чёрные и 5 синих. Взяли 5
ручек. Определить вероятность, что из пяти ручек 1-чёрная, 2 красные, 2 синие.
2
На полке стояло 10 книг. Из них 5 книг Л.Толстого, 3 книги А.Чехова, 2 книги
Куприна. Взяли 6 книг. Определить вероятность, что из 6 книг оказалось 3 книги
Л.Толстого, 2 книги А.Чехова,1 книга Куприна.
3
В корзине 5 груш, 3 яблока, 4 апельсина. Из корзины взяли 7 фруктов.
Определить вероятность, что среди них 3 груши, 2 яблока, 2 апельсина.
4
В комплекте 3 вида марок. Первого вида-4 марки, второго вида -3 марки,
третьего вида -1. Найти вероятность того, что, взяв из комплекта 4 марки, там
оказалось первого вида-2 марки, второго вида -1марка, третьего вида -1 марка.
5
Было 8 тетрадей, из них 5 общих и 3 простые. Взяли 4. Определить
вероятность, что из них 3 общие и 1 простая.
6
В коробке было 10 ручек. Из них 3 красные, 2 чёрные и 5 синих. Взяли 5
ручек. Определить вероятность, что из пяти ручек 1-чёрная, 1красная, 3синие
7
На полке стояло 9 книг. Из них 4 книги Л.Толстого, 3 книги А.Чехова, 2
книги Куприна. Взяли 6 книг. Определить вероятность, что из 6 книг оказалось 1
книга Л.Толстого, 3 книги А.Чехова, 2 книги Куприна
8
В корзине 5 груш, 3 яблока, 4 апельсина. Из корзины взяли 7 фруктов.
Определить вероятность, что среди них 4 груши, 1яблоко, 2 апельсина.
9
В комплекте 3 вида марок. Первого вида-3 марки, второго вида -4 марки,
третьего вида -2. Найти вероятность того, что, взяв из комплекта 5марок, там
оказалось первого вида-2 марки, второго вида -2 марки, третьего вида -1 марка.
10
Было 8 тетрадей, из них 5 общих и 3 простые. Взяли 5. Определить
вероятность, что из них 3 общие и 2 простые
11
В коробке было 10 ручек. Из них 3 красные, 2 чёрные и 5 синих. Взяли 5
ручек. Определить вероятность, что из пяти ручек 2-чёрные, 2 красные, 1синия
12
На полке стояло 9 книг. Из них 5 книг Л.Толстого, 3 книги А.Чехова,1 книга
Куприна. Взяли 6 книг. Определить вероятность, что из 6 книг оказалось 4 книги
Л.Толстого, 1 книга А.Чехова,1 книга Куприна.
13
В корзине 5груш, 3 яблока, 4 апельсина. Из корзины взяли 7 фруктов.
Определить вероятность, что среди них 3 груши,3 яблока,1 апельсин.
14
В комплекте 3 вида марок. Первого вида-3 марки, второго вида -3 марки,
третьего вида -2. Найти вероятность того, что, взяв из комплекта 5 марок, там
оказалось первого вида-2 марки, второго вида -2 марки, третьего вида -1 марка.
34
Было 8тетрадей, из них 5 общих 3 простые. Взяли 6. Определить вероятность,
что из 6 тетрадей оказалось 4 общие и 2 простые
В коробке было 10 ручек. Из них 3 красные,2 чёрные и 5 синие. Взяли 7
ручек. Определить вероятность, что из пяти ручек 1-чёрная,3 красные,3 синие
На полке стояло 9 книг. Из них 4 книги Л.Толстого, 3 книги А.Чехова, 2
книги Куприна. Взяли 6 книг. Определить вероятность, что из 6 книг оказалось 2
книги Л.Толстого, 3 книги А.Чехова,1 книга Куприна
В корзине 5 груш, 3 яблока, 4 апельсина. Из корзины взяли 7 фруктов.
Определить вероятность, что среди них 3 груши, 2 яблока, 2 апельсина.
В комплекте 3 вида марок. Первого вида-3 марки, второго вида -3 марки,
третьего вида -2. Найти вероятность того, что, взяв из комплекта 6 марок, там
оказалось первого вида-3 марки, второго вида -2 марки, третьего вида -1 марка.
Было 8тетрадей, из них 5 общих и 3 простые. Взяли 5. Определить
вероятность, что из них 2 общие и 3 простые
В коробке было 10 ручек. Из них 3 красные, 2 чёрные и 5 синие. Взяли 6
ручек. Определить вероятность, что из шести ручек 1-чёрная, 2 красные, 3 синие
На полке стояло 10 книг. Из них 5 книг Л.Толстого, 3 книги А.Чехова, 2 книги
Куприна. Взяли 6 книг. Определить вероятность, что из 6 книг оказалось 4 книги
Л.Толстого, 1 книга А.Чехова, 1 книга Куприна
В корзине 5 груш, 3 яблока, 4 апельсина. Из корзины взяли 7 фруктов.
Определить вероятность, что среди них 5 груш, 1 яблоко, 1 апельсин.
В комплекте 3 вида марок. Первого вида-2 марки, второго вида -3 марки,
третьего вида -3. Найти вероятность того, что, взяв из комплекта 6марок, там
оказалось первого вида-1марка, второго вида -2марки, третьего вида -3 марки.
Было 8 тетрадей, из них 5 общих 3 простые. Взяли 6. Определить вероятность,
что из них 5 общие и 1 простая.
В коробке было 10 ручек. Из них 3 красные, 2 чёрные и 5 синие. Взяли 4
ручки. Определить вероятность, что из них ручек 1-чёрная, 2 красные, 1синяя
На полке стояло 8 книг. Из них 4 книги Л.Толстого, 2 книги А.Чехова, 2
книги Куприна. Взяли 5 книг. Определить вероятность, что из 5 книг оказалось 2
книги Л.Толстого, 1 книга А.Чехова, 2 книги Куприна
В корзине 5 груш, 3 яблока, 4 апельсина. Из корзины взяли 6 фруктов.
Определить вероятность, что среди них 2 груши, 2яблока, 2 апельсина.
В комплекте 3 вида марок. Первого вида-4 марки, второго вида -1 марка,
третьего вида -2. Найти вероятность того, что, взяв из комплекта 5 марок, там
оказалось первого вида-3 марки, второго вида -1марка, третьего вида -1 марка.
Было 8 тетрадей, из них 5 общих и 3 простые. Взяли 6 тетрадей. Определить
вероятность, что из 6 тетрадей 3 общие и 3 простые
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №5
1. В урне 200 билетов. Из них 10 выигрышных. Вероятность того, что первый вынутый
билет окажется выигрышным, равна:
a) 0,02;
b) 0,05;
c) 0,2; d) 0,01.
2. В книжной лотерее разыгрывается 5 книг. Всего в урне имеется 30 билетов. Первый
подошедший к урне вынимает билет. Определить вероятность того, что билет окажется
выигрышным.
a)
5
30 ;
b)
1
30 ;
1
c) 5 ;
d) 0,1.
35
3. При наборе телефонного номера абонент забыл последнюю цифру и набрал ее наудачу,
помня только, что эта цифра нечётная. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
a) 1/9;
b) 1/7;
c) 1/5;
d) 1/3.
4. Вероятность наступления некоторого события может быть равна …
a) 1,7
b) -0,3
c) 1,1
d) 0,7
5. Бросаются 2 монеты. Вероятность того, что выпадут и герб, и решка, равна:
a) 0,3;
b) 0,5;
c) 0,25;
d) 0,4.
6. В коробке пять одинаковых изделий, причём три из них окрашены. Наудачу извлечены
два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлечённых изделий окажется одно
окрашенное изделие.
1) 0,5
2) 0,6
3) 0,2
4) 0,4
7. Вероятность наступления некоторого события не может быть равна…
a) 1
b) 2
c) 0,5
d) 0.
8. В партии из 8 деталей три нестандартные. Найти вероятность того, что среди 4 взятых
наудачу деталей две стандартные.
1) 3/7
2) 0,4
3) 1/14
4) 1/7
Практическое занятие № 6. Теоремы сложения и умножения вероятностей
случайных событий. Условная вероятность
1. Цель работы
Цель работы – усвоить основные теоремы вероятностей случайных событий. Научиться
применять формулы вычисления вероятностей случайных событий. Выработать навыки
вычисления вероятностей событий по формулам сложения и умножения вероятностей.
2. Теоретический материал для практического занятия № 6
2.1. Сложение вероятностей несовместных событий
Суммой двух событий А + В называется событие, состоящее в появлении события А или В,
или обоих этих событий.
Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
(7)
Данную строку можно прочитать следующим образом : вероятность появления события А
или В, или обоих этих событий равна сумме вероятностей этих событий.
Запись суммы вероятностей двух событий Р(А)+Р(В) можно представить в виде: Р(А) 
Р(В). Символ  (объединение) взят из теории множеств.
Теорема 2. Сумма вероятностей всех событий, образующих полную группу, равна единице.
(8)
Р(А1) + (А2) +…+ Р(Аk) = 1.
Пример 1.
Студент после занятий может пойти: домой с вероятностью р1=0,4, в библиотеку с
вероятностью р2=0,1, в спортзал с вероятностью р3=0,2 и в кино с вероятностью р4=?.
Определить р4.
Решение. Эти четыре события несовместны и образуют полную группу. Сумма
вероятностей событий p1, p2, p3 равна:
p1+ p2+ p3 = 0,4 + 0,1+ 0,2 = 0,7.
По формуле (8) получим p4=1-0,7=0,3.
Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
36
Р(А) + Р( А )=1.
(9)
Если вероятность события Р(А) обозачить через p, а события Р( А ) через q, то формулу
можно записать в виде:
p + q = 1.
(9а)
Пример 2. Студент может сдать экзамен с вероятностью р=0,9. Найти вероятность того, что
студент не сдаст экзамен.
Решение. Эти два события противоположны и образуют полную группу.
Вероятность появления одного из двух несовместных событий из (9а) равна: q = 1- p = 0,1.
2.2. Умножение вероятностей независимых событий
Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном
появлении этих событий.
Теорема 4. Если случайные события А и В независимые, то вероятность совместного
появления событий А и В равно произведению вероятностей этих событий.
(10)
Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Данную строку можно прочитать следующим образом: вероятность события А и В равна
вероятности события А: Р(А) и события В: Р(В).
Запись в виде Р(А)Р(В) можно представить в виде Р(А)  Р(В). Символ  (пересечение)
взят из теории множеств.
Пример 3. Студент сдаёт два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р1=0,8.
Вероятность сдать второй экзамен р1 =0,7.
Решение. Оба события независимы. Вероятность сдать два экзамена -р.
р= Р(АВ)=Р(А) Р(В)=р1р2 =0,70,8=0,56.
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности,
равна произведению вероятностей этих событий.
(11)
Р(А1А2…Аk) = Р(А1)  Р(А2)…Р(Аk).
Пример 4. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания
в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Определить
вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.
Решение. Пусть событие А – попал первый стрелок, событие В – попал второй стрелок,
событие С – попал третий стрелок. По теореме умножения для независимых событий (11)
получим: Р(А В  С) = Р(А)  Р(В)  Р(С) = 0,75  0,8  0,9 = 0,54.
2.3. Вероятность появления хотя бы одного события
Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий (А1, А2,…,Аn), независимых в
совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей
противоположных событий.
(12)
P (A) = 1 – q1  q2 ...  qn.
Пример 5. Студент сдает два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р1=0,8.
Вероятность сдать второй экзамен р2=0,7. Какова вероятность, что студент сдаст хотя бы один
экзамен в сессию.
Решение. Вероятность события «не сдать первый экзамен» равна:
q1=1-p1=1- 0,8 = 0,2.
Вероятность «не сдать второй экзамен»: q2=1-p2=1- 0,7 = 0,3.
Оба события независимы. Вероятность события Р(А), где событие А – «студент сдаст хотя
бы один экзамен», вычисляется по формуле (12):
P(A)=1-q1 q2 = 1- 0,2  0,3=1- 0,06 = 0,94.
37
2.4. Умножение вероятностей зависимых событий. Условная вероятность
Условной вероятностью РA(В) или Р(В/А) называется вероятность события В, вычисленная в
предположении, что событие А уже произошло.
Теорема 6. Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго вычисленную в
предположении, что первое событие уже произошло.
(13)
Р(А  В) = Р(А)  РА(В).
Пример 6. Студент из 20 билетов подготовил к экзамену 12. Студент взял билет, к которому
он не подготовился. Преподаватель в виде исключения разрешил взять второй билет. Какова
вероятность того, что студенту во второй попытке достанется один из подготовленных билетов.
Решение.
Обозначим событие «студент взял билет, к которому он не подготовился» через A.
Обозначим событие «студенту достанется во второй попытке один из подготовленных билетов»
через B.
Обозначим событие (АВ/A) – взять первый билет, к которому он не подготовился, а затем
второй из подготовленных билетов при условии, что, что первое событие уже произошло.
Вероятность взять первый билет, к которому студент не подготовился:
P( A) 
8
2
  0,4
20 5
.
Вероятность взять второй из подготовленных билетов при условии, что студент взял первый
билет, к которому он не подготовился:
12
PA ( B) 
 0,63
19
В результате, вероятность того, что студенту достанется один из подготовленных билетов
вычисляется по формуле (13):
P( A  B)  P( A)  PA ( B) 
2 12 24
 
 0,253
5 19 95
.
Условная вероятность события Аk, определенная в предположении, что осуществились
события A1,A2,...Ak-1 записывается в виде: P(Ak/A1A2...Ak-1).
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих
событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при
условии, что все предыдущие имели место:
Р(А1А 2 ... Аk) = Р(А1) Р(А2/А1) Р(А3/А1А2)... Р(Аk/А1А2...Аk).
(13а)
2.5. Сложение вероятностей совместных событий
Теорема 7. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
(14)
Р(А+В) = Р(А)+Р(В) - Р(АВ).
События в формуле (14) могут быть как зависимыми,так и независимыми.
Для независимых событий.
(15)
Р(А+В) = Р(А)+Р(В) - Р(А)Р(В).
Для зависимых событий.
(16)
Р(А+В) = Р(А)+Р(В) - Р(А)РA(В).
38
Пример 7.
Абитуриент подал заявления в два разных вуза по результатам ЕГЭ (на бюджетной основе).
Обозначим вероятность попасть в первый вуз р1=0,5, во второй р2=0,3. Какова вероятность
попасть абитуриенту в списки зачисленных хотя бы одного из вузов?
Решение.
Эти события совместные. Каждое событие независимое. Для независимых событий
выбираем формулу (15).
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В) = р1 + р2 - р1 ∙ р2 = 0,5 + 0,3 - 0,5 ∙ 0,3 = 0,65.
Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий, например, в
случае трех совместных событий она имеет вид:
Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(А∙ С) - Р(В∙ С) + Р(А∙ В∙ С).
(14а)
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию № 6
Пример 8. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в
цель для первого стрелка равна 0,6, для второго 0,7 и для третьего 0,75.
 Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок
сделает по одному выстрелу.
 Найти вероятность того, что будет одно и только одно попадание в цель.
 Найти вероятность того, что будет только два попадания в цель.
 Найти вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно.
 Найти вероятность промаха всех стрелков одновременно.
Решение. Пусть А, В, С – события, состоящие в том, что соответственно в цель попал
первый, второй, третий стрелок. Из условия задачи следует, что:
Р(А) = 0,6; Р(В) = 0,7; Р( С) = 0,75.
По формуле (9) вероятность противоположных событий равна:
Р(А) = 1-0,6=0,4; Р(В) =1- 0,7=0,3;
Р(С) =1- 0,75=0,25.
1) Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна: Р(А + В + С).
Событие ( А  B  C ) – все промахнулись.
Событие (А+В+С) – хотя бы одно попадание в цель. Вероятность хотя бы одного попадания
в цель:
P( A  B  C )  1  P( A )  P( B )  P(C ) .
P(A+B+C)=1– (1– 0,6 )  (1– 0,7 )  (1 – 0,75 )=1– 0,4  0,3  0,25 = 0,97.
2) Вероятность только одного попадания в цель.
Пусть D–событие, состоящее в том, что в цель попал только один стрелок. События «хотя
бы одно попадание» и «одно попадание» – разные события. В задаче одно и только одно
попадание – это событие D, состоящее из суммы событий: D  A  B  C  B  A  C  C  A  B .
Его вероятность из-за независимости стрельбы и несовместности слагаемых событий может
быть определена по формулам (7), (10):
P( D)  P( A)  P( B )  P(C )  P( B)  P( A )  P(C )  P(C )  P( A )  P( B ) .
Р(D)=0,6(1–0,7)(1–0,75)+0,7(1–0,6 )(1–0,75)+0,75(1–0,6 )(1– 0,7) = 0,205.
39
3) Вероятность того, что попадут в цель только два стрелка. Пусть X – событие, состоящее в
том, что в цель попали только два стрелка. X  A  B  C  B  A  C  C  A  B .
P( X )  P( A )  P( B)  P(C )  P( A)  P( B )  P(C )  P( A)  P( B)  P(C ) .
P(X)=(1– 0,6)0,70,75+0,6(1– 0,7)0,75+0,60,7(1– 0,75)=0,21+0,135+0,105 =0,45.
4) Вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно. Событие ABC – все
попали в цель.
P(A∙B∙C) = P(A)  P(B)  P(C) = 0,6  0,7 0,75 = 0,315.
5) Вероятность промаха всех стрелков одновременно Р(ABC).
Событие ABC – все промахнулись.
Р (ABC ) = 0,4 0,3 0,25 = 0,03.
Для проверки правильности решения используют формулу для полной группы событий:
Р(А1) + (А2) +…+ Р(Аk) = 1.
Р(D) + P(X) + P(A∙B∙C) + Р(ABC ) = 0,205 + 0,45 + 0,315 + 0,03 = 1.
4.Задания к практическому занятию № 6
Задание.
Найти вероятность события с применением теорем умножения и сложения.
Алгоритм выполнения задания.
 Выбрать в таблице 6.1 свой вариант задания.
 Записать формулу для вычисления вероятности в своей задаче.
 Найти вероятность события по примеру 8
Таблица 6.1
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
задача
Три студента сдают экзамен. Вероятность сдать экзамен у первого равна 0,9, у
второго равна 0,3, у третьего равна 0,5.Вычислить вероятнсть того, что сдал
экзамен только один из студентов.
Стрелок делает три выстрела. В первом выстреле стрелок попадает с р=0,8, во
втором выстреле стрелок попадает с р=0,4. В третьм выстреле стрелок попадает с
р=0,7. Какова вероятность, что стрелок попадет в цель только один раз из трёх
выстрелов.
Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность
попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего –
0,9. Определить вероятность того, что только два стрелка попадут в цель.
Студент сдаёт три экзамена. Первый экзамен студент сдаст экзамен с
вероятностью 0,8. Второй экзамен студент сдаст с вероятностью 0,7. Третий
экзамен студент сдаст экзамен с вероятностью 0,5. Вычислить вероятность того,
что студент сдаст только два экзамена из трёх.
Три спотрсмена бегут на дистанции. Вероятность быть первым у одного равна
0,9, у второго 0,6, у третьего 0,5.Найти вероятность, что из трёх спотрсменов
только первый победит.
Три студента сдают экзамен. Вероятность сдать экзамен у первого равна 0,9, у
второго равна 0,3, у третьего равна 0,5.Вычислить вероятнсть того, что сдали
экзамен только два студента из трёх.
Стрелок делает три выстрела. В первом выстреле стрелок попадает с р=0,6, во
40
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
втором выстреле стрелок попадает с р=0,5. В третьм выстреле стрелок попадает с
р=0,7. Какова вероятность, что стрелок попадет в цель только два раза из трёх
выстрелов.
Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность
попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8, для третьего –
0,9. Определить вероятность того, что попадёт в цель только один из стрелков.
Студент сдаёт три экзамена. Первый экзамен студент сдаст экзамен с
вероятностью 0,8. Второй студент сдаст с вероятностью 0,7. Третий экзамен
студент сдаст экзамен с вероятностью 0,5. Вычислить вероятность того, что
студент сдаст только один экзамена из трёх.
Три спотрсмена бегут на дистанции. Вероятность быть первым у одного равна
0,7, у второго 0,8, у третьего 0,5.Найти вероятность, что из трёх спотрсменов
только второй победит.
Три студента сдают экзамен. Вероятность сдать экзамен у первого равна 0,7, у
второго равна 0,6, у третьего равна 0,5.Вычислить вероятнсть того, что сдал
экзамен только один студент.
Стрелок делает три выстрела. В первом выстреле стрелок попадает с р=0,8, во
втором выстреле стрелок попадает с р=0,4. В третьм выстреле стрелок попадает с
р=0,5. Какова вероятность, что стрелок попадет в цель только один раз из трёх
выстрелов.
Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность
попадания в цель для первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,4, для третьего –
0,6. Определить вероятность того, что одновременно попадут в цель два стрелка.
Студент сдаёт три экзамена. Первый экзамен студент сдаст экзамен с
вероятностью 0,8. Второй студент сдаст с вероятностью 0,7. Третий экзамен
студент сдаст экзамен с вероятностью 0,5. Вычислить вероятность того, что
студент сдаст хотя бы один экзамен из трёх.
Три спотрсмена бегут на дистанции. Вероятность быть первым у одного равна
0,4, у второго 0,6, у третьего 0,8. Найти вероятность, что из трёх спотрсменов
только третий победит.
Три студента сдают экзамен. Вероятность сдать экзамен у первого равна 0,7, у
второго равна 0,6, у третьего равна 0,5.Вычислить вероятнсть того, что сдал
экзамен хотя бы один студент.
Стрелок делает три выстрела. В первом выстреле стрелок попадает с р=0,6, во
втором выстреле стрелок попадает с р=0,7. В третьм выстреле стрелок попадает с
р=0,5. Какова вероятность, что стрелок попадет в цель хотя бы один раз из трёх
выстрелов.
Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность
попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,7, для третьего –
0,8. Определить вероятность того, что хотя бы один стрелок попадёт в цель.
Студент сдаёт три экзамена. Первый экзамен студент сдаст экзамен с
вероятностью 0,6. Второй студент сдаст с вероятностью 0,7. Третий экзамен
студент сдаст экзамен с вероятностью 0,8. Вычислить вероятность того, что
студент сдаст только два экзамена из трёх.
Три спотрсмена бегут на дистанции. Вероятность быть первым у одного равна
0,9, у второго 0,6, у третьего 0,5. Найти вероятность, что из трёх спотрсменов двое
победят.
Три студента сдают экзамен. Вероятность сдать экзамен у первого равна 0,8, у
второго равна 0,7, у третьего равна 0,6.Вычислить вероятнсть того, что сдали
экзамен трое студентов.
41
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Стрелок делает три выстрела. В первом выстреле стрелок попадает с р=0,6, во
втором выстреле стрелок попадает с р=0,7. В третьм выстреле стрелок попадает с
р=0,8. Какова вероятность, что стрелок попадет в цель только два раза из трёх
выстрелов.
Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность
попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,7, для третьего –
0,8. Определить вероятность того, что только один стрелок попадёт в цель.
Студент сдаёт три экзамена. Первый экзамен студент сдаст экзамен с
вероятностью 0,8. Второй студент сдаст с вероятностью 0,7. Третий экзамен
студент сдаст экзамен с вероятностью 0,5. Вычислить вероятность того, что
студент сдаст только два экзамена из трёх.
Три спотрсмена бегут на дистанции. Вероятность быть первым у одного равна
0,7, у второго 0,6, у третьего 0,5.Найти вероятность, что из трёх спотрсменов
только один победит.
Три студента сдают экзамен. Вероятность сдать экзамен у первого равна 0,5, у
второго равна 0,6, у третьего равна 0,7.Вычислить вероятнсть того, что сдали
экзамен только два студент.
Стрелок делает три выстрела. В первый он попадёт с вероятностью р=0,8. Во
второй он попадёт с вероятностью р=0,4. В третий он попадёт с вероятностью
р=0,7.Какова вероятность, что из трёх выстрелов стрелок попадет в цель только
один раз.
Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность
попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,5, для третьего –
0,7. Определить вероятность того, что из трёх только два попадут в цель.
Студент сдаёт три экзамена. Первый экзамен студент сдаст экзамен с
вероятностью 0,8. Второй студент сдаст с вероятностью 0,7. Третий экзамен
студент сдаст экзамен с вероятностью 0,5. Вычислить вероятность того, что
студент сдаст только два экзамена из трёх.
Три спотрсмена бегут на дистанции. Вероятность быть первым у одного равна
0,7, у второго 0,6, у третьего 0,5.Найти вероятность, что из трёх спотрсменов
только два победят.
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №6
1. Определите правильный ответ:
Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Какова вероятность, что, сделав три
выстрела, он ни разу не попадёт?
a) 0,08;
b) 0,4;
c) 0,6;
d) 0,008.
2. Определите правильный ответ:
Для посева берут семена из двух пакетов. Вероятность прорастания семян в первом пакете
равна 0,4, а во втором 0,5. Взяли по одному семени из каждого пакета, тогда вероятность того,
что оба они прорастут, равна:
a) 0,9;
b) 0,45;
c) 0,3;
d) 0,2.
3 Определите правильный ответ:
Вероятность того, что в этом году будет хороший урожай апельсинов, равна 0,9, а лимонов –
0,7. Тогда вероятность того, что уродятся и апельсины и лимоны, равна:
a) 0,8;
b) 0,3;
c) 0,63;
d) 0,5.
4. Определите правильный ответ:
42
Вероятность взять бракованную деталь из первого ящика равна 0,2, а из второго – 0,3. Из
каждого ящика взяли по одной детали. Тогда вероятность того, что обе они бракованные, равна:
a) 0,06;
b) 0,5;
c) 0,25;
d) 0,1.
5. Определите правильный ответ:
Станок-автомат производит изделия трех сортов. Первого сорта – 80%, второго – 15%. Чему
равна вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или второго, или третьего сорта?
a) 0,2;
b) 0,95;
c) 0,8;
d) 0,15.
6. Определите правильный ответ:
Два стрелка стреляют по разу в общую цель. Вероятность попадания в цель у одного стрелка
0,8, у другого – 0,9. Найти вероятность того, что цель не будет поражена ни одной пулей.
a) 0,2;
b) 0,02;
c) 0,3;
d) 0,15.
7. Определите правильный ответ:
Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Какова вероятность, что, сделав три
выстрела, он хотя бы раз попадёт в цель?
a) 0,999;
b) 0,992;
c) 0,92;
d) 0,8.
8. Определите правильный ответ:
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0,7, у
другого – 0,8. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
a) 0,75;
b) 0,8;
c) 0,56;
d) 0,94.
Практическое занятие № 7. Дискретные случайные величины. Числовые
характеристики
1. Цель работы
Цель работы – усвоить понятие дискретной случайной величины, законы ее распределения,
характеристики. Научиться находить вероятность дискретной случайной величины. Выработать
навыки вычисления основных характеристик дискретной случайной величины.
2. Теоретический материал для практического занятия №7
2.1. Дискретная случайная величина. Случайные величины, законы их распределения
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно возможное
значение, заранее неизвестное и зависимое от случайных причин, которые заранее не могут
быть учтены.
Выпадение некоторого значения случайной величины Х - есть случайное событие: Х = хi .
Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины.
2.2. Закон распределения дискретной случайной величины
Дискретной называют случайную величину, которая может принимать отдельные значения с
определенными вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины называют соответствие между
возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать:
1) таблично – рядом распределения, 2) графически, 3) в виде формулы.
Рядом распределения называется совокупность всех возможных значений хi и
соответствующих им вероятностей рi = Р ( Х = хi ), он может быть задан в виде таблицы:
хi
х1
х2
...
рi
p1
р2
...
При этом вероятности рi удовлетворяют условию:
хn
рn
43
n
 P 1
i 1
i
где число возможных значений n может быть конечным или бесконечным.
Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.
Для его построения возможные значения случайной величины (х i) откладываются по оси
абсцисс, а вероятности рi – по оси ординат; точки Аi c координатами (хi, рi) соединяются
ломаными линиями.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), значение
которой в точке х равно вероятности того, что случайная величина Х будет меньше этого
значения х, то есть
F(х) = Р (Х х).
Функция распределения F(х) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
F ( x) 
p
xi  x
(17)
i
где суммирование ведется по всем значениям i, для которых хi  х.
2.3. Характеристики дискретной случайной величины
1) Математическим ожиданием М (Х) дискретной случайной величины Х называется
сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:
М(x) = x1· p1 + x2· p2 + … + xn· pn.
(18)
Формулу (18) можно записать в виде:
n
M ( x)   ( xi  pi ).
(18а)
i 1
Свойства математического ожидания:
 Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
 Математическое ожидание может быть как положительным, так и отрицательным
числом.
 Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной:
М(С) = С.
 Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме
математических ожиданий этих величин:
М(X + Y + . . . + W) = М(X) + М(Y) + . . . + М(W).
 Математическое ожидание произведения двух или нескольких взаимно независимых
случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:
М(XY) = M(X)  M(Y).
 Математическое ожидание произведения случайной величины на постоянную С
равно:
М(СХ) = С М(Х).
2) Дисперсией D (X) дискретной случайной величины Х называется математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:
D(x) = M [x – M(x)]2.
(19)
Формулу (19), используя вместо M(x) формулу (18а), можно записать в виде:
n
n
j 1
i 1
D( x )   ( x j   xi  p i ) 2  p j .
(19а)
44
Формула (19) после возведения в степень и преобразований имеет вид:
D(x) = M (x2) – [M(x)]2.
Формулу (20), используя вместо M(x) формулу (18а), можно записать в виде:
n
n
j 1
i 1
D( x)   ( x 2j  p j )  [ xi  pi ]2 .
(20)
(20а)
Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.
Свойства дисперсии:
 Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю: D(С) = 0.
 Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя
его в квадрат: D(СX) = С2 ∙ D(X).
 Дисперсия алгебраической суммы двух и более независимых случайных величин
равна сумме их дисперсией: D(X +Y) = D(X) + D(Y).
3) Средним квадратическим отклонением  (Х) случайной величины Х называется
корень квадратный из ее дисперсии:
(21)
 ( x) 
n
n
j 1
i 1
 ( x j   xi  p i ) 2  p j .
(21а)
Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина.
Случайная величина называется центрированной, если математическое ожидание M(X)=0, и
стандартизированной, если M(X)=0 и среднее квадратическое отклонение =1.
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию № 7
Рассмотрим дискретную случайную величину на примере.
Пример 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты является дискретной
случайной величиной Х. Возможные значения числа появлений герба: 0,1,2,3.
Найти закон распределения вероятности появления герба при трех бросаниях монеты и
представить его в виде таблицы.
Решение.
Вероятность появления герба в одном испытании равна р=1/2. Противоположное ему
событие: герб не выпал, вероятность этого события по формуле (9а) равна: q=1-p=1/2.
1) Событие 1. «Три раза бросили монету и ни разу герб не выпал». Это сложное событие
состоит из появления трёх совместных и независимых элементарных событий: «герб не выпал в
одном испытании». Для события «три раза бросили и ни разу герб не выпал», которое
обозначим Р(0), вероятность вычисляется по формуле умножения (11) для независимых
событий:
1 1
P(0)  q1  q 2  q 3  3 
2
8.
2) Событие 2. «Три раза бросили монету и один раз герб выпал». Это сложное событие
состоит из появления одного из трёх несовместных и независимых событий: «герб выпал в
одном из трёх совместных испытаний». Для события «три раза бросили монету и один раз герб
45
выпал» вероятность будет состоять из суммы несовместных событий по формуле (8), где
каждое слагаемое вычисляется по формуле умножения (11) для независимых событий:
P(1)  p1  q 2  q 3  q 1  p 2  q 3  q 1  q 2  p 3 
1 1 1 3
  
8 8 8 8.
3) Событие 3. «Три раза бросили и два раза выпал герб». Для этого события вероятность
события будет состоять из суммы событий:
1 1 1 3
P(2)  p1  p 2  q3  q1  p 2  p  p1  q 2  p3    
8 8 8 8.
4) Событие 4. «Три раза бросили и все три раза выпал герб». Вероятность этого события
совпадает с первым и вычисляется по формуле умножения (11).
P (3)  p1  p 2  p 3 
1 1

23 8 .
Здесь: p1, p2, p3 – вероятность выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.
Q1, q2, q3 – вероятность не выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.
Результаты вычислений представлены в виде ряда распределения в таблице 7.1.
Таблица 7.1
Событие Х
0
1
герб
выпал 2
раза
2
1
8
3
8
3
8
герб
герб
не выпал выпал 1 раз
хi
Вероятность
события:
Р(хi)= рi
герб
выпал 3 раза
1
8
3
Для построения многоугольника распределения ряд распределения таблицы 7.1 переписан в
более удобном виде в таблицу 7.2.
№
хi
Ряд распределения
Р(хi)= рi
Таблица 7.2
3
4
2
3
1
0
2
1
0,125
0,375
0,375
0,125
Многоугольник распределения вероятности представлен на рис.6.
Вероятность события: Р(хi)= рi
0,4
0,3
Вероятность
события
Р(хi)= рi
0,2
0,1
0
1
2
3
4
Рис. 6. Многоугольник распределения
46
Пример 2. Для задачи в примере 1 найти функцию распределения вероятности F(х) этой
случайной величины и построить ее. Построить функцию распределения.
Решение.
Если х  0, то F( х ) = Р ( Х  х ) = 0.
Если 0  х  1, то F( х ) = Р ( Х  х ) = 1/8.
Если 1  х  2, то F( х ) = Р ( Х  х ) = 1/8 + 3/8 = 0,5.
Если 2  х  3, то F( х ) = Р ( Х  х ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8.
Если х  3, то F( х ) = Р ( Х  х ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.
В таблицу 7.3 внесены значения функции распределения вероятности F(х) случайной
величины – х.
Таблица 7.3
№
1
2
3
4
5
хi
0
1
2
3
>3
функция распределения
0
0,125
0,5
0,875
1
F( х )
Функция распределения вероятности представлена на рис.7.
функция распределения F( х )
1,5
1
0,5
0
функция
1
2
3
4
F(x)
Рис.7. Функция распределения
Пример 3.
Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое
отклонение (Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения в
таблице 4 :
Таблица 7.4
Х
р
-5
0,4
2
0,3
3
0,1
4
0,2
Решение.
Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле (18):
М(Х) = x1· p1 + x2· p2 + … + xn· pn.
М(Х) = - 5 0,4 + 2 0,3 + 3 0,1 + 4 0,2 = - 0,3.
Дисперсия вычисляется по формуле (20):
D(Х) = М(Х2) - [М(Х)]2.
Закон распределения Х2 представлен в таблице 5:
Таблица 7.5
47
Х2
р
25
0,4
4
0,3
9
0,1
16
0,2
Математическое ожидание М(Х2) вычисляется по формуле (18):
М(Х2) = 250,4 + 40,3 + 9 0,1 + 160,2 = 15,3.
Искомая дисперсия:
D(Х) = М(Х2) - [М(Х)]2 = 15,3 -(-0,3)2 = 15,21.
Тогда среднее квадратическое отклонение будет:
 ( X ) D( Х )  15,21  3,9 .
4. Задания к практическому занятию № 7
Задание.
Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое
отклонение (Х) дискретной случайной величины Х , заданной законом распределения в
таблице 7.4а. Значения вероятностей брать из таблицы 7.4b по вариантам заданий.
Алгоритм выполнения задания №7.
 Выбрать в таблице 7.4б свой вариант задания.
 В таблицу 7.4а эаписать числовые значения вероятностей вместо их символов Р1 ,
Р2.., Р3 , Р4,, которые заданы в таблице 7.4б.
 Оформить таблицу 7.4а в виде таблицы 7.4.
 Найти числовые характеристики дискретной случайной величины Х по примеру 3.
 Построить многоугольник распределения и функцию распределения вероятности по
примеру 2 (рис.6, 7).
Случайная величина Х для любого варианта берётся из таблицы 7.4а,
х
р
Таблица 7.4 а
Х1
Х2
Х3
-10
-1
1
Р1
Р2
Р3
Х4
10
Р4
Таблица 7.4 b
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Р1
Р2
Р3
Р4
0,3
0,4
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
0,2
0,1
0,2
0,1
0,3
0,2
0,1
0,1
0,1
0,1
0,3
0,4
0,3
0,2
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,6
0,5
48
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,2
0,4
0,1
0,4
0,1
0,2
0,3
0,3
0,5
0,6
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,3
0,1
0,5
0,1
0,3
0,2
0,3
0,2
0,4
0,3
0,2
0,1
0,1
0,1
0,1
0,2
0,1
0,2
0,3
0,1
0,5
0,3
0,4
0,2
0,3
0,1
0,1
0,4
0,3
0,2
0,4
0,2
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
0,2
0,1
0,2
0,4
0,2
0,3
0,4
0,1
0,2
0,4
0,3
0,2
0,1
0,3
0,1
0,3
0,4
0,2
0,1
0,1
0,1
0,2
0,3
0,2
0,3
0,2
0,1
0,1
0,2
0,4
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №7
1. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X 2
1
P 0
0
,3 ,7
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
a) 1.
b) - 1,7.
c) 1,1.
d) 0,4.
2. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X 4
1
P 0
0
,4 ,6
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
a) 2,1.
b) 2.
c) – 1.
d) - 2,7
3. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X 6
5
P 0
0
,5 ,5
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
49
a) 0,5.
b) – 2.
c) 1,5.
d) – 0.5
4. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X -3
2
P 0,2
0,8
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
a) 1,0.
b) - 2,5.
c) – 1.
d) - 0,7
5. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X 8
10
P 0,3
0,7
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
a) 18.
b) – 9,4.
c) 9,4.
d) 1.
6. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X -2
3
P 0,4
0,6
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
a) 1.
b) 2,9.
c) 0,8.
d) - 6.
Практическое занятие № 8. Непрерывные случайные величины. Законы
распределения
1. Цель работы
Цель работы – усвоить понятие непрерывной случайной величины, законы ее
распределения, характеристики. Научиться находить вероятность непрерывной случайной
величины. Выработать навыки вычисления основных характеристик непрерывной случайной
величины.
2. Теоретический материал для практического занятия №8
2.1. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной
величины
Если рассматривать случайную величину Х, значения которой заполняют интервал (a,b) и
составить перечень всех возможных её значений невозможно, то она называется непрерывной.
В результате этого появилась необходимость дать общий способ задания любых типов
случайных величин. Для этого вводится функция распределения вероятностей случайной
величины. Функция распределения F(х) для непрерывной случайной величины имеет вид:
Х
F ( x) 
 f ( x)dx
(22)

Функция f(х) называется плотностью вероятности:
P( x  Х  x  x)
x 0
x
.
f ( x)  lim
(23)
Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения F(х)
(интегральным законом распределения), либо плотностью вероятности f(х)
(дифференциальным законом распределения).
Cвойства функции распределения F(х):
50
Свойство 1. Значения функции распределения F(х) принадлежат отрезку [0, 1]: 0  F(x)  1.
Свойство 2. F(х) –неубывающая функция: F(x2)  F(x1), если x2 > x1 .
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в
интервале [a, b ] равна приращению функции распределения на этом интервале:
P(a X < b)=F(b)-F(a).
Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу [a,b],
то: F(x)=0 при x  a; F(x)=1 при x  b. Геометрически это означает, что полная площадь,
ограниченная кривой распределения и осью абсцисс равна единице.
Следствие 2. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на
всей оси х, то:
lim F ( x)  0
lim F ( x)  1
x
x 
Cвойства плотности вероятности f(х):
Свойство 1. Плотность вероятности не может быть отрицательной функцией. f(x)0.
Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -  до + 
равен единице.

 f(x)dx
1
(24)

Следствие. В частности, если значения случайной величины находятся в интервале (a, b), то
вероятность попадания в заданный интервал.
b
P(a  X  b)   f ( x)dx
(25)
a
Функция распределения связана с плотностью формулой:
f ( x) 
dF ( x)
 F' ( x)
dx
(26)
.
2.2. Основные характеристики непрерывной случайной величины
Свойства случайной величины могут характеризоваться различными параметрами.
Важнейшие из них - математическое ожидание случайной величины, которое обозначается
через М(Х), и дисперсия D(Х) = 2(Х), корень квадратный из которой  (Х) называют
среднеквадратическим отклонением.
Математическое ожидание
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х определяется по формуле:

M(x) 
 x  f(x)dx
(27)

f(х) – плотность вероятности распределения случайной величины Х.
Дисперсия
Дисперсия непрерывной случайной величины Х может быть вычислена по формуле (28) или
(29):
51

D(X)   [x - M(X) ]2  f ( x)dx

(28)
.

D(X)   x 2 f(x) dx  [ M ( x )]2
(29)

.
Среднее квадратическое отклонение определяется формулой (21).
Если математическое ожидание случайной величины даёт «ее среднее значение» или точку
на координатной прямой, «вокруг которой разбросаны» значения рассматриваемой случайной
величины, то дисперсия характеризует «степень разброса» значений случайной величины около
её среднего.
2.3. Некоторые частные распределения
На практике приходится при решении задач сталкиваться с различными распределениями
непрерывных случайных величин. Плотность распределения f(x) непрерывной случайной
величины называют законом распределения.
Следует рассмотреть некоторые важные для практики распределения случайных величин и
соответствующие им числовые характеристики.
2.3.1. Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина X называется распределенной равномерно на отрезке
[a,b], если ее плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:
x  [ a, b]
0,

f ( x)   1
.
,
x

[
a
,
b
]
 b  a
(30)
Функция распределения в этом случае согласно (22) примет вид:
xa
 0,
x  a
F ( x)  
, a  x  b.
b  a
xb
 1,
(31)
Это распределение реализуется, например, в эксперименте, в котором наудачу ставится
точка на отрезок [a,b], при этом случайная величина Х – абсцисса поставленной точки.
На рис. 8 представлен график плотности f(x) случайной величины, равномерно
распределенной на промежутке [a;b].
Рис.8. Закон равномерного распределения
Примером равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х является
ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления шкалы измерительного
прибора, проградуированной в некоторых единицах.
52
Числовые характеристики случайной величины X равномерно распределенной на интервале
(a,b):
1. Математическое ожидание по формуле (27):
M (x) 
b
b
a
a
M ( x)   x  f ( x)dx   x 
1
1 b
1
x2 b b2  a2
ba
dx 
x

dx


|a 


a
ba
ba
ba 2
2  (b  a)
2 .
2. Дисперсия по формуле (29):
b
b
a
a
D(X)   x 2f(x) dx  ( M ( x)) 2   x 2
b
1
1
dx  ( M ( x)) 2 
x 2 dx  ( M ( x)) 2 ;

ba
ba a
1
x3 b
b3  a 3
(b  a ) 2
b  a 
D( x) 

|a [ M ( x)]2 


ba 3
3  (b  a )  2 
12
.
3. Среднее квадратическое отклонение – (Х) по формуле (21):
2
 
D( x) 
(b  a ) 2
ba

;
12
2 3
2.3.2. Показательное распределение
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной
случайной величины, которое описывается плотностью:
0, åñëè x  0;

f ( x)  
(*)

  x
, åñëè x  0.
  e
где: - постоянная положительная величина.
Показательное распределение определяется одним параметром , что является
преимуществом по сравнению с другими распределениями, зависящими от большого числа
праметров.
Функция распределения показательного закона:
0, åñëè x  0;

F ( x)  

  x
, åñëè x  0.
1  e
(**)
Пусть =1, тогда при х=0 плотность распределения вероятности f(x)=1. Графики плотности и
функции распределения показательного закона представлены на рис 8а.
Рис.8a. Плотность и функция распределения показательного закона
Числовые характеристики показательного распределения
1. Математическое ожидание по формуле (27):
53


1
0
0

M ( x)   x  f ( x)dx    x  e   x dx 
.
2. Дисперсия по формуле (29):


D( x)   x 2  f ( x)dx  [ M ( x)] 2    x 2  e   x dx 
1

2
.

2
3. Среднее квадратическое отклонение – (Х) по формуле (21):
0
 ( x) 
0
2
1
.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения
равны между собой.
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию №8
Пример 1.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до
ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,04.
б) меньше 0,04.
Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х,
которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними делениями. Плотность
равномерного распределения имеет вид из формулы (30):
1
f ( x) 
,
ba
где (b-a) – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х. Вне этого
интервала f(x)=0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные
значения Х, равна 0,2. Поэтому плотность распределения вероятностей
1
f ( x) 
5
0,2
.
Тогда ошибка отсчета превысит 0,04, если она будет заключена в интервале (0,04; 0,2). По
формуле (25) вычисляется вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка
превышающая значение 0,04:
P(a  X  b)  
0, 2
0, 04
2
5dx  5 x / 00,,04
 1  0,2  0,8
Ошибка отсчета меньше 0,04 будет заключена в интервале (0; 04). По формуле (25)
вычисляется вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка отсчета, заключённая в
интервале (0; 04):
P(a  X  b)  
0, 04
0
5dx  5x / 00,04  0,2
Пример 2.
Троллейбусы идут с интервалом движения 20 мин. Найти вероятность того, что пассажир,
подошедший к остановке, будет ожидать очередной троллейбус менее 7мин.
Время, которое пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной троллейбус
можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в
интервале между двумя троллейбусами. Плотность равномерного распределения вычисляется
по формуле (30). В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные
значения Х, равна 20. Поэтому
54
f ( x) 
1
 0,05
20
Тогда вероятность того, что время, которое пассажир, подошедший к остановке, будет
ожидать очередной троллейбус менее 7мин., если оно будет заключено в интервале (0; 7),
вычисляется по формуле (25):
P ( a  X  b) 

7
0
0,05dx  0,05 x / 70  0,35  0  0,35;
Задания к практическому занятию №8
Задание.
Найти вероятность непрерывной случайной величины Х распределенной равномерно на
отрезке [a,b].
Алгоритм выполнения задания №7.
 Выбрать в таблице 8.1 свой вариант задания.
 Решить задачу по примеру 1.
Таблица 8.1
№
вариант
Задача
а
1
2
3
4
5
6
7
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,5. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,02. б) меньше 0,02.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,3. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,04. б) меньше 0,04.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,05. б) меньше 0,05.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,4. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,06. б) меньше 0,06.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,3. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,02. б) меньше 0,02.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,5. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,03. б) меньше 0,03.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
55
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,04. б) меньше 0,04.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,01. б) меньше 0,01.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,3. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,07. б) меньше 0,07.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,4. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,02. б) меньше 0,02.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,5. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,01. б) меньше 0,01.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,6. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,02. б) меньше 0,02.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,3. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,01. б) меньше 0,01.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,5. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,05. б) меньше 0,05.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,03. б) меньше 0,03.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,03. б) меньше 0,03.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,4. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,01. б) меньше 0,01.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,01. б) меньше 0,01.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,3. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
56
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,03. б) меньше 0,03.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,6. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,04. б) меньше 0,04.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,5. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,08. б) меньше 0,08.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,6. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,06. б) меньше 0,06.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,4. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,08. б) меньше 0,08.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,05. б) меньше 0,05.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,02. б) меньше 0,02.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,3. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,02. б) меньше 0,02.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,4. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,01. б) меньше 0,01.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,6. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,03. б) меньше 0,03.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,3. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,05. б) меньше 0,05.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,04. б) меньше 0,04.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,4. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
57
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,05. б) меньше 0,05.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,7. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,01. б) меньше 0,01.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,3. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,06. б) меньше 0,06.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,4. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,04. б) меньше 0,04.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,6. Показания
прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка:
а) превышающая 0,01. б) меньше 0,01.
32
33
34
35
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №8
1. Формула
x
F(x) 
 f(t)dt

для вычисления:
a) Математического ожидания .
c) Функции распределения.
2. Формула
b) Дисперсии.
d) Плотности вероятности.

M(x)   x  f(x)dx

для вычисления:
a) Функции распределения.
c) Плотности вероятности.
3. Формула
b) Дисперсии.
d) Математического ожидания.

D(X)   [x - M(X) ]2  f ( x)dx

для вычисления:
a) Математического ожидания.
c) Плотности вероятности;.
b) Дисперсии;
d) Функцияи распределения
Практическое занятие № 9. Непрерывные случайные величины.
Нормальный закон распределения
1. Цель работы
Цель работы – усвоить понятие непрерывной случайной величины с нормальным законом
распределения, знать ее числовые характеристики. Уметь находить интервальные вероятности
58
непрерывной случайной величины с нормальным законом распределения. Выработать навыки
вычисления основных характеристик непрерывной случайной величины с нормальным законом
распределения.
2. Теоретический материал для практического занятия №9
2.1. Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами: m,  ,
если плотность распределения вероятностей имеет вид:
f  ( x) 

1
 2
( x m)2
e
2 2
(32)
где: m – математическое ожидание, - среднеквадратическое отклонение.
Нормальное распределение называют ещё гауссовским по имени немецкого математика
Гаусса. Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами: m,
-, обозначают так: N (m,).
Формула (32) может быть записана в виде:

1
f ( x) 
e
 2
( xа)2
2 2
,
   x  .
(33)
,
где a – математическое ожидание; - среднее квадратическое отклонение Х.
а  M [ X ],
   D[ X ].
(34)
Если случайная величина распределена по закону N(0;1), то она называется
стандартизированной нормальной величиной. Функция распределения для нее имеет вид:
t2
1 x 2
F0 ( x) 
 e dt
2  
.
(35)
График плотности нормального распределения изображен на рис. 9.
Рис. 9. Закон нормального распределения
Функция Лапласа, имеющая вид:
t
1
Ф( x ) 
 e 2 dt
2 0
.
связана с функция нормального распределения (35), cоотношением:
x
2
F0(x) = Ф(х) + 0.5.
(36)
(37)
Функции Лапласа нечётная. Ф(-х) = - Ф(х).
59
С помощью функции Лапласа можно вычислять интервальные вероятности для нормального
распределения N(a,):
x а
x а
P{x1  X  x2 }  ( 2
)  ( 1
)
(38)

 .
Значения функции Лапласа Ф(х) табулированы и берутся из таблицы по значению х (см.
Приложение 4).
Через функцию Лапласа выражается и функция нормального распределения в общем случае
N(a,):
xa
F ( x)  Ф(
)  0,5
(39)

.
3. Примеры выполнения задания к практическому занятию №9
Пример 1.
Плотность распределения задана законом
1 
f ( x) 
e
7
( x 1) 2
7
.
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Решение.
Сравнивая заданную плотность распределения с (33)
( xа)2

1
2
f ( x) 
e 2 ,    x  .
 2
можно сделать вывод, что задан нормальный закон распределения с а =-1.
Значит, M(x)= -1 – математическое ожидание, 2=7/2 – искомая дисперсия. Следовательно,
функция данного нормального распределения определяется по формуле (39).
 x 1 
F ( x)  Ф 
  0,5.
 7/2 
Пример 2.
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а и .
Найти вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического
ожидания больше, чем на 3.
Решение.
С учетом (38) будем иметь:
P( |X-a| >3) = 1- P(|X-a|<3)=1-2Ф(3).
,
где: Ф(3) вычисляется по таблице функции Лапласа (Приложение 4):
Ф(3)  0.49865 .
В итоге:
P( |X-a| >3) = 1-2Ф(3)  1 – 0,9973  0,0027.
Пример 3.
Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание
a=60, среднеквадратическое отклонение =20. Найти вероятность попадания случайной
величины Х в заданный интервал (30; 90).
Решение.
60
Искомая вероятность вычисляется по формуле (38).
Получим: P(30 < X < 90) = Ф((90 – 60) / 20) –Ф((30 – 60)/20) = 2Ф(1,5).
По таблице Приложения 4: Ф(1,5) = 0,4332.
Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (30; 90) равна:
P(30<X<90) =2Ф(1,5) =2 0,4332= 0,8664.
4.Задания к практическому занятию №9
Выполнить задание для непрерывной случайной величины Х распределенной по
нормальному закону.
Алгоритм выполнения задания №7.
 Выбрать в таблице 9.1 свой вариант задания.
 Решить задачу по примерам 1, 2, 3.
Таблица 9.1
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Задача
Плотность распределения задана законом:
f ( x) 
1

( x 5) 2
3
e
.
3
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания больше, чем на 2.
Плотность распределения задана законом:
f ( x) 
1
f ( x) 
1

( x2)2
32
e
.
32
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания больше, чем на 4.
Плотность распределения задана законом:

( x 1) 2
8
e
.
8
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания больше, чем на 3.
Плотность распределения задана законом:
f ( x) 
1

( x 2)2
3
e
.
3
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания больше, чем на 5.
Плотность распределения задана законом
61
f ( x) 
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

1
( x 8 ) 2
18
e
.
18
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания больше, чем на 4.
Плотность распределения задана законом:
f ( x) 

1
( x 9 ) 2
4
e
.
4
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания больше, чем на 3.
Плотность распределения задана законом:
f ( x) 
1

( x4)2
5
f ( x) 
1

( x 1) 2
8
e
.
5
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания больше, чем на 2.
Плотность распределения задана законом:
e
.
8
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания больше, чем на 3.
Плотность распределения задана законом:
f ( x) 
1

f ( x) 
1

( x 2)2
3
e
.
3
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания больше, чем на 5.
Плотность распределения задана законом
( x 8 ) 2
18
e
.
18
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания больше, чем на 4.
Плотность распределения задана законом:
f ( x) 
1
3
e

( x 5) 2
3
.
62
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания больше, чем на 5.
Плотность распределения задана законом:
f ( x) 
1
f ( x) 
1

( x2)2
32
e
.
32
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания больше, чем на 6.
Плотность распределения задана законом:

( x 1) 2
8
e
.
8
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания больше, чем на 7.
Плотность распределения задана законом:
f ( x) 
1

f ( x) 
1

( x 2)2
3
e
.
3
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания больше, чем на 8.
Плотность распределения задана законом
( x 8 ) 2
18
e
.
18
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания а больше, чем на 5.
5. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №9
1. График плотности распределения вероятностей для нормального закона изображён на
рисунке:
1)
2)
3)
4)
63
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
2. График плотности распределения вероятностей для нормального закона изображён на
рисунке:
1)
1)
2)
3)
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
4) нет правильного ответа
3 График плотности распределения вероятностей для нормального закона изображён на
рисунке:
1)
2)
3)
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
4) нет правильного ответа
4. График плотности распределения вероятностей для нормального закона изображён на
рисунке:
1)
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
4) нет правильного ответа
5. График плотности распределения вероятностей для равномерного закона изображён на
рисунке:
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
4) нет правильного ответа.
Литература
Модуль 1
1. Ильин, В.А. Математический анализ Классический университетский учебник. Ч.1 / В.А
Ильин, В.А Садовничий. Бл. Х.Сендов – М.: ТК Велби, 2004. – 400 с.
64
Вариант 1
А={1,5,7},
B={2,8},
C={2,7},
D={2.5,9},
X=(AB) (C\D),
Y=(A\D) (CB).
Вариант 2
А={8,4,7,2,5},
B={1,5,3,8},
C={4,8,0},
D={1,0,5,8},
X=(A\B) (CD),
Y=(A\D) (CB).
Вариант 3
А={5,1,9,6}, B={8,6,3},
C={7,4,5,1},
D={1,3,7},
X=(AC) (B\D),
Y=(ABC) (C\D).
2. Сачков, В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики / В.Н. Сачков.
– М.: МЦНМО, 2004. – 424 с.
3. Стойлова, Л.П. Математика: учебник для вузов / Л.П. Стойлова. – М. : «Академия»,
2005. – 424 с.
4. Турецкий, В.Я. Математика и информатика / В.Я. Турецкий. –3-е изд. – М. : ИНФРА –
М, 2002. – 560 с. – (Сер. «Высшее образование»).
Модуль 2
5. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. – М. :
Высш.шк, 2005. – 479 с.
6. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике / В.Е. Гмурман. – М. : Высш.шк, 2005. – 400 с.
7. Теория вероятностей. Математическая статистика : учеб. пособие / Л.И Лазарева [и др.].
– Томск : Изд-во ТПУ, 2002. – 132 с.
Приложение №1. Задания для выполнения
самостоятельной работы №1
Задание 1. Тема. Алгебраические операции с множествами
Универсальное множество состоит из 10 цифр U={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Заданы множества A,
B, C , D. Найти множества X и Y и вычислить их мощность (количество элементов в
множествах).
Варианты заданий ИДЗ №1
65
Вариант 4
А={7,8,1,3},
B={2,9},
C={3,8,2},
D={6,9,3},
X=(AB) (C\D),
Y=(AD) (C\B).
Вариант 7
А={2,8,4,7},
B={3,7},
C={5,3,8},
D={6,3,9,2},
X=(A\C) (BD),
Y=(AD) (C\B).
Вариант 10
А={8,1,3,7,4},
B={4,1,9},
C={3,7,2},
D={9,2,6},
X=(A\B) (CD),
Y=(AB)\(CD).
Вариант 13
А={4,1,8,3,9},
B={6,2,8,1},
C={4,1,9,6},
D={6,4,9},
X=(AD) (B\C),
Y=(AB)\(CD).
Вариант 16
А={3,9,1,6,2},
B={2,4,6},
C={3,6,9},
D={1,3,8},
X=(D\B) (CA),
Y=(AD)  (C\B).
Вариант 5
A={9,4,1,6},
B={3,8,1},
C={2,7,4},
D={6,7.8},
X=(A\B) (CD),
Y=(AB) (C\D).
Вариант 8
А={3,9,1,0,4},
B={7,0,5,1},
C={2,8,5,3},
D={6,1,8,5},
X=(A\B) (CD),
Y=(AB)\(CD).
Вариант 6
А={5,2,7,0},
B={1,3},
C={6,3,9},
D={5,7,6},
X=(AB) (D\C),
Y=(AD) (C\B).
Вариант 9
А={6,1,8,0,3},
B={2,7,3,1},
C={7,1,9},
D={2,8,7},
X=(AB) (C\D),
Y=(AD) (C\B).
Вариант 11
А={9,3,4,5},
B={5,8,1},
C={8,3,7},
D={7,1,9},
X=(AB) (D\C),
Y=(AD) (C\B).
Вариант 14
А={9,1,6,3,7},
B={9,4,7,8},
C={7,1,0,3},
D={2,9,1,6},
X=(A  D) (C\B),
Y=(AB)\(CD).
Вариант 12
А={4,7,1,0,2}, B={1,0,9,4},
C={7,5,9},
D={4,9,1},
X=(A\B) (CD),
Y=(AB)  (C\D).
Вариант 17
А={3,7,0,4.8 },
B={1,4,7,0},
C={9,3,6},
D={4,0,3,8},
X=(AB) \(DC),
Y=(A\D)  (CB).
Вариант 15
А={7,3,1,8,2}, B={3,7,1},
C={8,2,6},
D={7.2.5},
X=(AC)  (B\D),
Y=(A\D)  (C\B).
Вариант 18
А={2,7,1,8,6},
B={7.3.5},
C={1,0,6,7},
D={9,2,6},
X=(BC)  (A\D),
Y=(AD)  (C\B).
66
Вариант 19
А={3,9,1,8,0},
B={6,1,9 },
C={ 5,1,0},
D={ 2,9,8},
X=(AB)  (D\C),
Y=(AD)  (C\B).
Вариант 22
А={5,3,8 },
B={6,3,8 },
C={ 1,2,8,5},
D={ 3,8,4,1},
X=(AC) \ (DB),
Y=(CD)  (A\B).
Вариант 25
А={ 4,7,9,0},
B={ 3,8,0,4},
C={6,9,2,3,8 },
D={7,8,3,0},
X=(A\B)  (CD),
Y=(AD)  (C\B).
Вариант 28
А={6,1,9,3 },
B={ 6,9,3},
C={ 1,7,3},
D={ 7,3,9},
X=(A\C)  (DB),
Y=(AD)  (C\B).
Вариант 31
А={1,9,3,0 },
B={ 3,0,7},
C={ 8,2,6},
D={1,8,5 },
X=(A\B)  (CD),
Y=(AD)  (C\B).
Вариант 34
А={ 1,8,6,3},
B={ 7,2,6},
C={ 1,8,6,5},
D={ 5,3,9},
X=(AB)  (D\C),
Y=(AD)  (C\B).
Вариант 20
А={8,4,3,7,5},
B={4,6,9 },
C={7,9,1},
D={4,8,2 },
X=(A\C)  (D  B),
Y=(DB)  (C\A).
Вариант 23
А={ 6,1,9},
B={ 9,2,7},
C={ 2,7,1},
D={ 9,0,2},
X=(A\B)  (DC),
Y=(AB) \ (CD).
Вариант 26
А={8,2,0,1 },
B={6,9,2,8 },
C={7,2,9 },
D={2,8,5,0 },
X=(A\D)  (CB)
Y=(AB)  (C\D).
Вариант 29
А={3,8,5,1 },
B={7,3,8},
C={ 5,0,1,7},
D={7,3,9,2,0 },
X=(A\B)  (DC),
Y=(AB) \ (CD).
Вариант 32
А={ 8,2,5,7},
B={4,9,6,8 },
C={4,6,1 },
D={8,4,2 },
X=(AB) \ (CD)
Y=(AB)  (C\D).
Вариант 35
А={7,2,0,5},
B={4,1,0,2},
C={8,3,6,1},
D={ 7,1,0},
X=(AB) \(DC),
Y=(A\D)  (CB).
Вариант 21
А={6,0,1,9,5},
B={1,3,5,9 },
C={4,1,9 },
D={ 9,3,6},
X=(A\B)  (CD),
Y=(AB)  (C\D).
Вариант 24
А={ 4,2,8,5},
B={ 8.5.9},
C={3,8,1 },
D={ 5,2,8},
X=(AB)  (C\D),
Y=(AB)  (C\D).
Вариант 27
А={ 9,5,1,3},
B={ 3,1,9,5},
C={8,4,2,5 },
D={6,3.9 },
X=(A\C)  (DB),
Y=(AD)  (C\B).
Вариант 30
А={9,0,2,6 },
B={ 5,3,8,0,2}
C={2,7,1,6 },
D={3,9,2 },
X=(AB)  (C\D),
Y=(AB)  (D\C).
Вариант 33
А={4,9,1,0,8},
B={ 6,9,3},
C={ 8,3,2,4},
D={ 5,0,3,9},
X=(AC) \ (DB),
Y=(A\D)  (C\B).
Вариант 36
А={8,3,6,1},
B={7,1,5},
C={1,9,4 ,8},
D={8,2,6 },
X=(AC)  (B\D),
Y=(AD) \(CB).
67
Задание 2. Геометрическая интерпретация операций над множествами
Даны произвольные множества A, B, C, D задания 1.
Нарисовать диаграммs Эйлера для полученных множеств X, Y задания 1.
Задание 3. Комбинаторика
Задание 1
Вариант 1. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 8, 1, 2, 3, 5, если каждая
цифра входит в изображение числа только один раз?
Вариант 2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?
Вариант 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10
деталей?
Вариант 4. Используя буквы из слова "ECXEL", составляют слова переставляя буквы.
Таким образом, можно получить .N.. слов (включая само слово «ECXEL»). Найти N.
Вариант 5. Используя буквы из слова "WORD", составляют слова переставляя буквы. Таким
образом , можно получить ..N. слов (включая само слово " WORD "). Найти N.
Вариант 6. Используя буквы из слова "STUDENT", составляют слова переставляя буквы.
Таким образом, можно получить ..N. слов (включая само слово " STUDENT ").
Вариант 7. Группу из 9 человек надо расселить в три трехместные комнаты, Существует
.N.. вариантов расселения. Найти N.
Вариант 8. Имеется 12 цветных карандашей, их надо разделить между тремя детьми, так
чтобы каждому досталось по 4 карандаша. Это можно сделать .N.. способами. Найти N.
Вариант 9. Из группы 10 человек надо выбрать 3 делегата. Это можно сделать ...N
способами. Найти N.
Вариант 10. В вазе 11 различных конфет, берут 2. Число вариантов взять две конфеты из
вазы равно N. Найти N.
Вариант 11. Дана набор цветных карандашей из 12 различных цветов. Берут 2 карандаша.
Таким образом можно подобрать пару ..N. способами. Найти N.
Вариант 12. Сколько различных слов можно записать из букв о,п,в,с,р при условии, что ни
одна буква не повторяется.
Вариант 13. Дан набор разных цветов фломастеров из 8 штук. Из набора берут 3
фломастера. Такую тройку можно составить N... способами. Найти N.
Вариант 14. Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из
десяти кандидатов?
Вариант 15. Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 6 человек?
Вариант 16. Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр
9,1,7,8,2 при условии, что ни одна цифра не повторяется.
Вариант 17. Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 6,3,8
при условии, что ни одна цифра не повторяется.
Вариант 18. Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове: ЭКЗАМЕН.
Вариант 19. Найти число сочетаний из пяти букв a, b, c, d по 3 буквы при условии, что ни
одна из них не повторяется .
Вариант 20. Сколькими различными способами можно составить разведывательную группу
из 3-х солдат, если имеется 12 солдат?
Вариант 21. Сколькими различными способами можно разместить в 6 клетках следующие
буквы: а, м, б, о, в, к?
Вариант 22. Надо рассадить на одной скамейке 5 детей. Сколькими способами это можно
сделать?
68
Вариант 23. Надо разместить в пяти клетках пять разных гласных букв. Сколькими
способами это можно сделать?
Вариант 24. Определить количество возможных вариантов составить текст из 2 страниц,
выбирая их из 7 предлагаемых разных страниц.
Вариант 25. В вазе 7 разных роз. Из вазы берут пять роз. Сколько может быть вариантов
взять пять роз из вазы ?
Вариант 26. Сколько разных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 , 5 при
условии, что ни одна цифра не повторяется?
Вариант 27. В группе 20 студентов. Необходимо выбрать старосту и его заместителя.
Сколькими способами можно образовать эту руководящую двойку, если одно лицо может
занимать только один пост?
Вариант 28. В кружке юных экологов 10 школьников. Необходимо избрать председателя
кружка, его заместителя, редактора стенгазеты. Сколькими способами можно образовать эту
руководящую тройку, если одно лицо может занимать только один пост?
Вариант 29. Сколько различных двухзначных чисел можно записать с помощью цифр
7,2,9,1,8 при условии, что ни одна цифра не повторяется.
Вариант 30. В конверте 10 разных открыток. Из конверта берут три открытки. Сколько
может быть вариантов взять три открытки из конверта?
Приложение №2. Задания для выполнения
самостоятельной работы №2
Вычисления вероятностей элементарных событий
Задание 4, 5. Задачи по классическому определению вероятности (две задачи)
Вариант 1
1.1 Относительная частота появления брака 0,06, тогда среди 150 деталей будет обнаружено
N бракованных деталей. Найти N .
1.2 В партии из 6 деталей три нестандартные. Найти вероятность того, что среди четырёх
взятых наудачу деталей две нестандартные.
Вариант 2
2.1 Набирая номер телефона, абонент забыл одну последнюю цифру и набрал её наудачу.
Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.
2.2 В коробке семь одинаковых изделий, причём две из них окрашены. Наудачу извлечены
три изделия. Найти вероятность того, что среди извлечённых изделий окажется одно
окрашенное изделие.
Вариант 3
3.1 Указать ошибку «решения» задачи: «Брошены две игральные кости. Найти вероятность
того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А)».
Решение. Всего возможны 2 исхода испытания: сумма выпавших очков равна 4, сумма
выпавших очков не равна 4. Событию А благоприятствует один исход; общее число исходов
равно двум. Следовательно, искомая вероятность P(A)=1/2.
3.2 В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых
наудачу деталей 4 стандартные.
Вариант 4
Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет чётное число очков.
В корзине 8 яблок, среди них 6 яблок красных и два зелёных. Найти вероятность того, что
среди трёх взятых наудачу яблок два красных и одно зелёное.
Вариант 5
69
5.1 В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана
одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что из вынутых по одному и
расположенных «в одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт».
5.2 В партии из 8 деталей 3 нестандартные. Найти вероятность того, что среди 4 взятых
наудачу деталей одна деталь стандартная.
Вариант 6
6.1 На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р,
с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что из четырёх, вынутых по
одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «трос».
6.2 В спортивной секции 10 велосипедов, из них пять новых. Наудачу выбраны 4
велосипеда. Найти вероятность того, что среди выбранных велосипедов три новые.
Вариант 7
7.1 Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того,
что две определённые книги окажутся поставленными рядом.
7.2 В вазе 7 роз и 2 гладиолуса. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных
цветов будут четыре розы и один гладиолус.
Вариант 8
8.1 Библиотечка состоит из десяти различных книг, причём пять книг стоят по 40 рублей
каждая, три книги – по 20 рублей и две книги – по 30 рублей. Найти вероятность того, что
взятая наудачу книга стоит 30 рублей.
8.2 Из 8 видов ручек 5 фиолетовых и 3 красных. Найти вероятность того, что среди шести
взятых наудачу ручек 4 фиолетовые и 2 красные.
Вариант 9
9.1 При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной
0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.
9.2 В группе 10 студентов, из них 3 отличника. На конференции выступают 4 студента из
этой группы. Найти вероятность того, что среди делегатов из группы на конференции будут
два отличника
Вариант 10
10.1 При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных
деталей, утеряна одна деталь, причём неизвестно какая. Наудачу извлечённая (после перевозки)
из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а)
стандартная деталь; б) нестандартная деталь.
10.2 В корзине 4 яблока и 5 персиков. Какова вероятность взять 3 персика и 1 яблоко.
Вариант 11
11.1 Указать ошибку «решения» задачи: брошены две игральные кости; найти вероятность
того, что сумма выпавших очков равна 3 (событие А).
«Решение». Возможны два исхода испытания: сумма выпавших очков равна 3, сумма
выпавших очков не равна 3. Событию А благоприятствует один исход; общее число исходов
равно двум. Следовательно, искомая вероятность P(A)=1/2.
11.2 В спортивной секции из 9 мячей шесть футбольных и три волейбольных. Вероятность
того, что среди пяти взятых наудачу мячей пять футбольных, равна
Вариант 12
12.1 В коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают
все кубики. Найти вероятность того, что номера извлечённых кубиков появятся в
возрастающем порядке.
12.2 Из семи шоколадок три с орехом. Берут три. Определить вероятность того, что все три
шоколадки без ореха.
70
Вариант 13
13.1 В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 1, 2, …, 20 и произвольно
расположенных. Оператор наудачу извлекает две карты. Найти вероятность того, что извлечены
перфокарты с номерами 1 и 20.
13.2 В спортивной секции из 8 мячей пять футбольных и три волейбольных. Определить
вероятность того, что среди трёх взятых наудачу мячей два футбольных.
Вариант 14
14.1 Какова вероятность того, что вынутая из колоды карта окажется трефовой масти? (В
колоде 52 карты, а карт трефовой масти 13.)
14.2 В ящике имеется 9 деталей, среди которых 4 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает
три детали. Найти вероятность того, что извлечённые детали окажутся окрашенными.
Вариант 15
15.1 Какова вероятность, что при бросании монеты выпадет герб?
15.2 В ящике 10 деталей, из них 4 бракованных. Наудачу извлечены четыре детали. Найти
вероятность того, что среди извлечённых деталей: а) нет бракованных; б) нет годных.
Вариант 16
16.1 Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти
цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
16.2 Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении
устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что
включенными окажутся неизношенными элементы.
Вариант 17
17.1 Из колоды карт (36 карт) наугад выбирается одна. Какова вероятность, что выбранная
карта – туз?
17.2 В отделе работают шесть мужчин и три женщины. Предлагается выбрать пять
делегатов от отдела на конференцию. Найти вероятность того, что среди выбранных делегатов
две женщины.
Вариант 18
18.1 Отдел технического контроля обнаружил 9 бракованных игрушек в партии из случайно
отобранных 1000 игрушек. Найти вероятность появления бракованных игрушек.
18.2 В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9
студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.
Вариант 19
19.1 По цели произведено 20 выстрелов, причём зарегистрировано 18 попаданий. Найти
относительную частоту попаданий в цель.
19.2 В коробке пять одинаковых изделий, причём три из них окрашены. Наудачу извлечены
два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлечённых изделий окажутся: а) одно
окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.
Вариант 20
20.1 Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно
отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг.
20.2 На складе имеется 15 кинескопов, причём 10 из них изготовлены Львовским заводом.
Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа
Львовского завода.
Вариант 21
21.1 При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась
равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.
71
21.2 В коробке 8 маркеров, причём пять из них чёрных и три синих . Наудачу извлечены три
маркера. Найти вероятность того, что среди трех извлечённых маркеров будут все синие.
Вариант 22
22.1 Телефонный номер состоит из семи цифр. Найти вероятность того, что первая цифра
номера – двойка.
22.2 В урне 2 синих, 2 красных и один жёлтый шар. Определить вероятность того, что среди
взятых наугад двух шаров не будет жёлтого.
Вариант 23
23.1 Числа 1, 2, 3, 4, 5 написаны на пяти карточках. Наугад последовательно выбираются три
карточки и ставятся слева направо. Какова вероятность того, что полученное трёхзначное число
будет чётным:
23.2 В комплекте 7 открыток, из них две без марки. Найти вероятность того, что среди 4
взятых наудачу открыток три с маркой.
Вариант 24
24.1 На перекрёстке установлен автоматический светофор, в котором одну минуту горит
зелёный свет и полминуты – красный, затем снова одну минуту – зелёный и полминуты –
красный и т.д. В случайный момент времени к перекрёстку подъезжает автомобиль. Какова
вероятность того, что он проедет перекрёсток без остановки?
24.2 В урне 3 белых и 3 чёрных шара. Какова вероятность того, что два наудачу выбранных
шара имеют разный цвет?
Вариант 25
Какова вероятность того, что вынутая из колоды карта будет чёрной масти? (В колоде две
чёрные масти: пиковая и трефовая. Число карт каждой масти в колоде равно 13.)
25.2 В комплекте 8 конвертов, из них три без марки. Найти вероятность того, что среди 3
взятых наудачу конвертов три без марки.
Вариант 26
26.1 В урне 25 белых и 15 чёрных шаров. Какова вероятность того, что вынутый наугад шар
окажется белым?
26.2 На полке из 8 книг шесть в переплёте. Какова вероятность того , что среди трёх взятых
наудачу книг все в переплёте.
Вариант 27
27.1 Номер телефона состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что все цифры наугад
набранного номера разные?
27.2 В урне имеется 5 белых и 4 чёрных шаров. Взяли из урны пять шаров. Какова
вероятность того, что среди вынутых из урны три окажутся белыми?
Вариант 28
28.1 Двое знакомых приобрели независимо друг от друга билеты на один и тот же поезд.
Какова вероятность того, что их места окажутся в одном и том же вагоне, если в поезде 12
пассажирских вагонов?
28.2 В партии, состоящей из 10 изделий, имеется 3 дефектных. Из партии выбирается для
контроля 4 изделий. Найти вероятность того, что из них ровно 2 будут дефектными.
Вариант 29
29.1 Каждая буква слова «комбинаторика» написана на отдельной карточке, которые
тщательно перемешиваются. Последовательно извлекаются четыре карточки. Какова
вероятность получить слово «ромб»?
29.2 В урне находится 3 белых и 4 чёрных шара. Какова вероятность того, что вынутые из
неё наудачу два шара окажутся белыми?
Вариант 30
72
30.1 По цели произведено 50 выстрелов, причём зарегистрировано 38 попаданий. Найти
относительную частоту попаданий в цель.
30.2 В комплекте 10 конвертов, из них два без марки. Найти вероятность того, что среди 3
взятых наудачу конвертов три с маркой.
Задание 6. Теория вероятностей. Теоремы сложения и умножения
вероятностей
Вариант 1
На военных учениях летчик получил задание «уничтожить» 3 рядом расположенных склада
боеприпасов противника. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый
склад примерно равна 0,01, во второй – 0,02, в третий – 0,03.
Любое попадание в результате детонации вызовет взрыв и остальных складов. Какова
вероятность того, что склады противника будут уничтожены?
Вариант 2
Зашедший в магазин мужчина что-нибудь покупает с вероятностью 0,1, а зашедшая
женщина – с вероятностью 0,6. У прилавка один мужчина и две женщины. Какова вероятность
того, что, по крайней мере, одно лицо что-нибудь купит?
Вариант 3
Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя
первого элемента при включении прибора – 0,01, второго – 0,02. Найти вероятность того, что
при включении прибора откажет один элемент.
Вариант 4
Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у
второго – 0,6, у третьего- 0,7. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадёт
только один из стрелков.
Вариант 5.
Студент должен сдать три экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен
p1 =0,5. Вероятность сдать второй экзамен р2 =0,7. Вероятность сдать третий экзамен р3 =0,4.
Какова вероятность, что студент сдаст только два экзамена в сессию.
Вариант 6
Три студента сдают экзамен. Вероятность сдать экзамен у первого студента 0,9, у второго – 0,5,
у третьего-0,3. Найти вероятность того, что из трёх студентов только двое сдадут экзамен.
Вариант 7
Студент должен сдать два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен
p1 =0,9. Вероятность сдать второй экзамен р2 =0,6. Какова вероятность, что студент сдаст
хотя бы один экзамен в сессию.
Вариант 8
Два стрелка, для которых вероятность попадания в мишень равна 0,8 и 0,7, производят по
одному выстрелу в мишень. Найти вероятность:
а) двух попаданий в мишень;
б) хотя бы одного попадания в мишень.
Вариант 9
Для посева берут семена из трёх пакетов. Вероятность прорастания семян в первом пакете
равна 0,9, во втором 0,6, в третьем 0,3. Взяли по одному семени из каждого пакета. Найти
вероятность того, что семена прорастут только из одного пакета.
Вариант 10
73
Студент должен сдать три экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен
p1 =0,8. Вероятность сдать второй экзамен р2 =0,6. Вероятность сдать третий экзамен р3 =0,4.
Какова вероятность, что студент сдаст только один экзамена в сессию.
Вариант 11
Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,7, у
второго – 0,5 , у третьего-0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадёт в
цель хотя бы один стрелок
Вариант 12
Вероятность того, что студент сдаст экзамен на отлично равна 0,7, а его друг – 0,8. Найти
вероятность того, что только один студент сдаст экзамен на отлично.
Вариант 13
Три студента сдают экзамен. Вероятность сдать экзамен у первого студента 0,7, у второго – 0,6,
у третьего-0,5. Найти вероятность того, что из трёх студентов только два сдадут экзамен.
Вариант 14
В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для первой камеры вероятность того, что
она включена в данный момент, равна p=0,6. Для второй камеры вероятность того, что она
включена в данный момент, равна p=0,7. Для третьей камеры вероятность того, что она
включена в данный момент, равна p=0,2.Найти вероятность того, что в данный момент
включена только одна камера.
Вариант 15
Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна 0,9. Стрелок
произвёл 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание.
Вариант 16
Три студента сдают экзамен. Вероятность сдать экзамен у первого студента 0,7, у второго – 0,6,
у третьего-0,4. Найти вероятность того, что из трёх студентов только один сдаст экзамен.
Вариант 17
В двух ящиках находятся детали: в первом – 10 (из них 3 стандартных), во втором – 15 (из
них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность
того, что обе детали окажутся стандартными.
Вариант 18
В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что
она включена в данный момент, равна p=0,6. Найти вероятность того, что в данный момент
включена хотя бы одна камера.
Вариант 19
Для посева берут семена из трёх пакетов. Вероятность прорастания семян в первом пакете
равна 0,8, во втором 0,7, в третьем 0,4. Взяли по одному семени из каждого пакета. Найти
вероятность того, что семена прорастут только из одного пакета.
Вариант 20
Вероятность взять нестандартную деталь из первого ящика равна 0,3, а из второго – 0,2. Из
каждого ящика взяли по одной детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна деталь
нестандартная.
Вариант 21
Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,7, у
второго – 0,5 , у третьего-0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадёт в
цель только один стрелок
Вариант 22
Для посева берут семена из трёх пакетов. Вероятность прорастания семян в первом пакете
равна 0,2, во втором 0,8, в третьем 0,7. Взяли по одному семени из каждого пакета. Найти
вероятность того, что семена прорастут только из двух пакетов.
74
Вариант 23
Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадёт в десятку, равна 0,6. Сколько
выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя
бы один раз?
Вариант 24
Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна
(любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти
вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.
Вариант 25
В студии телевидения 3 камеры. Вероятность того, что камера включена в данный момент,
для первой равна p=0,4, для второй p=0,8, для третьей p=0,6.Найти вероятность того, что в
данный момент включена хотя бы одна камера.
Вариант 26
Для посева берут семена из трёх пакетов. Вероятность прорастания семян в первом пакете
равна 0,6, во втором 0,9, в третьем 0,3. Взяли по одному семени из каждого пакета. Найти
вероятность того, что семена прорастут только из двух пакетов.
Вариант 27
Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым
стрелком – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.
Вариант 28
Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,7, у
второго – 0,5 , у третьего-0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадут в
цель только два стрелка.
Вариант 29
Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что
изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что: а) из трёх проверенных изделий
только одно окажется нестандартным; б) нестандартным окажется только четвёртое по порядку
проверенное изделие.
Вариант 30
На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причём пять из
них в переплёте. Библиотекарь берёт наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя
бы один из взятых учебников окажется в переплёте.
Задание 7. Дискретная случайная величина
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения (см. табл. № варианта).
1. Построить многоугольник распределения.
2. Найти характеристики дискретной случайной величины: М(Х), D(Х), (Х).
3. Найти функцию распределения вероятности F(х) этой случайной величины и построить
ее.
Вариант 1
хi
-1
1
3
5
7
pi
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
Вариант 2
xi
-2
0,5
1
4
10
pi
0,3
0,2
0,1
0,3
0,1
Вариант 3
xi
-3
1,5
2
5
10
20
75
pi
0,1
0,3
0,25
0,15
0,1
xi
-4
2
6
7
8
pi
0,2
0,1
0,2
0,4
0,1
0,1
Вариант 4
Вариант 5
xi
pi
-3
0,1
1
0,2
3
0,4
5
0,12
7
0,18
xi
pi
-2
0,4
0,4
0,25
2
0,05
4
0,17
5
0,13
0,3
0,1
0,6
0,2
Вариант 6
Вариант 7
xi
pi
-1
0,3
1
0,26
3
0,14
5
0,2
7
0,1
Вариант 8
хi
pi
-6
0,3
3
0,1
4
0,3
Вариант 9
xi
pi
-2
0,2
2
0,13
3
0,4
5
0,17
7
0,1
4
0,11
6
0,19
Вариант 10
xi
pi
-7
0,14
0,2
0,26
3
0,3
Вариант 11
xi
pi
-5
0,13
-4
0,27
-1
0,2
3
0,25
6
0,15
xi
pi
-2
0,1
1
0,14
3
0,2
3,5
0,26
5
0,3
Вариант 12
Вариант 13
xi
pi
-5
0,2
-1
0,15
0
0,1
2
0,2
3
0,25
5
0,1
Вариант 14
xi
pi
-3
0,1
0,3
0,2
2
0,14
3
0,36
5
0,2
Вариант 15
xi
pi
-4
0,08
-1
0,12
1
0,25
1,5
0,15
4
0,28
7
0,12
Вариант 16
xi
pi
-5
0,13
-2,5
0,27
-1
0,15
4
0,25
-2
4
6
8
7
0,1
10
0,1
Вариант 17
xi
11
12
76
pi
0,25
0,2
0,2
0,1
0,1
0,15
Вариант 18
xi
pi
-5
0,2
2
0,15
3
0,25
1
0,2
3
0,35
5
0,14
7
0,16
8
0,1
Вариант 19
xi
pi
-2
0,1
5
0,12
6
0,05
7
0,18
Вариант 20
xi
pi
-3
0,14
1
0,2
2
0,36
4
0,17
5
0,13
-4
0,1
0,5
0,1
2
0,3
5
0,2
6
0,3
Вариант 21
xi
pi
Вариант 22
xi
pi
-6
0,2
2
0,1
3
0,3
5
0,2
6
0,1
xi
pi
-1
0,2
5
0,13
6
0,4
10
0,17
7
0,1
Вариант 23
20
0,1
Вариант 24
xi
pi
-7
0,1
2
0,2
4
0,1
7
0,2
9
0,4
xi
pi
-1
0,13
4
0,27
7
0,2
10
0,25
16
0,15
xi
pi
-4
0,1
5
0,14
10
0,2
20
0,26
50
0,3
1
0,3
4
0,15
Вариант 25
Вариант 26
Вариант 27
xi
pi
-7
0,2
-3
0,1
8
0,05
10
0,2
Вариант 28
xi
pi
-1
0,1
0,3
0,2
2
0,14
3
0,36
5
0,2
Вариант 29
xi
pi
-5
0,1
10
0,15
15
0,2
20
0,35
25
0,15
30
0,05
Вариант 30
xi
pi
-3
0,11
7
0,16
10
0,4
15
0,13
22
0,2
77
Задание 8. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон
распределения случайной величины
Вариант 1
Случайная величина X распределена по нормальному закону с дисперсией 25 мм2 и
математическим ожиданием 3 мм. Записать формулу для плотности вероятности случайной
величины X. Найти вероятность того, что ошибка измерения не превзойдёт по абсолютной
величине 1 мм.
Вариант 2
Случайная величина X, распределённая по нормальному закону с математическим
ожиданием 23 кг и среднеквадратическим отклонением 2 кг. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что от случайная величина будет
находится в пределах 20 кг до 25 кг.
Вариант 3
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
50 кг, и среднеквадратическим отклонением 10 кг. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что вес случайно выбранного
школьника находится в диапазоне от 40 кг до 50 кг.
Вариант 4
Случайная величина X, распределённая по нормальному закону с математическим
ожиданием 10 м. и среднеквадратическим отклонением 0,7 м. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что длина куска в случайно
выбранном рулоне обоев будет от 9 м до 10 м.
Вариант 5
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
60 кг, и среднеквадратическим отклонением 5 кг. Записать формулу для плотности вероятности
случайной величины X. Найти вероятность того, что рост случайно выбранного школьника
находится в диапазоне от 55 до 60 кг.
Вариант 6
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
40 м, и среднеквадратическим отклонением 1 м. Записать формулу для плотности вероятности
случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина оказалась в диапазоне
от 39 до 40 м.
Вариант 7
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
100 м, и среднеквадратическим отклонением 1,2 м. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина оказалась
в диапазоне от 95 м. до 100 м.
Вариант 8
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
35 мин, и среднеквадратическим отклонением 5 мин. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина оказалась
в диапазоне от 30 мин. до 40 мин.
Вариант 9
Случайная величина X, распределённая по нормальному закону с математическим
ожиданием, равным 17 т., и среднеквадратическим отклонением, равным 25 кг. Записать
формулу для плотности вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что
случайная величина оказалась в диапазоне от 16,9 т. до 17 т.
Вариант 10
78
Случайная величина X, распределённая по нормальному закону с математическим
ожиданием 100 км и среднеквадратическим отклонением 4 км. Записать формулу для
плотности вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная
величина оказалась в диапазоне от 98 м до 100 м.
Вариант 11
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
10 м, и среднеквадратическим отклонением 0,5 м. Записать формулу для плотности вероятности
случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина оказалась в диапазоне
от 9,8 м до 10 м.
Вариант 12
Случайная величина X, распределённая по нормальному закону с математическим
ожиданием 28 кг и среднеквадратическим отклонением 0,4 кг. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина оказалась
в диапазоне от 28 кг до 28,1 кг.
Вариант 13
Случайная величина X, распределённая по нормальному закону с математическим
ожиданием 17 м и среднеквадратическим отклонением 0.3 м. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, случайная величина оказалась в
диапазоне от 17 м до 17,2 м.
Вариант 14
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
37 град., и среднеквадратическим отклонением 0,4 град. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина оказалась
в диапазоне от 37 град. до 37,2 град.
Вариант 15
Случайная величина X распределена по нормальному закону с дисперсией 125 мм2 и
математическим ожиданием 2,5 мм. Записать формулу для плотности вероятности случайной
величины X. Найти вероятность того, что ошибка измерения не превзойдёт по абсолютной
величине 1 мм.
Вариант 16
Случайная величина X, распределённая по нормальному закону с математическим
ожиданием 23 кг и среднеквадратическим отклонением 2 кг. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина будет
находиться в пределах 20 кг до 25 кг.
Вариант 17
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
50 кг и среднеквадратическим отклонением 10 кг. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что вес случайно выбранного
школьника находится в диапазоне от 40 кг до 50 кг.
Вариант 18
Случайная величина X, распределённая по нормальному закону с математическим
ожиданием 10 м. и среднеквадратическим отклонением 0,7 м. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что длина куска в случайно
выбранном рулоне обоев будет от 9 м до 10 м.
Вариант 19
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
60кг, и среднеквадратическим отклонением 5кг. Записать формулу для плотности вероятности
случайной величины X. Найти вероятность того, что рост случайно выбранного школьника
находится в диапазоне от 55 до 60 кг.
Вариант 20
79
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
40 м, и среднеквадратическим отклонением 1 м. Записать формулу для плотности вероятности
случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина оказалась в диапазоне
от 39 до 40 м.
Вариант 21
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
100 м и среднеквадратическим отклонением 1,2 м. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина оказалась
в диапазоне от 95 м до 100 м.
Вариант 22
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
35 мин, и среднеквадратическим отклонением 5 мин. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина оказалась
в диапазоне от 30 мин. до 40 мин.
Вариант 23
Случайная величина X, распределённая по нормальному закону с математическим
ожиданием, равным 17 т., и среднеквадратическим отклонением, равным 25 кг. Записать
формулу для плотности вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что
случайная величина оказалась в диапазоне от 16,9 т. до 17 т.
Вариант 24
Случайная величина X, распределённая по нормальному закону с математическим
ожиданием 100 км. и среднеквадратическим отклонением 4 км. Записать формулу для
плотности вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная
величина оказалась в диапазоне от 98 м до 100 м.
Вариант 25
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
10 м, и среднеквадратическим отклонением 0,5 м. Записать формулу для плотности вероятности
случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина оказалась в диапазоне
от 9,8 м до 10 м.
Вариант 26
Случайная величина X, распределённая по нормальному закону с математическим
ожиданием 28 кг и среднеквадратическим отклонением 0,4 кг. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина оказалась
в диапазоне от 28 кг до 28,1 кг.
Вариант 27
Случайная величина X, распределённая по нормальному закону с математическим
ожиданием 17 м и среднеквадратическим отклонением 0,3 м. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, случайная величина оказалась в
диапазоне от 17 м до 17,2 м.
Вариант 28
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
37 град. и среднеквадратическим отклонением 0,4 град. Записать формулу для плотности
вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина оказалась
в диапазоне от 37 град. до 37,2 град.
Приложение №3
Оформление самостоятельной работы по модулю №1, №2 должно содержать:
80
1. Титульный лист.
2. Содержание индивидуального задания (ИДЗ№1, 2) студента.
3. Решение задач индивидуального задания (ИДЗ) студента.
Раздел 3 самостоятельной работы по модулю №1, 2 должен включать:
1. подробное описание хода решения задач индивидуального задания (ИДЗ) студента;
2. ссылки на теоретический материал, формулы.
Пример оформления титульного листа самостоятельной работы (ИДЗ)
Министерство образования Российской
Федерации
Тольяттинский государственный
университет
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «МАТЕМАТИКА И
ИНФОРМАТИКА»
модуль№
Выполнил
студент гр. ПП -101 Петров П.П.
Проверил
преподаватель Иванов И.И.
Тольятти 200..
Приложение №4
( х)
Таблица значений функции
Ф(х) =
1 x z2 2
dz
e
2 0
0.4
Ф(х)
0.3
0.2
0.1
0.5
х
1
1.5
x
х
Ф(х)
х
Ф(х)
х
Ф(х)
х
Ф(х)
0,00
0,01
0,02
0,0000
0,0040
0,0080
0,30
0,31
0,32
0,1179
0,1217
0,1255
0,60
0,61
0,62
0,2257
0,2291
0,2324
0,90
0,91
0,92
0,3159
0,3186
0,3212
81
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
1,30
0,4032
1,70
0,4554
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
82
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
4,50
0,499997
5,00
0,499997
83