6 Формы контроля знаний студентов

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления подготовки бакалавра 230100.62 Информатика и вычислительная техника
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
“Высшая школа экономикиˮ»
Московский институт электроники и математики
Департамент компьютерной инженерии
Рабочая программа дисциплины «Дискретная математика»
для образовательной программы “ Информатика и вычислительная техника”
направления подготовки 09.03.01 “ Информатика и вычислительная техника”
уровень” бакалавр”
Разработчик программы:
Бусяцкая И.К., кандидат физико-математических наук, доцент, irina.busjatskaja@yandex.ru
Одобрена на заседании департамента компьютерной инженерии __ ____________ 2015 г.
Руководитель департамента
А. В. Белов
_____________________
Рекомендована Академическим советом образовательной программы
___ ____________ 2015г.,
№ протокола ----------------------Утверждена ___ _____________2015 г.
Академический руководитель образовательной программы
Т.А.Потапова
________________________
Москва, 2015
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры − разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления подготовки бакалавра 230100.62 Информатика и вычислительная техника
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные
требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных
занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину,
учебных ассистентов и студентов
направления 230100.62 «Информатика и
вычислительная техника».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом ФГОС
 Образовательной программой 230100.62 «Информатика и вычислительная
техника».
 Рабочим учебным планом университета по направлению 230100.62
«Информатика и вычислительная техника», специализации «Информационнокоммуникационные технологии».
2 Цели освоения дисциплины
 знакомство с понятиями дискретной математики как основы значительной части
теории информационных систем
– освоение основных приемов решения практических задач по темам дисциплины;
 развитие навыков математического моделирования практических задач
связанных с конечными множествами.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать базовые понятия дисциплины
 Понимать доказательства ключевых теорем курса
 Иметь навыки использования математического аппарата дисциплины в
дальнейшей учебной и профессиональной деятельности
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
способность учится, приобретать новые знания и умения, в том числе в области,
отличной от профессиональной ( СК-Б1);
способность решать проблемы в профессиональной деятельности на основе
анализа и синтеза (СК-Б4);
способность работать с информацией: находить, оценивать и использовать
информацию из различных источников, необходимую для решения научных и
профессиональных задач ( в том числе на основе системного подхода ) (СК-Б6);
способность корректно применять при решении профессиональных задач
аппарат математических и естественных наук (ИК-С2);
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления подготовки бакалавра 230100.62 Информатика и вычислительная техника
способность разрабатывать и исследовать математические модели в задачах
проектирования и технологического обеспечения объектов профессиональной
деятельности ( ИК-1)
4 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к базовой части профессионального цикла
дисциплин .
5 Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Всего
часов
Название раздела
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
Общие правила комбинаторики. Конечные
выборки.
Размещения, перестановки и сочетания.
Свойства биноминальных коэффициентов.
Треугольник Паскаля.
Разбиения и раскладки. Перестановки
данного состава.
Формула включений и исключений.
Производящие функции. Операции над
производящими функциями.
Рекуррентные соотношения.
Рациональные производящие функции.
Основные понятия теории графов.
Изоморфизм графов.
Эйлеровы и гамильтоновы графы.
Укладки графов. Планарные графы.
Раскраска графов.
Орграфы и потоки в сетях.
10
2
2
6
13
3
4
6
14
3
3
8
12
20
3
4
3
6
6
10
22
4
6
12
13
2
3
8
13
15
8
12
2
4
2
3
3
7
2
3
8
4
4
6
Итого:
152
32
42
78
6 Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Форма
контроля
Контрольн
ая работа
Домашнее
задание
Параметры
1
2
3
8
4
Письменная работа 80
минут
7
Письменная работа
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления подготовки бакалавра 230100.62 Информатика и вычислительная техника
Итоговый
Экзамен
*
Устный
6.1. Критерии оценки знаний, навыков
На контрольной работе студент должен применять математический аппарат к
решению конкретных задач.
В домашней работе студент должен самостоятельно применять изученные методы
к решению поставленных задач и приготовить отчет по результатам выполненной работы.
На экзамене студент должен уметь выявлять сущность математических проблем,
логически верно и аргументировано излагать доказательства теорем, понимать связи
между различными понятиями курса.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной
шкале.
7
Содержание дисциплины
Изложение строится по разделам и темам. Содержание темы может распределяться
по лекционным и практическим занятиям.
Раздел 1. Общие правила комбинаторики. Конечные выборки.
Правила суммы и произведения. Элементы теории множеств. Инъективные и
сюрьективные отображения. Определение выборки (упорядоченной и неупорядоченной) с
повторениями и без повторений. Примеры.
Аудиторная работа - 4 часа.
Самостоятельная работа - 6 часов:
- подготовка к лекциям и практическим занятиям
- выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
Раздел 2. Размещения, перестановки и сочетания. Свойства биномиальных
коэффициентов. Треугольник Паскаля.
Размещения, перестановки и сочетания. Формулы для подсчета числа размещений
из n элементов по k (c повторениями и без повторений). Формулы для подсчета числа
сочетаний из n элементов по k (с повторениями и без повторений). Примеры. Бином
Ньютона и свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.
Аудиторная работа - 7 часов.
Самостоятельная работа - 6 часов:
- подготовка к лекциям и практическим занятиям
- подготовка к контрольной работе
- выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
Раздел 3. Разбиения и раскладки. Перестановки данного состава.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления подготовки бакалавра 230100.62 Информатика и вычислительная техника
Задача разбиения конечного множества на подмножества. Задачи раскладки n
различных или одинаковых предметов по k различным ящикам. Формула для числа
перестановок данного состава. Примеры.
Аудиторная работа - 6 часов.
Самостоятельная работа - 8 часов:
- подготовка к лекциям и практическим занятиям
- подготовка к контрольной работе
- выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
Раздел 4. Формула включений и исключений.
Формула включений и исключений. Примеры использования этой формулы (число
беспорядков, число сюрьективных отображений и т.п.).
Аудиторная работа – 6 часов.
Самостоятельная работа – 6 часов:
- подготовка к лекциям и практическим занятиям
- подготовка к контрольной работе
- выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
Раздел 5. Производящие функции. Операции над производящими функциями.
Определение производящих функций и операций над ними. Свойства производящих
функций (линейность, сдвиг начала, подобие, дифференцирование, свертка). Составление
таблицы производящих функций.
Аудиторная работа - 10 часов.
Самостоятельная работа - 10 часов:
- подготовка к лекциям и практическим занятиям
- выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях
- подготовка к домашней контрольной работе.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
Раздел 6. Рекуррентные соотношения. Рациональные производящие функции.
Однородные линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами
порядка r. Теорема о рациональных производящих функциях. Последовательность чисел
Фибоначчи.
Аудиторная работа - 10 часов.
Самостоятельная работа - 12 часов:
- подготовка к лекциям и практическим занятиям
- подготовка к домашней контрольной работе
- выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
Раздел 7. Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления подготовки бакалавра 230100.62 Информатика и вычислительная техника
Основные понятия теории графов: вершины, ребра, петли, кратности вершин, пути,
цепи, циклы, простые графы. Регулярные, полные, связные, двудольные графы. Матрица
смежности. Изоморфизм графов.
Аудиторная работа - 5 часов.
Самостоятельная работа - 8 часов:
- подготовка к лекциям и практическим занятиям
- подготовка к домашней контрольной работе
- выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
Раздел 8. Эйлеровы и гамильтоновы графы.
Эйлеровы и полуэйлеровы графы. Критерий эйлеровости и полуэйлеровости графа.
Гамильтоновы и полугамильтоновы графы. Достаточные условия гамильтоновости графа.
Аудиторная работа – 5 часов.
Самостоятельная работа – 8 часов:
- подготовка к лекциям и практическим занятиям
- выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
- подготовка к домашней контрольной работе
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
Раздел 9. Укладки графов. Планарные графы.
Понятие укладки графа. Планарные графы и примеры не планарных графов.
Теорема Эйлера для многогранников. Гомеоморфизм графов. Теорема ПонтрягинаКуратовского. Укладка графов на топологических поверхностях. Теорема Кенига.
Аудиторная работа – 11 часов.
Самостоятельная работа – 4 часа:
- подготовка к лекциям и практическим занятиям
- выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
Раздел 10. Раскраска графов.
Понятие раскраски графа. Хроматическое число графа. Оценка хроматического
числа планарного графа. Гипотеза четырех красок. Раскрашивание карт.
Аудиторная работа - 4 часа.
Самостоятельная работа – 4 часа:
- подготовка к лекциям и практическим занятиям
- выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
Раздел 11. Орграфы и потоки в сетях.
Ориентированные графы. Сети и потоки в сетях. Разрезы и их пропускная
способность. Максимальные потоки и минимальные разрезы. Теорема Форда-Фалкерсона.
Аудиторная работа - 6 часов.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления подготовки бакалавра 230100.62 Информатика и вычислительная техника
Самостоятельная работа - 6 часов:
- подготовка к лекциям и практическим занятиям
- выполнение задания по текущему контролю: письменная контрольная работа,
выполняемая в аудитории.
- выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
8 Образовательные технологии
При реализации различных видов учебной работы используются активные формы
проведения занятий - разбор практических задач, обсуждение фундаментальных понятий
курса и их взаимосвязей, выявление связей с другими математическими дисциплинами,
построение математических моделей практических задач.
9 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1. Тематика заданий текущего контроля
Примерный вариант контрольной работы.
1. Сколькими способами можно разделить 7 одинаковых яблок и 6 одинаковых груш
между тремя детьми?
2. Сколько различных
«слов» можно получить, переставляя буквы слова
«колокольня»?
3. Сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды 52 карт таким образом,
чтобы среди них были карты всех четырех мастей?
4. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут
разбиться на две команды по четыре человека, если в каждую команду должен
входить хотя бы один юноша?
5. В многочлене (1 + 3x − 2x 4 )6 найти коэффициент при x13 .
6. Найти количество натуральных чисел, не превосходящих 3950 и не делящихся
ни на одно из чисел 6, 14, 21 ?
Примерный вариант домашней контрольной работы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления подготовки бакалавра 230100.62 Информатика и вычислительная техника
1. Найти число решений уравнения
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 53
где 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 − целые числа такие, что
5 ≤ 𝑥1 ≤ 15,
6 ≤ 𝑥2 ≤ 16,
2 ≤ 𝑥3 ≤ 13,
7 ≤ 𝑥4 ≤ 19
2. Найти последовательность 𝑎𝑛 , удовлетворяющую рекуррентному соотношению
и начальным условиям
𝑎𝑛+3 − 3𝑎𝑛+2 + 𝑎𝑛+1 − 3𝑎𝑛 = 0,
𝑎0 = 3, 𝑎1 = 7, 𝑎2 = 27
3. Используя производящую функцию, найти последовательность
удовлетворяющую рекуррентному соотношению и начальным условиям
𝑎𝑛+2 + 𝑎𝑛+1 − 6𝑎𝑛 = 5 ∙ 2𝑛+1 , 𝑎0 = 2, 𝑎1 = 1
4.
𝑎𝑛 ,
Даны графы. Доказать, что эти графы не изоморфны.
5.Дан граф. Определить является ли этот граф эйлеровым или полуэйлеровым.
Если да, то найти соответствующие эйлеров цикл или эйлерову цепь.
6. Найти максимальный поток и минимальный разрез в следующей сети (сеть явно
указывается).
9.2. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Метод математической индукции. Привести примеры использования метода
математической индукции.
Дать определение инъективного, сюрьективного и биективного отображений.
Привести примеры.
Сформулировать правила суммы и произведения. Привести примеры.
Дать определение размещения без повторений. Вывести формулу для числа
размещений без повторений. Перестановки. Привести примеры.
Дать определение сочетаний без повторений. Вывести формулу для числа
сочетаний без повторений. Привести примеры.
Дать определение размещения с повторениями. Вывести формулу для числа
размещений с повторениями. Привести примеры.
Дать определение сочетаний с повторениями. Вывести формулу для числа
сочетаний с повторениями. Привести примеры.
Разбиение конечного множества на подмножества. Вывести формулу для числа
разбиений. Дать определение перестановки данного состава. Вывести формулу
для числа перестановок данного состава. Привести примеры.
Раскладки. Вывести формулу для числа способов размещения различных
предметов по различным ящикам. Привести примеры.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления подготовки бакалавра 230100.62 Информатика и вычислительная техника
10. Раскладки. Вывести формулу для числа способов размещения одинаковых
предметов по различным ящикам. Привести примеры.
11. Ввести формулу для числа целочисленных неотрицательных решений
уравнения
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑘 = 𝑛
12. Дать определение биноминальных коэффициентов. Вывести бином Ньютона.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
Вывести формулы для биноминальных коэффициентов. Дать определение
треугольника Паскаля. Ввести свойства треугольника Паскаля.
Дать определения пересечения, объединения, дополнения множеств. Вывести
формулу включений и исключений. Привести примеры.
Привести решение задачи о “беспорядках”.
Привести решение задачи подсчета числа “счастливых билетов”.
Вывести формулу для числа сюрьективных отображений.
Дать определение производящей функции последовательности. Формальные
степенные ряды и действия с ними. Алгебра Коши.
Доказать свойства производящих функций: линейность, сдвиг начала, подобие.
Привести примеры.
Доказать
свойства
производящих
функций:
дифференцирование,
интегрирование, свертка. Привести примеры.
Вывести формулы из таблицы производящих функций.
Вывести формулу для производящей функции последовательности числа
сочетаний с повторениями.
Дать определение рекуррентного соотношения. Рассмотреть пример подсчета
числа “правильных скобочных структур”. Изложить способ подсчета чисел
Каталана.
Рациональные производящие функции. Доказать теорему о рациональных
производящих функциях.
Вывести следствие из теоремы о рациональных производящих функциях.
Изложить метод решения однородных линейных рекуррентных соотношений с
постоянными коэффициентами.
Применить метод решения однородных линейных рекуррентных соотношений
с постоянными коэффициентами для нахождения членов последовательности
Фибоначчи.
Изложить на примерах метод нахождения последовательностей заданных
неоднородными
рекуррентными
соотношениями
с
использованием
производящих функций.
Дать определения графа, петли, кратного ребра, простого графа, степени
вершины, изолированной и висячей вершин. Привести примеры.
Доказать лемму о рукопожатиях. Вывести следствие из этой леммы.
Дать определение полных, двудольных, полных двудольных, циклических
графов. Граф Петерсена, платоновы графы, регулярные графы.
Дать определения смежных вершин графа, инцидентности. Матрица
смежности. Привести примеры.
Дать определения маршрута, замкнутого маршрута, цепи, простой цепи, цикла,
простого цикла в графе. Привести примеры.
Дать определение изоморфизма графов. Привести примеры изоморфных и
неизоморфных графов. Привести необходимые условия изоморфизма графов.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления подготовки бакалавра 230100.62 Информатика и вычислительная техника
33. Привести связь между матрицами смежности изоморфных графов. Описать все
простые графы с тремя и четырьмя вершинами с точностью до изоморфизма.
34. Дать определения связного графа, компоненты связности. Привести примеры.
Дать определение подграфа, дополнения, самодополнительного графа.
Привести примеры.
35. Дать определения эйлерова и полуэйлерова графов. Рассказать о задаче
Эйлера о “Кенигсбергских мостах”.
36. Доказать лемму о достаточном условии наличия цикла в графе.
37. Доказать теорему Эйлера (критерий эйлеровости графа). Вывести из этой
теоремы критерий полуэйлеровости графа.
38. Изложить алгоритм построения эйлерова цикла в графе. Привести примеры
использования этого алгоритма.
39. Дать определение гамильтонова цикла, гамильтоновой цепи, гамильтонова и
полугамильтонова графа. Привести примеры. Показать, что платонов граф
додекаэдра являются гамильтоновым.
40. Вывести необходимое условие гамильтоновости двудольного графа
(достаточное условие не гамильтоновости). Привести пример.
41. Сформулировать достаточные условия гамильтоновости графа.
42. Доказать, что граф Петерсена не гамильтонов (но полугамильтонов).
43. Доказать, что любой граф может быть уложен в R3.
44. Дать определения планарного графа. Доказать теорему Эйлера о
многогранниках.
45. Вывести из теоремы Эйлера о многогранниках неравенство Р≤ 3В-6 для
простого связного графа. Вывести из этого результата, что в любом простом
планарном графе существует вершина, степень которой не превосходит пяти.
46. Доказать, что графы К5 и К3,3 не планарны.
47. Дать определение гомеоморфных графов. Сформулировать теорему
Понтрягина – Куратовского (критерий планарности). Привести примеры.
48. Доказать, что граф Петерсена не планарен.
49. Дать определение k – раскрашиваемого графа и хроматического числа графа.
Привести примеры.
50. Найти хроматические числа платоновых графов.
51. Доказать теорему об оценке хроматического числа графа через максимум
степеней его вершин.
52. Доказать теорему раскраски простого планарного графа в шесть цветов.
53. Сформулировать гипотезу о четырех красках. Объяснить связь раскраски графа
с раскраской плоских карт.
54. Дать определения ориентированного графа, сети, потока в сети, разреза,
пропускной способности разреза, минимального разреза, максимального
потока.
55. Доказать теорему Форда – Фалкерсона. Изложить алгоритм нахождения
максимального потока и минимального разреза. Привести примеры его
использования.
10. Порядок формирования оценок по дисциплине
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления подготовки бакалавра 230100.62 Информатика и вычислительная техника
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских занятиях: активность
студентов при обсуждении фундаментальных понятий курса, правильность решения задач
и ответов на вопросы преподавателя на семинаре. Оценки за работу на семинарских и
практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная
оценка по 10-ти балльной шкале за работу на практических занятиях определяется перед
итоговым контролем - Оаудиторная .
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по
текущему контролю следующим образом:
Онакопленная= 0,75 · Отекущий + 0,25 · Оаудиторная ,
где
Отекущий
рассчитывается как взвешенная сумма всех форм текущего
контроля, предусмотренных в РУП
Отекущий = 0,5 · Ок/р + 0,5 Одз .
Способ округления накопленной оценки текущего контроля - арифметический.
Экзамен проходит в конце четвертого модуля.
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:
Орезульт = 0,5 · Онакопл + 0,5 · Оэкзамен
Способ округления результирующей оценки - арифметический.
В диплом выставляет результирующая оценка полученная на экзамене.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
.
11.1. Базовые учебники и задачники
Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин Комбинаторика. М. ФИМА,
МЦНМО, 2013.
Р. Уилсон Введение в теорию графов. М. Мир, 1977.
В.Н. Нефедов, В.А. Осипова Курс дискретной математики. М. МАИ, 1992.
Г.П. Гаврилов, А.А. Сапоженко Задачи и упражнения по дискретной математике
М. Физматлит, 2004.
11.2. Дополнительная литература
Ф. Харари, Теория графов, Мир, М., 2003 (библ. индекс 519 Х-20)
И. Г. Болтянский, В. А. Ефремович, Наглядная топология, Наука, М., 1982
Г. Рингель, Задача о раскраске карт, Мир, М., 1977
Ю. П. Шевелев, Дискретная математика, Лань, М., 2008