Линейная алгебра - Официальный сайт Индустриального

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДЕН
на заседании кафедры
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
Заведующий кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин
_______________________Т.Ю.Ходаковская
(под (подпись, расшифровка подписи)
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
38.03.01 (080100.62) ЭКОНОМИКА
ФИНАНСЫ И КРЕДИТ
БАКАЛАВР
Курск – 201_
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
Раздел 1Комплексные числа и теория многочленов ПК-1, ПК-3, ПК-4.
Числа какого вида называются комплексными числами? Что называется
действительной и мнимой частью комплексного числа? Какие комплексные числа
называются равными?
2 Что называется суммой двух комплексных чисел? Какими свойствами обладает
операция сложения двух комплексных чисел?
3 Что называется разностью двух комплексных чисел? Выведите формулу для
определения разности двух комплексных чисел.
4 Что называется произведением двух комплексных чисел? Какими свойствами
обладает операция умножения двух комплексных чисел? Как на практике
осуществляется умножение комплексных чисел?
5 Что называется частным от деления двух комплексных чисел? Выведите формулу
для определения частного двух комплексных чисел. Какое число называется
комплексно сопряженным данному? Как на практике осуществляется деление
комплексных чисел?
6 Как геометрически можно интерпретировать комплексные числа? Что называется
модулем и аргументом комплексного числа? Какая форма записи называется
тригонометрической формой записи комплексного числа? Выведите формулы для
умножения и деления комплексных чисел, представленных в тригонометрической
форме. Выведите формулу для возведения в степень комплексных чисел,
представленных в тригонометрической форме.
7 Что называется корнем n-й степени из комплексного числа? Выведите формулу
для определения корней n-й степени из комплексного числа. Каково их взаимное
расположение на плоскости?
8 Какая формула называется формулой Эйлера? Какая форма записи комплексного
числа называется показательной формой записи комплексного числа? Как
осуществляются операции над комплексными числами, представленными в
показательной форме?
9 Что называется многочленом степени n? Какие многочлены называются равными?
Как осуществляются сложение, вычитание, умножение и деление многочленов?
10 Что называется корнем многочлена? Какой корень называется корнем кратностик?
Сформулируйте теорему Безу и следствия к ней. Что такое схема Горнера? Для
чего она используется?
11 Сформулируйте основную теорему алгебры. Сформулируйте правила подбора
рациональных корней для уравнений с целыми коэффициентами. Сформулируйте
алгоритм разложения многочленов с действительными коэффициентами на
линейные и квадратичные множители.
12 Сформулируйте алгоритм разложения рациональных дробей на простейшие.
1
Раздел 2 Матрицы и определители ОК-13, ПК-1, ПК-2, ПК-4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Что называется матрицей? Как классифицируются матрицы в зависимости от
размера? Как классифицируются матрицы в зависимости от значений их
элементов? Какие матрицы называются равными?
Что называется суммой матриц? Любые ли матрицы можно складывать? Как на
практике осуществляется сложение матриц? Какими свойства обладает операция
сложение матриц?
Что называется разностью матриц? Выведите формулу для определения разности
двух матриц.
Что называется умножением матрицы на число? Любые ли матрицы можно
умножать на число? Как на практике осуществляется умножение матрицы на
число? Какими свойствами обладает операция умножения матриц на число?
Что называется произведением двух матриц? Всегда ли можно определить
умножение двух матриц? Какими свойствами обладает операция умножения двух
матриц? Какие матрицы называются коммутативными? Приведите примеры
матриц, являющихся коммутативными по отношению к любым матрицам.
Какие операции над матрицами называются элементарными преобразованиями
матриц? Как называются матрицы, получающиеся одна из другой при помощи
элементарных преобразований? Сформулируйте алгоритм приведения матрицы к
треугольному виду. Любая ли матрица может быть приведена к треугольному
виду?
Какая операция над матрицами называется транспонированием матрицы?
Сформулируйте и докажите свойства операции транспонирования.
Запишите формулы для вычисления определителей 1,2,3 порядков.
В каких случаях определитель равен нулю? Сформулируйте соответствующие
свойства и докажите.
Какие операции над элементами определителя изменяют его величину?
Сформулируйте соответствующие свойства и докажите.
Какие операции над элементами определителя не изменяют его величины?
Сформулируйте соответствующие свойства и докажите.
Что называется дополнительным минором и алгебраическим дополнением для
элемента определителя? Какими свойствами они обладают?
Сформулируйте и обоснуйте практические правила вычисления определителей
порядка n  4.
Выведите формулу для вычисления определителя двух квадратных матриц.
Какая матрица называется невырожденной? Какая матрица называется обратной? У
любой ли матрицы существует обратная? Какими свойствами обладает операция
нахождения обратной матрицы? Сформулируйте и докажите. Выведите формулу
для вычисления обратной матрицы.
Что называется минором порядка кдля матрицы? Что называется рангом матрицы?
Что называется базисным минором? Какие теоремы о рангах Вам известны?
Сформулируйте и докажите. Какие практические правила определения ранга
матрицы Вам известны? Сформулируйте и обоснуйте. Какие матрицы называются
подобными? Как связаны их ранги?
Раздел 3 Системы линейных уравнений ПК-1, ПК-2, ПК-4
1
2
3
4
5
Система какого вида называется системой m линейных уравнений с n
неизвестными? Что называется коэффициентами при неизвестных? Что называется
свободными членами? Что называется решением системы? Решение какого вида
называется тривиальным? Решение какого вида называется нетривиальным? Какая
существует классификация систем m линейных уравнений с n неизвестными в
зависимости от числа решений? Какая существует классификация систем m
линейных уравнений с n неизвестными в зависимости от свойств свободных
членов?
Что называется матрицей системы m линейных уравнений с n неизвестными? Что
называется расширенной матрицей системы m линейных уравнений с n
неизвестными? Сформулируйте и обоснуйте метод Гаусса решения системы m
линейных уравнений с n неизвестными.
Что называется определителем системы n линейных уравнений с n неизвестными?
Определители какого вида называются вспомогательными определителями для
системы n линейных уравнений с n неизвестными. Сформулируйте и докажите
правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.
Сформулируйте и докажите критерий существования ненулевых решений у
системы n линейных уравнений с n неизвестными. Когда система n линейных
уравнений с n неизвестными имеет только тривиальное решение? Сформулируйте
и докажите.
Сформулируйте и докажите теорему Кронекера - Копелли о совместности системы
m линейных уравнений с n неизвестными.
Сформулируйте и обоснуйте правило применения обратных матриц для решения
систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Раздел 4 Линейные пространства и подпространства ОК-13, ПК-1, ПК-2, ПК-3
1
2
3
Что называется линейным пространством? Приведите примеры.
Что называется линейной комбинацией векторов? Какая система векторов
называется линейно зависимой? Какая система векторов называется линейно
независимой? Сформулируйте и докажите критерий линейной зависимости
системы векторов в произвольном пространстве. Сформулируйте и докажите
частные случаи линейной зависимости и независимости системы векторов в
произвольном пространстве.
Какое линейное пространство называется конечномерным? Что называется
размерностью конечномерного линейного пространства? Как обозначаются такие
4
5
6
линейные пространства? Какое пространство называется бесконечномерным? Как
обозначаются такие линейные пространства?
Что называется базисом линейного пространства? Как выбирают базис в
конечномерном линейном пространстве? Сформулируйте и докажите
соответствующую теорему. Сколько базисов можно выбрать в конечномерном
линейном пространстве?
Что называется координатами вектора в базисе? Докажите терему о
единственности разложения вектора по базису. Сформулируйте и докажите
критерий линейной независимости системы векторов в конечномерном линейном
пространстве.
Что называется матрицей перехода от одного базису к другому в конечномерном
линейном пространстве? Запишите соответствующие формулы. Выведите формулы
для связи координат одного и того же вектора в двух базисах одного и того же
конечномерного линейного пространства.
Раздел 5
Линейные преобразования линейных пространств (линейные
операторы) ОК-13, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4
1
2
3
4
5
6
7
Что называется преобразованием линейного пространства? Преобразования какого
вида называются линейными преобразованиями? Опишите алгоритм, согласно
которому каждому линейному преобразованию в конечномерном линейном
пространстве с фиксированным базисом, ставится в соответствие единственная
квадратная матрица. Возможно ли обратное?
Выведите формулы для связи матриц одного и того же линейного преобразования в
двух базисах одного и того же конечномерного линейного пространства.
Докажите инвариантность определителя матрицы линейного преобразования.
Какое
линейное
преобразование
называется
тождественным?
Какое
преобразование называется невырожденным? Какое преобразование называется
вырожденным? Сформулируйте и докажите критерий невырожденности линейного
преобразования конечномерного линейного пространства.
Что называется линейным подпространством линейного пространства?
Сформулируйте достаточный признак того, что некоторое множество является
линейным подпространство линейного пространства. Приведите примеры
линейных подпространств.
Что называется ядром линейного преобразования? Какими свойствами оно
обладает? Что называется множеством значений линейного преобразования?
Какими особыми свойствами обладает пространство решений линейной
однородной системы? Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего
решения однородной
системы m линейных уравнений с n неизвестными.
Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения неоднородной
системы m линейных уравнений с n неизвестными.
Какой вектор называется собственным вектором линейного преобразования?
Может ли он быть нулевым? Что называется собственным значением линейного
преобразования? Сколько различных собственных значений может иметь
собственный вектор?
9 Что называется характеристическим многочленом? Как он получается? Запишите
вывод. Что называется характеристическим числом линейного преобразования?
Докажите, что вид характеристического многочлена линейного преобразования не
зависит от выбора базиса.
10 Что называется спектром линейного преобразования? Какой спектр называется
простым? Докажите теорему о независимости системы векторов, составленной из
собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям.
11 Когда в линейном пространстве можно выбрать базис из собственных векторов? В
каком случае матрица линейного преобразования может быть приведена к
диагональному виду?
8
Раздел 6 Евклидовы пространства ОК-13, ПК-1
1
2
3
4
5
Какое пространство называется евклидовым? Что называется скалярным
произведением? Запишите и докажите неравенство Коши – Буняковского.
Что называется длиной вектора в евклидовом пространстве? Какими она обладает
свойствами? Что называется углом между векторами в евклидовом пространстве?
Какие векторы называются ортогональными? Какая система векторов называется
ортонормированной? Докажите, что система ортонормированных векторов
является линейно независимой.
Докажите,
что
в
конечномерном
евклидовом
пространстве
можно
ортонормированный базис.
Преобразование какого вида называется ортогональным? Какими свойствами
обладает матрица ортогонального преобразования?
Преобразование какого вида называется симметрическим преобразованием?
Какими свойствами обладает матрица симметрического преобразования?
Раздел 7 Векторная алгебра ОК-13, ПК-1, ПК-2, ПК-5
1
2
Что называется вектором? Что называется длиной вектора? Какой вектор
называется нулевым вектором? Какие векторы называются коллинеарными? Какие
векторы называются сонаправленными, противоположно направленными? Какие
векторы называются равными?
Какой вектор называется суммой двух векторов? Какими свойствами обладает
операция сложения двух векторов? Какие практические правила сложения двух
векторов Вам известны?
3
4
5
Какой вектор называется произведением вектора на число? Какими свойствами
обладает операция умножения вектора на число?
Сформулируйте и докажите критерий коллинеарности двух векторов на плоскости.
Какие векторы на плоскости являются линейно независимыми? Сформулируйте и
докажите. Какими свойствами обладают векторы плоскости, исходящие из одной
точки?
Какие векторы называются компланарными? Сформулируйте и докажите критерий
3
компланарности векторов в R . Какими свойствами обладают векторы реального
3
пространства R , исходящие из одной точки?
3
Какая система координат в пространстве R называется прямоугольной системой
координат? Как определяются координаты точки? Какой вектор называется радиусвектором? Как определяются его координаты? Как вводятся координаты вектора в
общем случае? Как выполняются действия над векторами, заданными своими
координатами? Выведите формулу, для определения координат вектора, если
известны координаты начала и конца вектора.
7 Как определяется угол между векторами? Всегда ли его можно определить
однозначно? Что называется скалярной проекцией вектора на ось? Сформулируйте
и докажите свойства скалярной проекции на ось. Каков геометрический смысл
координат вектора?
8 Что называется скалярным произведением векторов? Сформулируйте и докажите
свойства скалярного произведения векторов. Выведите формулу для определения
скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Какие
геометрические приложения скалярного произведения векторов Вам известны?
Сформулируйте и докажите признак перпендикулярности двух векторов.
9 Какая тройка векторов называется правой? Что называется векторным
произведением двух векторов? Сформулируйте и докажите свойства векторного
произведения векторов. Выведите формулу для определения векторного
произведения векторов, заданных своими координатами. Какие геометрические
приложения векторного произведения векторов Вам известны? Сформулируйте и
докажите признак коллинеарности двух векторов.
10 Что называется смешанным произведением трех векторов? Сформулируйте и
докажите свойства смешанного произведения векторов. Выведите формулу для
определения смешанного произведения векторов, заданных своими координатами.
Какие геометрические приложения смешанного произведения векторов Вам
известны? Сформулируйте и докажите критерий компланарности трех векторов.
6
Раздел 8Прямая и плоскость ОК-13, ПК-1, ПК-2, ПК-5
1
Выведите уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно
ненулевому вектору. Выведите уравнение плоскости, проходящей через точку,
2
3
4
5
6
7
8
параллельно двум неколлинеарным векторам. Выведите уравнение плоскости,
проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
Уравнение какого вида называется общим уравнением плоскости? Каков
геометрический смысл коэффициентов данного уравнения? Уравнение какого вида
является общим уравнением прямой на плоскости? Какой вектор называется
нормальным к плоскости? Какой вектор называется нормальным вектором к
прямой на плоскости?
Уравнение плоскости какого вида называется уравнением плоскости «в отрезках»?
Каков геометрический смысл коэффициентов? Всегда ли от общего уравнения
плоскости можно перейти к уравнению плоскости «в отрезках»?
Каким может быть взаимное расположение плоскостей в пространстве? Как по
коэффициентам в уравнениях плоскостей установить их взаимное расположение?
Как определить угол между плоскостями?
Выведите уравнение прямой, проходящей через точку, параллельно ненулевому
вектору (каноническое и параметрическое) в пространстве. Как будет выглядеть
соответствующее уравнение на плоскости? Выведите уравнение прямой,
проходящей через две точки (каноническое и параметрическое). Как будет
выглядеть соответствующее уравнение на плоскости?
Что называется общим уравнением прямой в пространстве? Как от него перейти к
каноническому (параметрическому)? Всегда ли две плоскости в пространстве
задают прямую?
Каким может быть взаимное расположение двух прямых в пространстве? Как по
коэффициентам уравнений, задающих прямые, определить их взаимное
расположение? Сформулируйте и докажите признак принадлежности двух прямых
одной плоскости. Как определить угол между прямыми?
Каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве?
Как по коэффициентам соответствующих уравнений определить взаимное
расположение прямой и плоскости? Как определяется точка пересечения прямой и
плоскости? Как определяется расстояние от точки до плоскости? Как определяется
расстояние от точки до прямой?
Раздел 9 Кривые и поверхности второго порядка ОК-13, ПК-1, ПК-2, ПК-3
9
Что называется окружностью? Каким уравнением задается окружность с центром в
точке M  x0 , y0  радиуса R?
10 Что называется эллипсом? Какие точки называются фокусами эллипса? Как
выглядит простейшее (каноническое) уравнение эллипса? Что называется
фокальными радиус - векторами точки эллипса? Что называется эксцентриситетом
эллипса?
11 Что называется гиперболой? Какие точки называются фокусами гиперболы? Как
выглядит простейшее (каноническое) уравнение гиперболы? Какие точки
называются вершинами гиперболы? Что называется эксцентриситетом гиперболы?
12 Что называется параболой? Что называется фокусом и директрисой параболы? Как
выглядит простейшее (каноническое) уравнение параболы?
13 Опишите способы приведения к каноническому виду кривых второго порядка.
14 Что называется сферой? Каким уравнением задается сфера с центром в точке
M  x0 , y0 , z0  радиуса R.
15 Запишите канонические уравнения цилиндров: эллиптического, гиперболического,
параболического.
16 Запишите уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат и
осью OZ (OX, OY).
17 Запишите канонические уравнения: эллипсоида, однополостного гиперболоида,
двуполостного гиперболоида.
18 Запишите
канонические
уравнения:
эллиптического
параболоида,
гиперболического параболоида.
19 Опишите алгоритм построения поверхностей второго порядка методом
параллельных сечений.
Раздел 10 Квадратичные формы ОК-13, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Что называется билинейной формой? Что называется матрицей билинейной
формы? Что называется рангом билинейной формы? Какая билинейная форма
называется симметрической?
Что называется квадратичной формой? Каким особым свойством обладает матрица
квадратичной формы? Что называется рангом квадратичной формы? Какая
квадратичная форма называется вырожденной (невырожденной)?
Что называется полярной билинейной квадратичной формой для данной
квадратичной формы? Какая существует связь между квадратичной формой и
полярной билинейной формой для данной квадратичной формы?
Как представить билинейную и квадратичную форму с помощью матриц? Связь
между матрицами билинейных (квадратичных) форм при невырожденных
преобразованиях: записать и обосновать.
Какая квадратичная форма называется канонической? Какая связь между числом
отличных от нуля коэффициентов в квадратичной форме канонического вида и
рангом формы?
Опишите метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Сформулируйте и докажите основную теорему о квадратичных формах.
Сформулируйте и докажите закон инерции квадратичных форм.
Какая квадратичная форма называется положительно определенной? Какая
квадратичная форма называется отрицательно определенной? Какие миноры
называются главными минорами квадратичной формы? Сформулируйте и
докажите критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной
формы.
10 Сформулируйте алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду
(к главным осям) с помощью ортогонального преобразования.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
Вариант 1
1 1 1 10 5 0
1. Равенство к 2 1 0  5 5 5 является справедливым при кравном:
3 1 2 15 5 10
А) –125; В) 125; С) 5; Д) –5; Е) ответ не указан.
 0  1
 0 1 2
, С  
 , то ВС равно:
1 0 
- 1 2 0
2. Если В  
 - 2 0 - 2
 ; С)
3
1
5


А) определить нельзя; В) 
0 - 1 - 2

 ; Д)
1
2
0


1 - 2

0 1
0
 ; Е) ответ не указан.
2 
5 x1  3 x2  2 x3  4 x4  3
4 x  2 x  x  7 x  1
 1
2
3
4
3. Система 
несовместна при:
3
x

6
x

x

5
x

9
2
3
4
 1
7 x1  3 x2  7 x3  17 x4  
А) =1;
В) +2;
С) 0;
Д) =0;
Е) ответ не указан.

4.
Длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а  {3,5,8} и

d  {1,1,4} , равны:
А) 6; 14;
В) 5; 10;
С) 2; 8;

Д) 6; 11;
Е) ответ не указан.

5. Найти координаты вектора в , коллинеарного вектору а  {2,1,1}, при условии
  
 а , в   3 .


А) {6,3,-3}; В) {2,1,-1}; С) {1, ½, -1/2}; Д) {-1, -1/2; ½}; Е) ответ не указан.
6. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М0 (2,0,-3) параллельно прямой
2 x  y  3z  11  0
, имеет вид:

5 x  4 y  z  8  0
А)
Д)
x2
y
z3
x2
y
z 3
x2 y z3




 
; В)
; С)
;
11
 17  13
11
 17  13
7
3
2
x2 y z 3
 
; Е) ответ не указан.
7
3
2
7. Доказать, что оператор А: ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , x3 , x2 ) является линейным и
найти его матрицу в исходном базисе:
1  1 1
 1 0 0




А)  0 0 1  ; В)   1 0 1  ; С)
0 1 0
 1 1 0




1  1 1


1
0
0

 ; Д)
0 1 0



0 0 1 


1
0

1

 ; Е) ответ не указан.
0 1 1 




а  {2,1,4}, b  {3,0,2}, c  {4,5,3} образуют базис.
8. Известно, что векторы

Найти координаты вектора d  {0,11,14} в этом базисе.
А) {2,-2,1); В) {-1,2,2}; С) {-1,-2,2}; Д) {3, 4,-1}; Е) ответ не указан.
z ( z  z3 )
9. Найти 1 2
, если z1  4  5i , z 2  1  i , z 3  7  9i .
z2
А) 32 –40i; В) 40-32i; С) 5+12i; Д) 12+5i; Е) ответ не указан.
Найти
10.
площадь
параллелограмма,
построенного

 
1 

a  p  3 g , b  p  2 g ; если | p | , | g | 1,( p , g )  .
5
2


 



А) 15; В) 10; С) 6; Д) 4; Е) ответ не указан.
на
векторах
11. Уравнение плоскости, проходящей через точку А(1,-1,8) перпендикулярно вектору

ВС , где В(- 4,- 3,10), С(- 1,- 1, 7); имеет вид:
А) 3(x- 1)+ 2(y+ 1) –3(z- 8)=0; В) 3(x+ 1) +2(y - 1) –3(z+ 8) =0; С) 3x+2y-3z=0;
Д) определить нельзя; Е) ответ не указан.
12. Найти
А) 1; В)

3i
3
; С)
2
207 .
 3


 2


206
; Д) 207; Е) ответ не указан.
13. Точка пересечения прямой
x  2 y  3 z 1


и плоскости
1
1
4
x  2 y  3z  14  0 имеет координаты:
А) (2,3,-1); В) (1,2,3); С) (0,3, 0); Д) определить нельзя; Е) ответ не указан.
 1 2  3
 равен:
2 4 1 
14. Ранг матрицы А  
А)1;
В) 2; С) 3;
Д) 0;
Е) ответ не указан.
 3 5
 в базисе из собственных векторов имеет вид:
5
3


15. Матрица А  
8 0 
 ; В)
0

2


А) 
 3 0
 0 5

 ; С) 
 ; Д)
0
3
5
0




 3 5

 ; Е) ответ не указан.
5
3


16. Размерность линейного пространства решений системы
 x1  x2  10 x3  x4  0

3x1  3x2  30 x3  3x4  0 равна:
А)1;
В) 2;
17. Уравнение
С) 3;
Д) 4;
Е) ответ не указан.
x  12   y  22
4
9
 1 задает на плоскости кривую, называемую:
А) окружностью с центром в точке (1; -2); В) эллипсом, С) гиперболой; Д) параболой; Е)
ответ не указан.
18.
4 x 2  9 y 2  36 z 2  8 x  18 y  72 z  13  0
Уравнение
приводится
каноническому виду с помощью преобразований:
 x  x  1,
 x  x  2 ,


А)  y  y' 1, В)  y  y' 3, С)
 z  z' 6
 z  z' 1


 x  x  1,
 x  x  2 ,


 y  y' 1, Д)  y  y' 3, Е) ответ не указан.
 z  z' 6
 z  z' 1


Вариант 2
1 1 0
0 2 2
1. Равенство 2 3 4  к 8
6 4 справедливо при кравном:
3 1 5
10 2 6
А) –8;
В) 8;
С) 2;
Д) -2;
Е) ответ не указан.
 0 1 2


 1 - 1 3
, С   - 1 2 0  ; то АС равно:
2. Если А  
 2 0 2
 1 2 1


 4 5 5
 1 5 5
 ; С) 
 ; Д)
 2 6 6
 2 3 6
А) определить нельзя; В) 
 4 5 3

 ; Е) ответ не указан.
 1 6 2
к
x1  x2  x3  0

3. Система  x1  x2  x3  0 имеет ненулевое решение при:
 x  x  x  0
3
 1 2
В) =-2 или =1;
А) (+2)(-1)0;

С) =-2;
Д) =1;
Е) ответ не указан.

4.Если векторы АВ  2,6,4 и АС  4,2,2 определяют стороны треугольника

АВС, то вектор СД , совпадающий с медианой, проведенной из вершины С, имеет длину:
А)
6 ; В) 10; С) 10 ; Д) 6; Е) ответ не указан.


5. Если векторы a  7 ,6 ,6, b  6 ,2 ,9 можно рассматривать как ребра куба, то его
третье ребро равно:
А)  6,9,2 ; В) {13,8,3}; С) {-2, -9, 6}; Д) определить нельзя; Е) ответ не указан.
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка М 1М2,
перпендикулярно к этому отрезку, если М1 (1,5,6); М2 (-1,7,10).
А) -2x +2y –6z=0; В) x-y-2z+22=0; С) -2(x-1)+2(y-5)-6(z-6)=0;
Д) –2(x+1)+2(y-7)-6(z-10)=0; Е) ответ не указан.
7. Доказать, что оператор A : ( x1 , x2 , x3 )  ( 4 x1  3x2  2 x3 , x1  x2 , x3 ) является
линейным и найти его матрицу в исходном базисе.
 4  3  2  4 1 0

 

А)  1
1
0  ; В   3 1 0  ; С)
0 0
1   2 0 1 

  2  3 4


1 1  ; Д)
 0
 1
0 0 

0 1 4 


 0 1  3  ; Е) ответ
1 0 2 


не указан.

8. Известно, что векторы

а  5,4,1,, в   3,5,2, с  2,1,3 образуют базис.

Найти координаты вектора

d  7 ,23,4 в этом базисе.
А)
{-1,2,3}; В) {3,2,-1}; С) {4,8,6}: Д) определить нельзя; Е) ответ не указан.
9. Найти
( z1  z 2 z3 )
, если z1  4  8i , z 2  1  i , 9  13i.
z2
А) 7+19i; В) 19+7i, 14+20i; С) 5+3i; Д) 3+5i; Е) ответ не указан.
10.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах









a  p  4 g ; b  3 p  g , | p | 1, | g | 2 , ( p , g ) 
А)

6
.
18 ; В) 18; С) 6; Д) определить нельзя; Е) ответ не указан.
11. Определите уравнение прямой, проходящей через точку А(7,- ,1) перпендикулярно
плоскости 2x –5y+3z+8=0.
А)
x  7 y  5 z 1
x  7 y  5 z 1
x2 y 5 z 3






; В)
; С)
;
2
5
3
2
5
3
7
5
1
Д)
x5 y 5 z 3


; Е) ответ не указан.
7
5
1

12. Найти 1 
А) 2
500
; В)
3 i
500 .
3501 ; С) 3 500 ; Д) 1000; Е) ответ не указан.
13.Единичный вектор, перпендикулярный плоскостиx-2y+2z-9=0, имеет координаты:
А) (1/3, -2/3,2/3); В) (1,-2,2); С) (0,0,1); Д) определить нельзя; Е) ответ не указан.
- 3 2 1
 равен:
 1 4 2
14. Ранг матрицы А  
А) 1; В)2; С) 3; Д) 0; Е) ответ не указан.
 2 2
 , соответствующий собственному
 1 3
15.Найти собственный вектор матрицы А  
значению =4:
А) (с, - с); В) (с, с); С) (0,с); Д) (2с, с); Е) ответ не указан.
16. Фундаментальная система решений системы уравнений
 x1  x2  x3  x4  0

 x1  x3  0
x  x  0
 2 4
  1  0 
1  0 
  1  0 
 0 1
  
  
  
  
 0  1
 0    1
 0    1
 0 1
имеет вид: А) 
;
В)
;
С)
;
Д)
,
,
,
1  0 
1 0
 1 ,  0  ; Е) ответ не
1  0
   
   
   
   
0
1
0
1
0
1
  
  
  
1  0
указан.
17. Уравнение
x  12   y  22
4
9
 1 задает на плоскости кривую, называемую:
А) окружностью с центром в точке (1; -2); В) эллипсом, С) гиперболой; Д) параболой; Е)
ответ не указан.
18. Уравнение 4 x  y  4 z  8 x  4 y  8 z  4  0
2
2
2
приводится к каноническому
виду с помощью преобразований:
 x  x  2 ,
 x  x  2 ,


А)  y  y' 4 , В)  y  y' 4 , С)
 z  z' 6
 z  z' 6


указан
 x  x  1,
 x  x  2 ,


 y  y' 2 , Д)  y  y' 3, Е) ответ не
 z  z' 6
 z  z' 1


ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Евклидовы пространства.
Билинейные и квадратичные формы.
Инварианты в общей теории кривых и поверхностей второго порядка.
Унитарные пространства.
Дуальные (сопряженные) пространства.
Двумерные пространства со скалярным произведением. Псевдоевклидова плоскость.
Неевклидова геометрия Лобачевского.
Неевклидова геометрия Римана.
Неевклидова геометрия и ОТО.
Пространство Минковского.
Тензор инерции.
Тензоры напряжений и деформации.
Тензоры электропроводности и теплопроводности кристаллов.
Три источника теории групп.
Симметрия плоской геометрической фигуры.
Диэдральные группы Dn.
Группа вращений тетраэдра Т.
Группа вращений куба О.
Группа симметрии тетраэдра Тd.
Группа симметрии куба Оh.
Группа вращений трёхмерного пространства вокруг неподвижной точки.
Группа Лоренца.
Лемма Шура.
Симметрия неограниченных фигур.
Симметрия в природе и искусстве.
ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
Контрольная работа №1.
Вычисление матричного полинома.
Вычисление определителей.
Решение определенных систем линейных уравнений 3-го порядка
а) методом Гаусса
в) методом нахождения Обратной матрицы.
с) методом Крамера.
Контрольная работа №2
Матричные уравнения.
Исследование систем линейных уравнений.
Решение неопределенных систем линейных уравнений.
Операции над комплексными числами.
Квадратичные формы.
Перечень примерных вариантов Контрольных работ по курсу дисциплины
«Линейная алгебра».
Контрольная работа №1
1. Вычислить матричный полином P(A), где p(x)= x2 - 3x + 9,
 2 3 
 .
A  
 5  1
2. Решить систему уравнений методом Гаусса (исключения неизвестных)
 3x1  4 x2  x3  5

 x1  2 x2  3x3  5 .
 5x  x  2 x  5
2
3
 1
3. Посчитать Определитель матрицы системы из п.4
а) по Правилу Звезды (Правилу Треугольников)
в) разложением Определителя по строке (столбцу)
4. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы
(Выписать Определитель системы, все Алгебраические дополнения,
Присоединенную матрицу системы).
  x1  x2  2 x3  3

 4 x1  5 x2  7 x3  15 .
 2 x  3x  6 x  11
2
3
 1
5. Решить систему уравнений из п.4 по правилу Крамера
Контрольная работа №2
1. Решить матричное уравнение:
  3  2
 2 1
  

X 
5
 8
 3 4
2. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и неопределенность,
не решая ее.
 x1  2 x2  x3  1

 3x1  x2  4 x3  11 .
 4 x  x  3x  8
2
3
 1
3. Исследовать систему линейных уравнений. Если она совместна, указать базисный
минор, базисные и свободные переменные. Решить систему методом Крамера.
Выписать общее и одно частное решение.
 4 x1  x2  x3  3x4  8

 x1  3x2  3x3  x4  5 .
 3x  4 x  4 x  4 x  3
2
3
4
 1
4. а) Комплексные числа изобразить векторами на плоскости и представить в
тригонометрической форме.
Z1   2  i ;
Z2  3  i .
в)Записать в тригонометрической форме.
Z 3  Z1  Z 2
;
Z 4  Z13 .
5. Записать квадратичную форму в матрично-векторном виде.
Выяснить, является ли квадратичная форма положительно определенной,
отрицательно определенной, неопределенной.
  3x12  x22  2 x32  6 x1 x2  2 x2 x3 .
Перечень Контрольных вопросов по курсу дисциплины «Линейная алгебра».
1. Системы линейных уравнений: определение, примеры. Свойства систем
уравнений: совместность, несовместность, определенность, неопределенность.
2. Эквивалентность систем, элементарные преобразования систем.
3. Матрицы, операции над ними и их свойства. Транспонирование матриц.
4. Определитель матрицы. Общая формула для вычисления определителей.
5. Свойства определителя.
6. Миноры и алгебраические дополнения, их связь с определителем матрицы.
7. Теорема Лапласа.
8. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
9. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
10. Свойства ранга матрицы.
11. Метод исключения переменных Гаусса.
12. Метод Крамера.
13. Теорема Кронекера-Капелли.
14. Общее решение системы линейных уравнений. Частные решения.
15. Базисные и свободные неизвестные.
16. Однородные системы линейных уравнений.
17. Комплексные числа и многочлены.
18. Алгебраическая форма комплексных чисел.
19. Тригонометрическая форма комплексных чисел.
20. Сложение и умножение комплексных чисел.
21. Вычитание и деление комплексных чисел.
22. Основная теорема Алгебры.
23. Квадратичные формы.
24. Матрично-векторный вид квадратичной формы.
25. Канонический вид квадратичной формы.
26. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.
27. Критерий Сильвестра.
ЭКСПРЕСС-ТЕСТЫ ПО ЛЕКЦИОННОМУ МАТЕРИАЛУ ДИСЦИПЛИНЫ
«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
Тест 1
1. Записать Систему m Линейных Уравнений с n неизвестными в общем виде.
2. Перечислить названия 3-х типов Систем Линейных Уравнений (СЛУ) в зависимости от
соответствующего каждому типу множества решений.
3. Перечислить 4 вида эквивалентных преобразований СЛУ.
Тест 2
1. Написать матрицы
Am k
Bk n
и
каковы размеры матрицы С?
Написать выражение для элемента
а) через знак суммирования ∑
2. Как для данной матрицы
Am
в общем виде. Если С = А* В, то
k
cij
в) более подробно, без знака суммирования.
в общем виде будет выглядеть матрица
A
Каковы ее размеры? Выписать те 4 свойства (из 18 Свойств операций над
матрицами), где встречается операция транспонирования.
3. Записать Систему Линейных Уравнений для m=n=3 в обычном виде.
Выписать все матрицы А, Х, В, соответствующие
матричной форме
записи СЛУ: А * Х = В
Тест 3
1. Написать выражение для определителя матрицы второго порядка
  A2
в общем виде.
2. Схематично изобразить Правило Звезды для вычисления
определителя матрицы третьего порядка
3. Дать Определение Минора
M ij
  A3
матрицы n-го порядка
An
T
?
4. Написать формулу Алгебраического Дополнения
матрицы n-го порядка
Aij
An
5. Написать выражение для вычисления определителя матрицы
третьего порядка
  A3
по Теореме Лапласа, то есть
разложение по любой строке или любому столбцу:
а) либо в общем виде
б) либо для любого (уникального) численного примера.
Тест 4
1. Для системы линейных уравнений
через алгебраические дополнения
An X n1  Bn1 , A  0
Aij
Выписать формулы обратной матрицы
присоединенную матрицу
A1
выписать по методу Крамера выражения для
 x1 
 
X   x2 
x 
 3
X
, решения
2. Для системы линейных уравнений третьего порядка
системы линейных уравнений
выписать
i
через .
A*
.
.
AX  B
, i=1,2,3 и решение
i
.
3. Дать Определение ранга матрицы (через миноры).
4. Чему равен ранг ступенчатой матрицы?
5. Дать формулировку Теоремы Кронекера-Капелли для системы линейных
уравнений
Amn X n1  Bm1
Тест 5
1. Запишите комплексное число Z в алгебраической и тригонометрической
Как связаны эти две формы записи?
формах.
2. Напишите выражение для произведения двух комплексных чисел Z1 , Z 2 , заданных в
тригонометрической форме; для частного от деления этих двух комплексных чисел.
3. Напишите Формулу Муавра, - выражение для возведения в степень
комплексного числа
Z.
4. Выпишите каноническое разложение многочлена
n 1
f (Z ) степени
с
комплексными коэффициентами.
Тест 6
1 Сформулируйте Основную Теорему Алгебры для многочлена,
комплексном пространстве.
2. Пусть Z – комплексная переменная,
число. Для уравнения
Z k  ...
3. Выписать
Zn a
a  a (cos   i sin  )
действующего в
– комплексное
напишите выражение для k различных его корней:
, k=0,1,…n-1
симметрическую
матрицу
квадратичной
формы
  a11 x12  a22 x22  a33 x32  2 a12 x1 x2  2 a13 x1 x3  2 a23 x2 x3
и
записать квадратичную форму в матрично - векторном виде.