24. Приведение квадратичных форм к каноническому виду.

24. Приведение квадратичных форм к каноническому виду.
Прежде чем приступить непосредственно к указанному вопросу, необходимо вспомнить
материал о билинейных функциях (формах).
Определение 1. Пусть L – линейное пространство над полем K (для изложения вопроса
достаточно считать, что поле скаляров – R – действительные числа). Функция b( x, y ) : L  L  K
называется билинейной функцией, если она линейна по каждому аргументу, то есть :
(1) b(1 x1   2 x2 , y)  1b( x1 , y)   2b( x2 , y) ,
(2) b( x, 1 y1   2 y2 )  1b( x, y1 )   2b( x, y2 ) для любых векторов x, x1 , x2 , y, y1 , y2  L и любых
скаляров 1 ,  2 , 1 ,  2  K .
Пусть L имеет размерность n, e  e1 , e2 ,...., en - базис L. Обозначим bij  b(ei , e j ) (1  i, j  n) .
Определение 2. Матрицу B  (bij )  Be называют матрицей билинейной функции b в базисе
e1 , e2 ,...., en .
Координатная запись. Пусть x 
n
n
xe , y  y e
i 1
i i
j j
j 1
n
n
n
n
i 1
j 1
i , j 1
i , j 1
, тогда
b( x, y)  b( xi ei ,  y j e j )   xi y j b(ei , e j )   xibij y j  X T BY (3), где
 x1 
 y1 


 
B  (bij ) , X    , Y    , а X T  ( x1
x 
y 
 n
 n
xn ) .
Определение 3. Запись билинейной функции в виде многочлена (3) называют билинейной
формой. (По традиции, термин «билинейная форма» используется и для билинейной функции,
не записанной в координатах.)
Утверждение 1. Пусть e  (e1 ,
перехода от базиса e  (e1 ,
, en ) и e '  (e1,
, en ) - два базиса пространства L, S – матрица
, en ) к базису e '  (e1,
базисах e, e ' соответственно. Тогда B '  S T BS .
, en ) , B, B’ – матрицы билинейной формы b в
(4)
Из формулы (4) следует, что ранг матрицы B и знак ее определителя (если он не равен 0) не
зависят от выбора базиса.
Определение 4. Билинейная форма b( x, y ) называется симметрической, если
x, y  L, b( x, y )  b( y, x) .
Утверждение 2. Матрица симметрической билинейной формы в любом базисе является
симметрической, т.е. BT  B .
Определение 4. Квадратичной функцией (формой), порожденной симметрической билинейной
формой b( x, y )  0 , называется функция k ( x)  b( x, x), x  L .
Утверждение 3. Для любой квадратичной функции k ( x) существует единственная
симметрическая билинейная форма b( x, y ) такая, что k ( x)  b( x, x), x  L .
Доказательство. Имеем
k ( x)  b( x  y, x  y )  b( x, x)  b( y, y )  2b( x, y )  k ( x)  k ( y )  2b( x, y ) 
.
k ( x  y )  k ( x)  k ( y )
b ( x, y ) 
2
Матрицей квадратичной формы называют матрицу породившей ее симметрической билинейной
формы. Рассмотрим координатную запись квадратичной формы. Пусть x 
n
 x e , тогда
i 1
n
n
n
n
i 1
j 1
i , j 1
i , j 1
i i
b( x, y)  f ( xi ei ,  y j e j )   xi y j b(ei , e j )   xibij y j  X T BY (3), где
 x1 
 y1 


 
B  (bij ) , X    , Y    , а X T  ( x1
x 
y 
 n
 n
xn ) .
С учетом симметричности коэффициентов квадратичной формы, ее можно записать в виде
k ( x)  b11 x12  ...  bnn xn2  2

1i  j  n
bij xi x j .
Определение 5. Квадратичная форма вида q ( x) 
n
 x
i 1
2
i i
называется диагональной.
Она называется канонической, если  i  1, 1, 0 . Более детально,
pq
p
q( x)   xi2 
i 1
x
2
i
i  p 1
. Числа p и q называются положительным и отрицательным индексами
инерции квадратичной формы.
Теорема 1. (О приведении квадратичной формы к каноническому виду) Для любой квадратичной
формы k ( x)  b11 x12  ...  bnn xn2  2

1i  j  n
bij xi x j  0 существует такая невырожденная замена
переменных X  SY (det S  0) , что в новых переменных она принимает канонический вид
p
k y 
i 1
2
i
pq
y
i  p 1
2
i
.
Теорема 2 (о единственности – закон инерции). Если X  TZ (det T  0) - другая замена
переменных, приводящая квадратичную форму k ( x) к каноническому виду k 
s
z
i 1
то p  s, q  t , причем p  q  rgB .
2
j

s t
z
i  s 1
2
j
,
Теорему 2 оставим без доказательства, только заметим, что равенство p  q  rgB следует из
сохранения ранга матрицы B при замене базиса.
Доказательство теоремы 1 – алгоритм Лагранжа выделения полных квадратов.
1) Допустим, что i : bii  0 , при необходимости перенумеровав переменные, можем
считать, что b11  0 . Тогда выделим в квадратичной форме все одночлены, содержащие
x1, и дополним это выражение до квадрата:
n
n
j 2
i 2
k ( x)  b11 x12  2 b1 j x1 x j  ( bii xi2  2
n
 b11 ( x1  
b1 j
j  2 b11
n
x j ) 2  ( bii xi2  2
i 2
Тогда сделаем замену z1  ( x1 

b1 j
b
j 2
bij xi x j ) 
n
2i  j  n
n

2i  j  n
bij xi x j  (
b1 j
j  2 b11
n
x j ) 2 )  b11 ( x1  
b1 j
j  2 b11
x j ) 2  k1 ( x2 ,..., xn )
x j ), z2  x2 ,..., zn  xn .
11
Квадратичная форма k1 ( x2 ,..., xn ) не зависит от x1, и к ней можно применить тот же метод,
r
в результате получится квадратичная форма
 z
i 1
Остается сделать замену yi 
2
i i
(1  b11 , 1 2
 r  0, r  rgB ) .
i zi , i  1,..., r; yk  zk , k  r  1,..., n
2) Препятствие к выделению квадратов может возникнуть, если aii  0, i  1,..., n . Так как
Пусть k ( x)  0, i, j : bij  0 . Перенумеровав при необходимости переменные, можем
добиться, чтобы b12  0 . Тогда сделаем подготовительную замену
x1  x '1  x '2 , x2  x '1  x '2 , x j  x ' j ( j  3). и k ( x ')  2b12 ( x '12  x '22 )  q( x '), где в q( x ')
нет x '12 . Далее можно продолжать, как в п. 1). 
(Замечание. Вместо параметров p и q, введенных выше, нередко рассматривают
величины r=p+q – ранг В и   p  q - сигнатуру.)