Tema_5_urok_2

(10 класс, модуль V, урок 2)
Урок 2. Свойства бесконечно малых
План урока
 2.1. Сумма бесконечно малых
 2.2. Произведение
бесконечно
малой
и
ограниченной
последовательностей
 2.3. Теорема о пределе промежуточной последовательности
 2.4. Деление бесконечно малой на переменную величину
 2.5. Перечисление основных свойств бесконечно малых и примеры часто
встречающихся в дальнейшем бесконечно малых
 Тесты
 Домашнее задание
Цели урока:
На этом уроке формулируются и доказываются утверждения об
арифметических
действиях
над
бесконечно
малыми
последовательностями, интересные и полезные как сами по себе, так и
нужные для получения утверждений об арифметических действиях над
сходящимися последовательностями, частными случаями которых
являются бесконечно малые.
2.1 Сумма бесконечно малых
Бесконечно малые последовательности обладают свойствами, которые
часто используются. Рассмотрим следующее свойство.
Пусть  n и  n – бесконечно малые. Тогда их сумма ( n   n ) – также
бесконечно мала.
Иногда это свойство формулируют по-другому.
Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.
1
(1) n
Пример 1. Возьмем бесконечно малые  n  ,  n  n . Тогда по
n
2
указанному
свойству
последовательность
с
общим
членом
n
1 (1)
xn   n   n   n также бесконечно мала.
n
2
Вопрос. Как доказать, что 5 xn есть бесконечно малая, если известно,
что последовательность ( xn ) – бесконечно малая?
Рассмотрим доказательство утверждения, что сумма двух бесконечно
малых есть бесконечно малая.
Доказательство. Пусть lim  n  0 , lim  n  0 . Для доказательства того,
n 
n 
что последовательность ( n   n ) сходится к нулю, надо показать, что эта
последовательность удовлетворяет определению сходимости к нулю, то есть
для каждого положительного числа  требуется найти такое число M , что
неравенство  n   n   выполняется при всех n  M .

при всех n  M1 . Число
2
M 1 существует, так как lim  n  0 . Затем найдем такое число M 2 , что
Сначала возьмем такое число M 1 , что  n <
n 
n 

при всех n  M 2 . Число M 2 существует, так как lim  n  0 . Если
n 
2
теперь в качестве M взять наибольшее из чисел M 1 и M 2 , то при всех
n  M будут выполнены неравенства:
 
n  n   n +  n < + =  .
2 2
В итоге показано, что для каждого   0 найдется такое зависящее от 
число M , что неравенство  n   n <  выполняется при всех n  M , а
именно
это
и
требовалось
для
доказательства
сходимости
последовательности ( n   n ) к нулю.
Вопрос. Как доказать, что разность двух бесконечно малых также
бесконечно мала?
2.2. Произведение
бесконечно
последовательностей
малой
и
ограниченной
Последовательность  n  , называется ограниченной, если найдется такое
число С , что  n  С при всех натуральных n . Произведение бесконечно
малой и ограниченной последовательностей обладает следующим
свойством.
Пусть  n  – бесконечно малая, а ( xn ) – ограниченная
последовательность. Тогда их произведение  n xn  – также бесконечно
малая последовательность.
Это свойство можно сформулировать короче.
Произведение бесконечно малой и ограниченной последовательностей
является бесконечно малой последовательностью.
Пример 2. Переменная xn  n 2 ограничена, так как 1  n 2  2 при всех
n . Зная, что  n 
бесконечно малая.
1
– бесконечно малая, заключаем, что yn 
n
n
2
– тоже
n
Вопрос. Пусть  n  – бесконечно малая последовательность, а c –
число. Как доказать, что произведение c   n также бесконечно мало?
Докажем, что произведение бесконечно малой последовательности и
ограниченной
последовательности
является
бесконечно
малой
последовательностью.
Доказательство. Пусть lim  n  0 и известно, что x n  C для всех
n 
номеров n , причем С  0 . Возьмем произвольное положительное число  .
Зная, что последовательность  n  сходится к нулю, найдем число M

такое, что  n 
при всех n  M . Тогда при всех n  M выполняются
C
также неравенства:
x n  n  xn   n  C   n  C 

 .
C
В итоге показано, что для каждого числа   0 найдется зависящее от 
число M , такое, что неравенство x n  n   выполняется при всех n  M .
Поэтому lim xn n  0 .
n 
Вопрос. Пусть
 n 
– бесконечно малая последовательность, а
последовательность ( xn ) для всех n  K удовлетворяет неравенству x n  C ,
причем С  0 . Как доказать, что произведение xn   n также бесконечно
мало?
Докажем, что произведение двух бесконечно малых последовательностей
само является бесконечно малой последовательностью.
Пусть последовательности  n  и  n  – бесконечно малые. Возьмем
произвольное положительное число  . Сначала для последовательности
( n ) выберем число M 1 такое, что     n   при всех n  M1 . Затем для
последовательности (  n ) выберем число M 2 такое, что     n   при
всех n  M 2 . Взяв среди чисел  n с номерами, не превосходящими M 2 ,
самое большое по модулю  n0 и обозначив С  max{  ,  n } , получим, что
0
при всех n  M 2 выполняются неравенства  C     n    C , а при всех
n  M 2 выполняются неравенства  C    n0   n   n0  C , то есть при
всех n выполняются неравенства  C   n  C , и последовательность  n  –
ограничена. Теперь для завершения доказательства осталось применить
только что доказанное свойство о произведении бесконечно малой и
ограниченной.
Заметим , что в процессе доказательства последнего утверждения было
установлено еще одно важное свойство бесконечно малых: бесконечно
малая величина ограничена.
2.3. Теорема о пределе промежуточной последовательности
Приведем так называемую теорему о пределе промежуточной
последовательности для бесконечно малых.
Пусть даны последовательности ( n ) , ( n ) и ( n ) , причем  n   n   n
для всех номеров n  M 0 , где M 0 – некоторое число, и
последовательности ( n ) , ( n ) . бесконечно малые. Тогда ( n ) – также
бесконечно малая последовательность.
Пример 3. Рассмотрим последовательность с общим членом
1
xn  sin n  . Так как  1  sin n   1 , для каждого n справедливы неравенства
n
1 1
1
1
1
 n    sin n     n . Переменные  n  
и n 
– бесконечно
n
n
n n
n
sin n 
малые, а поэтому x n – также бесконечно малая, то есть lim
 0.
n 
n
Докажем только что сформулированную теорему
Доказательство. Пусть lim  n  0 , lim  n  0
n 
n
и
известно,
что
 n   n   n при всех n  M 0 , где M 0 – некоторое число.
Возьмем произвольное положительное число  . Сначала для
последовательности ( n ) выберем число M 1 такое, что     n   при
всех n  M1 . Затем для последовательности (  n ) выберем число M 2 такое,
что     n   при всех n  M 2 . Если теперь в качестве M взять
наибольшее из чисел M 0 , M 1 , M 2 , то при всех n  M будут выполнены
неравенства     n   n   n   , откуда |  n |  .
В итоге доказано, как для каждого положительного числа  найдется
зависящее от  число M , такое, что неравенство |  n |  выполняется при
всех n  M . Поэтому lim  n  0 .
n
Вопрос. Пусть  n   n при всех n  K . Как доказать, что если  n –
бесконечно малая, то  n – также бесконечно малая?
Пример 4. Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего
n
члена  n  2
. Вроде бы понятно, что для очень больших n член этой
n  n 1
последовательности становится все меньше и все больше приближается к 0.
Однако если мы пойдем по уже знакомому нам пути и начнем определять
n
  , то нам нужно
для каких n будет выполняться неравенство 2
n  n 1
будет решать квадратное неравенство n 2  (  1)n    0 .
Вместо того, чтобы проводить довольно громоздкие вычисления,
n
n 1
 2  , и воспользуемся только что доказанной
n
n  n 1 n
нами теоремой о пределе промежуточной последовательности:  n  0 ,
1
 n  – бесконечно малые. Поэтому ( n ) – бесконечно малая
n
последовательность.
1
Вопрос. Как доказать, что lim  0 ?
n  n!
заметим, что 0 
2
Пример 5. Для q  0,99 покажем, что lim q n  0 .
n
1
можно представить в виде
qn
неравенство Бернулли, получим
Выражение
n
n
1 
 100  

  1   . Применив
 99   99 
n
1 
1
n

,
1    1  n  
99 99
 99 
1
n
. Так как q  0 , то из полученного неравенства следует, что

n
q
99
99
0  qn 
.
n
99
Переменные an  0 и bn 
являются бесконечно малыми, а для всех
n
натуральных n выполняются неравенства an  q n  bn . Из свойства о
откуда
пределе промежуточной последовательности следует, что q n – бесконечно
малая, то есть lim q n  0 .
n
Вопрос. Как доказать, что lim q n  0 при q  0,99 ?
n
Мини-исследование.
Пусть члены последовательности ( an ) положительны, и для всех n
a
выполняется соотношение n 1  q  1 .
an
1) Докажите, что последовательность ( an ) является бесконечно малой,
воспользовавшись теоремой о промежуточной последовательности и
тем, что lim q n  0 при 0  q  1 .
n
2) Пусть указанное соотношение выполняется для всех n, больших
некоторого числа M. Докажите, что и в этом случае
последовательность ( an ) является бесконечно малой.
3) Установите, что последовательности с общим членом an 
an 
n
,
2n
n10
2n
,
являются бесконечно малыми.
a

n
n!
2n
2.4. Деление бесконечно малой на переменную величину
Полезным является следующее свойство бесконечно малых.
Пусть b – ненулевое число, и  n ,  n – бесконечно малые, причем сумма
n
b   n не обращается в нуль ни при каком n . Тогда величина
–
b  n
бесконечно малая.
Доказательство этого свойства сложнее предыдущих доказательств, и
мы его приводить не будем. Можно воспользоваться теоремой о пределе
промежуточной последовательности и теоремой о произведении бесконечно
малой на ограниченную, но предварительно следует установить
справедливость следующего утверждения: если a  0 ;  n – бесконечно
1
малая; a   n  0 для всех номеров n, то
– ограниченная величина.
a n
Для иллюстрации сформулированного свойства можно воспользоваться
последовательностью из примера 4, но мы возьмем более сложную
последовательность.
3n 2  7n  8
Пример 6. Пусть xn  3
. Справедливы равенства:
5n  11n 2  2n  1
3 7
8
 2  3
n
3n  7 n  8
n n
3 7
8
n
xn  3


, где  n   2  3 и
2
11
2
1
5  n
5n  11n  2n  1 5  
n n
n

n n 2 n3
2
11 2
1
 2  3 . Из предыдущих свойств бесконечно малых следует, что
n n
n
 n и  n – бесконечно малые. Поэтому x n – также бесконечно малая.
Вопрос. Как показать, что последовательность с общим членом
2 n  3n
xn  n
сходится к нулю?
3  4n
n  
Мини-исследование
Исследуйте, каким может быть частное двух бесконечно малых.
Приведите несколько примеров, когда частное бесконечно малых является
1) бесконечно малым; 2) постоянно; 3) неограниченно.
2.5. Перечисление основных свойств бесконечно малых и примеры
часто встречающихся в дальнейшем бесконечно малых
Перечислим основные свойства бесконечно малых и приведем примеры
бесконечно малых последовательностей, часто встречающихся в
дальнейшем.
1. Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой и ограниченной переменной
является бесконечно малым.
3. При умножении бесконечно малой на фиксированное число
получается бесконечно малая.
4. Если  n ,  n – бесконечно малые и  n   n   n при всех n  K , то
 n – бесконечно малая.
5. Бесконечно малая величина ограничена.
6. Если a  0 ;  n – бесконечно малая;    n  0 для всех номеров n, то
1
– ограниченная величина.
 n
7. Если b  0 ;  n ,  n – бесконечно малые; b   n  0 для всех номеров
n, то величина
n
– бесконечно малая.
b  n
1  1   1 
8. Последовательности   ,  2  ,  3  , … сходятся к нулю.
n n  n 
 1   1   1 
9. Последовательности 
, 
, 
 , … сходятся к нулю.
 n  3 n  4 n 
10. Если | q | 1 , то последовательность (q n ) сходится к нулю.
(1) n
 0?
n  n 3
Вопрос. Как доказать, что lim
Проверь себя. Свойства бесконечно малых
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Какие из утверждений верны:
 1. произведение бесконечно малых – бесконечно малая;
 2. сумма бесконечно малой и ограниченной – бесконечно малая;
 3. разность бесконечно малой и ограниченной – бесконечно малая;
 4. частное бесконечно малой и ограниченной – бесконечно малая.
(Правильный вариант: 1)
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Последовательность (an ) называется бесконечно малой, если:
 1. для любого положительного числа  и для любого положительного M
при всех n  M выполняется неравенство an   ;
 2. для любого положительного числа  существует такое положительное
M , что при всех n  M выполняется неравенство an   ;
 3. для любого положительного числа  существует такое положительное
M, что при всех n  M выполняется неравенство    an   ;
 4. существует такое положительное M , что для любого положительного
числа  при всех n  M выполняется неравенство    an   .
(Правильные варианты: 2, 3)
Какие из утверждений верны:
 1. произведение бесконечно малых – ограничена;
 2. сумма бесконечно малой и ограниченной – ограничена;
 3. разность бесконечно малых – ограничена;
 4. частное бесконечно малых – ограничена .
(Правильные варианты: 1, 2, 3)
Домашнее задание
1. Докажите, что последовательность an сходится к нулю, если:
а) an 
1
1
1
1
; б) an 
; в) an 
; г) an  3
.
1 2
n 1
n n
n
n

2
n  n 1
2
2
2. Докажите, что последовательность an сходится к нулю, если:
а) an 
2n  1
n4
2n  5
; б) an  2
; в) an 
.
n  n 1
n  n 1
(n  2) 2
2
3. Приведите пример неограниченной переменной ап.
4.
Переменная величина an  0 называется бесконечно большой, если
1
последовательность
бесконечно малая.
an
а) Приведите примеры бесконечно больших переменных;
б) докажите, что бесконечно большая переменная неограниченна;
в) приведите пример неограниченной переменной, которая не является
бесконечно большой;
г) докажите, что произведение двух бесконечно больших
переменных есть бесконечно большая переменная;
д) докажите, что сумма двух положительных бесконечно больших
переменных есть бесконечно большая переменная.
5. Докажите, что сумма двух ограниченных переменных есть
ограниченная переменная.
6. Докажите, что произведение двух ограниченных последовательностей
есть ограниченная последовательность.
7. Вычислите пределы:
n 1
6n 2  2n  3
7n 2  1
lim
;
б)
;
в)
; г)
lim
n   n 3  3n  1
n 
n   n 4  2n 2  10
n3  1
1  2  ...  n
sin( 2n  1)
lim
; д) lim
.
n   n3  n 2  n  1
n
n
а) lim
8. Вычислите пределы:
cos n
cos n
sin n
; б) lim
; в) lim
.
n
n
n  n n
n
n
а) lim
9. Вычислите пределы:
2n
2n  1
3n  5
2n
;
б)
;
в)
;
г)
.
lim
lim
lim
n  4n  6
n   3n
n   3n  1
n   4 n  3n
а) lim
10.
Докажите, что lim ( n  1  n )  0 .
11.
Докажите, что lim (n 2n  1  2)  0 .
n 
n 
12. Докажите ограниченность переменных:
а)
2n 2  1
; б)
1  n2
1 n
n 4
2
; в)
n  (1) n
; д)
3n  4
n
2n  5n .
13. Докажите неограниченность переменных:
а) (1) n n ; б) ((1)n  1)n ; в) n 2  n ; д) n 2  n ; е)
n 1
; ж) n  (1) n n .
n
Словарь терминов
Бесконечно малая Последовательность  n  называется бесконечно малой,
если для любого положительного числа  найдется такое число M , что при
всех натуральных n  M выполняется неравенство  n   . Таким образом,
название «бесконечно малая» применяется к последовательностям, которые
сходятся к 0, т.е. предел которых равен 0 ( lim  n  0 ).
n 
Ограниченная последовательность. Последовательность xn  называется
ограниченной, если найдется такое число С  0 , что xn  C при всех
натуральных n .