ТОПОЛОГИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФОРМ, ТОЧКИ
реклама
ГЕОМЕТРИЯ ТОЧКИ «Кто не ожидает неожиданного, тот не найдет сокровенного и трудно находимого» Гераклит ПРЕДИСЛОВИЕ Эта работа является фрагментом материалов одного из моих самостоятельных исследований, проведенных в октябре – декабре 2012 года, и возникших под впечатлением от прочтения книги В. Успенского «Апология математики». Быть может, я бы никогда и не взялся за какое-то изложение, возникших у меня нескольких идей в связи с этой книгой, если бы не утверждения её автора о том, что математика является самой демократичной из всех наук. Уж очень хочется надеяться на то, что эта самая демократичность математики простирает свои границы хотя бы на волосок дальше, чем заканчивается круг так называемых профессиональных математиков. Мне очень близок и понятен характер взаимоотношений, который сложился сегодня между т.н. «математиками» и «гуманитариями», которые В.Успенский позиционирует в качестве основания возникновения его книги. Конечно, подобное разделение всех людей на «математиков» и «гуманитариев» носит лишь условный характер, поэтому не нужно его воспринимать в буквальном смысле. Я глубоко разделяю мысли автора (хотя, скорее всего, он в этом и не нуждается) о том, что проникновение порядка и образа мышления, характерных для «математиков», в головы «гуманитариев», позволит в некоторой степени повысить их общий культурный уровень и внести определенную новизну в сферу их обычной и привычной деятельности. Вместе с тем, я не сомневаюсь так же и в том (и надеюсь, что В.Успенский вместе со своими коллегами меня в этом поддержит), что обратное, встречное проникновение хаоса (с точки зрения «математиков») и образа мышления, характерного для «гуманитариев», в головы «математиков», так же позволит обрести им аналогичные преимущества. Я прекрасно понимаю ту проблему и оскомину, которую набили себе «математики» (и не только они) от достаточно длительного и непродуктивного (бесполезного) взаимодействия с т.н. фермистами и другими «гуманитариямиделетантами», однако хочется верить в то, что заявленная демократичность «математиков» от этого все же не рухнула окончательно. Поскольку, по-моему, любому здравомыслящему человеку должно быть совершенно ясно, что дальнейшее разделение, противостояние и дистанцирование «математиков» и «гуманитариев» лишь усугубит и обострит проблему, которая, по сути своей, являет собой естественную ответную реакцию жизни (бытия) на любые искусственные стремления как-то поддержать и сохранить (ужиться) такое разделенное состояние различных людей. Любое разделение целого на две свои противоположные части порождает соответствующее напряжение между ними, которое заключает в себе определенный запас энергии. И эта даденная естественная энергия может быть разрушительной или созидательной (творящей), в зависимости от самого характера взаимодействия противоположных частей. По большому счету, проблема, связанная с взаимодействием между «математиками» и «гуманитариями» заключается не в том, что последние попусту отвлекают внимание первых и общественное мнение на себя, создавая тем самым разнообразные проблемы в деятельности профессиональных ученых. А в том, что «математики», как профессионалы, до сих пор не сумели воспользоваться естественной и практически дармовой энергией этого явления (ситуации) для дальнейшего эффективного развития своей собственной сферы познавательной деятельности. Таким образом, вовсе не противостояние «математиков» и «гуманитариев», а их взаимное согласованное и управляемое проникновение друг в друга, способствует их гармоничному и сбалансированному взаимодействию и целостному развитию. И самым неожиданным, удивительным, интересным и плодотворным в таком взаимовыгодном их взаимодействии как раз и является своеобразная граница их соприкосновения друг с другом, которую иногда называют междисциплинарной областью или стыком различных областей (отделов) познавательной деятельности человека. Так или иначе, но все эти мысли убедили и вдохновили меня на написание этой работы, дабы реализовать собой упомянутую выше плодотворную границу и соблюсти определенную симметрию (гармонию) во взаимопроникающем взаимодействии между собой «математиков» и «гуманитариев». Во избежание неминуемых недоразумений, хочу сразу же внести некоторую определенность и ясность в отношении к этой моей работе. В полном уме и здравии я заявляю о том, что представленное здесь видение математики является неправильным и потусторонним (в смысле – из области обитания «гуманитариев»), а многочисленные идеи – могут рассматриваться лишь в качестве неких необычных гипотез и их некоторого обоснования, но, отнюдь, не доказательства, в его общепринятом сегодня математическом смысле. Для тех же, для кого даже поддержание подобного легковесного отношения к этой работе покажется «слишком много», могу порекомендовать воспринимать всё это действо, хотя бы как околоматематическую занимательную сказочку «О неправильной математике», или вообще никак не воспринимать. Думаю, что к последнему варианту желающие смогут и сами прийти, без каких-либо моих рекомендаций. В любом случае, это заявление позволяет мне несколько развязать свои руки и оправдать некоторую произвольность и нечеткость в изложении материала. Как и любой отдельный фрагмент, изъятый из некоего целого (целостного контекста), эта работа лишена своей предыстории и основания, изложение которых неизбежно привело бы к значительному увеличению объёма и трудностям её восприятия, а так же неизбежно отвлекло бы внимание от основных идей, которые я попытаюсь здесь изложить языком весьма ненаучным. В некотором смысле, можно сказать, что решение о публичном представлении этой работы, являет собой первый, пробный шаг, который, быть может, позволит мне получить определенную обратную связь, как от специалистов, так и от самодеятельных исследователей, достаточную для понимания целесообразности и планирования моих последующих действий, связанных с этим моим исследованием, в его целом. Так или иначе, но за вынужденными рамками этой работы остался удивительный, красивый и целостный путь развития математики, закономерным образом ведущий от натуральных чисел и арифметики, через математический анализ и известные разновидности геометрии, к её новому и достаточно необычному направлению, которое я условно назвал «Геометрией 2 Точки». Кстати, сегодня я испытываю достаточно ясное ощущение того, что это новое, по своей сути, является хорошо забытым старым … Конечно же, это всего лишь предположение, но я хочу обязательно сказать о нем в своем месте. Должен сказать о том, что последовательность изложения материала, его структура, логические цепочки и связки, которые использованы и представлены в настоящей работе, существенно отличаются от того целостного процесса (точнее, - действа), в результате которого были обретены основные её идеи. Более того, все развивалось в противоположном направлении и, мягко говоря, таинственным образом. По большому счету, основные усилия были затрачены именно на оформление (своеобразное «овеществление») привычного, взаимно увязанного и логичного формального образа (картины) этих самых идей, создающего необходимые условия для их более или менее адекватного восприятия. Поэтому не стоит здесь рассматривать всевозможные логические построения в качестве некоего самодостаточного средства получения различных знаний, представленных в этой статье, и пытаться искать в них какие-то изъяны и недостатки, которые там, несомненно, имеются. Ибо эти знания были обретены совершенно иным, невыразимым образом, поэтому формализованная их составляющая, в этом смысле, подобна лишь малой, надводной части огромного айсберга. Кроме того, прошу уважаемого читателя со снисхождением отнестись к автору настоящей статьи, который не заслуживает звания даже начинающего, за отсутствием какого-либо писательского опыта, не говоря уже об опыте какойто, хотя бы околонаучной деятельности. О том, насколько мне все это удалось воплотить в жизнь, пусть судит уважаемый читатель. 1. ВМЕСТО НАЧАЛЬНЫХ ПРЕДПОСЫЛОК 3 Форма геометрических фигур является другим (вторым) видом проявления двух универсальных и противоположных изначальных аспектов одного и того же Начала - Единственности и Множественности (Количества), порождающих в своем объединении (синтезе) различные числа. Иначе говоря, если число воплощает собой объединение Единственности и Множественности, которая, по сути, являет собой ту же Единственность, но уже в виде различных её Количеств в одном и том же, то форма воплощает собой подобное же объединение Единственности-Целого и Множественности-Частей, - тех же Целых, но уже в виде различных её составляющих форм, исследованием и изучением которых и занимается геометрия. Рассматривая в таком контексте Число и Форму, как две взаимосвязанные, взаимоопределяющие и взаимодополняющие противоположности одного и того же Начала, следует обратить внимание на то, что в Числе преобладающим и определяющим аспектом является его Множественность (Количество), а в Форме – её Единственность (Целое). Именно преобладание одного из двух противоположных аспектов (Единственности или Множественности) над другим в одном и том же, и обусловило существование таких двух противоположных видов проявления этого самого одного и того же, как Число и Форма. Поэтому Число и Форма являются двумя противоположными видами формальных средств, составляющих в своей совокупности целостную (полностью исчерпывающую) формальную систему, лежащую в основе единой Математической науки. Все вышеприведенные рассуждения можно было начать не с чисел, а с форм, однако суть (содержание) рассматриваемой целостной картины от этого никак не изменилась бы. В любом случае, неизбежно получается один и тот же результат, – два противоположных вида проявления одного и того же Начала, в которых преобладает либо аспект Множественности (Количества), – Число, либо – аспект Единственности (Целого) – Форма. Думаю, что никто не будет возражать против того, что «геометрическая точка» (далее – Точка) является наименьшей (предельно или бесконечно малой) формой, рассматриваемой в Геометрии. Конечно, такое представление Точки носит лишь весьма условный и, в некотором смысле, парадоксальный характер, поскольку, сама по себе, она одновременно и заключает в себе своеобразную предельную Форму, и лишена какой бы то ни было Формы, в привычном смысле этого геометрического понятия! Это удивительное обстоятельство создало в Геометрии типичную для современной науки ситуацию, в которой исследователи пытаются одно неизвестное познать (объяснить) посредством другого, такого же, по сути своей, неизвестного. Применительно к Точке, эта ситуация заключается в том, что, с одной стороны, все геометрические Формы могут быть дифференцированы (разделены), представлены и исследованы, как определенное множество отдельных Точек, а, с другой стороны, о Точке самой по себе, как таковой, в той же Геометрии, по большому счету, ничего не известно. В этом смысле, Точка в Геометрии обрела статус своеобразного «геометрического атома», неделимой предельно малой Формы или ФОРМАльной ПУСТОЙ Единственности, которая, сама по себе, является недоступной для привычных полноценных геометрических рассмотрений и исследований, однако в своем лице предоставляет в распоряжение исследователей универсальное средство для исследования и познания других всевозможных Форм. 4 В общем-то, те идеи, которые будут здесь представлены в моем весьма поверхностном наброске целостной картины «Геометрии Точки», по своей сути, представляют собой попытку проникновения и исследования «геометрического атома» - Точки. И в этом смысле, её Геометрию вполне можно называть «атомной» или даже «субатомной». Должен признаться, что я намеренно провожу здесь, казалось бы, неуместную параллель между «Геометрией Точки» и атомной физикой. Дело в том, что заинтересованному читателю в этой работе придется столкнуться с достаточно парадоксальными, непривычными и весьма необычными «вещами», относительно тяжело вписывающимися в наши уже укоренившиеся и привычные представления. И эта ситуация вполне сродни той, в которой оказались современные физики, столкнувшись в своих исследованиях атома и его различных частиц с множеством парадоксальных и необъяснимых (с привычной точки зрения) феноменов, составивших в своей совокупности основу современной квантовой физики. К наиболее известным из таких удивительных феноменов квантовой физики, прежде всего, относятся: дуализм природы электрона (и других элементарных частиц), заключающийся в том, что он способен проявлять свою природу, и как частица (локальность), и как волна (нелокальность); воздействие наблюдателя на различные проявления электрона в ходе проведения экспериментов, заключающееся в том, что наличие или отсутствие наблюдателя за процессом эксперимента воздействует на проявление электроном своих локальных или нелокальных свойств. Думаю, что здесь нет необходимости глубоко вдаваться в проблемы квантовой физики, поскольку уже сказанного будет вполне достаточно для того чтобы представить себе характер схожих проблем и трудностей, которые будут сопутствовать изложению дальнейшего материала. Кроме того, необходимо отметить, что и в истории развития самой Математики имеются достаточно показательные примеры того, как возникновение нового, прорывного направления вызывало ответную реакцию непонимания и непринятия со стороны большинства профессиональных математиков. И требовалось некоторое время и определенные усилия отдельных ученых на то, чтобы необычные и непривычные идеи заняли свое достойное место в математической науке. Так, например, случилось с исчислением бесконечно малых величин, или дифференциальным исчислением Лейбница, или исчислением флюксий Ньютона. Следует заметить, что упомянутое дифференциальное исчисление, представляет собой раздел математики, оперирующий бесконечно малыми величинами и, в этом контексте, является достаточно схожим с «Геометрией Точки», так же оперирующей бесконечно малыми, но уже не величинами Чисел (Количествами), а Формами. Кроме того, именно в дифференциальном исчислении, была продемонстрирована его геометрическая трактовка, в которой, пожалуй, впервые Точка линии графика функции обрела свою простейшую треугольную (прямоугольного треугольника) Форму (см. рис. 1). Так, дифференциал (производная) функции в Точке, позволил эту самую бесформенную Точку оформить в прямоугольный треугольник! Точку, заключающую в себе Форму прямоугольного треугольника, по сути дела, можно считать предвестником проникновения в непроницаемые глубины её бесформенной Формы. 5 Y ∆y y1 α ∆x 0 x1 X f′(x) = y′ = lim(∆y/∆x) = ∂y/∂x = tg(α) ∆x→0 Рис. 1 Геометрическая трактовка сути дифференциала (производной) функции в Точке Таким образом, в основе дифференциального исчисления, наверное, впервые было введено и использовано представление о топологии (Форме) Точки в виде бесконечно малого прямоугольного треугольника, значение величин катетов которого связаны между собой некой функцией, производной от исходной функции. Как можно сказать, что всё бесконечное множество арифметических натуральных чисел проявилось от Единственности в виде Единицы, посредством её различного Количества, так же можно сказать, что и всё бесконечное множество геометрических Форм проявилось (оформилось) от той же, по своей сути, Единственности в виде Точки, посредством её различных Форм. Другими словами, можно сказать, что все бесконечное разнообразие различных геометрических Форм произошло (оформилось) от уникальной бесформенной Формы Точки! И в этом, кажущемся парадоксальном и бесполезном обстоятельстве, сокрыт глубочайший философский смысл, который заслуживает своего отдельного и внимательного исследования. Поэтому, когда ко мне впервые пришла идея о том, что Точка – это окружность бесконечно малого диаметра, а «прямая линия» (далее – Прямая) – это та же окружность, но уже бесконечно большого диаметра, то я буквально ощутил и пережил всё парадоксальное единство Точки, Прямой и Окружности. При этом, поначалу, я даже не обратил своего внимания на то, что одну и ту же, целую бесконечность различных величин окружности разделил на два свои крайние противоположные проявления (полюса) в виде Точки и Прямой (рис. 2). По сути дела, я их облачил в единую (общую) Форму окружности, подобно тому, как в дифференциальном исчислении Точка линии графика функции была облачена в Форму прямоугольного треугольника. Рис. 2 Точка и Прямая, как два крайних противоположных проявления одной и той же окружности в её бесконечно малом и бесконечно большом виде 6 Так, Точка в Форме окружности, стала моим первым и, по большей части, интуитивным шагом на пути рассмотрения (исчисления) бесконечно малой Формы. Если попытаться как-то сопоставить и сравнить между собой две различные Формы (прямоугольный треугольник и окружность), по сути своей, одной и той же Точки, то можно заметить одно достаточно важное обстоятельство. Дело в том, что в дифференциальном исчислении, производная функция между значениями величин катетов (отношение f′(x) = ∂y/∂x) бесконечно малого прямоугольного треугольника, полностью определяется характером отношения y/x в изначальной (первичной) функции. То есть такая треугольная Форма Точки применима лишь в рамках линии графика функции, как некоего целого, определяющего самим собой и все множество своих различных отдельных частей – Точек, составляющих её. Однако, как только Точка изымается из контекста линии графика функции и её производной, то любое её обособленное и автономное рассмотрение в виде аналогичного прямоугольного треугольника сразу же теряет всякий смысл и вырождается в неопределенность, пожалуй, всем известного вида – 0/0! Думаю, что именно такое противоречивое видение одной и той же, треугольной Формы Точки, воспринимаемой в рамках линии графика некой функции и отдельной свободной автономии, и явилось причиной множества недоразумений, некоторой неразберихи и достаточно долгого непонимания тонкого смысла дифференциального исчисления. В отличие от треугольной Формы Точки в дифференциальном исчислении, её представление в Форме окружности лишено подобных ограничений и неопределенности. Поэтому, в этом смысле, идея Точки, как бесконечно малой окружности, представляется достаточно универсальной. Однако, куда идти дальше из этого положения, мне было совершенно не видно. Интуитивно я ощущал, что за этой идеей обязательно что-то скрывается, и проникновение туда является делом лишь времени. Итак, прежде чем приступить к дальнейшему оформлению Точки, рассмотрим решение одной интересной задачи, которую по воле случая и как нельзя вовремя я обнаружил на необъятных просторах Интернет (http://gadaika.ru/geometry/chislo-pi-ravno-dvum). 7 Дано: окружность радиуса R. Кривая А (на рисунке красная) построена из двух полуокружностей радиуса R/2. Следовательно, длина кривой А равна π*R. Кривая B построена из четырёх полуокружностей радиуса R/4, её длина также равна π*R. Аналогично, кривая C построена из восьми полуокружностей радиуса R/8 и длина её так же составляет π*R. Продолжая построение, получим последовательность кривых, составленных из полуокружностей радиуса, стремящегося к нулю, длина всех этих кривых равна π*R. Очевидно, что кривые, с увеличением числа составляющих полуокружностей и с уменьшением их радиуса, стремятся к отрезку MN, длина которого равна 2R. Таким образом, в пределе получаем: π*R = 2R, следовательно, π=2 А теперь - вопрос: доказано, что число Пи равно двум. Почему же повсеместно используется более длинное и неудобное значение 3.1415...? Задача, просто прекрасна, поскольку, по своей сути, совершенно уникальным образом использует метод дифференциального исчисления, адоптировав при этом свою привычную треугольную форму Точки, в Форму полуокружности. Однако общепринятый «правильный»! ответ на поставленный вопрос, просто убивает весь огромный потенциал этой задачи, сведя его к распространенной формуле, - «этого не может быть потому что, этого не может быть никогда». Поэтому и «правильный» ответ должен быть соответствующим этой формуле. Ответ: С уменьшением радиуса полуокружностей, составляющих кривую, она приближается к отрезку-диаметру MN, однако форма полуокружностей не меняется. Сколь "мелкими" они бы ни становились, их длина всё равно будет равняться π*R. Поэтому, как это ни печально, число π не равно двум. А как было бы удобно, если бы это было правдой! 8 Да, такая высокомерная, однозначная и уничтожающая ирония в этом ответе, наверное, напрочь отбивает какое бы то ни было желание как-то самостоятельно хотя бы пошевелить собственными мозгами в каком-нибудь ином направлении. Вообще, у нас, зачастую, как-то принято демонстрировать способность шевеления собственными мозгами, вовсе не напрягая их и вообще не шевеля ими, а посредством подсматривания, запоминания и последующего озвучивания «правильных» ответов … Однако это уже другая, не менее интересная тема для отдельного исследования. Не кажется ли вам, многоуважаемый читатель, что вся ситуация с решением этой задачи очень напоминает давнишнюю историю с изначальным непониманием смысла дифференциального исчисления. Ведь, значение функции и её производной, в одной и той же Точке (для одного и того же значения x), так же давали два различных результата! Поэтому, наверное, и потребовалось некоторое время на то, чтобы переосмыслить и понять то, что различие этих значений определяется различием точки зрения на одну и ту же Точку (прошу простить меня за вынужденную тавтологию) линии графика функции. В этом контексте, не могу здесь отказать себе в удовольствии и не упомянуть об удивительном подобии механизма исчисления производной в Точке графика функции и одной из основных тайн т.н. алхимического Великого Делания, которая может быть выражена в следующей формуле, «Всё сливается в Одно, делимое на Два» Когда я впервые прочитал условие этой задачи, то буквально сразу же понял, как выглядит её «правильный» ответ. Я специально выделил здесь слово «выглядит», поскольку, по большому счету, именно так дело и обстоит, «правильный» для нас тот ответ, который таковым выглядит!!! Почему бы, например, хотя бы не предположить, что, в рамках рассматриваемой задачи, Форма Точки диаметра окружности является такой, что число π для неё обретает (выглядит!) значение двойки, т.е. π/. = 2! Стоп! Вот где-то в этом месте меня озарила идея о том, что Форма Точки подобна окружности, раз она обладает, хотя и своим, но все-таки неким характеристическим числом π, суть которого заключается в отношении величины замкнутой периметральной (периферийной) линии (окружности), к её же, соответствующей максимальной прямолинейной величине (диаметру). По сути дела, значение этого отношения представляет собой ни что иное как своеобразную производную Формы окружности. Т.е. число π – это значение отношения величин двух различных линий, заключенных в одной и той же Форме окружности. Поэтому окружность, как целостная Форма, может быть рассматриваема, как своеобразная и вполне определенная топологическая функция, а число π – это значение её производной! Все это, так или иначе, но привело меня к удивительной и необычной мысли о том, что существует некий универсальный агент, применимый в Геометрии, который позволяет в одной и той же Точке получить слияние всего бесконечного множества её разнообразных Форм, в её же одну-единственную, универсальную Форму. Тогда можно будет использовать возникающую связь между различными отдельными Формами и этой самой одной универсальной 9 или опорной Формы Точки в качестве их некой функции, которая всецело определяет её соответствующую производную в Точке! Иначе говоря, тогда можно будет использовать эту уникальную ситуацию одновременного различия и тождества с этой самой универсальной Формой Точки для того, чтобы определить свое характеристическое число для любой Формы, которое, по сути своей, будет иметь смысл производной функции, связывающей между собой любую отдельную Форму, с универсальной Формой Точки в их тождество друг другу! Но все же, более всего меня поразило и впечатлило то обстоятельство, что, казалось бы, бесформенная Точка, вместе с тем, заключает в самой себе все бесконечное и разнообразное множество различных Форм. Причем, речь здесь идет о различных Формах, в их, так сказать, «чистом» виде, независимо от их размеров (величин), ибо все они обладают одной и той же, - Точечной (бесконечно малой) величиной. Поэтому и числа, используемые для описания разнообразных Форм Точки, обретают качественно иной и непривычный смысл. Поскольку своим количеством они характеризуют уже не какую-то отдельную величину или размер рассматриваемой Формы, а саму Форму, как таковую, в её целостности. В результате, такая уникальная особенность бесформенной формы Точки, позволяет сотворить такую же уникальную её Геометрию, Геометрию Точки, которая, по меньшей мере, предоставляет в распоряжение исследователя следующие необычные возможности: определение характеристических чисел (подобных числу π окружности) для различных отдельных Форм, позволяющих оперировать целыми Формами; буквального целостного и системного рассмотрения всего бесконечного разнообразия различных отдельных Форм в пределах одной универсальной и ограниченной Формы Точки, т.е. рассмотрение всей целой бесконечности, упакованной в конечной Форме Точки. Уже сегодня я уверен в том, что в ходе более детальной и основательной разработки теории Геометрии Точки, перечень её основных возможностей будет существенно расширен, детализирован и уточнен. Однако уже даже сейчас, пребывая лишь на пороге этой необычной Геометрии, вполне можно говорить об её универсальной уникальности и большом потенциале. И последующие материалы настоящей статьи, я надеюсь, послужат тому достаточным подтверждением. 10 2. ДЕЛАНИЕ «КРУГЛОГО КВАДРАТА» - ТАЙНЫЙ КЛЮЧ К ГЕОМЕТРИИ ТОЧКИ Прежде, чем продолжить дальнейшее изложение, хотелось бы ещё раз особо обратить внимание на уникальное свойство Точки, проявляющееся в том, что она отсутствием в себе какой бы то ни было Формы, - в своей «форменной пустоте» или «бесформенности», заключает всё бесконечное разнообразие различных Форм! И в этом смысле все они в ней тождественны друг другу! Вместе с тем, рассматривая каждую из возможных частных Форм Точки, но уже в её отдельности, самой по себе как таковой, совершенно ясно видно её отличие от других, аналогичных Форм. Именно эти отличительные черты и позволяют различать их друг от друга в бесконечном множестве разнообразных Форм. Таким образом, с одной стороны, все возможные Формы в Точке являются тождественными друг другу и одной-единственной «бесформенной» (пустой или неразличимой) Форме Точки. А, с другой стороны, эти же формы, сами по себе как таковые, являются различными друг от друга. Здесь имеется в виду различие в Форме, поскольку по своей величине (размеру) все они равны величине одной и той же Точки. Этот, кажущийся очевидным парадокс и его решение является ключевым для понимания основополагающего смысла (сути) Геометрии Точки. Иначе говоря, в данном случае возникает уникальная и казалось бы безвыходная (тупиковая) ситуация, в которой, с одной стороны, все возможные различные Формы являются тождественными одной-единственной неразличимой Форме Точки, а, с другой стороны, кажется невозможным найти какой-то критерий (свойство), позволяющий на него опереться, чтобы суметьтаки различать эти же самые разнообразные отдельные Формы той же Точки между собой. И здесь на помощь приходит уже достаточно отработанный и проверенный для меня метод, – выход из тупика через уже известный вход в него. Не вдаваясь в подробности, суть идеи заключается в том, что сами Числа (их знаки - цифры), а так же их разнообразные множества обладают своей вполне определенной Формой (топологией), которой в них, зачастую, отводится роль лишь вспомогательного и формального (выразительного) графического средства, обеспечивающего их целостное различение между собой и не имеющего никакого иного значения. Поэтому, если Числа обладают своей определенной Формой, позволяющей отличать их от аналогичных Форм других Чисел, то, думаю, что не сложно будет предположить так же и возможность обратного, т.е. того, что Формы обладают своим вполне определенным Числом, позволяющим отличать их от аналогичных Чисел других Форм. Какой бы странной и, возможно, даже абсурдной не казалась эта идея, однако, пожалуй, любой школьник знает одно такое Число, которое помимо своей количественной величины, так же характеризует собой и вполне определенную целую Форму. Таким Числом является Число π = 3,14 …, которое являет собой неотъемлемую и целостную характеристику окружности, круга, сферы, шара и т.п. Поскольку в «бесформенной» Форме Точки любые Формы тождественны друг другу, в том числе и окружность, круг, сфера, шар и т.п., то другие Формы, отличные от них, также должны обладать неким своим целостным характеристическим («форменным») Числом, подобным Числу π. 11 Помимо того, что «бесформенная» Форма Точки проявила (породила) парадоксальное единство тождества и различия всевозможных разнообразных Форм, она так же проявила и аналогичное парадоксальное единство тождества и различия одной-единственной (конечной и универсальной) Формы Точки и бесконечного множества всевозможных различных Форм. То есть однаединственная конечная (обозримая) «бесформенная» Форма Точки, парадоксальным образом заключает в самой себе целую бесконечность всевозможных различных Форм. В связи с этим, хотелось бы обратить внимание так же на то, что все различные Числа, в своём естественном порядке, образуют бесконечный ряд, который обычно уподобляют т.н. «числовой шкале», «числовой оси» или «числовой прямой», олицетворяющей собой вполне конкретную Форму своеобразного бесконечного числового пространства (множества) Арифметики. То есть весь бесконечный числовой ряд (пространство) Арифметики по своей Форме соответствует бесконечной Прямой линии, которая уже изначально не может быть охвачена взором целиком, - не предоставляет возможности её непосредственного целостного рассмотрения. Вместе с тем, Точка, в контексте Геометрии Точки, в своей естественной бесформенности (пустотности) и непосредственной целостной созерцаемости, целиком заключает в себе всё бесконечное множество различных Форм. То есть все бесконечное множество различных Форм Геометрии по своему Количеству соответствуют одной-единственной ограниченной Форме Точки, Единице. Поэтому, с точки зрения Геометрии, бесконечное числовое пространство Арифметики соответствует бесконечной Прямой, а бесконечное пространство различных Форм Геометрии Точки соответствует конечной Точке. Как уже отмечалось раннее, Точка и Прямая – это две противоположные Формы одной и той же окружности в своих крайних степенях проявления, - бесконечно малой и бесконечно большой окружности. В этом контексте, можно рассмотреть, по меньшей мере, две достаточно интересные идеи: Точка и Прямая являют собой целостную формальную Систему двух изначальных противоположных Форм одного и того же Начала (Окружности), лежащую в основе всей Геометрии. Поэтому, учитывая соответствие всего бесконечного числового ряда Форме Прямой, по большому счету, можно сказать, что Арифметика и Геометрия в лице Геометрии Точки представляет собой целостную (полностью исчерпывающую) формальную Систему Математики; Точка и Прямая, по своей сути, являют собой результат созерцания (видения) одной и той же бесконечности Окружности с двух различных (противоположных) относительно неё самой точек зрения, соответственно, с внешней и внутренней точки зрения. Поэтому постижение (познание) этой бесконечности всего лишь с внешней точки зрения (одной из этих двух точек зрения), т.е. в Форме Точки, позволяет познать всю необъятную бесконечность (с внутренней точки зрения) в своей целостной и конечной проявленной Форме Точки. Несмотря на свою кажущуюся парадоксальность, это достаточно тонкая и наиважнейшая идея, по своей сути, позволяет объять необъятное или созерцать бесконечность всю целиком, как любую обычную ограниченную вещь. В этом смысле, по своим потенциальным 12 возможностям, Геометрия Точки является уникальным направлением (областью) в Геометрии и Математике, в её целом, обеспечивающим системное обретение разнообразных Математических знаний и построения (интегрирования) их в единую и целостную Систему. В связи с этим, Геометрию Точки вполне можно уподобить своеобразной Математической реализации знаменитого и таинственного изречения дельфийского оракула «Познай самого себя», которое древнегреческий философ Хилон развил так: «Познай самого себя, и ты познаешь богов и Вселенную». Ибо Геометрия Точки заключает в себе весь бесконечный Математический мир целиком так же, как и наше «Я» - такая же по своей сути «Точка» - Часть, заключает в себе всю бесконечную Вселенную целиком. Поэтому Точка в бесконечной Геометрической (Математической) Вселенной, и наше «Я» в окружающей нас бесконечной Вселенной, представляют собой подобные уникальные отдельные частицы этих самых своих Вселенных, обладающие одновременно особым голографическим или нелокальным свойством, отождествляющим их с целой бесконечной Вселенной! Именно об этих удивительных свойствах и возможностях Геометрии Точки и пойдет речь ниже. Говоря о неком универсальном агенте, позволяющем в одной и той же Точке получить слияние всего бесконечного множества её разнообразных отдельных Форм, в её одну универсальную Форму, у читателя может сложиться впечатление о том, что я здесь иду одному мне уже откуда-то известным путем и как заправский иллюзионист из ниоткуда достаю какие-то непонятные и странные вещи … И отчасти такое впечатление является небезосновательным, поскольку здесь я действительно намерен представить лишь непосредственный результат и саму основную суть своих исследований, вынуждено опуская все многочисленные тонкие и, зачатую, невыразимые моменты и нюансы того, каким образом мне удалось ко всему этому прийти. Поэтому прошу уважаемого читателя отнестись с терпимостью и пониманием к тому, что я уже знаю куда идти, но испытываю существенные трудности в ясном и адекватном описании дороги к нему. Итак, что же представляет собой упомянутый выше агент? Прежде всего, этот универсальный агент должен позволять сливать (соединять) все бесконечное множество разнообразных отдельных Форм, в одну универсальную (единую или всеобщую) Форму Точки. Другими словами, этот агент должен позволять получать из любой отдельной Формы, одну и ту же универсальную Форму Точки, являющую собой тотальное тождество всего бесконечного множества разнообразных отдельных Форм. Кроме того, этот же агент, самим своим актом действия этого необычного слияния, и определяет ту самую одну универсальную Форму Точки, с которой сливаются (соединяются или отождествляются) все иные отдельные Формы. Вообще, мысль об этом агенте пришла ко мне достаточно давно, в связи с многим известной древней задачей «о квадратуре круга». Еще более пяти лет назад я пришел к тому, что эта задача была вовсе не на построение с помощью линейки и циркуля круга и квадрата, равных по своей площади, а на получение из них одного и того же, их тождества в одном и том же или слияние этих двух различных Форм, в одну Форму. Ниже я ещё вернусь к рассмотрению этой очень интересной задачи. Сейчас же наступил момент представления того 13 универсального агента, о котором до сих пор я так пространно пытался говорить. Таким таинственным агентом слияния двух Форм в одну является ВРАЩЕНИЕ! Думаю, что в качестве вполне достаточных пояснений к сказанному послужит графический образ, представленный на рис. 3. вращение СМОТРИ! Рис. 3 Квадрат и круг, сливающиеся (преВРАЩАЮЩИЕСЯ!) в один и тот же Круг посредством их центрального вращения Дело в том, что если взять такой квадрат, который вписан в круговую Форму Точки, то при своем центральном вращении он превращается в круг, который совершенно совпадет или тождественен этой самой исходной круговой Форме Точки. При этом, сама круговая Форма Точки, в результате этого же центрального вращения, превращается в саму себя, т.е. – не изменяет своей исходной статической Формы и продолжает неизменно оставаться круговой. Другими словами, круг и вписанный в него квадрат, при их совместном центральном вращении, соответственно, не изменяет и изменяет свою Форму таким образом, что становятся (превращаются) в одну и ту же Форму круга, т.е. круг и квадрат в результате их совместного центрального вращения являются тождественными друг другу в Форме круга. Именно так и выглядит простейшее решение достаточно широко известной древней задачи «о квадратуре круга». И как тут не задуматься над тем, что, возможно, древнегреческие (или какие-то другие) математики самой этой задачей пытались донести до нас сквозь века одну из драгоценностей мысли человеческой, которой они обладали ещё в свое время, а мы сегодняшние, просвещенные и цивилизованные, лишь кое-как доходим до этого же только сейчас. Однако более подробно остановимся на этой мысли в своем месте, несколько позже. Так, эта древняя и, как многим сегодня кажется, бесполезная задача позволила обрести идею о том, что любая плоская Форма в результате своего центрального вращения становится тождественной одной и той же Форме круга. Поэтому круг, в этом смысле, для всего бесконечного разнообразия различных плоских Форм, воплощает собой одну-единственную универсальную Форму, которая заключает в самой себе любые плоские Формы и через которую все плоские Формы обретают свое тотальное и парадоксальное тождество. Поэтому для всего целого бесконечного множества всевозможных плоских Форм, изначальная и тотальная «бесформенная» Форма Точки обретает свою частную универсальную Форму в виде круга. Стоит отметить, что процедура (действие) вращения (в наиболее общем виде, - движения) в традиционной геометрии используется издревле. Однако эта, в некотором роде физическая (механическая) процедура или действие, 14 использовалось лишь для получения из одних Форм, каких-то уже других Форм. В Геометрии Точки, напротив, вращение используется как особый и универсальный агент (средство или инструмент) тотального (всеобщего) синтеза, позволяющий из любой Формы получить одну-единственную Форму Точки. Например, издавна наиболее известен образ того, как прямолинейное движение Точки (ноль-мерного пространства одной-единственной «бесформенной» Формы) позволяет получить Прямую линию (одно-мерное пространство различных Форм), в свою очередь, прямолинейное движение Прямой линии позволяет получить Плоскость (дву-мерное пространство различных Форм), наконец, прямолинейное движение Плоскости позволяет получить трех-мерное пространство различных Форм. Точно так же вращение Точки вокруг некоего центра, позволяет получить линию окружности; вращение отрезка линии относительно своего центра (или одного из своих концов), позволяет получить круг; вращение окружности относительно оси, совпадающей с её диаметром, позволяет получить сферу; вращение круга относительно оси, совпадающей с его диаметром, позволяет получить шар; вращение круга относительно оси, несовпадающей с его диаметром, позволяет получить тор и т.д. Наверное, уже совсем не трудно догадаться о том, что среди всего бесконечного множества разнообразных отдельных Форм существует лишь несколько, которые в результате своего центрального вращения превращаются в самих себя. Именно они и представляют собой те самые частные универсальные Формы Точки, с которыми сливаются в одно любые иные её разнообразные Формы. К таким частным универсальным Формам Точки, прежде всего, относятся: окружность; круг; сфера; шар. Соответственно: любые Формы линии (одно-мерные Формы), посредством своего центрального вращения, превращаются в одну и ту же окружность. Тождество любой одно-мерной Формы с Формой окружности в дальнейшем условно будем называть её сигнатурой; любые Формы поверхности - площади (дву-мерные Формы), посредством своего центрального вращения, превращаются в один и тот же круг или сферу. Тождество любой дву-мерной Формы с Формой круга или сферы в дальнейшем условно будем называть её квадратурой; любые Формы тела - объема (трех-мерные Формы), посредством своего центрального вращения, превращаются в один и тот же шар. Тождество любой трех-мерной Формы с Формой шара в дальнейшем условно будем называть её кубатурой. Необходимо заметить, что в качестве частных универсальных Форм Точки могут быть использованы так же и другие Формы вращения, например, такие, как конус, цилиндр, тор. Однако, в любом случае, речь будет вестись 15 лишь об относительной сигнатуре, квадратуре или кубатуре рассматриваемой отдельной Формы Точки. Сигнатура, квадратура и кубатура любой отдельной Формы Точки выражается определенным характеристическим числом, подобным числу π окружности (круга, сферы, шара), которое представляет собой целостную числовую характеристику рассматриваемой отдельной Формы. Здесь следует обратить внимание на то, что сигнатура, квадратура и кубатура, по своему внешнему образу подобны, соответственно, таким обычным и привычным характеристикам различных Форм, как их периметр, площадь и объем. Однако, поскольку в Форме Точки речь идет не о каких-то величинах (размерах) различных её Форм, а исключительно о Формах, в их так сказать целостном и «чистом» виде, относительно определенных частных универсальных Форм Точки (окружности, круга, сферы, шара), то их периметр, площадь и объем в таком случае обретают свой новый, относительный смысл, приведенный к одной из частных универсальных Форм Точки (геометрической производной). Таким образом, сигнатура, квадратура и кубатура различных Форм, по своей сути, представляет собой не что иное, как своеобразную периметральную, площадную и объемную характеристику (геометрическую производную) именно целостных Форм, а не их каких-то величин (размеров). Рассмотрим несколько примеров определения величины сигнатуры - π(I), квадратуры - π(II) и кубатуры - π(III) нескольких различных Форм. Пример 1 Порядок определения сигнатуры равностороннего треугольника: На рис. 4 представлен графический образ – схема, предназначенная для определения сигнатуры равностороннего треугольника. B M O A C Рис. 4 Схема для определения сигнатуры равностороннего треугольника 1). Пусть |AB| = |BC| = |AC| = a, 2). Значение величины формулой: P∆ = a+a+a = 3 • a периметра треугольника определяется 3). Значение величины длинны окружности определяется формулой: C = 2 • π • R = (2 • π • a)/√3 4). Значение величины сигнатуры треугольника определяется из тождества величин длинны окружности и периметра треугольника: 16 C = P∆ (2 • π(I) • a)/√3 = 3 • a π(I) = (3 • √3)/2 Сигнатура равностороннего треугольника определяется числом: π(I) = (3• √3)/2 Пример 2 Порядок определения квадратуры квадрата: На рис. 5 представлен графический образ – схема, предназначенная для определения квадратуры квадрата. B A O C D Рис. 5 Схема для определения квадратуры квадрата 1). Пусть |AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a, 2). Значение величины площади квадрата определяется формулой: S□ = a • a = a2 3). Значение величины площади круга определяется формулой: S○ = π • R2 = π • (a/√2)2 = π • (a2/2) 4). Значение квадратуры квадрата определяется из тождества величин площади круга и площади квадрата: S○ = S□ π(II)□ • (a2/2) = a2 π(II)□ = 2 Квадратура квадрата определяется числом: π(II)□ = 2 Пример 3 Порядок определения кубатуры куба: 1). Пусть a – сторона куба 2). Значение величины объема куба определяется формулой: V□ = a • a • a = a3 17 3). Значение величины объема шара определяется формулой: V○ = 4/3 • π • R3 = 4/3 • π • (a • √3/2)3 = 4/3 • π • a3 • 3 • √3/8 = π • a3 • √3/2 4). Значение кубатуры куба определяется из тождества величин объема шара и объема куба: V○ = V□ π(III)□ • a3 • √3/2 = a3 π(III)□ = √3/2 Кубатура куба определяется числом: π(III)□ = √3/2 Сигнатуры, квадратуры и кубатуры представляют собой не только соответствующее числовое выражение различных целостных Форм, но и предоставляют возможность для оперирования целыми Формами, как обычными числами. Так, например, квадратура равнобедренного прямоугольного треугольника соответствует половине квадратуры квадрата. Сегодня мне еще трудно говорить о каких-то перспективах развития и использования характеристических чисел разнообразных Форм, но, вполне возможно, что они займут свое соответствующее место в математической науке. 18 3. СИСТЕМА РАЗНОВИДНОСТЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Как уже отмечалось выше, Геометрия Точки создает уникальные условия, позволяющие рассматривать, исследовать и оперировать всем бесконечным множеством разнообразных различных Форм в пределах однойединственной универсальной Формы. Причем, и это обстоятельство следует особо отметить, речь здесь идет именно о Формах, в их, так сказать, «чистом» и целостном виде, без применения какого-либо разделения их на отдельные части и их количественных (числовых) оценок. Хотя числовые характеристики и их закономерности в различных Формах, отнюдь, не исключаются из рассмотрения в Геометрии Точки, а лишь обретают статус своеобразных вторичных методов, в некотором роде, обслуживающих основную идею. Так, Круг представляет собой ту самую универсальную Форму, в рамках которой можно рассмотреть все целое бесконечное множество разнообразных различных треугольных Форм (треугольников). В этом случае, тождество одного-единственного Круга и бесконечного разнообразия различных треугольников позволяет использовать ограниченную Форму Круга в качестве некоего конечного и универсального поля (пространства), для буквального и непосредственного рассмотрения всего бесконечного разнообразия различных треугольников! Думаю, что не будет преувеличением, если скажу, что сегодня практически каждый школьник знает о том, что все возможные треугольники по своей форме подразделяются на три разновидности, - остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Эти знания кажутся настолько тривиальными, очевидными и незыблемыми, что сами названия этих разновидностей являются вполне исчерпывающими для их определения и отнесения того или иного треугольника к соответствующей разновидности. Однако Геометрия Точки позволяет не только представить альтернативный критерий (вариант) разделения всех треугольников на их три известных различных разновидности, но и буквально увидеть это собственными глазами! Увидеть то, что среди всего бесконечного разнообразия различных треугольников, существует лишь две противоположные их разновидности, остроугольные и тупоугольные, разделяющиеся относительно уникальной, экстремальной (граничной или серединной) и третьей прямоугольной разновидностью. На рис. 6 представлена графическая схема целостной Системы распределения в поле Круга остроугольных, прямоугольных и тупоугольных разновидностей треугольников. Остроугольные треугольники различаются от тупоугольных в формате одного и того же Круга лишь тем, что если через любую одну из трех вершин треугольника (кроме вершины при тупом угле) провести диаметр Круга, в который они вписаны, то две его оставшиеся вершины будут лежать, соответственно, либо по обе, либо по одну сторону от этого самого диаметра. Экстремальность (уникальность) же прямоугольных треугольников заключается в том, что две его вершины (при острых углах) лежат на одном диаметре Круга (или гипотенуза совпадает с диаметром). Иначе говоря, с точки зрения остроугольных или тупоугольных треугольников, две оставшиеся вершины прямоугольного треугольника (одна – при прямом угле, а другая – при оставшемся втором остром угле) одновременно лежат и по обе, и по одну сторону от диаметра, проходящего через одну из его вершин (при любом из двух его острых углов). 19 ТРЕУГОЛЬНИКИ Остроугольные Прямоугольные Тупоугольные СМОТРИ! Рис. 6 Схема целостной Системы распределения различных разновидностей треугольников На рис. 7, представлена упрощенная графическая схема, демонстрирующая Систему разделения всего бесконечного разнообразия различных треугольников на их отдельные разновидности. Треугольники Тупоугольные Остроугольные треугольники треугольники Прямоугольные треугольники Рис. 7 Схема разделения треугольников на свои различные (противоположные) разновидности В связи с такой естественной и очевидной экстремальностью Формы прямоугольных треугольников, они и обладают известными уникальными свойствами. Так, существует теорема, гласящая о том, что вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Одним из следствий этой теоремы является то, что вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, является прямым, так как он опирается на половину окружности. Возможно, что это покажется странным и необоснованным (с привычной точки зрения), но из рассмотренной целостной Системы разделения (разграничения) всех треугольников на различные их разновидности с абсолютной точностью и необходимостью следует, а также не нуждается ни в 20 каких специальных дополнительных доказательствах справедливость того, что если одна из сторон вписанного в круг (окружность) треугольника совпадает с его диаметром, то такой треугольник однозначно является прямоугольным, а его сторона, совпадающая с диаметром, – гипотенузой. Справедливо так же и обратное, - что если прямоугольный треугольник вписан в круг (окружность), то его гипотенуза совпадает с диаметром этого круга (окружности). Однако наиболее ярким и глубоким (в самом широком смысле, включая философский смысл) свойством прямоугольных треугольников является, конечно же, широко известная теорема Пифагора. Эта теорема интересна и уникальна, прежде всего, тем, что её конечная количественная формула заключает в себе все бесконечное разнообразие различных прямоугольных треугольников. Т.е. формула теоремы Пифагора представляет собой ни что иное как конечную и уникальную количественную (числовую) форму упаковки бесконечности, - бесконечного множества различных прямоугольных треугольников: a2 + b2 = c2 Кстати, используя возможности Геометрии Точки, можно получить аналогичную, геометрическую «формулу» - Форму, заключающую в себе все бесконечное множество различных прямоугольных треугольников (см. рис. 8). Круглый прямоугольный треугольник Рис. 8 Геометрическая «формула» - Форма всех различных прямоугольных треугольников Необычность такого круглого прямоугольного треугольника заключается в том, что одна из его сторон представляет собой дугу в четверть окружности, определяемой тремя предельными точками-вершинами равнобедренного прямоугольного треугольника и соответствующей геометрическому месту его третьей вершины. Поэтому такой смешанный прямоугольный треугольник, вполне может олицетворять собой своеобразную геометрическую ФОРМУлу, заключающую в своей явной и ограниченной Форме все бесконечное множество различных Форм прямоугольных треугольников! В завершение этого раздела, хотелось бы обратить внимание ещё на одно известное свойство всех треугольников, которое в рамках Геометрии Точки приобретает качественно иной «привкус». Речь идет о теореме, гласящей о том, что через любые три различные точки, не лежащие на одной прямой, можно провести лишь одну-единственную окружность. 21 Из рассмотрения целостной, исчерпывающей и единой Системы разделения всех треугольников на их различные разновидности (остроугольные, прямоугольные и тупоугольные), с абсолютной точностью и необходимостью следует, а также не нуждается ни в каких специальных дополнительных доказательствах справедливость того, что любые три различные точки, не лежащие на одной прямой, совершенно точно и однозначно определяют соответствующий им треугольник (треугольную Форму). Этот треугольник может быть вписан в один-единственный Круг (Окружность), поскольку один и тот же треугольник не может обладать двумя различными своими формами! Уже второй раз в этом разделе, в рамках рассмотрения Геометрии Точки, применительно к треугольникам, представлены некие, кажущиеся странными, утверждения (формулировки), которые характеризуются совершенно точными, необходимыми и не нуждающихся в каких-то специальных дополнительных доказательствах. Речь идет о свойствах любого прямоугольного треугольника, вписанного в Круг (Окружность), а так же о единственности Круга (Окружности), описывающего любой треугольник. Эти формулировки требуют особого внимания, поскольку сам формат их построения представляется достаточно непривычным и необычным, а их статус (т.н. своеобразная доказательная сила) кажется каким-то неопределенным и неправильным. Всё это, на мой взгляд, существенно отличает их от аксиом и теорем, в их привычных и общепринятых смыслах. С одной стороны, эти формулировки не столь просты, как аксиомы, а, с другой стороны, они не столь сложны и не столь строго логически увязаны, как теоремы. Однако самым главным и удивительным их качеством является то, что они являются естественным результатом целостного и единого рассмотрения (видения) всей Системы бесконечного множества различных Форм (в данном случае треугольников). Очень трудно выразить правильными словами ту совершенно удивительную (на мой взгляд) идею, которую пытаюсь сейчас представить. Как это не странно прозвучит, но сегодня я бы назвал подобные формулировки своеобразными «эмпирическими геометрическими фактами»! Ведь целостное видение (вЕдение), для своих составляющих отдельных (локальных) частей, в их естественном единстве, не нуждается ни в каких доказательствах (подобно теоремам), ни в достаточно произвольных бездоказательных началах (подобно аксиомам). Само одно-единственное Целое необходимо определяется в своих бесконечно разнообразных Частях (в их целостной Системе), а целостная Система этих самых бесконечно разнообразных Частей – с такой же необходимостью определяется их Целым … Кроме того, необходимо отметить, что любой воспринятый физический факт никогда не станет исчерпывающим, ибо никакая их ограниченная совокупность просто не способна охватить собой всю бесконечность их бытия … Геометрические же факты, как, впрочем, и вся Математика в целом, напротив, представляет собой уникальный формальный познавательный инструмент, способный охватить (объять) собой разом весь бесконечный Математический мир. И, в этом смысле, Геометрия Точки представляет собой совершенно уникальное и мощное средство обретения самых разнообразных своих фактов. 22 4. КВАДРАТ И ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ «ПРЯМОУГОЛЬНИКИ» Круг являет собой не только универсальную геометрическую формулу бесконечного множества разнообразных различных треугольников, но и четырехугольников, как, впрочем, и других многоугольников. И эта универсальная и ограниченная круглая формула позволила буквально рассмотреть и выявить среди всего бесконечного разнообразия различных треугольников их своеобразную экстремальную (Серединную) разновидность Формы, - прямоугольного треугольника, относительно которой все остальные разделяются на две большие и противоположные разновидности Форм, остроугольных и тупоугольных треугольников. В связи с этим, возникло предположение о том, что, возможно, и все бесконечное разнообразие различных четырехугольников аналогичным образом может быть разделено на какие-то две противоположные разновидности Форм, относительно некой экстремальной их разновидности. Однако всевозможные поиски такого разделения четырехугольников поначалу ни к чему не привели. Вместе с тем, скорее всего, интуитивно ощущалось, что если среди всевозможных четырехугольников и существует некая их экстремальная Форма, то ей, скорее всего, должен быть квадрат … Как мне виделось, камнем преткновения в возникшей ситуации стало то достаточно простое и очевидное обстоятельство, что четырёхугольники никоим образом не могут быть разделены по тому же принципу, что и треугольники, т.е. не могут быть разделены на остроугольные и тупоугольные четырехугольники. Дело в том, что если хотя бы один из углов четырехугольника будет острым, то неизбежно и необходимо будет получаться, что хотя бы один из трех оставшихся углов будет тупым, и наоборот. А четырехугольник, который одновременно заключает в себе и острый, и тупой угол, не может быть отнесен ни к остроугольным, ни к тупоугольным, или может быть отнесен разом к обеим этим разновидностям, что, по большому счету, не меняет сути дела. Поэтому остроугольность и тупоугольность, начиная с четырехугольника, и далее для всех остальных многоугольников, уже изначально и принципиально неприменимы в качестве критерия их разделения на некие противоположные разновидности Форм. Так или иначе, но, в конечном счете, я был вынужден вернуться обратно к квадрату, в надежде отыскать в нем самом какой-то иной критерий, который мог бы позволить разделить все бесконечное разнообразие различных четырехугольников. Ибо если такой критерий в действительности и существует, то он обязательно каким-то образом должен присутствовать в квадрате, как предположительно экстремальной Форме разнообразных четырехугольников. Данная предпосылка представляется вполне обоснованной и закономерной, поскольку именно квадрат, как предположительная уникальная (экстремальная или Серединная) граница между двумя противоположными разновидностями Форм разнообразных четырехугольников, должен одновременно заключать в себе нечто, характерное для обеих противоположностей и отсутствующее в них же (выпадающее за границы этих самых противоположностей). Такое уникальное и парадоксальное свойство, характерное для Середины между двумя любыми противоположностями будет рассмотрено подробнее несколько ниже. 23 На основании того, что квадрат – это, прежде всего, частный и уникальный случай (разновидность) разнообразных прямоугольников, мое внимание привлекла прямоугольная форма четырехугольников. То, что одинаково заключено и в квадрате, и в любом прямоугольнике, является вполне очевидным, - это равенство всех четырех углов величине прямого угла. Оставалось лишь отыскать то, что их различает. В связи с этим, первое, что приходит в голову – это то, что у квадрата все его стороны равны, а у прямоугольника равны только попарно противолежащие его стороны, т.е. противолежащие стороны у прямоугольника попарно равны, а смежные – так же попарно неравны. Однако этот очевидный критерий различения квадрата и прямоугольника, к сожалению, не позволяет с такой же очевидностью определить (выявить или проявить) некий таинственный «прямоугольник», противоположный по своей Форме обычному прямоугольнику. Ибо просто не существует никакого иного, противоположного прямоугольника, у которого, наоборот, его противолежащие стороны были бы попарно неравны, а смежные – попарно равны. Что же ещё можно использовать в качестве критерия различения квадрата и прямоугольника? Углы и стороны, - всё это есть и у треугольников. А что такого есть у четырехугольников, чего нет у треугольников? Диагонали! Как только эта простая мысль пришла ко мне, так сразу же все стало ясным и понятным … Прежде всего, стало очевидным, что у квадрата все четыре угла – прямые и диагонали (своеобразная внутренняя его Форма) так же пересекаются под прямым углом, а у прямоугольника все четыре угла – тоже прямые, но диагонали пересекаются уже не под прямым углом! Исходя из этих сходств и различий, можно достаточно просто прийти к идее особого «прямоугольника», Форма которого является противоположной Форме обычного и привычного прямоугольника. Для осуществления этого действа достаточно определить такую, казалось бы, невыразимую Форму «прямоугольника», у которого диагонали пересекались бы под прямым углом (как у квадрата), а все четыре его угла были бы лишь отчасти прямыми (почти как у прямоугольника и квадрата!), но позволяющие ему, в некотором смысле, все же, считаться «прямоугольником», хотя и особенным … Конечно, прийти к подобной идее, возможно, действительно и не сложно, однако поистине ложкой дегтя в этой бочке меда является, наверняка вызывающий у многих бурю негодования, образ необычного «прямоугольника», который, в общем-то, не совсем и прямоугольник, в привычном смысле, поскольку все четыре его угла являются «лишь отчасти прямыми». В отличие от уважаемого читателя, сейчас мне уже известно то, о чем я пишу, однако я достаточно хорошо представляю себе то состояние, которое могут испытывать, наверное, многие (особенно, профессионалы), кто таки дочитал до этого места и уже, скорее всего, собирается отбросить эту бесполезную и абсурдную работу в мусорную корзину, столкнувшись с каким-то 24 непонятным и мистическим «прямоугольником», углы которого «лишь отчасти прямые»! … Всё это вовсе не трудно предвидеть, я бы и сам, наверное, поступил именно таким образом. И все же, я искренне надеюсь на то, что обязательно найдутся так же и те, пусть даже немногие, кого не отпугнут подобные нюансы и издержки изложения «вещей», зачастую даже трудно выразимых, не говоря уже о проникновении за покрывало всевозможных словес и схватывании некоего понимания. Как раз здесь и приходит на помощь Геометрия Точки в лице Круга, который, как ограниченная и универсальная геометрическая формула всего бесконечного разнообразия различных прямоугольников, предоставляет возможность для целостного и системного рассмотрения их разновидностей. Думаю, что вовсе не сложно, используя Форму круга получить квадрат и различные прямоугольники, которые в результате их центрального вращения превращаются в этот самый исходный круг, т.е. становятся тождественны Кругу. По сути дела, для осуществления этого, необходимо просто вписать квадрат и различные прямоугольники в Круг (см. рис. 9). Рис. 9 Схема тождества Круга с квадратом и различными прямоугольниками в Точке (квадратуры квадрата и прямоугольников) Теперь, по уже предварительно известным характеристикам, необходимо с помощью того же Круга получить искомый таинственный «прямоугольник», противоположный обычному прямоугольнику. А для этого, по меньшей мере, необходимо выполнить следующие условия: диагонали искомого «прямоугольника» должны пересекаться под прямым углом; смежные стороны искомого «прямоугольника» должны быть попарно равны, а противолежащие – попарно не равны. Думаю, что, исходя из приведенных условий, будет не сложно догадаться о том, что искомый «прямоугольник» должен быть симметричным относительно одной из своих диагоналей, и эта диагональ должна совпадать с диаметром Круга. А, располагая столь конкретными данными, уже не составляет особого труда и получить целый противоположный «прямоугольник». На рис. 10, буквально пошагово представлен процесс получения одного из бесконечного множества таких «прямоугольников». 25 СМОТРИ! Рис. 10 Схема получения противоположного «прямоугольника» Из рис. 10 совершенно очевидно, что полученный четырехугольник, претендующий на роль противоположного «прямоугольника», не очень-то и похож на прямоугольник. Однако не стоит спешить с выводами, поскольку формально все исходные требования к его Форме выполнены полностью, т.е. его диагонали пересекаются под прямым углом, противоположные стороны попарно неравны, а смежные – попарно равны, и даже четыре его угла действительно «лишь отчасти прямые», поскольку лишь два из них являются таковыми! Кроме всего этого, на рис. 11 представлена графическая схема, которая, на мой взгляд, весьма убедительно демонстрирует, что полученная таким необычным образом Форма четырехугольника, все же, представляет собой прямоугольник, только, можно сказать, буквально противоположный обычному прямоугольнику. СМОТРИ! Рис. 11 Схема трансформации обычного прямоугольника в противоположный ему «прямоугольник» С целью некоторой разгрузки текста, упрощения дальнейшего изложения материала, а так же во избежание излишней путаницы, назовем полученный «прямоугольник», прямодиагональником. Разумеется, что подобное название носит исключительно условный характер. На рис. 12 представлена графическая схема целостной Системы распределения в поле Круга прямоугольных, квадратного и прямодиаганальных разновидностей четырехугольников. 26 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Прямоугольники Квадрат Прямодиагональники СМОТРИ! Рис. 12 Схема целостной Системы распределения различных разновидностей прямоугольников Аналогично треугольникам, для четырехугольных прямоугольников можно так же определить критерии их разделения на различные разновидности. Однако, что полезного может дать совокупности с прямоугольником и квадратом? такой прямодиагональник в Об этом речь пойдет в следующем разделе. 27 5. ПРЯМОДИАГАНАЛЬНИК – ТЕТРАДА ГЕОМЕТРИИ ТОЧКИ На примере целостного и системного рассмотрения всего бесконечного разнообразия различных Форм четырехугольников было определено, что в отличие от треугольников, у четырехугольников произошло принципиальное изменение в Системе их разделения на различные разновидности. Если у треугольников всё их бесконечное разнообразие успешно разделяется на две противоположные разновидности (остроугольную и тупоугольную) относительно их экстремальной (Серединной), прямоугольной Формы, то у четырехугольников подобное разделение оказалось применимым лишь для условных прямоугольников, разделяющихся на обычные прямоугольники и полученные здесь прямодиагональники относительно их экстремальной, квадратной Формы. Однако здесь не стоит забывать и то, что условные прямоугольники и все иные, непрямоугольные четырехугольники, это такие же, только более глобальные разновидности всего бесконечного разнообразия различных четырехугольников. Назовем такую разновидность непрямоугольных четырехугольников, косоугольниками. Кроме того, необходимо заметить, что у треугольников в качестве их экстремальной Формы выступает целое бесконечное множество разнообразных прямоугольных треугольников, а у прямоугольников – один-единственный квадрат. Что же касается всего бесконечного множества разнообразных четырехугольников и его разделения на прямоугольники и косоугольники, то разграничивающая их экстремальная Форма представляет собой прямодиагональник! Позволю себе не приводить здесь всевозможные доводы, как-то обосновывающие такое утверждение. Однако напомню о наиболее экстравагантной и туманной характеристике прямодиаганальника, заключающейся в том, что его четыре угла являются «лишь отчасти прямыми». Именно эта его характеристика, заключающая в себе одновременно (разом) свойства и прямоугольников, и косоугольников, как раз и указывает на экстремальный (граничный или Серединный) характер Формы прямодиагональника, относительно которого все бесконечное разнообразие различных четырехугольников и разделяется на прямоугольники и косоугольники. На рис. 13, представлена упрощенная графическая схема, демонстрирующая целостную Систему разделения всего бесконечного разнообразия различных треугольников и четырехугольников на различные их разновидности. Глядя на Систему разделения четырехугольников на различные их разновидности (рис. 13), можно заметить, что она несколько дисгармонична и несбалансированна, поскольку между косоугольниками и прямодиагональниками отсутствует какая-либо проявленная экстремальная (Серединная) Форма, в то время как между прямодиагональниками и прямоугольниками она существует в виде квадрата. В связи с этим обстоятельством, возникло предположение о том, что между косоугольниками и прямодиагональниками так же существует некая экстремальная Форма четырехугольника, подобная квадрату и, вместе с тем, противоположная ему. Кроме того, она должна заключать в себе какие-то свойства и косоугольников, и прямодиагональников, а так же некое уникальное свойство, отсутствующие у них. 28 Пожалуй, предоставлю возможность уважаемому читателю поразмышлять на эту тему самостоятельно, ибо ничто не приносит столько пользы, сколько самостоятельное «шевеление» собственными мозгами … Треугольники Тупоугольные треугольники Четырехугольники Косоугольники Остроугольные треугольники Прямоугольники Квадрат Прямоугольные треугольники Прямодиагональники Рис. 13 Схема Системы разделения треугольников и четырехугольников на свои различные (противоположные) разновидности Так или иначе, но все подобные размышления, в конце концов, должны привести к определению в качестве такого очередного искомого экстремального четырехугольника, ромба. Относительно ромба необходимо отметить, что не все его вершины лежат на Окружности, которая его описывает. И это обстоятельство наводит на мысль о том, что в отличие от треугольников, существуют четырехугольники, которые не могут быть описаны Окружностью, в классическом смысле т.е. все вершины которых не могут принадлежать одной и той же Окружности (см. рис. 14). Однако такие четырехугольники вполне могут целиком принадлежать области Круга, причем так, что наиболее отстоящие друг от друга его вершины, принадлежат Окружности этого самого Круга. Кстати, в этом смысле, квадрат, - это частный случай ромбов, все вершины которого принадлежат одной и той же окружности. РОМБЫ СМОТРИ! Рис. 14 Геометрическая «формула» - Форма всех различных ромбов 29 Таким образом, целостная Система разделения всего бесконечного множества разнообразных четырехугольников на различные их разновидности, можно представить в уточненном виде, представленном на рис. 15. Четырехугольники Косоугольники Прямоугольники Ромбы Прямодиагональники Квадрат Рис. 15 Схема Системы разделения четырехугольников на свои различные разновидности Теперь, уже располагая достаточно ясным и наглядным материалом относительно целостной Системы разделения (различения) бесконечного множества разнообразных треугольников и четырехугольников на их различные (противоположные) разновидности, можно перейти к рассмотрению, пожалуй, наиболее интересного момента. Дело в том, что, как я уже отмечал раннее, любые экстремальные или граничные (Серединные) Формы между двумя противоположностями неизбежно обладают неким уникальным свойством, которое отсутствуют в каких-либо других различных противоположных Формах. Так, применительно к треугольникам, является достаточно широко известным то обстоятельство, что только для прямоугольных треугольников применима знаменитая теорема Пифагора. Конечно, теорема Пифагора с таким же успехом применима так же и к прямоугольникам (прямоугольникам, квадрату и прямодиаганальнику), которые разделяются на соответствующие прямоугольные треугольники. Однако мне хотелось бы здесь обратить внимание на качественно иной аспект рассматриваемой проблемы. Дело в том, что существует явная связь между Формой прямоугольного треугольника и структурой самой формулы, описывающей теорему Пифагора. Т.е. два катета и гипотенуза прямоугольного треугольника (всего три его элемента) определяют известную и привычную трехчленную структуру формулы теоремы Пифагора: a2 + b2 = c2 Кроме того, есть еще одна причина, которая подвигла меня к совершенно необычной мысли и предположению. Это идея о Тетраде (Четверице, Тетраксисе, Тетраграмотоне, Кватернере, Четырех первоэлементах, Четырех стихиях и т.п.). В настоящей работе эта идея не будет рассматриваться. Однако о самом главном и важном, в контексте затронутой проблемы, все же необходимо, хотя бы немного сказать. 30 Тетрада – это целостное единство неких первых Четырех «элементов», являющихся основой для своего последующего проявления (развертывания) в бесконечное множество разнообразных «вещей» (соответствующего Мира). Я прекрасно понимаю, что столь краткое описание Тетрады выглядит весьма пространным, непонятным и туманным, однако из всего сказанного, сейчас важным является лишь то, что ограниченное целостное множество из неких Четырех «первоэлементов», уже изначально заключает в самом себе все бесконечное разнообразие различных «вещей», порождаемых ими или проистекающих из них. В этом смысле, Тетрада, заключающая в себе Четыре первоэлемента, вместе с их естественными свойствами и закономерными связями, подобна некоему уникальному (экстремальному) четырехугольнику, который являет собой тотальную или наиболее общую границу (Середину) между однойединственной универсальной Формой Круга и всем бесконечным разнообразием различных иных плоских Форм. И самое удивительное и ценное здесь заключается в том, что все эти различные Формы тождественны друг другу, и представляют собой одну и ту же Форму Точки! А это означает, что в ограниченном упомянутом экстремальном четырехугольнике, в своем сосредоточенном (локальном) виде, заключено всё, что уже в развернутом своем виде осуществляется во всем бесконечном (нелокальном) разнообразии различных иных Форм. Т.е. Тетрада, в образе экстремального четырехугольника, по своей сути, представляет собой конечность, в которой естественным образом упакована вся порождаемая ей разнообразная бесконечность … В общем, так или иначе, но я пришел к мысли (предположению) о том, что, возможно, существует некий четырехчленный аналог теоремы Пифагора. Причем, по своей сути, он должен представлять собой своеобразную Тетрадную формулу теоремы, являющую собой целостную и единую Систему, которая всецело определяет собой все закономерности, характерные для всего бесконечного множества разнообразных различных Форм. А, значит, такая теорема должна иметь соответствующий целостный или общий (всеобщий) характер, по сравнению с известной теоремой Пифагора, которая в таком случае обращается лишь в частный, треугольный (трехчленный) случай. Думаю, несложно заметить, что единственным подходящим на роль такого экстремального четырехугольника является полученный здесь прямодиаганальник, который, в отличие от прямоугольника и квадрата, как раз и заключает в своей уникальной форме четыре различных своих элемента. 31 6. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА ПИФАГОРА Из рис. 11 очевидно, что прямодиагональник – это тот же прямоугольник, один из двух одинаковых прямоугольных треугольников которого, полученных разделением последнего посредством одной из его диагоналей, перевернут. То есть две вершины этого треугольника, принадлежащие его гипотенузе, взаимно поменялись своими местами. Казалось бы, что такая «манипуляция» с обычным прямоугольником не может дать ничего нового и полезного. Однако подобное восприятие ситуации является весьма поверхностным и фрагментарным, поскольку для её формирования потребовалось целостно и системно рассмотреть всю бесконечную совокупность разнообразных четырехугольников, разделяющихся на пять! своих различных разновидностей (косоугольники, ромбы, прямодиагональники, квадрат и прямоугольники). И, в этом смысле, прямодиаганальник является своеобразным уникальным (тотально экстремальным или Серединным) и таинственным «Пятым элементом», позволяющим получить наиболее целостные и ценные знания, заключенные в «Четырехугольной Тетраде», а так же в бесконечном множестве других разнообразных Форм. Не могу здесь пройти мимо и не заметить то, что подобная аналогия является глубоко философской, если не более … Поскольку именно таинственный и скрытый (не воспринимаемый непосредственно) «Пятый элемент», каковой древние мудрецы называли так же «Эфиром», заключает в самом себе и единую тайну (Начало) универсальных «Четырех первоэлементов», и всего бесконечного разнообразия различных «вещей» Мироздания. Пятиконечная звезда, известная, в том числе, и как символ пифагорейцев (пифагорейской школы), скорее всего, и олицетворяет собой «Пятый элемент», возвышающийся над «Четырьмя первоэлементами». На рис. 16 еще раз представлена условная схема трансформации прямоугольника в прямодиагональник, в результате которой проявляется четвертый элемент или характеристика (на рисунке обозначен буквой «d») любого прямоугольника, да, и любого прямоугольного треугольника. Прямоугольники Прямодиагональники a d a c c b b Рис. 16 Схема получения прямодиагональника и четвертого элемента прямоугольника Сохраняя уже сложившуюся и привычную традицию, далее будем называть стороны прямодиагональника – катетами (a и b), его большую диагональ – гипотенузой (c), а его меньшую диагональ назовем хордой (d). 32 Таким образом, любой прямоугольник (прямоугольник и квадрат) и прямоугольный треугольник, в скрытом (непроявленном) виде, заключат в себе (наряду с двумя катетами и гипотенузой) так же соответствующий их форме и четвертую характеристику (параметр), - хорду, которая в явном виде присутствует лишь в прямодиагональнике! Теперь, отдельно и внимательно рассмотрим прямодиагональник (см. рис. 17), не забывая о том, что, не смотря на различие Форм, по своим количественным – числовым характеристикам (периметру и площади) он равен соответствующему прямоугольнику. B a d O A D c b C Рис. 17 Схема прямодиагональника Наверное, я уже достаточно хорошо сроднился и врос в рассматриваемую проблему, поскольку не составило особого труда догадаться о том, что искомая уникальная и, вместе с тем, универсальная закономерность, заключенная в прямодиагональнике, скрывается именно в его площади. Поэтому, по сути дела, все поиски общей закономерности всех четырехугольников, а так всех иных возможных Форм, сводится к простой задаче по определению площади прямодиагональника. Задача № 1: Дано: Прямодиагональник ABDC, в котором |AB| = a; |AC| = b; |BC| = c; |AD| = d. Найти: Площадь прямодиагональника ABDC, S ABDC - ? Решение: I. Площадь прямодиагональника ABDC может быть определена тремя различными способами: 1 – как площадь обычного прямоугольника (со сторонами a и b), соответствующего данному прямодиагональнику ABDC; 33 2 – как сумма площадей двух равных прямоугольных треугольников, ∆ABC и ∆DBC, или как удвоенная площадь одного из этих треугольников; 3 – как сумма площадей двух различных треугольников, ∆ABD и ∆ACD. II. Определение площади прямодиагональника ABDC: 1 - SABDC/1 = a • b; 2 - SABDC/2 = (1/2 • d • c • 1/2) • 2 = (d • c)/2; 3 - SABDC/3 = S ∆ABD + S ∆ACD = 1/2 • (d • |BO|) + 1/2 • (d • |CO|); SABDC/3 = (d • a2)/(2 • с) + (d • b2)/(2 • с); SABDC/3 = (d • (a2 + b2))/(2 • с). Ответ: Площадь прямодиагональника ABDC определяется тремя различными формулами: SABDC/1 = a • b; SABDC/2 = (d • c)/2; SABDC/3 = (d • (a2 + b2))/(2 • с). Полученный ответ позволяет определить закономерности, связывающие между собой величины всех четырех параметров прямодиагональника. Поскольку площадь одного и того же прямодиагональника определяется тремя различными формулами (или Системой формул), то справедливыми будут и следующие три возможных равенства: SABDC/1 = SABDC/2 a • b = (d • c)/2 SABDC/1 = SABDC/3 a • b = (d • (a2 + b2))/(2 • с) a2 + b2 = (2 • a • b • с)/d SABDC/2 = SABDC/3 (d • c)/2 = (d • (a2 + b2))/(2 • с) a2 + b2 = c2!!! Таким образом, определена Система из трех уравнений (формул), определяющая закономерности связей между собой величин всех четырех различных параметров прямодиагональника (двух катетов, гипотенузы и хорды): a • b = (d • c)/2 a2 + b2 = (2 • a • b • с)/d a2 + b2 = c2 (1) Причем, формула, выражающая собой известную и знаменитую теорему Пифагора, является в этой полной (целостной и исчерпывающей) Системе лишь одним из частных случаев! Необходимо еще раз обратить специальное внимание на то обстоятельство, что любой прямоугольный треугольник и, соответственно, любой прямоугольник и квадрат необходимо заключают в самих себе четвертый параметр, - хорду. Поскольку относительно прямоугольного 34 треугольника, его хорда представляет собой не что иное, как удвоенную высоту, опущенную из прямого угла на гипотенузу. В этом смысле, как уже отмечалось выше, форма любого прямоугольного треугольника, в наиболее общем виде, так же может быть описана (определена или охарактеризована) величинами четырёх его соответствующих параметров (двух катетов, гипотенузы и хорды). На рис. 18 показан прямоугольный треугольник с четырьмя своими формообразующими параметрами. Прямоугольные треугольники a b c d Хорда Рис. 18 Четыре формообразующих параметра прямоугольного треугольника Надеюсь, что уважаемый читатель с пониманием отнесется к моему неудержимому желанию ещё раз, уже акцентировано, представить количественную (числовую) и геометрическую формулы известной частной и полученной здесь Общей теоремы Пифагора, представленных, соответственно на рис. 19 и 20). Круглый прямоугольный треугольник b a a2 + b2 = c2 c СМОТРИ! Рис. 19 Частная (треугольная) теорема Пифагора 35 Круглый прямодиагональник b d a • b = (d • c)/2 a2 + b2 = (2 • a • b • с)/d a2 + b2 = c2 c a СМОТРИ! Рис. 20 Общая теорема Пифагора Исходя из системы формул Общей теоремы Пифагора, можно достаточно легко получить множество различных производных формул – следствий, которые вполне могут оказаться полезными для решения каких-либо частных задач. Например, определенной красотой обладает следующая производная формула: (a + b)2 = с • (с + d). В связи с получением (определением) формального образа (геометрического и количественного) Общей теоремы Пифагора, представляется так же достаточно интересным и то несколько неожиданное обстоятельство, что сам процесс этого получения, по сути дела, не являет собой доказательство (в общепринятом смысле) некоего изначально предполагаемого утверждения (формулы) или гипотезы. Вся целостная Система формул Общей теоремы Пифагора была получена (выведена или проявлена) без каких-либо предварительных оценок, естественным образом, исходя из простого рассмотрения и анализ величины площади прямодиагональника. Однако при этом, получилось так, что частная (треугольная) теорема Пифагора оказалась даже не просто доказанной, а естественным образом выведенной и формализованной (оформленной) из уникального свойства прямодиагональника. Более того, по крайней мере, мне не известен такой необычный и оригинальный способ доказательства частной теоремы Пифагора. И мне кажется, что практически невозможно вообще какими-то обычными фрагментарными и логичными рассуждениями (построениями) прийти к идее прямодиагональника, как тотальной экстремальной (Серединной) Форме не только всех четырехугольников, но и всего бесконечного множества разнообразных Форм, а также к столь простому выводу известной формулы теоремы Пифагора. 36 7. НЕКОТОРЫЕ ПИФАГОРА ИДЕИ, СВЯЗАННЫЕ С ОБЩЕЙ ТЕОРЕМОЙ Настоящая работа не претендует на какое-то полное, основательное и системное рассмотрение всевозможных идей, связанных с Общей теоремой Пифагора. Поэтому здесь будут представлены лишь несколько из них, которые лежат на поверхности и могут послужить неплохим примером в качестве получения некоторых новых знаний. Пифагоровы четвёрки Помимо существования т.н. целочисленных «пифагоровых троек», существуют так же и «пифагоровы четверки», удовлетворяющие системе формул Общей теоремы Пифагора. «Пифагоровых четверок» гораздо меньше, чем «пифагоровых троек». Так, например, в пределах первой сотни существует достаточно широко известная первая примитивная «пифагорова тройка» (3-4-5). Она определяет Форму прямоугольного треугольника, а так же соответствующих ему прямоугольника и прямодиагональника, у которых величины их всех четырёх различных формообразующих параметров (двух катетов, гипотенузы и хорды) являются целочисленными, т.е. образуют «пифагорову четвёрку». И таким корневым прямоугольным треугольником является т.н. «египетский треугольник», у которого величины двух его катетов и гипотенузы, соответственно, равны числам 3, 4 и 5. Думаю, что не лишним будет здесь упомянуть так же и о том, что, по сведениям историков, именно этот прямоугольный треугольник использовался древнеегипетскими строителями для получения прямых углов (судя по всему, отсюда и его название). В качестве простого инструмента, формирующего такой треугольник, использовалась веревка (или её подобие), с соединенными концами (замкнутая) и разделенная [узлами или иными маркерами] на двенадцать равных частей. В необходимом месте, с помощью трёх соответствующих растяжек, из этой верёвки формировался треугольник с величиной сторон в 3, 4 и 5 частей. При этом угол между сторонами в 3 и 4 части получался прямым. По большому счету, «египетский треугольник» является наиболее ярким и древним примером практического применения обратной теоремы Пифагора. В таблице 1 представлен ряд «пифагоровых четверок», полученный на основе корневого, «египетского треугольника» путем использования ряда масштабных множителей, кратных пяти. Таблица 1 Ряд «пифагоровых четверок», основанный на «пифагоровой тройке» 3-4-5 № катет a катет b гипотенуза c хорда d Масштабный множитель K 1 2 3 4 5 6 7 … 3 15 30 45 60 75 90 … 4 20 40 60 80 100 120 … 5 25 50 75 100 125 150 … 4,8 24 48 72 96 120 144 … 1 5 10 15 20 25 30 … 37 Геометрическая прогрессия прямодиагональников Как уже было установлено раннее, любой прямоугольный треугольник позволяет определить свой четвертый формообразующий параметр, - хорду, и соответствующий ему прямодиагональник. В свою очередь, используя величины диагоналей (гипотенузы и хорды) этого исходного прямодиагональника в качестве сторон (катетов), можно достаточно просто получить иной, следующий прямодиагональник, форма которого будет функционально связана с формой исходного (предыдущего) прямодиагональника. Аналогичную операцию можно проделать и в обратную сторону, когда используя величины сторон (катетов) того же исходного прямодиагональника в качестве уже диагоналей (гипотенузы и хорды), можно получить иной, предыдущий прямодиагональник, форма которого будет связана той же функциональной зависимостью с формой исходного (следующего) прямодиагональника. На рис. 21 представлена схема «механизма» формирования последовательности соответствующих прямодиагональников, Формы которых связаны между собой определенной функциональной зависимостью. d a d a-1 c1 1 c a b d1 1 b-1 Рис. 21 «Механизм» формирование геометрической прогрессии прямодиагональников В приведенном «механизме» формирования последовательности (ряда) различных прямодиагональников, мое внимание привлекло, отнюдь, не то их свойство, что площадь любого последующего прямодиагональника в два раза больше площади предыдущего (что можно считать очевидным следствием из Общей теоремы Пифагора, поскольку a • b = (d • c)/2), а то, что с увеличением или уменьшением размера (площади) прямодиагональников, так же функционально изменяется и их Форма. Поэтому подобный ряд прямодиагональников являет собой не только прогрессию их количественной характеристики (величины площади), но и аналогичную прогрессию их формы (в буквальном смысле, - форменную или геометрическую прогрессию). Причем, стоит заметить, что прогрессия Формы некоего конкретного прямодиагональника, вовсе не является произвольной, поскольку в нем самом, уже изначально, заключены параметры всех предыдущих и последующих прямодиагональников. 38 Если определить функциональную зависимость соотношения сторон (катетов) предыдущего и последующего (смежных) прямодиагональников, то можно получить число, определяющее прогрессию формы прямодиагональника: Пусть a и b – это катеты предыдущего прямодиагональника, при этом a<b Тогда: для предыдущего прямодиагональника отношение катетов, определяется формулой: b/a для последующего прямодиагональника, из Обобщенной теоремы Пифагора (a2 + b2 = (2 • a • b • с)/d) следует, что отношение катетов, определяется формулой: c/d = (a2 + b2)/(2 • a • b) Следовательно (c/d)/(b/a) = (a2 + b2)/(2• b2) (2) Из полученной функциональной зависимости между соответствующими отношениями катетов смежных прямодиаганальников в их прогрессии следует, что с каждым шагом, у каждого последующего прямодиагональника, его форма изменяется таким образом, что отношение большего к меньшему катету уменьшается в число раз, определяемым формулой (2). Иначе говоря, с ростом прогрессии Формы прямодиагональников, величины их катетов стремятся уровняться, т.е. Форма прямодиагональников стремится к квадратной Форме. С уменьшением же прогрессии формы прямодиагональников, величина отношения их катетов стремится к бесконечности и, соответственно, Форма прямодиагональников стремится к Форме своей гипотенузы, т.е. – к Форме отрезка (или диаметра круга). 39 8. ОБ УЗОСТИ ПОЛЕЙ, НЕ ВМЕСТИВШИХ ПОИСТИНЕ ЧУДЕСНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ФЕРМА Известно, что свою знаменитую теорему, П.Ферма сформулировал напротив восьмой задачи Диофанта, на полях его книги II «Арифметика». Существует множество вариантов перевода и трактовки текста этой формулировки, однако я остановил свой выбор лишь на одной из них, представленной в книге Э.Т.Белл «Творцы математики» (М. 1979 г. стр. 69): «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки» Сегодня, по прошествии уже более чем 370 лет, можно лишь догадываться о том, что на самом деле имел в виду Ферма, когда упоминал о своем поистине чудесном доказательстве этой теоремы и тех полях, которые слишком узки для него. Однако внимательное рассмотрение некоторых деталей текста формулировки теоремы, данной самим Ферма, в контексте, возможностей, предоставленных Геометрией Точки, позволяет сделать необычное предположение о главной идее, на которой могло бы быть построено его таинственное доказательство, которое он назвал поистине чудесным. Прежде всего, привлекает внимание то, каким необычным для математика и всей математики образом сам Ферма охарактеризовал свое яко бы имеющееся у него доказательство, назвав его «поистине чудесным». Наверное, даже неискушенный в математике человек сумеет заметить и ощутить парадоксальность и несовместимость таких общеизвестных понятий, как математическое «доказательство» и «чудо». Быть может, автор этим бросающимся в глаза (но сегодня уже для большинства привычным) контрастом парадоксального образа «чудесного доказательства», пытался указать на то, что метод его доказательства настолько существенно отличается от общепринятых и используемых в то время, что в глазах традиционных математиков оно могло выглядеть поистине чудесным. Ибо всё, что есть непонятное, всегда представляется чудесным и таинственным. А какие книжные поля могут вместить чудо? Поля книги могут вместить в себя лишь формальную сторону доказательства (его своеобразную явную внешнюю форму), а чудо и таинство самого доказательства (его скрытое внутреннее содержание) может осуществиться (ожить) только в голове (сознании) каждого отдельного человека. Так, может быть, говоря об «этих полях», которые для «этого поистине чудесного доказательства» оказались «слишком узки», в действительности Ферма говорил не о какой-то нехватке места на бумаге для формального изложения своего доказательства, а намекал на более серьезную и тотальную проблему, - на узость полей сознания или привычных представлений традиционных математиков того времени, в отношении разнообразных математических задач, рассматриваемой теоремы, в частности, а также самого доказательства, его доказательной силы. А в отсутствии этой чудесной внутренней составляющей любого доказательства, поистине придающего ему необходимую доказательную силу, оно легко превращается в обычную жалкую и бессильную профанацию, со всеми, вытекающими отсюда последствиями. 40 В таком контексте, как мне кажется, вполне можно понять решение Ферма не приводить на узких полях книги своё «поистине чудесное доказательство», тем самым обезопасив себя и свою научную деятельность от неминуемых нападок всевозможных доброжелателей и коллег. Ибо возможная таинственная и чудесная составляющая его доказательства либо действительно потребовала бы значительно большего места для своего опять же формального представления, либо она была ведома самому Ферма лишь в той своей степени, которой было ещё недостаточно для формирования обоснованной системы, позволяющей другим математикам воспринимать её доказательство, в качестве доказательства. Кроме этого, само место размещения заметки Ферма, - напротив восьмой задачи Диофанта, на полях его книги II «Арифметика», так же является, отнюдь, неслучайным. Именно в этой задаче рассматривается вопрос о том, как данный квадрат разделить на два квадрата. Так или иначе, но это обстоятельство достаточно ясно и четко указывает на очевидную и непосредственную связь, существующую между теоремой Ферма и теоремой Пифагора. Глубокий и необычный смысл этой связи будет представлен несколько ниже. Наконец, в формулировке Ферма так же обращает на себя внимание противопоставляющий оборот («Напротив, …»), использованный им в самом начале формулировки своей теоремы. В некоторых вариантах перевода так же встречаются другие обороты, имеющие подобный смысл, например, такие как «С другой стороны …» (Г.Эдвардс «Последняя теорема Ферма, М. Издательство «МИР», 1980 г.) или «Между тем …» ( ). Конечно, я понимаю, что осуществление перевода текста с другого языка является достаточно тонкой, неоднозначной и творческой деятельностью и, все же, в тексте формулировки Ферма своей теоремы ощущается некий целостный и общий тон отрицания, обусловленный многократным использованием отрицающей частицы «ни» («Напротив, … ни … ни, ни … ни … и вообще никакую …»), который явно противополагает себя утверждающему характеру (звучанию) теоремы Пифагора. По сути дела, сам строй формулировки Ферма указывает на то, что его теорема является естественной и противоположной полярностью по отношению к теореме Пифагора. И что в своей совокупности они вместе составляют исчерпывающую, и потому целостную свою Систему. На мой взгляд, этот момент является наиболее важным в понимании той, более обобщенной проблемы, которая обрела свое частное воплощение в теореме Ферма. Складывается такое впечатление, что Ферма в формулировке своей теоремы предпринял все возможные и доступные для него способы и средства для того, чтобы все-таки вместить на узких полях книги если не само «поистине чудесное доказательство», то, по крайней мере, достаточно ясные указания на его характер. Сегодня считается, что большая теорема Ферма была доказана английским и американским математиком Эндрю Уайлсом в 1993 году. По информации, имеющейся в Интернет, объем его доказательства составляет около 200 страниц текста. Не хотелось бы судить, но, по-моему, вряд ли такое доказательство можно назвать «поистине чудесным» и хоть как-то соизмеримым с полями книги, чтобы об этом вообще имело бы какой-то смысл упоминать. Кроме того, нельзя забывать и об уровне математики того времени, в которое жил и творил Ферма. Если он действительно и располагал неким 41 своим «поистине чудесным доказательством» своей теоремы, то оно, по меньшей мере, должно быть выполнено с использованием понятий и средств, известных и приемлемых для математической наки времен Ферма. Скорее всего, приблизительно таким образом и рассуждают т.н. «фермисты», многочисленные любители – энтузиасты, которые, отнюдь, не прекратили свои самостоятельные исследования и попытки доказать эту великую теорему более простым и ясным способом, явно претендующим на звание «поистине чудесного». Я представляю себе, как защемило сердце у профессионалов от одного только упоминания о неиссякаемых и неугомонных фермистах. Ну, что же поделаешь, сегодня мы имеем то, что и имеем. Возможно, что в совсем недалеком и светлом нашем будущем, профессиональные ученные наконец-то обратят свое внимание и поймут, что всякая «вещь» (в самом широком смысле) всегда и неизбежно заключает в себе две свои противоположные стороны. Поэтому если изначально с какой-либо «вещью» возникают какие-то нежелательные проблемы, то не нужно спешить её забраковывать и выкидывать на свалку, хотя бы потому, что она уже есть. А вместо этого научиться разворачивать её своей другой, противоположной стороной (управлять ей) и эффективно использовать её естественные возможности (потенциал) в своих разнообразных целях. Все это справедливо и по отношению к такой «вещи» или феномену, как «фермисты». В общем, как бы это страшно не звучало, но здесь я попытаюсь представить свою гипотезу о «поистине чудесном» доказательстве теоремы Ферма. Сама внешняя формальная сторона этого доказательства выглядит настолько краткой, простой и ясной, что её способен понять, пожалуй, любой школьник (по меньшей мере, - девятиклассник). По большому счету, для представления формального образа этого доказательства достаточно будет всего несколько строк. Однако для того, чтобы суметь схватить и понять его «поистине чудесную» доказательную силу, потребуется немного больше места на бумаге, а так же самое главное, - желание понять и соответствующие усилия для его самостоятельного обретения. Итак, основная идея доказательства большой теоремы Ферма заключается в том, чтобы, прежде всего, перенести её рассмотрение в область Геометрии, а если быть еще более точным, то – в область Геометрии Точки. Думаю, что не потребует каких-то особых усилий понимание того, что в своей геометрической трактовке формулировка теоремы вполне может быть представлена в следующих своих видах: Для любого треугольника со сторонами a, b и c, где с – его основание, не выполняется (несправедливо) равенство: an + bn = cn , при n > 2 (3) Для любого треугольника со сторонами a, b и c, где с – его основание, выполняется (справедливо) неравенство: a n + bn ≠ c n , при n > 2 (4) 42 Речь идет о целочисленных значениях a, b, c и n. Казалось бы, что эти два различных вида формулировки и формулы одной и той же теоремы заключают в себе одинаковый смысл, однако несколько ниже будет показано и пояснено их достаточно тонкое, но важное различие. Из предыдущего материала известно, что целостная и полностью исчерпывающая Система всего бесконечного множества различных треугольников разделяется на следующие три различные их разновидности: остроугольные треугольники; прямоугольные треугольники; тупоугольные треугольники. Следовательно, достаточно лишь доказать несправедливость равенства (3) (или справедливость неравенства (4)) для каждой из трех различных разновидностей треугольников, и теорема будет доказанной. Пусть это будет вариантом «Б» доказательства теоремы Ферма геометрическим способом. Все желающие могут попытаться его реализовать. Не сомневаюсь в том, что таковые попытки уже имели место быть. Однако мы не пойдем этим очевидным и «легким» путем, поскольку в действительности он является и не таким уж и простым, каким кажется. Да и как-то не выглядит этот вариант «Б», как «поистине чудесный», поскольку слишком прямолинеен и груб. Поэтому мы пойдем другим путем, назовем его вариантом «А». В основе этого варианта «А» лежит универсальный Принцип, который уже успешно использовался в настоящей работе выше, при формировании целостных и исчерпывающих Систем бесконечного множества различных разновидностей треугольников и четырехугольников. Может показаться необычным, неуместным и даже неправомочным использование мной здесь понятия «Принципа». Однако, по моему мнению, он здесь вполне приемлем, поскольку по своей сути, представляет собой некую целостную универсальную Систему, полностью характеризующую один из основополагающих аспектов любых двух противоположностей, образующих в своей совокупности двойственность (дуальность или бинер) и Диаду, в целом. Для обеспечения необходимой ясности и правильного понимания последующего материала, примем несколько основополагающих определений. Двойственность – это совокупность двух частных взаимосвязанных и взаимно определяющих друг друга противоположностей. Так, противоположности в своей максимальной степени проявления, называются полярностями и в своей совокупности образуют дискретную (дилеммную) систему - двойственность. Диада – это двойственность, в своем целом, т.е. – это целостная и континуально непрерывная совокупность бесконечного множества различных степеней проявления обеих противоположностей. Так, целостная и исчерпывающая Система разделения всего бесконечного множества различных треугольников на свои разновидности представляет собой Диаду всевозможных 43 треугольных форм, образованную различными степенями проявлении двух противоположных форм (остроугольной и тупоугольной). Степень проявления противоположности – это условная количественная оценка проявления противоположности относительно других, аналогичных ей проявлений. Так, остроугольный треугольник, содержащий более острый (меньший) угол, обладает большей степенью проявления остроугольности, а тупоугольный треугольник, содержащий более тупой (больший) угол, обладает большей степенью проявления тупоугольности. Главная идея этого наиважнейшего Принципа заключается в определении целостной Системы закономерностей в соотношении между собой двух любых противоположностей (составляющих в своей целостной совокупности Диаду) и некоего третьего элемента - Середины, пребывающей между ними и являющей собой Границу, в которой противоположности «переходят» (трансформируются, соединяются, разделяются) друг в друга. Поскольку Система закономерностей соотношения между двумя противоположностями зачастую, называется Принципом Полярности (Противоположностей), то аналогичная Система закономерностей соотношения между противоположностями, в их целостной совокупности (Диадой) и их Серединой, как уникальной (экстремальной) части этого самого целого, назовем Принципом Середины (Монады). Если Принцип Полярности, в той или иной степени, является издревле известным и достаточно широко используемым практически во всех разнообразных областях человеческого познания, включая науку и математику, в частности, то Принцип Середины (Монады) нуждается в соответствующих пояснениях. Монада - это некая противоположность целостной Диаде или тотальная (всеохватывающая) противоположность всем возможным степеням проявления противоположностей, образующим её, в своем целом. Монада, как противоположность Диаде (согласно Принципу Полярности), представляет собой (насколько этот оборот речи вообще применим к ней относительно или с точки зрения понятий Диады) нЕчто непроявленное, неизменное и вечное …, а так же всецело определяющее ВСЁ, что может быть проявлено в Диаде. Непроявленное – это скрытое состояние некоего качества, которое не может быть выражено (представлено или описано) с использованием определяющего проявленного состояния соответствующего ему двойственного качества. В этом смысле, «проявленное» и «непроявленное» выступают в роли обычных противоположностей, поэтому они относительны, т.е. то, что является (воспринимается) непроявленным относительно проявленного, с точки зрения этого самого непровленного уже все воспринимается обратным образом. Относительно проявленной Диады (вместе со всевозможными степенями проявления её двух противоположностей), Монада – есть скрытая непроявленность. Необходимо заметить, что непроявленное вовсе не обязательно характеризуется абсолютной скрытностью, принципиально не позволяющей её воспринимать никаким иным образом. Так, для треугольников (Диады треугольной формы) в роли такого непроявленного качества их Монады выступает известная формула теоремы Пифагора. При этом, формула – это вовсе не прямоугольный треугольник, и вообще никакой не треугольник, т.е. формула не может быть описана в понятиях (средствами) треугольных Форм так же, как и треугольная Форма не может быть нарисована в понятиях (средствами) формулы, поэтому друг для друга они являются непроявленными. 44 В качестве дополнительных пояснений, а так же для формирования более ясных и наглядных представлений и образов основных понятий, определенных выше, на рис. 22 представлена условная схема Системы их соотношений и взаимосвязей на примере бесконечного множества различных треугольников. Монада Формула теоремы Пифагора Область различных степеней проявления тупоугольных треугольных форм Диада Область различных степеней проявления остроугольных треугольных форм Середина Прямоугольные треугольные формы Рис. 22 Схема Системы взаимосвязи основных понятий, используемых для рассмотрения любых противоположностей Со времен Пифагора известно так же и такое понятие, как «Неопределенная Диада». Для обеспечения необходимой полноты рассмотрения проблемы, следует сказать, что Неопределенная Диада отличается от представленной выше Диады лишь тем, что она не дифференцирована (не разделена) на свои две противоположности (противоположные области), и вместе с Монадой составляет обычную пару взаимосвязанных и взаимно определяющих противоположностей, противостоящих друг другу по одному-единственному и универсальному своему признаку (свойству) – проявленности/непроявленности. Принцип Середины Прежде всего, следует обратить внимание на то совершенно очевидное обстоятельство, что Середина между двумя любыми противоположностями, одновременно (разом) заключает в себе обе эти самые противоположности, в своих одинаковых степенях проявления, ибо она есть Середина между ними! Т.е. Середина в равной степени являет (представляет) собой и одну, и другую противоположность вместе с присущими им свойствами. В этом смысле, Середина представляет собой воплощение парадоксального (противоречивого) раздельного присутствия двух исходных противоположностей в одном и том же, в единстве. Вместе с тем, из предыдущей посылки совершенно очевидно следует, что Середина так же заключает в себе и некую неопределенность относительно исходных двух противоположностей и составляющей ими Диады, поскольку сама по себе, в своем единстве (синтезе), она не является ни одной из них. Т.е. 45 Середина представляет собой воплощение некоего уникального единства двух противоположностей (присутствия двух исходных противоположностей, как одного), Третьего элемента Диады, помимо двух её противоположностей. Уникальность этого самого Третьего элемента заключается в том, что являясь отдельной (Серединной) частью Диады, он одновременно (разом), своей неопределенностью в ней, воплощает собой так же и Монаду, пребывающую за пределами Диады, в оппозиции к ней и всецело определяющую её! В этом смысле, Середина представляет собой воплощение парадоксального (противоречивого) единства двух иных, более тотальных противоположностей в одном и том же, - Середины, как отдельной части Диады, и Середины, как Монады, определяющей собой всю целую Диаду. Таким образом, если представить Диаду в виде бесконечного множества различных степеней проявления (элементов) двух противоположностей любой двойственности, то среди них всегда существует такая уникальная Серединная степень их проявления (Середина или Третий элемент), которая в своей проявленной частной и ограниченной форме одновременно заключает так же и непроявленную Монаду (является проявленной формой непроявленной Монады), которая, в свою очередь, всецело определяет Диаду, лишь частью которой эта самая Середина является! Думаю, что для многих такое описание универсальных свойств Середины, может показаться весьма неясным, запутанным и противоречивым. Отчасти оно так и выглядит. Дело в том, что, по сути дела, описываемые свойства Середины, подобны известной проблеме множеств, в которой рассматривается возможность/невозможность существования в множестве всех подмножеств (множеств) некоего отдельного подмножества, которое заключает в самом себе всё целиком это самое множество, лишь подмножеством которого оно является. Подобную удивительную идею издревле представляли в самых разнообразных образах, наиболее ярким из которых является изображение (символ) змеи или дракона, закусывающего свой собственный хвост, именуемый Уроборосом (см. рис. 23). Рассмотрим представленные выше свойства Середины на примере таких простых и издавна используемых противоположностей, как «Начало» и «Конец», образующих в своей совокупности Диаду. Между «Началом» и «Концом», как двумя противоположностями, подобными двум концам одной и той же палки, существует некая «Середина». Поскольку Середина равноотстоит и от Начала, и от Конца и они в ней «соприкасаются», переходя одно в другое (образуют границу или мост), то она одновременно заключает в себе и Начало, и Конец в их равных степенях проявления. Однако, вместе с тем, эти же Начало и Конец, присутствующие в раздельном виде в Середине (как два в одном), образуют в ней так же и свое единство (синтез), являющееся относительно них некой неопределенностью – Третьим элементом исходной Диады, выпадающим за её двойственные пределы (поскольку является её Третьим, неопределенным элементом), но, как Монада, всецело определяющим всю эту самую исходную Диаду. Таким образом, Середина, как Начало и Конец, присутствующие в одном, обладает всеми свойствами, характерными для этих двух противоположностей. Вместе с тем, Середина, как одно единство равных степеней проявления двух - Начала и Конца, как Третий, неопределенный и непроявленный элемент Диады, т.е. – как Монада, обладает неким уникальным свойством, которое 46 отсутствует у всей Диады и, соответственно, у обеих противоположностей (Начала и Конца). а) б) в) г) д) е) а) б) в) г) д) е) Изображение Уробороса в алхимическом трактате 1478 г. Автор - Теодор Пелеканос Изображение Уробороса из книги «Chrysopoeia of Cleopatra» (эллинистический период) Свёрнутая змея эпохи Шан Уроборос. Гравюра Л. Дженниса из книги алхимических эмблем «Философский камень». Эмблема Теософского общества Египетский Уроборос Рис. 23 Различные символы Уробороса. Теорема Пифагора так же является очень хорошей и ярчайшей демонстрацией справедливости вышеприведенных свойств Середины Диады. Ибо эта теорема применима исключительно для прямоугольных треугольников, являющихся Серединой между остроугольными и тупоугольными разновидностями треугольников. А формула этой теоремы, как уже отмечалось выше, представляет собой непроявленную Монаду, относительно проявленного бесконечного множества различных треугольных Форм (треугольной Диады). Представленная здесь Общая теорема Пифагора, также вполне успешно демонстрирует справедливость наличия перечисленных свойств Середины Диады. Ибо эта теорема применима исключительно для прямодиагональников, являющихся Серединой всего бесконечного множества различных четырехугольников. Соответственно, формула этой теоремы так же представляет собой непроявленную Монаду, только уже относительно проявленного бесконечного множества различных четырехугольных Форм (четырехугольной Диады). Таким образом, можно сформулировать целостную (полную исчерпывающую) Систему закономерностей Принципа Середины (Монады): и 47 Середина между двумя проявленными противоположностями любой Диады, как отдельная её часть, всегда и необходимо обладает всеми свойствами, характерными для этих противоположностей. Середина между двумя проявленными противоположностями любой Диады, как непроявленная Монада, всегда и необходимо обладает некими уникальными свойствами (или свойством), отсутствующим у противоположностей. Обе проявленные противоположности любой Диады, всегда и необходимо не обладают никакими свойствами, отсутствующими у Середины, в обоих её обличиях! В контексте рассмотрения и доказательства теоремы Ферма, с учетом приведенного выше определения Принципа Середины (Монады), следует, что, с одной стороны, свойство Середины (прямоугольных треугольников), отрицающее её некое уникальное свойство (теорему Пифагора), само по себе, таковым (уникальным), в силу своего отрицания, уже не является. Поэтому такое свойство будет характерно так же и для обеих противоположностей (остроугольных и тупоугольных треугольников) и всей Диады в целом. С другой стороны, отсутствие (отрицание наличия) любого свойства у Середины (прямоугольных треугольников), естественным и необходимым образом распространяется также и на такое же отсутствие этого свойства и у обеих противоположностей (остроугольных и тупоугольных треугольников) и всей Диады в целом. Здесь намеренно сделан акцент на двух сторонах или аспектах одного и того же свойства Середины, поскольку это самое свойство вполне может быть представлено в своих двух взаимно противоположных видах, - утверждающем (положительном) и отрицающем (отрицательном). Дело в том, что сама формулировка теоремы Ферма явно была получена её автором с применением Принципа Полярности, т.е. – получена путем противоположения и отрицания исходной Форме (формуле) теоремы Пифагора. Поэтому если следовать оригинальному пути автора, то его теорема имеет вид отрицания, т.е. отсутствия у Середины свойства, – выполнения (справедливости) равенства в соотношении, определяемом формулой теоремы Ферма, для всех степеней, превышающих квадратную степень. Иначе говоря, в этом случае отрицается справедливость равенства в соотношении, определяемом формулой теоремы Ферма (3), для всех степеней, превышающих квадратную степень (n > 2). Однако сегодня, в современных трактовках формулировки и самой формуле теоремы Ферма можно заметить, что в них уже утверждается справедливость неравенства в соотношении, определяемом формулой теоремы Ферма (4), для всех степеней, превышающих квадратную степень (n > 2). Подобные перевертыши вполне характерны не только для процесса развития науки, а являются универсальными закономерностями любых изменений или перемен разнообразных двойственных Систем. Поэтому, учитывая такие метаморфозы внешнего формального вида теоремы Ферма, пришлось говорить о двух различных сторонах одного и того же свойства Середины. Если формальный вид теоремы имеет отрицательный 48 характер, т.е. некое свойство отрицается (отсутствует) для Середины, то оно (это же свойство) необходимо отрицается так же и для обеих противоположностей и Диады в целом. Если же формальный вид теоремы имеет положительный характер, то предварительно следует доказать, что рассматриваемое утверждаемое свойство для Середины не является уникальным и не выходит за рамки рассмотрения обеих противоположностей и Диады в целом, т.е. не представляет собой свойство Середины, как непроявленной Монады. В дальнейшем будем формулировки теоремы Ферма. придерживаться оригинальной авторской Таким образом, для доказательства справедливости теоремы Ферма, достаточно всего лишь доказать её справедливость для прямоугольных треугольников. Для осуществления этого рассмотрим системно характер и динамику изменения в соотношении величин суммы двух катетов и гипотенузы любого прямоугольного треугольника, в зависимости от показателя их степени n. Для n = 1 a+b>c Для n = 2 a 2 + b2 = c 2 Для n = 3 (a2• c) + (b2• c) = (c2 • c) Поскольку для прямоугольного треугольника справедливы неравенства a < c и b < c, следовательно, справедливым будет и неравенство a3 + b3 < c3 Для n = k (ak-1• c) + (bk-1• c) < (ck-1 • c) Поскольку для прямоугольного треугольника справедливы неравенства a < c и b < c, следовательно, справедливым будет и неравенство ak + bk < ck Следовательно, для любого n > 2, справедливым будет неравенство an + bn < cn Для наглядности сведем полученные результаты в таблицу 2. Таблица 2 Для прямоугольных треугольников n=1 a+b>c a+b≠c n=2 + b2 = c 2 a 2 + b2 = c 2 a2 n>2 + bn < cn an + bn ≠ cn an 49 Для обеспечения полноты и достоверного соответствия алгебраической и геометрической формы представления теоремы Ферма, следует так же рассмотреть и частный случай, когда все три вершины треугольника принадлежат одному и тому же отрезку прямой, т.е. когда все три «стороны треугольника» (a, b и c) принадлежат одному и тому же отрезку прямой (c), разделенному точкой на две свои произвольные части (a и b). Такой уникальный условный треугольник вполне можно отнести к множеству тупоугольных треугольников, поскольку можно условно принять, что тупой угол у него составляет 180о, а два оставшихся угла – 0о. Тогда, для этого случая будет справедлива следующая динамика изменения в соотношении величин суммы двух катетов и гипотенузы, в зависимости от показателя их степени n. Для n = 1 a+b=c Для n = 2 (a + b)2 = c2 a2 + 2a•b + b2 = c2 Тогда a 2 + b2 < c 2 Для n = 3 (a2• c) + (b2• c) < (c2 • c) Поскольку для целого отрезка и двух его отдельных частей справедливы неравенства a < c и b < c, следовательно, справедливым будет и неравенство a3 + b3 < c3 Для n = k (ak-1• c) + (bk-1• c) < (ck-1 • c) и a < c и b < c, следовательно, справедливым будет и неравенство ak + bk < ck Следовательно, для любого n > 2, справедливым будет неравенство an + bn < cn Для наглядности сведем полученные результаты в таблицу 3. Таблица 3 Для отрезка прямой, разделенного точкой на две свои различные части n=1 a+b=c a+b=c n=2 a2 + b2 < c2 a 2 + b2 ≠ c 2 n>2 an + bn < cn an + bn ≠ cn Интересным является то, что в таблице 2 совершенно очевидно прослеживается и определяется Середина (реверс) свойств соотношения, 50 определяемого формулой теоремы Ферма, в зависимости от показателя степени. И эта Середина соответствует квадратному показателю степени (n = 2). В таблице 3 подобной Середины (реверса) в явном виде уже не наблюдается. В этом смысле, представленный в ней частный, прямолинейный случай расположения трех вершин (точек), не выходит за рамки рассмотрения прямоугольных треугольников. Из таблицы 2 и 3 совершенно очевидно и необходимо следует, что теорема Ферма справедлива для любых прямоугольных треугольников, а также для любых условных треугольников в виде отрезка прямой, разделенного третьей точкой на две свои произвольные части. Применяя Принцип Середины (Монады) для прямоугольных треугольников, из всего этого необходимо следует, что теорема Ферма всецело справедлива так же и для любых треугольников вообще. Что и требовалось доказать. По большому счету, следовало бы так же доказать, что применимость теоремы Ферма к прямоугольным треугольникам, не является их уникальным свойством (свойством Середины, как Монады), потому будет справедливым и распространяться так же и на любые другие виды треугольников (остроугольные и тупоугольные). Однако, как уже отмечалось раннее, учитывая, что теорема Ферма является противоположностью по отношению к уникальному свойству прямоугольных треугольников в лице теоремы Пифагора, то в данном случае в этом нет строгой необходимости. И все же есть смысл представить основную идею этого доказательства, поскольку оно предоставляет в распоряжение математиков совершенно новые и уникальные возможности проведения доказательств на бесконечном множестве элементов, ограничиваясь лишь частичным его рассмотрением! Дело в том, что для того чтобы доказать неуникальность некоего свойства характерного для Середины (в том числе и свойство отсутствия некоего свойства), достаточно доказать его справедливость хотя бы для одной из её противоположностей, для которой это проще всего сделать! Думаю, что такое доказательство большой теоремы Ферма, вполне может претендовать на звание «поистине чудесного». Возможно, что именно эту идею доказательства своей теоремы и имел в виду Ферма в своих таинственных пометках на полях книги Диофанта «Арифметика». Холистическая система доказательства Представленная выше система доказательства большой теоремы Ферма в силу своей необычности и уникальных возможностей заслуживает своего отдельного и обобщенного изложения. Практически любая гипотеза позволяет сформировать на своей основе некую соответствующую целостную [алгебраическую или геометрическую] форму представления (формальный образ), позволяющую дифференцировать её на две свои противоположные составляющие и уникальную Середину между ними. Более того, сама подобная (двойственная) структура формального образа гипотезы уже однозначно указывает на то «место» (Середину), где 51 может быть обнаружено какое-то уникальное свойство, а так же на главный «инструмент» (Середину), посредством которого может быть доказана его справедливость, либо в качестве уникального (справедливого только для Середины), либо в качестве всеобщего (справедливого и для Середины, и для обеих противоположностей). Если рассматриваемая гипотеза является свойством Середины, то оно может носить, либо уникальный, либо всеобщий характер. В любом случае, сначала необходимо обычными, уже известными математическими методами доказать его справедливость именно для Середины. Затем, теми же методами, следует доказать справедливость или несправедливость данного свойства хотя бы для одной из двух противоположностей. Если оно справедливо, то рассматриваемое свойство и соответствующая ему гипотеза носит всеобщий характер. Если же оно несправедливо, то рассматриваемое свойство и соответствующая ему гипотеза носит уникальный характер и справедлива только для Середины. Данная технология значительно упрощает доказательство в его целом, поскольку позволяет не осуществлять его «в лоб» на всём бесконечном множестве элементов обеих противоположностей, а ограничиться доказательством лишь в пределах одной из них. Здесь следует так же учесть и то обстоятельство, что противоположности в силу своего противоположного характера обладают и соответствующими противоположными качествами. Поэтому если для одной из них подобное доказательство будет трудным или даже невозможным, то для другой – оно закономерно будет уже ясным и простым, а результат будет одним и тем же … Кроме всего этого, следует обратить внимание на следующий достаточно тонкий момент. Дело в том, что отсутствие какого-то свойства у Середины – это, по большому счету, такое же её свойство! Поэтому его таким же образом необходимо проверять на уникальность и всеобщность. Если рассматриваемая гипотеза является свойством одной из противоположностей, то оно может носить всеобщий характер. В любом случае, сначала необходимо обычными, уже известными математическими методами доказать его справедливость именно для Середины, а затем, при положительном результате, продолжить доказательство для одной из противоположностей, для которой эта процедура реализуется проще. Таким образом, предлагаемая новая система доказательства способна не просто соединить в себе в некую простую совокупность всю мощь уже известных методов доказательства (индукции, от противного и т.п.), а объединить их в некий естественный целый и единый организм, позволяющий существенно упростить доказательство в его целом, осуществив его лишь на локальной части и использовав неизменные закономерности, присущие любому Целому. Такой переход от доказательства в среде (на поле) безликой бесконечной совокупности отдельных различных элементов, к доказательству в среде естественного Целостного организма, позволяет использовать универсальные закономерности этого самого Целого для решения любых частных задач. В этом смысле, такое доказательство вполне может быть названо холистическим. 52 Кроме того, эта система доказательства может быть вполне успешно использована и за пределами математической науки, практически в любой области познания. Для большей наглядности ниже представлена условная структурная схема вышеописанной системы доказательства (см. рис. 24). Формулирование гипотезы G Формирование двойственного формального образа гипотезы G Противоположность Середина Противоположность Α Α∩Ᾱ Ᾱ Гипотеза G справедлива для Середины Нет G=Ḡ Да Гипотеза G справедлива для Α или Ᾱ Нет Да Гипотеза G имеет всеобщий характер Гипотеза G имеет уникальный характер Рис. 24 Структурная схема холистической системы доказательства. 53 В завершение этого раздела хотелось бы сказать о том, что те Принципы (Полярности и Монады), которые здесь были использованы, являются, отнюдь, не единственными, заключающими в себе все закономерности характерные для любых противоположностей и Диады в целом. Однако их специальное рассмотрение и представление выходит далеко за пределы затронутых здесь вопросов и проблем. Вместе с тем, даже того, что здесь уже представлено, вполне достаточно для того, чтобы способный видеть, смог увидеть и все остальное … 54 9. ПОСВЯЩЕНИЕ В ТАЙНЫ ВЕЛИКОГО ДЕЛАНИЯ «КРУГЛОГО КВАДРАТА» Со времен великих древнегреческих математиков известны четыре задачи (проблемы), которые в истории развития математической науки заняли свое особое и даже, можно сказать, легендарное место: - о квадратуре круга; об удвоении куба; о трисекции угла; о вечном движении. Здесь будут рассмотрены лишь первые три задачи, поскольку четвертая задача настолько отягощена своим уже сложившимся негативным содержанием и историческим шлейфом, что только одно упоминание о ней принесет более вреда, нежели пользы. Однако для того, кто сумеет схватить и понять смысл первых трех задач, четвертая - не должна стать камнем преткновения. Сегодня существует множество различных мнений и гипотез относительно истоков происхождения этих задач. Некоторые историки науки упоминают о наличии ещё догреческих и более древних следов постановки и попыток разрешения этих таинственных задач. В любом случае, здесь не будет рассматриваться их возраст и авторство, а будет уделено пристальное внимание их глубинному смыслу и предназначению. Конечно, все мысли и идеи, представленные здесь относительно этих задач, формально носят лишь предположительный (гипотетический) характер. Однако их достоверность сегодня представляется мне более правдоподобной и надежной, чем надменная уверенность в том, что дремучие древнегреческие математики от нечего делать придумали и на протяжении многих веков пытались разрешить задачи, которые, в конечном счете, оказались неразрешимыми. Необходимо заметить, что всевозможные попытки решения этих задач способствовали существенному развитию геометрии. Во все времена существовало множество выдающихся математиков и энтузиастов-любителей, которые пытались разрешить эти задачи, как в рамках установленных условий (методом построений с помощью линейки и циркуля), так и с использованием иных разнообразных и остроумных инструментов. Ввиду достаточного развития элементарной геометрии Парижская академия наук в 1775 году, а прочие академии несколько позднее объявили, что они не будут принимать к рассмотрению новые попытки решения квадратуры круга, так как, не принося существенной пользы для науки, подобные изыскания стали бездельно отнимать время и силы исследователей. Однако даже после того, как в XIX веке Ванцель и Линдеман доказали неразрешимость этих трех древнейших задач, все равно находились энтузиасты среди любителей, а так же даже среди профессионалов, которые продолжали свои интересные и оригинальные изыскания. Все эти увлеченные люди оказались в смехотворном и унизительном положении, поскольку занятие поиском квадратуры круга уже давно стало синонимом бесполезной траты времени. У представителей официальной науки и общества сложилось устойчивое представление о том, что сегодня этими задачами занимаются только люди, не пошедшие дальше элементарного (зачастую школьного) курса математических наук и которые не вполне ясно понимают, чего они 55 добиваются. Что в большинстве случаев такие люди не знают истории сделанных до сих пор в этой области изысканий и результатов работы выдающихся ученых … В конечном счете, такое представление неизбежно низводило любого исследователя, рискнувшего хотя бы только обратить свой пытливый взор в сторону задач о квадратуре круга, об удвоение куба и о трисекции угла до уровня ненормального, неадекватного человека и даже психически больного. В общем-то, я не собираюсь отрицать частичную справедливость такой ситуации, сложившейся вокруг этих задач. В любой сфере деятельности человека хватает всяких и разных людей, но это не должно быть поводом для манипуляций и огульного обобщения качеств одних на всех остальных. Слава Богу, что всегда существовали, существуют и будут существовать энтузиасты и пытливые умы, которые, не взирая ни на что, либо по незнанию, либо по недомыслию продолжают свои попытки решения этих задач, интерес к которым у профессиональных математиков уже давно и бесповоротно пропал. Только ими одними эти задачи ещё живы. Поэтому они до сих пор сохранили себя и, я уверен, сохранят ещё в будущем, чтобы иметь возможность предстать пред разумом пытливым и ищущим, не обремененным никаким общественным мнением и устоявшимися привычками высокомерного всезнания. Конечно, факт доказательства невозможности решения задач в рамках определенной системы инструментов и построений, вполне может считаться свершившимися. Однако, на мой взгляд, нельзя забывать, по крайней мере, о двух важных аспектах этой проблемы, в её целом: убедительность самого доказательства в немалой степени психологична и изменяема с течением времени, т.е. то, что считалось доказательством раньше, сегодня таковым уже может и не являться; строгое определение системы инструментов и построений (действий) это, по сути дела, палка о двух концах. С одной стороны, это позволяет повысить строгость, точность и однозначность доказательства, а, с другой стороны, - значительно и искусственно сужает область существования (бытия) задачи или проблемы, которая начинает восприниматься исключительно в буквальном смысле, подобно восприятию целого натурального числа или их множества, исключая из рассмотрения иррациональную составляющую, скрывающуюся между ними. Сегодня у меня есть основания полагать, что упомянутые три задачи имеют качественно иной смысл, а их общепринятая связь с техникой различных построений (с помощью линейки и циркуля), представляет собой не что иное, как обычную профанацию этого самого иного смысла. Думаю, что все эти древние задачи вполне могли относиться к особому виду (или отделу) Математики (Геометрии), и являть собой более демонстрационный или тестовый (в смысле проверочный), нежели буквальный и явный прикладной характер. Иначе говоря, те, кто при решении этих задач брался за их буквальное доказательство, хватаясь при этом за линейку и циркуль, скрытно и тихо признавались, по своим умственным способностям, пока неготовыми или неспособными и к посвящению в этот особый отдел Геометрии не допускались. По сути дела, это был своеобразный тонкий профотбор способных и перспективных математиков, которые уже получали возможность стать более, 56 чем обычными математиками. При этом, не прошедшим этот тест, и составляющим подавляющее большинство среди испытуемых, отнюдь, не возбранялось продолжать свои попытки решения этих задач, в понимаемом ими контексте и выбранным методом. Поэтому выше я и говорил о том, что известные формулировки этих задач, вместе с ограничениями по методу их решения, представляют собой не более чем профанацию, т.е. игры профанов. Но, как зачастую и бывает, наверное, жрецы от математики несколько переборщили (перестарались) со строгостью отбора, оставив в истории лишь след от деятельности многочисленных традиционных математиков, которым, как уже отмечалось выше, все-таки удалось существенно продвинуть в своем развитии Математическую науку (Геометрию). Не бывает худо без добра … О квадратуре круга Раннее я уже говорил о том, как необычное решение этой задачи, способствовало возникновению у меня идеи о достижении тождества между кругом и квадратом. Думаю, что в первоначальном варианте условия этой задачи было необходимо получение (делание) квадрата, тождественного исходному кругу. Иначе говоря, необходимо было из Двух (круга и квадрата) буквально сделать Одно и то же! Уверен, что достаточно внимательный читатель сумеет заметить существенную и даже качественную разницу между отдельными кругом и квадратом с равными площадями, а так же кругом и квадратом, превратившихся в одно и то же целостное и единое. Формальным решением задачи о квадратуре круга в таком контексте является простое построение квадрата, вписанного в исходный круг. При вращении таких круга и квадрата вокруг их единого центра они уже будут являть собой одну и ту же Форму, - Круг. К чему в дальнейшем привело подобное решение этой древней и «бесполезной» задачи, повествует практически вся настоящая работа. По сути дела, вся Геометрия Точки, лишь основные контуры которой здесь обозначены, представляет собой естественное и закономерное развитие решения задачи о квадратуре круга. Поэтому, по большому счету, эту задачу вполне можно было решить, вообще не применяя никакого инструмента, кроме остро заточенного карандаша. Для этого потребовалось всего лишь поставить на листе бумаге одну-единственную Точку, - бесформенный знак (символ), которой заключает в самом себе все бесконечное разнообразие различных Форм, включая и круг с квадратом. Кроме всего этого, задача о квадратуре круга заключает в себе так же глубокий и универсальный философский смысл. Ведь Круг и Квадрат в ней выступают в роли двух обычных противоположностей, Серединой между которыми служит «круглый квадрат» - «вращающийся квадрат», а непроявленной Монадой – Точка. Таинственным же агентом делания «круглого квадрата» является ВРАЩЕНИЕ, которое, по сути, и осуществило преВРАЩЕНИЕ отдельных Двух противоположностей (Круга и Квадрата), в Одно их единство (см. рис. 25). 57 Рис. 25 Схема решения задачи о квадратуре круга Необходимо отметить, что задача о квадратуре круга, является, пожалуй, самой известной и наиболее затасканной среди рассматриваемых здесь трех древних задач. Этому явлению можно придумать множество причин и все они, в той или иной степени, будут отражать действительность. Однако, в связи с этим, хотелось бы обратить внимание на один-единственный аспект, который, по моему мнению, все же является определяющим в обретении этой задачей столь ведущей роли среди других, подобных задач. Дело в том, что Круг и Квадрат, как уже отмечалось выше, по своей сути, являют собой две взаимосвязанные, взаимоопределяющие и взаимодополняющие друг друга противоположности, образующие в своей совокупности обычную двойственность. Поэтому и задача о квадратуре круга, в конечном счете, представляет собой не что иное, как образцовую задачу на разрешение двойственности (парадокса, противоречия, дилеммы, дихотомии) путем определения уникального синтеза её двух противоположностей (Круга и Квадрата), - нахождения скрытого (таинственного) Третьего элемента, выходящего за пределы этой самой двойственной или дуальной Системы (Диады) Круга и Квадрата. Это очень красивая, простая и наглядная задача и, вместе с тем, очень глубокая (фундаментальная, универсальная или даже - трансцендентальная), неисчерпаемая и универсальная задача. В этом контексте, я вполне допускаю, что наиболее известный символ, издавна используемый масонами, изображающий перекрещенные циркуль и наугольник, представляет собой другой (инструментальный) вид все той же задачи о квадратуре круга (см. рис. 26). Рис. 26 Циркуль и угольник – один из основных и наиболее распространенных символ масонов 58 Кстати, буква «G» в этом символе, в подавляющем большинстве версий описания его смысла, означает «Великого Архитектора» Вселенной, или «Великого Геометра» (Geometr), или Бога (God). «И совсем не исключено, что здесь ещё кроется какая-то тайна, которую нам предстоит раскрыть.» Ч. С. Пирс Однако, отнюдь, не только и не столько масоны в своих символах выражали и представляли некие свои тайные знания. Так, ещё во II веке до н. э., в древних китайских мифах изображался таинственный брачный союз легендарных Фуси и Нюйвой, символизирующий собой брак между Небом и Землей. Фуси и Нюйва изображаются до пояса в виде людей в головных уборах и в халатах, а ниже пояса — в виде змеи (иногда дракона), с крепко переплетенными хвостами и лицами, обращенными друг к другу, или же спиной друг к другу. Фуси держит в руках угольник, Нюйва – циркуль. На некоторых изображениях он держит солнце, в которое вписана золотая ворона, а у нее в руках луна с изображением жабы (см. рис. 27). Рис. 27 Фуси и Нюйва. Китай‚ II век до н.э. Здесь же можно упомянуть и знаменитого Витрувианского человека Леонардо да Винчи (см. рис. 28). Рис. 28 Леонардо да Винчи. Витрувианский человек, 1487 г. 59 Наконец, существует большое количество древнейших символов, которые, по моему мнению, в том числе заключают в себе и подобную идею единения Неба и Земли, Круга и Квадрата, Круга и Креста (см. рис. 29). Рис. 29 Древние символы Круга и Креста (Квадрата) Об удвоении куба Задача об удвоении куба, относительно уже рассмотренной задачи о квадратуре круга, представляет собой её буквальную противоположность. Ибо здесь речь идет уже о получении (делании) Двух из Одного - куба. Скорее всего, что в первоначальном варианте условия этой задачи было необходимо получение (делание) двух различных Форм, тождественных одной и той же исходной Форме куба. Т.е. в такой трактовке задачи вовсе не идет речь о получении некоего другого куба, такого же или объемом вдвое превышающего исходный куб, а о простом и буквальном делании Двух различных Форм из Одной исходной Формы куба. И как это не парадоксально прозвучит, но в качестве агента подобного таинственного превращения также выступает ВРАЩЕНИЕ. Дело в том, что куб, установленный на одну из своих граней (в виде алтаря) и вращающийся вокруг своей вертикальной оси, естественным образом преВРАЩАЕТСЯ в другую свою Форму, - цилиндр, при этом, по-прежнему оставаясь кубом! В данном случае (задаче) вращение выступило в роли аналогичного агента, но способствующему уже не единению (синтезу) Двух в Одном, а, наоборот, - разделению Одного на Два. Именно эти свойства вращения, как универсального агента определения целостных числовых характеристик различных Форм (сигнатуры, квадратуры и кубатуры), а так же соотношений между ними, и лежат в основе Геометрии Точки. Необходимо обратить внимание на то, что две рассмотренные задачи – о квадратуре круга и об удвоении куба, по своей сути, как и любые другие обычные противоположности, представляют собой две взаимосвязанные, взамоопределяющие и взаимодополняющие друг друга различные (противоположные) стороны, принадлежащие одной и той же целостной и единой Системе, определяющей универсальные закономерности взаимодействия между собой проявленной Диады и непроявленной Монады. О трисекции угла Уверен, что среди внимательных и заинтересованных читателей обязательно найдутся такие, которые уже самостоятельно догадались, каким мог быть изначальный смысл задачи о трисекции угла. 60 Думаю, что в первоначальном варианте условия этой задачи было необходимо получение (делание) трех равных углов, из одного исходного. И здесь в качестве универсального агента вновь приходит на помощь идея вращения, правда уже в своем неком ограниченном (дискретном) виде, - в виде поворота. Дело в том, что если вращать исходный произвольный угол вокруг одной из двух его сторон (луча) до того положения, когда проекция другой его стороны на плоскость исходного угла совпадет с его биссектрисой, то получится целостная Система из трех равных углов, имеющих одну и ту же общую вершину и лежащих в трех различных плоскостях. В качестве пояснения на рис. 30 представлена наглядная схема получения описанным способом Системы трех равных углов из одного исходного. О γ β α α=β=γ Рис. 30 Схема получения Системы трёх равных углов = из одного исходного Не смотря на всю кажущуюся простоту решения этой задачи в таком контексте, она заключает в себе такой же глубокий и универсальный смысл, как и предыдущие две задачи. Более того, эта задача являет собой очень удачный и тонкий образ, демонстрирующий в своем явном виде скрытую троичную внутреннюю сущность (структуру) любой отдельной проявленной противоположности Диады и её Середины. Для схватывания и ясного понимания этого, достаточно внимательно и целостно рассмотреть все бесконечное множество различных подобных Систем, состоящих из трех связанных (смежных) углов, получающихся в результате поворота исходного произвольного угла на различные углы. Наверное, несложно заметить, что все эти различные Системы трех связанных углов всегда заключают в себе два угла, равных исходному (вместе с исходным углом), и третий угол, отличный от них тем, что может быть либо меньшим, либо большим относительно исходного угла, в зависимости от угла поворота исходного угла. Таким образом, все бесконечное множество различных Систем трех связанных углов, разделяется на две свои противоположные разновидности, - Системы с третьим углом меньше исходного угла и Системы с третьим углом больше исходного угла. А Серединой между ними как раз и является искомое решение задачи о трисекции угла, т.е. Система трех равных углов. Упомянутая выше троичность любой из двух противоположных Систем связанных трех углов состоит в том, что она одновременно (разом) заключает в себе три свои составляющие - тезис, антитезис и их синтез (единство), в котором в зависимости от того, что преобладает, - либо тезис, либо антитезис, та противоположность в соответствующей степени и проявляется. Аналогичная 61 троичность Середины качественно отличается от троичности любой из противоположностей тем, что её третий элемент (единство или синтез двух противоположностей в своих равных степенях проявления) представляет собой уникальную неопределенность относительно исходных противоположностей и Диады в целом, поэтому, по своей сути, он воплощает собой непроявленную (скрытую) противоположность Диаде, - Монаду. При этом Середина, как уникальный отдельный Третий элемент, в своей частной ограниченности голографическим образом заключает в себе Монаду и Диаду всю целиком. Равенство всех трех углов в их Системе – это еще не все уникальные свойства Середины для этого случая. Так, можно заметить, что помимо трех углов в рассматриваемой целостной Системе существует так же ещё три угла, получаемых между одной из сторон каждого угла и её проекцией на противолежащую ей плоскость другого угла. Назовем их углами проекций. В случае равенства в Системе всех трех углов, углы проекций так же будут равны. Однако, в любом случае, каждая система связанных трех углов может быть описана шестью соответствующими углами. Здесь мы подошли к месту, в котором уже можно рассуждать как угодно, но любое из них, в конечном счете, неизбежно приведет к одной и той же идее Системы, состоящей из трех связанных прямых углов. Дело в том, что в случае прямого угла в качестве исходного, при решении задачи о трисекции угла образуется совершенно уникальная Система (двойная Середина, - по равенству всех трех углов и по их Форме) из трех прямых углов и не имеющая своих соответствующих углов проекций. И такое уникальное решение задачи о трисекции угла представляет собой не что иное, как всем известную и привычную прямолинейную и прямоугольную трехмерную (пространственную) Систему координат, которую сегодня принято называть декартовой (см. рис. 31)! Y 0 X Z Рис. 31 Прямоугольная трехмерная Система координат Достаточно неожиданная получилась развязка для столь «дремучей» и «бесполезной» задачи, неразрешимость которой уже давно доказана и которая не заслуживает к себе никакого внимания. В целом, необходимо отметить, что само содержание рассмотренных здесь трех древних задач - о квадратуре круга, об удвоении куба и о трисекции угла и их, отнюдь, не случайный подбор, в некоторой степени, позволяет говорить об их целостной и единой Системе, которая вполне могла лежать в 62 основе неких необычных и тайных (закрытых) математических знаний. Если не намерено скрываемых знаний, то, по меньшей мере, знаний, которые считались трудно воспринимаемыми (понимаемыми), а потому и трудно доступными для подавляющего большинства традиционных (обычных) математиков древности. Не исключено, что подобное положение дел в Математике (и других науках древности) формировалось и поддерживалось некой элитной группой лишь искусственно, в угоду сложившейся традиции, дабы создать в них необходимую дистанцию и разделение на посвященных внутреннего и внешнего кругов, якобы обеспечивающих, по мнению первых, наибольшую эффективность развития и устойчивость существования своей науки. Существует и ещё одно предположение, о котором я уже вскользь упоминал выше. Представляется достаточно вероятным, что эта Система задач являет собой не что иное, как отдельные отзвуки (следы или остатки) некой более универсальной и практической науки (насколько применимо к ней такое название), чем общеизвестная Математика. А Математика в лице Геометрии послужила лишь адекватным и удобным средством (инструментом) выражения, – формализации и представления этой самой науки всех наук (далее – Метанауки). Вовсе необязательно, чтобы эта Метанаука брала свои истоки именно у древнегреческих математиков или вообще в каких-либо иных науках древней Греции. Сегодня я более склоняюсь к тому, что эти задачи достались древнегреческим математикам в виде уже готовых отдельных осколков некой таинственной Метанауки (как осколок некоего значительно более древнего целостного наследства, канувшего в небытие), которые каким-то чудом оказались в просвещенной древней Греции. И попав в неё, подобно благоприятной почве, они проросли именно в те поросли, которые из них могли и стремились вырастить древнегреческие математики. Ибо из этого семени можно взрастить всякое древо и получить всякий плод. Однако на этом, пожалуй, остановлюсь, дабы не уклоняться от основной темы настоящей работы, иначе она обретет качественно иной смысл, и уже не будет соответствовать своему названию. Кроме того, никогда не нужно забывать, что все великие дела делаются маленькими шажками … Сегодня, обо всех этих предположениях можно лишь строить самые разнообразные гипотезы и догадки, которые, скорее всего, обречены оставаться таковыми вечно. Если только не случится какое-нибудь чудо, например, не будут обнаружены какие-нибудь документальные факты, подтверждающие это мое предположение, и которые раннее, в силу своей туманности и парадоксальности, были отнесены современными историками науки на счет дремучести, недостаточной умственной развитости и примитивности общей математической культуры древних математиков. Что, кстати говоря, в глазах подавляющего большинства историков, выглядит вполне естественным и закономерным. 63 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В завершение этой своей работы хотел бы обратить внимание на то, что разнообразные графические (геометрические) Формы, как и вся Геометрия в её целом, занимает свое уникальное Серединное положение между двумя противоположными Мирами человека (Внутренним и Внешним), между Мыслью и Вещью, Духом и Материей поэтому является наиболее гармоничным, совершенным и эффективным инструментом для осуществления естественной связи (единения) этих двух Миров (Неба и Земли) в человеке и посредством самого человека (его сущности), а так же обретения и выражения (ФОРМАлизации) целостного постижения (понимания) их изначальной единой Природы. По этому поводу, В. Шмаков, в своей работе «Великие Арканы Таро. Абсолютные Начала Синтетической Философии Эзотеризма», высказался следующим образом: «… Переходя к решению отвлеченных проблем методом геометрии, мы хотя и будем пользоваться ее фигурами, но эти последние теперь будут иметь уже иной смысл и значение; здесь они представляют собой лишь пространственную интерпретацию сущности, которая сама по себе лежит в другом мире. Вследствие этого пространство, в котором эти построения нами совершаются, по самой своей природе отлично от пространства геометрического; это пространство я называю метафизическим пространством. Вполне понятно, что Эвклидовская теория для такого пространства может иметь, а может и не иметь своей силы, и, кроме того, протяжения по различным координатам в нем могут иметь различные значения и наименования …» Не вижу ничего плохого, предосудительного и невежественного в том, чтобы каким-то образом быть мотивированным и увлеченным решением какихто задач, и неразрешимых задач в особенности. Считаю исключительно важным, полезным и ценным для каждого человека "открытие Америк" и "изобретение велосипедов". По крайней мере, это реальные попытки шевелить собственными мозгами, а не механически собирать чужие знания, как грибы в корзину. Именно в результате такой самостоятельной внутренней (мыслительной) работы внутри сущности человеческой случается, пожалуй, самое великое таинство и чудо – постижение тайн Бытия, которые обретаются из потаенных глубин самого себя, подобно тому, как из Точки обретается бесконечное множество разнообразных её Форм, образующих в своей совокупности целый и бесконечный Геометрический Мир. Это единственный (уникальный) ресурс из всех доступных человеку ресурсов, который не может быть обретен никаким иным путем, кроме как исключительно собственными усилиями и из самого себя, и который является действительным индивидуальным достоянием человека, - его своеобразной «рукописью», которая не горит … По меньшей мере, пытаясь самостоятельно решать разнообразные задачи, человек вынужден, в той или иной степени, врасти (понять) в проблематику, а, значит, хотя бы немного, но повысить свой общий культурный и мыслительный уровень ... Поэтому не бойтесь и не стесняйтесь браться за самостоятельное решение разнообразных задач, даже тех, которые кажутся специалистам неразрешимыми, бесполезными или которые уже как-то и кем-то решены в рамках неких искусственных условий. Не обращайте внимания на вездесущих и 64 высокомерных всезнаек, у которых всегда есть ответ на любой вопрос. В действительности никто не знает, где найдешь и где потеряешь … Буду признателен всем, кто после прочтения этой работы пожелает поделиться своими впечатлениями с её автором. Все отзывы со своими замечаниями и предложениями можно отправлять автору на адрес электронной почты: alek_vector@inbox.ru Желаю всем успехов. Олег Наконечный 65