Системы линейных уравнений малых порядков

1
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Оглавление
1
Системы линейных уравнений малых порядков ................................................................3
2
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. ......................................................6
2.1
3
Исследование системы по ступенчатому виду. ...........................................................8
Матричное исчисление .........................................................................................................9
3.1
Понятие матрицы ............................................................................................................9
3.2
Сложение матриц, умножение на число и транспонирование ................................10
3.3
Произведение матриц ..................................................................................................10
4
Определители ......................................................................................................................11
5
Вычисление определителей некоторых матриц ..............................................................12
6
Правило Крамара .................................................................................................................13
7
Обратная матрица ...............................................................................................................14
8
Основные определения векторного исчисления .............................................................15
9
8.1
Понятие вектора ............................................................................................................15
8.2
Арифметические операции над векторами ...............................................................15
8.3
Разложение по стандартному базису .........................................................................17
8.4
Орт и направляющие косинусы ...................................................................................18
Скалярное произведение геометрических векторов .......................................................19
10 Векторное произведение ....................................................................................................21
11 Смешанное произведение ..................................................................................................22
12 Прямая на плоскости ...........................................................................................................24
13 Плоскость в пространстве ...................................................................................................26
14 Прямая в пространстве........................................................................................................28
15 Кривые второго порядка .....................................................................................................29
15.1
Эллипс.........................................................................................................................29
15.2
Гипербола...................................................................................................................30
15.3
Парабола ....................................................................................................................31
16 Преобразование координат плоскости .............................................................................32
16.1
Параллельный перенос ............................................................................................32
16.2
Поворот на угол. ........................................................................................................32
2
17 Поверхности второго порядка ............................................................................................32
17.1
Эллипсоид ..................................................................................................................32
17.2
Эллиптический параболоид .....................................................................................33
17.3
Однополостный гиперболоид ..................................................................................33
17.4
Двуполостный гиперболоид.....................................................................................34
17.5
Гиперболический параболоид .................................................................................34
18 Вырожденные поверхности второго порядка ..................................................................35
18.1
Цилиндр .....................................................................................................................35
18.2
Конус ...........................................................................................................................35
3
Системы. Матрицы. Определители
1 Системы линейных уравнений малых порядков
В этом параграфе дана мотивировка абстрактным понятиям матрицы и определителя,
которые определяются и изучаются далее.
Общий вид линейного уравнения с одним неизвестным x следующий:
𝑎𝑥 = 𝑏.
(1)
Здесь 𝑎 и 𝑏 какие-то действительные числа. Мы ищем все решения уравнения (1), т.е.
такие числа, при подстановке которых вместо x, получается слева в (1) то же число, что и
справа. Сформулируем ответ.
Случай 1: 𝑎 ≠ 0. Тогда решение единственно и равно 𝑏/𝑎.
Случай 2: 𝑎 = 0, но 𝑏 ≠ 0. Тогда решений нет или множество решений пусто.
Случай 3: 𝑎 = 𝑏 = 0. Тогда множество решений -- вся числовая ось, т.е. все множество
действительных чисел ℝ .
Перейдем к одному уравнению с двумя неизвестными
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
(2)
Случай 1: 𝑏 ≠ 0. Тогда уравнение (2) эквивалентно функциональной зависимости 𝑦 =
𝑐/𝑏 − (𝑎/𝑏)𝑥, графиком которой служит наклонная прямая на плоскости.
Случай 2: 𝑏 = 0, но 𝑎 ≠ 0. Тогда уравнение (2) эквивалентно 𝑥 = 𝑐/𝑎. Множество точек
на плоскости, удовлетворяющих этому соотношению есть вертикальная прямая.
Случай 3: 𝑎 = 𝑏 = 0, но 𝑐 ≠ 0. Тогда решений нет.
Случай 4: 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0. Тогда все пары чисел являются решениями.
Перейдем теперь к линейной системе 2×2 с неизвестными 𝑥 и 𝑦. Общий вид её
следующий:
{
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
(3)
Фигурная скобка слева в (3) заменяет союз "и". Нам надо найти все пары чисел (𝑥0 , 𝑦0 ),
при подстановке которых в первое и во второе уравнение системы (3) получаются верные
числовые равенства. Исключим неизвестное 𝑦 из системы (3). Для этого первое уравнение
умножим на 𝑏2 , второе -- на 𝑏1 , и вычтем из полученного первого уравнения
получившееся второе уравнение. Далее исключим неизвестное 𝑥 из системы (3), для чего
4
первое уравнение умножим на 𝑎2 , второе -- на 𝑎1 , и вычтем из полученного второго
уравнения первое. Получим следующую систему:
{
(𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 ) 𝑥 = 𝑐1 𝑏2 − 𝑐2 𝑏1
(𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 )𝑦 = 𝑐2 𝑎1 − 𝑐1 𝑎2
(4)
Система двух уравнений (4) является следствием системы (3). Это значит, что равенства (4)
верны, коль скоро пара (𝑥, 𝑦) есть решение системы (3). Если внимательно присмотреться
к коэффициентам системы (4), то можно заметить, что все они составлены по одному и
тому же правилу. Назовём следующую конструкцию
(
𝑎1
𝑎2
𝑏1
)
𝑏2
2×2-матрицей с коэффициентами 𝑎1 , 𝑏1 , 𝑎2 , 𝑏2 , а число 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 назовем ее
определителем и будем записывать так:
𝑎
𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 = | 1
𝑎2
𝑏1
|
𝑏2
(5)
Определитель (5) также называют определителем системы (3). Будем обозначать этот
определитель прописной греческой буквой Δ ("дельта"). Правые части уравнений (4)
также являются определителями, но уже других матриц. Обозначим их следующим
образом:
𝑐
Δ𝑥 = 𝑐1 𝑏2 − 𝑐2 𝑏1 = | 1
𝑐2
𝑎1
𝑏1
| ; Δy = c2 a1 − c1 a2 = |𝑎
𝑏2
2
𝑐1
𝑐2 |
Итак, следствием системы (3) является "распадающаяся" или диагональная система
𝛥 ⋅ 𝑥 = 𝛥𝑥 , 𝛥 ⋅ 𝑦 = 𝛥 𝑦 ,
которую мы уже знаем как решать.
Случай 1: 𝛥 ≠ 0. Тогда система (4) имеет единственное решение
𝑥=
Δ𝑥
,
Δ
𝑦=
Δ𝑦
.
Δ
(6)
Оказывается, что (6) в случае 𝛥 ≠ 0 есть единственное решение системы (3). Эта
формулировка правила Крамара для системы 2× 2. В общем случае правило Крамара
доказано далее в этой главе. Мы сформулировали правило Крамара, но доказали лишь
единственность решения (6), а сам факт, что (6) есть решение системы (3) установить
можно прямой проверкой:
Δ𝑦 1
Δ𝑥
+ 𝑏1
= ⋅ (𝑎1 (𝑐1 𝑏2 − 𝑐2 𝑏1 ) + 𝑏1 (𝑐2 𝑎1 − 𝑐1 𝑎2 ))
Δ
Δ
Δ
1
1
= ⋅ (𝑎1 𝑐1 𝑏2 − 𝑏1 𝑐1 𝑎2 ) = (𝑎1 𝑏2 − 𝑏1 𝑎2 )𝑐1 = 𝑐1
Δ
Δ
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑎1
5
Δ
Аналогично проверяется, что пара чисел ( Δ𝑥 ,
Δ𝑦
Δ
) является решением и второго уравнения
системы (3).
Случай 2: 𝛥 = 0, но либо 𝛥𝑥 ≠ 0, либо 𝛥𝑦 ≠ 0. Тогда одно из уравнений системы (4)
не имеет решения. Отсюда немедленно вытекает, что система (3) не имеет решений, так
как (4) есть следствие системы (3)).
Случай 3: 𝛥 = 𝛥𝑥 = 𝛥𝑦 = 0. Конечно, в этом случае система (4) имеют решениями все
пары чисел. Но это не значит, что любая пара чисел является решением исходной системы
(3). Например, в системе 𝑥 + 𝑦 = 0, 2𝑥 + 2𝑦 = 0 все определители 𝛥 , 𝛥𝑥 , 𝛥𝑦 равны нулю,
но решением ее будет биссектриса второго и четвертого квадрантов.
Если 𝑎1 = 𝑏1 = 𝑐1 = 0, то второму уравнению удовлетворяет любая пара чисел, так что
его без ущерба для множества решений можно выбросить из системы. Но тогда мы
возвращаемся в уже исследованный случай одного уравнения с двумя неизвестными.
Считаем теперь, что тройка (𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1 ) ненулевая, т.е. по крайней мере, одна из
компонент этой тройки есть ненулевое число. Тогда равенства 𝛥 = 𝛥𝑦 = 𝛥𝑥 = 0 можно
переписать как пропорции:
𝑎2 𝑏2 𝑐2
=
= . (7)
𝑎1 𝑏1 𝑐1
Не следует смущаться, если в знаменателе пропорции окажется ноль. По определению
𝑎
𝑐
пропорция 𝑏 = 𝑑 имеет место, если накрест лежащие произведения равны: 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐.
Обозначим общее отношение (7) греческой буквой  ("лямбда"). Тогда тройка
коэффициентов (𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2 ) получается из тройки (𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1 ) умножением на  в том
смысле, что 𝑎2 = 𝜆𝑎1 , 𝑏2 = 𝜆 𝑏1 и 𝑐2 = 𝜆 𝑐1. А это означает, в свою очередь, что если мы ко
второму уравнению системы (3) прибавим первое уравнение, предварительно
умноженное на  , то придем к системе вида
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 ,
0 ⋅ 𝑥 + 0 ⋅ 𝑦 = 0.
(8)
Система (3) в свою очередь может быть получена из системы (8) обратным
преобразованием: надо ко второму уравнению системы (8) прибавить первое,
умноженное на 1/ . (Если бы было  =0, то 𝑎2 = 𝑏2 = 𝑐2 = 0 и мы бы начинали с
отбрасывания первого уравнения). Это значит, что системы (3) и (8) имеют одно и то же
множество решений, или как мы будем говорить, они эквивалентны. Понятно, что
система (8) проще устроена, чем (3), и мы будем решать именно ее. Как уже отмечалось,
нулевое уравнение можно отбросить, и мы снова возвращаемся к случаю одного
уравнения с одним неизвестным.
Мы полностью решили систему 2×2. Подведем итог. В случае отличия от нуля
определителя системы, решение единственно. Если же 𝛥 = 0, то решений может не быть
вовсе, либо может быть бесконечное множество решений, образующих прямую на
6
декартовой плоскости 𝑂𝑥𝑦. В случае равенства нулю всех коэффициентов, множество
решений заполняет всю плоскость 𝑂𝑥𝑦.
Мы не случайно в последнем абзаце прибегнули к геометрии. Если есть возможность
какой-либо математический объект истолковать геометрически, то этой возможностью
надо обязательно воспользоваться. То, что такая возможность есть для системы 2×2,
показывает следующая таблица (в этой таблице предполагается, что пары коэффициента
(𝑎1 , 𝑏1 ) и (𝑎2 , 𝑏2 ) ненулевые.
Аналитический язык
Геометрический язык
Пара чисел (𝑥, 𝑦)
Уравнение 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 (𝑎2 + 𝑏 2 ≠ 0)
Решение системы (3)
Точка 𝑃(𝑥, 𝑦) на плоскости 𝑂𝑥𝑦
Прямая на плоскости 𝑂𝑥𝑦
Поиск пересечения двух прямых –
ℓ1 : 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 и ℓ2 : 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
Прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются
Прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны
Прямые ℓ1 и ℓ2 совпадают.
Решение системы (3) единственно (или Δ ≠ 0)
Система (3) решений не имеет
Система (3) имеет бесконечное множество
решений
2 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Системой m линейных уравнений c n неизвестными 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 называют систему вида
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 ,
𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ,
{ 𝑎21
……
……………………………..
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 .
(1)
Здесь 𝑎𝑖𝑗 -ые и 𝑏𝑗 -ые -- коэффициенты системы, т.е. какие-либо числа. Решением этой и
любой другой, необязательно линейной системы, называется строка чисел длины n при
подстановке которой в каждое из уравнений системы вместо 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 получаются
верные равенства. Линейная система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы
одно решение и называется несовместной в противном случае. Совместная система
называется определенной, если она имеет в точности одно решение и называется
неопределенной, если система имеет более одного решения.
Пусть имеются две системы уравнений (не обязательно линейных) с одним и тем же
набором неизвестных -- "новая" и "старая". Новая система есть следствие старой, если
всякое решение старой системы одновременно есть решение новой системы. Две таких
системы уравнений называются эквивалентными, если их множества решений
совпадают, иными словами, если каждая из них есть следствие другой.
Решать систему (1) будем методом последовательного исключения неизвестных или
иначе методом Гаусса.
Элементарными преобразованиями линейной системы уравнений называется:
7
(1 тип) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на какое-либо число;
(2 тип) перестановка двух уравнений;
(3 тип) умножение какого-либо уравнения системы на ненулевое число;
(4 тип) отбрасывание или дописывание нулевого уравнения.
Предложение 1. Любое элементарное преобразование обратимо, то есть существует
элементарное преобразование, применение которого к полученной системе, возвращает
ее в исходное состояние.
Действительно, если к i-му уравнению мы прибавили j-ое уравнение, умноженное на
число , то от новой системы можно перейти к старой, прибавляя к i-му уравнению j-оу,
умноженное на число − . Для перестановки двух уравнений обратным преобразованием
является сама эта перестановка. Если умножить уравнение на ненулевое число k, а затем
умножить это же уравнение на 𝑘 −1 , то приходим к исходной системе. Четвертый тип
элементарных преобразований обратим по определению.
Как следствие получаем
Предложение 2. При элементарном преобразовании получается система, эквивалентная
исходной.
Доказательство. При применении элементарного преобразования получается система,
являющаяся следствием исходной. Далее следует использовать предложение 1.
Процесс элементарных преобразований имеет конечную цель -- ступенчатый вид
системы. При этом система имеет ступенчатый вид, если первое ненулевое слагаемое
каждого последующего уравнения стоит правее, чем первое ненулевое слагаемое
предыдущего уравнения.
Теорема. Любую систему линейных уравнений элементарными преобразованиями 1-го
и 2-го типов можно привести к ступенчатому виду.
Доказательство. Считаем, что один из коэффициентов, стоящих в первом столбце, не
равен 0. Иначе переходим к следующему столбцу и так далее пока не наткнемся на
столбец, имеющий хотя бы один, отличный от нуля коэффициент. Если такового не
окажется, то есть все 𝑎𝑖𝑗 = 0 и все 𝑏𝑗 = 0, то доказывать нечего -- система уже имеет
ступенчатый вид. Итак, пусть 𝑎𝑖1 ≠ 0 для некоторого индекса i. Совершив, если нужно,
(т.е. если 𝑎11 = 0), элементарное преобразование третьего типа -- перестановка первого и
i-го уравнения, добьемся того, что на месте (1,1) будет стоять не равный нулю
коэффициент. Переобозначим коэффициенты так, что именно 𝑎11 ≠ 0. Тогда, прибавляя
𝑎
ко второму уравнению первое, умноженное на − 𝑎21 , "занулим" коэффициент, стоящий на
11
месте (2,1). Аналогичными преобразованиями занулим коэффициенты, стоящие на местах
(3,1),...,(m,1). Получим следующую систему:
8
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 +. . . +𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 ,
′
𝑎22
𝑥 + 𝑎′ 𝑥 +. . . +𝑎′ 𝑥𝑛 = 𝑏2′ ,
{
… 2… … …23… 3… … … …2𝑛
……..
′
′
′
′
𝑎𝑚2
𝑥2 + 𝑎𝑚3
𝑥3 +. . . +𝑎𝑚𝑛
𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
(2)
Применим предположение индукции к последним n-1 -- уравнению системы (2) и
приведем эту "подсистему" к ступенчатому виду. Тогда и вся система (2) примет
ступенчатый вид.
2.1 Исследование системы по ступенчатому виду.
Предположим, что система линейных уравнений приведена к ступенчатому виду:
{
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2
+ … + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 ,
𝑎2𝑘 𝑥𝑘 + 𝑎2,𝑘+1 𝑥𝑘+1 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ,
…………………………………..
𝑎𝑚𝑝 𝑥𝑝 + 𝑎𝑚,𝑝+1 𝑥𝑝+1 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 .
(3)
Здесь 𝑥1 , 𝑥𝑘 , . . . , 𝑥𝑝 -- неизвестные, стоящие в углах ступенчатого вида. Их мы будем
называть главными. Остальные неизвестные (их может и не быть) называются
свободными. По определению ступенчатого вида имеем: 1 < 𝑘 <. . . < 𝑝.
Вообще-то, в ступенчатом виде могут присутствовать нулевые уравнения, то есть
уравнения вида 0 ⋅ 𝑥1 + 0 ⋅ 𝑥2 +. . .0 ⋅ 𝑥𝑛 = 0. Но их можно отбросить (см.
элементарное преобразование четвертого типа).
Обсудим сначала случай, когда система не имеет решения.
Если в процессе приведения к ступенчатому виду или в самом ступенчатом виде
встретилось уравнение
0 ⋅ 𝑥1 + 0 ⋅ 𝑥2 +. . .0 ⋅ 𝑥𝑛 = 𝑏, (4)
где 𝑏 ≠ 0, то это уравнение не имеет решения, а, значит, и исходная система
несовместна.
Считаем далее, что уравнение вида (4) нам не встретилось.
Число ненулевых уравнений может быть меньше или равно числу неизвестных, но не
может превосходить n. Действительно, каждая ступенька имеет ширину ≥ 1,
следовательно, общая ширина ступенек больше чем число ненулевых уравнений, а с
другой стороны общая ширина ступенек вместе с последней не может превосходить n.
Завершает решение системы обратный процесс. Это серия элементарных преобразований
уравнений системы (3), начиная с последнего, позволяющая записать главные
неизвестные через свободные в виде линейной комбинации. Сначала выражают 𝑥𝑝 через
все последующие неизвестные, пользуясь последним, m-ым уравнением:
𝑥𝑝 =
𝑏𝑚 𝑎𝑚,𝑝+1
𝑎𝑚𝑛
−
𝑥𝑝+1 −. . . −
𝑥 .
𝑎𝑚𝑝
𝑎𝑚𝑝
𝑎𝑚𝑝 𝑛
9
𝑏
(Если 𝑝 = 𝑛, то это выражение имеет вид: 𝑥𝑛 = 𝑎 𝑚 ). Далее, применяя элементарные
𝑚𝑛
преобразования 1 типа, зануляют все коэффициенты в (3), стоящие над коэффициентом
𝑎𝑚𝑝 точно также как мы это делали в "прямом" процессе приведения системы к
ступенчатому виду (см. доказательство теоремы 1). Тогда из получившегося последнего
уравнения выражают предпоследнее главное неизвестное через оставшиеся свободные
неизвестные и так далее пока не доберемся до первого главного неизвестного и не
выразим его через свободные неизвестные. Итак, мы видим, что если в ступенчатом виде
все неизвестные главные (m=n), то система определена. Если же имеются свободные
неизвестные, то общее решение получается обратным процессом, выражающим
главные неизвестные через свободные. При этом свободные неизвестные играют роль
параметров, "свободно" и независимо друг от друга пробегающих множество чисел. В
этом случае система неопределена. Формулы, выражающие неизвестные 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
через параметры задают общее решение системы, и число параметров называется
размерностью пространства решений.
Исследование системы по ступенчатому виду, как и изложение метода Гаусса закончено.
Рассмотрим теперь важный частный случай однородной системы, т.е. случай когда все 𝑏𝑖 ые в правой части (1) равны 0. Такая система заведомо совместна, поскольку строка из
нулей -- (0,0,… ,0) является решением. Критерий существования ненулевого решения дает
следующая теорема, представляющая из себя непосредственное следствие метода
Гаусса.
Теорема. Однородная система имеет ненулевое решение, т.е. является неопределенной
в том и только том случае, когда после приведения к ступенчатому виду число ненулевых
уравнений меньше чем число неизвестных. В частности это так, если изначальная
однородная система имела число уравнений меньше чем число неизвестных.
3 Матричное исчисление
3.1 Понятие матрицы
Матрицей размера 𝑚 × 𝑛 или 𝑚 × 𝑛 –матрицей называется прямоугольная таблица
вида
𝑎11 𝑎12 𝑎13 . . .. 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 . . .. 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 . . .. 𝑎3𝑛
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 . . .. 𝑎𝑚𝑛
мыслимая как единый математический объект. Матрицы будем обозначать прописными
латинскими буквами -- A,B,C и т.д. Более компактная запись матрицы (1) следующая:
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 . Очень часто ссылку "𝑚 × 𝑛 " на размер матрицы A будем опускать,
10
записывая ее короче: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) . Две матрицы равны, если, во-первых, совпадают их
размеры, а во-вторых, на одинаковых местах стоят равные друг другу числа. Матрицы
(𝑎𝑖1 , 𝑎𝑖2 , … , 𝑎𝑖𝑛 );
𝑎1𝑗
𝑎2𝑗
( ⋮ )
𝑎𝑚𝑗
называются i - ой строкой и j - ым столбцом матрицы 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) .
Матрица, у которой число строк и столбцов совпадают, называется квадратной. Элементы
𝑎11 , 𝑎22 , 𝑎33 , . .. называются главной диагональю матрицы (𝑎𝑖𝑗 ).
Матрица A называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали матрицы A
стоят нули. Аналогично, A - нижнетреугольная матрица, если выше главной диагонали
матрицы A стоят нули. Матрица A треугольная, если она либо верхнетреугольная, либо
нижнетреугольная. Треугольная матрица с нулями на главной диагонали называется
строго треугольной.
3.2 Сложение матриц, умножение на число и транспонирование
Матрицы можно складывать поэлементно, если они имеет одинаковый размер, а также
поэлементно можно умножать матрицу слева и справа на число. Иными словами,
(𝑎𝑖𝑗 ) + (𝑏𝑖𝑗 ) ≔ (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 ); 𝜆(𝑎𝑖𝑗 ) = (𝜆𝑎𝑖𝑗 )
Транспонирование матрицы -- операция над 𝑚 ×-матрицей A , превращающая ее в 𝑚 ×
𝑛 –матрицу 𝐴⊤ , у которой (𝑖, 𝑗)-ый коэффициент равен (𝑗, 𝑖)-ому коэффициенту
матрицы A . Свойства операции транспонирования следующие:
Т1. (𝐴 + 𝐵)⊤ = 𝐴⊤ + 𝐵 ⊤ ;
Т2. (𝑟𝐴)⊤ = 𝐴⊤ 𝑟;
Т3. (𝐴⊤ )⊤ = 𝐴 ;
3.3 Произведение матриц
Произведение строки (𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ) на столбец (𝑏1 , … , 𝑏𝑛 )⊤ того размера определяется как
число – матрица 1х1 равная 𝑎1 𝑏1 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏𝑛 . Произведением 𝑚 × 𝑛 −матрицы 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )
на 𝑛 × 𝑘 −матрицу 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) называется 𝑚 × 𝑘 − матрица 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 ) такая, что
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛𝑗
(1)
Теорема. Произведение матриц ассоциативно.
Единичная матрица 𝐸 есть квадратная матрица, у которой на главной диагонали
единицы, а остальные все коэффициенты 0,
Предложение. Единичная матрица -- нейтральный элемент по отношению к
произведению матриц, то есть 𝐸𝑚 𝐴 = 𝐴𝐸𝑛 = 𝐴 для любой 𝑚 × 𝑛 −матрицы A.
11
Докажем это предложение, записав (𝑖, 𝑗) - коэффициент единичной матрицы как 𝛿𝑖𝑗 . По
определению
𝛿𝑖𝑗 = 1, если
𝑖 = 𝑗 и равно 0,
если
𝑖≠𝑗
Таким образом, определенная величина называется символом Кронекера.
Относительно транспонирования произведение матриц обладает следующим свойством
Т4. (𝐴 ⋅ 𝐵)⊤ = 𝐵 ⊤ ⋅ 𝐴⊤ .
4 Определители
Определение. Пусть 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) -- n×n-матрица (𝑛 ≥ 3). Определителем матрицы A
называется число, которое вычисляется по следующему правилу
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = ∑ (−1)𝑗+1 𝑎𝑗1 ⋅ 𝑀𝑗1 ,
(1)
1≤𝑗≤𝑛
где 𝑀𝑗1 -- определитель матицы, полученной из 𝐴 вычеркиванием первого столбца и 𝑗 -го столбца.
Теорема 1. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на
главной диагонали. В частности, 𝑑𝑒𝑡 𝐸 = 1 .
Доказательство – индукция по 𝑛 с разложением по первому столбцу.□
Приступим к изучению свойств определителей. Доказывать мы их, как правило, не
будем, все они проверяются непосредственно для 2х2 и 3х3-матриц.
Свойство 1. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
В силу равенства det 𝐴 = det 𝐴⊤ все свойства, доказанные для строк, автоматически
переносятся на столбцы и наоборот. В частности
Функция 𝑛 переменных вида 𝑓(𝒙) = 𝐵1 𝑥1 + 𝐵2 𝑥2 + ⋯ + 𝐵𝑛 𝑥𝑛 называется линейной. Она
обладает свойством
𝑓(𝒙 + 𝒙′ ) = 𝑓(𝒙) + 𝑓(𝒙′ ); 𝑓(𝜆𝒙) = 𝜆𝑓(𝒙)
(2)
Наоборот, любая функция n переменных, обладающая свойством (2) линейна.
Свойство 2 (полилинейность). Определитель -- линейная функция от каждой строки
(каждого столбца) матрицы.
Свойство 3 (кососимметричность). Определитель меняет знак при перемене местами
двух строк (двух столбцов).
12
Свойство 4. Определитель равен нулю, если какие-либо две строки (два столбца)
совпадают.
Действительно, при перестановке этих двух равных строк с одной стороны определитель
не меняется (так как строки равны), а с другой стороны он меняет знак на по свойству
кососимметричности. Имеем равенство Δ = −Δ из которого немедленно следует
равенство Δ = 0.
Свойство 5. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.
Свойство 6. Определитель не изменится, если над строками (столбцами) совершить
элементарное преобразование первого типа, т.е. к одной строке прибавить другую,
умноженную на какое-либо число. То же верно и для столбцов.
Доказательство. Это утверждение -- следствие полилинейности и свойства Г:
𝐹(… 𝑎 +  𝑏 … 𝑏 … ) = 𝐹(… 𝑎 … 𝑏 … ) +  𝐹(… 𝑏 … 𝑏 … ) = 𝐹(… 𝑎 … 𝑏 … )
Здесь F -- любая полилинейная и кососимметричная функция строк. □
Определение. (𝑖, 𝑗)-ым минором матрицы A называется определитель матрицы,
получающейся из A вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца. Обозначается этот
минор -- 𝑀𝑖𝑗 . Алгебраическим дополнением (𝑖, 𝑗) –го элемента матрицы A называется
величина 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗 .
Свойство 7. Разложение определителя по j -му столбцу и i -ой строке:
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎1𝑗 𝐴1𝑗 + 𝑎2𝑗 𝐴2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝐴𝑛𝑗 ;
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎𝑖1 𝐴𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝐴𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝐴𝑖𝑛 .
Имеют место также ложные разложения по r -ой строке и r -ому столбцу; если 𝑟 ≠ 𝑖 и
𝑟 ≠ 𝑗 , то
0 = 𝑎𝑟1 𝐴𝑖1 + 𝑎𝑟2 𝐴𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛 𝐴𝑖𝑛 ,
0 = 𝑎1𝑟 𝐴1𝑗 + 𝑎2𝑟 𝐴2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑟 𝐴𝑛𝑗 .
Действительно, правая часть здесь совпадает с определителем матрицы, у которой две
строки (два столбца) совпадают.
5 Вычисление определителей некоторых матриц
Определитель с углом нулей. Пусть A,B -- квадратные матрицы (не обязательно
одинакового размера). Тогда
|
𝐴
0
𝐶
| = det 𝐴 ⋅ det 𝐵
𝐵
(1)
13
для любой матрицы C подходящего размера. Аналогично,
𝐴
|
𝐷
0
| = det 𝐴 ⋅ det 𝐵
𝐵
для любой матрицы D подходящего размера.
Теорема. Определитель произведения матриц равен произведению определителей:
det(𝐴𝐵) = det 𝐴 det 𝐵 (для любых 𝑛 ×-матриц 𝐴 и 𝐵 ).
Доказательство. Применим предыдущую теорему и свойства определителей:
𝐴
det 𝐴 ⋅ det 𝐵 = |
𝐸
𝐴
0
|=|
𝐸
𝐵
−𝐴𝐵
𝐸
| = (−1)𝑛 |
0
𝐴
0
| = (−1)𝑛 ⋅ (−1)𝑛 ⋅ det 𝐴𝐵 = det 𝐴𝐵
−𝐴𝐵
□
Квадратная матрица A называется невырожденной, если det 𝐴 ≠ 0 , и называется
вырожденной в противном случае.
Следствие. Произведение вырожденной матрицы на любую квадратную матрицу того
же размера снова будет вырожденной матрицей. Произведение невырожденных
матриц является невырожденной матрицей.
6 Правило Крамара
Рассмотрим линейную систему n уравнений с n неизвестными:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 ,
𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ,
{ 𝑎21
……
……………………………..
𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 .
(1)
Правило Крамара. Система (1) определена тогда и только тогда, когда матрица A
невырождена. В этом случае решение находится по формулам:
𝑥1 =
det 𝐴1
det 𝐴2
det 𝐴𝑛
, 𝑥2 =
, … , 𝑥𝑛 =
,
det 𝐴
det 𝐴
det 𝐴
где 𝐴𝑖 - матрица, полученная из матрицы A заменой i –го столбца на столбец
свободных членов (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 )⊤ .
Доказательство. Заметим, что при элементарных преобразованиях системы 1-3 типов
свойство невырожденности (вырожденности) матрицы системы сохраняется.
Следовательно, если 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0 , то в ступенчатом виде на главной диагонали должны
стоять ненулевые элементы (см. теорему об определителе треугольной матрицы), т. е.
система (1) будет определенной. Наоборот, если система (1) определена, то все
неизвестные -- главные, следовательно матрица ступенчатого вида невырождена, и
поэтому 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0 . Остается проверить формулу (1) в случае 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0 .
14
Фиксируем натуральное число 𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 . Умножим i -ое уравнение системы (1) на
𝐴𝑖𝑘 -- алгебраическое дополнение элемента 𝑎𝑖𝑘 матрицы A , и результаты
просуммируем по i=1,2,… ,n . Тогда в силу свойства "ложного разложения" по столбцу
матрицы A будем иметь ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑘 = 0 для всякого j≠ k , а ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑘 𝐴𝑖𝑘 = det 𝐴 . Тем
самым результат после суммирования будет следующий:
𝑛
det 𝐴 ⋅ 𝑥𝑘 = ∑ 𝑏𝑖𝑘 𝐴𝑖𝑘 = det 𝐴𝑘
𝑖=1
(Последнее равенство верно в силу разложения det 𝐴𝑘 по k -ому столбцу). Отсюда
находим 𝑥𝑘 = det 𝐴𝑘 / det 𝐴 и тем самым доказательство правила Крамара завершено. □
Следствие доказательства. Если 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 0 , но 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑘 ≠ 0 для какого-либо k , то
система (1) несовместна.
Теорема. Пусть (1) -- однородная система, т. е. 𝑏1 = 𝑏2 = ⋯ = 𝑏𝑛 = 0 . Эта система имеет
ненулевое решение тогда и только тогда, когда 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 0 .
Доказательство. Так как однородная система всегда совместна, то остается две
возможности - эта система либо определена (т. е. имеет только нулевое решение), либо
неопределена (т. е. имеет ненулевое решение). Остается применить правило Крамара. □
7 Обратная матрица
Определение. n×n -матрица D называется обратной к n×n -матрице A , если AD=DA=E .
Обратная матрица обозначается как 𝐴−1 .
Теорема. Обратная матрица к n×n -матрице A существует тогда и только тогда, когда
матрица A невырождена. В этом случае
𝐴−1 =
1
⊤
(𝐴𝑖𝑗 )
det 𝐴
(1)
где 𝐴𝑖𝑗 , как и ранее, алгебраическое дополнение к (i,j) -тому элементу матрицы. A .
Доказательство. Если матрица A вырождена, то и AB вырождена, поэтому произведение
не может быть равно единичной матрице.
Предположим теперь, что det 𝐴 ≠ 0 . Тогда правая часть в (1) определена и можно
убедиться непосредственной проверкой, что ее произведение на матрицу A дает
единичную матрицу; при этом используются свойства разложения и ложного разложения
определителя матрицы по столбцу (строке). □
1
Предложение. Имеет место равенство det 𝐴−1 = det 𝐴 для любой невырожденной
матрицы A .
15
Векторы
8 Основные определения векторного исчисления
8.1 Понятие вектора
Вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок 𝐴𝐵, одна крайняя точка
которого (скажем 𝐴) объявлена началом, а другая концом. Такой вектор обозначается
как ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 . Длиной или модулем вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 называется длина отрезка 𝐴𝐵; она
⃗⃗⃗⃗⃗ |. Примерами векторных величин
обозначается как |𝐴𝐵
является скорость, ускорение, сила, перемещение. Если
𝐴 = 𝐵, то вектор ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 называется нулевым и
B
B’
𝒂
обозначается 0. Вектора, два или более, называются
коллинеарными, если прямые, на которых они лежат,
либо параллельны, либо совпадают. Два вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 и
A
A’
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴′𝐵′ называются равными, если их длины равны, они
коллинеарны и сонаправлены, т. е. "смотрят" в одну
⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
сторону (см. рис. 1). Если вектора 𝐴𝐵
𝐴′𝐵′ не лежат на одной прямой, то их равенство
Рисунок 1. Вектор
эквивалентно тому, что четырехугольник 𝐴𝐵𝐴′𝐵′ есть параллелограмм.
Простое геометрическое построение убеждает нас, что для любого вектора 𝒂 и любой
точки 𝐴 существует единственная точка 𝐵 такая, что 𝒂 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵. Этот вектор ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 называется
реализацией вектора 𝒂 в точке 𝐴.
8.2 Арифметические операции над векторами
Пусть имеются два вектора 𝒂 и 𝒃. Реализуем 𝒂 в точке A: 𝒂 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 , а вектор 𝒃 реализуем в
⃗⃗⃗⃗⃗ . Тогда вектор ⃗⃗⃗⃗⃗
точке B: 𝒃 = 𝐵𝐶
𝐴𝐶 назовем суммой векторов 𝒂 и 𝒃 . Это определение
корректно, т. е. результат суммы двух векторов не зависит от изначально выбранной
точки 𝐴. Из определения суммы векторов вытекает равенство Шаля:
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ .
𝐴𝐵
(5)
Равенство Шаля можно обобщить на случай многих векторов:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴2 𝐴3 + ⋯ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑛−1 𝐴𝑛 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴𝑛
C
C
B
B
A
A
Рисунок 2 Сложение векторов
D
Существует другое определение
операции суммы двух векторов -правило параллелограмма, но оно
"работает" только для не коллинеарных
векторов. Пусть имеются два
неколлинеарных вектора 𝒂 и 𝒃.
Реализуем их в одной точке A, так что
16
𝒂 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 и 𝒃 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷. Достроим Δ𝐴𝐵𝐷 до параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷. Тогда 𝒂 + 𝒃 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 (см.
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒃 на рис. 2,
рис. 2). Результат сложения не зависит от выбора точки 𝐴. Так как ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 = 𝐵𝐶
то сложение по правилу параллелограмма приводит к тому же результату, что и сложение
по правилу треугольника.
⃗⃗⃗⃗⃗ на число  ∈ ℝ значит построить вектор 𝒅 = 𝜆𝒂 такой, что
Умножить вектор 𝒂 = 𝐴𝐵
1. |𝒅| = |𝜆| ⋅ |𝒂|
2. 𝒅 ∥ 𝒂
3. если 𝜆 > 0, то 𝒅 и 𝒂 сонаправлены, а если 𝜆 < 0, то 𝒅 и 𝒂 направлены в
противоположные стороны. В случае 𝜆 =
0 вектор 𝒅 нулевой.
D
B
A
1
− 𝒂
2
𝒂
3
𝒂
2
Вектор 𝒅 можно реализовать прямой ℓ в
⃗⃗⃗⃗⃗ , где точка
точке 𝐴 как вектор 𝐴𝐷
𝐷строиться так, что |𝐴𝐷| = | ||𝐴𝐵|,
причем, если  >0, то точка D должна
лежать по ту же сторону от A, что и точка
B; если же  <0, то точку D следует
выбирать на прямой ℓ по другую сторону
от (см. рис. 3).
Заметим, что из определения умножения
вектора на число вытекает, что вектор 𝒂
Рисунок 3 Умножение вектора на число
коллинеарен ненулевому вектору 𝒃 тогда
и только тогда, когда 𝒂 = 𝜆𝒃 для подходящего числа 𝜆.
Множество всех векторов в пространстве, относительно определенных выше операций
сложения и умножения обладает следующими свойствами:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 (коммутативность);
𝒂 + (𝒃 + 𝒄) = (𝒂 + 𝒃) + 𝒄 (ассоциативность);
𝟎 + 𝒂 = 𝒂 (свойство нейтральности нулевого вектора относительно операции
сложения);
для любого вектора 𝒂 существует противоположный вектор −𝒂 такой, что 𝒂 +
(−𝒂) = 0;
( 𝜇 )𝒂 =  (𝜇 𝒂) (ассоциативность умножения);
( + 𝜇 )𝒂 =  𝒂 + 𝜇 𝒂 и  (𝒂 + 𝒃) =  𝒂 +  𝒃 (дистрибутивность);
1 ⋅ 𝒂 = 𝒂 (унитарность).
Эти равенства верны для любых векторов 𝒂, 𝒃, 𝒄 и любых действительных чисел  и μ .
Доказательство этого факта весьма длинная и скучная, хотя и элементарная проверка.
Коммутативность сложения следует сразу из правила параллелограмма сложения двух
векторов (если вектора коллинеарны, то коммутативность сложения векторов следует из
коммутативности сложения чисел). Докажем ассоциативность сложения. Реализуем
17
⃗⃗⃗⃗⃗ , а вектор c реализуем в
вектор a в точке A: 𝒂 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵, вектор 𝒃 реализуем в точке B: 𝒃 = 𝐵𝐶
точке C: 𝒄 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷. Тогда
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝒂 + (𝒃 + 𝒄) = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + (𝐵𝐶
𝐶𝐷) = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 ,
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ) + 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ .
(𝒂 + 𝒃) + 𝒄 = (𝐴𝐵
Здесь четыре раза мы применили равенство Шаля. Правые части равны, значит равенство
𝒂 + (𝒃 + 𝒄) = (𝒂 + 𝒃) + 𝒄 доказано.
⃗⃗⃗⃗⃗ , то −𝒂 = 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ . Действительно, 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ =
Свойство IV доказывается так: если 𝒂 = 𝐴𝐵
𝟎, где ещё раз применено равенство Шаля. Для того, чтобы доказать свойство V заметим
сначала, что модули левой и правой частей совпадают с |𝜇 | ⋅ |𝒂|. Ясно также, что
векторы ( 𝜇 )𝒂 и  (𝜇 𝒂) лежат на одной прямой и имеют общее начало. Остается
убедиться, что они сонаправлены. Это достигается с помощью перебора следующих
случаев 1)  >0, μ >0, 2)  >0, μ <0, 3)  <0, μ >0, 4)  <0, μ <0, 5) либо  =0, либо μ =0. В
случаях 1) и 4) вектора ( 𝜇 )𝒂 и  (𝜇 𝒂) сонаправлены с 𝒂, а поэтому сонаправлены
между собой; в случаях 2) и 3) эти вектора сонаправлены с −𝒂, а поэтому также
сонаправлены между собой. В случае 5) эти вектора нулевые.
Свойства III и VII -- тривиальности.
8.3 Разложение по стандартному базису
Рассмотрим в пространстве декартову систему координат 𝑂𝑥𝑦𝑧. Обозначим через 𝒊, 𝒋, 𝒌
вектора единичной длины, направленные по осям 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧 соответственно. Эту
упорядоченную тройку векторов называются стандартным базисом (см. рис.). Этот набор
векторов ортонормирован в том смысле, что
𝒊 ⊥ 𝒋 ⊥ 𝒌; |𝒊| = |𝒋| = |𝒌| = 1
(6)
Стандартный базис на плоскости состоит из двух векторов 𝒊 и 𝒋.
Теорема. Для любого вектора 𝒂 существуют единственный набор чисел 𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧
называемый координатами вектора 𝒂 относительно стандартного базиса и такой, что
𝒂 = 𝑎𝑥 𝒊 + 𝑎𝑦 𝒋 + 𝑎𝑧 𝒌
(𝟕)
Доказательство. Сначала заметим, что если 𝑂𝐵𝐶𝐷𝑂′𝐵′𝐶′𝐷′ -- параллелепипед с
основанием 𝑂𝐵𝐶𝐷, то
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶′
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑂′
𝑂𝐶′
(8)
Итак, пусть нам дан произвольный вектор 𝒂 =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ реализованный в начале координат.
𝑂𝐶′
Опустим перпендикуляры из конца вектора 𝒂,
18
точки 𝐶′ на оси 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧 . Получим точки 𝐷, 𝐵, 𝑂′ соотвественно. Достроим пирамиду
𝑂𝐷𝐵𝑂′ до прямоугольного параллелепипеда 𝑂𝐵𝐶𝐷𝑂′𝐵′𝐶′𝐷′ и применим соотношение (8):
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Так как 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝒋, то 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎𝑦 𝒋 для подходящего и единственным
𝒂 = 𝑂𝐵
𝑂𝐷 + 𝑂𝑂′
образом определенного числа 𝑎𝑦 (см. замечание после определения произведения
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎𝑧 𝒌. Собирая все вместе, получаем (7) □
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎𝑥 𝒊 и 𝑂𝑂′
вектора на число). Аналогично, 𝑂𝐷
В координатах арифметические операции над векторами выражаются следующим
образом. Пусть вектора 𝒂 и 𝒃 имеют координаты ( 𝑋1 , 𝑌1 , 𝑍1 ) и (𝑋2 , 𝑌2 , 𝑍2 ) соответственно.
Тогда координаты векторов 𝒂 + 𝒃 и  𝒂 будут
(𝑋1 + 𝑋2 , 𝑌1 + 𝑌2 , 𝑍1 + 𝑍2 ) и ( 𝑋1 ,  𝑌1 ,  𝑍1 )
(9)
соответственно.
Вектор можно проектировать на плоскость и прямую. Пусть заданы вектор 𝒂 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 и
прямая или плоскость 𝛼. Проекции точек 𝐴, 𝐵 на 𝛼 обозначим 𝐴′ , 𝐵′. Тогда вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴′𝐵′
назовем проекцией вектора 𝒂 на прямую (плоскость) 𝛼. Это определение корректно, т.е.
результат не зависит от реализации вектора 𝒂. Более того, проекция обладает свойством
линейности:
Проекция(𝒂 + 𝒃) = Проекция(𝒂) + Проекция(𝒃);
{
Проекция(𝝀𝒂) = 𝜆 ⋅ Проекция(𝒂)
(10)
⃗⃗⃗⃗⃗ и известны координаты точек 𝐴 и 𝐵 – (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) и (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 )
Теорема. Пусть 𝒂 = 𝐴𝐵
соответственно. Тогда
𝑎𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
{𝑎𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 (11)
𝑎𝑧 = 𝑧2 − 𝑧1
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ . Из определения
Доказательство. Имеет место равенство 𝒂 = 𝐴𝑂
координат вектора вытекает, что координаты вектора, реализованного в начале
координат совпадают с координатами концевой точки. Следовательно,
⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ) − 𝑥(𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑥(𝐵) − 𝑥(𝐴) = 𝑥2 − 𝑥1
𝑎𝑥 = 𝑥(𝑂𝐵
𝑂𝐴) = 𝑥(𝑂𝐵
Аналогично доказываются оставшиеся два равенства. □
8.4 Орт и направляющие косинусы
Длина вектора 𝒂(𝑋, 𝑌, 𝑍) выражается через его координаты следующим образом
|𝒂| = √𝑋 2 + 𝑌 2 + 𝑍 2 .
Этоа формула есть простое следствие теоремы Пифагора.
(12)
19
Пусть 𝛼 ,  , 𝛾 - углы, которые образует ненулевой вектор 𝒂 с осями 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧
соответственно. Тогда cos 𝛼 , cos  , cos 𝛾 назовем направляющими косинусами вектора
𝒂.
Вектор, сонаправленный с вектором 𝒂, и имеющий единичную длину, назовем ортом и
обозначим 𝒂𝑜 .
Нетрудно видеть, что, если 𝒂 = 𝑎𝑥 𝒊 + 𝑎𝑦 𝒋 + 𝑎𝑧 𝒌 -- ненулевой вектор, то координаты орта
𝒂𝑜 имеют вид (𝑎𝑥 /|𝒂|, 𝑎𝑦 /|𝒂|, 𝑎𝑧 /|𝒂|), причем они совпадают с направляющими
косинусами вектора 𝒂:
cos 𝛼 =
𝑎𝑥
,
|𝒂|
cos 𝛽 =
𝑎𝑦
,
|𝒂|
cos 𝛾 =
𝑎𝑧
.
|𝒂|
(13)
Зная длину и направляющие косинусы, можно найти координаты вектора по формулам
𝑎𝑥 = |𝒂| cos 𝛼 , 𝑎𝑦 = |𝒂| cos 𝛽 , 𝑎𝑧 = |𝒂| cos 𝛾 . (14)
9 Скалярное произведение геометрических векторов
Скалярным произведением векторов 𝒂 и 𝒃 называется произведение длин этих векторов
на косинус угла между ними:
𝒂 ⋅ 𝒃 = |𝒂||𝒃| cos(𝒂, 𝒃)
(1)
Если один из векторов нулевой, то и скалярное произведение равно 0.
Это произведение называется скалярным, поскольку двум векторам сопоставляется число
-- скалярная величина. Отметим свойства скалярного произведения. Сразу из
определения следует симметричность: скалярное произведение не зависит от порядка
сомножителей: 𝒂𝒃 = 𝒃𝒂.
Скалярным квадратом называется скалярное произведение вектора на самого себя: 𝒂2 =
𝒂 ⋅ 𝒂. Имеет место положительная определенность и невырожденность скалярного
произведения: если 𝒂 ≠ 𝟎, то 𝒂2 > 0.
В частности, длина вектора выражается через скалярное произведение следующим
образом:
|𝒂| = √𝒂2
(2)
Угол между ненулевыми векторами также выражается через скалярное произведение,
ибо
20
cos(𝒂, 𝒃) =
𝒂⋅𝒃
(𝒂 ≠ 0, 𝒃 ≠ 0)
|𝒂||𝒃|
Если векторы ортогональны, т. е. лежат на перпендикулярных прямых, то скалярное
произведение равно нулю. Очевидно, верно и обратное утверждение. Таким образом,
мы получаем критерий ортогональности:
𝒂⊥ 𝒃 ⇔ 𝒂⋅ 𝒃=0
(3)
В частности, имеет место ортонормированность стандартного базиса:
𝒊𝒋 = 𝒋𝒌 = 𝒌𝒊 = 0;
𝒊2 = 𝒋2 = 𝒌2 = 1.
(4)
Для доказательства следующего свойства реализуем вектора 𝒂, 𝒃, 𝒄 в одной точке O, и
прямую ℓ , на которой лежит вектор 𝒂, превратим в ось Ox, выбрав положительное
направление по вектору 𝒂. Будем обозначать 𝑋𝑏 , 𝑋𝑐 , 𝑋𝑏+𝑐 координаты векторов 𝒃, 𝒄, 𝒃 + 𝒄
на оси Ox. Тогда
𝒂(𝒃 + 𝒄) = |𝒂||𝒃 + 𝒄| cos(𝒃 + 𝒄, 𝑥) = |𝒂|𝑋𝒃+𝒄 = |𝒂|(𝑋𝑏 + 𝑋𝑐 ) = |𝒂|𝑋𝑏 + |𝒂|𝑋𝑐
= |𝒂||𝒃| cos(𝒃, 𝑥) + |𝒂||𝒄| cos(𝒄, 𝑥) = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄
Мы применили формулу (14) предыдущего параграфа, а также применили правило
покоординатного сложения векторов. Итак, мы доказали билинейность:
𝒂(𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄; (𝒂 + 𝒃)𝒄 = 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄;
𝒂( 𝒃) = ( 𝒂)𝒃 =  (𝒂𝒃).
Действительно, равенство (𝒂 + 𝒃)𝒄 = 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄 верно в силу симметричности скалярного
произведения, а равенство 𝒂(𝜆 𝒃) = 𝜆𝒂𝒃 доказывается, как и выше:
𝒂( 𝒃) = |𝒂|𝑋 𝒃 = |𝒂| 𝑋𝑏 = |𝒂||𝒃| cos(𝒂, 𝒃) =  𝒂𝒃
Вычисление скалярного произведения в координатах. Если 𝒂 = 𝑋1 𝒊 + 𝑌1 𝒋 + 𝑍1 𝒌 и 𝒃 =
𝑋2 𝒊 + 𝑌2 𝒋 + 𝑍2 𝒌, то
𝒂 ⋅ 𝒃 = 𝑋1 𝑋2 + 𝑌1 𝑌2 + 𝑍1 𝑍2
(5)
Доказательство. Применяем билинейность и учитываем (4).
Следствие. Если вектора 𝒂 и 𝒃 ненулевые, то
cos(𝒂, 𝒃) =
𝑋1 𝑋2 + 𝑌1 𝑌2 + 𝑍1 𝑍2
√𝑋12 + 𝑌12 + 𝑍12 √𝑋22 + 𝑌22 + 𝑍22
(6)
В частности, вектора 𝒂 и 𝒃 ортогональны тогда и только тогда, когда
𝑋1 𝑋2 + 𝑌1 𝑌2 + 𝑍1 𝑍2 = 0.
21
10 Векторное произведение
Тройку векторов 𝒂 = 𝑋1 𝒊 + 𝑌1 𝒋 + 𝑍1 𝒌, 𝒃 = 𝑋2 𝒊 + 𝑌2 𝒋 + 𝑍2 𝒌 и 𝒄 = 𝑋3 𝒊 + 𝑌3 𝒋 + 𝑍3 𝒌 назовем
правой, если определитель
𝑋1
|𝑋2
𝑋3
𝑌1
𝑌2
𝑌3
𝑍1
𝑍2 |
𝑍3
(1)
строго больше нуля. Если этот определитель меньше нуля, то тройку векторов 𝒂, 𝒃, 𝒄
назовем левой.
Определение. Векторным произведением вектора 𝒂 на вектор 𝒃 называется вектор,
обозначаемый 𝒂 × 𝒃 такой, что
1) он перпендикулярен плоскости векторов 𝒂 и 𝒃;
2) длина этого вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах
𝒂 и 𝒃, т.е.
|𝒂 × 𝒃| = |𝒂||𝒃| sin(𝒂, 𝒃)
3) тройка векторов 𝒂, 𝒃, 𝒂 × 𝒃 правая
Третий пункт в определении векторного
произведения можно выразить таким
наглядным способом: глядя из конца вектора
𝒂 × 𝒃, вращение от 𝒂 к 𝒃 кажется
происходящим против часовой стрелки.
Если 𝒂 -- вектор силы, а 𝒃 -- вектор,
описывающий рычаг, на конец которого
действует сила 𝒂, то векторное произведение 𝒂 × 𝒃 дает момент силы a относительно
начала вектора 𝒃.
Вычисление векторного произведения в координатах. Если 𝒂 = 𝑋1 𝒊 + 𝑌1 𝒋 + 𝑍1 𝒌 и 𝒃 =
𝑋2 𝒊 + 𝑌2 𝒋 + 𝑍2 𝒌, то
𝒊
𝒂 × 𝒃 = |𝑋1
𝑋2
𝒋
𝑌1
𝑌2
𝒌
𝑍1 | = ( 𝑌1 𝑍2 − 𝑌2 𝑍1 ) 𝒊 − (𝑋1 𝑍2 − 𝑋2 𝑍1 )𝒋 + (𝑋1 𝑌2 − 𝑋2 𝑌1 ) 𝒌
𝑍2
Доказательство. Обозначим вектор, стоящий в правой части (2) через 𝒅 и проверим
свойства 1)-3) векторного произведения.
𝒂𝒅 = ( 𝑌1 𝑍2 − 𝑌2 𝑍1 ) 𝑋1 − (𝑋1 𝑍2 − 𝑋2 𝑍1 )𝑌1 + (𝑋1 𝑌2 − 𝑋2 𝑌1 )𝑍1 = 0
(2)
22
Отсюда следует, что 𝒅 ⊥ 𝒂. Аналогично, 𝒅 ⊥ 𝒃. Далее:
|𝒅|𝟐 = ( 𝑌1 𝑍2 − 𝑌2 𝑍1 )2 + (𝑋1 𝑍2 − 𝑋2 𝑍1 )2 + (𝑋1 𝑌2 − 𝑋2 𝑌1 )2
= (𝑋12 + 𝑌12 + 𝑍12 )(𝑋22 + 𝑌22 + 𝑍22 ) − (𝑋1 𝑋2 + 𝑌1 𝑌2 + 𝑍1 𝑍2 ) = |𝒂|𝟐 |𝒃|𝟐 − (𝒂𝒃)𝟐
= |𝒂|𝟐 |𝒃|𝟐 − |𝒂|𝟐 |𝒃|𝟐 cos 2 (𝒂, 𝒃) = |𝒂|𝟐 |𝒃|𝟐 sin2 (𝒂, 𝒃)
Учитывая, что 0 ≤ (𝒂, 𝒃) ≤ 𝜋 и синусы таких углов неотрицательны, получаем равенство
|𝒅| = |𝒂||𝒃| sin(𝒂, 𝒃).
Проверим свойство 3), т.е. правонормированность тройки 𝒂, 𝒃, 𝒂 × 𝒃 при условии, что 𝒂 ∦
𝒃:
|
𝑋1
𝑋2
𝑌1 𝑍2 − 𝑌2 𝑍1
𝑌1
𝑍1
𝑌2
𝑍2
|=
−(𝑋1 𝑍2 − 𝑋2 𝑍1 ) 𝑋1 𝑌2 − 𝑋2 𝑌1
= ( 𝑌1 𝑍2 − 𝑌2 𝑍1 )2 + (𝑋1 𝑍2 − 𝑋2 𝑍1 )2 + (𝑋1 𝑌2 − 𝑋2 𝑌1 )2 > 0
𝑋
𝑌
𝑍
Строгость неравенства здесь следует из того, что обе пропорции 𝑋1 = 𝑌1 = 𝑍1 не могут
2
2
2
иметь место и поэтому одна из скобок не равна нулю.
Следствие. Площадь параллелограмма, построенного на векторах 𝒂 и 𝒃 равна
𝑆𝒂,𝒃 = √( 𝑌1 𝑍2 − 𝑌2 𝑍1 )2 + (𝑋1 𝑍2 − 𝑋2 𝑍1 )2 + (𝑋1 𝑌2 − 𝑋2 𝑌1 )2
(3)
В частности, если 𝒂 = 𝑋1 𝒊 + 𝑌1 𝒋 и 𝒃 = 𝑋2 𝒊 + 𝑌2 𝒋 -- вектора на плоскости, то
𝑋
𝑆𝒂,𝒃 = ± | 1
𝑋2
𝑌1
|
𝑌2
(4)
Это можно трактовать как геометрический смысл определителя 2 × 2. Из свойств
определителей легко следуют свойства векторного произведения:
ВП1. Билинейность -- 𝒂 × (𝒃 + 𝒄) = 𝒂 × 𝒃 + 𝒂 × 𝒄 и  (𝒂 × 𝒃) = ( 𝒂 × 𝒃 = 𝒂 × (𝜆𝒃)
ВП2. Кососимметичность: 𝒂 × 𝒃 = − 𝒃 × 𝒂 для всех векторов 𝒂 и 𝒃
ВП3. 𝒊 × 𝒋 = 𝒌; 𝒋 × 𝒌 = 𝒊; 𝒌 × 𝒊 = 𝒋.
11 Смешанное произведение
Определение. Смешанным произведением векторов 𝒂, 𝒃 и 𝒄 называется число 𝒂 ⋅ (𝒃 ×
𝒄). Смешанное произведение обозначается как (𝒂, 𝒃, 𝒄).
Вычисление смешанного произведения в координатах. Если 𝒂 = 𝑋1 𝒊 + 𝑌1 𝒋 + 𝑍1 𝒌, 𝒃 =
𝑋2 𝒊 + 𝑌2 𝒋 + 𝑍2 𝒌 и 𝒄 = 𝑋3 𝒊 + 𝑌3 𝒋 + 𝑍3 𝒌, то
23
𝑋1
(𝒂, 𝒃, 𝒄) = |𝑋2
𝑋3
𝑌1
𝑌2
𝑌3
𝑍1
𝑍2 |
𝑍3
(1)
Доказательство. Имеем:
(𝒂, 𝒃, 𝒄) = 𝒂 ⋅ (𝒃 × 𝒄) = (𝑋1 𝒊 + 𝑌1 𝒋 + 𝑍1 𝒌) ⋅ (( 𝑌2 𝑍2 − 𝑌3 𝑍3 ) 𝒊 −
𝑋1
𝑌2 𝑍2
𝑋2 𝑍2
𝑋2 𝑌2
(𝑋2 𝑌3 − 𝑋3 𝑌3 )𝒌) = 𝑋1 |
| − 𝑌1 |
| + 𝑍1 |
| = |𝑋2
𝑌3 𝑍3
𝑋3 𝑍3
𝑋3 𝑌3
𝑋3
(𝑋2 𝑍2 − 𝑋3 𝑍3 )𝒋 +
𝑌1 𝑍1
𝑌2 𝑍2 |
𝑌3 𝑍3
Как следствие получаем, что определение правой и левой тройки векторов можно
переформулировать так: 𝒂, 𝒃, 𝒄 будет правой тройкой, если (𝒂, 𝒃, 𝒄) > 0; если же
(𝒂, 𝒃, 𝒄) < 0, тройка векторов 𝒂, 𝒃, 𝒄 будет левой.
Свойства смешанного произведения
ВП1. Полилинейность, т.е. линейность по каждому аргументу.
ВП2. Кососимметичность: -- при перестановке любых двух векторов смешанное
произведение меняет знак.
ВП3. (𝒊, 𝒋, 𝒌) = 1.
Геометрический смысл смешанного произведения и определителя третьего порядка:
смешанное произведение (𝒂, 𝒃, 𝒄) равно объему параллелепипеда, построенного на
векторах 𝒂, 𝒃, 𝒄, если тройка 𝒂, 𝒃, 𝒄 правая и равно этому объему со знаком минус, если
тройка 𝒂, 𝒃, 𝒄 левая.
Доказательство. Пусть тройка 𝒂, 𝒃, 𝒄 правая и𝑉 -- объем параллелепипеда, построенного
на векторах 𝒂, 𝒃, 𝒄. Тогда
𝑉 = 𝑆осн ⋅ 𝐻 = |𝒃 × 𝒄| ⋅ (|𝒂| ⋅ cos 𝜙)
= 𝒂 ⋅ (𝒃 × 𝒄) = (𝒂, 𝒃, 𝒄)
𝒂
𝑆осн
𝒃
Рисунок 4 Геометрический смысл смешанного произведения
Здесь 𝜙 -- угол между вектором 𝒂 и
векторным произведением 𝒃 × 𝒄. Если
тройка 𝒂, 𝒃, 𝒄 левая, то векторное
произведение 𝒃 × 𝒄 направлено вниз (см.
рис. 5) и в выкладки выше надо
подставлять 𝜋 − 𝜙 вместо 𝜙, что приводит
к знаку минус. □
24
Аналитическая геометрия
12 Прямая на плоскости
Пусть 𝐿 - прямая на плоскости, 𝒏 = 𝐴𝒊 + 𝐵𝒋 -- ненулевой вектор, перпендикулярный 𝐿,
𝑃(𝑥0 , 𝑦0 ) - какая-либо точка на прямой 𝐿. Тогда точка 𝑄(𝑥, 𝑦) принадлежит прямой 𝐿
тогда и только тогда, когда вектор ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 перпендикулярен вектору 𝒏, а это имеет место в
том и только том случае, когда ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 ⋅ 𝒏 = 0 и это эквивалентно тому, что
𝐴(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0 ) = 0
(1)
-- уравнение прямой L, проходящей через заданную точку 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 ) и перпендикулярную
заданному вектору 𝒏. Отсюда, обозначив 𝐶 = −𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 , получим:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
(2)
-- общее уравнение прямой на плоскости. Далее:
𝑥 − 𝑥1
|𝑥 − 𝑥
2
1
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1 | = 0
(3)
-- уравнение прямой, проходящей через две не совпадающие точки 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) и 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ).
Действительно, подставляя в (3) вместо (𝑥, 𝑦) координаты заданных точек, получаем
верные равенства. Так как либо 𝑥2 − 𝑥1 ≠ 0, либо 𝑦2 − 𝑦1 ≠ 0, то (3) действительно будет
уравнением прямой. Заметим, что вектор (𝑥2 − 𝑥1 )𝒊 + (𝑦2 − 𝑦1 )𝒋 коллинеарен прямой ℓ.
𝑥−𝑥1
Соотношение (3) эквивалентно пропорции 𝑥
2 −𝑥1
𝑦−𝑦1
=𝑦
2 −𝑦1
, отсюда получаем решение еще
одной стандарной задачи:
𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1
=
𝑝
𝑞
(4)
-- уравнение прямой, проходящей через точку 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) и коллинеарной заданному
ненулевому вектору 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋. Если обе равные дроби в (4) считать параметром 𝑡 ∈ ℝ и
выразить 𝑥, 𝑦 через этот параметр, то получим
𝑥 = 𝑥 + 𝑝𝑡;
{ 𝑦 = 𝑦1 + 𝑞𝑡
1
(5)
-- параметрическое уравнение прямой.
Поставим задачу о аналитическом задании отрезка [𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ); 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 )]. По определению
этот отрезок есть часть прямой (3), состоящая из точек, лежащих между 𝑃 и 𝑄. Точка 𝑅
лежит между 𝑃 и 𝑄, если и только если
|𝑃𝑄| = |𝑃𝑅| + |𝑅𝑄|
(6)
25
Для аналитического описания таких точек сначала запишем уравнение прямой (3) в
параметрическом виде: 𝑥(𝑡) = 𝑥1 + (𝑥2 − 𝑥1 )𝑡; 𝑦(𝑡) = 𝑦1 + (𝑦2 − 𝑦1 )𝑡. Утветрждаем, что
точка 𝑅(𝑥(𝑡); 𝑦(𝑡)) принадлежит отрезку [𝑃; 𝑄] тогда и только тогда, когда 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. В
самом деле, |𝑃𝑅| = |𝑡||𝑃𝑄|; |𝑅𝑄| = |1 − 𝑡||𝑃𝑄| для произвольной точки 𝑅 прямой (3).
Равенство (6) тогда сводится к |𝑡| + |1 − 𝑡| = 1, а оно имеет место тогда и только тогда,
когда 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. Подводим итог: параметрическое описание отрезка [𝑃, 𝑄] есть
𝑥 = 𝑥1 + (𝑥2 − 𝑥1 )𝑡 = (1 − 𝑡)𝑥1 + 𝑡𝑥2 ;
{
𝑦 = 𝑦1 + (𝑦2 − 𝑦1 )𝑡 = (1 − 𝑡)𝑦1 + 𝑡𝑦2
0≤𝑡≤1
(7)
𝑛
В частности, точка 𝑡 = 𝑛+𝑚 делит единичный отрезок в отношении 𝑛: 𝑚, считая от нуля;
поэтому точка
𝑚𝑥1 + 𝑛𝑥2 𝑚𝑦1 + 𝑛𝑦2
𝑅(
;
)
𝑚+𝑛
𝑚+𝑛
(8)
делит отрезок [𝑃; 𝑄] в отношении 𝑛: 𝑚 считая от точки 𝑃. Здесь 𝑚 > 0; 𝑛 > 0.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Пусть 𝐿1 : 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 = 0 и
𝐿2 : 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 = 0 - две прямые на плоскости. Тогда
𝐴
а) 𝐿1 и 𝐿2 пересекаются в точке тогда и только тогда, когда | 1
𝐴2
𝐴
𝐵
𝐵1
|≠0
𝐵2
𝐶
б) 𝐿1 = 𝐿2 тогда и только тогда, когда 𝐴1 = 𝐵1 = 𝐶1;
2
2
2
𝐴
𝐵
𝐶
в) 𝐿1 ∥ 𝐿2 тогда и только тогда, когда 𝐴1 = 𝐵1 ≠ 𝐶1 ;
2
г) cos(𝐿1 , 𝐿2 ) =
|𝐴1 𝐴2 +𝐵1 𝐵2 |
√𝐴21 +𝐵12 ⋅√𝐴22 +𝐵22
2
2
.
д) 𝐿1 ⊥ 𝐿2 тогда и только тогда, когда 𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2 = 0.
Доказательство. а) следует из правила Крамара, примененного к системе
𝐴 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 = 0
{ 1
𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 = 0
(4)
б) и в).
Расстояние от точки 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) до прямой L, заданной общим уравнением (2), может быть
вычислено по формуле:
𝜌 (𝑃, 𝐿) =
|𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶|
√𝐴2 + 𝐵 2
(5)
Действительно, выберем точку 𝑄(𝑥0 , 𝑦0 ) на прямой 𝐿. Вектор 𝐵𝒊 − 𝐴𝒋 перпендикулярен
вектору 𝐴𝒊 + 𝐵𝒋 и тем самым он коллинеарен прямой 𝐿. Построим точку
𝑅(𝑥0 + 𝐵; 𝑦0 − 𝐴) ∈ 𝐿 и достроим Δ𝑄𝑃𝑅 до параллелограмма 𝑄𝑃𝑆𝑅. Высота этого
26
параллелограмма, опущенная из вершины 𝑃 как раз равна расстоянию 𝜌 (𝑃, 𝐿).
Следовательно, площадь параллелограмма 𝑄𝑃𝑆𝑅 равна √𝐴2 + 𝐵 2 ⋅ 𝜌 (𝑃, 𝐿). С другой
стороны площадь того же параллелограмма есть модуль векторного произведения
𝐵
(𝐵𝒊 − 𝐴𝒋) × ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑄𝑃 = |
𝑥1 − 𝑥0
−𝐴
| 𝒌 = [𝐵(𝑦1 − 𝑦0 ) + 𝐴(𝑥1 − 𝑥0 )]𝒌 = (𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶)𝒌
𝑦1 − 𝑦0
ибо из 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶 = 0 следует, что −𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 = 𝐶. Приравнивая
|𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶| = √𝐴2 + 𝐵 2 ⋅ 𝜌 (𝑃, 𝐿)
и затем, деля обе части на √𝐴2 + 𝐵 2 , получаем требуемую формулу (5).
Полуплоскости, определяемые прямой. Пусть на плоскости задана прямая 𝐿: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 +
𝐶 = 0. Прямая 𝐿 разделяет плоскость на две полуплоскости 𝐿+ и 𝐿− , задаваемые
неравенствами 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 > 0 и 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 < 0. Если точки 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) и 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 )
принадлежат одной полуплоскости, то и весь отрезок [𝑃; 𝑄] принадлежит этой
полуплоскости. Если же точки 𝑃 и 𝑄 принадлежат разным полплоскостям, то любая
непрерывная кривая, соединяющая 𝑃 с 𝑄 пересекает прямую 𝐿.
Доказательство. Пусть 𝑃, 𝑄 ∈ 𝐿+ и 𝑅(𝑡𝑥1 + (1 − 𝑡)𝑥2 ; 𝑡𝑦1 + (1 − 𝑡)𝑦2 ) ∈ [𝑃; 𝑄]. Тогда
𝐴(𝑡𝑥1 + (1 − 𝑡)𝑥2 ) + 𝐵(𝑡𝑦1 + (1 − 𝑡)𝑦2 ) + 𝐶
= 𝑡(𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶) + (1 − 𝑡)(𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶) > 0
Отсюда следует, что 𝑅 ∈ 𝐿+ .
Предположим теперь, что 𝑃 ∈ 𝐿+ ; 𝑄 ∈ 𝐿− . Соединим точки 𝑃 и 𝑄 непрерывной кривой
𝑥 = 𝑥(𝑡); 𝑦 = 𝑦(𝑡)
0≤𝑡≤1
Функции 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) непрерывны и 𝑥(0) = 𝑥1 ; 𝑦(0) = 𝑦1 ; 𝑥(1) = 𝑥2 ; 𝑦(0) = 𝑦2 . Тогда
𝑓(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑦(𝑡) + 𝐶
-- непрерывная функция принимающая на концах отрезка [0; 1] значения разных знаков.
По теореме Больцано-Коши, найдется точка 𝑐 ∈ (0; 1) такая, что 𝑓(𝑐) = 0. Это означает,
что точка 𝑅(𝑥(𝑐); 𝑦(𝑐)) принадлежит прямой 𝐿.
13 Плоскость в пространстве
Пусть π - плоскость в пространстве, 𝒏 = 𝐴𝒊 + 𝐵𝒋 + 𝐶𝒌 -- ненулевой вектор,
перпендикулярный плоскости 𝜋, 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) - какая-либо точка на плоскости π . Тогда
𝐴(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝐶(𝑧 − 𝑧0 ) = 0
(1)
27
-- уравнение плоскости π , проходящей через заданную точку 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) и
перпендикулярную заданному вектору n. Отсюда:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
(2)
-- общее уравнение плоскости в пространстве. Далее:
𝑥 − 𝑥1
𝑥
| 2 − 𝑥1
𝑥3 − 𝑥1
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
𝑦3 − 𝑦1
𝑧 − 𝑧1
𝑧2 − 𝑧1 | = 0
𝑧3 − 𝑧1
(3)
-- уравнение плоскости, проходящей через три точки 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ),
𝑅(𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 ), не лежащие на одной плоскости.
𝑥 − 𝑥1
| 𝑝
𝑝′
𝑦 − 𝑦1
𝑞
𝑞′
𝑧 − 𝑧1
𝑟 |=0
𝑟′
(4)
-- уравнение плоскости, проходящей через точку 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) и коллинеарной двум
векторам 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 и 𝑝′𝒊 + 𝑞′𝒋 + 𝑟′𝒌, не коллинеарным между собой.
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Пусть 𝜋1 : 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 +
𝐷1 = 0 и 𝜋2 : 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 = 0 - две плоскости в пространстве. Тогда:
а) 𝜋1 = 𝜋2 тогда и только тогда, когда 𝐴1 /𝐴2 = 𝐵1 /𝐵2 = 𝐶1 /𝐶2 = 𝐷1 /𝐷2 ;
б) 𝜋1 ∥ 𝜋2 тогда и только тогда, когда
в) cos(𝜋1 , 𝜋2 ) =
𝐴1
𝐴2
𝐵
𝐶
𝐷
= 𝐵1 = 𝐶1 ≠ 𝐷 1 ;
2
2
2
|𝐴1 𝐴2 +𝐵1 𝐵2 +𝐶1 𝐶2 |
√𝐴21 +𝐵12 +𝐶12 ⋅√𝐴22 +𝐵22 +𝐶22
г) 𝜋1 ⊥ 𝜋2 тогда и только тогда, когда 𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2 + 𝐶1 𝐶2 = 0;
Расстояние от точки 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) до плоскости π может быть вычислено по формуле:
𝜌 (𝑃, 𝜋 ) =
|𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷|
√𝐴2 + 𝐵 2 + 𝐶 2
Полупространства, определяемые плоскостью. Пусть в пространстве задана плоскость
𝜋 ∶ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0. Плоскость π разделяет пространство на два
полупространства, задаваемые неравенствами Ax+By+Cz+D>0 и Ax+By+Cz+D<0. Если точки
𝑃(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) и 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) принадлежат одному полупространству, то и весь отрезок
[𝑃; 𝑄] принадлежит этому же полупространству. Если же точки 𝑃 и 𝑄 принадлежат
разным полупространствам, то любая непрерывная кривая, соединяющая 𝑃 с 𝑄
пересекает плоскость 𝜋.
28
14 Прямая в пространстве
Пусть 𝐿 - прямая в пространстве, 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) ∈ 𝐿 и ненулевой вектор 𝒂 = 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌
коллинеарен прямой 𝐿. Тогда 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐿 тогда и только тогда, когда вектор ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑄𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡𝒂 для
коллинеарен вектору 𝒂, а это имеет место в том и только том случае, когда 𝑄𝑃
некоторого t∈ ℝ . Переходя к покоординатной записи, получаем
𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0
=
=
𝑝
𝑞
𝑟
(1)
-- каноническое уравнение прямой в пространстве, а
𝑥 = 𝑥0 + 𝑝𝑡
{𝑦 = 𝑦0 + 𝑞𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑟𝑡
(2)
-- параметрическое уравнение прямой в пространстве.
Общее уравнение прямой в пространстве имеет вид:
{
𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 = 0
𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 = 0
(3)
где вектора 𝐴1 𝒊 + 𝐵1 𝒋 + 𝐶1 𝒌 и 𝐴2 𝒊 + 𝐵2 𝒋 + 𝐶2 𝒌 не коллинеарны.
Расположение двух прямых в пространстве. Пусть в пространстве заданы две прямые - L,
уравнением (1), и
𝐿′ :
𝑥 − 𝑥0 ′ 𝑦 − 𝑦0 ′ 𝑧 − 𝑧0 ′
=
=
𝑝′
𝑞′
𝑟′
(4)
Тогда:
а) L=L' тогда и только тогда, когда
𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 ∥ 𝑝′𝒊 + 𝑞′𝒋 + 𝑟′𝒌 ∥ (𝑥0 − 𝑥0′ )𝒊 + (𝑦0 − 𝑦0′ )𝒋 + (𝑧0 − 𝑧0′ )𝒌;
б) L∥ L' тогда и только тогда, когда
𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 ∥ 𝑝′ 𝒊 + 𝑞 ′ 𝒋 + 𝑟 ′ 𝒌 ∦ (𝑥0 − 𝑥0′ )𝒊 + (𝑦0 − 𝑦0′ )𝒋 + (𝑧0 − 𝑧0′ )𝒌;
в) cos(𝐿, 𝐿′) =
𝑝𝑝′ +𝑞𝑞 ′ +𝑟𝑟 ′
√𝑝2 +𝑞2 +𝑟 2 ⋅√𝑝′2 +𝑞′2 +𝑟 ′2
;
г) L и L' лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда
𝑝
| 𝑝′
𝑥0 − 𝑥0 ′
𝑞
𝑞′
𝑦0 − 𝑦0 ′
𝑟
𝑟′ | = 0
𝑧0 − 𝑧0 ′
(3)
д) L и L' скрещиваются тогда и только тогда, когда определитель в (3) не равен нулю
29
Расположение прямой и плоскости. Пусть в пространстве задана плоскость π :
Ax+By+Cz+D=0 и задана прямая 𝐿 уравнениями (1). Тогда:
а) L⊂ π тогда и только тогда, когда 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0 + 𝐷 = 0 и 𝐴𝑝 + 𝐵𝑞 + 𝐶𝑟 = 0;
б) L∥ π тогда и только тогда, когда 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0 + 𝐷 ≠ 0 и 𝐴𝑝 + 𝐵𝑞 + 𝐶𝑟 = 0;
в) L⊥ π тогда и только тогда, когда A/p=B/q=C/r;
г) sin(𝐿, 𝜋 ) =
𝐴𝑝+𝐵𝑞+𝐶𝑟
√𝐴2 +𝐵2 +𝐶 2 ⋅√𝑝2 +𝑞2 +𝑟 2
Расположение точки и прямой в пространстве. Пространство без прямой является
связным (т.е. любые две точки можно соединить непрерывной кривой), но не
односвязным множеством (односвязность - любая замкнутая петля стягиваема в точку)
Расстояние от точки 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) до прямой L, вычисляется по формуле
𝜌(𝑄, 𝐿) =
|((𝑥 − 𝑥0 )𝒊 + (𝑦 − 𝑦0 )𝒋 + (𝑧 − 𝑧0 )𝒌) × (𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌)|
√𝑝2 + 𝑞 2 + 𝑟 2
15 Кривые второго порядка
15.1 Эллипс
Эллипс это геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до
двух фиксированных точек суть величина постоянная. Две точки, о которых идёт речь в
определении эллипса называются фокусами
эллипса, расстояние между ними называется
фокальным расстоянием. Обозначим
половину фокального расстояния через 𝑐, а
половину суммы от точки на эллипсе до
фокусов обозначим 𝑎. Эта величина
называется большой полуосью. Заметим, что
случай c=0 не исключается, он приводит к
окружности радиуса 𝑎. Выберем систему
координат на плоскости так , что точки
𝐹1 (−𝑐, 0); 𝐹2 (𝑐, 0) -- фокусы эллипса. Обозначим также 𝑏 = √𝑎2 − 𝑐 2 ; -- малая полуось.
Очевидно, что 0 < 𝑏 ≤ 𝑎. Тогда каноническое уравнение эллипса будет следующее
𝑥2 𝑦2
+
=1
𝑎2 𝑏 2
(1)
Докажем этот факт.
|𝑃𝐹1 | + |𝑃𝐹2 | = 2𝑎 ⇔ √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 + √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 = 2𝑎 ⇔
30
√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 = 2𝑎 − √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 ⇔
(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 + (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 ⇔
−4𝑥𝑐 + 4𝑎2 = 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 ⇔ 𝑎4 − 2𝑥𝑐𝑎2 + 𝑥 2 𝑐 2 = 𝑎2 (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑎2 𝑦 2 ⇔
𝑥2 𝑦2
𝑎4 − 𝑎2 𝑐 2 = (𝑎2 − 𝑐 2 )𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 ⇔ 𝑏 2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏 2 ⇔ 2 + 2 = 1
𝑎
𝑏
Величину 𝑒 = 𝑐/𝑎 называют эксцентриситетом. Ясно, что 0≤ e<1 для эллипса, и чем
ближе e к 1 тем более сплюснут эллипс. Более точно, эллипс (1) получается из окружности
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 сжатием по оси OY в 𝑘 = 𝑏/𝑎 раз, т.е. если точка (𝑥, 𝑦) лежит на окружности
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 , то точка (𝑥, 𝑘𝑦) лежит на эллипсе (1). Отсюда, в частности, следует, что
площадь эллипса равна 𝑘 ⋅ 𝜋 𝑎2 = 𝜋 𝑎𝑏. Точки (± 𝑎, 0); (0, ± 𝑏) называются вершинами
эллипса. Эллипс (1) симметричен относительно оси 𝑂𝑥 -- большая или фокальная ось и
относительно оси 𝑂𝑦 -- малая ось.
Пусть точка 𝑃(𝑥, 𝑦) лежит на эллипсе. Тогда расстояния 𝑟1 = |𝑃𝐹1 | и 𝑟2 = |𝑃𝐹2 | называют
фокальными. Можно вычислить, что
𝑟1 = 𝑎 + 𝑒𝑥,
𝑟2 = 𝑎 − 𝑒𝑥
Действительно,
𝑟12 = (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 = (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑏 2 (1 − 𝑥 2 /𝑎2 ) = (1 −
=
𝑏2 2
) 𝑥 + 2𝑥𝑐 + 𝑐 2 + 𝑏 2
𝑎2
𝑐2 2
𝑥 + 2𝑥𝑐 + 𝑎2 = 𝑒 2 𝑥 2 + 2𝑥𝑒𝑎 + 𝑎2 = (𝑒𝑥 + 𝑎)2
𝑎2
Поскольку |𝑥| ≤ 𝑎, то отсюда следует, что |𝑒𝑥| < 𝑎, и поэтому 𝑟1 = 𝑒𝑥 + 𝑎. Аналогично
доказывается равенство 𝑟2 = 𝑎 − 𝑒𝑥. Складывая, получаем:
𝑟1 + 𝑟2 = 2а
15.2 Гипербола
Гипербола есть геометрическое место точек на плоскости, модуль разность расстояний от
которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами гиперболы, суть величина
постоянная, обозначаемая как и выше 2a. Как и выше обозначим через c -- половину
фокального расстояния. Но для гиперболы 𝑐 > 𝑎; поэтому определена величина 𝑏 =
√𝑐 2 − 𝑎2 . Расположим фокусы гиперболы 𝐹1 (−𝑐, 0), 𝐹2 (𝑐, 0) также как и для эллипса.
Тогда каноническое уравнение гиперболы будет такое:
𝑥2 𝑦2
−
=1
𝑎2 𝑏 2
(1)
Эксцентриситет для гиперболы определяется также: 𝑒 = 𝑐/𝑎, но он уже больше 1 и чем
ближе к 1, тем более сплюснута гипербола. Гипербола, в отличии от эллипса,
неограниченная линия на плоскости. Она имеет пару асимптот: 𝑦 = ± 𝑏/𝑎 𝑥.
31
Координатные оси являются осями симметрии гиперболы. Если 𝑎 = 𝑏, то гипербола
называется равнобочной. В координатах
𝑥′ =
𝑥−𝑦
√2
, 𝑦′ =
𝑥+𝑦
√2
повернутых относительно 𝑂𝑥𝑦 на 450 уравнение
равнобочной гиперболы приобретает вид 𝑥′𝑦′ = 2𝑎2
𝑘
или 𝑦 ′ = 𝑥 ′ -- известная из школы функциональная
зависимость. Мы видим, что гипербола имеет две
ветви -- левую и правую.
Пусть 𝑃(𝑥, 𝑦) -- точка на гиперболе. Расстояния 𝑟1 = |𝑃𝐹1 | и 𝑟2 = |𝑃𝐹2 | называются
фокальными. Можно доказать, что 𝑟1 = −𝑎 − 𝑒𝑥, 𝑟2 = 𝑎 − 𝑒𝑥 при 𝑥 < 0 и 𝑟1 = 𝑎 +
𝑒𝑥, 𝑟2 = −𝑎 + 𝑒𝑥 при 𝑥 > 0.
15.3 Парабола
Парабола -- геометрическое место точек на плоскости, расстояния от которых до
фиксированной точки (фокус параболы) и до фиксированной прямой ( директрисса
параболы) равны. Если обозначить расстояние от фокуса до директриссы через p, (p>0 по
определению), поместить фокус в точку 𝐹(𝑝/2,0), а директрису отождествить с прямой x=p/2, то каноническое уравнение параболы будет выглядеть так:
𝑦 2 = 2𝑝𝑥.
(1)
Действительно, точка 𝑃(𝑥, 𝑦) принадлежит параболе в точности тогда, когда
𝑥+
𝑝
𝑝 2
𝑝2
𝑝 2
= √(𝑥 − ) + 𝑦 2 ⇔ 𝑥 2 + 𝑝𝑥 +
= (𝑥 − ) + 𝑦 2 ⇔ 2𝑝𝑥 = 𝑦 2
2
2
4
2
P(x,y)
-p/2
F(p/2,0)
Рисунок 5 Парабола
Парабола (1) имеет ось OX своей осью
симметрии. Точка O(0,0) - начало
координат, будет левой крайней
точкой параболы (1). Она называется
вершиной параболы. У параболы
также есть эксцентриситет, он равен 1
и не зависит от p.
32
16 Преобразование координат плоскости
16.1 Параллельный перенос
𝑥 = 𝑥 ′ + 𝑎 , 𝑦 = 𝑦 ′ + 𝑏 или 𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑎 𝑦 ′ = 𝑦 − 𝑏 (1)
-- параллельный перенос на вектор 𝑎𝒊 + 𝑏𝒋
16.2 Поворот на угол.
Пусть новая система координат 𝑂𝑥′𝑦′ получается из старой поворотом на угол 𝜑 .
Предположим, что (𝑥, 𝑦) -- старые, а (𝑥′, 𝑦′) -- новые координаты точки M. Тогда
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 = 𝑥 ′ 𝒊′ + 𝑦 ′ 𝒋′ и 𝒊′ = cos 𝜑 𝒊 + sin 𝜑 𝒋; 𝒋′ = − sin 𝜑 𝒊 + cos 𝜑 𝒋
𝑂𝑀
Отсюда
{
𝑥 = 𝑥 ′ cos 𝜑 – 𝑦 ′ sin 𝜑 ;
𝑦 = 𝑥 ′ sin 𝜑 + 𝑦 ′ cos 𝜑
{
𝑥 ′ = 𝑥 cos 𝜑 + 𝑦 sin 𝜑 ;
𝑦 ′ = −𝑥 sin 𝜑 + 𝑦 cos 𝜑
(2)
17 Поверхности второго порядка
17.1 Эллипсоид
Эллипсоид - поверхность в пространстве, задаваемая каноническим уравнением
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
+ =1
𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
(1)
Здесь 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑐 > 0 называются полуосями эллипсоида.
Свойства эллипсоида
А. Ограниченность, связность.
Б. Координатные плоскости - плоскости симметрии. Координатные прямые - прямые
симметрии. О(0,0,0) -центр симметрии.
В. Частный случай эллипсоида, когда a = b = c = R - сфера радиуса R.
4
Г. Объем эллипсоида равен 3 𝜋𝑎𝑏𝑐
Д. Если 𝑎 = 𝑐, то (1) называется эллипсоидом вращения. Тогда фокусы эллипса
𝑥2
𝑎2
𝑦2
+ 𝑏2 = 1 называются фокусами эллипсоида.
Е. Луч, выходящий из одного фокуса эллипсоида вращения, отражаясь от поверхности
эллипсоида, попадает во второй фокус (математическая формулировка этого свойства?).
33
17.2 Эллиптический параболоид
Эллиптический параболоид - поверхность в пространстве, заданная каноническим
уравнением
𝑧=
𝑥2 𝑦2
+
𝑎2 𝑏 2
(2)
Свойства
А. 𝑂𝑥𝑧, 𝑂𝑦𝑧 - плоскости симметрии. 𝑂𝑧 - ось симметрии.
Б. Точка O(0,0,0) -- глобальный минимум.
В. Сечения плоскостями z=Const - эллипсы.
С. В случае 𝑎 = 𝑏 - (2) называется параболоидом вращения. В этом случае точка
𝐹(0,0, 𝑎2 /4) называется фокусом параболоида. Лучи, выходящие из фокуса F, отражаясь
от внутренней поверхности параболоида, идут параллельным оси OZ пучком.
17.3 Однополостный гиперболоид
Однополостный гиперболоид задается каноническим уравнением
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
−
= 1
𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
(3)
Свойства.
А. 𝑂𝑥𝑧, 𝑂𝑥𝑦, 𝑂𝑦𝑧 - плоскости симметрии. 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧 - прямые симметрии. O(0,0,0) –
центр симметрии.
Б. Сечения плоскостями z=Const -- эллипсы.
В. Линейчатость: прямые
34
𝑥 𝑧
𝑦
− = (1 − ) 𝑘 ;
𝑎 𝑐
𝑏
{𝑥 𝑧
𝑦 1
+ = (1 + ) ⋅
𝑎 𝑐
𝑏 𝑘
𝑥 𝑧
𝑦
− = (1 + ) 𝑘 ;
𝑎 𝑐
𝑏
{𝑥 𝑧
𝑦 1
+ = (1 − ) ⋅
𝑎 𝑐
𝑏 𝑘
лежат на гиперболоиде (3). Здесь 𝑘 может принимать любое ненулевое значение.
Г. Случай 𝑎 = 𝑏 - гиперболоид вращения (относительно оси OZ)
17.4 Двуполостный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид задаётся каноническим уравнением
𝑧2 𝑥2 𝑦2
− −
=1
𝑐 2 𝑎2 𝑏 2
(4)
Свойства
А. 𝑂𝑥𝑧, 𝑂𝑥𝑦, 𝑂𝑦𝑧 - плоскости симметрии. 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧 - прямые симметрии. O(0,0,0) –
точка симметрии.
Б. Сечение плоскостью 𝑧 = 𝐶 при 𝐶 > 𝑐 или 𝐶 < −𝑐 -- эллипс.
В. В случае 𝑎 = 𝑏 (4) называется гиперболоидом вращения (относительно оси OZ). В
этом случае лучи, выходящие из фокуса гиперболы, получаемой в сечении плоскостью
𝑥 = 0, отражаются расходящимся пучком.
17.5 Гиперболический параболоид
Гиперболический параболоид (седло) имеет каноническое уравнение.
𝑧=
𝑥2 𝑦2
−
𝑎2 𝑏 2
(5)
Свойства
А. 𝑂𝑦𝑧, 𝑂𝑥𝑧 - плоскости симметрии. 𝑂𝑧 - ось
симметрии
Б. Линейчатость. Прямые
𝑥 𝑦
− ;
𝑎 𝑏
{
𝑥 𝑦
1/𝑘 = +
𝑎 𝑏
𝑘𝑧 =
𝑥 𝑦
𝑘𝑧 = + ;
𝑎 𝑏
{ 1 𝑥 𝑦
= −
𝑘 𝑎 𝑏
при любом ненулевом значении параметра k
лежат на параболоиде.
Рис. 3 1 Гиперболический параболоид
35
18 Вырожденные поверхности второго порядка
18.1 Цилиндр
Уравнение цилиндрической поверхности второго порядка имеет вид 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0, где 𝐹 -многочлен второй степени. Например, цилиндр в собственном смысле задается
уравнением
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑅2
(1)
Это неограниченная поверхность, симметричная относительно горизонтальной плоскости
𝑂𝑥𝑦 и не меняющаяся при любых поворотах относительно оси 𝑂𝑧. Вертикальные прямые
𝑥−𝑥0
𝑦−𝑦0
𝑧
=
= , где (𝑥0 , 𝑦0 ) -- произвольная точка на эллипсе (1), лежат на цилиндре.
0
0
1
Цилиндр радиуса основания 𝑅 и высоты 𝐻 задается неравенствами
𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑅2; 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐻
Он имеет объем 𝜋𝑅 2 𝐻, площадь боковой поверхности 2𝜋𝑅𝐻, площадь оснований – 2𝜋𝑅 2
18.2 Конус
Конус задается уравнением
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 𝑧 2 , (𝑎 > 0)
(2)
Он получается вращением прямой 𝑥 = 𝑎𝑧 относительно оси 𝑂𝑧.
Теорема. Сечение поверхности второго порядка плоскостью есть кривая второго порядка.