Цепные дроби

Цепные дроби 1. Свойства аппарата.
Задача *. Пусть d - не полный квадрат. Тогда уравнение Пелля x 2  dy 2  1 имеет бесконечно
много решений в натуральных числах.
Указание. Рассмотреть приближения
d рациональными числами.
Комментарий. Основную сложность составляет отыскание хотя бы одного решения. Для решения
этой задачи нам потребуется техника, разрабатываемая ниже.
Везде предполагаем, что n и k обозначают целые неотрицательные числа. Также считаем,
что для любого i  1 ai положительно, a0 может быть любым вещественным числом.
Определение 1.1. Конечная n -членная цепная дробь: a0 
1
a1 
  a0 ; a1 , a2 ,
1
, an  . 1.1
a2 
1
an
Определение 1.2. Бесконечная цепная дробь: a0 
1
a1 
  a0 ; a1 , a2 , a3 ,
1
a2 
.
1.2
1
a3 
Определение 1.3. Пусть k  0 . Тогда говорят, что  a0 ; a1 , a2 ,
, ak   sk - отрезок цепной дроби,
если исходная цепная дробь была конечной ( n -членной), то ещё требуют: k  n .
Определение 1.4. Остатком цепной дроби называют цепную дробь rk   ak ; ak 1 , ak 2 ,
случае 1 и rk   ak ; ak 1 , ak 2 ,
, an  в
 в случае  2 .
Замечание 1.1 (тривиальное):  a0 ; a1 , a2 ,
, an    a0 ; a1 , a2 ,
, ak 1 , rk  .
Определение 1.5. (индуктивное) Каноническое представление n -членной цепной дроби в виде
обыкновенной дроби:
Пусть n  0 . Тогда  a0   a0 
a0
.
1
Пусть определены канонические представления для всех цепных дробей, число членов которых
меньше n . Тогда:  a0 ; a1 ,
, an    a0 ; r1   a0 
1
.
r1
По предположению индукции каноническое представление r1 уже известно: r1 
a0 ; a1,
, an   a0 
p
. Тогда
q
q a0 p  q p

 , где p  a0 p  q , q  p  .
p
p
q
Определение 1.6. Подходящей дробью порядка k цепной дроби    a0 ; a1 , a2 ,
каноническое представление отрезка sk   a0 ; a1 , a2 ,
-1-
 называется
, ak  этой дроби, обозначаемое через
pk
.
qk
Замечание 1.2 (очевидное). Для n -членной цепной дроби  :
pn
 .
qn
Задача 1.0. Укажите способ вычисления f  n     2     n  а) для рациональных, б) для
иррациональных α.
Задача 1.1. (Закон образования подходящих дробей.) Для любого k  2 выполнено:
 pk  ak pk 1  pk 2
.

 qk  ak qk 1  qk 2
1.3
Задача 1.2. Для всех k  0 выполнено: qk pk 1  pk qk 1   1 .
1.4
 1 .
p
p
Следствие 1. Для всех k  1 выполнено: k 1  k 
qk 1 qk qk qk 1
1.5
k
k
Задача 1.3. Для всех k  1 выполнено: qk pk  2  pk qk  2   1
k 1
1.6
ak .
 1 ak .
p
p
Следствие 2. Для всех k  2 выполнено: k  2  k 
qk  2 qk
qk qk  2
k 1
1.7 
Таким образом, мы доказали теорему 1.1: Подходящие дроби чётного порядка образуют
возрастающую, а подходящие дроби нечётного порядка – убывающую последовательность. При
этом любая подходящая дробь нечётного порядка больше любой подходящей дроби чётного
порядка.
Определение 1.7. Каждой бесконечной цепной дроби  a0 ; a1 , a2 ,
последовательность подходящих дробей
p0 p1
,
,
q0 q1
,
pk
,
qk
 соответствует бесконечная
Если эта последовательность
сходится к вещественному числу  , то это число полагают значением цепной дроби и пишут:
   a0 ; a1 , a2 ,
 . Сама цепная дробь в этом случае называется сходящейся. Если
последовательность подходящих дробей расходится, то цепную дробь называют расходящейся.
Задача 1.4. a  Для любого k ( 1  k  n )  a0 ; a1 , a2 ,
, an  
pk 1rk  pk  2
.
qk 1rk  qk  2
b  Если бесконечная цепная дробь сходится, то сходятся и все её остатки; обратно, если хоть один
из остатков цепной дроби сходится, то сходится и сама эта цепная дробь.
Теорема 1.2. Значение сходящейся бесконечной цепной дроби больше любой подходящей дроби
чётного порядка и меньше любой подходящей дроби нечётного порядка.
Следствие 3. Значение  сходящейся бесконечной цепной дроби  a0 ; a1 , a2 ,
удовлетворяет неравенству:

pk
1
.

qk
qk qk 1
Доказательство. Применим следствие 1 (из задачи 1.2).
-2-
 при любом k  0
1.8
Задача 1.5. Для сходимости цепной дроби  a0 ; a1 , a2 ,

a
n 1
n
был расходящимся.
-3-
 необходимо и достаточно, чтобы ряд