Семинар 1 Введение в анализ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 1 Введение в анализ
Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:
1. Функция, области определения, способ задания.
2. Понятие сложной и обратной функции.
3. Функции чётные и нечётные; периодические функции.
4. Основные элементарные функции; их свойства и графики.
5. Придел числовой последовательности.
6. Предел функции при 𝑥 → 𝑎 и при 𝑥 → ∞
7. Бесконечно малая и бесконечно большие величины.
8. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые
величины. Основные теоремы об эквивалентных бесконечно малых величинах.
9. Основные теоремы о пределах. Два замечательных предела.
10. Определение непрерывности функции в точке на промежутке. Свойства
непрерывных функций. Определение и классификация точек разрыва.
Литература:
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральные исчисления. Для вузов. Том 1
(любое издание). Москва. Наука.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисления. Москва. Наука.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. Учебное пособие для студентов вузов в двух частях. Часть 1 (любое
издание) . Москва. Высшая школа.
Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1часть. Айрис-пресс.
(любое издание).
1
1.1 Функция и её свойства
Переменная величина 𝑦 называется функцией независимой переменной величины
𝑥, если по определённому закону каждому значению 𝑥 из некоторого множества Х
ставится в соответствие единственное значение 𝑦 из множества Y. Обозначение:
𝑦 = 𝑓(𝑥).
Множество Х (или 𝐷(𝑓)) – область определения функции 𝑦 = 𝑓(𝑥): это множество
значения переменной 𝑥, при котором функция определена.
Графиком функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется множество точек плоскости XOY с
координатами (𝑥; 𝑓(𝑥))
Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) с областью определения, симметричной относительно нуля,
называется чётной (нечётной), если для любого значения 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) выполняется
условие 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) (соответственно 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)) . График чётной функции
симметричен относительно оси ординат. График нечётной функции симметричен
относительно начала координат.
Функция 𝑓(𝑥) называется периодической, если существует такое число 𝑇 ≠ 0, что
для любого 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) (𝑥 ± 𝑇) ∈ 𝐷(𝑓) и выполняется условие 𝑓(𝑥 ± 𝑇) = 𝑓(𝑥).
Пусть задана функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) с областью определения 𝐷 и множеством значений
𝐸. Если между множествами 𝐷 и 𝐸 существует взаимно-однозначное соответствие,
то существует функция 𝑥 = 𝜑(𝑦) с областью определения 𝐸и множеством значений
𝐷. Такая функция называется обратной к функции 𝑓(𝑥) и записывается так: 𝑥 =
𝜑(𝑦) = 𝑓 −1 (𝑦) . Чтобы найти функция обратную заданной нужно решить уравнение
𝑦 = 𝑓(𝑥) относительно 𝑥. Затем, как правило, функцию обозначают через 𝑦 , а
аргумент через 𝑥 и в результате получают функцию 𝑦 = 𝜑(𝑥) обратную к функции
𝑦 = 𝑓(𝑥). Заметим что графики взаимно-обратных функций симметричны
3
относительно прямой 𝑦 = 𝑥. Например, функция 𝑦 = 𝑥 3 и 𝑦 = √𝑥 взаимнообратные.
2
Пусть задана функция 𝑦 = 𝑓(𝑢), где 𝑢 = 𝜑(𝑥). Тогда 𝑦 = 𝑓(𝜑(𝑥)) - сложная функция
от 𝑥.
3
Примеры сложных функций: 𝑦 = sin 2𝑥; 𝑦 = 𝑒 𝑥−1 ; 𝑦 = √ln 𝑥 и т.д.
Пример 1. Найти область определения функции 𝑦 = √1 + 3𝑥 − 2 arccos
𝑥+1
4
Решение: Первое слагаемое принимает действительные значения при 1 + 3𝑥 ≥ 0 , а
второе – при
−1 ≤
𝑥+1
≤1
4
1
𝑥≥−
1 + 3𝑥 ≥ 0
3
𝑥+1
Решим системы неравенств {
⇒
−1 ≤
≤1 { 𝑥+1≤4
4
𝑥 + 1 ≥ −4
Решением системы, то есть областью определения функции является промежуток
1
[− ; 3].
3
Пример 2. Найти область определения функции 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)), если 𝑓(𝑥) = lg
𝑔(𝑥) =
3
𝑋−1
𝑥+7
и
.
𝑥+1
Решение. В данном случае требуется найти область определения сложной функции
𝑓(𝑔(𝑥)) = lg
3
−1
𝑥+1
3
+7
𝑥+1
= lg
2−𝑥
10+7𝑥
По свойству логарифмической функции имеем
неравенства есть множество: (−
10
7
2−𝑥
10+7𝑥
> 0. Решение последнего
; 2).
Учитывая, что 𝐷(𝑔)(𝑥)) = (−∞; −1) ∪ (−1; +∞), получаем 𝐷 (𝑓(𝑔(𝑥))) =
(−
10
7
; −1) ∪ (−1; 2)
3
Пример 3. Указать все номера четных функций заданного множества:
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑒 𝑥
2. 𝑓(𝑥) = |𝑥| + cos 𝑥
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 sin 𝑥
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 tg 𝑥
5. 𝑓(𝑥) = ln
𝑥+1
𝑥−1
Решение. В рассматриваемых примерах область определения каждых из заданных
функций симметрична относительно нуля: в первых трех примерах 𝐷(𝑓) =
(−∞; +∞); в четвертом примере
𝜋
𝜋
2
2
𝐷(𝑓) = [− + 𝑚; + 𝑚], а в последнем примере 𝐷(𝑓) = (−∞; −1) ∪ (1; +∞).
Заменяя в каждом из примеров 𝑥 на − 𝑥, проверим выполнение условий четности
и нечетности функции:
1. 𝑓(−𝑥) = (𝑥)3 + 𝑒 −𝑥 = −𝑥 3 + 𝑒 −3 ; 𝑓(𝑥)и 𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥)
– функция общего
вида
2. 𝑓(−𝑥) = |−𝑥| + cos(−𝑥) = |𝑥| + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ⇒ - функция четная;
3. 𝑓(−𝑥) = (−𝑥) ∙ sin(−𝑥) = 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 ⇒ - функция четная;
4. 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 𝑡𝑔(−𝑥) = −𝑥 2 𝑡𝑔𝑥 ⇒ - функция нечетная;
5. 𝑓(−𝑥) = ln
−𝑥+1
−𝑥−1
= ln
𝑥−1
𝑥+1
𝑥−1 −1
= ln (
)
𝑥+1
= − ln(
𝑥−1
) ⇒ - функция нечетная.
𝑥+1
Итак, номера четных функций данного множества следующие: 2;3.
4
Задачи для самостоятельного решения
Найти область определения функции:
1. 𝑦 = √25 − 𝑥 2 +
2. 𝑦 =
1
𝑥−1
3𝑥 2 +2
𝑥−√𝑥 2 −9
3. 𝑦 = lg(5𝑥 − 1) + 3 lg(𝑥 − 1)
4. 𝑦 = arcsin(3𝑥 + 1)
2
Ответы: 1.[−5; 1) ∪ (1; 5]; 2. (−∞; −3] ∪ [3; +∞); 3. (1; +∞); 4. [− ; 0]
3
Указать номера четных функций:
1) 𝑦 =
𝑐𝑜𝑠5𝑥
𝑥 2 +1
2) 𝑦 = 5𝑥 4 − 𝑥 2
3) 𝑦 = 𝑥 2 𝑐𝑡𝑔𝑥
4) 𝑦 =
𝑥5
3 sin3 𝑥
Ответ: 1; 2; 4.
Указать номера нечетных функций :
1) 𝑦 = (3𝑥 3 + 𝑥)𝑐𝑜𝑠4𝑥
2) 𝑦 = x 5 ∙ 23x
3) 𝑦 = 𝑥 2 𝑡𝑔𝑥
4) 𝑦 =
𝑥+1
𝑥 2 +1
Ответ: 1; 3
1.2 Теория пределов
Число 𝑎 называется пределом последовательности 𝑥1 , 𝑥2,.., , 𝑥𝑛 , .., если для
всякого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое
положительное число N, что |xn − a| < 𝜀 при 𝑛 > 𝑁. Обозначение: lim 𝑥𝑛 = 𝑎.
𝑥→∞
5
1. Число А называется пределом функции 𝑓(𝑥)при 𝑥 → 𝑎 , если сколь угодно
|𝑓(𝑥) − 𝐴| <
малого
ε>0
найдется
такое
δ>0,
что
𝜀 для всех 𝑥, удовлетворяющих условию 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿.
Обозначение : lim 𝑓(𝑥)= A .
𝑥→𝑎
2. lim 𝑓(𝑥)= A , если для сколь угодно малого ε>0, найдется число М>0, что
𝑥→∞
|𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀 при |𝑥| > 𝑀.
3. lim 𝑓(𝑥)= ∞ , если для любого M>0 найдется δ>0 такое, что выполняется
𝑥→𝑎
неравенство |𝑓(𝑥)|>M при 0 < |𝑥 − 𝑎|<δ.
4. Если lim 𝛼 (𝑥) = 0 (при 𝑥 → 𝑎 или при 𝑥 → ∞) , то α(𝑥) – бесконечно малая
величина.
При вычислении пределов пользуются следующими правилами, если пределы
функций f (x) и g (x) существуют:
1. lim (𝑓(𝑥) +g(𝑥))= lim 𝑓(𝑥) + lim g(𝑥)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
2. lim 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) ∙ lim 𝑔(𝑥); lim 𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 lim 𝑓(𝑥) (𝑘 − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡)
𝑥→𝑎
3.
𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎
lim
=
;
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎
4. lim
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥→0 𝑥
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
(lim 𝑔(𝑥) ≠ 0)
𝑥→𝑎
= 1 – (первый замечательный предел)
1 𝑥
1
5. lim (1 + ) = lim(1 + 𝑡) 𝑡 = 𝑒 − (второй замечательный предел)
𝑥
𝑥→∞
𝑡→0
Две бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными, если
𝛼
lim = 1.
𝛽
При вычислении пределов часто пользуются следующей теоремой: предел
отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения
эквивалентных им бесконечно малых вели, при условии, что этот предел
существует.
6
Таблица эквивалентностей бесконечно малых при 𝒙 → 𝟎.
sin 𝑥 ~𝑥
tg 𝑥~𝑥
arctg x~x
arcsin 𝑥 ~𝑥
𝑒 𝑥 − 1~𝑥
𝑎 𝑥 − 1~𝑥 ln 𝑎
log 𝑎 (1 + 𝑥)~𝑥 log 𝑎 𝑒
ln(1 + 𝑥)~𝑥
Пример 1. Вычислить предел lim
3𝑥
𝑥2
1 − cos 𝑥~
2
(1 + 𝑥)𝑘 − 1~𝑘𝑥,
при 𝑘 > 0
.
𝑥→1 5𝑥+2
Решение. Так как 𝑥 → 1, то числитель дроби стремится к числу 3, а знаменатель – к
числу 7.
Следовательно, lim
3𝑥
𝑥→1 5𝑥+2
=
3
7
Пример 2. Вычислить предел lim
5𝑥+1
𝑥→∞ 𝑥 2 −3
.
Решение. Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при 𝑥 → ∞.
∞
Говорят, что имеется неопределенность ( ). Чтобы раскрыть эту неопределённость,
∞
нужно разделить числитель и знаменатель на 𝑥 в наивысшей степени, то есть на 𝑥 2 .
5 1
+
5𝑥 + 1
𝑥 𝑥2
lim 2
= lim
3
𝑥→∞ 𝑥 − 3
𝑥→∞
1− 2
𝑥
Теперь числитель стремится к нулю, а знаменатель – к единице.
Таким образом, lim
5𝑥+1
𝑥→∞ 𝑥 2 −3
= 0.
Пример 3. Вычислить предел lim
𝑥 3 −5𝑥 2 −𝑥+5
𝑥→1 𝑥 3 +5𝑥 2 −𝑥−5
0
Решение В данном случае имеет место неопределённость вида ( ). Разложим на
0
множители числитель и знаменатель:
7
(𝑥 − 5)(𝑥 2 − 1)
𝑥 3 − 5𝑥 2 − 𝑥 + 5
𝑥 2 (𝑥 − 5) − (𝑥 − 5)
𝑥−5
lim 3
=
lim
=
lim
=
lim
𝑥→1 𝑥 + 5𝑥 2 − 𝑥 − 5
𝑥→1 𝑥 2 (𝑥 + 5) − (𝑥 + 5)
𝑥→1 (𝑥 + 5)(𝑥 2 − 1)
𝑥→1 𝑥 + 5
4
2
=− =−
6
3
√𝑥+6−3
.
𝑥→3 𝑥−3
Пример 4. Вычислить предел lim
Решение. Умножим числитель и знаменатель на сумму √𝑥 + 6 + 3.
lim
(√𝑥 + 6 − 3)(√𝑥 + 6 + 3)
= lim
(𝑥 − 3)(√𝑥 + 6 + 3)
𝑥→3
Пример 5. Вычислить предел lim (
𝑥→∞
𝑥→3 (𝑥
𝑥−3
− 3)(√𝑥 + 6 + 3)
=
1
6
5𝑥+1 3𝑥
5𝑥−2
)
5𝑥 + 1 3𝑥
lim (
)
𝑥→∞ 5𝑥 − 2
3𝑥
3
3
= lim (1 +
) = lim [(1 +
)
𝑥→∞
𝑥→∞
5𝑥 − 2
5𝑥 − 2
Пример 6. Вычислить предел lim
𝑥→∞
9𝑥
5𝑥−2 5𝑥−2
3
]
lim
9𝑥
9
= е𝑥→∞5𝑥−2 = е5
sin 3𝑥+tg3 𝑥+ln(1+𝑥 2 )
5𝑥+𝑥 2 +arctg2 𝑥
Решение. Так как sin 3𝑥 эквивален 3𝑥, tg 3 𝑥~𝑥 3 , ln(1 + 𝑥 2 )~𝑥 2 и сумма несколько
бесконечных малых эквивалента слагаемому низшего порядка, числитель
эквивалент 3x; аналогично знаменатель эквивалентен 5x. Тогда искомый придел
будет равен:lim
3𝑥
𝑥→0 5𝑥
=
3
5
8
Задачи для самостоятельной работы
Найти приделы:
1. lim
3𝑥+1
х→1 3𝑥−2
2. lim
𝑥 2 −25
𝑥→5 𝑥 2 −5𝑥
3. lim
𝑥 3 −6𝑥 2 +11𝑥−6
𝑥 2 −3𝑥+2
𝑥→1
4. lim
tg8x
𝑥→0 sin 3𝑥
√1+2𝑥−1
𝑥→0 3 sin 𝑥
5. lim
6. lim
cos 2𝑥−1
𝑥→0 𝑥 sin 𝑥
7. lim
𝑒 3𝑥 −1
𝑥
𝑥→0 𝑡𝑔 2
1+𝑥 1−√𝑥
8. lim(
𝑥→0 2+𝑥
) 1−𝑥
𝑥+3 𝑥+3
)
𝑥→∞ 𝑥−1
9. lim (
8
1
1
3
3
2
Ответы: 1. 4; 2. 2; 3. -2; 4. ; 5. ; 6. -2; 7. 6; 8. ; 9. 𝑒 4
9
1.3 Непрерывность функции
Функция 𝑓(𝑥) называется непрерывной в точке 𝑎, если:
1. функция определена в точке 𝑎 и в некоторой ее окрестности;
2. существует предел lim 𝑓( 𝑥)
𝑥→𝑎
3. выполняется равенство lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
Определение непрерывности можно дать на языке приращений, то есть функция
𝑦 = 𝑓(𝑥)
непрерывна в точке 𝑎, если lim ∆𝑦 = 0, где ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑎 и ∆𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
∆𝑥→0
Функция, непрерывная в каждой точке некоторого промежутка, называется
непрерывной на этом промежутке.
Если в некоторой точке𝑥, принадлежащей области определения функции,
нарушается условие непрерывности функции, то эта точка называется точкой
разрыва.
Число 𝐴 = lim 𝑓(𝑥) называется правосторонним пределом функции 𝑓(𝑥) в точке
𝑥→𝑎+0
𝑎, если для любого 𝜀 > 0 существует 𝛿 > 0 такое, что для всех 𝑥, удовлетворяющих
неравенствам 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿, выполняется неравенство |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀. Если же
последнее неравенство выполняется для 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎, то число А называется
левосторонним пределом, то есть: 𝐴 = lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎−0
Если существуют конечные односторонние пределы и lim 𝑓(𝑥) ≠ lim 𝑓(𝑥),
𝑥→𝑎−0
𝑥→𝑎+0
то точка 𝑎 называется точкой неустранимого разрыва I рода. Если же lim 𝑓(𝑥) =
𝑥→𝑎−0
lim 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑎) то, в точке 𝑎 имеется устранимый разрыв I рода. Все остальные
𝑥→𝑎+0
точки разрыва относятся к точкам разрыва II рода.
Пример 1. Найти точки разрыва функции 𝑦 = 𝑒
10
1
𝑥+3
Решение. Функция определена во всех точках, кроме точки 𝑥 = −3. Найдем
односторонние пределы функции при 𝑥 → −3
1
lim 𝑒 𝑥+3 = 0;
𝑥→−3−0
1
lim 𝑒 𝑥+3 = ∞
𝑥→−3+0
Точка 𝑥 = −3 является точкой разрыва II - ого рода.
Пример 2. Определить точки разрыва функции и их характер: 𝑦 =
𝑥 2 при 𝑥 ≤ 0
{
𝑥 + 1 при 𝑥 > 0
Решение. Заданная функция определена на всей числовой оси. Найдем
односторонние пределы функции в точке 𝑥 = 0.
lim 𝑦 = lim 𝑥 2 = 0
𝑥→−0
𝑥→−0
lim 𝑦 = lim (𝑥 + 1) = 1
𝑥→+0
𝑥→+0
Итак, существуют конечные односторонние пределы, но они не равны.
Следовательно, в точке 𝑥 = 0 есть неустранимый разрыв I - ого рода.
𝑥 + 2, если 𝑥 ≤ 2
Пример 3. Пусть 𝑓(𝑥) = {
При каком выборе числа 𝑎 функция
2 + 𝑎𝑥 2 , если 𝑥 > 2
𝑓(𝑥)будет непрерывной?
Решение. Заданная функция определена во всех точках числовой оси. Чтобы
функция была непрерывна в каждой точке 𝑥, нужно чтобы в этой точке
правосторонний и левосторонний пределы были равны. Это условие выполняется
во всех точках, кроме 𝑥 = 2.
lim 𝑓(𝑥) = lim (𝑥 + 2) = 4
𝑥→2−0
𝑥→2−0
lim 𝑓(𝑥) = lim (2 + 𝑎𝑥 2 ) = 2 + 4𝑎
𝑥→2+0
𝑥→2+0
Чтобы функция была непрерывна в точке 𝑥 = 2 должно быть справедливо
равенство.
2 + 4𝑎 = 4 ⇒ 𝑎 =
11
1
2
1
Итак, при 𝑎 =
2
заданная функция непрерывна во всех точках числовой оси.
Задачи для самостоятельного решения
Найти точки разрыва и установить их характер:
𝑥 2 −4
,𝑥 ≠ 2
1. 𝑦 = { 𝑥−2
−1, 𝑥 = 2
2. 𝑦 =
𝑥 3 −27
𝑥−3
3. 𝑦 = arctg
4. 𝑦 = cos
1
𝑥
𝜋
2−𝑥
Ответы:
1. 𝑥 = 2- точка устранимого разрыва I рода;
2. 𝑥 = 3- точка устранимого разрыва I рода;
3. 𝑥 = 0- точка неустранимого разрыва I рода
4. 𝑥 = 2- точка разрыва II рода
12